Ang mga kabaligtaran na trigonometriko na gawain ay kadalasang inaalok sa mga pagsusulit sa pagtatapos ng high school at mga pagsusulit sa pasukan sa ilang unibersidad. Ang isang detalyadong pag-aaral ng paksang ito ay maaari lamang makamit sa mga ekstrakurikular na aktibidad o sa mga elective na kurso... Ang iminungkahing kurso ay idinisenyo upang paunlarin ang mga kakayahan ng bawat mag-aaral nang ganap hangga't maaari, upang mapabuti ang kanyang pagsasanay sa matematika.

Ang kurso ay dinisenyo para sa 10 oras:

1.Functions arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 na oras).

2.Operations sa kabaligtaran trigonometriko function (4 na oras).

3. Baliktad na trigonometriko na mga operasyon sa trigonometriko function (2 oras).

Aralin 1 (2 oras) Paksa: Mga Pag-andar y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x.

Layunin: buong saklaw ng isyung ito.

1. Function y = arcsin x.

a) Para sa function na y = sin x sa segment mayroong isang inverse (single-valued) function, na napagkasunduan naming tawagan ang arcsine at tukuyin ito bilang mga sumusunod: y = arcsin x. Ang graph ng inverse function ay simetriko sa graph ng pangunahing function na may kaugnayan sa bisector ng I - III coordinate angle.

Mga katangian ng function y = arcsin x.

1) Domain ng kahulugan: segment [-1; 1];

2) Lugar ng pagbabago: segment;

3) Ang function na y = arcsin x ay kakaiba: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) Ang function na y = arcsin x ay monotonically tumataas;

5) Ang graph ay tumatawid sa Ox, Oy axes sa pinanggalingan.

Halimbawa 1. Hanapin ang a = arcsin. Ang halimbawang ito ay maaaring bumalangkas nang detalyado tulad ng sumusunod: hanapin ang gayong argumento a, na namamalagi sa hanay mula hanggang, na ang sine ay katumbas ng.

Solusyon. Mayroong hindi mabilang na mga argumento na ang sine ay katumbas, halimbawa: atbp. Ngunit interesado lamang kami sa argumento na nasa segment. Ang ganitong argumento ay magiging. Kaya, .

Halimbawa 2. Hanapin .Solusyon. Ang pangangatwiran sa parehong paraan tulad ng sa halimbawa 1, nakukuha namin .

b) mga pagsasanay sa bibig. Hanapin: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin (), arcsin, arcsin (), arcsin, arcsin (), arcsin 0. Halimbawang sagot: mula noon ... May katuturan ba ang mga ekspresyon:; arcsin 1.5; ?

c) Ayusin sa pataas na pagkakasunud-sunod: arcsin, arcsin (-0.3), arcsin 0.9.

II. Mga function y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x (katulad).

Aralin 2 (2 oras) Paksa: Inverse trigonometric functions, ang kanilang mga graph.

Layunin: sa araling ito kailangang magsanay ng mga kasanayan sa pagtukoy ng mga halaga trigonometriko function, sa pagbuo ng mga graph ng inverse trigonometric function gamit ang D (y), E (y) at ang mga kinakailangang pagbabago.

Sa araling ito, magsagawa ng mga pagsasanay na kinabibilangan ng paghahanap ng domain, ang domain ng mga halaga ng mga function ng uri: y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctan (tg x), y = arccos.

Kinakailangang bumuo ng mga graph ng mga function: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 arcsin 2x; c) y = arcsin;

d) y = arcsin; e) y = arcsin; f) y = arcsin; g) y = | arcsin | ...

Halimbawa. Plot y = arccos

Maaari mong isama ang mga sumusunod na pagsasanay sa iyong araling-bahay: bumuo ng mga graph ng mga function: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | x | ...

Inverse function graphs

Layunin: upang palawakin ang kaalaman sa matematika (ito ay mahalaga para sa mga aplikante para sa mga espesyalidad na may mas mataas na mga kinakailangan para sa pagsasanay sa matematika) sa pamamagitan ng pagpapakilala ng mga pangunahing ugnayan para sa kabaligtaran na mga function ng trigonometriko.

Kagamitan para sa aralin.

