Derivative

Ang pagkalkula ng derivative ng isang mathematical function (differentiation) ay isang napakakaraniwang gawain sa paglutas ng mas mataas na matematika. Para sa mga simpleng (elementarya) mathematical function, ito ay isang medyo simpleng bagay, dahil ang mga talahanayan ng mga derivatives para sa elementarya ay matagal nang pinagsama-sama at madaling magagamit. Gayunpaman, ang paghahanap ng derivative ng isang kumplikadong mathematical function ay hindi isang maliit na gawain at kadalasan ay nangangailangan ng makabuluhang pagsisikap at oras.

Maghanap ng derivative online

Ang aming online na serbisyo ay nagbibigay-daan sa iyo upang mapupuksa ang walang kabuluhang mahabang kalkulasyon at maghanap ng derivative online sa isang iglap. Bukod dito, gamit ang aming serbisyo na matatagpuan sa website www.site, maaari mong kalkulahin derivative online parehong mula sa isang elementary function at mula sa isang napaka-komplikadong isa na walang solusyon sa isang analytical form. Ang pangunahing bentahe ng aming site kumpara sa iba ay: 1) walang mahigpit na mga kinakailangan para sa paraan ng pagpasok ng isang mathematical function para sa pagkalkula ng derivative (halimbawa, kapag ipinasok ang sine x function, maaari mo itong ipasok bilang sin x o kasalanan (x) o kasalanan [x], atbp. atbp.); 2) ang pagkalkula ng derivative online ay nangyayari kaagad sa mode online at ganap ay libre; 3) pinapayagan namin ang paghahanap ng derivative ng function anumang order, napakadali at nauunawaan na baguhin ang pagkakasunud-sunod ng derivative; 4) pinapayagan ka naming mahanap ang derivative ng halos anumang mathematical function online, kahit na isang napaka-komplikadong isa, hindi naa-access para sa solusyon ng iba pang mga serbisyo. Ang ibinalik na sagot ay palaging tumpak at hindi maaaring maglaman ng mga error.

Ang paggamit ng aming server ay magbibigay-daan sa iyo na 1) kalkulahin ang derivative online para sa iyo, na nagse-save sa iyo mula sa nakakaubos ng oras at nakakapagod na mga kalkulasyon, kung saan maaari kang magkamali o typo; 2) kung kinakalkula mo ang derivative ng isang mathematical function sa iyong sarili, pagkatapos ay binibigyan ka namin ng pagkakataon na ihambing ang resulta na nakuha sa mga kalkulasyon ng aming serbisyo at tiyaking tama ang solusyon o hanapin ang error na pumasok; 3) gamitin ang aming serbisyo sa halip na gumamit ng mga talahanayan ng mga derivatives ng mga simpleng function, kung saan madalas na tumatagal ng oras upang mahanap ang nais na function.

Lahat ng kailangan mo maghanap ng derivative online ay gamitin ang aming serbisyo sa

Ito ay ganap na imposible upang malutas ang mga pisikal na problema o mga halimbawa sa matematika nang walang kaalaman sa derivative at mga pamamaraan ng pagkalkula nito. Ang derivative ay isa sa mahahalagang konsepto pagsusuri sa matematika. Nagpasya kaming italaga ang artikulo ngayon sa pangunahing paksang ito. Ano ang derivative, ano ang pisikal nito at geometriko na kahulugan paano kalkulahin ang derivative ng isang function? Ang lahat ng mga tanong na ito ay maaaring pagsamahin sa isa: kung paano maunawaan ang hinalaw?

Geometric at pisikal na kahulugan ng derivative

Magkaroon ng function f (x) ibinigay sa ilang pagitan (a, b) ... Ang mga puntos na х at х0 ay kabilang sa pagitan na ito. Kapag nagbago ang x, nagbabago ang function mismo. Pagbabago ng argumento - ang pagkakaiba sa pagitan ng mga halaga nito x-x0 ... Ang pagkakaibang ito ay nakasulat bilang delta x at tinatawag na argument increment. Ang pagbabago o pagtaas ng isang function ay ang pagkakaiba sa mga halaga ng isang function sa dalawang punto. Derivative na kahulugan:

Ang derivative ng isang function sa isang punto ay ang limitasyon ng ratio ng increment ng function sa isang partikular na punto sa pagtaas ng argument kapag ang huli ay may posibilidad na zero.

