In geometria, l'area di una figura è una delle principali caratteristiche numeriche di un corpo piatto. Che cos'è un'area, come determinarla per varie figure e quali proprietà ha: prenderemo in considerazione tutte queste domande in questo articolo.

Cos'è l'area: definizione

L'area di una figura è il numero di quadrati unitari in quella figura; informalmente parlando, questa è la dimensione della figura. Molto spesso, l'area della figura è indicata come "S". Può essere misurato utilizzando una tavolozza o un dispositivo planimetrico. Inoltre, l'area di una figura può essere calcolata conoscendo le sue dimensioni di base. Ad esempio, l'area di un triangolo può essere calcolata utilizzando tre diverse formule:

L'area di un rettangolo è uguale al prodotto della sua larghezza e lunghezza e l'area di un cerchio è uguale al prodotto del quadrato del raggio e = 3,14.

Proprietà dell'area della forma

• l'area è uguale a quella di cifre uguali;
• l'area è sempre non negativa;
• l'unità di misura dell'area è l'area di un quadrato con il lato pari a 1 unità di lunghezza;
• se la figura è divisa in due parti, l'area totale della figura è uguale alla somma delle aree delle sue parti costituenti;
• le figure che sono uguali nell'area sono chiamate uguali nelle dimensioni;
• se una figura appartiene a un'altra figura, l'area della prima non può superare l'area della seconda.

Formula dell'areaè necessario determinare l'area di una figura, che è una funzione a valori reali definita su una certa classe di figure nel piano euclideo e che soddisfa 4 condizioni:

1. Positività - L'area non può essere inferiore a zero;
2. Normalizzazione: un quadrato con un lato ha un'area di 1;
3. Congruenza - le forme congruenti hanno area uguale;
4. Additività: l'area dell'unione di 2 figure senza punti interni comuni è uguale alla somma delle aree di queste figure.

Come trovare l'area di una forma?

Conoscere e saper calcolare le aree di varie forme è necessario non solo per risolvere semplici problemi geometrici. Non puoi fare a meno di questa conoscenza durante la stesura o il controllo dei preventivi per la riparazione dei locali, calcolando la quantità di materiali di consumo necessari. Quindi cerchiamo di capire come trovare le aree di forme diverse.

La parte di un piano racchiusa in un contorno chiuso è chiamata area di questo piano. L'area è espressa dal numero di unità quadrate racchiuse in essa.

Per calcolare l'area delle forme geometriche di base, è necessario utilizzare la formula corretta.

Area di un triangolo

Leggenda:

1. Se h, a sono noti, l'area del triangolo desiderato è determinata come il prodotto delle lunghezze del lato e l'altezza del triangolo caduto su questo lato, diviso a metà: S = (a h) / 2
2. Se a, b, c sono noti, l'area richiesta viene calcolata secondo la formula di Erone: la radice quadrata presa dal prodotto di metà del perimetro del triangolo e tre differenze di metà del perimetro e ciascun lato del triangolo: S = √ (p (p - a) (p - b) (p - c)).
3. Se a, b, sono noti, l'area di un triangolo è determinata come metà del prodotto di 2 lati, moltiplicata per il valore del seno dell'angolo tra questi lati: S = (ab sin γ) / 2
4. Se a, b, c, R sono noti, l'area richiesta è determinata dalla divisione del prodotto delle lunghezze di tutti i lati del triangolo per i quattro raggi del cerchio circoscritto: S = (a b c) / 4R
5. Se p, r sono noti, l'area richiesta del triangolo è determinata moltiplicando la metà del perimetro per il raggio del cerchio inscritto: S = p r

Area quadrata

Leggenda:

1. Se il lato è noto, l'area di questa figura è determinata come il quadrato della lunghezza del suo lato: S = a 2
2. Se d è noto, l'area di un quadrato è determinata come metà del quadrato della lunghezza della sua diagonale: S = d 2/2

Area rettangolare

Leggenda:

• S - area determinata,
• a, b - le lunghezze dei lati del rettangolo.