Ang ilan sa mga pinakasimpleng trigonometriko na operasyon sa kabaligtaran na trigonometriko function: kasalanan (arcsin x) = x, i xi? 1; cos (arсcos x) = x, i xi? 1; tg (arctan x) = x, x I R; ctg (arcctg x) = x, x I R.

Mga ehersisyo.

a) tg (1.5 + arctan 5) = - ctg (arctan 5) = .

ctg (arctg x) =; tg (arcctg x) =.

b) cos (+ arcsin 0.6) = - cos (arcsin 0.6). Hayaan ang arcsin 0.6 = a, sin a = 0.6;

cos (arcsin x) =; kasalanan (arccos x) =.

Tandaan: kinukuha namin ang sign na "+" sa harap ng ugat dahil ang a = arcsin x ay nakakatugon.

c) kasalanan (1,5 + arcsin) Sagot:;

d) ctg (+ arctan 3) Sagot:;

e) tg (- arcctg 4) Sagot:.

f) cos (0.5 + arccos). Sagot: .

Kalkulahin:

a) kasalanan (2 arctan 5).

Hayaan ang arctan 5 = a, pagkatapos ay sin 2 a = o kasalanan (2 arctan 5) = ;

b) cos (+ 2 arcsin 0.8) Sagot: 0.28.

c) arctg + arctg.

Hayaan ang a = arctan, b = arctan,

pagkatapos tg (a + b) = .

d) kasalanan (arcsin + arcsin).

e) Patunayan na para sa lahat ng x I [-1; 1] ay totoo arcsin x + arccos x =.

Patunay:

arcsin x = - arccos x

kasalanan (arcsin x) = kasalanan (- arccos x)

x = cos (arccos x)

Para sa isang independiyenteng solusyon: kasalanan (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos).

Para sa isang lutong bahay na solusyon: 1) kasalanan (arcsin 0.6 + arctan 0); 2) arcsin + arcsin; 3) ctg (- arccos 0.6); 4) cos (2 arcctg 5); 5) kasalanan (1.5 - arcsin 0.8); 6) arctan 0.5 - arctan 3.

Layunin: sa araling ito upang ipakita ang paggamit ng mga ratios sa pagbabago ng mas kumplikadong mga expression.

Kagamitan para sa aralin.

BALITANG:

a) kasalanan (arccos 0.6), cos (arcsin 0.8);

b) tg (arcсtg 5), ctg (arctan 5);

c) kasalanan (arctg -3), cos (arcсtg ());

d) tg (arccos), ctg (arccos ()).

NAKASULAT:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctan 5 – arccos 0.8) = cos (arctan 5) cos (arccos 0.8) + sin (arctan 5) sin (arccos 0.8) =

3) tg (- arcsin 0.6) = - tg (arcsin 0.6) =

4)

Ang independiyenteng gawain ay makakatulong upang matukoy ang antas ng asimilasyon ng materyal

Para sa takdang aralin maaari kang magmungkahi:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) kasalanan 2 (arctan 2 - arcctg ()); 3) kasalanan (2 arctan + tg (arcsin)); 4) kasalanan (2 arctg); 5) tg ((arcsin))

Layunin: upang bumuo ng isang ideya ng mga mag-aaral tungkol sa kabaligtaran na mga operasyong trigonometriko sa mga pag-andar ng trigonometriko, tumuon sa pagtaas ng kahalagahan ng teoryang pinag-aaralan.

Kapag pinag-aaralan ang paksang ito, ipinapalagay na limitado ang dami ng teoretikal na materyal na isaulo.

Materyal ng aralin:

Maaari mong simulan ang pag-aaral ng bagong materyal sa pamamagitan ng pagsusuri sa function na y = arcsin (sin x) at pag-plot nito.

3. Ang bawat x I R ay nauugnay sa y I, i.e.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. Ang function ay kakaiba: sin (-x) = - sin x; arcsin (sin (-x)) = - arcsin (sin x).

6. Graph y = arcsin (sin x) sa:

a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y = sin (- x) = sinx, 0<= - x <= .

Kaya,

Ang pagkakaroon ng constructed y = arcsin (sin x) on, nagpapatuloy kami ng simetriko tungkol sa pinagmulan sa [-; 0], na isinasaalang-alang ang kakaiba ng function na ito. Gamit ang periodicity, magpapatuloy tayo sa buong axis ng numero.

