Sa araling ito, titingnan natin ang dalawa pang vector operations: produkto ng vector ng mga vector at pinaghalong produkto ng mga vector (i-link kaagad, sino ang nangangailangan nito)... Okay lang, minsan nangyayari na para sa kumpletong kaligayahan, bukod pa sa tuldok na produkto ng mga vector, ito ay tumatagal ng higit pa at higit pa. Ganyan ang pagkagumon sa vector. Maaaring magkaroon ng impresyon ang isa na papasok tayo sa gubat ng analytic geometry. Hindi ito totoo. Sa seksyong ito ng mas mataas na matematika, sa pangkalahatan ay walang sapat na panggatong, maliban na mayroong sapat para sa Buratino. Sa katunayan, ang materyal ay napaka-pangkaraniwan at simple - halos hindi mas kumplikado kaysa sa pareho produktong scalar, magkakaroon ng mas kaunting mga karaniwang gawain. Ang pangunahing bagay sa analytic geometry, dahil marami ang makumbinsi o nakumbinsi na, ay HINDI MAGKAKAMALI SA MGA PAGKUKULANG. Ulitin bilang isang spell, at ikaw ay magiging masaya =)

Kung kumikinang ang mga vector sa isang lugar sa malayo, tulad ng kidlat sa abot-tanaw, hindi mahalaga, magsimula sa aralin Mga vector para sa mga dummies upang mabawi o mabawi ang pangunahing kaalaman sa mga vector. Ang mas handa na mga mambabasa ay maaaring maging pamilyar sa impormasyon nang pili, sinubukan kong kolektahin ang pinaka kumpletong koleksyon ng mga halimbawa na madalas na matatagpuan sa Praktikal na trabaho

Paano ka kaagad mapasaya? Noong bata pa ako, marunong na akong mag-juggle gamit ang dalawa o kahit tatlong bola. Dexterously pala. Ngayon hindi mo na kailangang mag-juggle, dahil isasaalang-alang namin mga spatial vectors lamang, at ang mga plane vector na may dalawang coordinate ay maiiwan. Bakit? Ito ay kung paano ipinanganak ang mga pagkilos na ito - ang vector at pinaghalong produkto ng mga vector ay tinukoy at gumagana sa tatlong-dimensional na espasyo. Mas madali na!

Ang operasyong ito, sa parehong paraan tulad ng sa produkto ng tuldok, ay kinabibilangan dalawang vector... Hayaan itong mga hindi nasisira na mga titik.

Ang aksyon mismo ipinapahiwatig sa sumusunod na paraan: . Mayroong iba pang mga pagpipilian, ngunit sanay akong tukuyin ang produkto ng vector ng mga vector sa ganoong paraan, sa mga square bracket na may krus.

At kaagad tanong: kung nasa tuldok na produkto ng mga vector dalawang vector ang kasangkot, at dito, din, dalawang vector ang pinarami, pagkatapos ano ang pinagkaiba? Ang malinaw na pagkakaiba ay, una sa lahat, sa RESULTA:

Ang resulta ng tuldok na produkto ng mga vector ay NUMBER:

Ang produkto ng vector ng mga vector ay nagreresulta sa isang VECTOR:, ibig sabihin, pinaparami natin ang mga vector at muling nakakuha ng isang vector. Saradong club. Sa totoo lang, kaya ang pangalan ng operasyon. Sa iba't ibang literaturang pang-edukasyon, ang mga pagtatalaga ay maaari ding mag-iba, gagamitin ko ang liham.

Kahulugan ng isang cross product

Una ay magkakaroon ng kahulugan na may isang larawan, pagkatapos ay magkomento.

Kahulugan: Sa pamamagitan ng produkto ng vector hindi collinear mga vector, kinuha sa ganitong pagkakasunud-sunod, tinatawag na VECTOR, haba na ayon sa bilang katumbas ng lugar ng paralelogram binuo sa mga vectors na ito; vector orthogonal sa mga vector, at itinuro upang ang batayan ay may tamang oryentasyon:

Na-parse namin ang kahulugan sa pamamagitan ng mga buto, maraming mga kagiliw-giliw na bagay!

Kaya, ang mga sumusunod na mahahalagang punto ay maaaring i-highlight:

1) Ang orihinal na mga vector, na tinutukoy ng mga pulang arrow, ayon sa kahulugan hindi collinear... Angkop na isaalang-alang ang kaso ng mga collinear vectors sa ibang pagkakataon.

2) Ang mga vector ay kinuha sa isang mahigpit na tinukoy na pagkakasunud-sunod: – Ang "A" ay pinarami ng "bh", at hindi "bh" sa "a". Ang resulta ng pagpaparami ng vector ay ang VECTOR, na minarkahan ng asul. Kung ang mga vector ay pinarami sa reverse order, makakakuha tayo ng isang vector na katumbas ng haba at kabaligtaran ng direksyon (kulay ng pulang-pula). Ibig sabihin, totoo ang pagkakapantay-pantay .

3) Ngayon, kilalanin natin ang geometric na kahulugan ng produkto ng vector. Ito ay isang napakahalagang punto! Ang LENGTH ng asul na vector (at, samakatuwid, ang crimson vector) ay numerong katumbas ng AREA ng parallelogram na binuo sa mga vector. Sa figure, ang paralelogram na ito ay may kulay na itim.

Tandaan : ang pagguhit ay eskematiko, at, siyempre, ang nominal na haba ng cross product ay hindi katumbas ng lugar ng parallelogram.

Naaalala namin ang isa sa mga geometric na formula: ang lugar ng parallelogram ay katumbas ng produkto ng mga katabing panig sa pamamagitan ng sine ng anggulo sa pagitan nila... Samakatuwid, batay sa itaas, ang formula para sa pagkalkula ng LENGTH ng isang produkto ng vector ay wasto:

Binibigyang-diin ko na sa formula ay pinag-uusapan natin ang LENGTH ng vector, at hindi ang mismong vector. Ano ang praktikal na punto? At ang kahulugan ay na sa mga problema ng analytical geometry, ang lugar ng isang paralelogram ay madalas na matatagpuan sa pamamagitan ng konsepto ng isang produkto ng vector:

Nakukuha namin ang pangalawa mahalagang pormula... Ang dayagonal ng paralelogram (pulang may tuldok na linya) ay hinahati ito sa dalawang pantay na tatsulok. Samakatuwid, ang lugar ng isang tatsulok na binuo sa mga vectors (red shading) ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

4) Ang isang pantay na mahalagang katotohanan ay ang vector ay orthogonal sa mga vector, iyon ay, ... Siyempre, ang oppositely directed vector (crimson arrow) ay orthogonal din sa orihinal na vectors.

5) Ang vector ay nakadirekta sa gayon batayan Mayroon itong tama oryentasyon. Sa aralin tungkol sa paglipat sa isang bagong batayan Nagsalita ako ng sapat na detalye tungkol sa oryentasyon ng eroplano, at ngayon ay malalaman natin kung ano ang oryentasyon ng espasyo. Ipapaliwanag ko sa iyong mga daliri kanang kamay... Mentally combine hintuturo may vector at hinlalato may vector. Ring finger at pinky pindutin ito sa iyong palad. Ang resulta hinlalaki- titingin ang cross product. Ito ang right-oriented na batayan (sa figure ito ay ito). Ngayon baguhin ang mga vectors ( hintuturo at gitnang daliri) sa mga lugar, bilang isang resulta, ang hinlalaki ay magbubukas, at ang cross product ay titingin na sa ibaba. Ito rin ay isang batayan na nakatuon sa tama. Marahil mayroon kang tanong: ano ang batayan ng kaliwang oryentasyon? "Italaga" sa parehong mga daliri kaliwang kamay vectors, at kunin ang kaliwang batayan at kaliwang oryentasyon ng espasyo (sa kasong ito, ang hinlalaki ay matatagpuan sa direksyon ng mas mababang vector)... Sa matalinghagang pagsasalita, ang mga base na ito ay "twist" o i-orient ang espasyo sa iba't ibang direksyon. At ang konsepto na ito ay hindi dapat isaalang-alang bilang isang bagay na malayo o abstract - halimbawa, ang oryentasyon ng espasyo ay binago ng pinaka-ordinaryong salamin, at kung "hilahin mo ang nakalarawan na bagay mula sa salamin", kung gayon sa pangkalahatang kaso hindi ito maaaring pagsamahin sa "orihinal". Sa pamamagitan ng paraan, dalhin ang tatlong daliri sa salamin at suriin ang pagmuni-muni ;-)

... kung gaano kahusay na alam mo na ngayon ang tungkol sa kanan at kaliwa oriented base, kasi grabe ang mga pahayag ng ilang lecturer tungkol sa pagbabago ng oryentasyon =)

Cross product ng collinear vectors

Ang kahulugan ay nasuri nang detalyado, nananatili itong malaman kung ano ang mangyayari kapag ang mga vector ay collinear. Kung ang mga vector ay collinear, maaari silang matatagpuan sa isang tuwid na linya at ang aming parallelogram ay "natitiklop" din sa isang tuwid na linya. Ang lugar ng ganoon, gaya ng sinasabi ng mga mathematician, mabulok paralelogram ay zero. Ang parehong sumusunod mula sa formula - ang sine ng zero o 180 degrees ay katumbas ng zero, na nangangahulugan na ang lugar ay zero.

Kaya, kung, pagkatapos at ... Tandaan na ang cross product mismo ay katumbas ng zero vector, ngunit sa pagsasanay ito ay madalas na napapabayaan at nakasulat na ito ay zero din.

Ang isang espesyal na kaso ay ang produkto ng vector ng isang vector mismo:

Gamit ang cross product, maaari mong suriin ang collinearity ng three-dimensional vectors, at susuriin din namin ang problemang ito, bukod sa iba pa.

Upang malutas ang mga praktikal na halimbawa, maaaring kailanganin mo trigonometriko talahanayan upang mahanap ang mga halaga ng sine mula dito.

Buweno, magsindi tayo ng apoy:

Halimbawa 1

a) Hanapin ang haba ng vector product ng mga vectors kung

b) Hanapin ang lugar ng isang paralelogram na binuo sa mga vectors kung

Solusyon: Hindi, hindi ito isang typo, sadyang ginawa kong pareho ang paunang data sa mga sugnay ng kundisyon. Dahil mag-iiba ang disenyo ng mga solusyon!

a) Sa pamamagitan ng kondisyon, ito ay kinakailangan upang mahanap ang haba vector (produktong vector). Ayon sa kaukulang formula:

Sagot:

Dahil ang tanong ay tinanong tungkol sa haba, pagkatapos ay sa sagot ay ipinapahiwatig namin ang dimensyon - mga yunit.

b) Sa pamamagitan ng kondisyon, ito ay kinakailangan upang mahanap parisukat isang paralelogram na binuo sa mga vector. Ang lugar ng parallelogram na ito ay ayon sa bilang na katumbas ng haba ng produkto ng vector:

Sagot:

Pakitandaan na ang sagot tungkol sa produkto ng vector ay wala sa tanong, tinanong kami tungkol sa lugar ng pigura, ayon sa pagkakabanggit, ang dimensyon ay square units.

Palagi naming tinitingnan kung ANO ang kinakailangan upang matagpuan ng kundisyon, at, batay dito, bumalangkas kami malinaw sagot. Maaaring mukhang literal ito, ngunit may sapat na mga literalista sa mga guro, at ang gawain na may magandang pagkakataon ay babalik para sa rebisyon. Bagaman ito ay hindi isang partikular na pilit na pagmamaktol - kung ang sagot ay hindi tama, kung gayon ang isa ay nakakakuha ng impresyon na ang tao ay hindi nauunawaan ang mga simpleng bagay at / o hindi naiintindihan ang kakanyahan ng gawain. Ang sandaling ito ay dapat palaging panatilihing nasa ilalim ng kontrol, paglutas ng anumang problema sa mas mataas na matematika, at sa iba pang mga paksa.

Saan napunta ang malaking letrang "en"? Sa prinsipyo, maaari itong maging karagdagan sa solusyon, ngunit upang paikliin ang pag-record, hindi ko ginawa. Umaasa ako na naiintindihan ng lahat iyon at isang pagtatalaga ng parehong bagay.

Sikat na halimbawa para sa isang do-it-yourself na solusyon:

Halimbawa 2

Hanapin ang lugar ng isang tatsulok na binuo sa mga vectors kung

Ang formula para sa paghahanap ng lugar ng isang tatsulok sa pamamagitan ng cross product ay ibinibigay sa mga komento sa kahulugan. Solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Sa pagsasagawa, ang gawain ay talagang napaka-pangkaraniwan, ang mga tatsulok sa pangkalahatan ay maaaring pahirapan ka.

Upang malutas ang iba pang mga problema, kailangan namin:

Mga katangian ng produkto ng vector

Napag-isipan na namin ang ilang katangian ng cross product, gayunpaman, isasama ko sila sa listahang ito.

Para sa mga arbitrary na vector at isang arbitrary na numero, ang mga sumusunod na katangian ay wasto:

1) Sa iba pang mga mapagkukunan ng impormasyon, ang item na ito ay karaniwang hindi naka-highlight sa mga katangian, ngunit ito ay napakahalaga sa mga praktikal na termino. Kaya hayaan mo na.

2) - ang ari-arian ay tinalakay din sa itaas, kung minsan ito ay tinatawag anticommutativity... Sa madaling salita, mahalaga ang pagkakasunud-sunod ng mga vector.

3) - kumbinasyon o nag-uugnay mga batas ng isang produkto ng vector. Walang putol na inaalis ang mga constant sa labas ng produkto ng vector. Talaga, ano ang dapat nilang gawin doon?

4) - pamamahagi o distributive mga batas ng isang produkto ng vector. Wala ring problema sa pagpapalawak ng mga bracket.

Bilang isang pagpapakita, isaalang-alang ang isang maikling halimbawa:

Halimbawa 3

Hanapin kung

Solusyon: Ayon sa kondisyon, muling kinakailangan upang mahanap ang haba ng cross product. Isulat natin ang ating thumbnail:

(1) Ayon sa mga nauugnay na batas, inililipat namin ang mga constant sa labas ng dibisyon ng produkto ng vector.

(2) Inilipat namin ang pare-pareho sa labas ng module, habang ang module ay "kumakain" ng minus sign. Ang haba ay hindi maaaring negatibo.

(3) Ang mga sumusunod ay malinaw.

Sagot:

Oras na para maglagay ng kahoy sa apoy:

Halimbawa 4

Kalkulahin ang lugar ng isang tatsulok na binuo sa mga vectors kung

Solusyon: Ang lugar ng tatsulok ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula ... Ang catch ay ang mga vector na "tse" at "de" ay kinakatawan mismo bilang mga kabuuan ng mga vector. Ang algorithm dito ay pamantayan at medyo nakapagpapaalaala sa mga halimbawa 3 at 4 ng aralin Tuldok na produkto ng mga vector... Para sa kalinawan, hatiin natin ang solusyon sa tatlong yugto:

1) Sa unang hakbang, ipinapahayag namin ang produkto ng vector sa mga tuntunin ng produkto ng vector, sa katunayan, ipahayag ang vector sa mga tuntunin ng vector... Wala pang salita tungkol sa haba!

(1) Palitan ang mga expression ng vector.

(2) Gamit ang mga batas sa pamamahagi, pinalawak namin ang mga bracket ayon sa panuntunan ng pagpaparami ng mga polynomial.

(3) Gamit ang mga nauugnay na batas, inililipat namin ang lahat ng mga constant sa labas ng mga produkto ng vector. Sa kaunting karanasan, ang mga aksyon 2 at 3 ay maaaring isagawa nang sabay-sabay.

(4) Ang una at huling termino ay katumbas ng zero (zero vector) dahil sa isang kaaya-ayang katangian. Sa pangalawang termino, ginagamit namin ang anticommutativity property ng vector product:

(5) Nagpapakita kami ng mga katulad na termino.

Bilang isang resulta, ang vector ay ipinahayag sa mga tuntunin ng vector, na kung ano ang kinakailangan upang makamit:

2) Sa pangalawang hakbang, nakita namin ang haba ng produkto ng vector na kailangan namin. Ang pagkilos na ito ay kahawig ng Halimbawa 3:

3) Hanapin ang lugar ng kinakailangang tatsulok:

Ang mga yugto 2-3 desisyon ay maaaring makumpleto sa isang linya.

Sagot:

Ang problemang isinasaalang-alang ay medyo laganap sa gumaganang kontrol, narito ang isang halimbawa para sa isang do-it-yourself na solusyon:

Halimbawa 5

Hanapin kung

Isang maikling solusyon at sagot sa dulo ng tutorial. Tingnan natin kung gaano ka naging maingat sa pag-aaral ng mga nakaraang halimbawa ;-)

Vector na produkto ng mga vector sa mga coordinate

Ang formula ay talagang simple: sa tuktok na linya ng determinant isinulat namin ang mga coordinate vectors, sa pangalawa at pangatlong linya ay "inilalagay" namin ang mga coordinate ng mga vector, at inilalagay namin sa mahigpit na pagkakasunud-sunod- una ang mga coordinate ng vector "ve", pagkatapos ay ang mga coordinate ng vector na "double-ve". Kung ang mga vector ay kailangang i-multiply sa ibang pagkakasunud-sunod, ang mga linya ay dapat na palitan:

Halimbawa 10

Suriin kung ang mga sumusunod na space vector ay collinear:
a)
b)

Solusyon: Ang tseke ay batay sa isa sa mga pahayag sa araling ito: kung ang mga vector ay collinear, ang kanilang cross product ay katumbas ng zero (zero vector): .

a) Hanapin ang cross product:

Kaya, ang mga vector ay hindi collinear.

b) Hanapin ang cross product:

Sagot: a) hindi collinear, b)

Narito, marahil, ang lahat ng pangunahing impormasyon tungkol sa produkto ng vector ng mga vector.

Ang seksyon na ito ay hindi magiging napakalaki, dahil walang maraming mga gawain kung saan ang isang halo-halong produkto ng mga vector ay ginagamit. Sa katunayan, ang lahat ay nakasalalay sa kahulugan, geometriko na kahulugan at ilang gumaganang formula.

Ang pinaghalong produkto ng mga vector ay produkto ng tatlong mga vector:

Kaya't pumila sila sa isang maliit na tren at naghihintay, hindi sila makapaghintay na malaman.

Una, muli ang kahulugan at ang larawan:

Kahulugan: Pinaghalong trabaho hindi coplanar mga vector, kinuha sa ganitong pagkakasunud-sunod ay tinatawag na dami ng isang parallelepiped, na binuo sa ibinigay na mga vector, na binibigyan ng "+" sign kung ang batayan ay tama, at isang "-" na sign kung ang batayan ay naiwan.

Kumpletuhin natin ang pagguhit. Ang mga linyang hindi natin nakikita ay iginuhit ng may tuldok na linya:

Sumisid tayo sa kahulugan:

2) Ang mga vector ay kinuha sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod, iyon ay, ang permutation ng mga vector sa produkto, tulad ng maaari mong hulaan, ay hindi pumasa nang walang mga kahihinatnan.

3) Bago magkomento sa geometric na kahulugan, mapapansin ko ang isang malinaw na katotohanan: Ang pinaghalong produkto ng mga vector ay isang NUMBER:. Sa pang-edukasyon na panitikan, ang disenyo ay maaaring medyo naiiba, ako ay ginagamit upang tukuyin ang isang halo-halong trabaho sa pamamagitan ng, at ang resulta ng mga kalkulasyon sa pamamagitan ng titik "pe".

A-prioryo ang pinaghalong produkto ay ang dami ng isang parallelepiped binuo sa mga vectors (ang pigura ay iginuhit na may mga pulang vector at itim na linya). Iyon ay, ang bilang ay katumbas ng dami ng parallelepiped na ito.

Tandaan : ang pagguhit ay eskematiko.

4) Huwag na nating pakialaman muli ang konsepto ng base at space orientation. Ang kahulugan ng huling bahagi ay ang isang minus sign ay maaaring idagdag sa volume. Sa simpleng salita, maaaring negatibo ang pinaghalong trabaho:.

Ang formula para sa pagkalkula ng dami ng isang parallelepiped na binuo sa mga vector ay direktang sumusunod mula sa kahulugan.

Tandaan natin sa simula kung ano ang cross product.

Puna 1

Produktong vector para sa $ \ vec (a) $ at $ \ vec (b) $ ay $ \ vec (c) $, na ilang ikatlong vector $ \ vec (c) = || $, at ang vector na ito ay may mga espesyal na katangian:

• Ang scalar ng resultang vector ay ang produkto ng $ | \ vec (a) | $ at $ | \ vec (b) | $ sa pamamagitan ng sine ng anggulo $ \ vec (c) = || = | \ vec (a ) | \ cdot | \ vec (b) | \ cdot \ sin α \ kaliwa (1 \ kanan) $;
• Lahat ng $ \ vec (a), \ vec (b) $ at $ \ vec (c) $ ay bumubuo ng tamang triplet;
• Ang resultang vector ay orthogonal sa $ \ vec (a) $ at $ \ vec (b) $.

Kung mayroong ilang mga coordinate para sa mga vector ($ \ vec (a) = \ (x_1; y_1; z_1 \) $ at $ \ vec (b) = \ (x_2; y_2; z_2 \) $), kung gayon ang kanilang cross product sa Ang Cartesian coordinate system ay maaaring matukoy ng formula:

$ = \ (y_1 \ cdot z_2 - y_2 \ cdot z_1; z_1 \ cdot x_2 - z_2 \ cdot x_1; x_2 \ cdot y_2 - x_2 \ cdot y_1 \) $

Ang pinakamadaling paraan upang matandaan ang formula na ito ay isulat ito sa anyo ng isang determinant:

$ = \ begin (array) (| ccc |) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \ end (array) $.

Ang formula na ito ay napaka-maginhawang gamitin, ngunit upang maunawaan kung paano gamitin ito, dapat mo munang pamilyar ang iyong sarili sa paksa ng mga matrice at ang kanilang mga determinant.

Lugar ng paralelogram na ang mga panig ay tinutukoy ng dalawang vectors $ \ vec (a) $ at $ vec (b) $ ay katumbas ng scalar ng cross product ng ibinigay na dalawang vectors.

Ang ratio na ito ay hindi mahirap makuha.

Alalahanin natin ang pormula para sa paghahanap ng lugar ng isang ordinaryong paralelogram, na maaaring makilala ng mga segment na $ a $ at $ b $ na bumubuo nito:

$ S = a \ cdot b \ cdot \ sin α $

Sa kasong ito, ang mga haba ng mga gilid ay katumbas ng mga halaga ng scalar ng mga vectors $ \ vec (a) $ at $ \ vec (b) $, na medyo angkop para sa amin, iyon ay, ang scalar ng vector na produkto ng mga vector na ito ang magiging lugar ng figure na pinag-uusapan.

Halimbawa 1

Ibinigay na mga vectors $ \ vec (c) $ na may mga coordinate $ \ (5; 3; 7 \) $ at vector $ \ vec (g) $ na may mga coordinate $ \ (3; 7; 10 \) $ sa mga coordinate ng Cartesian. Hanapin ang lugar ng parallelogram na nabuo ng $ \ vec (c) $ at $ \ vec (g) $.

Solusyon:

Hanapin natin ang cross product para sa mga vector na ito:

$ = \ begin (array) (| ccc |) i & j & k \\ 5 & 3 & 7 \\ 3 & 7 & 10 \\ \ end (array) = i \ cdot \ begin (array) (| cc |) 3 & 7 \\ 7 & 10 \\ \ dulo (array) - j \ cdot \ begin (array) (| cc |) 5 & 7 \\ 3 & 10 \\ \ end (array) + k \ cdot \ begin (array) (| cc |) 5 & 3 \\ 3 & 7 \\ \ end (array) = i \ cdot (3 \ cdot 10 - 49) - j \ cdot (50 -21) + k \ cdot (35-9) = -19i -29j + 26k = \ (- 19; 29; 26 \) $.

Ngayon ay makikita natin ang modular na halaga para sa nakuha na nakadirekta na segment, ito ay ang halaga ng lugar ng itinayong paralelogram:

$ S = \ sqrt (| 19 | ^ 2 + | 29 | ^ 2 + | 26 | ^ 2) = \ sqrt (1878) ≈ 43, 34 $.

Ang linya ng pangangatwiran na ito ay wasto hindi lamang para sa paghahanap ng lugar sa 3-dimensional na espasyo, kundi pati na rin para sa dalawang-dimensional na espasyo. Tingnan ang susunod na palaisipan sa paksang ito.

Halimbawa 2

Kalkulahin ang lugar ng isang parallelogram kung ang pagbuo ng mga segment nito ay tinukoy ng mga vectors $ \ vec (m) $ na may mga coordinate $ \ (2; 3 \) $ at $ \ vec (d) $ na may mga coordinate $ \ (- 5; 6 \) $.

Solusyon:

Ang problemang ito ay isang partikular na halimbawa ng Problema 1, na nalutas sa itaas, ngunit ang parehong mga vector ay namamalagi sa parehong eroplano, na nangangahulugan na ang ikatlong coordinate, $ z $, ay maaaring kunin bilang zero.

Upang ibuod ang nasa itaas, ang paralelogram na lugar ay magiging:

$ S = \ begin (array) (|| cc ||) 2 & 3 \\ -5 & 6 \\ \ end (array) = \ sqrt (12 + 15) = 3 \ sqrt3 $.

Halimbawa 3

Given vectors $ \ vec (a) = 3i - j + k; \ vec (b) = 5i $. Tukuyin ang lugar ng paralelogram na kanilang nabuo.

$ [\ vec (a) \ times \ vec (b)] = (3i - j + k) \ times 5i = 15 - 5 + $

Pasimplehin natin ayon sa ibinigay na talahanayan para sa mga vector ng yunit:

Figure 1. Decomposition ng isang vector sa mga tuntunin ng batayan. May-akda24 - online na pagpapalitan ng mga papeles ng mag-aaral

$ [\ vec (a) \ times \ vec (b)] = 5 k + 5 j $.

Oras ng pagkalkula:

$ S = \ sqrt (| -5 | ^ 2 + | 5 | ^ 2) = 5 \ sqrt (2) $.

Ang mga nakaraang problema ay tungkol sa mga vector na ang mga coordinate ay ibinibigay sa isang Cartesian coordinate system, ngunit isaalang-alang din ang kaso kung ang anggulo sa pagitan ng mga batayang vector ay naiiba mula sa $ 90 ° $:

Halimbawa 4

Vector $ \ vec (d) = 2a + 3b $, $ \ vec (f) = a - 4b $, ang haba ng $ \ vec (a) $ at $ \ vec (b) $ ay katumbas ng bawat isa at katumbas ng isa, at ang anggulo sa pagitan ng $ \ vec (a) $ at $ \ vec (b) $ ay 45 °.

Solusyon:

Kinakalkula namin ang cross product $ \ vec (d) \ times \ vec (f) $:

$ [\ vec (d) \ times \ vec (f)] = (2a + 3b) \ times (a - 4b) = 2 - 8 + 3 - 12 $.

Para sa mga produkto ng vector, ayon sa kanilang mga katangian, ang sumusunod ay totoo: $$ at $$ ay katumbas ng zero, $ = - $.

Gamitin natin ito para pasimplehin:

$ [\ vec (d) \ times \ vec (f)] = -8 + 3 = -8 - 3 = -11 $.

Ngayon ay gamitin natin ang formula na $ (1) $:

$ [\ vec (d) \ times \ vec (f)] = | -11 | = 11 \ cdot | a | \ cdot | b | \ cdot \ sin α = 11 \ cdot 1 \ cdot 1 \ cdot \ frac12 = 5.5 $.

Ang lugar ng isang parallelogram na binuo sa mga vector ay katumbas ng produkto ng mga haba ng mga vector na ito sa pamamagitan ng anggulo ng anggulo na nasa pagitan nila.

Ito ay mabuti kapag, ayon sa mga kondisyon, ang mga haba ng parehong mga vectors ay ibinigay. Gayunpaman, nangyayari din na ang formula para sa lugar ng isang paralelogram na binuo sa mga vector ay maaaring mailapat lamang pagkatapos ng mga kalkulasyon ng mga coordinate.
Kung ikaw ay mapalad, at ayon sa mga kondisyon, ang mga haba ng mga vector ay ibinibigay, pagkatapos ay kailangan mo lamang ilapat ang formula na nasuri na namin nang detalyado sa artikulo. Ang lugar ay magiging katumbas ng produkto ng mga module sa pamamagitan ng sine ng anggulo sa pagitan nila:

Isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng pagkalkula ng lugar ng isang paralelogram na binuo sa mga vectors.

Gawain: ang paralelogram ay binuo sa mga vectors at. Hanapin ang lugar, kung, at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay 30 °.
Ipahayag natin ang mga vector sa mga tuntunin ng kanilang mga halaga:

Marahil mayroon kang tanong - saan nagmula ang mga zero? Ito ay nagkakahalaga ng pag-alala na kami ay nagtatrabaho sa mga vectors, at para sa kanila ... tandaan din na kung ang resulta ay isang expression, ito ay mako-convert sa. Ngayon isinasagawa namin ang pangwakas na mga kalkulasyon:

Bumalik tayo sa problema kapag ang mga haba ng vector ay hindi tinukoy sa mga kundisyon. Kung ang iyong paralelogram ay nasa Cartesian coordinate system, kailangan mong gawin ang mga sumusunod.

Pagkalkula ng mga haba ng mga gilid ng isang figure na ibinigay ng mga coordinate

Upang magsimula, hinahanap namin ang mga coordinate ng mga vector at ibawas ang kaukulang mga coordinate ng simula mula sa mga coordinate ng dulo. Ipagpalagay na ang mga coordinate ng vector a (x1; y1; z1), at ang vector b (x3; y3; z3).
Ngayon nakita namin ang haba ng bawat vector. Upang gawin ito, dapat na squared ang bawat coordinate, pagkatapos ay idagdag ang mga resulta at i-extract ang ugat mula sa finite number. Ayon sa aming mga vectors, ang mga sumusunod na kalkulasyon ay gagawin:


Ngayon kailangan nating hanapin ang tuldok na produkto ng ating mga vector. Upang gawin ito, ang kanilang kaukulang mga coordinate ay pinarami at idinagdag.

Ang pagkakaroon ng mga haba ng mga vector at ang kanilang produkto ng tuldok, mahahanap natin ang cosine ng anggulo na nasa pagitan nila .
Ngayon ay mahahanap natin ang sine ng parehong anggulo:
Ngayon ay mayroon na tayong lahat ng kinakailangang dami, at madali nating mahahanap ang lugar ng isang paralelogram na binuo sa mga vector gamit ang isang kilalang formula.