Ang pagbuo ng mga graph ng mga function na naglalaman ng mga module ay kadalasang nagdudulot ng malaking kahirapan para sa mga mag-aaral. Gayunpaman, ang mga bagay ay hindi masyadong masama. Ito ay sapat na upang matandaan ang ilang mga algorithm para sa paglutas ng mga naturang problema, at maaari mong madaling bumuo ng isang graph ng kahit na ang pinaka tila kumplikadong function. Tingnan natin kung ano ang mga algorithm na ito.

1. Pag-plot ng function na y = | f (x) |

Tandaan na ang hanay ng mga halaga ng mga function y = | f (x) | : y ≥ 0. Kaya, ang mga graph ng naturang mga function ay palaging ganap na matatagpuan sa itaas na kalahating eroplano.

Pag-plot ng function na y = | f (x) | ay binubuo ng sumusunod na simpleng apat na hakbang.

1) Buuin nang tumpak at maingat ang graph ng function na y = f (x).

2) Iwanang hindi nagbabago ang lahat ng punto ng graph na nasa itaas ng 0x axis o dito.

3) Ang bahagi ng graph na nasa ibaba ng 0x axis, ay nagpapakita ng simetriko tungkol sa 0x axis.

Halimbawa 1. Ipakita ang graph ng function na y = | x 2 - 4x + 3 |

1) Bumubuo kami ng graph ng function na y = x 2 - 4x + 3. Malinaw, ang graph ng function na ito ay isang parabola. Hanapin ang mga coordinate ng lahat ng mga punto ng intersection ng parabola na may mga coordinate axes at mga coordinate ng vertex ng parabola.

x 2 - 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Samakatuwid, ang parabola ay nag-intersect sa 0x axis sa mga punto (3, 0) at (1, 0).

y = 0 2 - 4 0 + 3 = 3.

Samakatuwid, ang parabola ay nag-intersect sa 0y axis sa punto (0, 3).

Mga coordinate ng parabola vertex:

x sa = - (- 4/2) = 2, y sa = 2 2 - 4 2 + 3 = -1.

Samakatuwid, ang punto (2, -1) ay ang vertex ng parabola na ito.

Gumuhit ng parabola gamit ang natanggap na data (fig. 1)

2) Ang bahagi ng graph na nasa ibaba ng 0x axis ay ipinapakita nang simetriko tungkol sa 0x axis.

3) Nakukuha namin ang graph ng orihinal na function ( kanin. 2, na inilalarawan ng isang tuldok na linya).

2. Pag-plot ng function na y = f (| x |)

Tandaan na ang mga function ng anyong y = f (| x |) ay pantay:

y (-x) = f (| -x |) = f (| x |) = y (x). Nangangahulugan ito na ang mga graph ng naturang mga function ay simetriko tungkol sa 0y axis.

Ang pag-plot ng function na y = f (| x |) ay binubuo ng mga sumusunod na simpleng hanay ng mga aksyon.

1) Bumuo ng graph ng function na y = f (x).

2) Iwanan ang bahaging iyon ng graph kung saan ang x ≥ 0, iyon ay, ang bahagi ng graph na matatagpuan sa kanang kalahating eroplano.

3) Ipakita ang bahagi ng graph na ipinahiwatig sa talata (2) nang simetriko sa 0y axis.

4) Piliin ang unyon ng mga kurba na nakuha sa mga talata (2) at (3) bilang panghuling graph.

Halimbawa 2. Ipakita ang graph ng function na y = x 2 - 4 · | x | + 3

Dahil x 2 = | x | 2, kung gayon ang orihinal na function ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod: y = | x | 2 - 4 · | x | + 3. Ngayon ay maaari nating ilapat ang algorithm na iminungkahi sa itaas.

1) Ginagawa namin nang tumpak at maingat ang graph ng function na y = x 2 - 4 x + 3 (tingnan din kanin. 1).

2) Iniiwan namin ang bahaging iyon ng graph kung saan ang x ≥ 0, iyon ay, ang bahagi ng graph na matatagpuan sa kanang kalahating eroplano.

3) Ipakita ang kanang bahagi ng graph nang simetriko sa 0y axis.