1. Se a, b sono noti, l'area di un dato rettangolo è determinata dal prodotto delle lunghezze dei suoi due lati: S = a b
2. Se le lunghezze dei lati sono sconosciute, l'area del rettangolo deve essere divisa in triangoli. In questo caso, l'area di un rettangolo è definita come la somma delle aree dei suoi triangoli costituenti.

Area del parallelogramma

Leggenda:

• S è l'area richiesta,
• a, b - lunghezze dei lati,
• h è la lunghezza dell'altezza di questo parallelogramma,
• d1, d2 - lunghezze di due diagonali,
• α è l'angolo tra i lati,
• è l'angolo tra le diagonali.

1. Se a, h sono noti, l'area richiesta viene determinata moltiplicando le lunghezze del lato e l'altezza abbassata su questo lato: S = a h
2. Se a, b, α sono noti, l'area del parallelogramma viene determinata moltiplicando le lunghezze dei lati del parallelogramma e il valore del seno dell'angolo tra questi lati: S = a b sin α
3. Se sono noti d 1, d 2, , l'area del parallelogramma è determinata come metà del prodotto delle lunghezze delle diagonali e il valore del seno dell'angolo tra queste diagonali: S = (d 1 d 2 sinγ) / 2

Zona rombo

Leggenda:

• S è l'area richiesta,
• a - lunghezza del lato,
• h - altezza lunghezza,
• α - angolo più piccolo tra due lati,
• d1, d2 - le lunghezze delle due diagonali.

1. Se a, h sono noti, l'area di un rombo viene determinata moltiplicando la lunghezza del lato per la lunghezza dell'altezza che viene abbassata su questo lato: S = a h
2. Se a, α sono noti, l'area di un rombo è determinata moltiplicando il quadrato della lunghezza del lato per il seno dell'angolo tra i lati: S = a 2 sin α
3. Se d 1 e d 2 sono noti, l'area richiesta è determinata come metà del prodotto delle lunghezze delle diagonali del rombo: S = (d 1 d 2) / 2

Zona del trapezio

Leggenda:

1. Se a, b, c, d sono noti, l'area richiesta è determinata dalla formula: S = (a + b) / 2 * √.
2. Con a, b, h noti, l'area richiesta è determinata come il prodotto della metà della somma delle basi e dell'altezza del trapezio: S = (a + b) / 2 h

Area di un quadrilatero convesso

Leggenda:

1. Se sono noti d 1, d 2, α, l'area di un quadrilatero convesso è determinata come metà del prodotto delle diagonali del quadrilatero moltiplicato per il valore del seno dell'angolo tra queste diagonali: S = ( d 1 d 2 sin α) / 2
2. Per noto p, r, l'area di un quadrilatero convesso è definita come il prodotto del semiperimetro del quadrilatero per il raggio di un cerchio inscritto in questo quadrilatero: S = p r
3. Se a, b, c, d, sono noti, l'area di un quadrilatero convesso è determinata come la radice quadrata dei prodotti della differenza del mezzo perimetro e la lunghezza di ciascun lato meno il prodotto del lunghezze di tutti i lati e il quadrato del coseno della metà della somma di due angoli opposti: S 2 = (p - a ) (p - b) (p - c) (p - d) - abcd cos 2 ((α + ) / 2)

Area di un cerchio

Leggenda:

Se r è noto, allora l'area richiesta è determinata come il prodotto di per il raggio al quadrato: S = π r 2

Se d è noto, l'area di un cerchio è definita come il prodotto del numero per il quadrato del diametro, diviso per quattro: S = (π d 2) / 4

Area della figura complessa

Uno complesso può essere suddiviso in semplici forme geometriche. L'area di una figura complessa è definita come la somma o la differenza delle aree costituenti. Consideriamo, ad esempio, un anello.

Designazione:

• S è l'area dell'anello,
• R, r sono i raggi dei cerchi esterno e interno, rispettivamente,
• D, d - rispettivamente diametri dei cerchi esterno e interno.

