ცალ-ცალკე რუქას, რომელსაც გააჩნია კუთხეების სიდიდისა და მიმართულების შენარჩუნების უნარი და გამოსახული წერტილების მცირე უბნების მუდმივი გაფართოების თვისება, ეწოდება კონფორმულ რუქას.

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ ასახვა ერთ-ერთია, გამოირჩევა ფუნქციის უნივალენტურობის სფეროები. D დომენს ეწოდება f (z) ფუნქციის უნივალენტურობის დომენი, თუ.

კონფორმული რუქების ძირითადი თვისებები:

1) გაჭიმვის მუდმივობა. წრფივი ერთ წერტილში ერთნაირია ამ წერტილში გამავალი ყველა მოსახვევისთვის და თანაბარია;

2) კუთხეების დაცვა. ყველა მოსახვევი ერთ წერტილში ბრუნავს იგივე კუთხით.

ფუნქცია აჩვენებს z- სიბრტყის წერტილებს (ან რიემანის ზედაპირს). თითოეულ წერტილში z ისეთი, რომ f (z) არის ანალიტიკური (ანუ ის ცალსახად არის განსაზღვრული და დიფერენცირებული ამ წერტილის ზოგიერთ უბანში) და რუქა არის კონფორმული, ანუ კუთხე ორ მოსახვევს შორის, რომელიც გადის z წერტილში, გადადის თანაბარ სიდიდეში და მიმართულია საცნობარო კუთხისაკენ სიბრტყის ორ შესაბამის მოსახვევს შორის.

უსასრულო მცირე სამკუთხედი ასეთი წერტილის მახლობლად z გამოსახულია ანალოგიურ უსასრულო სამკუთხედში - სიბრტყე; სამკუთხედის თითოეული მხარე პროპორციულად არის გადაჭიმული და ბრუნავს კუთხით. ჩვენების დამახინჯების ფაქტორი (მცირე ფართობების ადგილობრივი თანაფარდობა) განისაზღვრება ეკრანის იაკობიანით

ყოველ წერტილში z, სადაც რუქა არის შესაბამისი.

კონფორმული რუქა გარდაქმნის ხაზებს w- სიბრტყეში ორთოგონალური ბილიკების ოჯახად.

Z- სიბრტყის რეგიონს, რომელიც გამოსახულია მთელ w- სიბრტყეზე f (z) ფუნქციით, ეწოდება f (z) ფუნქციის ფუნდამენტური რეგიონი.

წერტილები, სადაც კრიტიკულ საჩვენებელ წერტილებს უწოდებენ.

რუქას, რომელიც ინარჩუნებს სიდიდეს, მაგრამ არა კუთხის მითითებას ორ მოსახვევს შორის, ეწოდება მეორე ტიპის იზოგონალური ან კონფორმული რუქა.

რუქა კონფორმულია უსასრულობაში, თუ ფუნქცია კონფორმულად ასახავს წარმოშობას - სიბრტყეზე.

ორი მრუდი იკვეთება კუთხეში ერთ წერტილში, თუ გარდაქმნა გადააქცევს მათ ორ მოსახვევს, რომლებიც კვეთენ წერტილში კუთხით.

ანალოგიურად, კონფორმულად ასახავს წერტილს კონფორმულად წერტილთან.

კონფორმის რუქის კლასიკური მაგალითები

უმარტივესი მაგალითები

მაგალითი 1. გამოიყენეთ ფუნქცია, რომ შეადგინოთ სწორი ხაზი თვითმფრინავზე.

ჩვენ ვცვლით პირდაპირ ხაზს.

ამდენად,

ჩაანაცვლეთ მიღებული განტოლებები:

და ჩვენ ვიღებთ

ჩვენ გამოვრიცხავთ x მიღებულ განტოლებებს.

განტოლებიდან (1) ვპოულობთ x- ს და ვიღებთ

შეცვალეთ (3) განტოლებაში (2):

ჩვენ ვიღებთ

მოდით დავხატოთ მიღებული ხაზები ფიგურაში 1.

ფიგურა 1 კონფორმული რუქა პირდაპირი ფუნქციით

პასუხი: ასე რომ, xOy სიბრტყეში განლაგებული სწორი ხაზი კონფორმულად იყო ასახული მრუდში (პარაბოლა), რომელიც მდებარეობს თვითმფრინავში

მაგალითი 2. იპოვეთ ბრუნვის კუთხე და მასშტაბის დამახინჯების ფაქტორი წერტილში, როდესაც ნაჩვენებია:

როდესაც ნაჩვენებია ფუნქციის გამოყენებით, ბრუნვის კუთხე არის და.

იმ წერტილში, რაც გვაქვს

პასუხი: (შეკუმშვა).

მაგალითი 3. იპოვეთ ბრუნვის კუთხე და მასშტაბის დამახინჯების ფაქტორი წერტილში, როდესაც ნაჩვენებია:

როდესაც ნაჩვენებია ფუნქციის გამოყენებით, ბრუნვის კუთხე არის და მასშტაბის დამახინჯების ფაქტორი წერტილში არის

იმ წერტილში, რაც გვაქვს

(გაჭიმვა).

პასუხი: (გაჭიმვა).

მაგალითი 4. იპოვეთ სიბრტყის ის წერტილები, რომლებშიც მასშტაბის დამახინჯების ფაქტორი 1 -ის ტოლია:

მასშტაბის დამახინჯების ფაქტორი ერთ წერტილში არის

იპოვეთ წარმოებული

აქედან გამომდინარე,

მაგალითი 5. იპოვეთ სიბრტყის ის წერტილები, რომლებშიც მასშტაბის დამახინჯების ფაქტორი 1 -ის ტოლია:

მასშტაბის დამახინჯების ფაქტორი ერთ წერტილში არის

იპოვეთ წარმოებული

პირობით, მასშტაბის დამახინჯების ფაქტორი უნდა იყოს 1 -ის ტოლი.

აქედან გამომდინარე,

კომპლექსური ორგანზომილებიანი ელექტროსტატიკური ველების მქონე ელექტროდი სისტემების გამოთვლა შესაძლებელია კონფორმული რუქის მეთოდის გამოყენებით. ამ მეთოდის მთავარი იდეაა რთული ველების შეცვლა მარტივი ველებით, რომლებისთვისაც ცნობილია გადაწყვეტილებები. ასეთი მარტივი ველები მოიცავს ბრტყელი ან ცილინდრული კონდენსატორის ველებს მათი კიდეებიდან შორს. კონფორმული რუქის მეთოდი არის რთული ცვლადის ფუნქციების თეორიის პრაქტიკული გამოყენება. კონფორმული რუქა არის უწყვეტი რუქა, რომელიც ინარჩუნებს უსასრულო მცირე (უსასრულოდ მცირე) ფიგურების ფორმას. კონფორმული რუქისთვის, კუთხეების მუდმივობისა და დაჭიმულობის სტაბილურობის თვისება შესრულებულია. სახელი მომდინარეობს გვიან ლათინურიდან - conformis- მსგავსი, უწყვეტი ჩვენება, რომელიც ინარჩუნებს უსასრულო მცირე ფიგურების ფორმას: მაგალითად, bm. წრე რჩება ბ.მ. გარშემო; კუთხეები ხაზებს შორის მათი გადაკვეთის წერტილში არ იცვლება. ელექტრული ველების გამოსათვლელად შესაბამისი შედგენის მეთოდის გამოყენების სფერო არის ორგანზომილებიანი ელექტროსტატიკური ველები.

კონფორმული ტრანსფორმაცია ასახავს თითოეულ წერტილს ზ=x+ჯეირეალური გამოთვლითი ველი, აღწერილი რთული სიბრტყით, წერტილამდე w=შენ+j × vკიდევ ერთი რთული თვითმფრინავი, უფრო მარტივი ველის კონფიგურაციით. მეთოდის მთავარი სირთულე არის მოცემული რეალური ელექტროდი სისტემის ფუნქციის ტიპის პოვნა. პრაქტიკაში, როდესაც ვცდილობთ ვიპოვოთ შესაბამისი რუქების ფუნქცია, ან გამოიყენება შესაბამისი რუქების სპეციალური კატალოგები, ან მათი ძებნა ხდება ზედიზედ ცდების გზით.

დავუშვათ, ჩვენ ვიცით რაიმე სახის გარდაქმნის ფორმა ზ=ვ (ვ)ან საპირისპირო ტრანსფორმაცია w=ვ (ზ), რომელიც ადგენს ერთ-ერთ კორესპონდენციას კომპლექსურ ორ კომპლექსურ სიბრტყეს შორის ( ზ) და მარტივი ( w) ველის კონფიგურაცია. კონვერტაციის ფაქტორი არის თანაფარდობა dw / dz.

აქ გამოიყენება ურთიერთობები:

, . (2.94)

ანალოგიურად, შეგიძლიათ დაწეროთ:

. (2.95)

ორი რთული რიცხვი ტოლია, თუ მათი რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები ცალ -ცალკე ტოლია. კონვერტაციის ფაქტორის მნიშვნელობების შედარება გამონათქვამებში (2.93) და (2.95), შეგიძლიათ დაწეროთ:

გამოთქმები (2.96) ცნობილია როგორც კოში-რიმანის პირობები. რთული რიცხვების წარმოდგენის სხვადასხვა ფორმის გამოყენებით, კონვერტაციის ფაქტორი შეიძლება დაიწეროს, როგორც:

სად არის სეგმენტების სიგრძის ცვლილების კოეფიციენტი ტრანსფორმაციის დროს და tg (j) = ბ / ა(j არის ტრანსფორმაციის დროს სეგმენტების ბრუნვის კუთხე). კოში-რიმანის ურთიერთობიდან ვიღებთ:

(2.99)

ურთიერთობებიდან (2.97) - (2.98) გამომდინარეობს, რომ კონფორმული გარდაქმნის კოეფიციენტი მარის ელექტრული ველის შედარებითი სიძლიერე და თითოეული ფუნქცია შენდა vშეიძლება შეირჩეს პოტენციურად ახალ რთულ სიბრტყეზე w=f (u, v)... ამ დასკვნის გადამოწმება სხვაგვარად შეიძლება. თუ ფუნქციები შენდა vშეიძლება აირჩიოს როგორც პოტენციალი, მაშინ თითოეულმა მათგანმა უნდა დააკმაყოფილოს ლაპლასის განტოლება: D შენ= 0 და D v= 0 ამის გადამოწმება შესაძლებელია კოში-რიმანის პირობების პირდაპირი განმეორებითი დიფერენციაციით. მოდით განვასხვავოთ პირველი პირობა NSდა მეორე მიერ საათზე; დაამატეთ შედეგი; ჩვენ გადავიტანთ ყველა მნიშვნელოვან წარმოებულს ჩანაწერის მარცხენა მხარეს და ვტოვებთ ნულს მარჯვნივ:

; ; . (2.100)

მიღებული გამოთქმიდან გამომდინარეობს, რომ ფუნქცია შენაკმაყოფილებს ლაპლასის განტოლებას (1.25), (1.30) და შეიძლება მივიღოთ როგორც პოტენციალი. მოდით განვასხვავოთ პირველი პირობა საათზედა მე -2 - მიერ NS:

; ; , (2.101)

იმ და ფუნქცია vასევე აკმაყოფილებს ლაპლასის განტოლებას და ასევე შეიძლება იქნას მიღებული როგორც პოტენციალი. მას შემდეგ, რაც ძალების ხაზები და თანაბარი ხაზები თვითმფრინავზე ზ=f (x, y)ერთმანეთზე პერპენდიკულარულია და კონფორმული გარდაქმნა უცვლელს ტოვებს ხაზებს შორის კუთხეებს მათი გადაკვეთის წერტილში, შემდეგ (2.97) ¸ (2.101) -დან გამომდინარეობს, რომ თუ ფუნქცია შენარის აღებული, მაგალითად, პოტენციალისთვის, შემდეგ ხაზთან ერთად v= const - არის ძალის ხაზი. თუკი v- მაშინ პოტენციალი შენ= const - ძალის ხაზი. რომელი ფუნქციები შენან vარის პოტენციალი და რომელიც არის ძალის ხაზი, უნდა განისაზღვროს ველის კონფორმული გარდაქმნის ანალიზის საწყისი სიბრტყეზე ზ=f (x, y)ველზე თვითმფრინავში w=f (u, v).ნებისმიერი ფუნქცია z = f (w)(ან w = f (z))გვაძლევს გადაწყვეტას ნებისმიერი ელექტროსტატიკური პრობლემისათვის. თქვენ შეგიძლიათ შეადგინოთ თვითნებური ფუნქცია, იპოვოთ მისთვის გადაწყვეტილებები და შემდეგ შეარჩიოთ შესაბამისი ელექტროდების სისტემა ნაპოვნი გადაწყვეტილებებისთვის. ეს მეთოდი (უკან) ნაპოვნია მრავალი გადაწყვეტა ელექტროსტატიკური პრობლემებისათვის.

ელექტრული ველის სიძლიერის პოვნისას კონფორმული შედგენის მეთოდით, მხედველობაში უნდა იქნას მიღებული შემდეგი მნიშვნელოვანი გარემოება. ელექტრული ველის სურათი მთლიანად განისაზღვრება ელექტროდის სისტემის გეომეტრიული პარამეტრებით, განურჩევლად სივრცითი მასშტაბისა და გამოყენებული ძაბვისა. ამრიგად, ველი შეიძლება აღწერილი იყოს ძაბვის ან სიგრძის ერთეულის სიძლიერით. გამონათქვამები (2.97) - (2.98) წარმოადგენს სწორედ ასეთ ფარდობით დაძაბულობას. ფაქტობრივი ძაბვის მისაღებად მხედველობაში უნდა იქნეს მიღებული ფაქტიური ძაბვა და ფაქტობრივი მანძილი ელექტროდებს შორის. ეს ხდება გამონათქვამების (2.97) - (2.98) გამრავლებით მასშტაბის ფაქტორზე კ მ... დავუშვათ მანძილი ელექტროდებს შორის სიბრტყეში wუდრის შენ 2 -შენ 1 (v 2 -v 1), თუ ფუნქციები შენან vშესაბამისად. შემდეგ მასშტაბის ფაქტორი იღებს ფორმას:

კ მ= უ/(შენ 2 -შენ 1) ან კ მ= უ/(v 2 -v 1). (2.102)

ცილინდრული კონდენსატორი.მიუხედავად იმისა, რომ ცილინდრული კონდენსატორის ელექტროსტატიკური ველის გაანგარიშება მოცემულია .52.5 -ში, ჩვენ განვიხილავთ მას, როგორც კონფორმული შედგენის მეთოდის გამოყენების მაგალითს. ცილინდრული კონდენსატორის ველი (ორი კონცენტრული წრის ველი) სიბრტყეზე ჰუშეიძლება აისახოს ერთგვაროვან ველში (ბრტყელი კონდენსატორის ველი) შემდეგი ტრანსფორმაციით:

ზ = e w; x + j × y = e u + jv = ევროპა(კოს v+ჯცოდვა v).

მოდით განვასხვავოთ რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები:

სწორი ხაზი რეალურ თვითმფრინავზე ზგადის საწყისზე ღერძისკენ დახრილობის კუთხით NSთანაბარი v= const მიდის სიბრტყეზე სწორ ხაზზე wაბსცესის ღერძის პარალელურად.

ზე შენ= const თვითმფრინავზე wმიიღება ორდინირებული ღერძის პარალელურად სწორი ხაზების სისტემა. ზედაპირზე ზისინი შეესაბამება კონცენტრული წრეების სისტემას. ცხადია, ხაზები ერთად შენ= const უნდა იქნას მიღებული როგორც პოტენციური ხაზები და v- ძალის საველე ხაზებისთვის. დაძაბულობის გაანგარიშება განხორციელდება ფორმულის მიხედვით (2.97):

გადაკეთებული მცირე სეგმენტის სიგრძე თვითმფრინავიდან გადატანისას ზთვითმფრინავზე wიცვლება 1 / რჯერ სად რარის მანძილი წრეების ცენტრამდე. რაც უფრო შორს არის ცენტრი, მით ნაკლებია ცვლილების კოეფიციენტი სეგმენტების სიგრძეში. გადატანილი სეგმენტი ბრუნავს j = arctan კუთხით (- y / x). სხივს შორის კუთხე, რომელიც მიდის წარმოშობიდან გარდაქმნილი სეგმენტის შუაგულამდე და ღერძს NSხდება ნული. ყველა რადიუსი ჩართულია ზ- ბრუნდებიან თვითმფრინავები w- თვითმფრინავები ღერძის პარალელურ ხაზში შენ... მასშტაბის ფაქტორი

დაძაბულობა

(2.103)

შედეგად მიღებული ფორმულა (2.103) ემთხვევა, როგორც მოსალოდნელი იყო უნიკალურობის თეორემის ძალით, გამოთქმა (2.18), რომელიც მიღებულია ოსტროგრადსკი-გაუსის თეორემის გამოყენებით.

ველი სწორი კუთხის შიგნით, რომელიც წარმოიქმნება ორი სიბრტყისგან

როგორც კონფორმული შედგენის მეთოდის გამოყენების კიდევ ერთი მაგალითი, განვიხილოთ ველი, რომელიც ჩამოყალიბებულია ორი უსასრულო გამტარობით, ერთმანეთთან პერპენდიკულარულ სიბრტყეზე. ცხადია, ასეთ ელექტროდის სისტემას აქვს მთარგმნელობითი სიმეტრია უსასრულოდ მცირე საფეხურით თვითმფრინავების გასწვრივ და სიმეტრიული სიბრტყე 45 ° -იანი კუთხით გადის თითოეულ სიბრტყეზე. ასეთი ველი მცირდება ორგანზომილებიან ველში და მისი პარამეტრების დასადგენად საკმარისია გამოვთვალოთ ველის მახასიათებლები ერთ სიბრტყესა და სიმეტრიის სიბრტყეს შორის. ორგანზომილებიანი ველებისთვის შეიძლება გამოყენებულ იქნას შესაბამისი რუქის მეთოდი. მინდორში ზ- დატვირთული თვითმფრინავების გადაკვეთის ხაზის პერპენდიკულარულად ნაჩვენებია ნახ. 2.20 ა. ღერძების უკან NSდა საათზედამუხტული თვითმფრინავების გადაკვეთის ხაზები ერთად ზ- თვითმფრინავი. ორი სიბრტყის მიერ წარმოქმნილი მარჯვენა კუთხის შიგნით არსებული ველი გარდაქმნით გარდაიქმნება ერთგვაროვან ველად w = ზ 2 მოდით ვაჩვენოთ ეს:

w= შენ+jv = ზ 2 = (x+ჯი) 2 = x 2 + ჯ 2xy – y 2 ; შენ = x 2 – y 2 ; v = + ჯ 2xy.

ზე შენ= კონსტ ხაზები ღერძის პარალელურად vზედაპირზე w, გარდაიქმნება ტოლფერდა ჰიპერბოლების ოჯახში x 2 – y 2 = ა 2 თვითმფრინავში ზ... ღერძი 0 NSარის ჰიპერბოლების რეალური (კეროვანი) ღერძი და ღერძი საათზემისი წარმოსახვითი ღერძი. წარმოშობის გავლით სწორი ხაზი ღერძის მიმართ 45 ° -იანი კუთხით NS (შენ = 0; y = x), წარმოადგენს გადაკვეთის ხაზს ზ- თვითმფრინავი სიმეტრიის სიბრტყით და არის ჰიპერბოლას ასიმპტოტი. ჰიპერბოლას გადაკვეთის კუთხე ღერძთან NSუდრის 90 ° -ს, ე.ი. ფუნქციის ხაზები შენ=NS 2 -საათზე 2 პერპენდიკულარულია ეკვიპოტენციალური ხაზის მიმართ NS(დამუხტული სიბრტყის ზედაპირი NS).

ფუნქციები v = 2xyსხვადასხვა ღირებულებით vაღწერს იზოსკულური ჰიპერბოლების სხვა ოჯახს, რისთვისაც ღერძი NSდა საათზეარიან ასიმპტოტები და ხაზი საათზე = NSარის კეროვანი ღერძი. ფიგურა 2.20 ა გვიჩვენებს ჰიპერბოლას v= 4, 16, 36. იყიდება v= 0 ჰიპერბოლა გადაგვარდება კოორდინატთა ღერძში NSდა საათზერომელიც ემთხვევა დამუხტულ თვითმფრინავებს. ვინაიდან დამუხტული სიბრტყეების ზედაპირი იგივე პოტენციალის ზედაპირია, აშკარაა, რომ ეს არის ფუნქცია vუნდა იქნას მიღებული როგორც თვითმფრინავის პოტენციური ფუნქცია w... ამ შემთხვევაში, ფუნქცია შენარის სიძლიერის ფუნქცია. ორი უსასრულოდ ურთიერთპერპენდიკულარული სიბრტყის ველი (ღერძი NSდა საათზეჩართული ზ- თვითმფრინავი) იქცევა უსასრულო დამუხტული სიბრტყის ერთგვაროვან ველში (ღერძი vჩართული w- თვითმფრინავი).

კონფორმულ გარდაქმნას, მიუხედავად იმისა, რომ შენარჩუნებულია უსასრულო ზომის ფორმები, შეუძლია მნიშვნელოვნად შეცვალოს საბოლოო ფორმების ფორმა. ასეთი ცვლილების მაგალითია კვადრატის გარდაქმნა ა ბ გ დკოორდინატებით ა(0,8;0,8), ბ(0,8;4), გ(4;4), დ(4; 0.8) ჩართულია ზ- თვითმფრინავები მოსახვევ ოთხკუთხედში a ¢ b ¢ c ¢ dკოორდინატებით a ¢(0;1,28), ბ ¢(-15,36;6,4), გ(0;32), დ ¢(15.36; 6.4) on w- თვითმფრინავები.

მოდით განვსაზღვროთ დამუხტული სიბრტყეების ელექტროსტატიკური ველის ფარდობითი სიძლიერე ნახ. 2.20 ა. ორი ფორმულისგან (2.97) და (2.98), ინტენსივობის დასადგენად, ჩვენ გამოვიყენებთ (2.98), რადგან ეს არის ფუნქცია v = 2xyაღწერს თანაბარი პოტენციური ზედაპირების სისტემას (ხაზებს). ხაზოვანი კონვერტაციის ფაქტორი:

, (2.104)

გადაკეთებული მცირე სეგმენტის სიგრძე საწყისიდან გადატანისას ზ- თვითმფრინავი w- თვითმფრინავი იზრდება 2 -ით რჯერ სად რ=NS 2 +საათზე 2 - მანძილი ზ- თვითმფრინავები წარმოშობიდან სეგმენტის ცენტრამდე. გადატანილი სეგმენტი ბრუნავს j = arctan კუთხით ( y / x). არსებობს კუთხის გაორმაგება სხივს შორის, რომელიც მიდის წარმოშობიდან სეგმენტის შუა ნაწილამდე და ღერძზე NS... მასშტაბის ფაქტორი კ მ = უ/(v 2 -v 1) = უ/(2x 2 y 2 -2x 1 y 1). ველის სიძლიერე განისაზღვრება შედარებითი სიძლიერის გამრავლებით მასშტაბის ფაქტორზე: ე=E × K მ... მოდით იყოს მასშტაბის ფაქტორი კ მ= 100 ვტ / მ მოდით განვსაზღვროთ ველის სიძლიერე დატვირთულ სიბრტყის ორ წერტილში: უფრო ახლოს თვითმფრინავების კვეთა კუთხესთან n 1 (1; 0) და მისგან შორს n 2 (5;0).

W / m, × w / m

რაც უფრო ახლოს არის კუთხე, მით უფრო დაბალია ველის სიძლიერე. ეს შედეგი მოსალოდნელია სურათის 2.20 -ის ველის ნიმუშისგან: ეკვივალენტურ ხაზებს შორის მანძილი მცირდება კუთხიდან დაშორებით. ელექტროდის ზედაპირზე არსებული ნებისმიერი დეპრესია (ჩაღრმავება, დეპრესია, ღრუს, ბზარი და სხვა) შეიძლება უხეშად იყოს აღწერილი განხილული პრობლემით. შემდეგ, წინა ნაწილის შედეგების გათვალისწინებით, შეგვიძლია დავასკვნათ: წვერის ან პროტრაჟის მახლობლად, ელექტრული ველის სიძლიერე იზრდება, ხოლო დეპრესიის ან ხვრელის მახლობლად ის სუსტდება. ნახ. 2.20 ა -ის მსგავსი ველის და თანაბარი პოტენციური ხაზების ქცევის სურათი დაფიქსირებულია ველის განშტოების წერტილთან ახლოს ორი მსგავსი მუხტიდან (§2.11).

ველი ბრტყელი კონდენსატორის პირას (როგოვსკის პროფილი)

განათავსეთ წარმოშობა ზ- თვითმფრინავები ისე, რომ ღერძი NSიყო კონდენსატორის ფირფიტების სიბრტყეების პარალელურად და იყო მათგან იმავე მანძილზე ა... ღერძი საათზეფირფიტების პერპენდიკულარულად და გადის მათ კიდეებს. ბრტყელი კონდენსატორის პირას ველის ერთგვაროვან ველში გამოსახვის ფუნქცია მიიღო Yu.K. Maxwell– მა 1881 წელს სახით:

. (2.105)

ცვლადების გამოყოფის შემდეგ ვიღებთ:

ზე v მე= 0, y = 0, ... ზე v II= p, y= ა, .

ცხადია, როგორც პოტენციური ფუნქცია, ადამიანმა უნდა აირჩიოს ფუნქცია v.

,

Იმის გათვალისწინებით კ მ=U / (v II -v I) = უ/ გვ

(2.106)

ზე შენ < -5 в области от v მე= 0 -მდე v II= p, თითქმის ერთგვაროვანი ველი მიიღება ინტენსივობით U / a... ზე შენ Tension0 დაძაბულობა ელექტროდზე ( v=v II =ჟ) ძლიერ იზრდება და მიისწრაფვის უსასრულობისკენ შენ= 0 რეალურ სისტემებში უდიდესი დაძაბულობა არ ქრება:

. (2.107)

კონდენსატორის ფირფიტის სასრული სისქით v¹p და დაძაბულობა რჩება სასრული. Რაოდენობა vუნდა შეირჩეს ისე, რომ ეკვიპოტენციალური ზედაპირი ემთხვეოდეს კონდენსატორის ფირფიტის რეალურ ზედაპირს. დაე იყოს v= 174 ° = 29p / 30, მაშინ ელექტროდის პირას დაძაბულობის შეფარდება საშუალო დაძაბულობასთან:

.

ჩანს, რომ საკმაოდ ბლაგვი კიდეც კი, დაძაბულობა მკვეთრად იზრდება. ეს თანაფარდობა შეიძლება გაკეთდეს ერთიანობის მახლობლად, თუ ელექტროდის ზედაპირი მზადდება თანაბარი ზედაპირის სახით v£ გვ / 2 ამ ელექტროდის პროფილს ეწოდება როგოვსკის პროფილი (სურათი 2.21c). Მანძილზე ა= p (ფირფიტებს შორის მანძილი 2p) მას აქვს კოორდინატი v= p / 2 და ამისთვის x = შენ+1; y= p / 2 + ევროპა, ე.ი. საათზე= p / 2 + ე (NS-1) (2.108)

როგოვსკის პროფილს აქვს დიდი პრაქტიკული მნიშვნელობა ექსპერიმენტებში, რომლებიც ემსგავსებიან უნიფორმის მახლობელ ველს, ზღვარის ეფექტის აღმოსაფხვრელად. მოწყობილობის ცენტრში ხდება როგოვსკის ელექტროდები.

გაყოფილი მავთულის ველი.

მაღალი ძაბვის გადამცემ ხაზებში ფაზის მავთული იყოფა მრავალ გამტარად, რათა შეამციროს გადამცემი ენერგიის დანაკარგები კორონის გამონადენის გამო. გაყოფის ველის აღსაწერად

მავთულები, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვენების ფუნქცია, სადაც n –

ინდივიდუალური გამტარების რაოდენობა, რომლებშიც იყოფა ფაზის გამტარებელი. როგორც კონფორმული რუქის მეთოდის ილუსტრაცია, განიხილეთ ორ მავთულად გაყოფა ( n= 2). (გაითვალისწინეთ, რომ ეს შემთხვევა მარტივად შეიძლება მოგვარდეს სურათების მეთოდით)

დაე, თვითმფრინავი ზპერპენდიკულარულად გაყოფილი მავთულები. მოდით ავირჩიოთ ღერძი NSჩართული ზთვითმფრინავი ისე, რომ გადის მავთულის ღერძზე. დაე ღერძი yგადის მონაკვეთის შუა ხაზებს შორის. გამოსავალი მნიშვნელოვნად გამარტივებულია, თუ ვერ იპოვით ფუნქციებს x, y=f (u, v)და ფუნქციები u, v = f (x, y)... რეალურ და წარმოსახვით ნაწილებს გამოვყოფთ, ვიღებთ:

,

ეკვიპოტენციური ხაზები შეესაბამება ფუნქციას შენ... ფუნქციონირება შენუდრის ნულს, ლოგარითმი უნდა იყოს ნული და გამოთქმა კვადრატულ ფრჩხილებში უნდა იყოს ტოლი 1. მაშინ შემდეგი მიმართება მოქმედებს:

(NS 2 +საათზე 2) 2 = 2ა 2 (NS 2 -საათზე 2)

ეს ფუნქცია გადის საწყისზე ზ- თვითმფრინავები. ზე შენდიაპაზონში -1.28< შენ < 0 на ზ- თვითმფრინავები შეინიშნება წრიული არეებით ღერძის მარჯვნივ და მარცხნივ საათზე... ზე შენ£ -1.28 პრაქტიკულად ქულაა კოორდინატებით NS = -ადა NS = ა... ზე შენ> 0 ხსნარი დახურული მოსახვევია, რაც იზრდება შენმიახლოება ფორმაში წრეებზე. ეს მოსახვევები წარმოადგენს ორი ცილინდრის ველის პოტენციურ ხაზებს ერთი და იმავე ნიშნის მუხტებით, ე.ი. ორი მავთულის ველი იგივე პოტენციალით. ყველაზე დიდი ინტერესი არის წერტილები მავთულის ზედაპირზე. რ 2 და რ 1, რომელშიც, შესაბამისად, შეინიშნება ველის უმაღლესი და ყველაზე დაბალი სიძლიერე. წერტილი რ 2 მდებარეობს მავთულის ზედაპირზე სხვა მავთულისგან ყველაზე შორს და აქვს კოორდინატები:

,

P2 წერტილის მასშტაბის ფაქტორის გათვალისწინებით, ვიღებთ:

. (2.109)

S®0, ელექტროდის სისტემა იქცევა ორი კოაქსიალური ცილინდრის სისტემაში ( ბ=0, ს= 0) (იხ. (2.18)):

როგორც წესი, ელექტროგადამცემი ხაზისთვის p ³ 200.

თვითმმართველობის ტესტის კითხვები

1. მიეცით ლაპლასის ფუნდამენტური განტოლებები სივრცეში, ერთგვაროვან და სიბრტყე-პარალელურ ველში.

2. მიეცით ფორმულები წერტილოვანი მუხტის პოტენციალის და ველის სიძლიერის გამოსათვლელად. განსაზღვრეთ ერთი მეტალის ბურთის ტევადობა.

3. მიეცით ფორმულები უსასრულო სიგრძის ერთი უსასრულოდ თხელი სწორი მავთულის პოტენციალის და ველის სიძლიერის გამოსათვლელად.

4. სად არის კოაქსიალური კაბელისთვის ველის ყველაზე მაღალი სიძლიერის არე. იპოვეთ შიდა ბირთვის ოპტიმალური დიამეტრი გარე გარსის მოცემული ზომისთვის და მათ შორის პოტენციური სხვაობა. კოაქსიალური კაბელის ხაზოვანი ტევადობის განსაზღვრა.

5. რატომ მზადდება კაბელები სხვადასხვა ტიპის დიელექტრიკებისგან იზოლაციით?

6. განმარტეთ კონდენსატორის ბუშის დიზაინი და მისი დანიშნულება.

7. რა არის გადახურვის მეთოდი და რა არის ნაწილობრივი ტევადობა?

8. რა არის ელექტრული დიპოლი, რა მახასიათებლები აქვს დიპოლურ ველს? ასახსნელად რა ფენომენებს იყენებენ დიპოლის კონცეფციას?

9. რა მსგავსება და განსხვავებაა ორი მსგავსი და საპირისპირო მუხტის ველებს შორის?

10. გრაფიკულად ასახავს ორი საპირისპიროდ დამუხტული უსასრულო ღერძის ველს. მიეცით ფორმულები ასეთი სისტემის გამოსათვლელად და მიუთითეთ წერტილები ველის მაქსიმალური სიძლიერით.

11. რა არის ასახვის მეთოდი? ახსენით მეთოდის არსი მიწის ზემოთ ერთი მავთულის ველის პარამეტრების გამოთვლის მაგალითით.

12. მიეცით მეთოდი ლითონის ბურთთან ახლოს მდებარე წერტილოვანი მუხტის ველის პარამეტრების გამოსათვლელად.

13. განსაზღვრეთ ელექტრული ველის სიძლიერე მიწის ზემოთ მდებარე ერთი მავთულის ზედაპირზე.

14. როგორ განვსაზღვროთ სამფაზიანი ხაზის ველის პარამეტრები?

15. განსაზღვრეთ ბურთის დამჭერის მაქსიმალური დაძაბულობა.

16. მიეცით სასრული სიგრძის გამტარის მიერ შექმნილი ველის პარამეტრების პოვნის ტექნიკა.

17. მიეცით რგოლის მუხტით შექმნილი ველის პარამეტრების მოძიების ტექნიკა.

18. მიეცით დამუხტული დისკით შექმნილი ველის პარამეტრების პოვნის ტექნიკა.

19. როგორ არის დამოკიდებული ველის პარამეტრები ელექტროდის ზედაპირის მრუდის რადიუსზე? რატომ უნდა გაათანაბროთ და გახეხოთ მაღალი ძაბვის ელექტროდების ზედაპირი?

20. განმარტეთ კონფორმული შედგენის მეთოდის არსი და ჩამოთვალეთ გამოთვლების თანმიმდევრობა ამ მეთოდისთვის.

21. რა არის როგოვსკის პროფილი?

22. როგორ წარმოიქმნება სივრცის მუხტი და როგორ ცვლის ის ელექტრული ველის მახასიათებლებს?

23. ელექტრული ველის რომელი მახასიათებელი არის ენერგიის ანალოგი?

24. ელექტრული ველის რომელი მახასიათებელი არის ძალის ანალოგი?

25. რა მიზნით, 330 კვ და მეტი ნომინალური ძაბვის ელექტროგადამცემი ხაზებით, ერთი ფაზის გამტარი იყოფა რამდენიმე პარალელურ გამტარებად? მიუთითეთ მაქსიმალური დაძაბულობის წერტილები გაყოფილი მავთულხლართებზე. რა მანძილია დაშლილ გამტარებს შორის?

26. სად არის უფრო მაღალი ელექტრული ველის ინტენსივობა დედამიწის ზედაპირთან ახლოს: დეპრესიაში (ხვრელი, ხევში) თუ სიმაღლეზე (ბორცვი, გორაკი)? ახსენით პასუხი გრაფიკულად და გაანგარიშებით.

27. როგორ იცვლება ელექტრული ველის სიძლიერე მიწის დონეზე ერთი წრიული ელექტროგადამცემი ხაზის ქვეშ ფაზის მავთულის ჰორიზონტალური მოწყობით?

28. მიეცით ალგორითმი სამფაზიანი საჰაერო ხაზის გრუნტის სიმძლავრის გამოსათვლელად.

29. რა მიზნით არის დამონტაჟებული ბეჭდის ეკრანები მაღალი ძაბვის მოწყობილობებზე?

30. ცილინდრული კონდენსატორის პარამეტრების გამოთვლის ფორმულების გამოტანა.

კონფორმული რუქების თეორიის მთავარი ამოცანაა მოცემული რეგიონის კონფორმული რუქის აგება ცვლადი w სიბრტყის ზოგიერთ მოცემულ რეგიონში.

2-განზომილებიანი ევკლიდური სივრცის დომენის უწყვეტი შედგენა 2-განზომილებიან ევკლიდურ სივრცეში ეწოდება კონფორმულს იმ მომენტში, თუ მას აქვს მუდმივი გაფართოებისა და კუთხეების შენარჩუნების თვისებები. გაფართოებების მუდმივობის თვისება რუქის დროს არის ის, რომ სურათებსა და წერტილებს შორის მანძილის თანაფარდობა მათ შორის მანძილთან და ისწრაფვის გარკვეულ ზღვრამდე, როდესაც ის მიდრეკილია თვითნებურ გზაზე; რიცხვს ეწოდება კოეფიციენტი გაჭიმვის განხილულ რუქაზე. კუთხეების შენახვის (კონსერვატიზმის) თვისება რუქების დროს არის ის, რომ ნებისმიერი წყვილი უწყვეტი მრუდი მდებარეობს და იკვეთება b წერტილის კუთხეში (ანუ აქვს ტანგენსი იმ წერტილში, რომელიც ქმნის მათ შორის კუთხეს b), რუქა განსახილველად, გადადის წყვილ უწყვეტ მოსახვევებში, რომლებიც კვეთენ ერთსა და იმავე კუთხის წერტილს b. რეგიონის უწყვეტ რუქას ეწოდება კონფორმული, თუ ის კონფორმულია ამ რეგიონის ყველა წერტილში.

განსაზღვრების თანახმად, დომენის კონფორმული რუქა უნდა იყოს უწყვეტი და კონფორმული მხოლოდ შიდა წერტილებში, და თუ ვსაუბრობთ დახურული დომენის კონფორმულ რუქაზე, მაშინ, როგორც წესი, ჩვენ ვგულისხმობთ დახურული დომენის უწყვეტ რუქას, რომელიც კონფორმულია. მის შიდა წერტილებში.

მოსახერხებელია განვიხილოთ ორგანზომილებიანი ევკლიდური სივრცის რეგიონის 2 განზომილებიანი ევკლიდური სივრცის რეგიონის კონფიგურაცია, როგორც რთული ცვლადის სიბრტყის რეგიონის შედგენა რთული ცვლადის სიბრტყეზე; შესაბამისად, რუქა არის რთული ცვლადის კომპლექსურად შეფასებული ფუნქცია. ამ შემთხვევაში, თუ რუქაზე რაღაც კუთხეები ინახავს კუთხეებს, მაშინ ამ რუქის წვერის მრუდი ხაზები ან ინარჩუნებს მათ აბსოლუტურ მნიშვნელობას და ნიშანს, ან ინარჩუნებს მათ აბსოლუტურ მნიშვნელობას, იცვლის ნიშანს საპირისპიროდ. პირველ შემთხვევაში, წერტილის რუქაზე ნათქვამია, რომ არის პირველი სახის კონფორმული რუქა; მეორეში, ეს არის მეორე სახის კონფორმული რუქა. თუ ფუნქცია განსაზღვრავს მეორე სახის კონფორმულ რუქას წერტილში, მაშინ რთული კონიუგირებული ფუნქცია w = განსაზღვრავს პირველი სახის კონფორმულ რუქას წერტილში და პირიქით. ამრიგად, შესწავლილია მხოლოდ პირველი სახის კონფორმული რუქები და ეს არის ის, რაც ჩვეულებრივ იგულისხმება, როდესაც ადამიანი საუბრობს კონფორმულ რუქაზე მათი გვარის დაკონკრეტების გარეშე. თუ რუქა კონფორმულია წერტილში, მაშინ არსებობს თანაფარდობის შეზღუდული ზღვარი, ანუ არის წარმოებული. პირიქითაც მართალია. ამრიგად, თუ არსებობს, მაშინ წერტილში წარმოშობის თითოეული უსასრულო მცირე ვექტორი გარდაიქმნება რუქის დროს ხაზოვანი ფუნქციის გამოყენებით, ე.ი. გაჭიმულია დროში, ბრუნავს კუთხის არგით და პარალელურად გადაინაცვლებს ვექტორით.

ბრტყელი კონფორმული რუქების თეორიაში და მისი გამოყენება, ფუნდამენტური კითხვაა, შესაძლებელია თუ არა ერთი მოცემული დომენის ერთგვაროვნად და კონფორმულად მეორეზე გადატანა, ხოლო პრაქტიკულ გამოყენებებში - საკითხი შედარებით მარტივი ფუნქციების საშუალებით. პირველი პრობლემა უბრალოდ დაკავშირებული დომენების შემთხვევაში, რომელთა საზღვრები არ არის ცარიელი და არ გადადის წერტილებში, პოზიტიური გაგებით წყდება რიმანის თეორემის მიერ კონფორმულ რუქაზე. მეორე პრობლემა განსაკუთრებული სახის ზოგიერთი სფეროსთვის წყდება რთული ცვლადის ელემენტარული ფუნქციების გამოყენებით.

ერთი რეგიონის მეორეზე რუქის შესაბამისი კონფიგურირებული რუქების თეორიის ძირითადი პრინციპები

რიმანის თეორემა. დაე იყოს გაფართოებული რთული სიბრტყის უბრალოდ დაკავშირებული დომენი, რომლის საზღვარი შეიცავს მინიმუმ ორ წერტილს. შემდეგ:

• 1) არსებობს ფუნქციის ანალიტიკური ფუნქცია, რომელიც შეესაბამება ერთეულ წრეს
• 2) ეს ფუნქცია შეიძლება შეირჩეს ისე, რომ პირობები დაკმაყოფილდეს

სადაც მოცემული ქულები არის მოცემული რეალური რიცხვი. ამ შემთხვევაში, ფუნქცია ცალსახად არის განსაზღვრული პირობებით (1).

ორი უბრალოდ ერთმანეთთან დაკავშირებული რეგიონი, რომელთაგან თითოეულს აქვს მინიმუმ ორი სასაზღვრო წერტილი, შეიძლება კონფორმულად იყოს ერთმანეთთან შედგენილი. მნიშვნელოვანი თეორიული წინადადება, რომელიც ახასიათებს კონფორმული რუქის ქცევას დომენის საზღვართან არის სასაზღვრო კორესპონდენციის შემდეგი პრინციპი.

თეორემა 1. დაე იყოს უბრალოდ დაკავშირებული დომენები შემოსაზღვრული მარტივი ნაწილაკებისებრი გლუვი კონტურებით და, და ფუნქცია ერთმნიშვნელოვნად და კონფორმულად ასახავს დომენს დომენზე. შემდეგ:

• 1) ფუნქციას აქვს უწყვეტი გაგრძელება რეგიონის საზღვრამდე, ე.ი. ის შეიძლება განისაზღვროს კონტურის წერტილებში ისე, რომ მიიღოთ ფუნქცია, რომელიც უწყვეტია დახურვაში;
• 2) ფუნქცია, რომელიც დამატებით არის განსაზღვრული საზღვარზე, ასახავს კონტურს კონტურზე ერთი-ერთზე და ისე, რომ კონტურის პოზიტიური გარღვევა შეესაბამება კონტურის პოზიტიურ გადასვლას.

თეორემა 2. დაე, ფუნქცია იყოს ანალიტიკური, უბრალოდ დაკავშირებულ დომენში, შემოსაზღვრული ნაწილაკურად გლუვი კონტურით და უწყვეტი ამ დომენის დახურვაში. თუ ფუნქცია ახორციელებს კონტურის ინდივიდუალურ რუქას რაღაც უბრალო ნაწილაკზე გლუვ კონტურზე, მაშინ ის ასახავს ტერიტორიას კონფორმულად და ერთგვაროვნად იმ კონტურით შემოსაზღვრულ არეზე და კონტურის გარშემო პოზიტიური მიმართულებით გასვლა შეესაბამება წასვლას კონტურის ირგვლივ ასევე პოზიტიური მიმართულებით.

თეორემის დასამტკიცებლად საკმარისია ამის ჩვენება

• 1) თითოეული პუნქტისთვის არის მხოლოდ ერთი ისეთი, ე.ი. ფუნქციას აქვს მხოლოდ ერთი ნული ფართობზე;
• 2) თითოეული პუნქტისთვის არ არსებობს ისეთი წერტილი, რომელიც არის, ფუნქცია არ იღებს მნიშვნელობას არავისთვის

მოდით დავამტკიცოთ პირველი განცხადება. თეორემის ჰიპოთეზით, ფუნქცია არ ქრება კონტურზე, ვინაიდან როდესაც წერტილი ეცემა კონტურზე, მაგრამ დევს და არ შეიძლება ეკუთვნოდეს. აქედან გამომდინარე, არგუმენტის პრინციპის თანახმად, ფუნქციის ნულოვანი რიცხვი რეგიონში ტოლია

ვინაიდან წერტილი მდგომარეობს კონტურით შემოსაზღვრულ მხარეში, მაშინ სადაც პლუს ნიშანი შეესაბამება კონტურის გავლის პოზიტიურ მიმართულებას. ამ შემთხვევაში უარყოფითი მნიშვნელობა შეუძლებელია, რადგან ის მიუთითებს ფუნქციის პოლუსების რეგიონში ყოფნაზე, პირობითად, ანალიტიკურია შესაბამისად, რეგიონში განტოლებას აქვს მხოლოდ ერთი გამოსავალი.

განვიხილოთ მეორე განცხადება. თუ წერტილი მდებარეობს კონტურის გარედან, მაშინ განტოლებას ასევე არ აქვს ამონახსნები A რეგიონში, რაც ნიშნავს რომ რეგიონის ნებისმიერი შინაგანი წერტილი კონფორმულ და არაივალენტურ რუქაზე მიდის რეგიონის შიდა წერტილში. ქ.ე.დ.

შენიშვნა 1. თეორემა 1 და 2 ასევე ეხება დომენებს და გაფართოებულ კომპლექსურ სიბრტყეს, რომელიც შემოსაზღვრულია მარტივი ნაჭერი გლუვი კონტურებით და.

თეორემა 3 (რეგიონის შენარჩუნების პრინციპი) თუ ფუნქცია არის ანალიტიკური რეგიონში და არ არის მუდმივი, მაშინ რეგიონის გამოსახულება ასევე არის რეგიონი.

თეორემის დასამტკიცებლად საჭიროა ნაჩვენები იყოს, რომ სიმრავლე წრფივად არის დაკავშირებული და ღიაა. ვინაიდან ანალიტიკა არის ანალიტიკურობის უწყვეტი რუქა, ამ რუქის ქვეშ ნებისმიერი გზასთან დაკავშირებული ნაკრების გამოსახულება არის გზასთან დაკავშირებული ნაკრები. აქედან გამომდინარე, წრფივად დაკავშირებული ნაკრები.

მოდით ახლა დავამტკიცოთ, რომ ღია ნაკრები, ე.ი. ნებისმიერი წერტილი შემოდის მის სამეზობლოში. დაე, წერტილის ერთ -ერთი წინასწარი სურათი. თუ, მაშასადამე, ინვერსიული ფუნქციის თეორემის თანახმად, წერტილის ზოგიერთ უბანში განისაზღვრება ფუნქცია, რომელიც უკუაქვს ფუნქციას. შესაბამისად, ამ უბნის ყველა წერტილი გამოსახულია რუქის ქვეშ და იგი მთლიანად ეკუთვნის. თუ, მაშინ მივედით იმავე დასკვნამდე, ვეყრდნობით თეორემას (შებრუნებული ფუნქციის შესახებ).

თეორემა 4 (მაქსიმალური მოდულის პრინციპი). თუ ფუნქცია არის ანალიტიკური რეგიონში და მისი მოდული აღწევს ადგილობრივ მაქსიმუმს რაღაც მომენტში, მაშინ ის მუდმივია.

ჩვენ ვადასტურებთ წინააღმდეგობას. დაე იყოს. რაღაც თვალსაზრისით, ჩვენ ვირჩევთ თვითნებურ სამეზობლოს, რომელიც მთლიანად ეკუთვნის რეგიონს და ვივარაუდოთ, რომ ის არ არის მუდმივი განსახილველ სამეზობლოში. ტერიტორიის შენარჩუნების პრინციპის თანახმად, წრის გამოსახულება, როდესაც ნაჩვენებია, არის ფართობი. ამრიგად, წერტილის ზოგიერთი მეზობლობის ყველა წერტილი არის წრის წერტილების გამოსახულება. ამ სამეზობლოში ჩვენ ვირჩევთ წერტილს, რომლისთვისაც (თუ, მაშინ შეგვიძლია ავიღოთ

და თუ, მაშინ მითითებული სამეზობლოს ნებისმიერი წერტილი შეიძლება მივიღოთ როგორც). ამ წერტილისთვის ჩვენ გვაქვს> მას შემდეგ, რაც წერტილის მეზობლობა შეიძლება შეირჩეს თვითნებურად მცირე რადიუსით, ჩვენ დავასკვნათ, რომ წერტილი არ არის ფუნქციის ადგილობრივი მაქსიმუმის წერტილი.

ასე რომ, თუ ფუნქცია არ არის მუდმივი წერტილის სიახლოვეს, მაშინ მას არ აქვს მაქსიმუმი წერტილში. თუ ის აღწევს თავის მაქსიმუმს რეგიონის რომელიმე წერტილში, მაშინ ფუნქცია მუდმივია წერტილის რომელიმე უბანში, ე.ი. საათზე ანალიტიკური ფუნქციის უნიკალურობის თეორემის თანახმად, ანალიტიკური ფუნქციები და ემთხვევა დომენში. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფუნქცია მუდმივია.

თეორემა 5. თუ ფუნქცია არის ანალიტიკური შეზღუდულ დომენში და უწყვეტია ამ დომენის დახურვისას, მაშინ ფუნქცია აღწევს თავის მაქსიმალურ მნიშვნელობას დომენის საზღვრებში.

მართლაც, თუ ფუნქცია მუდმივია at, მაშინ მისი უწყვეტობის გამო ის არის მუდმივი და თეორემის განცხადება აშკარაა.

თუ, თუმცა, არ არის მუდმივი, მაშინ, თეორემა 4 -ის თანახმად, ფუნქცია ვერ მიაღწევს დომენის უდიდეს მნიშვნელობას, ვინაიდან წინააღმდეგ შემთხვევაში, მას ექნებოდა ადგილობრივი მაქსიმუმი. მაგრამ, როგორც უწყვეტი დახურულ შეზღუდულ კომპლექტზე, ის აღწევს თავის მაქსიმალურ მნიშვნელობას ამ ნაკრებზე: ეს შეიძლება მოხდეს მხოლოდ რეგიონის საზღვარზე.

თეორემა 6. თუ ფუნქცია არის ანალიტიკური რეგიონში, არ აქვს ნულოვანი და მისი მოდული აღწევს ადგილობრივ მინიმუმს, მაშინ ის მუდმივია ამ რეგიონში.

თეორემა 7 (შვარცის ლემა). თუ წრეში ანალიტიკური ფუნქცია აკმაყოფილებს პირობებს, მაშინ და, z. უფრო მეტიც, თანასწორობა ან შესაძლებელია სულ მცირე ერთ წერტილში z 0 მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ

მტკიცებულება. გამომდინარე იქიდან, რომ წერტილი არის ფუნქციის ნული, ეს ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმით, სად არის ანალიტიკური ფუნქცია და. განვიხილოთ წრე შემოსაზღვრული წრით ფუნქცია არის ანალიტიკური at და უწყვეტი at. ამიტომ, თეორემა 5 -ის თანახმად, ის აღწევს თავის მაქსიმალურ მნიშვნელობას საზღვარზე. უფრო მეტიც, ვინაიდან თეორემის ჰიპოთეზით. ამიტომ, ყველგან ჩვენ გვაქვს.

დავუშვათ, რომ უთანასწორობა რაღაც მომენტში შენარჩუნებულია. მოდით ავირჩიოთ r<1 так, что. Тогда и, следовательно, . Получили противоречие, которое показывает, что на самом деле всюду в. В частности, в.

თუ, მაშინ ფუნქცია მაქსიმუმს აღწევს ერთის ტოლ წერტილში. ანალოგიურად, თანასწორობა ნიშნავს იმას, რომ ის მაქსიმუმს აღწევს ერთის ტოლ წერტილში. ორივე შემთხვევაში, მაქსიმალური მოდულის პრინციპის თანახმად, ფუნქცია არის მუდმივი, უფრო მეტიც. შესაბამისად, და.

თეორემა 8. მოდით ფუნქცია იყოს ჰარმონიული შემოსაზღვრულ დომენში და უწყვეტი ამ დომენის დახურვისას. თუ ის მუდმივი არ არის, მაშინ ის აღწევს მაქსიმალურ და მინიმალურ მნიშვნელობებს მხოლოდ ამ ტერიტორიის საზღვარზე.

მოდულის გეომეტრიული მნიშვნელობა და ანალიტიკური ფუნქციის არგუმენტი.დაე ფუნქცია w = f (z)არის ანალიტიკური დომენში D. არჩევა თვითნებური წერტილი და მისი მეშვეობით დახაზე თვითნებური გლუვი მრუდი, რომელიც მთლიანად დევს მასში დ... ფუნქცია ვ (ზ)აჩვენებს ტერიტორიას დრთული თვითმფრინავი ( ზ)თითო რეგიონში გრთული თვითმფრინავი ( ვ)... მოდით წერტილი იყოს ასახული წერტილზე და მრუდი მრუდზე. მოდით აღვნიშნოთ კუთხით, რომელიც შექმნილია ტანგენტის მიერ ღერძის წერტილში ოქსი,და მეშვეობით - კუთხე, რომელიც შედგება ტანგენტის მიერ ღერძის წერტილში ოუ... ვინაიდან ფუნქცია ვ (ზ)ანალიტიკური, მაშინ არის წარმოებული რეგიონის ნებისმიერ წერტილში დ... დავუშვათ, რომ დ... წარმოებული შეიძლება ექსპონენციალურად იყოს წარმოდგენილი, ე.ი. დაწერე ფორმაში:

მოდით ავირჩიოთ მისწრაფების მეთოდი, რომლის დროსაც წერტილები დევს მოსახვევში. შემდეგ კომპლექსური რიცხვების შესაბამისი წერტილები და სიბრტყეზე გამოსახული იქნება სეკანტების ვექტორები მოსახვევებში და, შესაბამისად, და არის სეკანტური ვექტორების სიგრძე, ასევე ამ ვექტორებისა და დადებითი ღერძების მიერ წარმოქმნილი კუთხეები. ამ, ეს სეკანტური ვექტორები გადადიან ტანგენტებში მოსახვევებში და წერტილებში და თანასწორობიდან (10) გამოდის, რომ, ე.ი. წარმოებულ არგუმენტს აქვს გეომეტრიული მნიშვნელობა განსხვავებისა ტანგენტური ვექტორის კუთხესა და ტანგენტ ვექტორის კუთხეს შორის. ვინაიდან წარმოებული არ არის დამოკიდებული ზღვარზე გადასვლის მეთოდზე, იგივე იქნება ნებისმიერი სხვა მრუდისათვის, რომელიც გადის წერტილში. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რკალები გადის წერტილში z 0ზედაპირზე ზჩვენებისას w = f (z)ბრუნავს იმავე კუთხეს თვითმფრინავზე w... როდესაც კუთხე სიბრტყის ნებისმიერ მოსახვევს შორის ( ზ)გავლით წერტილი z 0, უდრის კუთხეს მოსახვევებს შორის და თვითმფრინავზე ( ვ), მაშინ ამას ქონება ეწოდება კუთხეების შენარჩუნება (კონსერვატიზმი).

ანალოგიურად, თანასწორობიდან (10) ვიღებთ :, ე.ი. სიმცირის უმაღლესი რიგის ღირებულებებამდე, დაცულია შემდეგი თანასწორობა:

ბოლო კავშირი ასევე არ არის დამოკიდებული მრუდის არჩევის მეთოდზე და მისი გეომეტრიული მნიშვნელობა მდგომარეობს იმაში, რომ ანალიტიკური ფუნქციით შესრულებული რუქის ქვეშ, რომელიც აკმაყოფილებს მდგომარეობას, უსასრულოდ მცირე ხაზოვანი ელემენტები (უსასრულოდ მცირე რკალები) ანალოგიურად გარდაიქმნება და მოდული წარმოებულს ეწოდება მსგავსების კოეფიციენტი... ამ რუქის ამ თვისებას ქონება ეწოდება გაჭიმვის მუდმივობა, ამიტომ კასევე მოუწოდა გაჭიმვის კოეფიციენტი... ისინი ამბობენ, რომ როდესაც კ> 1 - დაძაბულობა, და at კ<1 – сжатие.

კონფორმული რუქისა და ძირითადი თვისებების განსაზღვრა. განმარტება 17.ერთ-ერთი ტერიტორიის რუქა დრთული თვითმფრინავი ( ზ)თითო რეგიონში გრთული თვითმფრინავი ( ვ)დაურეკა კონფორმულითუ ის ყველა წერტილშია ზ დფლობს კუთხეების კონსერვაციის და დაჭიმულობის მუდმივობას.

თეორემა 6.რთული ფუნქციის შესასრულებლად w = f (z)კონფორმულად დაადგინა ტერიტორია დთვითმფრინავი ( ზ)თითო რეგიონში გთვითმფრინავი ( ვ), აუცილებელია და საკმარისია, რომ ის იყოს ანალიტიკური დდა არცერთ რეგიონში დ.

□ საჭიროება... დავუშვათ. რა ფუნქცია w = f (z)ასრულებს კონფორმულ რუკებს. განმარტებით, ეს ნიშნავს კუთხეების შენარჩუნებისა და დაჭიმულობის მუდმივობის თვისებების შესრულებას. თვითმფრინავში ასვლა ზთვითნებური წერტილი z 0და მის სიახლოვეს არის ორი წერტილი: z 1და z 2ზედაპირზე wისინი შეესაბამება წერტილებს w 0, w 1, w 2

უსასრულო მცირე მნიშვნელობების სიზუსტით შესრულდება შემდეგი ურთიერთობები: და კუთხეების მუდმივიდან გამომდინარეობს :. არგუმენტების თანასწორობიდან გამომდინარეობს, რომ კუთხეები თანაბარია არა მხოლოდ აბსოლუტური მნიშვნელობით, არამედ მიმართულებითაც. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ :.

ამრიგად, ბოლო ორი ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ შემდეგი თანასწორობები დაკმაყოფილებულია უსასრულოდ მცირე მნიშვნელობებამდე: პუნქტის თვითნებური არჩევანის გამო z 0და ქულები z 1, z 2მისი სიახლოვიდან გამომდინარეობს, რომ არსებობს, ადეკვატურობა.მოდით წარმოებული არსებობდეს და არ იყოს ნულის ტოლი რეგიონში დ, მაშინ წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა გულისხმობს კუთხეების შენარჩუნებისა და დაჭიმულობის მუდმივობის თვისებების შესრულებას და ეს, განსაზღვრებით, ნიშნავს, რომ ფუნქცია ასრულებს კონფორმულ რუქას. ■

კონფორმული რუქა გამოიყენება მათემატიკური ფიზიკის, ჰიდროდინამიკისა და აეროდინამიკის, ელასტიურობის თეორიის, ელექტრომაგნიტური და თერმული ველების პრობლემების გადასაჭრელად. კონფორმული რუქის თეორიის მთავარი ამოცანაა რთული ცვლადის ფუნქციის პოვნა w = f (z),რომელიც აჩვენებდა მოცემულ არეს დთვითმფრინავი ზმოცემულ ტერიტორიაზე გთვითმფრინავი w... თეორემა მნიშვნელოვან როლს ასრულებს ამ პრობლემის გადაჭრაში.

თეორემა 7.ნებისმიერი უბრალოდ დაკავშირებული რეგიონი დრთული თვითმფრინავი ზ, რომლის საზღვარიც ერთზე მეტი წერტილისგან შედგება, შეიძლება კონფორმულად იყოს გამოსახული ერთეული წრის ინტერიერში<1 комплексной плоскости w(არანაირი მტკიცებულება).

ეს თეორემა გულისხმობს მოცემული დომენის კონფორმული რუქის შესაძლებლობას დმოცემულ ტერიტორიაზე G,თუ თითოეული რეგიონის საზღვარი შედგება ერთზე მეტი პუნქტისგან. შემდეგ, ამ ტერიტორიების რუქებით დამხმარე წრე <1, мы получим искомое отображение. Конформное отображение многосвязной области на односвязную область невозможно, но в ряде случаев возможно конформное отображение областей одинаковой связности. Рассмотрим два конформных отображения.

ხაზოვანი ჩვენება. ხაზოვანიეწოდება წრფივი ფუნქციით შესრულებული რუქა, სადაც ადა ბ- რთული რიცხვები.

ასეთი რუქა არის ერთ – ერთი და შეესაბამება მთელ რთულ სიბრტყეს, ვინაიდან ხაზოვანი რუქა ორ წერტილს ტოვებს ფიქსირებული:

მოდით წარმოვადგინოთ ხაზოვანი რუქა სამი უმარტივესის სახით.

1) გადააქციე მთლიანი z სიბრტყის ბრუნვა წარმოშობის კუთხეზე:

2) მსგავსების გარდაქმნა მსგავსების ცენტრთან წარმოშობისას, ე.ი. დაძაბულობა> 1 -ზე და შეკუმშვა 0 -ზე< <1:

3) პარალელურად გადატანა ვექტორზე ბ:

მაგალითი 4.იპოვნეთ ფუნქცია, რომელიც აჩვენებს სამკუთხედს მოცემული წვეროებით z 1 = -1, z 2 = i, z 3 = 1სამკუთხედში წვეროებით w 1 = 0, w 2 = -2 + 2i, w 3 = 4i.

გამოსავალი.მოდით შევქმნათ საჭირო ფუნქცია, როგორც სამი ელემენტარული გარდაქმნის სუპერპოზიცია.

1) - საათის ისრის საწინააღმდეგო ბრუნვა;

2) - ორჯერ გაჭიმვა;

3) - გადაადგილება ორი ერთეულით;

საჭირო ფუნქციას აქვს ფორმა:

ფრაქციული ხაზოვანი რუქა.ფრაქციული ხაზოვანი ფუნქცია, სად ა ბ გ დ- კომპლექსური რიცხვები ახორციელებს წრფივი წილადი რუქაგაფართოებული რთული თვითმფრინავი ზ w... იპოვეთ წარმოებული: თუ .

განმარტება 18.ქულები z 1და z 2უწოდებენ სიმეტრიულია წრის შესახებთუ ისინი წევენ წერტილებზე გამავალ ერთ სხივზე z 1, z 2 დაწერტილი z 0,უფრო მეტიც

ინვერსიაწრესთან მიმართებაში ეწოდება გაფართოებული რთული სიბრტყის გარდაქმნას საკუთარ თავზე, რომელიც გადასცემს თითოეულ წერტილს z 1თვითმფრინავი წერტილამდე z 2სიმეტრიულია ამ წრის შესახებ. განვიხილოთ ფუნქციის მიერ მოცემული რუქა და აღვნიშნოთ მოდულის თვისების გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ:. აქედან გამომდინარეობს, რომ განსახილველი რუქა არის ინვერსია რადიუსის წრის მიმართ რ,ორიენტირებული წარმოშობაზე და შემდეგ ასახული რეალური ღერძის გარშემო.

ხაზოვანი რუქის ანალოგიით, ჩვენ წარმოვადგენთ წრფივ ფრაქციულ რუქას, როგორც უმარტივესი გარდაქმნების სუპერპოზიციას. პირველი, მოდით შევარჩიოთ წილის მთელი ნაწილი:

უმარტივესი გარდაქმნები იქნება შემდეგი:

1) პარალელური გადაცემა :;

2) ინვერსიის გარდაქმნა რადიუსის წრის მიმართ რორიენტირებული წარმოშობაზე, რასაც მოჰყვება სარკისებური გამოსახულება რეალური ღერძის შესახებ :;

3) როტაცია კოორდინატების წარმოშობის შესახებ :;

4) პარალელური გადაცემა:.

მაგალითი 5.იპოვეთ წრე წრფივი წილადი რუქის სფეროში.

გამოსავალი.

ეს იქნება წრე, რომელიც მიიღება შემდეგი გარდაქმნების შემდეგ:

1) გადაიტანე 1 ქვემოთ:

2) ინვერსია ფარდობითია, სიარულის მიმართულება შეიცვლება:

3) 90 გრადუსიანი ბრუნვა:

4) გადარიცხეთ 1 ქვემოთ:

წილადი წრფივი ჩვენების თვისებები.ჩვენ ვაცხადებთ შემდეგ თვისებებს მტკიცებულების გარეშე.

1. შესაბამისობა.ფრაქციული წრფივი ფუნქცია კონფორმულად ასახავს გაფართოებულ კომპლექსურ სიბრტყეს ზგაფართოებულ კომპლექსურ სიბრტყემდე w.

2. უნიკალურობა.არსებობს ერთი წრფივი წილადი ფუნქცია, რომელსაც აქვს სამი განსხვავებული წერტილი z 1, z 2, z 3თვითმფრინავი ზრუქები სამ სხვადასხვა წერტილზე w 1, w 2, w 3თვითმფრინავი wდა ეს რუქა მოცემულია თანასწორობით:.

3. წრიული ქონება.წრფივი ფრაქციული რუქით, ნებისმიერი წრის გამოსახულება ფართო გაგებით არის წრე (ფართო გაგებით, ანუ წრე ან ნებისმიერი სწორი ხაზი).

4. საზღვრების ჩვენების პრინციპი.წრფივი წილადური რუქის საშუალებით, ის წრე, რომელიც მდებარეობს წრის შიგნით, გარდაიქმნება იმ ფართობად, რომელიც მდებარეობს ტრანსფორმირებული წრის შიგნით ან გარეთ (საზღვარი ნაჩვენებია როგორც საზღვარი).

5. რიმან-შვარცის სიმეტრიის პრინციპი.წრფივი წილადი რუქის დროს წრეზე სიმეტრიული წერტილები ასახულია იმ წერტილებად, რომლებიც სიმეტრიულია გარდაქმნილი წრის მიმართ (სიმეტრია ინვერსიის გაგებით).

მაგალითი 6.მოცემულია თვითმფრინავის ზედა ნახევარ სიბრტყე ზდა თვითნებური წერტილი z 0... იპოვნეთ ფუნქცია, რომელიც ასახავს მას სიბრტყის ერთეულ წრეში wასე რომ z 0ნაჩვენებია წრის ცენტრში.

გამოსავალი.

მოდით, საზღვრების რუქის პრინციპის თანახმად, რეალური ღერძი თვითმფრინავზე ზიქნება რუქაზე ერთეული რადიუსის წრეზე. სიმეტრიის თვისება ასახავს წერტილს წერტილამდე. ასე რომ, ამის გათვალისწინებით, მოდით ავაშენოთ ფუნქცია. თუ გავითვალისწინებთ პუნქტებს ზცრუობს რეალურ ღერძზე და ეს არის ფორმის წერტილები: მაშინ მათთვის თანასწორობა შესრულდება: ისინი ჯერ კიდევ თანაბრად არიან დაშორებული რეალური ღერძის წერტილიდან, ე.ი. ჩვენ გვაქვს, რომ რეალური ღერძის ყველა წერტილი არის ასახული ერთეულის წრის ყველა წერტილში. მაშასადამე, ჩვენ აღმოვაჩენთ, რომ თუ გავითვალისწინებთ მოდულს, სასურველ რუქას ექნება ფორმა:.

მოაგვარეთ კიდევ ერთი წრფივი წილადი რუქის პრობლემა და ჩადეთ ორივე პირველ მოდულში!

აქ ჩვენ უფრო დეტალურად ვისაუბრებთ ანალიტიკური და განზოგადებული ანალიტიკური ფუნქციების თეორიის გეომეტრიულ მეთოდებზე, რომელსაც ჩვენ ყველაზე მეტად გამოვიყენებთ პროგრამებში.

§ 10. რიმანის პრობლემა

კონფორმული შედგენის თეორიის ეს ძირითადი სასაზღვრო ღირებულების პრობლემა უკვე განხილული იყო წინა თავში. იგი შედგება ერთი რეგიონიდან მეორეზე კონფორმული რუქის აგებაში.

არსებობა და უნიკალურობა.დავიწყოთ შენიშვნით, რომ საკმარისია ვისწავლოთ თუ როგორ უნდა დავხატოთ თვითნებურად უბრალოდ დაკავშირებული რეგიონი წრეზე და შემდეგ ჩვენ შევძლებთ ნებისმიერი ორი ასეთი რეგიონის კონფორმულად ერთმანეთზე გამოსახვას.

ეს შენიშვნა ემყარება კონფორმული რუქების ორ მარტივ თვისებას: 1) ინვერსიული რუქა კონფორმულ რუქაზე და 2) კომპლექსური რუქა, რომელიც შედგება ორი კონფორმული რუქისგან (მაგ., რუქა) ისევ კონფორმული რუქებია. თვისებები ნათელია კონფორმული რუქის განმარტებით, როგორც ცალ-ცალკე ანალიტიკური გარდაქმნა და ინვერსიული და რთული ფუნქციების დიფერენცირების წესებიდან.

ამ თვისებების გათვალისწინებით, სულაც არ არის რთული გაკეთებული შენიშვნის დასაბუთება: თუ ფუნქციები შეესაბამება, შესაბამისად, ერთეულის დომენებს

წრე, მაშინ ფუნქცია იქნება რუკაზე

რიამანის პრობლემა ბოლომდე მოგვარდა ამ საუკუნის დასაწყისში. აღმოჩნდა, რომ ნებისმიერი უბრალოდ დაკავშირებული რეგიონი, რომლის საზღვარიც ერთზე მეტი წერტილისგან შედგება, შეიძლება კონფორმულად იყოს გამოსახული ერთეულ წრეზე. ეს არის რიმანის ცნობილი თეორემა, რომელიც მან ჩამოაყალიბა ჯერ კიდევ 1851 წელს, ფიზიკური მოსაზრებებით, მაგრამ არ დაამტკიცა (უფრო ზუსტად, მის მტკიცებულებას მნიშვნელოვანი ხარვეზი ჰქონდა).

მოდით განვიხილოთ კითხვა, რამდენად კარგად არის განსაზღვრული რიმანის პრობლემა, რამდენი გადაწყვეტა აქვს მას მოცემული დომენებისთვის. ადვილი შესამოწმებელია, რომ ნებისმიერი რთული და რეალური რიცხვის ფუნქცია

კონფორმულად ასახავს წრეს თავის თავზე (ფაქტობრივად, რადგან ჩვენ გვაქვს და, შესაბამისად, ანუ (1) ერთეულ წრეს გარდაქმნის საკუთარ თავში; გარდა ამისა, ის არის ერთი-ერთზე, რადგან განტოლება (1) ცალსახად ხსნადია წრის წერტილის მიმართ და გარდაქმნის მის ცენტრად). ჩვენება (1) დამოკიდებულია სამ რეალურ პარამეტრზე - a წერტილის ორი კოორდინატი, რომელიც გადადის წრის ცენტრში და რიცხვი 0, რომლის შეცვლა ნიშნავს წრის ბრუნვას ცენტრთან შედარებით.

შეიძლება დამტკიცდეს, რომ ფორმულა (1) შეიცავს ერთეულის დისკის ყველა შესაბამის გამოსახულებას თავის თავზე. ეს ნიშნავს, რომ რიამანის პრობლემის გადაჭრაში თვითნებობა ამოწურულია სამი რეალური პარამეტრით:

ერთი ტერიტორიის მეორეზე მორგებული რუქა ცალსახად განისაზღვრება, თუ თქვენ დააყენებთ სამი წყვილი სასაზღვრო წერტილის შესაბამისობას (საზღვრის წერტილის პოზიცია განისაზღვრება ერთი პარამეტრით) ან ერთი წყვილი შინაგანი წერტილების შესაბამისობა (ორი პარამეტრი) და კიდევ ერთი წყვილი სასაზღვრო პუნქტი (ერთი პარამეტრი). ისეთ პირობებს, რომლებიც ცალსახად განსაზღვრავენ რუქას - მათ ნორმალიზაციის პირობებს უწოდებენ - შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული ფორმა, მაგრამ ყოველ ჯერზე ამ პირობებმა უნდა განსაზღვროს სამი პარამეტრი.

მაგალითები.აქ არის რამოდენიმე უმარტივესი მაგალითი კონფორმული რუქებისა.

1) წრის გარეგნობის შედგენა საკუთარ თავზე. ფუნქცია (1) ასევე შეიძლება ჩაითვალოს, როგორც ამსახველი გარეგნობა, ანუ ტერიტორია თავის თავზე; უსასრულობამდე, ის გადასცემს წერტილს, რომელსაც ეწოდება სიმეტრიული ერთეულ წრესთან შედარებით

2) ზედა ნახევარი სიბრტყე თითო წრეზე ასევე ნაჩვენებია წილადი ხაზოვანი ფუნქციით:

აქ არის ზედა ნახევარი სიბრტყის თვითნებური წერტილი; იგი ითარგმნება რუქის (2) წრის ცენტრში; წრის წერტილი, რომელშიც გადის სიბრტყის უსასრულო წერტილი ((2) –ის მარჯვენა მხარის ზღვარი აშკარად უდრის).

ლეღვი 22 გვიჩვენებს, თუ სად მიდის სწორი ხაზები h - ეს არის წრეები, რომლებიც თანაზომიერია ერთეულის წერტილში

3) ერთეულის წრის გამოჩენა სეგმენტის გარედან ნაჩვენებია ე.წ ჟუკოვსკის ფუნქციით

წრეები გადაიქცევა ელიფსებად ნახევარაქსუსებით და ფოკუსებით ± 1, ხოლო სხივები ჰიპერბოლების რკალებად ელიფსებამდე ორთოგონალური (სურ. 23).

4) ჩიხი თითო წრეზე ნაჩვენებია ფუნქციით

ამ შემთხვევაში, ვერტიკალური სწორი ხაზები და ჰორიზონტალური სეგმენტები გადადიან "მერიდიანებში" და "პარალელებში" (სურ. 24).

5) ზედა ნახევარი სიბრტყე ერთად გადაგდებული წრიული სეგმენტი ზედა ნახევარ სიბრტყეზე ნორმალიზაციის დროს ნაჩვენებია ფუნქციით

სადაც a და a არის სეგმენტის პარამეტრები (ნახაზი 25), და c არის რეალური მუდმივი (გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენი ნორმალიზაციის პირობებში მითითებულია მხოლოდ ორი რეალური პარამეტრი, ამიტომ მესამე რჩება თვითნებური).

ეს ფორმულა ძალიან რთულია განაცხადებისთვის. მცირე a და a– სთვის, ტეილორის გაფართოების პირველი პირობების გამოყენებით, ის შეიძლება შეიცვალოს სავარაუდო ფორმულით

ისიც შეიძლება აღინიშნოს, რომ მცირე უფრო მაღალი ორდენების ჩათვლით, იძლევა ფართს განდევნილი სეგმენტიდან, ამიტომ (6) გადაწერილია სახით

6) წრე, რომელსაც მცირე ხვრელი აქვს გადაგდებული წრეზე, ასევე ნაჩვენებია საკმაოდ დამღლელი ჩაწერის ფუნქციით. ასეთი რუქის სავარაუდო ფორმულა, იმ პირობით, რომ ამოღებული ხვრელის ფართობი მცირეა, შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

აქ არის მთვარის მწვერვალი ან (იგივე სიზუსტით) მისი სხვა წერტილი.

7) იგივე სავარაუდო ფორმულა მცირე ზომის არეზე გამოსახული მცირე ფართობით, მცირე ფართობით, ზოლზე, აქვს ფორმა

სადაც a არის ხვრელის ერთ -ერთი წერტილის აბსცესი; ჰიპერბოლური ტანგენსი.

არხის ნაკადი.რიმანის პრობლემის გადაჭრის უნარი განსაზღვრავს ჰიდროდინამიკის ზოგიერთი პრობლემის გადაჭრის წარმატებას. ჩვენ ამის ილუსტრაციას შევუდგებით სხეულების ირგვლივ არსებული პრობლემების იდეალური შეუსაბამო სითხის სტაბილური ნაკადების გამოყენებით. ჩვენ, რა თქმა უნდა, უნდა ვივარაუდოთ, რომ სხეულებს აქვთ უსასრულო ცილინდრების ფორმა (თვითნებური სახელმძღვანელო ხაზებით), რათა შევძლოთ პლანეტური მოძრაობის სქემის გამოყენება.

დაე აუცილებელი იყოს არხის პოვნა კედლებით, რომლებიც პერპენდიკულარულია გარკვეული სიბრტყის მიმართ და იკვეთება ორი უსასრულო მოსახვევის გასწვრივ საერთო წერტილების გარეშე (სურ. 26), ხოლო ნაკადის სიჩქარეები ამ სიბრტყის პარალელურია და იგივეა ყველა პერპენდიკულარული მასზე. არხის სიჩქარის ველი აღწერილია ბრტყელი ველი ზოლით, რომელიც შემოსაზღვრულია მოსახვევებით

როგორც წინა თავში ვნახეთ, ვარაუდი ნაკადში წყაროებისა და მორევების არარსებობის შესახებ მიგვიყვანს კომპლექსური პოტენციალის არსებობის შესახებ - ანალიტიკური ფუნქცია ფუნქცია იპოვე ნაკადი - ნიშნავს ამ ფუნქციის პოვნას.

ნაკადი უნდა გადიოდეს არხის კედლების გარშემო, ანუ თითოეული მოსახვევი უნდა იყოს ნაკადული, ეს იძლევა პრობლემის სასაზღვრო მდგომარეობას. შეგვიძლია ვკითხოთ

ასევე ნაკადის სიჩქარე, რომელიც, როგორც ნაჩვენებია ბოლო თავში, არის

სადაც y არის ხაზი ბოლოებით, ანუ ნაკადის ნებისმიერი განივი მონაკვეთი. ვინაიდან ჩვენ დაინტერესებული ვართ პოტენციალით მუდმივ ვადამდე, შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ გ.

ამ ფორმულირებაში პრობლემა ჯერ კიდევ ძალიან ბუნდოვანია. მაგალითად, იმ შემთხვევისთვის, როდესაც ის პირდაპირი ზოლია, ნებისმიერი ფუნქცია ემსახურება მის გადაწყვეტას

ნებისმიერი რეალური და მთელი რიცხვისთვის (წარმოსახვითი ნაწილი ქრება პრობლემის უფრო მკაფიოდ ჩამოყალიბებისთვის, ჩვენ უნდა ვივარაუდოთ, რომ ზოლის სიგანე უსასრულობაში შემოსაზღვრულია, ვუშვებთ გარკვეულ სიგლუვეს და განვიხილავთ მხოლოდ ნაკადებს შეზღუდული სიჩქარით უსასრულობაში. დამატებითი შეზღუდვები, პრობლემის გადაწყვეტა არის მხოლოდ დომენის კონფორმული რუქა ნორმალიზების ზოლზე. ეს რუქა განისაზღვრება (რეალური) მუდმივი ვადით, რაც არ არის არსებითი, ანუ ნაკადის პრობლემა მიღებულ შეზღუდვებში მისი გადაწყვეტა მცირდება რიმანის პრობლემის გადაჭრაში.