Pagkatapos ay isulat ang ilang mga ratios: arcsin (kasalanan a) = a kung<= a <= ; arccos (cos a ) = a kung 0<= a <= ; arctan (tg a) = a kung< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

At gawin ang mga sumusunod na pagsasanay: a) arccos (kasalanan 2) Sagot: 2 -; b) arcsin (cos 0.6) Sagot: - 0.1; c) arctan (tg 2) Sagot: 2 -;

d) arcctg (tg 0.6) Sagot: 0.9; e) arccos (cos (- 2)) Sagot: 2 -; f) arcsin (kasalanan (- 0.6)). Sagot: - 0.6; g) arctan (tg 2) = arctan (tg (2 -)). Sagot: 2 -; h) arcctg (tan 0.6). Sagot: - 0.6; - arctg x; e) arccos + arccos

MGA GRAPHIC NG FUNCTION

Pag-andar ng sine

- maraming R lahat ng totoong numero.

Set ng mga value ng function- segment [-1; 1], ibig sabihin function ng sine - limitado.

Ang pag-andar ay kakaiba: sin (−x) = - sin x para sa lahat ng х ∈ R.

Pana-panahong pag-andar

sin (x + 2π k) = sin x, kung saan k ∈ Z para sa lahat х ∈ R.

kasalanan x = 0 para sa x = π k, k ∈ Z.

kasalanan x> 0(positibo) para sa lahat ng x ∈ (2π k, π + 2π k), k ∈ Z.

kasalanan x< 0 (negatibo) para sa lahat ng x ∈ (π + 2π k, 2π + 2π k), k ∈ Z.

Pag-andar ng cosine

Saklaw ng pag-andar- maraming R lahat ng totoong numero.

Set ng mga value ng function- segment [-1; 1], ibig sabihin function ng cosine - limitado.

Ang function ay kahit na: cos (−x) = cos x para sa lahat ng х ∈ R.

Pana-panahong pag-andar na may pinakamaliit na positibong panahon 2π:

cos (x + 2π k) = cos x, saan k ∈ Z para sa lahat х ∈ R.

cos x = 0 sa
cos x> 0 para sa lahat
kasi x< 0 para sa lahat
Ang pag-andar ay tumataas mula −1 hanggang 1 sa pagitan:
Bumababa ang function mula −1 hanggang 1 sa pagitan:
Ang pinakamalaking halaga ng function na sin x = 1 sa mga punto:
Ang pinakamaliit na halaga ng function na sin x = −1 sa mga punto:

Tangent function

Set ng mga value ng function- ang buong linya ng numero, i.e. padaplis - function walang limitasyon.

Ang pag-andar ay kakaiba: tg (−x) = - tg x
Ang function graph ay simetriko tungkol sa OY axis.

Pana-panahong pag-andar na may pinakamaliit na positibong panahon π, i.e. tg (x + π k) = tg x, k ∈ Z para sa lahat ng x mula sa domain.

Cotangent function

Set ng mga value ng function- ang buong linya ng numero, i.e. cotangent - function walang limitasyon.

Pana-panahong pag-andar na may pinakamaliit na positibong panahon π, i.e. ctg (x + π k) = ctg x, k ∈ Z para sa lahat ng x mula sa domain.

Pag-andar ng Arcsine

Saklaw ng pag-andar- segment [-1; 1]

Set ng mga value ng function- ang segment -π / 2 arcsin x π / 2, i.e. arcsine function limitado.

Ang pag-andar ay kakaiba: arcsin (−x) = - arcsin x para sa lahat ng х ∈ R.
Ang function graph ay simetriko tungkol sa pinagmulan.

Sa buong lugar ng kahulugan.

Pag-andar ng Arc cosine

Saklaw ng pag-andar- segment [-1; 1]

Set ng mga value ng function- segment 0 arccos x π, ibig sabihin. inverse cosine - function limitado.

Ang function ay pataas sa buong domain ng kahulugan.

Pag-andar ng Arctangent

Saklaw ng pag-andar- maraming R lahat ng totoong numero.

Set ng mga value ng function- segment 0 π, ibig sabihin. arctangent - function limitado.