Per trovare l'area dell'anello, è necessario sottrarre l'area dall'area del cerchio più grande cerchio più piccolo. S = S1-S2 = πR 2 -πr 2 = π (R 2 -r 2).

Pertanto, se R e r sono noti, l'area dell'anello è determinata come la differenza tra i quadrati dei raggi dei cerchi esterno e interno, moltiplicata per il numero pi: S = π (R 2 -r 2 ).

Se D e d sono noti, l'area dell'anello è determinata come un quarto della differenza tra i quadrati dei diametri dei cerchi esterno e interno, moltiplicata per il numero pi: S = (1/4) ( D 2 -d 2) π.

Area della forma riempita

Supponiamo che all'interno di un quadrato (A) ce ne sia un altro (B) (più piccolo), e dobbiamo trovare la cavità riempita tra le forme "A" e "B". Diciamo solo la "cornice" di un quadratino. Per questo:

1. Trova l'area della figura "A" (calcolata dalla formula per trovare l'area di un quadrato).
2. Allo stesso modo, troviamo l'area della figura "B".
3. Sottrarre l'area "B" dall'area "A". E così otteniamo l'area della figura piena.

Ora sai come trovare le aree di forme diverse.

Nella sezione precedente, dedicata all'analisi del significato geometrico di un integrale definito, abbiamo ottenuto una serie di formule per calcolare l'area di un trapezio curvilineo:

S (G) = ∫ a b f (x) d x per una funzione continua e non negativa y = f (x) sul segmento [a; B],

S (G) = - a b f (x) d x per una funzione continua e non positiva y = f (x) sul segmento [a; B].

Queste formule sono applicabili per risolvere problemi relativamente semplici. Spesso, infatti, dobbiamo lavorare con forme più complesse. A questo proposito, dedicheremo questa sezione all'analisi degli algoritmi per il calcolo dell'area delle figure che sono limitate da funzioni in forma esplicita, ad es. come y = f (x) o x = g (y).

Siano definite e continue le funzioni y = f 1 (x) e y = f 2 (x) sul segmento [a; b], e f 1 (x) ≤ f 2 (x) per qualsiasi valore di x da [a; B]. Quindi la formula per calcolare l'area della figura G delimitata dalle linee x = a, x = b, y = f 1 (x) e y = f 2 (x) avrà la forma S (G) = ∫ abf 2 (x) - f 1 (x) dx.

Una formula simile sarà applicabile per l'area della figura delimitata dalle linee y = c, y = d, x = g 1 (y) e x = g 2 (y): S (G) = ∫ cd ( g 2 (y) - g 1 (y) dy.

Prova

Consideriamo tre casi per i quali la formula sarà valida.

Nel primo caso, tenendo conto della proprietà dell'additività dell'area, la somma delle aree della figura originale G e del trapezio curvilineo G 1 è uguale all'area della figura G 2. Significa che

Pertanto, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ abf 2 (x) dx - ∫ abf 1 (x) dx = ∫ ab (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Possiamo fare l'ultima transizione usando la terza proprietà dell'integrale definito.

Nel secondo caso vale la seguente uguaglianza: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ abf 2 (x) dx + - ∫ abf 1 (x) dx = ∫ ab (f 2 ( x) - f 1 (x)) dx

L'illustrazione grafica sarà simile a:

Se entrambe le funzioni sono non positive, si ottiene: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ abf 2 (x) dx - - ∫ abf 1 (x) dx = ∫ ab (f 2 (x) - f 1 (x)) dx. L'illustrazione grafica sarà simile a:

Passiamo alla considerazione del caso generale in cui y = f 1 (x) ey = f 2 (x) intersecano l'asse O x.

I punti di intersezione saranno indicati come x i, i = 1, 2,. ... ... , n-1. Questi punti dividono il segmento [a; b] in n parti x i - 1; x io, io = 1, 2,. ... ... , n, dove α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Quindi,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ xixif 2 (x) - f 1 (x)) dx = = ∫ x 0 xn (f 2 (x) - f ( x)) dx = ∫ abf 2 (x) - f 1 (x) dx

Possiamo fare l'ultima transizione usando la quinta proprietà dell'integrale definito.

Illustriamo il caso generale sul grafico.

La formula S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x può considerarsi dimostrata.

E ora passiamo all'analisi di esempi di calcolo dell'area delle figure delimitate dalle linee y = f (x) e x = g (y).

Inizieremo a considerare uno qualsiasi degli esempi costruendo un grafico. L'immagine ci permetterà di rappresentare forme complesse come combinazioni di forme più semplici. Se tracciare grafici e forme su di essi ti crea difficoltà, puoi studiare la sezione sulle funzioni atomiche di base, sulla trasformazione geometrica dei grafici delle funzioni e sul tracciare mentre esplori una funzione.

Esempio 1

È necessario determinare l'area della figura, che è delimitata dalla parabola y = - x 2 + 6 x - 5 e dalle linee rette y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Soluzione

Tracciamo le linee sul grafico in un sistema di coordinate cartesiane.

Sul segmento [1; 4] il grafico della parabola y = - x 2 + 6 x - 5 si trova sopra la retta y = - 1 3 x - 1 2. A questo proposito, per ottenere una risposta, utilizziamo la formula ottenuta in precedenza, nonché il metodo per calcolare un integrale definito secondo la formula di Newton-Leibniz:

S (G) = 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 dx = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 dx = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Risposta: S (G) = 13

Vediamo un esempio più complesso.

Esempio 2

È necessario calcolare l'area della figura, che è delimitata dalle linee y = x + 2, y = x, x = 7.

Soluzione

In questo caso abbiamo una sola retta parallela all'asse delle ascisse. Questo è x = 7. Questo ci richiede di trovare da soli il secondo limite di integrazione.

Costruiamo un grafico e disegniamo su di esso le linee fornite nella dichiarazione del problema.

Avendo il grafico davanti ai nostri occhi, possiamo facilmente determinare che il limite inferiore di integrazione sarà l'ascissa del punto di intersezione del grafico della retta y = x e della semiparabola y = x + 2. Per trovare l'ascissa, usiamo le uguaglianze:

y = x + 2 О Д З: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ О Д З x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ О Д З

Si scopre che l'ascissa del punto di intersezione è x = 2.

Attiriamo la vostra attenzione sul fatto che nell'esempio generale nel disegno, le linee y = x + 2, y = x si intersecano nel punto (2; 2), quindi tali calcoli dettagliati possono sembrare ridondanti. Abbiamo fornito una soluzione così dettagliata qui solo perché in casi più complessi la soluzione potrebbe non essere così ovvia. Ciò significa che le coordinate dell'intersezione delle linee sono sempre meglio calcolate analiticamente.

Nell'intervallo [2; 7] il grafico della funzione y = x si trova sopra il grafico della funzione y = x + 2. Applichiamo la formula per il calcolo dell'area:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) dx = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Risposta: S (G) = 59 6

Esempio 3

È necessario calcolare l'area della figura, che è limitata dai grafici delle funzioni y = 1 x e y = - x 2 + 4 x - 2.

Soluzione

Tracciamo linee sul grafico.

Definiamo i limiti dell'integrazione. Per fare ciò, determiniamo le coordinate dei punti di intersezione delle linee eguagliando le espressioni 1 x e - x 2 + 4 x - 2. Posto che x non è zero, l'uguaglianza 1 x = - x 2 + 4 x - 2 diventa equivalente all'equazione di terzo grado - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 a coefficienti interi. Puoi aggiornare la tua memoria dell'algoritmo per risolvere tali equazioni facendo riferimento alla sezione "Risoluzione di equazioni cubiche".

La radice di questa equazione è x = 1: - 1 3 + 4 · 1 2 - 2 · 1 - 1 = 0.