Kung hindi, maaari itong isulat tulad nito:

Ano ang punto sa paghahanap ng gayong limitasyon? At narito kung ano:

ang derivative ng function sa isang punto ay katumbas ng tangent ng anggulo sa pagitan ng OX axis at ang tangent sa graph ng function sa puntong ito.

Ang pisikal na kahulugan ng derivative: ang derivative ng path na may paggalang sa oras ay katumbas ng bilis ng rectilinear motion.

Sa katunayan, mula noong panahon ng paaralan, alam ng lahat na ang bilis ay isang pribadong landas. x = f (t) at oras t ... Average na bilis sa isang yugto ng panahon:

Upang malaman ang bilis ng paggalaw sa isang pagkakataon t0 kailangan mong kalkulahin ang limitasyon:

Panuntunan unang: kumuha ng isang pare-pareho

Ang pare-pareho ay maaaring ilipat sa labas ng sign ng derivative. Bukod dito, dapat itong gawin. Kapag naglulutas ng mga halimbawa sa matematika, kunin bilang panuntunan - kung maaari mong pasimplehin ang expression, siguraduhing pasimplehin .

Halimbawa. Kalkulahin natin ang derivative:

Rule two: derivative ng kabuuan ng mga function

Ang derivative ng kabuuan ng dalawang function ay katumbas ng sum ng derivatives ng mga function na ito. Ang parehong ay totoo para sa derivative ng pagkakaiba ng mga function.

Hindi kami magbibigay ng patunay ng teorama na ito, ngunit sa halip ay isaalang-alang ang isang praktikal na halimbawa.

Hanapin ang derivative ng isang function:

Pangatlong panuntunan: derivative ng produkto ng mga function

Ang derivative ng produkto ng dalawang differentiable function ay kinakalkula ng formula:

Halimbawa: hanapin ang derivative ng isang function:

Solusyon:

Mahalagang sabihin dito ang tungkol sa pagkalkula ng mga derivatives ng mga kumplikadong function. Ang derivative ng isang kumplikadong function ay katumbas ng produkto ng derivative ng function na ito na may paggalang sa intermediate argument sa pamamagitan ng derivative ng intermediate argument na may kinalaman sa independent variable.

Sa halimbawa sa itaas, natutugunan natin ang expression:

Sa kasong ito, ang intermediate argument ay 8x hanggang sa ikalimang kapangyarihan. Upang makalkula ang derivative ng naturang expression, kalkulahin muna natin ang derivative ng external function na may paggalang sa intermediate argument, at pagkatapos ay i-multiply sa derivative ng immediate intermediate argument na may kinalaman sa independent variable.

Ikaapat na panuntunan: ang quotient derivative ng dalawang function

Formula para sa pagtukoy ng derivative ng quotient ng dalawang function:

Sinubukan naming sabihin sa iyo ang tungkol sa mga derivatives para sa mga dummies mula sa simula. Ang paksang ito ay hindi kasing simple ng tila, kaya't mag-ingat: kadalasang may mga pitfalls sa mga halimbawa, kaya maging maingat sa pagkalkula ng mga derivatives.

Para sa anumang tanong tungkol dito at sa iba pang mga paksa, maaari kang makipag-ugnayan sa serbisyo ng mag-aaral. Sa maikling panahon, tutulungan ka naming malutas ang pinakamahirap na pagsubok at harapin ang mga gawain, kahit na hindi ka pa nakakagawa ng pagkalkula ng mga derivatives dati.

• Derivative table ng exponential at logarithmic functions

Mga derivatives ng mga simpleng function

Paliwanag:
Ipinapakita ng derivative ang rate kung saan nagbabago ang halaga ng function kapag nagbago ang argumento. Dahil ang numero ay hindi nagbabago sa anumang paraan sa ilalim ng anumang mga kundisyon, ang rate ng pagbabago nito ay palaging zero.