Ang pag-andar ay kakaiba: arctan (−x) = - arctan x para sa lahat ng х ∈ R.
Ang function graph ay simetriko tungkol sa pinagmulan.

Ang function ay pataas sa buong domain ng kahulugan.

Pag-andar ng arc cotangent

Saklaw ng pag-andar- maraming R lahat ng totoong numero.

Set ng mga value ng function- segment 0 π, ibig sabihin. arc cotangent - function limitado.

Ang function ay hindi kahit na o kakaiba.
Ang graph ng function ay asymmetric ni tungkol sa pinanggalingan o tungkol sa Oy axis.

Bumababa ang function sa buong domain ng kahulugan.

Kahulugan at notasyon

Ang Arcsine ay minsan ay tinutukoy bilang mga sumusunod:
.

Arcsine function graph

Function graph y = arcsin x

Ang arcsine plot ay nakuha mula sa sine plot sa pamamagitan ng pagpapalit ng abscissa at ordinate axes. Upang maalis ang kalabuan, ang hanay ng mga halaga ay nililimitahan ng agwat kung saan ang pag-andar ay monotoniko. Ang kahulugan na ito ay tinatawag na pangunahing halaga ng arcsine.

Arccosine, arccos

Kahulugan at notasyon

Ang Arccosine ay minsan ay tinutukoy bilang mga sumusunod:
.

Arccosine function graph

Function graph y = arccos x

Ang inverse cosine plot ay nakuha mula sa cosine plot sa pamamagitan ng pagpapalit ng abscissa at ordinate axes. Upang maalis ang kalabuan, ang hanay ng mga halaga ay nililimitahan ng agwat kung saan ang pag-andar ay monotoniko. Ang kahulugan na ito ay tinatawag na pangunahing halaga ng arccosine.

Pagkakapantay-pantay

Ang arcsine function ay kakaiba:
arcsin (- x) = arcsin (-sin arcsin x) = arcsin (kasalanan (-arcsin x)) = - arcsin x

Ang inverse cosine function ay hindi pantay o kakaiba:
arccos (- x) = arccos (-cos arccos x) = arccos (cos (π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Properties - extrema, pagtaas, pagbaba

Ang inverse sine at inverse cosine function ay tuloy-tuloy sa kanilang domain ng kahulugan (tingnan ang patunay ng continuity). Ang mga pangunahing katangian ng arcsine at arcsine ay ipinakita sa talahanayan.

Arcsine at Arccosine Table

Ipinapakita ng talahanayang ito ang mga halaga ng mga arcsine at arcosines, sa mga degree at radian, para sa ilang mga halaga ng argumento.

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Mga pormula

Mga Formula ng Kabuuan at Pagkakaiba

sa o

sa at

sa at

sa o

sa at

sa at

sa

sa

sa

sa

Logarithm Expressions, Complex Numbers

Mga expression sa mga tuntunin ng hyperbolic function

Derivatives

;
.
Tingnan ang Derivative Arcsine at Arccosine Derivatives>>>

Higher order derivatives:
,
kung saan ay isang polynomial ng degree. Ito ay tinutukoy ng mga formula:
;
;
.

Tingnan ang Derivation ng higher order derivatives ng arcsine at arcsine>>>

Mga integral

Pagpapalit x = kasalanan t... Pinagsasama namin ayon sa mga bahagi, isinasaalang-alang na -π / 2 ≤ t ≤ π / 2, cos t ≥ 0:
.

Ipahayag natin ang inverse cosine sa mga tuntunin ng inverse sine:
.

Pagpapalawak ng serye

Para sa | x |< 1 nagaganap ang sumusunod na pagkabulok:
;
.

Inverse function

Ang kabaligtaran sa arcsine at arccosine ay sine at cosine, ayon sa pagkakabanggit.

Ang mga sumusunod na formula ay may bisa sa buong domain:
kasalanan (arcsin x) = x
cos (arccos x) = x .

Ang mga sumusunod na formula ay may bisa lamang sa hanay ng mga halaga ng arcsine at arcsine:
arcsin (sin x) = x sa
arccos (cos x) = x sa .

Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng Mathematics para sa mga Inhinyero at Mag-aaral ng mga Teknikal na Institusyon, "Lan", 2009.