ДЕФИНИЦИЈА

Стабилна рамнотежа- ова е рамнотежа во која телото, извадено од позиција на рамнотежа и оставено само на себе, се враќа во претходната положба.

Ова се случува ако, со мало поместување на телото во која било насока од почетната положба, резултатот на силите што дејствуваат на телото стане ненула и е насочен кон положбата на рамнотежа. На пример, топка што лежи на дното на сферична вдлабнатина (сл. 1 а).

ДЕФИНИЦИЈА

Нестабилна рамнотежа- ова е рамнотежа во која телото, извадено од рамнотежна положба и оставено само на себе, уште повеќе ќе отстапува од положбата на рамнотежа.

Во овој случај, со мало поместување на телото од положбата на рамнотежа, резултатот на силите што се применуваат на него е ненула и е насочен од положбата на рамнотежа. Пример е топка која се наоѓа на врвот на конвексна сферична површина (сл. 1 б).

ДЕФИНИЦИЈА

Рамнодушен баланс- ова е рамнотежа во која телото, извадено од позиција на рамнотежа и оставено само на себе, не ја менува својата положба (состојба).

Во овој случај, при мали поместувања на телото од почетната положба, резултатот на силите што се применуваат на телото останува еднаков на нула. На пример, топка што лежи на рамна површина (слика 1, в).

Сл. 1. Различни видови на телесна рамнотежа на потпора: а) стабилна рамнотежа; б) нестабилна рамнотежа; в) индиферентна рамнотежа.

Статичка и динамичка рамнотежа на телата

Ако, како резултат на дејството на силите, телото не добие забрзување, може да биде во мирување или да се движи рамномерно во права линија. Затоа, можеме да зборуваме за статична и динамичка рамнотежа.

ДЕФИНИЦИЈА

Статичка рамнотежа- ова е таква рамнотежа кога, под дејство на применетите сили, телото е во мирување.

Динамична рамнотежа- ова е таква рамнотежа кога, под дејство на сили, телото не го менува своето движење.

Во состојба на статичка рамнотежа има фенер кој е суспендиран на кабли, која било градежна структура. Како пример за динамичка рамнотежа, можеме да земеме тркало што се тркала на рамна површина во отсуство на сили на триење.

Главните типови на рамнотежни точки

Нека е даден линеарен хомоген систем од втор ред со константни коефициенти: \ [\ лево \ (\ започне (низа) (l) \ frac ((dx)) ((dt)) = (a_ (11)) x + ( a_ (12 )) y \\ \ frac ((dy)) ((dt)) = (a_ (21)) x + (a_ (22)) y \ крај (низа) \ десно .. \] Овој систем на равенки е автономна, бидејќи десните страни на равенките не ја содржат експлицитно независната променлива \ (t. \)

Во форма на матрица, системот на равенки е напишан како \ [(\ mathbf (X ") = A \ mathbf (X), \; \; \ текст (каде) \; \; \ mathbf (X) = \ лево ( (\ започне ( низа) (* (20) (в)) x \\ y \ крај (низа)) \ десно),) \; \; (A = \ лево ((\ започне (низа) (* (20 ) (в) ) ((a_ (11))) & ((a_ (12))) \\ ((a_ (21))) & ((a_ (22))) \ крај (низа)) \ десно) .) \] Положбите на рамнотежа се наоѓаат од решението на стационарната равенка \ Оваа равенка има единствено решение \ (\ mathbf (X) = \ mathbf (0), \) ако матрицата \ (A \) е недегенериран , т.е. под услов \ (\ det A \ ne 0. \) Во случај дегенерирана матрица системот има бесконечен сет на точки на рамнотежа.

Се одредува класификацијата на рамнотежни позиции сопствени вредности \ ((\ ламбда _1), (\ ламбда _2) \) матрици \ (А. \) Броевите \ ((\ ламбда _1), (\ ламбда _2) \) се пронајдени од решението карактеристична равенка \ [(\ ламбда ^ 2) - \ лево (((a_ (11)) + (a_ (22))) \ десно) \ ламбда + (a_ (11)) (a_ (22)) - (a_ (12 )) (a_ (21)) = 0. \] Во општиот случај, кога матрицата \ (A \) не е дегенерирана, постојат \ (4 \) различни типови на точки на рамнотежа:

Се одредува стабилноста на рамнотежните позиции теореми за општа стабилност... Значи, ако реалните сопствени вредности (или реални делови од сложени сопствени вредности) се негативни, тогаш точката на рамнотежа е асимптотички стабилен ... Примери за такви рамнотежни позиции се и стабилен фокус .

Ако реалниот дел од барем една сопствена вредност е позитивен, тогаш соодветната рамнотежна позиција е нестабилна ... На пример, може да биде.

Конечно, во случај на чисто имагинарни корени (точката на рамнотежа е центар) имаме работа со класика стабилност во смисла на Љапунов .

Нашата следна цел е да го проучуваме однесувањето на решенијата во близина на рамнотежни позиции. За системи од \ (2 \)-ти ред, погодно е да се направи ова графички користејќи фазен портрет , која е колекција фазни траектории на координатната рамнина. Стрелките на фазните траектории ја покажуваат насоката на движење на точката (т.е. некоја специфична состојба на системот) со текот на времето.

Да го разгледаме подетално секој тип на точка на рамнотежа и соодветните фазни портрети.

Стабилен и нестабилен јазол

Сопствените вредности \ (((\ lambda _1), (\ lambda _2)) \) точките од типот "јазол" ги задоволуваат следните услови: \ [(\ lambda _1), (\ lambda _2) \ во \ Re , \; \; ( \ lambda _1) \ cdot (\ lambda _2)> 0. \] Може да се појават следните посебни случаи.

Корените \ (((\ ламбда _1), (\ ламбда _2)) \) се различни \ (\ лево (((\ ламбда _1) \ ne (\ ламбда _2)) \ десно) \) и негативни \ (\ лево ((\ ламбда _1)
Ајде да конструираме шематски фазен портрет на таква точка на рамнотежа. Нека, за дефинитивно, \ (\ лево | ((\ ламбда _1)) \ десно |
Бидејќи и двете сопствени вредности се негативни, решението \ (\ mathbf (X) = \ mathbf (0) \) е асимптотички стабилен ... Оваа рамнотежна позиција се нарекува стабилен јазол ... Како \ (t \ до \ infty \), фазните криви се склони кон потеклото \ (\ mathbf (X) = \ mathbf (0). \)

Дозволете ни да ја одредиме насоката на траекториите на фазите. Бидејќи \ [(x \ лево (t \ десно) = (C_1) (V_ (11)) (e ^ ((\ ламбда _1) t)) + (C_2) (V_ (12)) (e ^ ((\ ламбда _2) т))) \; \; (y \ лево (t \ десно) = (C_1) (V_ (21)) (e ^ ((\ ламбда _1) t)) + (C_2) (V_ (22)) (e ^ ((\ ламбда _2) t)),) \] тогаш дериватот \ (\ large \ frac ((dy)) ((dx)) \ normalsize \) е \ [\ frac ((dy)) ((dx)) = \ frac (( ( C_1) (V_ (21)) (\ ламбда _1) (e ^ ((\ ламбда _1) t)) + (C_2) (V_ (22)) (\ ламбда _2) (e ^ ((\ ламбда _2) т )))) (((C_1) (V_ (11)) (\ ламбда _1) (е ^ ((\ ламбда _1) т)) + (C_2) (V_ (12)) (\ ламбда _2) (д ^ ((\ lambda _2) t)))). \] Поделете ги броителот и именителот со \ (((e ^ ((\ lambda _1) t))): \) \ [\ frac ((dy)) ( (dx )) = \ frac (((C_1) (V_ (21)) (\ ламбда _1) + (C_2) (V_ (22)) (\ ламбда _2) (e ^ (\ лево (((\ ламбда _2 ) - (\ ламбда _1)) \ десно) т)))) (((C_1) (V_ (11)) (\ ламбда _1) + (C_2) (V_ (12)) (\ ламбда _2) (е ^ (\ лево (((\ ламбда _2) - (\ ламбда _1)) \ десно) т)))). \] Во овој случај \ ((\ ламбда _2) - (\ ламбда _1)
Во случај \ ((C_1) = 0 \) изводот за кој било \ (t \) е \ [\ frac ((dy)) ((dx)) = \ frac (((V_ (22)))) ( (( V_ (12)))), \] т.е Фазната траекторија лежи на права линија насочена долж сопствениот вектор \ ((\ mathbf (V) _2). \)

Сега разгледајте го однесувањето на фазните траектории за \ (t \ до - \ infty. \) Очигледно, координатите \ (x \ лево (t \ десно), y \ лево (t \ десно) \) имаат тенденција кон бесконечност, и дериватот \ ( \ large \ frac ((dy)) ((dx)) \ normalsize \) со \ ((C_2) \ ne 0 \) ја има следната форма: \ [\ frac ((dy)) ((dx )) = \ фрак (((C_1) (V_ (21)) (\ ламбда _1) (е ^ (\ лево (((\ ламбда _1) - (\ ламбда _2)) \ десно) т)) + (C_2 ) (V_ (22 )) (\ ламбда _2))) (((C_1) (V_ (11)) (\ ламбда _1) (е ^ (\ лево (((\ ламбда _1) - (\ ламбда _2)) \ десно) t) ) + (C_2) (V_ (12)) (\ ламбда _2))) = \ frac (((V_ (22)))) (((V_ (12)))), \] т.е. фазните криви на бесконечност стануваат паралелни со векторот \ ((\ mathbf (V) _2). \)

Според тоа, за \ ((C_2) = 0 \) изводот е \ [\ frac ((dy)) ((dx)) = \ frac (((V_ (21)))) (((V_ (11)) ) ).\] Во овој случај, траекторијата на фазата се одредува според насоката на сопствениот вектор \ ((\ mathbf (V) _1). \)

Земајќи ги предвид разгледаните својства на фазните траектории, фазниот портрет стабилен јазол ја има формата прикажана шематски на сликата \ (1. \)

Слично на тоа, може да се проучи однесувањето на фазните траектории за други типови на рамнотежни позиции. Понатаму, испуштајќи ја деталната анализа, да ги спроведеме главните квалитативни карактеристики на другите точки на рамнотежа.

Корените \ (((\ ламбда _1), (\ ламбда _2)) \) се различни \ (\ лево (((\ ламбда _1) \ ne (\ ламбда _2)) \ десно) \) и се позитивни \ ( \ лево (((\ ламбда _1)> 0, (\ ламбда _2))> 0 \ десно). \)
Во овој случај, точката \ (\ mathbf (X) = \ mathbf (0) \) се нарекува нестабилен јазол ... Нејзиниот фазен портрет е прикажан на сликата \ (2. \)

Забележете дека и во случај на стабилен и нестабилен јазол, фазните траектории се тангентни на права линија, која е насочена долж сопствениот вектор што одговара на помалата сопствена вредност во апсолутна вредност \ (\ ламбда. \)

Дистописки јазол

Нека карактеристичната равенка има еден нула корен на множина \ (2, \) т.е. разгледај го случајот \ ((\ ламбда _1) = (\ ламбда _2) = (\ ламбда) \ ne 0. \) Во овој случај, системот има основа од два сопствени вектори, т.е. геометриската множина на сопствената вредност \ (\ ламбда \) е \ (2. \) Во однос на линеарната алгебра, тоа значи дека димензијата на сопствениот простор на матрицата \ (A \) е \ (2: \) \ ( \ dim \ ker A = 2 . \) Оваа ситуација се реализира во системи како \ [(\ frac ((dx)) ((dt)) = \ lambda x,) \; \; (\ frac ((dy)) ((dt)) = \ lambda y.) \] Насоката на фазните траектории зависи од знакот \ (\ lambda. \) Следниве два случаи се можни овде:

Случај \ ((\ ламбда _1) = (\ ламбда _2) = (\ ламбда) Оваа рамнотежа се нарекува стабилен дикритички јазол (слика \ (3 \)).

Случај \ ((\ ламбда _1) = (\ ламбда _2) = (\ ламбда)> 0. \)Оваа комбинација на сопствени вредности одговара на нестабилен дикритичен јазол (слика \ (4 \)).

Дегенериран јазол

Нека сопствените вредности на матрицата \ (A \) се совпаѓаат повторно: \ ((\ ламбда _1) = (\ ламбда _2) = (\ ламбда) \ ne 0. \) За разлика од претходниот случај на дикритичен јазол , претпоставуваме дека геометриската мноштво на вредностите на сопствената вредност (или со други зборови, димензијата на сопствениот потпростор) сега е \ (1. \) Ова значи дека матрицата \ (A \) има само еден сопствен вектор \ ( (\ mathbf (V) _1). \) Вториот линеарно независен вектор, потребен за составување на основата, е дефиниран како вектор \ ((\ mathbf (W) _1), \) додаден на \ ((\ mathbf (V ) _1). \)

Во случај \ ((\ ламбда _1) = (\ ламбда _2) = (\ ламбда) точката на рамнотежа се нарекува стабилен дегенериран јазол (слика \ (5 \)).

За \ ((\ ламбда _1) = (\ ламбда _2) = (\ ламбда)> 0 \)се нарекува рамнотежна положба нестабилен дегенериран јазол (цртеж \ (6 \)).

Позицијата на рамнотежа е под условите \ [(\ ламбда _1), (\ ламбда _2) \ во \ Re, \; \; (\ ламбда _1) \ cdot (\ ламбда _2) 0. \) Сопствени вредности \ ( (\ ламбда _1) \) и \ ((\ ламбда _2) \) се поврзани со соодветните сопствени вектори \ ((\ mathbf (V) _1) \) и \ ((\ mathbf (V) _2). \) Линии насочени долж сопствени вектори векторите \ ((\ mathbf (V) _1), \) \ ((\ mathbf (V) _2), \) се нарекуваат сепаратици ... Тие се асимптоти за преостанатите фазни траектории, кои имаат форма на хиперболи. Секој од сепаратрите може да се поврзе со одредена насока на движење. Ако сепаратриксот е поврзан со негативна сопствена вредност \ ((\ ламбда _1) 0, \) т.е. за сепаратриксот поврзан со векторот \ ((\ mathbf (V) _2), \) движењето е насочено од потеклото. Фазниот портрет на седлото е шематски прикажан на сликата \ (7. \)

Стабилен и нестабилен фокус

Сега нека бидат сопствените вредности \ ((\ ламбда _1), (\ ламбда _2) \) сложени броеви , чиишто реални делови не се еднакви на нула. Ако матрицата \ (A \) се состои од реални броеви, тогаш сложените корени ќе бидат претставени како комплексен конјугат броеви: \ [(\ ламбда _ (1,2)) = \ алфа \ pm i \ бета. Ајде да конструираме сложено решение \ ((\ mathbf (X) _1) \ лево (t \ десно) \) што одговара на сопствената вредност \ ((\ ламбда _1) = \ алфа + i \ бета: \) \ [((\ mathbf (X) _1) \ лево (t \ десно) = (e ^ ((\ ламбда _1) t)) (\ mathbf (V) _1)) = ((e ^ (\ лево ((\ алфа + i \ бета) \ десно) t)) \ лево ((\ mathbf (U) + i \ mathbf (W)) \ десно),) \] каде \ ((\ mathbf (V) _1) = \ mathbf (U) + i \ mathbf (W) \) е сопствен вектор со сложена вредност поврзан со бројот \ ((\ ламбда _1), \) \ (\ mathbf (U) \) и \ (\ mathbf (W) \) се реални вектори функции. Како резултат на трансформациите добиваме \ [((\ mathbf (X) _1) \ лево (t \ десно) = (e ^ (\ алфа t)) (e ^ (i \ бета t)) \ лево (( \ mathbf (U ) + i \ mathbf (Ш)) \ десно)) = ((е ^ (\ алфа t)) \ лево ((\ cos \ бета t + i \ грев \ бета т) \ десно) \ лево ((\ mathbf (U) + i \ mathbf (Ш)) \ десно)) = ((e ^ (\ алфа t)) \ лево ((\ mathbf (U) \ cos \ бета t + i \ mathbf (U ) \ sin \ бета t + i \ mathbf (W) \ cos \ бета t - \ mathbf (W) \ sin \ бета t) \ десно)) = ((e ^ (\ алфа t)) \ лево ((\ mathbf (U) \ cos \ бета t + - \ mathbf (W) \ sin \ бета t) \ десно)) + (i (e ^ (\ алфа t)) \ лево ((\ mathbf (U) \ sin \ бета t + \ mathbf (W) \ cos \ бета t) \ десно).) \] Реалните и имагинарните делови во последниот израз го формираат општото решение на системот, кое изгледа вака: \ [(\ mathbf (X) \ лево (t \ десно) = ( C_1) \ текст (Re) \ лево [((\ mathbf (X) _1) \ лево (t \ десно)) \ десно] + (C_2) \ текст (Im) \ лево [((\ mathbf (X) _1 ) \ лево (t \ десно)) \ десно]) = ((e ^ (\ алфа t)) \ лево [((C_1) \ лево ((\ mathbf (U) \ cos \ бета t - \ mathbf (W ) \ sin \ бета t) \ десно)) \ десно.) + (\ лево. ((C_2) \ лево ((\ mathbf (U) \ sin \ бета t + \ mathbf (Ш) \ cos \ бета t) \ десно) ) \ десно]) = ((е ^ (\ алфа t)) \ лево [(\ mathbf (U) \ лево (((C_1) \ cos \ бета t + (C_2) \ грев \ бета т) \ десно) ) \ нели. ) + (\ лево. (\ mathbf (W) \ лево (((C_2) \ cos \ бета t - (C_1) \ sin \ бета t) \ десно)) \ десно].) \] Претставувајте ги константите \ ( ( C_1), (C_2) \) во форма \ [(C_1) = C \ sin \ delta, \; \; (C_2) = C \ cos \ delta, \] каде \ (\ delta \) е некоја помошна агол. Тогаш решението е напишано како \ [(\ mathbf (X) \ лево (t \ десно) = C (e ^ (\ алфа t)) \ лево [(\ mathbf (U) \ лево ((\ sin \ delta \ cos \ бета t + \ cos \ делта \ грев \ бета т) \ десно)) \ десно.) + (\ лево. (\ mathbf (W) \ лево (\ cos \ делта \ cos \ бета t - \ sin \ делта \ sin \ бета т) \ десно)) \ десно]) = (C (e ^ (\ алфа t)) \ лево [(\ mathbf (U) \ sin \ лево ((\ бета t + \ делта) \ десно )) \ десно. + \ лево. (\ mathbf (W) \ cos \ лево ((\ бета t + \ delta) \ десно)) \ десно].) \] Значи решението е \ (\ mathbf ( X) \ лево (t \ десно) \) се проширува во основата дадена со векторите \ (\ mathbf (U) \) и \ (\ mathbf (W): \) \ [\ mathbf (X) \ лево ( t \ десно) = \ mu \ лево (t \ десно) \ mathbf (U) + \ eta \ лево (t \ десно) \ mathbf (W), \] каде што коефициентите на проширување \ (\ mu \ лево (t \ десно), \) \ (\ eta \ лево (t \ десно) \) се дефинирани со формулите: \ [(\ mu \ лево (t \ десно) = C (e ^ (\ алфа t)) \ sin \ лево ((\ бета t + \ делта ) \ десно),) \; \; (\ eta \ лево (t \ десно) = C (e ^ (\ алфа t)) \ cos \ лево ((\ бета t + \ делта) \ десно). ) \] Ова покажува дека фазните траектории се спирали. За \ (\ алфа стабилен фокус... Според тоа, за \ (\ алфа> 0 \) имаме непостојан фокус .

Насоката на извртување на спиралите може да се определи со знакот на коефициентот \ ((a_ (21)) \) во оригиналната матрица \ (A. \) Навистина, земете го во предвид дериватот \ (\ large \ frac ((dy )) ((dt)) \ нормална големина, \) на пример, во точка \ (\ лево ((1,0) \ десно): \) \ [\ frac ((dy)) ((dt)) \ лево ( (1,0) \ десно) = (a_ (21)) \ cdot 1 + (a_ (22)) \ cdot 0 = (a_ (21)). \] Позитивен фактор \ ((a_ (21))> 0 \) одговара на спирала спротивно од стрелките на часовникот како што е прикажано на сликата \ (8. \) За \ ((a_ (21))
Така, земајќи ја предвид насоката на извртување на спиралите, постојат \ (4 \) различни типови на фокус. Тие се прикажани шематски на сликите \ (8-11. \)

Ако сопствените вредности на матрицата \ (A \) се имагинарни броеви, тогаш оваа рамнотежа се нарекува центар... За матрица со реални елементи, имагинарните сопствени вредности ќе бидат сложени конјугирани. Во случајот на центарот, фазните траектории формално се добиваат од спиралната равенка за \ (\ алфа = 0 \) и се елипси, т.е. опишете го периодичното движење на точка на фазната рамнина. Рамнотежните позиции од типот „центар“ се стабилни на Љапунов.

Постојат два вида центар, кои се разликуваат во насоката на движење на точките (слики \ (12, 13 \)). Како и во случајот со спиралите, насоката на движење може да се одреди, на пример, со знакот на дериватот \ (\ large \ frac ((dy)) ((dt)) \ normalsize \) во одреден момент. Ако ја земеме точката \ (\ лево ((1,0) \ десно), \) тогаш \ [\ frac ((dy)) ((dt)) \ лево ((1,0) \ десно) = (a_ (21 )). \] т.е насоката на ротација се одредува со знакот на коефициентот \ ((a_ (21)). \)

Значи, разгледавме различни видови точки на рамнотежа во случајот недегенерирана матрица \ (A \) \ (\ лево ((\ det A \ ne 0) \ десно). \) Имајќи ја предвид насоката на фазните траектории, има \ (13 \) различни фазни портрети прикажани, соодветно, во бројки \ (1- 13.\)

Сега да се свртиме кон случајот дегенерирана матрица \ (А. \)

Дегенерирана матрица

Ако матрицата е дегенерирана, тогаш едната или двете нејзини сопствени вредности се еднакви на нула. Во овој случај, можни се следниве посебни случаи:

Случај \ ((\ ламбда _1) \ не 0, (\ ламбда _2) = 0 \).
Овде општото решение е напишано како \ [\ mathbf (X) \ лево (t \ десно) = (C_1) (e ^ ((\ ламбда _1) t)) (\ mathbf (V) _1) + (C_2) ( \ mathbf (V) _2), \] каде \ ((\ mathbf (V) _1) = (\ лево (((V_ (11)), (V_ (21))) \ десно) ^ T), \) \ ((\ mathbf (V) _2) = (\ лево (((V_ (12)), (V_ (22))) \ десно) ^ T), \) се сопствени вектори кои одговараат на броевите \ ((\ ламбда _1 ) \) и \ ((\ ламбда _2). \) Излегува дека во овој случај целата линија што минува низ потеклото и е насочена по векторот \ ((\ mathbf (V) _2), \) се состои од точки на рамнотежа (овие точки немаат посебно име). Фазните траектории се зраци паралелни на друг сопствен вектор \ ((\ mathbf (V) _1). насока на правата линија \ ((\ mathbf (V) _2) \) (сл. \ (14 \)), или од неа (сл. \ (15 \)). Случај \ ((\ ламбда _1) = (\ ламбда _2) = 0, \ dim \ ker A = 2. \)
Во овој случај, димензијата на сопствениот простор на матрицата е \ (2 \) и, според тоа, постојат два сопствени вектори \ ((\ mathbf (V) _1) \) и \ ((\ mathbf (V) _2 ).\) Таквата ситуација е можна при нулта матрица \ (A. \) Општото решение се изразува со формулата \ [\ mathbf (X) \ лево (t \ десно) = (C_1) (\ mathbf (V) _1) + (C_2) (\ mathbf (V) _2).\ ] Следи дека која било точка на рамнината е рамнотежна положба на системот.

Случај \ ((\ ламбда _1) = (\ ламбда _2) = 0, \ dim \ ker A = 1. \)
Овој случај на дегенерирана матрица се разликува од претходниот по тоа што има само \ (1 \) сопствен вектор (Матрицата \ (A \) ќе биде не-нула). За да изградиме основа, како втор линеарно независен вектор, можеме да го земеме векторот \ ((\ mathbf (W) _1), \) прикачен на \ ((\ mathbf (V) _1). \) Општото решение на системот е напишан како \ [\ mathbf (X) \ лево (t \ десно) = \ лево ((C_1) + (C_2) t) \ десно) (\ mathbf (V) _1) + (C_2) (\ mathbf (Ш) _1).\] Овде сите точки на правата линија што минува низ потеклото и насочени долж сопствениот вектор \ ((\ mathbf (V) _1), \) се нестабилни рамнотежни позиции. Фазните траектории се прави линии паралелни на \ ((\ mathbf (V) _1). \) Насоката на движење по овие прави линии за \ (t \ до \ infty \) зависи од константата \ ((C_2): \ ) за \ (( C_2) 0 \) - во спротивна насока (сл. \ (16 \)).

Потсетете се на тоа проследено со матрица наречен број еднаков на збирот на дијагоналните елементи: \ [(A = \ лево ((\ започне (низа) (* (20) (c)) ((a_ (11))) & ((a_ (12)) ) \\ ((a_ (21))) & ((a_ (22))) \ крај (низа)) \ десно),) \; \; (\ текст (tr) \, A = (a_ (11)) + (a_ (22)),) \; \; (\ det A = (a_ (11)) (a_ (22)) - (a_ (12)) (a_ (21)).) \] Навистина, карактеристичната равенка на матрицата ја има следната форма: \ [( \ ламбда ^ 2 ) - \ лево (((a_ (11)) + (a_ (22))) \ десно) \ ламбда + (a_ (11)) (a_ (22)) - (a_ (12)) ( a_ (21) ) = 0. \] Може да се напише во однос на детерминантата и трагата на матрицата: \ [(\ lambda ^ 2) - \ text (tr) \, A \ cdot \ ламбда + \ det A = 0. \] Дискриминантата на оваа квадратна равенка се определува со релацијата \ Така, бифуркациона крива , разграничувајќи различни режими на стабилност, е парабола на рамнината \ (\ лево ((\ текст (tr) \, A, \ det A) \ десно) \) (сл. \ (17 \)): \ [\ det A = (\ лево ((\ frac (\ текст (tr) \, A) (2)) \ десно) ^ 2). \] Над параболата се точките на рамнотежа на фокусот и центарот. Точките од типот „центар“ се наоѓаат на позитивната полуоска \ (Oy, \) т.е. под услов \ (\ text (tr) \, A = 0. \) Под параболата има точки од типот „јазол“ или „седло“. Самата парабола содржи дикритични или дегенерирани јазли.

Стабилни начини на движење постојат во горниот лев квадрант на дијаграмот за бифуркација. Останатите три квадранти одговараат на нестабилни рамнотежни позиции.

Алгоритам за изградба на фазен портрет

Шематски да се конструира фазен портрет на линеарен автономен систем од \ (2 \)-ти ред со константни коефициенти \ [(\ mathbf (X") = A \ mathbf (X),) \; \; (A = \ лево ( (\ започне (низа) (* (20) (в)) ((a_ (11))) & ((a_ (12))) \\ ((a_ (21))) и ((a_ (22)) ) \ крај (низа)) \ десно),) \; \; (\ mathbf (X) = \ лево ((\ почеток (низа) (* (20) (в)) x \\ y \ крај (низа) ) \ десно )) \] треба да го направите следново:

Најдете ги сопствените вредности на матрицата со решавање на карактеристичната равенка \ [(\ ламбда ^ 2) - \ лево (((a_ (11)) + (a_ (22))) \ десно) \ ламбда + (a_ (11 )) (a_ (22)) - (a_ (12)) (a_ (21)) = 0. \]

Определете го типот на рамнотежна положба и природата на стабилноста.

Забелешка: Типот на рамнотежна позиција може да се одреди и врз основа на дијаграмот на бифуркација (сл. \ (17 \)), знаејќи ја трагата и детерминантата на матрицата: \ [(\ текст (tr) \, A = (a_ ( 11)) + (a_ (22)),) \; \; (\ det A = \ лево | (\ започне (низа) (* (20) (c)) ((a_ (11))) & ((a_ (12))) \\ ((a_ (21))) & ((a_ (22))) \ крај (низа)) \ десно |) = ((a_ (11)) (a_ (22)) - (a_ (12)) (a_ (21)).) \]

Најдете ја равенката изоклина: \ [(\ frac ((dx)) ((dt)) = (a_ (11)) x + (a_ (12)) y) \; \; (\ лево (\ текст (вертикална изоклина) \ десно),) \] \ [(\ frac ((dy)) ((dt)) = (a_ (21)) x + (a_ (22)) y) \ \; (\ лево (\ текст (хоризонтална изоклина) \ десно).) \]

Ако положбата на рамнотежа е јазолили, тогаш е потребно да се пресметаат сопствените вектори и да се нацртаат паралелни асимптоти со нив кои минуваат низ потеклото.

Скицирајте го фазниот портрет.

Покажете ја насоката на движење по должината на фазните траектории (зависи од стабилноста или нестабилноста на точката на рамнотежа). Кога фокустреба да се определи насоката на извртување на траекториите. Ова може да се направи со пресметување на векторот на брзина \ (\ left ((\ large \ frac ((dx)) ((dt)) \ normalsize, \ large \ frac ((dy)) ((dt)) \ normalsize) \ десно) \) во произволна точка, на пример, во точката \ (\ лево ((1,0) \ десно). \) Насоката на движење се одредува на сличен начин ако положбата на рамнотежа е центар .

Сите сили што се применуваат на телото во однос на која било произволна оска на ротација се исто така еднакви на нула.

Во состојба на рамнотежа, телото е во мирување (векторот на брзината е нула) во избраната референтна рамка или се движи рамномерно во права линија или ротира без тангенцијално забрзување.

Колегиум YouTube

1 / 3

✪ Физика. Статика: Услови за рамнотежа на телото. Фоксфорд онлајн учење центар

✪ СОСТОЈБА НА ТЕЛОСКА РАМНОСТ 10-то одделение Романов

✪ Лекција 70. Видови рамнотежа. Рамнотежен услов за тело во отсуство на ротација.

Преводи

Дефиниција преку енергијата на системот

Бидејќи енергијата и силите се поврзани со фундаментални односи, оваа дефиниција е еквивалентна на првата. Меѓутоа, дефиницијата во однос на енергијата може да се прошири со цел да се добијат информации за стабилноста на рамнотежната положба.

Видови рамнотежа

Да дадеме пример за систем со еден степен на слобода. Во овој случај, доволен услов за позицијата на рамнотежа ќе биде присуството на локален екстремум во точката што се проучува. Како што е познато, условот за локален екстремум на диференцијабилна функција е еднаквоста на нула на нејзиниот прв извод. За да се утврди кога оваа точка е минимална или максимална, неопходно е да се анализира неговиот втор извод. Стабилноста на позицијата на рамнотежа се карактеризира со следниве опции:

• нестабилна рамнотежа;
• стабилна рамнотежа;
• рамнодушен баланс.

Во случај кога вториот дериват е негативен, потенцијалната енергија на системот е во состојба на локален максимум. Тоа значи дека рамнотежната положба нестабилна... Ако системот е поместен на кратко растојание, тогаш тој ќе продолжи да се движи поради силите што делуваат на системот. Односно, кога телото е неурамнотежено, не се враќа во првобитната положба.

Стабилна рамнотежа

Втор дериват> 0: потенцијална енергија на локален минимум, позиција на рамнотежа стабилно(види Лагранжова теорема за стабилноста на рамнотежа). Ако системот е поместен на кратко растојание, тој ќе се врати во состојба на рамнотежа. Рамнотежата е стабилна ако тежиштето на телото е во најниската положба во споредба со сите можни соседни позиции. Со оваа рамнотежа, неурамнотеженото тело се враќа на првобитното место.

Рамнодушен баланс

Втор дериват = 0: во овој регион, енергијата не варира, а позицијата на рамнотежа е рамнодушен... Ако системот се помести на кратко растојание, тој ќе остане во новата позиција. Ако го отклоните или поместите телото, тоа ќе остане во рамнотежа.

• Видови на одржливост

Делот од механиката во кој се проучуваат условите на рамнотежа на телата се нарекува статика. Од вториот Њутнов закон произлегува дека ако векторскиот збир на сите сили што се применуваат на телото е еднаков на нула, тогаш телото ја задржува својата брзина непроменета. Особено, ако почетната брзина е нула, телото останува во мирување. Условот за непроменливост на брзината на телото може да се напише во форма:

или во проекции на координатните оски:

.

Очигледно, телото може да биде во мирување само во однос на еден специфичен координатен систем. Во статиката, условите на рамнотежа на телата се проучуваат токму во таков систем. Неопходниот услов за рамнотежа може да се добие и со разгледување на движењето на центарот на масата на системот од материјални точки. Внатрешните сили не влијаат на движењето на центарот на масата. Забрзувањето на центарот на масата се определува со векторскиот збир на надворешните сили. Но, ако оваа сума е еднаква на нула, тогаш забрзувањето на центарот на масата и, следствено, брзината на центарот на масата. Ако во почетниот момент, тогаш центарот на масата на телото останува во мирување.

Така, првиот услов за рамнотежа на телата е формулиран на следниов начин: брзината на телото не се менува ако збирот на надворешните сили што се применуваат во секоја точка е еднаков на нула. Добиената состојба на одмор на центарот на масата е неопходен (но недоволен) услов за рамнотежа на круто тело.

Пример

Можеби сите сили што делуваат на телото се избалансирани, но сепак, телото ќе забрза. На пример, ако примените две еднакви и спротивно насочени сили (тие се нарекуваат пар сили) на центарот на масата на тркалото, тогаш тркалото ќе мирува ако неговата почетна брзина е нула. Ако овие сили се применат на различни точки, тогаш тркалото ќе почне да ротира (сл. 4.5). Тоа е затоа што телото е во рамнотежа кога збирот на сите сили е нула во секоја точка од телото. Но, ако збирот на надворешните сили е еднаков на нула, а збирот на сите сили што се применуваат на секој елемент на телото не е еднаков на нула, тогаш телото нема да биде во рамнотежа, можеби (како во разгледуваниот пример) ротационо движење . Така, ако телото може да ротира околу некоја оска, тогаш за неговата рамнотежа не е доволно резултатот на сите сили да биде нула.

За да го добиеме вториот услов за рамнотежа, ја користиме равенката на ротационо движење, каде што е збирот на моментите на надворешните сили во однос на оската на ротација. Кога, тогаш b = 0, што значи дека аголната брзина на телото не се менува. Ако во почетниот момент w = 0, тогаш телото нема да ротира во иднина. Следствено, вториот услов за механичка рамнотежа е барањето алгебарскиот збир на моментите на сите надворешни сили во однос на оската на ротација да биде еднаков на нула:

Во општиот случај на произволен број надворешни сили, условите за рамнотежа може да се претстават на следниов начин:

,

.

Овие услови се неопходни и доволни.

Пример

Рамнотежата е стабилна, нестабилна и рамнодушна. Рамнотежата е стабилна ако при мали поместувања на телото од рамнотежна положба, силите и моментите на силите што дејствуваат на него имаат тенденција да го вратат телото во рамнотежна положба (сл. 4.6а). Рамнотежата е нестабилна ако дејствувачките сили го поместуваат телото подалеку од положбата на рамнотежа (сл. 4.6б). Ако при мали поместувања на телото дејствувачките сили се уште се избалансирани, тогаш рамнотежата е рамнодушна (сл. 4.6в). Топката што лежи на рамна хоризонтална површина е во состојба на индиферентна рамнотежа. Топката на врвот на сферичното испакнување е пример за нестабилна рамнотежа. Конечно, топката на дното на сферичната вдлабнатина е во состојба на стабилна рамнотежа.

Интересен пример за рамнотежа на телото на потпора е навалената кула во италијанскиот град Пиза, која, според легендата, ја користел Галилео кога ги проучувал законите за слободен пад на телата. Кулата има форма на цилиндар со радиус од 7 m Врвот на кулата е отстапен од вертикалата за 4,5 m.

Кривата кула во Пиза е позната по тоа што е силно навалена. Кулата „паѓа“. Висината на кулата е 55,86 метри од земјата на најниската страна и 56,70 метри на највисоката страна. Неговата тежина се проценува на 14.700 тони. Тековниот наклон е околу 5,5 °. Вертикална линија извлечена низ центарот на гравитација на кулата ја пресекува основата на приближно 2,3 m од нејзиниот центар. Така, кулата е во состојба на рамнотежа. Рамнотежата ќе биде нарушена и кулата ќе падне кога отстапувањето на нејзиниот врв од вертикалата ќе достигне 14 m. Очигледно, тоа ќе се случи многу наскоро.

Се веруваше дека закривеноста на кулата првично ја замислиле архитектите - заради демонстрација на нивната извонредна вештина. Но, нешто друго е многу поверојатно: архитектите знаеле дека градат на крајно несигурна основа и затоа ја вградиле можноста за лесно отстапување во структурата.

Кога се појави вистинската закана од уривање на кулата, современите инженери ја презедоа. Таа беше вовлечена во челичен корсет од 18 кабли, темелот беше измерен со оловни блокови и, паралелно, почвата беше зајакната со пумпање бетон под земја. Со помош на сите овие мерки, беше можно да се намали аголот на наклонот на кулата што паѓа за половина степен. Експертите велат дека сега ќе може да стои уште најмалку 300 години. Од гледна точка на физиката, преземените мерки значат дека условите за рамнотежа на кулата станаа посигурни.

За тело со фиксна оска на ротација, можни се сите три типа на рамнотежа. Индиферентната рамнотежа се јавува кога оската на ротација минува низ центарот на масата. Во стабилна и нестабилна рамнотежа, центарот на масата е на вертикална линија што минува низ оската на ротација. Во овој случај, ако центарот на масата е под оската на ротација, состојбата на рамнотежа е стабилна (сл. 4.7а). Ако центарот на масата се наоѓа над оската, состојбата на рамнотежа е нестабилна (сл. 4.7б).

Посебен случај на рамнотежа е рамнотежата на телото на потпорот. Во овој случај, еластичната потпорна сила се применува не на една точка, туку се дистрибуира преку основата на телото. Телото е во рамнотежа ако вертикалната линија извлечена низ центарот на масата на телото минува низ областа на поддршката, односно во внатрешноста на контурата формирана од линиите што ги поврзуваат точките на потпора. Ако оваа линија не ја пресекува областа за поддршка, тогаш телото се превртува.

Видови рамнотежа

За да се процени однесувањето на телото во реални услови, не е доволно да се знае дека е во рамнотежа. Мора да ја процениме и оваа рамнотежа. Разликувајте помеѓу стабилна, нестабилна и индиферентна рамнотежа.

Рамнотежата на телото се нарекува одржливако при отстапување од него се јават сили кои го враќаат телото во рамнотежна положба (сл. 1, позиција 2). Во стабилна рамнотежа, центарот на гравитација на телото го зазема најниското од сите блиски позиции. Позицијата на стабилна рамнотежа е поврзана со минимум потенцијална енергија во однос на сите блиски соседни позиции на телото.

Рамнотежата на телото се нарекува нестабилнаако при најмало отстапување од него, резултантните сили што дејствуваат на телото предизвикуваат дополнително отстапување на телото од положбата на рамнотежа (сл. 1, позиција 1). Во позиција на нестабилна рамнотежа, висината на центарот на гравитација е максимална, а потенцијалната енергија е максимална во однос на другите блиски позиции на телото.

Рамнотежата во која поместувањето на телото во која било насока не предизвикува промена на силите што делуваат на него и се одржува рамнотежата на телото се нарекува. рамнодушен(сл. 1 позиција 3).

Индиферентната рамнотежа е поврзана со постојаната потенцијална енергија на сите блиски состојби, а висината на центарот на гравитација е иста во сите доволно блиски позиции.

Тело кое има оска на ротација (на пример, униформен владетел кој може да ротира околу оската што минува низ точката O прикажана на слика 2) е во рамнотежа ако вертикалната линија што минува низ центарот на гравитација на телото минува низ оска на ротација. Освен тоа, ако тежиштето C е повисоко од оската на ротација (сл. 2.1), тогаш за секое отстапување од положбата на рамнотежа, потенцијалната енергија се намалува и моментот на гравитација во однос на оската О го отклонува телото подалеку од рамнотежна позиција. Ова е нестабилна рамнотежна позиција. Ако центарот на гравитација е под оската на ротација (сл. 2.2), тогаш рамнотежата е стабилна. Ако центарот на гравитација и оската на ротација се совпаѓаат (слика 2, 3), тогаш положбата на рамнотежа е рамнодушна.

рамнотежа физика поместување

Тело со површина на потпора е во рамнотежа ако вертикалната линија што минува низ центарот на гравитација на телото не оди подалеку од областа на поддршка на ова тело, т.е. надвор од границите на контурата формирана од точките на допир на телото со потпирачот, рамнотежата во овој случај не зависи само од растојанието помеѓу центарот на гравитација и потпирачот (т.е. од неговата потенцијална енергија во гравитационото поле на Земјата), но и за локацијата и големината на потпорната површина на ова тело.

Слика 2 покажува тело во форма на цилиндар. Ако го навалите под мал агол, тогаш ќе се врати во првобитната положба 1 или 2. Ако го навалите под агол (позиција 3), тогаш телото ќе се преврти. За дадена маса и потпорна област, стабилноста на телото е поголема, толку е помал неговиот центар на гравитација, т.е. толку е помал аголот помеѓу правата линија што го поврзува тежиштето на телото и крајната точка на допир на потпорната област со хоризонталната рамнина.