2. Variable derivative katumbas ng isa
x' = 1

Paliwanag:
Para sa bawat pagtaas ng argumento (x) ng isa, ang halaga ng function (ang resulta ng mga kalkulasyon) ay tataas ng parehong halaga. Kaya, ang rate ng pagbabago ng halaga ng function na y = x ay eksaktong katumbas ng rate ng pagbabago ng halaga ng argumento.

3. Ang derivative ng variable at ang factor ay katumbas ng factor na ito
sx´ = s
Halimbawa:
(3x) ´ = 3
(2x) ´ = 2
Paliwanag:
Sa kasong ito, sa bawat oras na ang argumento ng function ( NS) ang halaga nito (y) ay tumataas sa kasama minsan. Kaya, ang rate ng pagbabago ng halaga ng function na may kaugnayan sa rate ng pagbabago ng argumento ay eksaktong katumbas ng halaga kasama.

Kung saan sinusundan iyon
(cx + b) "= c
iyon ay, ang pagkakaiba linear function y = kx + b ay katumbas ng slope ng tuwid na linya (k).

5. Derivative ng isang variable sa kapangyarihan ay katumbas ng produkto ng bilang ng antas na ito at ang variable sa antas, na nabawasan ng isa
(x c) "= cx c-1, sa kondisyon na ang x c at cx c-1 ay tinukoy at c ≠ 0
Halimbawa:
(x 2) "= 2x
(x 3) "= 3x 2
Upang isaulo ang formula:
Isagawa ang kapangyarihan ng variable na "pababa" bilang isang kadahilanan, at pagkatapos ay bawasan ang kapangyarihan mismo ng isa. Halimbawa, para sa x 2 - ang dalawa ay nasa harap ng x, at pagkatapos ay ang pinababang degree (2-1 = 1) ay nagbigay lamang sa amin ng 2x. Ang parehong bagay ay nangyari para sa x 3 - "ibinababa" namin ang triple, bawasan ito ng isa at sa halip na isang kubo mayroon kaming isang parisukat, iyon ay, 3x 2. Medyo "unscientific" pero napakadaling tandaan.

6.Derivative ng isang fraction 1 / x
(1 / x) "= - 1 / x 2
Halimbawa:
Dahil ang isang fraction ay maaaring isipin bilang pagtaas sa isang negatibong kapangyarihan
(1 / x) "= (x -1)", pagkatapos ay maaari mong ilapat ang formula mula sa panuntunan 5 ng talahanayan ng mga derivatives
(x -1) "= -1x -2 = - 1 / x 2

7. Derivative ng isang fraction na may variable ng di-makatwirang antas sa denominator
(1 / x c) "= - c / x c + 1
Halimbawa:
(1 / x 2) "= - 2 / x 3

8. Derivative ng ugat(derivative ng variable sa ilalim ng square root)
(√x) "= 1 / (2√x) o 1/2 x -1/2
Halimbawa:
(√x) "= (x 1/2)" ay nangangahulugang maaari mong ilapat ang formula mula sa panuntunan 5
(x 1/2) "= 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Derivative ng isang variable sa ilalim ng arbitrary root
(n √x) "= 1 / (n n √x n-1)

Ang proseso ng paghahanap ng derivative ng isang function ay tinatawag pagkakaiba-iba. Ang derivative ay kailangang matagpuan sa ilang mga problema sa kurso ng mathematical analysis. Halimbawa, kapag hinahanap ang extremum at inflection point ng function graph.

Paano hanapin?

Upang mahanap ang derivative ng isang function, kailangan mong malaman ang talahanayan ng mga derivatives ng elementarya function at ilapat ang mga pangunahing panuntunan ng pagkita ng kaibhan:

1. Ang paglipat ng pare-pareho sa kabila ng tanda ng derivative: $$ (Cu) "= C (u)" $$
2. Derivative ng kabuuan / pagkakaiba ng mga function: $$ (u \ pm v) "= (u)" \ pm (v) "$$
3. Derivative ng produkto ng dalawang function: $$ (u \ cdot v) "= u" v + uv "$$
4. Derivative ng fraction: $$ \ bigg (\ frac (u) (v) \ bigg) "= \ frac (u" v - uv ") (v ^ 2) $$
5. Derivative ng isang kumplikadong function: $$ (f (g (x))) "= f" (g (x)) \ cdot g "(x) $$

Mga halimbawa ng solusyon

Ang operasyon ng paghahanap ng derivative ay tinatawag na differentiation.

Bilang resulta ng paglutas ng mga problema sa paghahanap ng mga derivatives para sa pinakasimpleng (at hindi masyadong simple) na mga function sa pamamagitan ng pagtukoy sa derivative bilang limitasyon ng ratio ng increment sa increment ng argumento, isang talahanayan ng mga derivatives at tiyak na tinukoy na mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. lumitaw. Ang una sa larangan ng paghahanap ng mga derivatives ay sina Isaac Newton (1643-1727) at Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Samakatuwid, sa ating panahon, upang mahanap ang derivative ng anumang function, hindi kinakailangang kalkulahin ang nabanggit na limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argument, ngunit kailangan mo lamang gamitin ang talahanayan ng mga derivatives at ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. Ang sumusunod na algorithm ay angkop para sa paghahanap ng derivative.

Upang mahanap ang derivative, kailangan mo ng expression sa ilalim ng stroke sign i-disassemble ang mga simpleng function at tukuyin kung anong mga aksyon (produkto, kabuuan, quotient) naka-link ang mga function na ito. Dagdag pa, ang mga derivatives ng elementary functions ay matatagpuan sa talahanayan ng mga derivatives, at ang mga formula para sa derivatives ng produkto, sum at quotient ay matatagpuan sa mga tuntunin ng pagkita ng kaibhan. Ang derivative table at mga panuntunan ng pagkita ng kaibhan ay ibinigay pagkatapos ng unang dalawang halimbawa.

Halimbawa 1. Hanapin ang derivative ng isang function

Solusyon. Mula sa mga patakaran ng pagkita ng kaibhan, nalaman namin na ang derivative ng kabuuan ng mga function ay ang kabuuan ng mga derivatives ng mga function, i.e.

Mula sa talahanayan ng mga derivatives nalaman natin na ang derivative ng "x" ay katumbas ng isa, at ang derivative ng sine ay katumbas ng cosine. Pinapalitan namin ang mga halagang ito sa kabuuan ng mga derivatives at hanapin ang derivative na kinakailangan ng kondisyon ng problema:

Halimbawa 2. Hanapin ang derivative ng isang function

Solusyon. Naiiba namin bilang derivative ng kabuuan, kung saan ang pangalawang termino na may pare-parehong kadahilanan, maaari itong alisin sa tanda ng derivative:

Kung mayroon pa ring mga katanungan tungkol sa kung saan nagmumula, sila, bilang panuntunan, ay nagiging mas malinaw pagkatapos ng pamilyar sa talahanayan ng mga derivatives at ang pinakasimpleng mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. Pupunta kami sa kanila ngayon.

Derivative table ng mga simpleng function

1. Derivative ng isang pare-pareho (numero). Anumang numero (1, 2, 5, 200 ...) na nasa expression ng function. Laging zero. Napakahalagang tandaan ito, dahil madalas itong kinakailangan.
2. Derivative ng independent variable. Kadalasan ay "x". Laging katumbas ng isa. Mahalaga rin itong tandaan sa mahabang panahon.
3. Derivative degree. Kapag nilulutas ang mga problema, kailangan mong ibahin ang anyo ng mga di-parisukat na ugat sa isang antas.
4. Derivative ng isang variable sa kapangyarihan ng -1
5. Derivative ng square root
6. Derivative ng sine
7. Derivative ng cosine
8. Derivative ng padaplis
9. Derivative ng cotangent
10. Derivative ng arcsine
11. Derivative ng arccosine
12. Derivative ng arctangent
13. Derivative ng arc cotangent
14. Derivative ng natural logarithm
15. Derivative ng logarithmic function
16. Derivative ng exponent
17. Derivative ng exponential function

Mga panuntunan sa pagkakaiba-iba

1. Derivative ng kabuuan o pagkakaiba
2. Derivative ng akda
2a. Derivative ng isang expression na pinarami ng isang pare-parehong kadahilanan
3. Derivative ng quotient
4. Derivative ng isang kumplikadong function

Panuntunan 1.Kung functions

differentiable sa ilang mga punto, pagkatapos ay sa parehong punto ang mga function

saka

mga. ang derivative ng algebraic sum of functions ay katumbas ng algebraic sum ng derivatives ng mga function na ito.

Bunga. Kung ang dalawang naiba-iba na pag-andar ay naiiba sa isang pare-parehong termino, kung gayon ang kanilang mga derivative ay pantay, ibig sabihin.

Panuntunan 2.Kung functions

differentiable at some point, then at the same point ay differentiable din ang kanilang produkto

saka

mga. ang derivative ng produkto ng dalawang function ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng bawat isa sa mga function na ito ng derivative ng isa pa.

Bunga 1. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring ilipat sa labas ng tanda ng derivative:

Bunga 2. Ang derivative ng produkto ng ilang differentiable function ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng derivative ng bawat isa sa mga salik ng lahat ng iba pa.

Halimbawa, para sa tatlong mga kadahilanan:

Panuntunan 3.Kung functions

naiba sa isang punto at , pagkatapos sa puntong ito ito ay differentiable at ang kanilang quotientu / v, at

mga. ang derivative ng quotient ng dalawang function ay katumbas ng fraction, ang numerator nito ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga produkto ng denominator at derivative ng numerator at numerator at ang derivative ng denominator, at ang denominator ay ang parisukat ng ang dating numerator.

Kung saan kung ano ang hahanapin sa ibang mga pahina

Kapag nahanap ang derivative ng produkto at ang quotient sa mga totoong problema, palaging kinakailangan na maglapat ng ilang mga panuntunan sa pagkita ng kaibhan nang sabay-sabay, kaya mayroong higit pang mga halimbawa ng mga derivatives na ito sa artikulo"Derivative ng isang gawa at isang partikular na function".

Magkomento. Huwag malito ang isang pare-pareho (iyon ay, isang numero) bilang isang summand at bilang isang pare-parehong kadahilanan! Sa kaso ng isang termino, ang derivative nito ay katumbas ng zero, at sa kaso ng pare-pareho ang kadahilanan ito ay inalis sa derivative sign. Isa itong tipikal na pagkakamali na nangyayari sa paunang yugto ng pag-aaral ng mga derivatives, ngunit pagkatapos malutas ang ilang isa o dalawang bahagi na halimbawa, ang karaniwang mag-aaral ay hindi na nakakagawa ng pagkakamaling ito.

At kung, kapag pinag-iba ang isang gawa o isang partikular, mayroon kang termino u"v, kung saan u- isang numero, halimbawa, 2 o 5, iyon ay, isang pare-pareho, kung gayon ang derivative ng numerong ito ay magiging katumbas ng zero at, samakatuwid, ang buong termino ay magiging katumbas ng zero (ang kasong ito ay sinusuri sa Halimbawa 10).

Ang isa pang karaniwang pagkakamali ay ang mekanikal na solusyon ng isang derivative ng isang kumplikadong function bilang isang derivative ng isang simpleng function. kaya lang derivative ng isang kumplikadong function isang hiwalay na artikulo ay nakatuon. Ngunit una, matututunan natin na hanapin ang mga derivatives ng mga simpleng function.

Kasama ang paraan, hindi mo magagawa nang walang mga pagbabagong ekspresyon. Upang gawin ito, maaaring kailanganin mong buksan ang mga tutorial sa mga bagong window Mga aksyon na may kapangyarihan at ugat at Mga aksyon na may mga fraction .

Kung naghahanap ka ng mga solusyon sa mga derivatives ng mga fraction na may mga kapangyarihan at ugat, iyon ay, kapag ang isang function ay mukhang , pagkatapos ay sundan ang aralin Derivative of the Sum of Fractions with Powers and Roots.

Kung mayroon kang gawain tulad ng , pagkatapos ay ang iyong aralin na "Derivatives ng simpleng trigonometric functions".

Hakbang-hakbang na mga halimbawa - kung paano hanapin ang derivative

Halimbawa 3. Hanapin ang derivative ng isang function

Solusyon. Tinutukoy namin ang mga bahagi ng expression ng function: ang buong expression ay kumakatawan sa produkto, at ang mga salik nito ay mga kabuuan, sa pangalawa kung saan ang isa sa mga termino ay naglalaman ng pare-parehong kadahilanan. Inilapat namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng produkto: ang derivative ng produkto ng dalawang function ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng bawat isa sa mga function na ito ng derivative ng isa pa:

Susunod, inilalapat namin ang panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng kabuuan: ang derivative ng algebraic na kabuuan ng mga function ay katumbas ng algebraic na kabuuan ng mga derivatives ng mga function na ito. Sa aming kaso, sa bawat kabuuan, ang pangalawang termino na may minus sign. Sa bawat kabuuan makikita natin ang parehong independiyenteng variable, ang derivative nito ay katumbas ng isa, at isang pare-pareho (number), ang derivative nito ay katumbas ng zero. Kaya, ang "x" para sa amin ay nagiging isa, at minus 5 - sa zero. Sa pangalawang expression, ang "x" ay pinarami ng 2, kaya pinarami namin ang dalawa sa parehong yunit bilang derivative ng "x". Nakukuha namin ang mga sumusunod na halaga ng mga derivatives:

Pinapalitan namin ang mga nahanap na derivative sa kabuuan ng mga produkto at makuha ang derivative ng buong function na kinakailangan ng kondisyon ng problema:

At maaari mong suriin ang solusyon ng problema para sa derivative sa.

Halimbawa 4. Hanapin ang derivative ng isang function

Solusyon. Kinakailangan nating hanapin ang derivative ng quotient. Inilapat namin ang formula para sa pagkakaiba-iba ng quotient: ang derivative ng quotient ng dalawang function ay katumbas ng isang fraction, ang numerator nito ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga produkto ng denominator at ang derivative ng numerator at numerator at ang derivative ng denominator, at ang denominator ay ang parisukat ng nakaraang numerator. Nakukuha namin:

Natagpuan na namin ang derivative ng mga salik sa numerator sa Halimbawa 2. Huwag kalimutan na ang produkto na pangalawang salik sa numerator sa kasalukuyang halimbawa ay kinuha na may minus sign:

Kung naghahanap ka ng mga solusyon sa mga problema kung saan kailangan mong hanapin ang derivative ng isang function, kung saan mayroong tuluy-tuloy na tambak ng mga ugat at kapangyarihan, tulad ng, halimbawa, pagkatapos ay maligayang pagdating sa klase "Derivative ng kabuuan ng mga fraction na may kapangyarihan at ugat" .

Kung kailangan mong matuto nang higit pa tungkol sa mga derivatives ng sines, cosines, tangents at iba pa trigonometriko function, iyon ay, kapag ang function ay mukhang , pagkatapos ang iyong aralin "Mga derivative ng simpleng trigonometric function" .

Halimbawa 5. Hanapin ang derivative ng isang function

Solusyon. Sa function na ito, nakikita natin ang isang produkto, ang isa sa mga kadahilanan kung saan ay ang square root ng independent variable, ang derivative kung saan pamilyar tayo sa talahanayan ng mga derivatives. Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng produkto at ang halaga ng tabular ng derivative ng square root, nakukuha namin:

Maaari mong suriin ang solusyon ng problema para sa derivative sa derivatives calculator online .

Halimbawa 6. Hanapin ang derivative ng isang function

Solusyon. Sa function na ito, makikita natin ang quotient, na ang dibidendo ay ang square root ng independent variable. Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng quotient, na inulit namin at inilapat sa halimbawa 4, at ang halaga ng talahanayan ng derivative ng square root, nakukuha namin:

Upang maalis ang fraction sa numerator, i-multiply ang numerator at denominator sa.