(fig. 3).

Halimbawa 3. Ipakita ang graph ng function na y = log 2 | x |

Inilapat namin ang scheme na ibinigay sa itaas.

1) I-plot ang function na y = log 2 x (fig. 4).

3. Pag-plot ng function na y = | f (| x |) |

Tandaan na ang mga function ng form na y = | f (| x |) | ay pantay din. Sa katunayan, y (-x) = y = | f (| -x |) | = y = | f (| x |) | = y (x), at samakatuwid, ang kanilang mga graph ay simetriko tungkol sa 0y axis. Ang hanay ng mga halaga ng naturang mga pag-andar: y ≥ 0. Samakatuwid, ang mga graph ng naturang mga function ay ganap na matatagpuan sa itaas na kalahating eroplano.

Upang i-plot ang function na y = | f (| x |) |, kailangan mo:

1) Buuin nang tumpak ang graph ng function na y = f (| x |).

2) Iwanan ang bahagi ng graph na nasa itaas o sa 0x axis na hindi nagbabago.

3) Ang bahagi ng graph, na matatagpuan sa ibaba ng 0x axis, ay nagpapakita ng simetriko tungkol sa 0x axis.

4) Piliin ang unyon ng mga kurba na nakuha sa mga talata (2) at (3) bilang panghuling graph.

Halimbawa 4. Ipakita ang graph ng function na y = | -x 2 + 2 | x | - 1 |.

1) Tandaan na x 2 = | x | 2. Kaya, sa halip na ang orihinal na function y = -x 2 + 2 | x | - 1

maaari mong gamitin ang function na y = - | x | 2 + 2 | x | - 1, dahil pareho ang kanilang mga graph.

Bumubuo kami ng graph y = - | x | 2 + 2 | x | - 1. Para dito ginagamit namin ang algorithm 2.

a) I-plot ang function na y = -x 2 + 2x - 1 (fig. 6).

b) Iwanan ang bahagi ng graph na matatagpuan sa kanang kalahating eroplano.

c) Ipakita ang resultang bahagi ng graph nang simetriko sa 0y axis.

d) Ang resultang graph ay ipinapakita sa figure na may tuldok na linya. (fig. 7).

2) Walang mga punto sa itaas ng 0x axis, iniiwan namin ang mga puntos sa 0x axis na hindi nagbabago.

3) Ang bahagi ng graph na matatagpuan sa ibaba ng 0x axis ay ipinapakita nang simetriko tungkol sa 0x.

4) Ang resultang graph ay ipinapakita sa figure na may tuldok na linya (fig. 8).

Halimbawa 5. Bumuo ng graph ng function na y = | (2 | x | - 4) / (| x | + 3) |

1) Una, kailangan mong i-plot ang function na y = (2 | x | - 4) / (| x | + 3). Upang gawin ito, bumalik kami sa Algorithm 2.

a) Maingat na i-plot ang function na y = (2x - 4) / (x + 3) (fig. 9).

Tandaan na ang function na ito ay linear-fractional at ang graph nito ay hyperbola. Upang i-plot ang curve, kailangan mo munang hanapin ang mga asymptotes ng graph. Pahalang - y = 2/1 (ang ratio ng mga coefficient sa x sa numerator at denominator ng fraction), patayo - x = -3.

2) Iwanan ang bahagi ng graph sa itaas o sa 0x axis na hindi nagbabago.

3) Ang bahagi ng graph, na matatagpuan sa ibaba ng 0x axis, ay ipapakita nang simetriko tungkol sa 0x.

4) Ang huling graph ay ipinapakita sa figure (fig. 11).

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Sa ginintuang edad teknolohiya ng impormasyon ilang tao ang bibili ng graph paper at gumugugol ng mga oras sa pagguhit ng isang function o isang arbitrary na set ng data, at bakit mag-abala sa paggawa ng ganoong nakakapagod na trabaho kapag maaari kang bumuo ng isang function graph online. Bilang karagdagan, halos imposible at mahirap kalkulahin ang milyun-milyong halaga ng isang expression para sa tamang pagpapakita, at sa kabila ng lahat ng mga pagsisikap, ito ay magiging isang putol na linya, hindi isang curve. Samakatuwid, ang computer sa kasong ito ay isang hindi maaaring palitan na katulong.

Ano ang isang graph ng mga function

Ang isang function ay isang panuntunan ayon sa kung saan ang bawat elemento ng isang set ay nauugnay sa ilang elemento ng isa pang set, halimbawa, ang expression na y = 2x + 1 ay nagtatatag ng koneksyon sa pagitan ng mga hanay ng lahat ng mga halaga ng x at lahat ng mga halaga. ng y, samakatuwid, ito ay isang function. Alinsunod dito, ang graph ng isang function ay tatawaging set ng mga puntos na ang mga coordinate ay nakakatugon sa isang naibigay na expression.

Sa figure, makikita natin ang graph ng function y = x... Ito ay isang tuwid na linya at ang bawat punto ay may sariling mga coordinate sa axis X at sa axis Y... Batay sa kahulugan, kung papalitan natin ang coordinate X ilang punto sa ibinigay na equation, pagkatapos ay makuha natin ang coordinate ng puntong ito sa axis Y.

Mga serbisyo para sa pag-plot ng mga function online

Tingnan natin ang ilan sa mga pinakasikat at pinakamahusay na gumaganap na serbisyo na nagbibigay-daan sa iyong mabilis na gumuhit ng graph ng isang function.

Binubuksan ng listahan ang pinakakaraniwang serbisyo na nagbibigay-daan sa iyong bumuo ng isang graph ng isang function sa pamamagitan ng isang equation online. Naglalaman lamang ang Umath ng mga kinakailangang tool, tulad ng pag-scale, paglipat sa coordinate plane at pagtingin sa coordinate ng puntong itinuturo ng mouse.

Mga Tagubilin:

1. Ilagay ang iyong equation sa kahon pagkatapos ng "=" sign.
2. I-click ang button "Bumuo ng isang graph".

Tulad ng nakikita mo, ang lahat ay napaka-simple at naa-access, ang syntax para sa pagsulat ng mga kumplikadong pag-andar ng matematika: na may isang module, trigonometriko, exponential - ay ipinapakita sa ibaba mismo ng graph. Gayundin, kung kinakailangan, maaari mong tukuyin ang equation sa parametrically o plot graphs sa isang polar coordinate system.

Ang Yotx ay may lahat ng mga pag-andar ng nakaraang serbisyo, ngunit sa parehong oras ay naglalaman ito ng mga kagiliw-giliw na mga inobasyon tulad ng paglikha ng isang agwat para sa pagpapakita ng isang function, ang kakayahang bumuo ng isang graph gamit ang tabular na data, at nagpapakita din ng isang talahanayan na may buong mga solusyon.

Mga Tagubilin:

1. Piliin ang gustong paraan para sa pagtatakda ng iskedyul.
2. Ilagay ang iyong equation.
3. Itakda ang pagitan.
4. I-click ang button "Bumuo".

Para sa mga tamad na malaman kung paano isulat ang ilang mga function, ang posisyon na ito ay nagpapakita ng isang serbisyo na may kakayahang piliin ang kailangan mo mula sa listahan sa isang pag-click ng mouse.

Mga Tagubilin:

1. Hanapin ang function na kailangan mo sa listahan.
2. Mag-left-click dito
3. Kung kinakailangan, ipasok ang mga coefficient sa field "Function:".
4. I-click ang button "Bumuo".

Sa mga tuntunin ng visualization, posibleng baguhin ang kulay ng graph, pati na rin itago ito o ganap na tanggalin ito.

Ang Desmos ay ang pinaka sopistikadong serbisyo sa pagbuo ng equation online. Ang paglipat ng cursor gamit ang kaliwang pindutan ng mouse na pinindot sa kahabaan ng graph, makikita mo nang detalyado ang lahat ng mga solusyon sa equation na may katumpakan na 0.001. Ang built-in na keyboard ay nagbibigay-daan sa iyo upang mabilis na magsulat ng mga exponent at fraction. Ang pinakamahalagang plus ay ang kakayahang isulat ang equation sa anumang estado, nang hindi humahantong sa anyo: y = f (x).

Mga Tagubilin:

1. Sa kaliwang column, i-right click sa isang libreng linya.
2. Sa kaliwang sulok sa ibaba, mag-click sa icon ng keyboard.
3. Sa lalabas na panel, i-type ang kinakailangang equation (upang isulat ang mga pangalan ng mga function, pumunta sa seksyong "A B C").
4. Ang graph ay naka-plot sa real time.

Perpekto lang ang visualization, adaptive, makikita mo na nagtrabaho ang mga designer sa application. Sa dagdag na bahagi, mayroong isang malaking kasaganaan ng mga pagkakataon, para sa pag-unlad kung saan maaari mong makita ang mga halimbawa sa menu sa kaliwang sulok sa itaas.

Mayroong napakaraming mga site para sa pag-plot ng mga function, ngunit ang lahat ay malayang pumili para sa kanilang sarili batay sa kinakailangang pag-andar at personal na kagustuhan. Ang listahan ng mga pinakamahusay ay nabuo upang matugunan ang mga kinakailangan ng sinumang mathematician, bata at matanda. Nais kong tagumpay ka sa pag-unawa sa "reyna ng mga agham"!

"Natural na logarithm" - 0.1. Natural logarithms. 4. "Logarithmic darts". 0.04. 7.121.

"Grade 9 power function" - U. Cubic parabola. Y = x3. Grade 9 guro Ladoshkina I.A. Y = x2. Hyperbola. 0. Y = xn, y = x-n kung saan ang n ay isang ibinigay na natural na numero. X. Indicator - isang natural na numero (2n).

"Quadratic function" - 1 Depinisyon ng isang quadratic function 2 Properties ng isang function 3 Mga graph ng isang function 4 Quadratic inequalities 5 Konklusyon. Mga Katangian: Hindi pagkakapantay-pantay: Inihanda ng grade 8A na estudyante na si Andrey Gorlitz. Plano: Graph: - Mga monotonic na pagitan para sa a> 0 para sa a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.

"Quadratic function and its graph" - Decision.y = 4x A (0.5: 1) 1 = 1 A-belongs. Para sa a = 1, ang formula na y = ax ay nasa anyo.

"Grade 8 quadratic function" - 1) Buuin ang vertex ng parabola. Pag-plot ng quadratic function. x. -7. I-plot ang function. Algebra Grade 8 Guro ng Paaralan 496 Bovina T.V. -1. Bumuo ng plano. 2) Buuin ang axis ng symmetry x = -1. y.

Bumuo ng function

Dinadala namin sa iyong atensyon ang isang serbisyo para sa pagguhit ng mga function chart online, ang lahat ng karapatan ay pagmamay-ari ng kumpanya Desmos... Gamitin ang kaliwang column upang magpasok ng mga function. Maaari mo itong ipasok nang manu-mano o gamit ang virtual na keyboard sa ibaba ng window. Upang palakihin ang window gamit ang graph, maaari mong itago ang parehong kaliwang column at ang virtual na keyboard.

Mga benepisyo ng pag-chart online

• Visual na pagpapakita ng mga ipinasok na function
• Pagbuo ng napakakomplikadong mga graph
• Paglikha ng mga graph, implicitly na ibinigay (halimbawa, ellipse x ^ 2/9 + y ^ 2/16 = 1)
• Ang kakayahang mag-save ng mga chart at makatanggap ng link sa kanila, na magiging available sa lahat sa Internet
• Kontrol ng sukat, kulay ng linya
• Posibilidad ng pag-plot ng mga graph ayon sa mga puntos, gamit ang mga constant
• Sabay-sabay na pagbuo ng ilang mga graph ng mga function
• Pag-plot sa mga polar coordinates (gamitin ang r at θ (\ theta))

Madaling bumuo ng mga chart na may iba't ibang kumplikado online sa amin. Ang pagtatayo ay tapos na kaagad. Ang serbisyo ay hinihiling para sa paghahanap ng mga intersection point ng mga function, para sa pagpapakita ng mga graph para sa kanilang karagdagang paggalaw sa isang dokumento ng Word bilang mga ilustrasyon kapag niresolba ang mga problema, para sa pagsusuri ng mga katangian ng pag-uugali ng mga function graph. Ang pinakamainam na browser para sa pagtatrabaho sa mga chart sa pahinang ito ng site ay Google Chrome. Ang operasyon ay hindi ginagarantiyahan sa ibang mga browser.

Ang function graph ay isang visual na representasyon ng pag-uugali ng isang function sa isang coordinate plane. Tinutulungan ka ng mga graph na maunawaan ang iba't ibang aspeto ng isang function na hindi matukoy mula sa mismong function. Maaari kang mag-plot ng mga graph ng maraming function, at ang bawat isa sa kanila ay bibigyan ng isang tiyak na formula. Ang graph ng anumang function ay binuo ayon sa isang tiyak na algorithm (kung nakalimutan mo ang eksaktong proseso ng pag-plot ng isang graph ng isang partikular na function).

Mga hakbang

Pag-plot ng Linear Function

Tukuyin kung linear ang function. Ang linear function ay ibinibigay ng isang formula ng form F (x) = k x + b (\ displaystyle F (x) = kx + b) o y = k x + b (\ displaystyle y = kx + b)(halimbawa), at ang graph nito ay isang tuwid na linya. Kaya, kasama sa formula ang isang variable at isang pare-pareho (constant) nang walang anumang exponents, root sign, at mga katulad nito. Dahil sa isang function ng isang katulad na uri, ito ay medyo madali upang i-plot ang naturang function. Narito ang iba pang mga halimbawa ng mga linear na function:

Gumamit ng isang pare-pareho upang markahan ang isang punto sa Y axis. Ang Constant (b) ay ang "y" coordinate ng punto ng intersection ng graph sa y-axis. Iyon ay, ito ang punto na ang "x" coordinate ay 0. Kaya, kung papalitan mo ang x = 0 sa formula , pagkatapos ay y = b (constant). Sa ating halimbawa y = 2 x + 5 (\ displaystyle y = 2x + 5) ang pare-pareho ay 5, iyon ay, ang y-intercept ay may mga coordinate (0.5). Iguhit ang puntong ito sa coordinate plane.

Hanapin ang slope ng linya. Ito ay katumbas ng multiplier ng variable. Sa ating halimbawa y = 2 x + 5 (\ displaystyle y = 2x + 5) sa variable na "x" mayroong isang kadahilanan ng 2; kaya, ang slope ay 2. Tinutukoy ng slope ang anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya sa X-axis, iyon ay, mas malaki ang slope, mas mabilis ang pagtaas o pagbaba ng function.

Isulat ang slope bilang isang fraction. Ang slope ay katumbas ng tangent ng slope, iyon ay, ang ratio ng vertical na distansya (sa pagitan ng dalawang punto sa isang tuwid na linya) sa pahalang na distansya (sa pagitan ng parehong mga punto). Sa aming halimbawa, ang slope ay 2, kaya maaari naming sabihin na ang patayong distansya ay 2 at ang pahalang na distansya ay 1. Isulat ito bilang isang fraction: 2 1 (\ displaystyle (\ frac (2) (1))).

• Kung negatibo ang slope, bumababa ang function.

1. Mula sa intersection ng linya na may Y-axis, gumuhit ng pangalawang punto gamit ang patayo at pahalang na mga distansya. Iskedyul linear function maaaring i-plot gamit ang dalawang puntos. Sa aming halimbawa, ang y-intercept ay may mga coordinate (0.5); mula sa puntong ito, ilipat ang 2 dibisyon pataas, at pagkatapos ay 1 dibisyon sa kanan. Markahan ang punto; magkakaroon ito ng mga coordinate (1,7). Ngayon ay maaari kang gumuhit ng isang tuwid na linya.

   Gumamit ng isang ruler upang gumuhit ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng dalawang puntos. Hanapin ang ikatlong punto upang maiwasan ang mga pagkakamali, ngunit sa karamihan ng mga kaso maaari kang mag-plot ng isang graph mula sa dalawang puntos. Kaya, naka-plot ka ng linear function.

   Paglalagay ng mga puntos sa coordinate plane

   1. Tukuyin ang isang function. Ang function ay tinutukoy bilang f (x). Ang lahat ng posibleng mga halaga ng variable na "y" ay tinatawag na hanay ng mga halaga ng pag-andar, at lahat ng posibleng mga halaga ng variable na "x" ay tinatawag na saklaw ng pag-andar. Halimbawa, isaalang-alang ang function na y = x + 2, ibig sabihin f (x) = x + 2.

      Gumuhit ng dalawang intersecting na patayong linya. Ang pahalang na linya ay ang X-axis. Ang patayong linya ay ang Y-axis.

      Lagyan ng label ang coordinate axes. Hatiin ang bawat axis sa pantay na mga segment at bilangin ang mga ito. Ang punto ng intersection ng mga axes ay 0. Para sa X-axis, ang mga positibong numero ay naka-plot sa kanan (mula sa 0), at mga negatibong numero sa kaliwa. Para sa Y-axis: ang mga positibong numero ay naka-plot sa itaas (mula sa 0), at mga negatibong numero sa ibaba.

      Hanapin ang mga y-values ​​​​sa pamamagitan ng x-values. Sa aming halimbawa, f (x) = x + 2. Isaksak ang mga partikular na x-values ​​sa formula na ito upang kalkulahin ang kaukulang y-values. Kung mayroon kang isang kumplikadong function, pasimplehin ito sa pamamagitan ng paghihiwalay ng y sa isang bahagi ng equation.

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. Gumuhit ng mga punto sa coordinate plane. Para sa bawat pares ng mga coordinate, gawin ang sumusunod: hanapin ang katumbas na halaga sa X-axis at gumuhit ng patayong linya (may tuldok na linya); hanapin ang katumbas na halaga sa Y-axis at gumuhit ng pahalang na linya (may tuldok na linya). Iguhit ang intersection point ng dalawang putol-putol na linya; kaya naka-plot ka ng isang punto sa graph.

      Burahin ang mga tuldok na linya. Gawin ito pagkatapos i-plot ang lahat ng mga punto ng graph sa coordinate plane. Tandaan: ang graph ng function na f (x) = x ay isang tuwid na linya na dumadaan sa gitna ng mga coordinate [punto na may mga coordinate (0,0)]; ang graph f (x) = x + 2 ay isang tuwid na linya na kahanay ng tuwid na linya f (x) = x, ngunit inilipat ang dalawang yunit pataas at samakatuwid ay dumadaan sa punto na may mga coordinate (0,2) (dahil ang pare-pareho ay 2 ).

   Pag-plot ng Kumplikadong Function

   Hanapin ang mga zero ng function. Ang mga zero ng isang function ay ang mga halaga ng x variable kung saan ang y = 0, iyon ay, ang mga ito ay ang mga punto ng intersection ng graph sa x-axis. Tandaan na hindi lahat ng function ay may mga zero, ngunit ito ay ang unang hakbang sa proseso ng paglalagay ng anumang function. Upang mahanap ang mga zero ng isang function, itakda ito sa zero. Halimbawa:

   Hanapin at markahan ang mga pahalang na asymptotes. Ang isang asymptote ay isang tuwid na linya, na kung saan ang graph ng isang function ay lumalapit, ngunit hindi kailanman tumatawid dito (iyon ay, sa lugar na ito ang function ay hindi tinukoy, halimbawa, kapag hinahati sa 0). Markahan ang asymptote ng may tuldok na linya. Kung ang variable na "x" ay nasa denominator ng fraction (halimbawa, y = 1 4 - x 2 (\ displaystyle y = (\ frac (1) (4-x ^ (2))))), itakda ang denominator sa zero at hanapin ang "x". Sa nakuha na mga halaga ng variable na "x", ang function ay hindi tinukoy (sa aming halimbawa, gumuhit ng mga tuldok na linya sa pamamagitan ng x = 2 at x = -2), dahil hindi mo maaaring hatiin sa 0. Ngunit ang mga asymptotes ay umiiral hindi lamang sa mga kaso kung saan ang function ay naglalaman ng fractional expression. Samakatuwid, inirerekumenda na gumamit ng sentido komun: