Pumili tayo ng isang hugis-parihaba na coordinate system sa eroplano at i-plot ang mga halaga ng argumento sa abscissa axis NS, at sa ordinate - ang mga halaga ng pagpapaandar y = f (x).

Function graph y = f (x) ay ang hanay ng lahat ng mga puntos na ang mga abscissas ay kabilang sa domain ng pagpapaandar, at ang mga ordinate ay katumbas ng kaukulang halaga ng pagpapaandar.

Sa madaling salita, ang graph ng function na y = f (x) ay ang hanay ng lahat ng mga punto ng eroplano, mga coordinate NS, sa na nagbibigay-kasiyahan sa ugnayan y = f (x).

Sa fig. Ang 45 at 46 ay mga graph ng mga pagpapaandar y = 2x + 1 at y = x 2 - 2x.

Mahigpit na pagsasalita, dapat makilala ang isa sa pagitan ng grap ng pagpapaandar (ang eksaktong kahulugan ng matematika na ibinigay sa itaas) at ang iginuhit na kurba, na laging nagbibigay lamang ng higit o mas tumpak na sketch ng grap (at kahit na, bilang isang panuntunan, hindi ang buong graph, ngunit ang bahagi lamang nito na matatagpuan sa huling bahagi ng eroplano). Gayunpaman, sa mga sumusunod, karaniwang sasabihin namin ang "graph" sa halip na "sketch graph".

Gamit ang grap, mahahanap mo ang halaga ng isang pagpapaandar sa isang punto. Namely, kung ang punto x = a kabilang sa domain ng pagpapaandar y = f (x), pagkatapos ay upang mahanap ang numero f (a)(ibig sabihin, ang mga halaga ng pagpapaandar sa puntong x = a) dapat mong gawin ito. Ito ay kinakailangan sa pamamagitan ng isang punto na may isang abscissa x = a gumuhit ng isang tuwid na linya na kahilera sa ordenate; ang linyang ito ay magsa-intersect sa graph ng function y = f (x) sa isang punto; ang ordenado ng puntong ito ay, sa bisa ng kahulugan ng grap, ay magiging katumbas ng f (a)(fig 47).

Halimbawa, para sa function f (x) = x 2 - 2x gamit ang grap (Larawan 46) matatagpuan natin ang f (-1) = 3, f (0) = 0, f (1) = -l, f (2) = 0, atbp.

Ang function graph ay malinaw na naglalarawan ng pag-uugali at mga katangian ng isang function. Halimbawa, mula sa isang pagsasaalang-alang sa Fig. 46 malinaw na ang pagpapaandar y = x 2 - 2x tumatagal ng mga positibong halaga sa NS< 0 at sa x> 2, negatibo - sa 0< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2x tumatagal sa x = 1.

Upang magbalak ng isang pagpapaandar f (x) kailangan mong hanapin ang lahat ng mga punto ng eroplano, mga coordinate NS,sa na nagbibigay-kasiyahan sa equation y = f (x)... Sa karamihan ng mga kaso, hindi ito magagawa, dahil maraming walang gaanong mga punto. Samakatuwid, ang grap ng pagpapaandar ay inilalarawan ng tinatayang - na may higit o mas mababa ang kawastuhan. Ang pinakasimpleng ay ang multi-point plotting method. Ito ay binubuo sa katotohanan na ang pagtatalo NS magbigay ng isang may hangganang bilang ng mga halaga - sabihin, x 1, x 2, x 3, ..., x k at gumawa ng isang talahanayan, na kasama ang mga napiling halaga ng pagpapaandar.

Ang talahanayan ay ganito ang hitsura:

Ang pagkakaroon ng naipong tulad ng isang talahanayan, maaari naming balangkasin ang maraming mga punto ng grapiko ng pagpapaandar y = f (x)... Pagkatapos, ikonekta ang mga puntong ito sa isang makinis na linya, nakakakuha kami ng isang tinatayang pagtingin sa grapiko ng pagpapaandar y = f (x).

Gayunpaman, dapat pansinin, na ang paraan ng paglalagay ng multi-point ay napaka hindi maaasahan. Sa katunayan, ang pag-uugali ng grap sa pagitan ng mga itinalagang puntos at pag-uugali nito sa labas ng segment sa pagitan ng matindi ng mga kinuha na puntos ay mananatiling hindi alam.

Halimbawa 1... Upang magbalak ng isang pagpapaandar y = f (x) may nagtipon ng isang talahanayan ng argumento at mga halaga ng pag-andar:

Ang kaukulang limang puntos ay ipinapakita sa Fig. 48.

Batay sa lokasyon ng mga puntong ito, napagpasyahan niya na ang grap ng pagpapaandar ay isang tuwid na linya (ipinakita sa Larawan 48 sa pamamagitan ng isang may tuldok na linya). Maaari bang maituring na maaasahan ang konklusyon na ito? Kung walang mga karagdagang pagsasaalang-alang upang suportahan ang konklusyon na ito, maaaring hindi ito maituring na maaasahan. maaasahan

Upang patunayan ang aming pahayag, isaalang-alang ang pagpapaandar

.

Ipinapakita ng mga pagkalkula na ang mga halaga ng pagpapaandar na ito sa mga puntos -2, -1, 0, 1, 2 ay inilarawan lamang ng talahanayan sa itaas. Gayunpaman, ang grap ng pagpapaandar na ito ay hindi isang tuwid na linya sa lahat (ipinakita ito sa Larawan 49). Ang isa pang halimbawa ay ang pagpapaandar y = x + l + sinπx; ang mga halaga nito ay inilarawan din sa talahanayan sa itaas.

Ipinapakita ng mga halimbawang ito na hindi maaasahan ang dalisay na pamamaraang pag-chart ng multi-point. Samakatuwid, upang bumuo ng isang graph ng isang naibigay na pag-andar, bilang isang panuntunan, magpatuloy tulad ng sumusunod. Una, pinag-aaralan namin ang mga katangian ng pagpapaandar na ito, kung saan maaari kang bumuo ng isang sketch ng grap. Pagkatapos, kinakalkula ang mga halaga ng pag-andar sa maraming mga puntos (ang pagpili nito ay nakasalalay sa mga itinakdang katangian ng pagpapaandar), ang mga katumbas na puntos ng grap ay matatagpuan. At, sa wakas, ang isang kurba ay iginuhit sa pamamagitan ng mga itinakdang puntos gamit ang mga katangian ng pagpapaandar na ito.

Ang ilan (ang pinakasimpleng at madalas na ginagamit) na mga katangian ng mga pagpapaandar na ginamit upang makahanap ng isang sketch ng isang grap ay tatalakayin sa paglaon, ngunit ngayon susuriin namin ang ilan sa mga karaniwang ginagamit na pamamaraan ng paglalagay.

Ang grap ng pagpapaandar y = | f (x) |.

Kadalasan kailangan mong magbalak ng isang pagpapaandar y = | f (x)|, kung saan f (x) - binigyan ng pagpapaandar. Alalahanin natin kung paano ito ginagawa. Sa pamamagitan ng pagtukoy ng ganap na halaga ng isang numero, maaari kang magsulat

Nangangahulugan ito na ang grapiko ng pagpapaandar y = | f (x) | maaaring makuha mula sa grap, pagpapaandar y = f (x) tulad ng sumusunod: lahat ng mga puntos ng grapiko ng pagpapaandar y = f (x) kung saan ang mga ordinate ay hindi negatibo ay dapat iwanang hindi nagbabago; karagdagang, sa halip ng mga puntos ng grap ng pagpapaandar y = f (x) na may negatibong mga coordinate, dapat mong buuin ang mga kaukulang puntos ng grapiko ng pagpapaandar y = -f (x)(ibig sabihin, bahagi ng grap ng pagpapaandar
y = f (x) na nakasalalay sa ibaba ng axis NS, dapat na symmetrically masasalamin tungkol sa axis NS).

Halimbawa 2. Pag-andar ng plot y = | x |.

Kunin ang grap ng pagpapaandar y = x(Larawan 50, a) at bahagi ng graph na ito sa NS< 0 (nakahiga sa ilalim ng axis NS) simetriko sumasalamin tungkol sa axis NS... Bilang resulta, nakukuha namin ang graph ng function y = | x |(Larawan 50, b).

Halimbawa 3... Pag-andar ng plot y = | x 2 - 2x |.

Una, binabalak namin ang pagpapaandar y = x 2 - 2x. Ang grap ng pagpapaandar na ito ay isang parabola, ang mga sanga nito ay nakadirekta paitaas, ang tuktok ng parabola ay may mga coordinate (1; -1), ang grap nito ay tumatawid sa abscissa axis sa mga puntos na 0 at 2. Sa agwat (0; 2 ), ang pag-andar ay tumatagal ng mga negatibong halaga, samakatuwid ito ay ang bahaging ito ng grap na sumasalamin nang simetriko tungkol sa abscissa axis. Ipinapakita ng Figure 51 ang graph ng function y = | x 2 -2x | batay sa grapiko ng pagpapaandar y = x 2 - 2x

Grap ng pagpapaandar y = f (x) + g (x)

Isaalang-alang ang problema sa paglalagay ng pagpapaandar y = f (x) + g (x). kung ang mga graphic function ay ibinigay y = f (x) at y = g (x).

Tandaan na ang domain ng function na y = | f (x) + g (x) | ay ang hanay ng lahat ng mga halagang iyon ng x kung saan ang parehong pag-andar y = f (x) at y = g (x) ay tinukoy, ibig sabihin, ang domain na ito ay ang intersection ng mga domain ng mga pagpapaandar f (x) at g (x).

Hayaan ang mga puntos (x 0, y 1) at (x 0, y 2) ayon sa pagkakabanggit ay nabibilang sa mga graph ng mga function y = f (x) at y = g (x), ibig sabihin y 1 = f (x 0), y 2 = g (x 0). Pagkatapos ang point (x0;. Y1 + y2) ay kabilang sa grapiko ng pagpapaandar y = f (x) + g (x)(para sa f (x 0) + g (x 0) = y 1 + y2),. at anumang punto sa grapiko ng pagpapaandar y = f (x) + g (x) maaaring makuha sa ganitong paraan. Samakatuwid, ang grap ng pagpapaandar y = f (x) + g (x) maaaring makuha mula sa mga graphic function y = f (x)... at y = g (x) pinapalitan ang bawat punto ( x n, y 1) pag-andar ng graphics y = f (x) punto (x n, y 1 + y 2), kung saan y 2 = g (x n), ibig sabihin, sa pamamagitan ng paglilipat ng bawat punto ( x n, y 1) function graph y = f (x) kasama ang axis sa sa dami y 1 = g (x n). Sa kasong ito, ang nasabing mga puntos lamang ang isinasaalang-alang NS n kung saan tinukoy ang parehong pag-andar y = f (x) at y = g (x).

Ang pamamaraang ito ng paglalagay ng isang function y = f (x) + g (x) ay tinatawag na karagdagan ng mga grap ng mga pagpapaandar y = f (x) at y = g (x)

Halimbawa 4... Sa figure, ang graph ng pagpapaandar ay binuo sa pamamagitan ng pamamaraan ng pagdaragdag ng mga graph
y = x + sinx.

Kapag nag-plot ng function y = x + sinx naniwala tayo diyan f (x) = x, a g (x) = sinx. Upang mailagay ang grap ng pagpapaandar, pumili ng mga puntos na may abscissas -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5 ,, 1.5, 2. Mga Halaga f (x) = x, g (x) = sinx, y = x + sinx kalkulahin sa mga napiling punto at ilagay ang mga resulta sa talahanayan.

Ang pagpapaandar y = x ^ 2 ay tinatawag na isang quadratic function. Ang grap ng isang quadratic function ay isang parabola. Ang pangkalahatang view ng parabola ay ipinapakita sa figure sa ibaba.

Pag-andar ng quadratic

Fig 1. Pangkalahatang pagtingin sa parabola

Tulad ng nakikita mo mula sa grap, ito ay simetriko tungkol sa Oy axis. Ang axis na Oy ay tinatawag na axis ng symmetry ng parabola. Nangangahulugan ito na kung gumuhit ka ng isang tuwid na linya na kahilera sa Ax axis sa itaas ng axis na ito. Pagkatapos ay tatawid nito ang parabola sa dalawang puntos. Ang distansya mula sa mga puntong ito sa Oy axis ay magiging pareho.

Ang axis ng mahusay na proporsyon ay hinahati ang graph ng parabola sa dalawang bahagi, tulad nito. Ang mga bahaging ito ay tinatawag na mga sangay ng parabola. At ang punto ng parabola na nakasalalay sa axis ng mahusay na proporsyon ay tinatawag na vertex ng parabola. Iyon ay, ang axis ng mahusay na proporsyon ay dumadaan sa tuktok ng parabola. Ang mga coordinate ng puntong ito (0; 0).

Pangunahing mga katangian ng isang quadratic function

1. Para sa x = 0, y = 0, at y> 0 para sa x0

2. Ang pag-andar ng quadratic ay umabot sa pinakamababang halaga nito sa vertex nito. Ymin sa x = 0; Dapat ding pansinin na ang pagpapaandar ay walang maximum na halaga.

3. Bumababa ang pagpapaandar sa agwat (-∞; 0] at tataas sa agwat; ang grap f (x) = x + 2 ay isang tuwid na linya na kahilera sa tuwid na linya f (x) = x, ngunit lumipat ng dalawang mga yunit pataas at samakatuwid dumadaan sa punto na may mga coordinate (0,2) (dahil ang pare-pareho ay 2).

Pagplano ng isang Kumplikadong Pag-andar

Hanapin ang mga zero ng pagpapaandar. Ang mga zero ng isang pagpapaandar ay ang mga halaga ng variable na "x" kung saan y = 0, iyon ay, ang mga ito ang mga punto ng intersection ng graph na may x-axis. Tandaan na hindi lahat ng mga pagpapaandar ay may mga zero, ngunit ito ang unang hakbang sa proseso ng paglalagay ng anumang pagpapaandar. Upang hanapin ang mga zero ng isang pagpapaandar, itakda ito sa zero. Halimbawa:

Hanapin at markahan ang pahalang na mga asymptote. Ang isang asymptote ay isang tuwid na linya kung saan papalapit ang grap ng isang pagpapaandar, ngunit hindi ito tumatawid (iyon ay, sa lugar na ito ang pag-andar ay hindi tinukoy, halimbawa, kapag naghahati sa 0). Markahan ang asymptote na may tuldok na linya. Kung ang variable na "x" ay nasa denominator ng maliit na bahagi (halimbawa, y = 1 4 - x 2 (\ displaystyle y = (\ frac (1) (4-x ^ (2))))), itakda ang denominator sa zero at hanapin ang "x". Sa mga nakuha na halaga ng variable na "x", ang function ay hindi tinukoy (sa aming halimbawa, iguhit ang mga may tuldok na linya sa pamamagitan ng x = 2 at x = -2), dahil hindi mo maaaring hatiin sa 0. Ngunit ang mga asymptote ay umiiral hindi lamang sa mga kaso kung saan ang pagpapaandar ay naglalaman ng isang praksyonal na ekspresyon. Samakatuwid, inirerekumenda na gumamit ng sentido komun: