Tingnan natin kung paano galugarin ang isang function gamit ang isang graph. Ito ay lumiliko, sa pagtingin sa graph, maaari mong malaman ang lahat ng bagay na interesado sa amin, lalo na:

• function na domain
• saklaw ng pag-andar
• mga function na zero
• mga pagitan ng pagtaas at pagbaba
• maximum at minimum na puntos
• ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa segment.

Linawin natin ang terminolohiya:

Abscissa ay ang pahalang na coordinate ng punto.
Mag-orden ay ang patayong coordinate.
Abscissa axis- isang pahalang na axis, kadalasang tinatawag na axis.
Y-axis- vertical axis, o axis.

Pangangatwiran ay ang independiyenteng variable kung saan nakasalalay ang mga halaga ng function. Kadalasang ipinahiwatig.
Sa madaling salita, tayo mismo ang pumili, palitan ang mga function sa formula at makuha.

Domain function - ang hanay ng mga (at ang mga lamang) na halaga ng argumento kung saan umiiral ang function.
Ito ay ipinahiwatig ng: o.

Sa aming figure, ang domain ng function ay isang segment. Sa segment na ito iginuhit ang graph ng function. Dito lang umiiral ang function na ito.

Saklaw ng pag-andar ay ang hanay ng mga halaga na kinukuha ng isang variable. Sa aming larawan, ito ay isang segment - mula sa pinakamababa hanggang sa pinakamataas na halaga.

Mga function na zero- mga punto kung saan ang halaga ng function ay katumbas ng zero, iyon ay. Sa aming figure, ito ay mga puntos at.

Ang mga halaga ng pag-andar ay positibo saan . Sa aming figure, ito ay mga gaps at.
Ang mga halaga ng pag-andar ay negatibo saan . Mayroon kaming ganitong interval (o interval) mula hanggang.

Ang pinakamahalagang konsepto - pagtaas at pagbaba ng function sa ilang set. Bilang isang set, maaari kang kumuha ng segment, interval, unyon ng interval, o buong number line.

Function ay tumataas

Sa madaling salita, mas marami, mas marami, iyon ay, ang tsart ay papunta sa kanan at pataas.

Function bumababa sa isang set kung, para sa alinman at kabilang sa set, ang hindi pagkakapantay-pantay ay sumusunod mula sa hindi pagkakapantay-pantay.

Para sa isang bumababa na function, ang isang mas malaking halaga ay tumutugma sa isang mas maliit na halaga. Ang graph ay papunta sa kanan at pababa.

Sa aming figure, ang pag-andar ay tumataas sa pagitan at bumababa sa mga pagitan at.

Tukuyin natin kung ano ang maximum at minimum na puntos ng function.

Pinakamataas na punto ay isang panloob na punto ng domain ng kahulugan, na ang halaga ng function sa loob nito ay mas malaki kaysa sa lahat ng mga puntong sapat na malapit dito.
Sa madaling salita, ang pinakamataas na punto ay tulad ng isang punto, ang halaga ng function kung saan higit pa kaysa sa mga kapitbahay. Ito ay isang lokal na "bundok" sa tsart.

Sa aming figure - ang pinakamataas na punto.

Pinakamababang punto- isang panloob na punto ng domain ng kahulugan, na ang halaga ng function sa loob nito ay mas mababa kaysa sa lahat ng mga puntong sapat na malapit dito.
Iyon ay, ang pinakamababang punto ay tulad na ang halaga ng pag-andar sa loob nito ay mas mababa kaysa sa mga kalapit. Ito ay isang lokal na "butas" sa tsart.

Sa aming larawan - ang pinakamababang punto.

Ang punto ay ang hangganan. Ito ay hindi isang panloob na punto ng domain ng kahulugan at samakatuwid ay hindi akma sa kahulugan ng isang pinakamataas na punto. Kung tutuusin, wala siyang kapitbahay sa kaliwa. Sa parehong paraan, hindi ito maaaring maging isang minimum na punto sa aming tsart.

Ang maximum at minimum na mga puntos ay sama-samang tinatawag matinding mga punto ng pag-andar... Sa aming kaso, ito ay at.

At ano ang gagawin kung kailangan mong hanapin, halimbawa, pinakamababang function sa segment? Sa kasong ito, ang sagot ay. kasi pinakamababang function ay ang halaga nito sa pinakamababang punto.

Gayundin, ang maximum ng aming function ay. Ito ay naabot sa isang punto.

Masasabi nating ang extrema ng function ay katumbas ng at.

Minsan sa mga gawain kailangan mong hanapin pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa isang partikular na segment. Ang mga ito ay hindi kinakailangang nag-tutugma sa mga sukdulan.

Sa kaso natin pinakamaliit na halaga ng function sa segment ay katumbas at tumutugma sa minimum ng function. Ngunit ang pinakamalaking halaga nito sa segment na ito ay katumbas ng. Naabot ito sa kaliwang dulo ng segment ng linya.

Sa anumang kaso, ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang tuluy-tuloy na function sa isang segment ay nakakamit alinman sa mga extremum point o sa mga dulo ng segment.

Hayaan ang function y =f(NS) ay tuloy-tuloy sa segment [ a, b]. Tulad ng alam mo, ang naturang function sa segment na ito ay umaabot sa pinakamalaki at pinakamaliit na value. Maaaring kunin ng function ang mga halagang ito alinman sa panloob na punto ng segment [ a, b], o sa hangganan ng segment.

Upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa segment [ a, b] kailangan:

1) hanapin ang mga kritikal na punto ng function sa pagitan ( a, b);

2) kalkulahin ang mga halaga ng pag-andar sa nahanap na mga kritikal na punto;

3) kalkulahin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng segment, iyon ay, para sa x=a at x = b;

4) piliin ang pinakamalaki at pinakamaliit sa lahat ng mga kinakalkula na halaga ng function.

Halimbawa. Maghanap ng Pinakamalaki at Pinakamaliit na Mga Value ng Function

sa segment.

Maghanap ng mga kritikal na punto:

Ang mga puntong ito ay nasa loob ng segment ng linya; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

sa punto x= 3 at sa punto x= 0.

Pagsisiyasat ng function para sa convexity at inflection point.

Function y = f (x) tinawag matambok sa gitna (a, b) kung ang graph nito ay nasa ilalim ng tangent na iginuhit sa anumang punto ng pagitan na ito, at tinatawag matambok pababa (malukong) kung ang graph nito ay nasa itaas ng tangent line.

Ang punto, sa pagdaan kung saan ang convexity ay pinapalitan ng concavity, o vice versa, ay tinatawag na inflection point.

Pag-aralan ang algorithm para sa convexity at inflection point:

1. Hanapin ang mga kritikal na punto ng pangalawang uri, iyon ay, ang mga punto kung saan ang pangalawang derivative ay zero o wala.

2. Gumuhit ng mga kritikal na punto sa linya ng numero, na hatiin ito sa mga pagitan. Hanapin ang tanda ng pangalawang derivative sa bawat pagitan; kung, kung gayon ang function ay matambok paitaas, kung, ang function ay matambok pababa.

3. Kung, kapag dumadaan sa isang kritikal na punto ng pangalawang uri, nagbabago ang tanda at sa puntong ito ang pangalawang derivative ay katumbas ng zero, kung gayon ang puntong ito ay ang abscissa ng inflection point. Hanapin ang kanyang ordinate.

Asymptotes ng graph ng isang function. Pagsisiyasat ng function para sa mga asymptotes.

Kahulugan. Ang asymptote ng graph ng isang function ay tinatawag tuwid, na may katangian na ang distansya mula sa anumang punto sa graph hanggang sa tuwid na linyang ito ay may posibilidad na zero na may walang limitasyong distansya mula sa pinanggalingan ng graph point.

May tatlong uri ng asymptotes: patayo, pahalang at hilig.

Kahulugan. Ang tuwid na linya ay tinatawag patayong asymptote function na graphics y = f (x) kung hindi bababa sa isa sa mga one-sided na limitasyon ng function sa puntong ito ay katumbas ng infinity, iyon ay

kung saan ang discontinuity point ng function, iyon ay, hindi ito kabilang sa domain ng kahulugan.

Halimbawa.

D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - break point.

Kahulugan. Diretso y =A tinawag pahalang na asymptote function na graphics y = f (x) sa, kung

Halimbawa.

Kahulugan. Diretso y =kx +b (k≠ 0) ay tinatawag pahilig na asymptote function na graphics y = f (x) saan

Pangkalahatang pamamaraan para sa pag-aaral ng mga pag-andar at paglalagay.

Algoritmo ng pananaliksik sa pag-andary = f (x) :

1. Hanapin ang domain ng function D (y).

2. Hanapin (kung maaari) ang mga punto ng intersection ng graph na may mga coordinate axes (para sa x= 0 at para sa y = 0).

3. Magsiyasat para sa kapantay at kakatwa ng function ( y (‒ x) = y (x) ‒ pagkakapantay-pantay; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ kakaiba).

4. Hanapin ang mga asymptotes ng graph ng function.

5. Hanapin ang mga pagitan ng monotonicity ng function.

6. Hanapin ang extrema ng function.

7. Hanapin ang mga pagitan ng convexity (concavity) at inflection point ng graph ng function.

8. Batay sa isinagawang pananaliksik, bumuo ng graph ng function.

Halimbawa. Suriin ang function at i-graph ito.

1) D (y) =

x= 4 - break point.

2) Kailan x = 0,

(0; - 5) - intersection point na may oy.

Sa y = 0,

3) y(‒ x)= pangkalahatang pag-andar (ni kahit na o kakaiba).

4) Mag-imbestiga para sa mga asymptotes.

a) patayo

b) pahalang

c) maghanap ng mga pahilig na asymptotes kung saan

‒ Oblique asymptote equation

5) Sa equation na ito, hindi kinakailangang hanapin ang mga pagitan ng monotonicity ng function.

6)

Hinahati ng mga kritikal na puntong ito ang buong domain ng function sa pagitan (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) at (10; + ∞). Ito ay maginhawa upang ipakita ang mga resulta na nakuha sa anyo ng sumusunod na talahanayan:

Ipinapakita ng talahanayan na ang punto NS= ‒2 ‒ pinakamataas na punto, sa punto NS= 4 ‒ walang extremum, NS= 10 ‒ pinakamababang punto.

I-substitute ang value (- 3) sa equation:

9 + 24 ‒ 20 > 0

25 ‒ 40 ‒ 20 < 0

121 ‒ 88 ‒ 20 > 0

Ang maximum ng function na ito ay

(- 2; - 4) - pinakamataas na sukdulan.

Ang minimum ng function na ito ay

(10; 20) - pinakamababang extremum.

7) mag-imbestiga para sa convexity at inflection point ng graph ng function

Pagpipilian 1. sa

1. Function graph y =f(x) ipinapakita sa figure.

Mangyaring ipahiwatig pinakamalaking halaga function na ito 1

sa segment [ a; b]. a 0 1 b x

1) 2,5; 2) 3; 3) 4; 4) 2.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image003_127.gif "width =" 242 "height =" 133 src = "> 1) -4; 2) -2; 3) 4; 4) 2.

4. Mga Pag-andar y =f(x) ibinigay sa segment [ a; b]. sa

Ipinapakita ng figure ang isang graph ng derivative nito

y =f ´(x). Mag-explore para sa mga sukdulan 1 b

function y =f(x). Sa sagot, ipahiwatig ang dami a 0 1 x

pinakamababang puntos.

1) 6; 2) 7; 3) 4;

5. Hanapin ang pinakamalaking halaga ng function y = -2x2 + 8x -7.

1) -2; 2) 7; 3) 1;

6. Hanapin ang pinakamaliit na halaga ng function sa segment .

1) https://pandia.ru/text/78/524/images/image005_87.gif "width =" 17 "height =" 48 src = ">.

7. Hanapin ang pinakamaliit na halaga ng function y =|2x + 3| - .

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image006_79.gif "width =" 17 "height =" 47 "> ; 4) - .

https://pandia.ru/text/78/524/images/image009_67.gif "width =" 144 "height =" 33 src = "> ay may pinakamababa sa punto xo = 1.5?

1) 5; 2) -6; 3) 4; 4) 6.sa

9. Tukuyin ang pinakamalaking halaga ng function y =f(x) ,

1 x

0 1

1) 2,5; 2) 3; 3) -3;

y =lg(100 – x2 ).

1) 10 ; 2) 100 ; 3) 2 ; 4) 1 .

11. Hanapin ang pinakamaliit na halaga ng function y = 2kasalanan-1.

1) -1 ; 2) -3 ; 3) -2 ; 4) - .

Pagsubok 14. Extremes. Ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng function.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image013_44.gif "width =" 130 "height =" 115 src = "> 1. Function graph y =f(x) ipinapakita sa figure.

Tukuyin ang pinakamaliit na halaga para sa function na ito 1

sa segment [ a; b]. a b

0 1 x

1) 0; 2) - 4 ,5; 3) -2; 4) - 3.

2. sa Ipinapakita ng figure ang graph ng function y =f(x).

Ilang maximum na puntos ang mayroon ang function?

1

0 1 x 1) 5; 2) 6; 3) 4; 4) 1.

3. Sa anong punto ang function y = 2x2 + 24x -25 kumukuha ng pinakamaliit na halaga?

https://pandia.ru/text/78/524/images/image018_37.gif "width =" 76 "height =" 48 "> sa segment [-3;-1].

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image020_37.gif "width =" 17 "height =" 47 src = ">; 2); 4) - 5.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image022_35.gif "width =" 135 "height =" 33 src = "> ay may pinakamababa sa isang punto xo = -2?

; 2) -6;; 4) 6.sa

9. Tukuyin ang pinakamaliit na halaga ng function y =f(x) ,

na ang graph ay ipinapakita sa figure. 1 x

0 1

1) -1,5; 2) -1; 3) -3;

10. Hanapin ang pinakamalaking halaga ng function y =log11 (121 – x2 ).

1) 11;; 3) 1;

11. Hanapin ang pinakamalaking halaga ng function y = 2cos+3.

1) 5 ; 2) 3 ; 3) 2 ; 4) .

Mga sagot :

Sa gawain B14 mula sa pagsusulit sa matematika, kinakailangan upang mahanap ang pinakamaliit o pinakamalaking halaga ng isang function ng isang variable. Ito ay isang medyo maliit na gawain mula sa mathematical analysis, at ito ay para sa kadahilanang ito na ang bawat nagtapos ay maaari at dapat matuto upang malutas ito nang normal. mataas na paaralan... Suriin natin ang ilang mga halimbawa na nalutas ng mga mag-aaral sa panahon ng gawaing diagnostic sa matematika, na naganap sa Moscow noong Disyembre 7, 2011.

Depende sa agwat kung saan mo gustong hanapin ang maximum o minimum na halaga ng function, isa sa mga sumusunod na karaniwang algorithm ang ginagamit upang malutas ang problemang ito.

I. Algorithm para sa paghahanap ng pinakamalaki o pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment:

• Hanapin ang derivative ng function.
• Pumili mula sa mga puntong kahina-hinala ng isang extremum, ang mga kabilang sa ibinigay na segment at ang domain ng function.
• Kalkulahin ang mga halaga mga function(hindi derivative!) sa mga puntong ito.
• Sa mga nakuhang halaga, piliin ang pinakamalaki o pinakamaliit, ito ang magiging ninanais.

Halimbawa 1. Hanapin ang pinakamaliit na halaga ng function
y = x 3 – 18x 2 + 81x+ 23 sa segment.

Solusyon: kumikilos kami ayon sa algorithm para sa paghahanap ng pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment:

• Ang saklaw ng function ay hindi limitado: D (y) = R.
• Ang derivative ng function ay: y ' = 3x 2 – 36x+ 81. Ang domain ng kahulugan ng derivative ng isang function ay hindi rin limitado: D (y ') = R.
• Mga derivative na zero: y ' = 3x 2 – 36x+ 81 = 0, kaya x 2 – 12x+ 27 = 0, kung saan x= 3 at x= 9, ang aming pagitan ay kinabibilangan lamang x= 9 (isang puntong kahina-hinala ng isang extremum).
• Hanapin ang halaga ng function sa isang puntong kahina-hinala ng isang extremum at sa mga gilid ng pagitan. Para sa kaginhawaan ng mga kalkulasyon, kinakatawan namin ang function sa form: y = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 = x(x-9) 2 +23:
  • y(8) = 8 (8-9) 2 +23 = 31;
  • y(9) = 9 (9-9) 2 +23 = 23;
  • y(13) = 13 (13-9) 2 +23 = 231.

Kaya, sa mga nakuhang halaga, ang pinakamaliit ay 23. Sagot: 23.

II. Algorithm para sa paghahanap ng pinakamalaki o pinakamaliit na halaga ng function:

• Hanapin ang domain ng function.
• Hanapin ang derivative ng function.
• Tukuyin ang mga puntong kahina-hinala ng isang extremum (mga punto kung saan nawawala ang derivative ng function at mga punto kung saan walang two-sided finite derivative).
• Markahan ang mga puntong ito at ang domain ng function sa linya ng numero at tukuyin ang mga palatandaan derivative(hindi function!) sa mga resultang agwat.
• Tukuyin ang mga halaga mga function(hindi ang derivative!) sa pinakamababang punto (yung mga punto kung saan nagbabago ang sign ng derivative mula minus hanggang plus), ang pinakamaliit sa mga value na ito ay ang pinakamaliit na value ng function. Kung walang pinakamababang puntos, ang function ay walang pinakamaliit na halaga.
• Tukuyin ang mga halaga mga function(hindi ang derivative!) sa pinakamataas na puntos (yung mga punto kung saan nagbabago ang sign ng derivative mula plus hanggang minus), ang pinakamalaki sa mga halagang ito ay ang pinakamalaking halaga ng function. Kung walang pinakamataas na puntos, kung gayon ang pag-andar ay walang pinakamataas na halaga.

Halimbawa 2. Hanapin ang pinakamalaking halaga ng function.

Ang isang function ay ibinigay na tinukoy at tuloy-tuloy sa isang tiyak na pagitan. Kinakailangang hanapin ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng function sa pagitan na ito.

Batayang teoretikal.
Theorem (Ikalawang Weierstrass theorem):

Kung ang isang function ay tinukoy at tuloy-tuloy sa isang saradong agwat, pagkatapos ay maabot nito ang pinakamataas at pinakamababang halaga nito sa agwat na ito.

Maaaring maabot ng function ang pinakamataas at pinakamababang halaga nito alinman sa mga panloob na punto ng pagitan, o sa mga hangganan nito. Ilarawan natin ang lahat ng posibleng opsyon.

Paliwanag:
1) Naabot ng function ang pinakamataas na halaga nito sa kaliwang hangganan ng pagitan sa isang punto, at ang pinakamaliit na halaga nito sa kanang hangganan ng pagitan sa isang punto.
2) Naabot ng function ang pinakamataas na halaga nito sa isang punto (ito ay isang pinakamataas na punto), at ang pinakamaliit na halaga nito sa kanang hangganan ng pagitan sa isang punto.
3) Naabot ng function ang pinakamataas na halaga nito sa kaliwang hangganan ng pagitan sa isang punto, at ang pinakamaliit na halaga nito sa isang punto (ito ay isang minimum na punto).
4) Ang function ay pare-pareho sa pagitan, i.e. naabot nito ang pinakamababa at pinakamataas na halaga nito sa anumang punto sa pagitan, at ang minimum at maximum na mga halaga ay katumbas ng bawat isa.
5) Naabot ng function ang pinakamataas na halaga nito sa isang punto, at ang pinakamaliit na halaga nito sa isang punto (sa kabila ng katotohanan na ang function ay may parehong maximum at minimum sa pagitan na ito).
6) Naabot ng function ang pinakamataas na halaga nito sa isang punto (ito ay isang pinakamataas na punto), at ang pinakamaliit na halaga nito sa isang punto (ito ay isang minimum na punto).
Komento:

Ang "maximum" at "maximum value" ay magkaibang bagay. Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng maximum at ang intuitive na pag-unawa sa pariralang "maximum na halaga".

Algorithm para sa paglutas ng problema 2.



4) Piliin ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga mula sa mga nakuhang halaga at isulat ang sagot.

Halimbawa 4:

Tukuyin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa segment.
Solusyon:
1) Hanapin ang derivative ng function.

2) Maghanap ng mga nakatigil na punto (at mga puntong kahina-hinala ng isang extremum) sa pamamagitan ng paglutas ng equation. Bigyang-pansin ang mga punto kung saan walang two-sided finite derivative.

3) Kalkulahin ang mga halaga ng function sa mga nakatigil na punto at sa mga hangganan ng pagitan.

4) Piliin ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga mula sa mga nakuhang halaga at isulat ang sagot.

Naabot ng function sa segment na ito ang maximum na halaga nito sa puntong may mga coordinate.

Naabot ng function sa segment na ito ang pinakamaliit na halaga nito sa isang puntong may mga coordinate.

Ang kawastuhan ng mga kalkulasyon ay maaaring ma-verify sa pamamagitan ng pagtingin sa graph ng function na pinag-aaralan.


Komento: Naabot ng function ang pinakamataas na halaga nito sa pinakamataas na punto, at ang pinakamaliit - sa hangganan ng segment.

Isang espesyal na kaso.

Ipagpalagay na gusto mong mahanap ang maximum at minimum na halaga ng ilang function sa isang segment. Matapos makumpleto ang unang hakbang ng algorithm, i.e. pagkalkula ng derivative, nagiging malinaw na, halimbawa, ito ay tumatagal lamang ng mga negatibong halaga sa buong isinasaalang-alang na agwat. Tandaan na kung negatibo ang derivative, bababa ang function. Nakuha namin na bumababa ang function sa buong segment. Ang sitwasyong ito ay ipinapakita sa graph no. 1 sa simula ng artikulo.

Sa isang segment, bumababa ang function, i.e. wala itong extremum points. Mula sa larawan makikita mo na ang function ay kukuha ng pinakamaliit na halaga sa kanang hangganan ng segment, at ang pinakamalaking halaga - sa kaliwa. kung ang derivative sa pagitan ay positibo sa lahat ng dako, kung gayon ang function ay tataas. Ang pinakamaliit na halaga ay nasa kaliwang hangganan ng segment, ang pinakamalaki ay nasa kanan.