Dividendo l'espressione - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 per il binomio x - 1, si ottiene: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Possiamo trovare le radici rimanenti dall'equazione x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3. 3; x 2 = 3 - 13 2 - 0. 3

Abbiamo trovato l'intervallo x ∈ 1; 3 + 13 2, in cui la figura G è racchiusa sopra la linea blu e sotto la linea rossa. Questo ci aiuta a determinare l'area della forma:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 xdx = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Risposta: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Esempio 4

È necessario calcolare l'area della figura, che è limitata dalle curve y = x 3, y = - log 2 x + 1 e dall'asse delle ascisse.

Soluzione

Tracciamo tutte le linee sul grafico. Possiamo ottenere il grafico della funzione y = - log 2 x + 1 dal grafico y = log 2 x, se lo disponiamo simmetricamente attorno all'asse delle ascisse e lo solleviamo di una unità. L'equazione delle ascisse è y = 0.

Segniamo i punti di intersezione delle linee.

Come si vede dalla figura, i grafici delle funzioni y = x 3 e y = 0 si intersecano nel punto (0; 0). Questo perché x = 0 è l'unica vera radice dell'equazione x 3 = 0.

x = 2 è l'unica radice dell'equazione - log 2 x + 1 = 0, quindi i grafici delle funzioni y = - log 2 x + 1 ey = 0 si intersecano nel punto (2; 0).

x = 1 è l'unica radice dell'equazione x 3 = - log 2 x + 1. A tal proposito, i grafici delle funzioni y = x 3 e y = - log 2 x + 1 si intersecano nel punto (1; 1). L'ultima affermazione potrebbe non essere ovvia, ma l'equazione x 3 = - log 2 x + 1 non può avere più di una radice, poiché la funzione y = x 3 è strettamente crescente e la funzione y = - log 2 x + 1 è rigorosamente decrescente.

Un'ulteriore soluzione presuppone diverse opzioni.

Opzione numero 1

Possiamo rappresentare la figura G come la somma di due trapezi curvilinei posti sopra l'asse delle ascisse, il primo dei quali si trova sotto la mezzeria sul segmento x 0; 1, e il secondo è sotto la linea rossa sul segmento x ∈ 1; 2. Ciò significa che l'area sarà S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x.

Opzione numero 2

La figura G può essere rappresentata come la differenza di due cifre, la prima delle quali si trova sopra l'asse delle ascisse e sotto la linea blu sul segmento x 0; 2, e il secondo è tra le linee rossa e blu sul segmento x ∈ 1; 2. Questo ci permette di trovare l'area come segue:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

In questo caso, per trovare l'area, dovrai usare una formula della forma S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Infatti, le linee che delimitano la forma possono essere rappresentate come funzioni dell'argomento y.

Risolvi le equazioni y = x 3 e - log 2 x + 1 per x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Otteniamo l'area richiesta:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) dy = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Risposta: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Esempio 5

È necessario calcolare l'area della figura, che è delimitata dalle linee y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Soluzione

Con la linea rossa, disegna sul grafico la linea specificata dalla funzione y = x. Disegna la linea y = - 1 2 x + 4 in blu e la linea y = 2 3 x - 3 in nero.

Segnaliamo i punti di intersezione.

Trova i punti di intersezione dei grafici delle funzioni y = x e y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 О Д З: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Verifica: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 non ho una soluzione x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 i s e r t e r s ⇒ (4; 2) punto di intersezione i y = x e y = - 1 2 x + 4

Trova il punto di intersezione dei grafici delle funzioni y = x e y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 О Д З: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Verifica: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 ho una soluzione ⇒ (9; 3) punto di intersezione y = x e y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 x 2 = 9 4 nessuna soluzione

Trova l'intersezione delle linee y = - 1 2 x + 4 e y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) il punto di intersezione y = - 1 2 x + 4 e y = 2 3 x - 3

Metodo numero 1

Immaginiamo l'area della figura richiesta come la somma delle aree delle singole figure.

Quindi l'area della figura è uguale a:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 dx + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 dx = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metodo numero 2

L'area della forma originale può essere pensata come la somma delle altre due forme.

Quindi risolveremo l'equazione della linea rispetto a x e solo dopo applicheremo la formula per calcolare l'area della figura.

y = x ⇒ x = y 2 linea rossa y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 linea nera y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8

L'area è quindi pari a:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 dy + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 dy = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 dy + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 dy = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Come puoi vedere, i valori sono gli stessi.

Risposta: S (G) = 11 3

Risultati

Per trovare l'area di una figura, che è delimitata dalle linee date, dobbiamo costruire linee su un piano, trovare i loro punti di intersezione, applicare la formula per trovare l'area. In questa sezione, abbiamo esaminato le opzioni di attività più comuni.

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Integrale definito. Come calcolare l'area di una forma

Passiamo ora a considerare le applicazioni del calcolo integrale. In questa lezione analizzeremo un compito tipico e più comune. - come calcolare l'area di una figura piana usando un integrale definito... Infine, coloro che cercano un significato nella matematica superiore, possano trovarlo. Non si sa mai. Dovremo avvicinare alla vita l'area suburbana con funzioni elementari e trovare la sua area utilizzando un integrale definito.

Per padroneggiare con successo il materiale, devi:

1) Comprendere l'integrale indefinito almeno al livello medio. Pertanto, i manichini dovrebbero prima familiarizzare con la lezione Non.

2) Saper applicare la formula di Newton-Leibniz e calcolare un integrale definito. Puoi costruire amicizie calorose con integrali definiti sulla pagina Integrale definito. Esempi di soluzioni.

Infatti, per trovare l'area di una figura, non è necessaria tanta conoscenza dell'integrale indefinito e definito. Il compito "calcolare l'area utilizzando un integrale definito" comporta sempre la costruzione di un disegno, quindi, le tue conoscenze e abilità di disegno saranno una questione molto più urgente. A questo proposito è utile rinfrescare la memoria dei grafici delle funzioni elementari di base, e, almeno, saper costruire una retta, una parabola e un'iperbole. Questo può essere fatto (molte persone ne hanno bisogno) con l'aiuto di materiale metodologico e un articolo sulle trasformazioni geometriche dei grafici.

In realtà, tutti conoscono il problema di trovare l'area usando un integrale definito fin dalla scuola, e non andremo molto avanti rispetto al curriculum scolastico. Questo articolo potrebbe non esistere affatto, ma il fatto è che il problema si verifica in 99 casi su 100, quando uno studente soffre dell'odiata torre con entusiasmo di padroneggiare il corso di matematica superiore.

I materiali di questo workshop sono presentati in modo semplice, dettagliato e con un minimo di teoria.

Iniziamo con un trapezio curvo.

Trapezio curvo si chiama figura piana delimitata da un asse, rette e grafico di una funzione continua su un segmento, che non cambia segno su questo intervallo. Sia localizzata questa figura non meno asse delle ascisse:

Quindi l'area di un trapezio curvilineo è numericamente uguale all'integrale definito... Qualsiasi integrale definito (che esiste) ha un ottimo significato geometrico. Alla lezione Integrale definito. Esempi di soluzioni Ho detto che un integrale definito è un numero. E ora è il momento di affermare un altro fatto utile. Dal punto di vista della geometria, l'integrale definito è l'AREA.

Questo è, un integrale definito (se esiste) corrisponde geometricamente all'area di qualche figura... Consideriamo ad esempio un integrale definito. L'integrando definisce una curva sul piano che si trova sopra l'asse (chi lo desidera può fare un disegno), e l'integrale definito stesso è numericamente uguale all'area del corrispondente trapezio curvilineo.

Esempio 1

Questa è una tipica formulazione del compito. Il primo e più importante punto della soluzione è la costruzione del disegno... Inoltre, il disegno deve essere costruito GIUSTO.

Quando si costruisce un disegno, consiglio il seguente ordine: All'inizioè meglio costruire tutte le linee rette (se ce ne sono) e solo dopo- parabole, iperboli, grafici di altre funzioni. È più redditizio costruire grafici di funzioni punto per punto, la tecnica di costruzione punto per punto può essere trovata nel materiale di riferimento Grafici e proprietà delle funzioni elementari... Lì puoi anche trovare materiale molto utile in relazione alla nostra lezione: come costruire rapidamente una parabola.

In questo problema, la soluzione potrebbe essere simile a questa.
Disegniamo un disegno (nota che l'equazione definisce l'asse):

Non tratterò un trapezio curvo, qui è ovvio di quale area stiamo parlando. La soluzione continua così:

Sul segmento si trova il grafico della funzione sopra l'asse, perciò:

Risposta:

Chi ha difficoltà a calcolare un integrale definito e ad applicare la formula di Newton-Leibniz , fare riferimento alla lezione Integrale definito. Esempi di soluzioni.

Dopo che l'attività è stata completata, è sempre utile guardare il progetto e stimare se la risposta è reale. In questo caso, "ad occhio" contiamo il numero di celle nel disegno - beh, ne verranno digitati circa 9, sembra la verità. È abbastanza chiaro che se otteniamo, diciamo, la risposta: 20 unità quadrate, allora, ovviamente, è stato commesso un errore da qualche parte: la cifra in esame chiaramente non si adatta a 20 celle, al massimo dieci. Se la risposta è negativa, anche l'attività è stata risolta in modo errato.

Esempio 2

Calcola l'area di una forma delimitata da linee e un asse

Questo è un esempio di soluzione fai-da-te. Soluzione completa e risposta alla fine del tutorial.

Cosa fare se si trova il trapezio curvo sotto l'asse?

Esempio 3

Calcola l'area di una forma delimitata da linee e assi coordinati.

Soluzione: Eseguiamo il disegno:

Se si trova il trapezio curvo sotto l'asse(o quantomeno non più alto dato asse), allora la sua area può essere trovata dalla formula:
In questo caso:

Attenzione! I due tipi di compiti non devono essere confusi:

1) Se ti viene chiesto di risolvere solo un integrale definito senza alcun significato geometrico, allora potrebbe essere negativo.

2) Se ti viene chiesto di trovare l'area di una figura usando un integrale definito, l'area è sempre positiva! Ecco perché nella formula appena considerata compare un meno.

In pratica, molto spesso la figura si trova sia nel semipiano superiore che in quello inferiore e quindi, dai problemi scolastici più semplici, si passa ad esempi più significativi.

Esempio 4

Trova l'area di una figura piatta delimitata da linee.

Soluzione: Per prima cosa devi completare il disegno. In generale, quando si costruisce un disegno in problemi su un'area, siamo più interessati ai punti di intersezione delle linee. Trova i punti di intersezione della parabola e della retta. Questo può essere fatto in due modi. Il primo modo è analitico. Risolviamo l'equazione:

Quindi, il limite inferiore dell'integrazione, il limite superiore dell'integrazione.
È meglio non usare questo metodo, se possibile..

È molto più vantaggioso e veloce costruire le linee punto per punto, mentre i limiti dell'integrazione diventano chiari, per così dire, "da soli". La tecnica del tracciamento punto per punto per vari grafici è discussa in dettaglio nell'aiuto. Grafici e proprietà delle funzioni elementari... Tuttavia, il metodo analitico per trovare i limiti deve ancora essere applicato a volte se, ad esempio, il grafico è sufficientemente grande, o la costruzione precisa non ha rivelato i limiti di integrazione (possono essere frazionari o irrazionali). E considereremo anche un esempio del genere.

Tornando al nostro problema: è più razionale costruire prima una retta e solo dopo una parabola. Eseguiamo il disegno:

Ripeto che nel caso di una costruzione puntuale, i limiti dell'integrazione sono più spesso scoperti da un “automa”.

E ora la formula di lavoro: Se su un segmento qualche funzione continua Maggiore o uguale di qualche funzione continua, quindi l'area della figura, delimitata dai grafici di queste funzioni e rette, può essere trovata dalla formula:

Qui non è più necessario pensare a dove si trova la figura: sopra o sotto l'asse e, grosso modo, è importante quale programma è SOPRA(relativo ad un altro grafico), e quale è SOTTO.

Nell'esempio in esame è ovvio che sul segmento la parabola si trova al di sopra della retta, e quindi è necessario sottrarre da

Il completamento della soluzione potrebbe essere simile a questo:

La figura richiesta è delimitata da una parabola in alto e una retta in basso.
Sul segmento, secondo la formula corrispondente:

Risposta:

In effetti, la formula scolastica per l'area di un trapezio curvilineo nel semipiano inferiore (vedi semplice esempio n. 3) è un caso speciale della formula ... Poiché l'asse è dato dall'equazione e il grafico della funzione si trova non più alto asse, quindi

E ora un paio di esempi per l'auto-soluzione

Esempio 5

Esempio 6

Trova l'area della figura delimitata da linee,.

Nel corso della risoluzione dei problemi per il calcolo dell'area utilizzando un integrale definito, a volte accade un incidente divertente. Il disegno è fatto correttamente, i calcoli sono corretti, ma per disattenzione ... viene trovata l'area della figura sbagliata, è così che il tuo umile servitore ha sbagliato più volte. Ecco un caso di vita reale:

Esempio 7

Calcola l'area della figura delimitata dalle linee,,,.

Soluzione: Per prima cosa eseguiamo il disegno:

...Eh, è uscito un disegno schifoso, ma tutto sembra leggibile.

La figura di cui dobbiamo trovare l'area è ombreggiata in blu(osserva attentamente la condizione: da cosa è limitata la cifra!). Ma in pratica, a causa della disattenzione, spesso si verifica un "glitch", che è necessario trovare l'area della figura, che è ombreggiata in verde!

Questo esempio è utile anche in quanto calcola l'area di una figura utilizzando due integrali definiti. Veramente:

1) Un grafico a linee si trova sul segmento sopra l'asse;

2) Il grafico dell'iperbole si trova sul segmento sopra l'asse.

È abbastanza ovvio che le aree possono (e dovrebbero) essere aggiunte, quindi:

Risposta:

Passiamo a un compito più significativo.

Esempio 8

Calcola l'area di una forma delimitata da linee,
Rappresentiamo le equazioni in forma "scuola", ed eseguiremo un disegno punto per punto:

Dal disegno si può vedere che il nostro limite superiore è "buono":.
Ma qual è il limite inferiore?! È chiaro che questo non è un numero intero, ma quale? Forse ? Ma dov'è la garanzia che il disegno sia realizzato con perfetta precisione, potrebbe anche essere quello. O radice. E se tracciassimo il grafico in modo errato?

In tali casi, è necessario dedicare ulteriore tempo e affinare analiticamente i limiti dell'integrazione.

Trova i punti di intersezione della retta e della parabola.
Per fare ciò, risolviamo l'equazione:


,

Veramente, .

L'ulteriore soluzione è banale, l'importante è non confondersi con sostituzioni e segni, i calcoli non sono i più facili qui.

Sul segmento , secondo la formula corrispondente:

Risposta:

Bene, in conclusione della lezione, prenderemo in considerazione due compiti più difficili.

Esempio 9

Calcola l'area di una figura delimitata da linee,

Soluzione: Rappresentiamo questa figura nel disegno.

Accidenti, ho dimenticato di firmare il programma, ma di rifare la foto, scusa, non è bello. Non disegno, insomma, oggi è il giorno =)

Per la costruzione punto per punto, è necessario conoscere l'aspetto della sinusoide (e in generale è utile conoscere grafici di tutte le funzioni elementari), così come alcuni valori del seno, possono essere trovati in tavola trigonometrica... In un certo numero di casi (come in questo), è consentito costruire un disegno schematico, sul quale i grafici ei limiti di integrazione dovrebbero essere visualizzati correttamente in linea di principio.

Non ci sono problemi con i limiti di integrazione, derivano direttamente dalla condizione: - "x" cambia da zero a "pi". Prendiamo un'ulteriore decisione:

Sul segmento, il grafico della funzione si trova sopra l'asse, quindi: