Ang derivative ng function ay isa sa mga nakakalito na paksa sa kurikulum ng paaralan... Hindi lahat ng graduate ay sasagutin ang tanong kung ano ang derivative.

Ang artikulong ito ay nagpapaliwanag nang simple at malinaw kung ano ang derivative at para saan ito.... Hindi na tayo magsusumikap para sa mathematical rigor of presentation. Ang pinakamahalagang bagay ay upang maunawaan ang kahulugan.

Tandaan natin ang kahulugan:

Ang derivative ay ang rate ng pagbabago ng function.

Ang figure ay nagpapakita ng mga graph ng tatlong function. Alin sa tingin mo ang mas mabilis na lumalaki?

Ang sagot ay halata - ang pangatlo. Ito ang may pinakamataas na rate ng pagbabago, iyon ay, ang pinakamalaking derivative.

Narito ang isa pang halimbawa.

Sina Kostya, Grisha at Matvey ay nakakuha ng trabaho sa parehong oras. Tingnan natin kung paano nagbago ang kanilang kita sa paglipas ng taon:

Makikita mo kaagad ang lahat sa chart, di ba? Ang kita ni Kostya ay higit sa doble sa loob ng anim na buwan. At tumaas din ang kita ni Grisha, ngunit bahagya lamang. At ang kita ni Matvey ay bumaba sa zero. Ang mga panimulang kondisyon ay pareho, ngunit ang rate ng pagbabago ng function, iyon ay derivative, - iba. Tulad ng para kay Matvey, ang derivative ng kanyang kita ay karaniwang negatibo.

Sa madaling salita, madali nating matantya ang rate ng pagbabago ng isang function. Ngunit paano natin ito gagawin?

Talagang tinitingnan namin kung gaano kabilis tumaas (o pababa) ang function graph. Sa madaling salita, gaano kabilis ang pagbabago ng y sa pagbabago ng x. Malinaw, ang parehong function sa iba't ibang mga punto ay maaaring magkaroon ng iba't ibang mga halaga ng derivative - iyon ay, maaari itong magbago nang mas mabilis o mas mabagal.

Ang derivative ng function ay tinutukoy.

Ipakita natin sa iyo kung paano ito hanapin gamit ang graph.

Ang isang graph ng ilang function ay iginuhit. Kumuha tayo ng isang punto na may abscissa dito. Iguhit natin sa puntong ito ang tangent sa graph ng function. Gusto naming tantyahin kung gaano kataas ang function graph. Ang isang maginhawang halaga para dito ay padaplis ng anggulo ng pagkahilig ng padaplis.

Ang derivative ng function sa isang punto ay katumbas ng tangent ng anggulo ng inclination ng tangent na iginuhit sa graph ng function sa puntong ito.

Bigyang-pansin - bilang anggulo ng pagkahilig ng tangent, kinukuha namin ang anggulo sa pagitan ng tangent at ang positibong direksyon ng axis.

Minsan tinatanong ng mga estudyante kung ano ang tangent function. Ito ay isang tuwid na linya na may iisang karaniwang punto na may graph sa lugar na ito, at tulad ng ipinapakita sa aming figure. Mukhang isang padaplis sa isang bilog.

Hahanapin natin. Naaalala namin na ang tangent ng isang matinding anggulo sa isang right-angled na tatsulok ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na binti sa katabing binti. Mula sa tatsulok:

Natagpuan namin ang derivative gamit ang graph nang hindi alam ang formula ng function. Ang ganitong mga problema ay madalas na matatagpuan sa pagsusulit sa matematika sa ilalim ng numero.

May isa pang mahalagang relasyon. Alalahanin na ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation

Ang dami sa equation na ito ay tinatawag slope ng tuwid na linya... Ito ay katumbas ng tangent ng anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya sa axis.

.

Nakukuha namin iyon

Tandaan natin ang formula na ito. Ito ay nagpapahayag ng geometric na kahulugan ng derivative.

Ang derivative ng isang function sa isang punto ay katumbas ng slope ng tangent na iginuhit sa graph ng function sa puntong iyon.

Sa madaling salita, ang derivative ay katumbas ng tangent ng anggulo ng inclination ng tangent.

Nasabi na namin na ang parehong function ay maaaring magkaroon ng iba't ibang mga derivatives sa iba't ibang mga punto. Tingnan natin kung paano nauugnay ang derivative sa pag-uugali ng function.

Gumuhit tayo ng graph ng ilang function. Hayaang tumaas ang function na ito sa ilang lugar, at bumaba sa iba, at sa iba't ibang rate. At hayaan ang function na ito na magkaroon ng maximum at minimum na mga puntos.

Sa isang punto, tumataas ang function. Ang padaplis sa graph na iginuhit sa isang punto ay bumubuo ng isang matinding anggulo na may positibong direksyon ng axis. Nangangahulugan ito na ang derivative ay positibo sa punto.

Sa puntong ito, ang aming function ay bumababa. Ang tangent sa puntong ito ay bumubuo ng obtuse angle na may positibong direksyon ng axis. Dahil negatibo ang tangent ng obtuse angle, negatibo ang derivative sa punto.

Narito kung ano ang mangyayari:

Kung tumataas ang function, positibo ang derivative nito.

Kung ito ay bumaba, ang derivative nito ay negatibo.

At ano ang mangyayari sa maximum at minimum na puntos? Nakikita natin na sa mga punto (maximum point) at (minimum point) ang tangent ay pahalang. Samakatuwid, ang tangent ng anggulo ng inclination ng tangent sa mga puntong ito ay zero, at ang derivative ay zero din.

Ang punto ay ang pinakamataas na punto. Sa puntong ito, ang pagtaas sa function ay pinapalitan ng pagbaba. Dahil dito, ang tanda ng derivative ay nagbabago sa punto mula sa "plus" hanggang sa "minus".

Sa punto - ang pinakamababang punto - ang derivative ay zero din, ngunit ang tanda nito ay nagbabago mula sa "minus" hanggang "plus".

Konklusyon: gamit ang isang derivative, maaari mong malaman ang lahat ng bagay na interesado sa amin tungkol sa pag-uugali ng isang function.

Kung positibo ang derivative, tataas ang function.

Kung negatibo ang derivative, bababa ang function.

Sa pinakamataas na punto, ang derivative ay zero at nagbabago ng sign mula sa "plus" patungo sa "minus".

Sa pinakamababang punto, ang derivative ay zero din at nagbabago ng sign mula sa "minus" patungo sa "plus".

Isulat natin ang mga konklusyong ito sa anyo ng isang talahanayan:

Gumawa tayo ng dalawang maliliit na paglilinaw. Kakailanganin mo ang isa sa mga ito kapag nilulutas ang mga problema ng pagsusulit. Isa pa - sa unang taon, na may mas seryosong pag-aaral ng mga function at derivatives.

Posible ang kaso kapag ang derivative ng isang function sa ilang punto ay katumbas ng zero, ngunit ang function ay walang maximum o minimum sa puntong ito. Ito ang tinatawag na :

Sa isang punto, ang tangent sa graph ay pahalang at ang derivative ay zero. Gayunpaman, hanggang sa punto ay tumaas ang function - at pagkatapos ng punto ay patuloy itong tumataas. Ang tanda ng derivative ay hindi nagbabago - dahil ito ay positibo, ito ay nananatili.

Nangyayari rin na ang derivative ay hindi umiiral sa maximum o minimum na punto. Sa graph, ito ay tumutugma sa isang matalim na liko, kapag ang isang tangent sa isang naibigay na punto ay hindi maaaring iguhit.

At paano mahahanap ang derivative kung ang function ay hindi ibinigay ng isang graph, ngunit sa pamamagitan ng isang formula? Sa kasong ito, ang

Sergey Nikiforov

Kung ang derivative ng isang function ay pare-pareho ang sign sa isang interval, at ang function mismo ay tuloy-tuloy sa mga hangganan nito, kung gayon ang mga boundary point ay idinagdag sa parehong pagtaas at pagbaba ng mga pagitan, na ganap na tumutugma sa kahulugan ng pagtaas at pagbaba ng mga function.

Farit Yamaev 26.10.2016 18:50

Kamusta. Paano (sa anong batayan) maaaring igiit ng isang tao na sa punto kung saan ang derivative ay zero, ang function ay tumataas. Magbigay ng mga dahilan. Kung hindi, ito ay kapritso lamang ng isang tao. Sa pamamagitan ng anong teorama? At pati na rin ang patunay. Salamat.

Suporta

Ang halaga ng derivative sa isang punto ay hindi direktang nauugnay sa pagtaas ng function sa pagitan. Isaalang-alang, halimbawa, ang mga function - lahat sila ay tumataas sa segment

Vladlen Pisarev 02.11.2016 22:21

Kung ang isang function ay tumaas sa pagitan (a; b) at tinukoy at tuloy-tuloy sa mga puntong a at b, pagkatapos ay tumataas ito sa pagitan. Yung. point x = 2 ay kasama sa pagitan na ito.

Bagaman, bilang panuntunan, ang pagtaas at pagbaba ay hindi isinasaalang-alang sa isang segment, ngunit sa isang agwat.

Ngunit sa pinakadulo x = 2, ang function ay may lokal na minimum. At kung paano ipaliwanag sa mga bata na kapag naghahanap sila ng mga punto ng pagtaas (pagbaba), kung gayon ang mga punto ng lokal na extremum ay hindi binibilang, ngunit pumasok sila sa mga pagitan ng pagtaas (pagbaba).

Isinasaalang-alang na ang una bahagi ng pagsusulit para sa "gitnang pangkat kindergarten", kung gayon marahil ang gayong mga nuances ay masyadong marami.

Hiwalay, maraming salamat para sa "Solve the Unified State Exam" sa lahat ng empleyado - isang mahusay na gabay.

Sergey Nikiforov

Ang isang simpleng paliwanag ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagsisimula mula sa kahulugan ng pagtaas / pagbaba ng function. Ipaalala ko sa iyo na ganito ang tunog: ang isang function ay tinatawag na pagtaas / pagbaba sa pagitan, kung ang isang mas malaking argumento ng function ay tumutugma sa isang mas malaki / mas maliit na halaga ng function. Ang kahulugang ito ay hindi gumagamit ng konsepto ng isang derivative sa anumang paraan, kaya ang mga tanong tungkol sa mga punto kung saan ang derivative ay naglalaho ay hindi maaaring lumabas.

Irina Ishmakova 20.11.2017 11:46

Magandang hapon. Dito sa mga komento ay nakikita ko ang paniniwala na dapat isama ang mga hangganan. Sabihin nating sumasang-ayon ako dito. Ngunit mangyaring tingnan ang iyong solusyon sa problema 7089. Doon, kapag tinukoy ang mga pataas na pagitan, ang mga hangganan ay hindi kasama. At ito ay nakakaapekto sa sagot. Yung. ang mga solusyon sa mga gawain 6429 at 7089 ay sumasalungat sa isa't isa. Mangyaring linawin ang sitwasyong ito.

Alexander Ivanov

Ang mga item 6429 at 7089 ay may ganap na magkakaibang mga katanungan.

Sa isa tungkol sa mga pagitan ng pagtaas, at sa isa pa tungkol sa mga pagitan na may positibong hinalaw.

Walang kontradiksyon.

Ang extrema ay kasama sa mga pagitan ng pagtaas at pagbaba, ngunit ang mga punto kung saan ang derivative ay katumbas ng zero ay hindi kasama sa mga pagitan kung saan ang derivative ay positibo.

A Z 28.01.2019 19:09

Mga kasamahan, mayroong isang konsepto ng pagtaas sa isang punto

(tingnan ang Fichtengolts halimbawa)

at ang iyong pag-unawa sa pagtaas sa x = 2 ay salungat sa klasikal na kahulugan.

Ang pagtaas at pagbaba ay isang proseso at gusto kong sumunod sa prinsipyong ito.

Sa anumang pagitan na naglalaman ng puntong x = 2, ang function ay hindi tumataas. Samakatuwid, ang pagsasama ng isang naibigay na punto x = 2 ay isang espesyal na proseso.

Karaniwan, upang maiwasan ang pagkalito, ang pagsasama ng mga dulo ng mga pagitan ay binabanggit nang hiwalay.

Alexander Ivanov

Ang function na y = f (x) ay tinatawag na pagtaas sa isang tiyak na pagitan kung ang mas malaking halaga ng argumento mula sa pagitan na ito ay tumutugma sa mas malaking halaga ng function.

Sa puntong x = 2, ang function ay naiba-iba, at sa pagitan (2; 6) ang derivative ay positibo, na nangangahulugan na sa pagitan ang mga halaga nito ay mahigpit na positibo, na nangangahulugan na ang pag-andar sa segment na ito ay tumataas lamang. , samakatuwid ang halaga ng function sa kaliwang dulo x = −3 ay mas mababa sa halaga nito sa kanang dulo x = −2.

Sagot: φ 2 (−3) φ 2 (−2)

2) Gamit ang antiderivative graph Φ 2 (x ) (sa aming kaso, ito ay isang asul na graph), tukuyin kung alin sa 2 mga halaga ng function ang mas malaki φ 2 (−1) o φ 2 (4)?

Ang antiderivative graph ay nagpapakita na ang punto x Ang = −1 ay nasa tumataas na rehiyon, kaya ang halaga ng katumbas na derivative ay positibo. Punto x Ang = 4 ay nasa bumababang rehiyon at ang halaga ng katumbas na derivative ay negatibo. Dahil ang positibong halaga ay mas malaki kaysa sa negatibo, napagpasyahan namin na ang halaga ng hindi kilalang function, na kung saan ay tiyak na hinango, sa punto 4 ay mas mababa kaysa sa punto −1.

Sagot: φ 2 (−1) > φ 2 (4)

Mayroong maraming mga katulad na tanong na maaari mong itanong tungkol sa nawawalang iskedyul, na humahantong sa isang malaking iba't ibang mga problema sa isang maikling sagot, na binuo ayon sa parehong pamamaraan. Subukang lutasin ang ilan sa mga ito.

Mga gawain para sa pagtukoy ng mga katangian ng isang graph derivative ng isang function.

Larawan 1.

Figure 2.

Problema 1

y = f (x ) na tinukoy sa pagitan (−10.5; 19). Tukuyin ang bilang ng mga integer point kung saan positibo ang derivative ng function.

Ang derivative ng function ay positibo sa mga lugar kung saan tumataas ang function. Ipinapakita ng figure na ito ang mga pagitan (−10.5; −7.6), (−1; 8.2) at (15.7; 19). Ilista natin ang buong mga punto sa loob ng mga pagitan na ito: "−10", "- 9", "−8", "0", "1", "2", "3", "4", "5", "6 ", "7", "8", "16", "17", "18". Mayroong 15 puntos sa kabuuan.

Sagot: 15

Remarks.
1. Kapag sa mga problema tungkol sa mga graph ng mga pag-andar, kinakailangan na pangalanan ang "mga puntos", bilang panuntunan, ang ibig nilang sabihin ay ang mga halaga lamang ng argumento x , na kung saan ay ang mga abscissas ng mga kaukulang punto na matatagpuan sa graph. Ang mga ordinate ng mga puntong ito ay ang mga halaga ng function, sila ay umaasa at madaling kalkulahin kung kinakailangan.
2. Kapag naglista ng mga punto, hindi namin isinasaalang-alang ang mga gilid ng mga agwat, dahil ang pag-andar sa mga puntong ito ay hindi tumataas o bumababa, ngunit "naglalahad". Ang derivative sa naturang mga punto ay hindi positibo o negatibo, ito ay katumbas ng zero, samakatuwid sila ay tinatawag na nakatigil na mga punto. Bilang karagdagan, hindi namin isinasaalang-alang dito ang mga hangganan ng domain ng kahulugan, dahil sinasabi ng kondisyon na ito ay isang agwat.

Gawain 2

Ipinapakita ng Figure 1 ang graph ng function y = f (x ) na tinukoy sa pagitan (−10.5; 19). Tukuyin ang bilang ng mga integer point kung saan ang derivative ng function f" (x ) ay negatibo.

Ang derivative ng function ay negatibo sa mga lugar kung saan bumababa ang function. Ipinapakita ng figure na ito ang mga pagitan (−7.6; −1) at (8.2; ​​15.7). Mga integer na puntos sa loob ng mga pagitan na ito: "−7", "- 6", "−5", "- 4", "−3", "- 2", "9", "10", "11", "12 "," 13 "," 14 "," 15 ". Mayroong 13 puntos sa kabuuan.

Sagot: 13

Tingnan ang mga tala para sa nakaraang gawain.

Upang malutas ang mga sumusunod na problema, kailangan mong tandaan ang isa pang kahulugan.

Ang maximum at minimum na mga punto ng function ay pinagsama ng isang karaniwang pangalan - matinding puntos .

Sa mga puntong ito, ang derivative ng function ay alinman sa zero o wala ( kinakailangang matinding kondisyon).
Gayunpaman, ang isang kinakailangang kondisyon ay isang tanda, ngunit hindi isang garantiya ng pagkakaroon ng isang extremum ng isang function. Isang sapat na kondisyon para sa isang extremum ay isang pagbabago sa sign ng derivative: kung ang derivative sa isang punto ay nagbabago ng sign mula "+" hanggang "-", kung gayon ito ang pinakamataas na punto ng function; kung ang derivative sa isang punto ay nagbabago ng sign mula sa "-" hanggang sa "+", kung gayon ito ang pinakamababang punto ng function; kung ang derivative ng function ay katumbas ng zero sa isang punto, o wala, ngunit ang sign ng derivative ay hindi nagbabago sa kabaligtaran kapag dumadaan sa puntong ito, kung gayon ang tinukoy na punto ay hindi ang extremum point ng function. Ito ay maaaring isang inflection point, isang break point, o isang break point sa graph ng isang function.

Suliranin 3

Ipinapakita ng Figure 1 ang graph ng function y = f (x ) na tinukoy sa pagitan (−10.5; 19). Hanapin ang bilang ng mga punto kung saan ang tangent sa graph ng function ay parallel sa tuwid na linya y = 6 o tumutugma dito.

Alalahanin na ang equation ng linya ay may anyo y = kx + b , saan k- ang koepisyent ng pagkahilig ng tuwid na linyang ito sa axis baka... Sa kaso natin k= 0, ibig sabihin. tuwid y = 6 hindi nakatagilid, ngunit kahanay sa axis baka... Nangangahulugan ito na ang mga kinakailangang tangents ay dapat ding parallel sa axis baka at dapat ding magkaroon ng slope coefficient na 0. Ang mga tangent ay may ganitong katangian sa mga pinakasukdulang punto ng mga function. Samakatuwid, upang masagot ang tanong, kailangan mo lamang kalkulahin ang lahat ng mga matinding punto sa tsart. Mayroong 4 sa kanila - dalawang maximum na puntos at dalawang minimum na puntos.

Sagot: 4

Suliranin 4

Mga pag-andar y = f (x ) na tinukoy sa pagitan (−11; 23). Hanapin ang kabuuan ng mga extremum point ng function sa segment.

Sa ipinahiwatig na segment, nakikita namin ang 2 extremum point. Ang maximum ng function ay naabot sa punto x 1 = 4, pinakamababa sa punto x 2 = 8.
x 1 + x 2 = 4 + 8 = 12.

Sagot: 12

Suliranin 5

Ipinapakita ng Figure 1 ang graph ng function y = f (x ) na tinukoy sa pagitan (−10.5; 19). Hanapin ang bilang ng mga punto kung saan ang derivative ng function f" (x ) ay katumbas ng 0.

Ang derivative ng function ay katumbas ng zero sa extremum point, kung saan 4 ang makikita sa graph:
2 puntos ng maximum at 2 puntos ng minimum.

Sagot: 4

Mga gawain para sa pagtukoy ng mga katangian ng isang function ayon sa graph ng derivative nito.

Larawan 1.

Figure 2.

Suliranin 6

Ipinapakita ng Figure 2 ang graph f" (x ) - ang derivative ng function f (x ) na tinukoy sa pagitan (−11; 23). Sa anong punto ng segment [−6; 2] ang function f (x ) kumukuha ng pinakamalaking halaga.

Sa ipinahiwatig na agwat, ang derivative ay wala kahit saan positibo, samakatuwid ang function ay hindi tumaas. Ito ay bumaba o dumaan sa mga nakatigil na punto. Kaya, naabot ng function ang pinakamalaking halaga nito sa kaliwang hangganan ng segment: x = −6.

Sagot: −6

Komento: Ang graph ng derivative ay nagpapakita na sa segment [−6; 2] ito ay katumbas ng zero tatlong beses: sa mga punto x = −6, x = −2, x = 2. Ngunit sa punto x = −2, hindi ito nagbago ng sign, na nangangahulugan na hindi maaaring magkaroon ng extremum ng function sa puntong ito. Malamang na mayroong inflection point sa orihinal na function graph.

Suliranin 7

Ipinapakita ng Figure 2 ang graph f" (x ) - ang derivative ng function f (x ) na tinukoy sa pagitan (−11; 23). Sa anong punto ng segment ang function ay tumatagal ng pinakamaliit na halaga.

Sa segment, ang derivative ay mahigpit na positibo, samakatuwid, ang function sa segment na ito ay tumaas lamang. Kaya, naabot ng function ang pinakamaliit na halaga sa kaliwang hangganan ng segment: x = 3.

Sagot: 3

Suliranin 8

Ipinapakita ng Figure 2 ang graph f" (x ) - ang derivative ng function f (x ) na tinukoy sa pagitan (−11; 23). Hanapin ang bilang ng mga maximum na puntos ng function f (x ) na kabilang sa segment [−5; 10].

Ayon sa kinakailangang kondisyon para sa isang extremum, ang maximum ng function maaaring sa mga punto kung saan ang derivative nito ay zero. Sa isang partikular na segment, ito ang mga punto: x = −2, x = 2, x = 6, x = 10. Ngunit ayon sa sapat na kondisyon, ito tiyak na magiging lamang sa mga ito kung saan ang sign ng derivative ay nagbabago mula sa "+" hanggang sa "-". Sa graph ng derivative, makikita natin ang sa mga nakalistang punto, ang punto lang ang ganoon x = 6.

Sagot: 1

Suliranin 9

Ipinapakita ng Figure 2 ang graph f" (x ) - ang derivative ng function f (x ) na tinukoy sa pagitan (−11; 23). Hanapin ang bilang ng mga extremum point ng function f (x ) na kabilang sa segment.

Ang extrema ng isang function ay maaaring nasa mga puntong iyon kung saan ang derivative nito ay 0. Sa isang partikular na segment ng derivative graph, nakikita natin ang 5 ganoong mga punto: x = 2, x = 6, x = 10, x = 14, x = 18. Ngunit sa punto x = 14 hindi binago ng derivative ang sign nito, samakatuwid dapat itong hindi kasama sa pagsasaalang-alang. Nag-iiwan ito ng 4 na puntos.

Sagot: 4

Suliranin 10

Ipinapakita ng Figure 1 ang graph f" (x ) - ang derivative ng function f (x ) na tinukoy sa pagitan (−10.5; 19). Hanapin ang mga pagitan ng pagtaas ng function f (x ). Sa sagot, ipahiwatig ang haba ng pinakamahaba sa kanila.

Ang mga pagitan ng pagtaas ng function ay nag-tutugma sa mga pagitan ng pagiging positibo ng hinalaw. Sa graph makikita natin ang tatlo sa kanila - (−9; −7), (4; 12), (18; 19). Ang pinakamahaba sa kanila ay ang pangalawa. Ang haba nito l = 12 − 4 = 8.

Sagot: 8

Takdang-aralin 11

Ipinapakita ng Figure 2 ang graph f" (x ) - ang derivative ng function f (x ) na tinukoy sa pagitan (−11; 23). Hanapin ang bilang ng mga punto kung saan ang padaplis sa graph ng function f (x ) ay parallel sa tuwid na linya y = −2x − 11 o tumutugma dito.

Ang slope (aka ang tangent ng slope) ng isang tuwid na linya k = −2. Interesado kami sa parallel o coinciding tangents, i.e. mga tuwid na linya na may parehong slope. Batay sa geometric na kahulugan ng derivative - ang slope ng tangent sa itinuturing na punto ng graph ng function, muli naming kinakalkula ang mga punto kung saan ang derivative ay katumbas ng −2. Mayroong 9 na ganoong mga punto sa Figure 2. Maginhawang bilangin ang mga ito sa pamamagitan ng mga intersection ng graph at ng grid line na dumadaan sa value na −2 sa axis Oy.

Sagot: 9

Gaya ng nakikita mo, gamit ang parehong graph, maaari kang magtanong ng malawak na iba't ibang mga tanong tungkol sa pag-uugali ng isang function at ang hinango nito. Gayundin, ang parehong tanong ay maaaring maiugnay sa mga graph ng iba't ibang mga function. Mag-ingat sa paglutas ng problemang ito sa pagsusulit, at ito ay tila napakadali para sa iyo. Ang iba pang mga uri ng problema sa gawaing ito - sa geometric na kahulugan ng antiderivative - ay tatalakayin sa ibang seksyon.

Nagbibigay ang Problema B9 ng graph ng isang function o derivative, kung saan mo gustong tukuyin ang isa sa mga sumusunod na dami:

1. Ang halaga ng derivative sa ilang punto x 0,
2. Mataas o mababang mga punto (extremum point),
3. Ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng function (mga agwat ng monotonicity).

Ang mga function at derivatives na ipinakita sa problemang ito ay palaging tuluy-tuloy, na lubos na nagpapadali sa solusyon. Sa kabila ng katotohanan na ang gawain ay kabilang sa seksyon ng pagsusuri sa matematika, ito ay lubos na nasa loob ng kapangyarihan ng kahit na ang pinakamahina na mga mag-aaral, dahil walang malalim na teoretikal na kaalaman ang kinakailangan dito.

Mayroong simple at unibersal na mga algorithm para sa paghahanap ng halaga ng derivative, extremum point at monotonicity interval - lahat ng mga ito ay tatalakayin sa ibaba.

Maingat na basahin ang kondisyon ng problema B9 upang maiwasan ang mga hangal na pagkakamali: kung minsan ay nakatagpo ka ng medyo mahahabang mga teksto, ngunit walang maraming mahahalagang kondisyon na nakakaapekto sa kurso ng solusyon.

Kinakalkula ang halaga ng derivative. Dalawang punto na pamamaraan

Kung sa problema ang graph ng function na f (x) ay ibinigay, tangent sa graph na ito sa ilang punto x 0, at kinakailangan upang mahanap ang halaga ng derivative sa puntong ito, ang sumusunod na algorithm ay inilapat:

1. Maghanap ng dalawang "sapat" na puntos sa tangent graph: ang kanilang mga coordinate ay dapat na mga integer. Tukuyin natin ang mga puntong ito sa pamamagitan ng A (x 1; y 1) at B (x 2; y 2). Isulat nang tama ang mga coordinate - ito ay isang mahalagang punto sa solusyon, at anumang pagkakamali dito ay humahantong sa maling sagot.
2. Alam ang mga coordinate, madaling kalkulahin ang pagtaas ng argumento Δx = x 2 - x 1 at ang pagtaas ng function na Δy = y 2 - y 1.
3. Sa wakas, nakita namin ang halaga ng derivative D = Δy / Δx. Sa madaling salita, kailangan mong hatiin ang pagtaas ng function sa pagtaas ng argumento - at ito ang magiging sagot.

Tandaan muli: ang mga puntong A at B ay dapat na eksaktong hanapin sa tangent na linya, at hindi sa graph ng function na f (x), gaya ng kadalasang nangyayari. Ang tangent na linya ay kinakailangang maglaman ng hindi bababa sa dalawang ganoong mga punto - kung hindi, ang problema ay hindi naisulat nang tama.

Isaalang-alang ang mga puntos A (−3; 2) at B (−1; 6) at hanapin ang mga increment:
Δx = x 2 - x 1 = −1 - (−3) = 2; Δy = y 2 - y 1 = 6 - 2 = 4.

Hanapin ang halaga ng derivative: D = Δy / Δx = 4/2 = 2.

Gawain. Ipinapakita ng figure ang graph ng function na y = f (x) at ang tangent dito sa puntong may abscissa x 0. Hanapin ang halaga ng derivative ng function na f (x) sa puntong x 0.

Isaalang-alang ang mga puntos A (0; 3) at B (3; 0), hanapin ang mga increment:
Δx = x 2 - x 1 = 3 - 0 = 3; Δy = y 2 - y 1 = 0 - 3 = −3.

Ngayon nakita natin ang halaga ng derivative: D = Δy / Δx = −3/3 = −1.

Gawain. Ipinapakita ng figure ang graph ng function na y = f (x) at ang tangent dito sa puntong may abscissa x 0. Hanapin ang halaga ng derivative ng function na f (x) sa puntong x 0.

Isaalang-alang ang mga puntos A (0; 2) at B (5; 2) at hanapin ang mga increment:
Δx = x 2 - x 1 = 5 - 0 = 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Nananatili itong hanapin ang halaga ng derivative: D = Δy / Δx = 0/5 = 0.

Mula sa huling halimbawa, maaari tayong magbalangkas ng isang panuntunan: kung ang tangent ay parallel sa OX axis, ang derivative ng function sa punto ng tangency ay zero. Sa kasong ito, hindi mo na kailangang magbilang ng anuman - tingnan lamang ang tsart.

Kinakalkula ang maximum at minimum na mga puntos

Minsan, sa halip na isang graph ng isang function, sa Problema B9, isang graph ng derivative ang ibinibigay at ito ay kinakailangan upang mahanap ang maximum o minimum na punto ng function. Sa sitwasyong ito, ang dalawang-puntong pamamaraan ay walang silbi, ngunit may isa pa, kahit na mas simpleng algorithm. Una, tukuyin natin ang terminolohiya:

1. Ang isang punto x 0 ay tinatawag na pinakamataas na punto ng function na f (x) kung sa ilang kapitbahayan ng puntong ito ay mayroong sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay: f (x 0) ≥ f (x).
2. Ang isang puntong x 0 ay tinatawag na pinakamababang punto ng function na f (x) kung sa ilang kapitbahayan ng puntong ito ay mayroong sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay: f (x 0) ≤ f (x).

Upang mahanap ang maximum at minimum na puntos sa graph ng derivative, sapat na upang isagawa ang mga sumusunod na hakbang:

1. I-redraw ang graph ng derivative, na inaalis ang lahat ng hindi kinakailangang impormasyon. Tulad ng ipinapakita ng kasanayan, ang hindi kinakailangang data ay nakakasagabal lamang sa solusyon. Samakatuwid, minarkahan namin ang mga zero ng derivative sa coordinate axis - iyon lang.
2. Alamin ang mga palatandaan ng derivative sa pagitan ng mga zero. Kung sa ilang punto x 0 ay kilala na ang f '(x 0) ≠ 0, kung gayon dalawang opsyon lamang ang posible: f' (x 0) ≥ 0 o f '(x 0) ≤ 0. Ang tanda ng derivative ay maaaring madaling matukoy mula sa unang pagguhit: kung ang graph ng derivative ay nasa itaas ng OX axis, kung gayon ang f '(x) ≥ 0. At kabaliktaran, kung ang graph ng derivative ay nasa ibaba ng OX axis, pagkatapos ay f' (x ) ≤ 0.
3. Suriin muli ang mga zero at palatandaan ng derivative. Kung saan nagbabago ang sign mula minus hanggang plus, mayroong pinakamababang punto. Sa kabaligtaran, kung ang tanda ng derivative ay nagbabago mula sa plus hanggang minus, ito ang pinakamataas na punto. Ang pagbibilang ay palaging isinasagawa mula kaliwa hanggang kanan.

Gumagana lamang ang scheme na ito para sa tuluy-tuloy na mga function - walang iba sa problema B9.

Gawain. Ipinapakita ng figure ang graph ng derivative ng function na f (x) na tinukoy sa segment [−5; 5]. Hanapin ang pinakamababang punto ng function na f (x) sa segment na ito.

Alisin natin ang hindi kinakailangang impormasyon - iiwan lamang natin ang mga hangganan [−5; 5] at mga zero ng derivative na x = −3 at x = 2.5. Tandaan din ang mga palatandaan:

Malinaw, sa puntong x = −3 ang tanda ng derivative ay nagbabago mula minus hanggang plus. Ito ang pinakamababang punto.

Gawain. Ipinapakita ng figure ang graph ng derivative ng function na f (x), na tinukoy sa segment [−3; 7]. Hanapin ang pinakamataas na punto ng function na f (x) sa segment na ito.

I-redraw natin ang graph, na iiwan lamang ang mga hangganan [−3; 7] at ang mga zero ng derivative x = −1.7 at x = 5. Pansinin ang mga palatandaan ng derivative sa resultang graph. Meron kami:

Malinaw, sa puntong x = 5 ang tanda ng derivative ay nagbabago mula plus hanggang minus - ito ang pinakamataas na punto.

Gawain. Ipinapakita ng figure ang graph ng derivative ng function na f (x) na tinukoy sa segment [−6; 4]. Hanapin ang bilang ng pinakamataas na puntos ng function na f (x) na kabilang sa segment [−4; 3].

Kasunod nito mula sa pahayag ng problema na sapat na upang isaalang-alang lamang ang bahagi ng graph na nililimitahan ng segment [−4; 3]. Samakatuwid, bumuo kami ng bagong tsart, kung saan minarkahan lamang namin ang mga hangganan [−4; 3] at ang mga zero ng derivative sa loob nito. Ibig sabihin, ang mga puntos na x = −3.5 at x = 2. Nakukuha namin ang:

Ang graph na ito ay mayroon lamang isang pinakamataas na punto x = 2. Sa puntong ito na ang tanda ng derivative ay nagbabago mula plus hanggang minus.

Isang mabilis na tala sa mga puntos na may mga non-integer na coordinate. Halimbawa, sa huling problema ang punto ay itinuturing na x = −3.5, ngunit maaari mo ring kunin ang x = −3.4. Kung ang problema ay nabuo nang tama, ang mga pagbabagong ito ay hindi dapat makaapekto sa sagot, dahil ang mga puntong "walang tiyak na tirahan" ay hindi direktang nakikilahok sa paglutas ng problema. Siyempre, hindi gagana ang trick na ito sa mga integer point.

Paghahanap ng mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng mga function

Sa ganoong problema, tulad ng maximum at minimum na mga puntos, iminungkahi na hanapin ang mga rehiyon kung saan ang mismong function ay tumataas o bumababa mula sa derivative graph. Una, tukuyin natin kung ano ang tumataas at bumababa:

1. Ang function na f (x) ay tinatawag na pagtaas sa isang segment kung para sa alinmang dalawang puntos x 1 at x 2 mula sa segment na ito ang sumusunod na pahayag ay totoo: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≤ f (x 2). Sa madaling salita, mas malaki ang halaga ng argumento, mas malaki ang halaga ng function.
2. Ang isang function na f (x) ay tinatawag na bumababa sa isang segment kung para sa alinmang dalawang puntos x 1 at x 2 mula sa segment na ito ang sumusunod na pahayag ay totoo: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≥ f (x 2). Yung. mas malaki ang value ng argument, mas maliit ang value ng function.

Bumuo tayo ng sapat na mga kondisyon para sa pagtaas at pagbaba:

1. Para sa isang tuluy-tuloy na function na f (x) na tumaas sa isang segment, sapat na ang derivative nito sa loob ng segment ay positibo, i.e. f '(x) ≥ 0.
2. Para bumaba ang tuluy-tuloy na function na f (x) sa isang segment, sapat na ang derivative nito sa loob ng segment ay negatibo, i.e. f '(x) ≤ 0.

Tanggapin natin ang mga pahayag na ito nang walang patunay. Kaya, nakakakuha kami ng isang pamamaraan para sa paghahanap ng mga pagitan ng pagtaas at pagbaba, na sa maraming paraan ay katulad ng algorithm para sa pagkalkula ng mga extremum na puntos:

1. Alisin ang lahat ng hindi kinakailangang impormasyon. Sa orihinal na plot ng derivative, pangunahing interesado kami sa mga zero ng function, kaya iiwan lang namin ang mga ito.
2. Pansinin ang mga palatandaan ng derivative sa pagitan ng mga zero. Kung saan ang f '(x) ≥ 0, ang function ay tumataas, at kung saan ang f' (x) ≤ 0, ay bumababa. Kung ang problema ay may mga paghihigpit sa variable na x, minarkahan din namin sila sa bagong graph.
3. Ngayon na alam na natin ang pag-uugali ng function at ang pagpilit, nananatili itong kalkulahin ang halaga na kinakailangan sa problema.

Gawain. Ipinapakita ng figure ang graph ng derivative ng function na f (x), na tinukoy sa segment [−3; 7.5]. Hanapin ang mga pagitan ng pagbaba ng function na f (x). Sa iyong sagot, ipahiwatig ang kabuuan ng mga integer na kasama sa mga pagitan na ito.

Gaya ng dati, muling iguhit ang graph at markahan ang mga hangganan [−3; 7.5], pati na rin ang mga zero ng derivative na x = −1.5 at x = 5.3. Pagkatapos ay markahan namin ang mga palatandaan ng derivative. Meron kami:

Dahil ang derivative ay negatibo sa pagitan (- 1.5), ito ang pagitan ng pagpapababa ng function. Ito ay nananatiling buod ng lahat ng mga integer na nasa loob ng agwat na ito:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Gawain. Ipinapakita ng figure ang graph ng derivative ng function na f (x), na tinukoy sa segment [−10; 4]. Hanapin ang mga pagitan ng pagtaas ng function na f (x). Sa sagot, ipahiwatig ang haba ng pinakamahaba sa kanila.

Alisin natin ang hindi kinakailangang impormasyon. Iwanan lamang ang mga hangganan [−10; 4] at ang mga zero ng derivative, na sa pagkakataong ito ay naging apat: x = −8, x = −6, x = −3 at x = 2. Pansinin ang mga palatandaan ng derivative at kunin ang sumusunod na larawan:

Interesado kami sa mga pagitan ng pagtaas ng function, i.e. ganyan, kung saan ang f '(x) ≥ 0. Mayroong dalawang ganoong pagitan sa graph: (−8; −6) at (−3; 2). Kalkulahin natin ang kanilang mga haba:
l 1 = - 6 - (−8) = 2;
l 2 = 2 - (−3) = 5.

Dahil kinakailangan upang mahanap ang haba ng pinakamalaki sa mga pagitan, sa sagot ay isusulat namin ang halaga l 2 = 5.