La definizione classica di probabilità si basa sul concetto esperienza probabilistica, o un esperimento probabilistico. Il suo risultato è uno dei tanti possibili esiti, chiamato risultati elementari, e non c'è motivo di aspettarsi che qualsiasi risultato elementare appaia più spesso di altri quando si ripete un esperimento probabilistico. Ad esempio, considera un esperimento probabilistico sul lancio di un dado. Il risultato di questa esperienza è uno dei 6 punti estratti sui lati del dado.

Pertanto, ci sono 6 risultati elementari in questo esperimento:

e ciascuno di loro è ugualmente in attesa.

Evento nell'esperimento probabilistico classico è un sottoinsieme arbitrario dell'insieme dei risultati elementari. Nell'esempio considerato del lancio di un dado, l'evento è, ad esempio, un numero pari di punti, che consiste in risultati elementari.

La probabilità di un evento è un numero:

dove il numero di esiti elementari che compongono l'evento (a volte si dice che questo sia il numero di esiti elementari che favoriscono il verificarsi dell'evento), ed è il numero di tutti gli esiti elementari.

Nel nostro esempio:

Elementi combinatori.

Quando si descrivono molti esperimenti probabilistici, i risultati elementari possono essere identificati con uno dei seguenti oggetti della combinatoria (la scienza degli insiemi finiti).

Permutazione from numbers è chiamato record ordinato arbitrario di questi numeri senza ripetizioni. Ad esempio, per un insieme di tre numeri, ci sono 6 diverse permutazioni:

, , , , , .

Per un numero arbitrario di permutazioni è

(prodotto di numeri consecutivi di numeri naturali, a partire da 1).

Una combinazione di softwareè chiamata una raccolta non ordinata arbitraria di qualsiasi elemento dell'insieme. Ad esempio, per un set di tre numeri, ci sono 3 diverse combinazioni da 3 a 2:

Per una coppia arbitraria,, il numero di combinazioni da e è uguale a

Per esempio,

Distribuzione ipergeometrica.

Considera la seguente esperienza probabilistica. C'è una scatola nera contenente palline bianche e nere. Le palline hanno le stesse dimensioni e sono indistinguibili al tatto. L'esperimento consiste nell'estrarre delle palline a caso. L'evento, la cui probabilità deve essere trovata, è che queste palline siano bianche e le altre siano nere.

Enumeriamo tutte le palline con i numeri da 1 a. Lascia che i numeri 1, , corrispondano alle palline bianche, ei numeri, ¼, alle palline nere. L'esito elementare di questa esperienza è una raccolta non ordinata di elementi di un insieme, cioè una combinazione di by. Pertanto, ci sono tutti i risultati elementari.

Troviamo il numero di esiti elementari che favoriscono il verificarsi dell'evento. I set corrispondenti sono composti da numeri "bianchi" e "neri". Puoi scegliere i numeri dai numeri "bianchi" in modi e i numeri dal "nero" in modi. Gli insiemi bianco e nero possono essere combinati arbitrariamente, quindi ci sono solo esiti elementari favorevoli all'evento.

La probabilità di un evento è

La formula risultante è chiamata distribuzione ipergeometrica.

Compito 5.1. La scatola contiene 55 parti condizionate e 6 difettose dello stesso tipo. Qual è la probabilità che tra le tre parti scelte a caso ce ne sia almeno una difettosa?

Soluzione. Ci sono 61 dettagli in totale, prendiamo 3. Un risultato elementare è una combinazione di 61 a 3. Il numero di tutti i risultati elementari è uguale. I risultati favorevoli sono divisi in tre gruppi: 1) questi sono risultati in cui 1 parte è difettosa e 2 sono buoni; 2) 2 parti sono difettose e 1 è buona; 3) tutte e 3 le parti sono difettose. Il numero di insiemi del primo tipo è uguale, il numero di insiemi del secondo tipo è uguale, il numero di insiemi del terzo tipo è. Di conseguenza, gli esiti elementari favoriscono il verificarsi di un evento. La probabilità di un evento è

Algebra degli eventi

Lo spazio degli eventi elementari è chiamato l'insieme di tutti gli esiti elementari relativi a una data esperienza.

La somma due eventi è chiamato evento, che consiste in esiti elementari appartenenti all'evento o all'evento.

Per prodotto due eventi è chiamato un evento costituito da esiti elementari appartenenti contemporaneamente ad eventi e.

Eventi e sono chiamati inconsistenti if.

L'evento si chiama di fronte evento, se l'evento è favorito da tutti quegli esiti elementari che non appartengono all'evento. In particolare, , .

Teorema della somma.

In particolare, .

Probabilità condizionale eventi, a condizione che l'evento si sia verificato, si chiama rapporto tra il numero di esiti elementari appartenenti all'intersezione e il numero di esiti elementari appartenenti a. In altre parole, la probabilità condizionata di un evento è determinata dalla classica formula di probabilità, in cui è il nuovo spazio di probabilità. La probabilità condizionata dell'evento è indicata attraverso.

TEOREMA sul prodotto. ...

Gli eventi si chiamano indipendente, Se . Per eventi indipendenti, il teorema del prodotto fornisce una relazione.

Le due formule seguenti sono una conseguenza dei teoremi della somma e del prodotto.

Formula di probabilità totale. L'intero gruppo di ipotesi è un insieme arbitrario di eventi incompatibili,, ¼,, nella somma che costituisce l'intero spazio probabilistico:

In questa situazione, per un evento arbitrario, è valida una formula, chiamata formula della probabilità totale,

dove è la funzione di Laplace,,. La funzione di Laplace è tabulata e i suoi valori per un dato possono essere trovati in qualsiasi libro di testo sulla teoria della probabilità e sulla statistica matematica.

Compito 5.3.È noto che in un grande lotto di parti ci sono l'11% di parti difettose. Vengono selezionate 100 parti per la verifica. Qual è la probabilità che tra loro non ci siano più di 14 difettosi? Stima la risposta usando il teorema di Moivre-Laplace.

Soluzione. Si tratta di un test di Bernoulli, dove,,. Il successo è definito come trovare una parte difettosa e il numero di successi soddisfa la disuguaglianza. Quindi,

Il calcolo diretto dà:

, , , , , , , , , , , , , , .

Quindi, . Ora applicheremo il teorema integrale di Moivre-Laplace. Noi abbiamo:

Usando la tabella dei valori della funzione, tenendo conto della stranezza della funzione, otteniamo

L'errore di calcolo approssimativo non supera.

Variabili casuali

Una variabile casuale è una caratteristica numerica dell'esperienza probabilistica, che è una funzione dei risultati elementari. Se,, , c'è un insieme di risultati elementari, allora la variabile casuale è una funzione. È più conveniente, invece, caratterizzare una variabile casuale elencando tutti i suoi possibili valori e le probabilità con cui assume tale valore.

Tale tabella è chiamata legge di distribuzione di una variabile casuale. Poiché gli eventi formano un gruppo completo, la legge di normalizzazione probabilistica è soddisfatta

L'aspettativa matematica, o valore medio, di una variabile casuale è un numero pari alla somma dei prodotti dei valori della variabile casuale per le probabilità corrispondenti.

La varianza (il grado di diffusione dei valori attorno all'aspettativa matematica) di una variabile casuale è l'aspettativa matematica di una variabile casuale,

Si può dimostrare che

La grandezza

si chiama deviazione quadratica media della variabile casuale.

La funzione di distribuzione per una variabile casuale ha la probabilità di entrare nell'insieme, cioè

È una funzione non negativa, non decrescente che assume valori da 0 a 1. Per una variabile casuale con un insieme finito di valori, è una funzione costante a tratti con discontinuità di secondo tipo nei punti degli stati. In questo caso, è continuo a sinistra e.

Compito 5.4. Si lanciano due dadi in successione. Se uno, tre o cinque punti cadono su un dado, il giocatore perde 5 rubli. Quando vengono eliminati due o quattro punti, il giocatore riceve 7 rubli. Quando vengono eliminati sei punti, il giocatore perde 12 rubli. Valore casuale X c'è un guadagno di un giocatore su due lanci di dadi. Trova la legge di distribuzione X, traccia la funzione di distribuzione, trova l'aspettativa matematica e la varianza X.

Soluzione. Consideriamo prima quale sia la vincita del giocatore in un lancio di dadi. Lascia che l'evento sia composto da 1, 3 o 5 punti. Quindi, e le vincite saranno di rubli. Lascia che l'evento sia composto da 2 o 4 punti. Quindi, e le vincite saranno di rubli. Infine, lascia che l'evento significhi un calo di 6 punti. Quindi il premio è pari a rubli.

Ora considereremo tutte le possibili combinazioni di eventi, e con due lanci di dadi, e determineremo i valori delle vincite per ciascuna di tali combinazioni.

Se un evento si è verificato, quindi, allo stesso tempo.

Se un evento si è verificato, quindi, allo stesso tempo.

Allo stesso modo, per otteniamo,.

Tutti gli stati trovati e le probabilità totali di questi stati sono scritti nella tabella:

Verifichiamo il rispetto della legge di normalizzazione probabilistica: sulla linea reale, devi essere in grado di determinare la probabilità di una variabile casuale che rientri in questo intervallo 1) e decrescente rapidamente per, ,

Quando viene lanciata una moneta, possiamo dire che cadrà a testa in su, oppure probabilità questo è 1/2. Naturalmente, questo non significa che se una moneta viene lanciata 10 volte, esce necessariamente testa 5 volte. Se la moneta è giusta e se viene lanciata molte volte, atterrerà molto vicino la metà delle volte. Esistono quindi due tipi di probabilità: sperimentale e teorico .

Probabilità sperimentale e teorica

Se lanciamo una moneta un gran numero di volte - diciamo 1000 - e contiamo il numero di volte che esce testa, possiamo determinare la probabilità che esca testa. Se esce testa 503 volte, possiamo calcolare la probabilità che esca:
503/1000 o 0,503.

esso sperimentale determinazione della probabilità. Questa definizione di probabilità deriva dall'osservazione e dall'esame dei dati ed è abbastanza comune e molto utile. Ad esempio, ecco alcune delle probabilità che sono state determinate sperimentalmente:

1. La probabilità che una donna sviluppi il cancro al seno è 1/11.

2. Se stai baciando qualcuno che ha il raffreddore, la possibilità che anche tu prenda un raffreddore è 0,07.

3. Una persona che è appena uscita dal carcere ha l'80% di possibilità di tornare in prigione.

Se consideriamo il lancio di una moneta e tenendo conto che è altrettanto probabile che esca testa o croce, possiamo calcolare la probabilità di ottenere testa: 1/2. Questa è una definizione teorica di probabilità. Ecco alcune altre probabilità che sono state determinate teoricamente usando la matematica:

1. Se ci sono 30 persone in una stanza, la probabilità che due di loro abbiano lo stesso compleanno (escluso l'anno) è 0,706.

2. Durante il viaggio incontri qualcuno e durante la conversazione scopri di avere una conoscenza in comune. Reazione tipica: "Non può essere!" In effetti, questa frase non si adatta, perché la probabilità di un tale evento è piuttosto alta - poco più del 22%.

Pertanto, le probabilità sperimentali sono determinate dall'osservazione e dalla raccolta dei dati. Le probabilità teoriche sono determinate dal ragionamento matematico. Esempi di probabilità sperimentali e teoriche, come quelli discussi sopra, e specialmente quelli che non ci aspettiamo, ci portano all'importanza dello studio della probabilità. Potresti chiedere: "Cos'è la vera probabilità?" In effetti, non c'è nessuno. Sperimentalmente, puoi determinare le probabilità entro certi limiti. Possono coincidere o meno con le probabilità che otteniamo teoricamente. Ci sono situazioni in cui è molto più facile identificare un tipo di probabilità che un altro. Ad esempio, sarebbe sufficiente trovare la probabilità di prendere un raffreddore utilizzando la probabilità teorica.

Calcolo delle probabilità sperimentali

Consideriamo prima la definizione sperimentale di probabilità. Il principio di base che usiamo per calcolare tali probabilità è il seguente.

Principio P (sperimentale)

Se in un esperimento in cui vengono fatte n osservazioni, la situazione o l'evento E si verifica m volte in n osservazioni, allora si dice che la probabilità sperimentale dell'evento è P (E) = m / n.

Esempio 1 Indagine sociologica. È stato condotto uno studio sperimentale per determinare il numero di mancini, destrimani e persone in cui entrambe le braccia sono ugualmente sviluppate. I risultati sono mostrati nel grafico.

a) Determinare la probabilità che la persona sia destrorsa.

b) Determinare la probabilità che la persona sia mancina.

c) Determinare la probabilità che la persona sia ugualmente fluente in entrambe le mani.

d) La maggior parte dei tornei gestiti dalla Professional Bowling Association ha 120 giocatori. Sulla base di questo esperimento, quanti giocatori possono essere mancini?

Soluzione

a) Il numero di destrimani è 82, il numero di mancini è 17 e il numero di coloro che sono ugualmente fluenti con entrambe le mani è 1. Il numero totale di osservazioni è 100. Pertanto, il la probabilità che una persona sia destrorsa è P
P = 82/100, o 0,82, o 82%.

b) La probabilità che una persona sia mancina è P, dove
P = 17/100, o 0,17, o 17%.

c) La probabilità che una persona sia ugualmente fluente in entrambe le mani è P, dove
P = 1/100, o 0,01, o 1%.

d) 120 giocatori di bowling, e da (b) possiamo aspettarci che il 17% sia mancino. Da qui
17% di 120 = 0,17. 120 = 20,4,
cioè, possiamo aspettarci che circa 20 giocatori siano mancini.

Esempio 2 Controllo di qualità ... È molto importante per un produttore mantenere la qualità dei propri prodotti ad un livello elevato. In effetti, le aziende impiegano ispettori di controllo della qualità per garantire questo processo. L'obiettivo è produrre il minor numero possibile di articoli difettosi. Ma poiché l'azienda produce migliaia di pezzi ogni giorno, non può permettersi di controllare ogni pezzo per determinare se è difettoso o meno. Per scoprire quale percentuale dei prodotti è difettosa, l'azienda controlla molti meno prodotti.
L'USDA richiede l'80% dei semi che i coltivatori vendono per germinare. Per determinare la qualità dei semi che l'azienda agricola produce, vengono piantati 500 semi tra quelli prodotti. Successivamente, è stato calcolato che sono germinati 417 semi.

a) Qual è la probabilità che il seme germogli?

b) I semi soddisfano gli standard governativi?

Soluzione a) Sappiamo che su 500 semi che sono stati piantati, 417 sono germogliati. La probabilità di germinazione dei semi è P, e
P = 417/500 = 0,834 o 83,4%.

b) Poiché la percentuale di semi germinati ha superato l'80% su richiesta, i semi soddisfano gli standard governativi.

Esempio 3 Valutazioni televisive. Secondo le statistiche, negli Stati Uniti ci sono 105,5 milioni di famiglie con televisori. Ogni settimana vengono raccolte ed elaborate le informazioni sulla visualizzazione dei programmi. In una settimana, 7.815.000 famiglie si sono sintonizzate sulla commedia di successo Everybody Loves Raymond su CBS e 8302.000 famiglie si sono sintonizzate sulla serie di successo Law & Order su NBC (Fonte: Nielsen Media Research). Qual è la probabilità che il televisore di una casa sia sintonizzato su "Tutti amano Raymond" per una determinata settimana o su "Law & Order"?

Soluzione La probabilità che la televisione in una famiglia sia impostata su "Tutti amano Raymond" è P, e
P = 7.815.000 / 105.500.000 0,074 ≈ 7,4%.
La possibilità che la televisione di casa fosse sintonizzata su Law & Order è P, e
P = 8.302.000 / 105.500.000 0,079 ≈ 7,9%.
Queste percentuali sono chiamate valutazioni.

Probabilità teorica

Supponiamo di condurre un esperimento come lanciare una moneta o delle freccette, estrarre una carta da un mazzo o controllare la qualità degli articoli su una catena di montaggio. Ogni possibile risultato di un tale esperimento è chiamato Esodo ... L'insieme di tutti i possibili esiti si chiama spazio dei risultati . Evento è un insieme di risultati, cioè un sottoinsieme dello spazio degli esiti.

Esempio 4 Lanciare freccette. Supponiamo che in un esperimento di lancio di un dardo, il dardo colpisca il bersaglio. Trova ciascuno dei seguenti elementi:

b) Spazio del risultato

Soluzione
a) I risultati sono: colpire il nero (C), colpire il rosso (C) e colpire il bianco (B).

b) C'è uno spazio risultato (colpire nero, colpire rosso, colpire bianco), che può essere scritto semplicemente come (H, K, B).

Esempio 5 Lanciare i dadi. Un dado è un cubo con sei facce, ognuna delle quali ha da uno a sei punti disegnati su di essa.


Supponiamo di lanciare il dado. Trova
a) Risultati
b) Spazio del risultato

Soluzione
a) Risultati: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Spazio degli esiti (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Indichiamo la probabilità che l'evento E si verifichi come P (E). Ad esempio, "una moneta esce croce" potrebbe essere H. Allora P (H) rappresenta la probabilità che la moneta esca croce. Quando tutti i risultati di un esperimento hanno la stessa probabilità di verificarsi, si dice che sono ugualmente probabili. Per vedere la differenza tra eventi che sono ugualmente probabili ed eventi che non sono ugualmente probabili, considera l'obiettivo di seguito.

Per il bersaglio A, gli eventi di colpire nero, rosso e bianco sono ugualmente probabili, poiché i settori nero, rosso e bianco sono gli stessi. Tuttavia, per il bersaglio B, le zone con questi colori non sono le stesse, cioè non hanno la stessa probabilità di colpirle.

Principio P (teorico)

Se l'evento E può accadere m percorsi su n possibili risultati equiprobabili dallo spazio degli esiti S, allora probabilità teorica eventi, P (E) è
P (E) = m / n.

Esempio 6 Qual è la probabilità di lanciare un 3 sul dado?

Soluzione Sul dado ci sono 6 esiti ugualmente probabili e c'è una sola possibilità di tirare il numero 3. Allora la probabilità P è P (3) = 1/6.

Esempio 7 Qual è la probabilità di lanciare un numero pari sul dado?

Soluzione Un evento è il lancio di una cifra pari. Questo può avvenire in 3 modi (se il risultato è 2, 4 o 6). Il numero di esiti ugualmente probabili è 6. Allora la probabilità P (pari) = 3/6, o 1/2.

Useremo una serie di esempi relativi a un mazzo standard da 52 carte. Tale mazzo è costituito dalle carte mostrate nell'immagine qui sotto.

Esempio 8 Qual è la probabilità di pescare un asso da un mazzo di carte ben amalgamato?

Soluzione Ci sono 52 esiti (il numero di carte nel mazzo), sono ugualmente probabili (se il mazzo è ben mescolato) e ci sono 4 modi per pescare un Asso, quindi secondo il principio P, la probabilità
P (tirando un asso) = 4/52, o 1/13.

Esempio 9 Supponiamo di scegliere senza guardare, una pallina da un sacchetto con 3 palline rosse e 4 palline verdi. Qual è la probabilità di scegliere una pallina rossa?

Soluzione Ci sono 7 risultati ugualmente probabili per ottenere qualsiasi pallina, e poiché il numero di modi per estrarre una pallina rossa è 3, otteniamo
P (scelta del cordone rosso) = 3/7.

Le seguenti affermazioni sono i risultati del Principio P.

Proprietà di probabilità

a) Se l'evento E non può verificarsi, allora P (E) = 0.
b) Se l'evento E si verifica senza fallo, allora P (E) = 1.
c) La probabilità che si verifichi l'evento E è un numero compreso tra 0 e 1: 0 ≤ P (E) ≤ 1.

Ad esempio, nel lancio di una moneta, l'evento in cui la moneta colpisce il bordo ha probabilità zero. La probabilità che una moneta sia testa o croce ha probabilità 1.

Esempio 10 Supponiamo di pescare 2 carte da un mazzo di 52 carte. Qual è la probabilità che entrambi siano picchi?

Soluzione Il numero di percorsi n per pescare 2 carte da un mazzo di 52 carte ben mescolato è 52 C 2. Poiché 13 carte su 52 sono picche, il numero di modi in cui m per pescare 2 picche è 13 C 2. Quindi,
P (tirando 2 picchi) = m / n = 13 C 2/52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Esempio 11 Supponiamo che 3 persone vengano selezionate casualmente da un gruppo di 6 uomini e 4 donne. Qual è la probabilità che vengano selezionati 1 uomo e 2 donne?

Soluzione Il numero di modi per selezionare tre persone da un gruppo di 10 persone 10 C 3. Un uomo può essere selezionato in 6 C 1 modi e 2 donne possono essere selezionati in 4 C 2 modi. Secondo il principio fondamentale del conteggio, il numero di modi per scegliere 1 uomo e 2 donne è 6 C 1. 4 C 2. Quindi, la probabilità che vengano selezionati 1 uomo e 2 donne è
P = 6 C 1. 4 DO 2/10 DO 3 = 3/10.

Esempio 12 Lancio dei dadi. Qual è la probabilità di tirare un totale di 8 su due dadi?

Soluzione Ogni dado ha 6 possibili risultati. I risultati sono raddoppiati, cioè ci sono 6,6 o 36 possibili modi in cui i numeri su due dadi possono cadere. (È meglio se i cubi sono diversi, diciamo uno rosso e l'altro blu - questo aiuterà a visualizzare il risultato.)

Le coppie di numeri che sommano fino a 8 sono mostrate nella figura sottostante. Ci sono 5 modi possibili per ottenere un totale di 8, quindi la probabilità è 5/36.

Matematica per programmatori: teoria della probabilità

Ivan Kamyshan

Alcuni programmatori, dopo aver lavorato nel campo dello sviluppo di applicazioni commerciali convenzionali, stanno pensando di padroneggiare l'apprendimento automatico e diventare un analista di dati. Spesso non capiscono perché alcuni metodi funzionano e la maggior parte dei metodi di apprendimento automatico sembra magica. In effetti, l'apprendimento automatico si basa su statistiche matematiche, che a loro volta si basano sulla teoria della probabilità. Pertanto, in questo articolo presteremo attenzione ai concetti base della teoria della probabilità: toccheremo le definizioni di probabilità, distribuzione e analizzeremo alcuni semplici esempi.

Forse sai che la teoria della probabilità è convenzionalmente divisa in 2 parti. La teoria della probabilità discreta studia i fenomeni che possono essere descritti da una distribuzione con un numero finito (o numerabile) di possibili comportamenti (lancio di dadi, monete). La teoria della probabilità continua studia i fenomeni distribuiti su un insieme denso, ad esempio su un segmento o in un cerchio.

Puoi considerare l'argomento della teoria della probabilità con un semplice esempio. Immagina di essere uno sviluppatore di sparatutto. Una parte integrante dello sviluppo dei giochi di questo genere è la meccanica delle riprese. È chiaro che uno sparatutto in cui tutte le armi sparano in modo assolutamente accurato sarà di scarso interesse per i giocatori. Pertanto, è imperativo aggiungere dispersione all'arma. Ma la semplice randomizzazione dei punti ferita dell'arma non consentirà una messa a punto fine, quindi sarà difficile regolare il bilanciamento del gioco. Allo stesso tempo, usando variabili casuali e le loro distribuzioni, puoi analizzare come funzionerà l'arma con una data diffusione e aiutare a fare le modifiche necessarie.

Lo spazio degli esiti elementari

Supponiamo, da qualche esperimento casuale che possiamo ripetere molte volte (ad esempio, lanciando una moneta), di poter estrarre alcune informazioni formalizzate (testa o croce). Questa informazione è chiamata esito elementare, mentre è opportuno considerare l'insieme di tutti gli esiti elementari, spesso indicato con la lettera Ω (Omega).

La struttura di questo spazio dipende interamente dalla natura dell'esperimento. Ad esempio, se consideriamo di sparare ad un bersaglio circolare sufficientemente grande, lo spazio degli esiti elementari sarà un cerchio, per comodità posto con il centro a zero, e l'esito sarà un punto in questo cerchio.

Inoltre, vengono considerati molti risultati elementari: eventi (ad esempio, entrare nella top ten è un cerchio concentrico di un piccolo raggio con un obiettivo). Nel caso discreto, tutto è abbastanza semplice: possiamo ottenere qualsiasi evento, inclusi o esclusi gli esiti elementari, in un tempo finito. Nel caso continuo, invece, tutto è molto più complicato: occorre prendere in considerazione una discreta famiglia di insiemi, chiamata algebra per analogia con i numeri reali primi che si possono sommare, sottrarre, dividere e moltiplicare. Gli insiemi in algebra possono essere intersecati e uniti e il risultato dell'operazione sarà in algebra. Questa è una proprietà molto importante per la matematica alla base di tutti questi concetti. La famiglia minima consiste di due soli insiemi: l'insieme vuoto e lo spazio dei risultati elementari.

Misura e probabilità

La probabilità è un modo per trarre conclusioni sul comportamento di oggetti molto complessi senza approfondire il loro funzionamento. Quindi, la probabilità è definita come una funzione di un evento (da quell'ottima famiglia di insiemi) che restituisce un numero - una caratteristica della frequenza con cui un tale evento può verificarsi nella realtà. Per chiarezza, i matematici hanno convenuto che questo numero dovrebbe essere compreso tra zero e uno. Inoltre, a questa funzione vengono imposti dei requisiti: la probabilità di un evento impossibile è zero, la probabilità dell'intero insieme di risultati è uno e la probabilità di combinare due eventi indipendenti (insiemi disgiunti) è uguale alla somma delle probabilità . Un altro nome per la probabilità è una misura di probabilità. Molto spesso viene utilizzata la misura di Lebesgue, generalizzando i concetti di lunghezza, area, volume a qualsiasi dimensione (volume n-dimensionale), e quindi è applicabile per un'ampia classe di insiemi.

Insieme, l'insieme di un insieme di risultati elementari, una famiglia di insiemi e una misura di probabilità è chiamato spazio probabilistico... Considera come puoi costruire uno spazio di probabilità per un esempio di tiro a un bersaglio.

Considera di sparare a un grande bersaglio rotondo di raggio R che non può essere mancato. Poniamo un insieme di eventi elementari un cerchio centrato nell'origine delle coordinate di raggio R. Poiché utilizzeremo l'area (misura di Lebesgue per gli insiemi bidimensionali) per descrivere la probabilità di un evento, utilizzeremo una famiglia di insiemi misurabili (per i quali esiste questa misura).

Nota In realtà, questa è una questione tecnica e in compiti semplici il processo di determinazione di una misura e di una famiglia di insiemi non gioca un ruolo speciale. Ma è necessario capire che questi due oggetti esistono, perché in molti libri sulla teoria della probabilità, i teoremi iniziano con le parole: “ Sia (Ω, Σ, P) uno spazio di probabilità ...».

Come accennato in precedenza, la probabilità dell'intero spazio dei risultati elementari dovrebbe essere uguale a uno. L'area (misura di Lebesgue bidimensionale, che indicheremo λ 2 (A), dove A è un evento) di un cerchio, secondo una nota formula di scuola, è pari a π * R 2. Quindi possiamo introdurre la probabilità P (A) = λ 2 (A) / (π * R 2), e questo valore sarà già compreso tra 0 e 1 per qualsiasi evento A.

Se assumiamo che colpire un qualsiasi punto del bersaglio sia ugualmente probabile, la ricerca della probabilità che il tiratore colpisca un'area del bersaglio si riduce a trovare l'area di questo insieme (da ciò possiamo concludere che la probabilità di colpire un punto specifico è zero, perché l'area del punto è zero).

Ad esempio, vogliamo sapere qual è la probabilità che il tiratore entri tra i primi dieci (evento A - il tiratore è entrato nel set richiesto). Nel nostro modello, "dieci" è rappresentato da un cerchio con centro a zero e raggio r. Allora la probabilità di entrare in questo cerchio è P (A) = λ 2 / (A) π * R 2 = π * r 2 / (π R 2) = (r / R) 2.

Questo è uno dei tipi più semplici di problemi per la "probabilità geometrica" ​​- la maggior parte di questi problemi richiede la ricerca di un'area.

Variabili casuali

Una variabile casuale è una funzione che converte i risultati elementari in numeri reali. Ad esempio, nel problema considerato, possiamo introdurre un valore casuale ρ (ω) - la distanza dal punto di impatto al centro del bersaglio. La semplicità del nostro modello ci permette di definire esplicitamente lo spazio degli esiti elementari: Ω = (ω = (x, y) numeri tali che x 2 + y 2 ≤ R 2). Allora la variabile casuale ρ (ω) = ρ (x, y) = x 2 + y 2.

Mezzi di astrazione dallo spazio probabilistico. Funzione di distribuzione e densità

Va bene quando la struttura dello spazio è ben nota, ma in realtà non è sempre così. Anche se la struttura dello spazio è nota, può essere complessa. Per descrivere le variabili casuali, se la loro espressione è sconosciuta, esiste il concetto di funzione di distribuzione, che si indica con F ξ (x) = P (ξ< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .

La funzione di distribuzione ha diverse proprietà:

1. Innanzitutto, è compreso tra 0 e 1.
2. In secondo luogo, non diminuisce quando il suo argomento x aumenta.
3. Terzo, quando -x è molto grande, la funzione di distribuzione è vicina a 0 e quando x stesso è grande, la funzione di distribuzione è vicina a 1.

Probabilmente, il significato di questa costruzione in prima lettura non è molto chiaro. Una delle proprietà utili è la funzione di distribuzione che consente di cercare la probabilità che un valore assuma un valore da un intervallo. Quindi, P (la variabile casuale ξ prende valori dall'intervallo) = F ξ (b) -F ξ (a). Sulla base di questa uguaglianza, possiamo studiare come questo valore cambia se i confini aeb dell'intervallo sono vicini.

Sia d = b-a, allora b = a + d. Pertanto, F ξ (b) -F ξ (a) = F ξ (a + d) - F ξ (a). Per piccoli valori di d, anche la differenza di cui sopra è piccola (se la distribuzione è continua). Ha senso considerare il rapporto p ξ (a, d) = (F ξ (a + d) - F ξ (a)) / d. Se per valori sufficientemente piccoli di d questo rapporto differisce poco da qualche costante p ξ (a), indipendente da d, allora a questo punto la variabile casuale ha una densità pari a p ξ (a).

Nota I lettori che hanno già incontrato il concetto di derivata possono notare che p ξ (a) è la derivata della funzione F ξ (x) nel punto a. Ad ogni modo, puoi esplorare il concetto di derivato in un articolo correlato sul sito Web di Mathprofi.

Ora il significato della funzione di distribuzione può essere definito come segue: la sua derivata (densità p ξ, che abbiamo definito sopra) al punto a descrive quante volte la variabile casuale cadrà in un piccolo intervallo centrato nel punto a (vicinato del punto a) rispetto ai quartieri di altri punti... In altre parole, più velocemente cresce la funzione di distribuzione, più è probabile che un tale valore appaia in un esperimento casuale.

Torniamo all'esempio. Possiamo calcolare la funzione di distribuzione per una variabile casuale, ρ (ω) = ρ (x, y) = x 2 + y 2, che denota la distanza dal centro al punto in cui colpisce a caso il bersaglio. Per definizione, F ρ (t) = P (ρ (x, y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} – состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0

Possiamo trovare la densità p di questa variabile casuale. Nota subito che è zero al di fuori dell'intervallo, perché la funzione di distribuzione su questo intervallo è invariata. Al termine di questo intervallo, la densità non è determinata. Può essere trovato all'interno di un intervallo utilizzando una tabella di derivati ​​(ad esempio, dal sito Mathprofi) e regole elementari di differenziazione. La derivata di t 2 / R 2 è uguale a 2t / R 2. Ciò significa che abbiamo trovato la densità sull'intero asse dei numeri reali.

Un'altra proprietà utile della densità è la probabilità che una funzione assuma un valore da un intervallo viene calcolata utilizzando l'integrale della densità su questo intervallo (puoi scoprire di cosa si tratta negli articoli sui tuoi integrali, impropri e indefiniti sul Mathprofi sito web).

Alla prima lettura, l'integrale sull'intervallo della funzione f (x) può essere pensato come l'area di un trapezio curvilineo. I suoi lati sono un frammento dell'asse del bue, un intervallo (asse delle coordinate orizzontali), segmenti verticali che collegano punti (a, f (a)), (b, f (b)) su una curva con punti (a, 0), (b, 0 ) sull'asse del bue. L'ultimo lato è un frammento del grafico della funzione f da (a, f (a)) a (b, f (b)). Si può parlare di integrale sull'intervallo (-∞; b], quando, per valori negativi sufficientemente grandi, e il valore dell'integrale sull'intervallo cambierà in modo trascurabile rispetto alla variazione del numero a. L'integrale sugli intervalli è determinato in modo simile teoria teoria del calcolo probabilità probabilità ... Guida tecnica per traduttori

Teoria della probabilità- c'è una parte di matematica che studia la relazione tra probabilità (vedi Probabilità e Statistica) dei vari eventi. Elenchiamo i teoremi più importanti relativi a questa scienza. La probabilità che si verifichi uno dei tanti eventi incoerenti è uguale a ... ... Dizionario Enciclopedico delle F.A. Brockhaus e I.A. Efron

TEORIA DELLE PROBABILITÀ- matematico. una scienza che consente alle probabilità di alcuni eventi casuali (vedi) di trovare le probabilità di eventi casuali associati a c. l. modo con il primo. TV moderna basato sull'assiomatica (vedi. Metodo assiomatico) A. N. Kolmogorov. Sopra… … Enciclopedia Sociologica Russa

Teoria della probabilità- una branca della matematica, in cui, secondo le probabilità date di alcuni eventi casuali, si trovano le probabilità di altri eventi, in qualche modo correlati al primo. La teoria della probabilità studia anche variabili casuali e processi casuali. Uno dei principali ... ... Concetti di scienze naturali moderne. Glossario dei termini di base

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Teoria della probabilità- ... Wikipedia

Teoria della probabilità- una disciplina matematica che studia le leggi dei fenomeni casuali... Gli inizi della moderna scienza naturale

TEORIA DELLE PROBABILITÀ- (teoria della probabilità) vedi Probabilità ... Dizionario sociologico esplicativo completo

Teoria della probabilità e sue applicazioni- ("Teoria delle probabilità e sue applicazioni", rivista scientifica del Dipartimento di Matematica dell'Accademia delle Scienze dell'URSS. Pubblica articoli originali e brevi comunicazioni sulla teoria della probabilità, questioni generali di statistica matematica e loro applicazioni nelle scienze naturali e ... ... Grande Enciclopedia Sovietica

Libri

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INTRODUZIONE

Molte cose ci sono incomprensibili, non perché i nostri concetti siano deboli;
ma perché queste cose non sono comprese nella gamma dei nostri concetti.
Kozma Prutkov

L'obiettivo principale dello studio della matematica nelle istituzioni educative specializzate secondarie è fornire agli studenti una serie di conoscenze e abilità matematiche necessarie per studiare altre discipline del programma che utilizzano in una certa misura la matematica, per la capacità di eseguire calcoli pratici, per la formazione e lo sviluppo di pensiero logico.

Questo lavoro introduce coerentemente tutti i concetti di base della sezione di matematica "Fondamenti della teoria della probabilità e delle statistiche matematiche" forniti dal programma e dagli standard educativi statali dell'istruzione professionale secondaria (Ministero dell'Istruzione della Federazione Russa. M., 2002 ), formula i principali teoremi, la maggior parte dei quali non sono dimostrati ... Vengono considerati i principali compiti e metodi per la loro soluzione e le tecnologie per applicare questi metodi alla risoluzione di problemi pratici. La presentazione è accompagnata da commenti dettagliati e numerosi esempi.

Le istruzioni metodologiche possono essere utilizzate per la prima conoscenza del materiale studiato, durante la presa di appunti delle lezioni, per la preparazione di esercitazioni pratiche, per il consolidamento delle conoscenze, abilità e abilità acquisite. Inoltre, il manuale sarà utile per gli studenti senior come strumento di riferimento che permette di ricordare velocemente quanto studiato in precedenza.

Alla fine del lavoro vengono forniti esempi e compiti che gli studenti possono svolgere in modalità di autocontrollo.

Le istruzioni metodiche sono destinate agli studenti di forme di istruzione a tempo parziale ea tempo pieno.

CONCETTI BASILARI

La teoria della probabilità studia le leggi oggettive degli eventi casuali di massa. È una base teorica per la statistica matematica, impegnata nello sviluppo di metodi per la raccolta, la descrizione e l'elaborazione dei risultati dell'osservazione. Attraverso osservazioni (test, esperimenti), ad es. esperienza nel senso lato della parola, avviene la cognizione dei fenomeni del mondo reale.

Nella nostra pratica, ci imbattiamo spesso in fenomeni, il cui esito non può essere previsto, il cui risultato dipende dal caso.

Un fenomeno casuale può essere caratterizzato dal rapporto tra il numero dei suoi progressi e il numero di prove, in ciascuna delle quali, nelle stesse condizioni di tutte le prove, potrebbe essersi verificato o meno.

La teoria delle probabilità è una branca della matematica in cui vengono studiati fenomeni casuali (eventi) e vengono rivelati modelli durante la loro massiccia ripetizione.

La statistica matematica è una branca della matematica che ha come oggetto di studio i metodi di raccolta, organizzazione, elaborazione e utilizzo dei dati statistici per ottenere conclusioni e processi decisionali scientificamente fondati.

In questo caso, per dati statistici si intende un insieme di numeri che rappresentano le caratteristiche quantitative delle caratteristiche degli oggetti di nostro interesse. I dati statistici sono ottenuti come risultato di esperimenti e osservazioni appositamente impostati.

I dati statistici dipendono intrinsecamente da molti fattori casuali, quindi la statistica matematica è strettamente correlata alla teoria della probabilità, che è la sua base teorica.

I. PROBABILITA'. ADDIZIONE E MOLTIPLICAZIONE DI PROBABILITÀ

1.1. Concetti di base della combinatoria

Nella sezione di matematica denominata combinatoria vengono risolti alcuni problemi relativi alla considerazione degli insiemi e alla compilazione di varie combinazioni degli elementi di questi insiemi. Ad esempio, se prendiamo 10 diverse cifre 0, 1, 2, 3,:, 9 e ne facciamo delle combinazioni, otterremo numeri diversi, ad esempio 143, 431, 5671, 1207, 43, ecc.

Vediamo che alcune di queste combinazioni differiscono solo nell'ordine delle cifre (ad esempio 143 e 431), altre nei numeri in esse contenuti (ad esempio 5671 e 1207), e altre ancora differiscono nel numero di cifre ( ad esempio, 143 e 43).

Pertanto, le combinazioni ottenute soddisfano diverse condizioni.

Si possono distinguere tre tipi di combinazioni a seconda delle regole di composizione: riarrangiamento, posizionamento, combinazione.

Conosciamo prima il concetto fattoriale.

Il prodotto di tutti i numeri naturali da 1 a n inclusi si chiama n-fattoriale e scrivi.

Calcola: a); B); v).

Soluzione. un) .

b) Da e , quindi puoi togliere le parentesi

Allora otteniamo

v) .

Permutazioni.

Una combinazione di n elementi che differiscono tra loro solo nell'ordine degli elementi sono chiamate permutazioni.

Le permutazioni sono indicate dal simbolo P n , dove n è il numero di elementi inclusi in ciascuna permutazione. ( R- la prima lettera di una parola francese permutazione- permutazione).

Il numero di permutazioni può essere calcolato con la formula

o usando il fattoriale:

Ricordati che 0! = 1 e 1! = 1.

Esempio 2. In quanti modi si possono disporre sei libri diversi su uno scaffale?

Soluzione. Il numero di vie richiesto è uguale al numero di permutazioni di 6 elementi, ad es.

Struttura ricettiva.

Alloggi da m elementi in n in ciascuno di questi composti sono chiamati che differiscono l'uno dall'altro o per gli elementi stessi (almeno uno) o per l'ordine della disposizione.

Le posizioni sono indicate dal simbolo, dove m- il numero di tutti gli elementi disponibili, n- il numero di elementi in ogni combinazione. ( UN- prima lettera di una parola francese preparativi, che significa "collocare, mettere in ordine").

Inoltre, si ritiene che nm.

Il numero di posizionamenti può essere calcolato utilizzando la formula

,

quelli. il numero di tutti i possibili posizionamenti da m elementi di n uguale al prodotto n numeri interi consecutivi, di cui il maggiore è m.

Scriviamo questa formula in forma fattoriale:

Esempio 3. Quante opzioni per la distribuzione di tre buoni in sanatori di vari profili possono essere fatte per cinque richiedenti?

Soluzione. Il numero di varianti richiesto è uguale al numero di posizionamenti di 5 elementi per 3 elementi, ad es.

.

Combinazioni.

Le combinazioni sono tutte le possibili combinazioni di m elementi di n che differiscono tra loro per almeno un elemento (qui m e n- numeri naturali, e n m).

Numero di combinazioni di m elementi di n sono indicati ( INSIEME A-prima lettera di una parola francese combinazione- combinazione).

In generale, un numero da m elementi di nè uguale al numero di posizionamenti da m elementi di n diviso per il numero di permutazioni da n elementi:

Usando formule fattoriali per il numero di posizionamenti e permutazioni, otteniamo:

Esempio 4. In un team di 25 persone, è necessario assegnarne quattro per lavorare su un sito specifico. In quanti modi è possibile farlo?

Soluzione. Poiché l'ordine delle quattro persone selezionate non ha importanza, ci sono diversi modi per farlo.

Troviamo dalla prima formula

.

Inoltre, quando si risolvono i problemi, vengono utilizzate le seguenti formule che esprimono le principali proprietà delle combinazioni:

(per definizione, si assume e);

.

1.2. Risolvere problemi combinatori

Compito 1. 16 materie sono studiate presso la facoltà. Il lunedì è necessario programmare 3 elementi. In quanti modi puoi farlo?

Soluzione. Esistono tanti modi per programmare tre elementi su 16 quanti è possibile effettuare posizionamenti da 16 elementi di 3 ciascuno.

Problema 2. Da 15 oggetti è necessario selezionare 10 oggetti. In quanti modi è possibile farlo?

Problema 3. Quattro squadre hanno preso parte alla competizione. Quante opzioni per la distribuzione dei posti tra di loro sono possibili?

.

Problema 4. In quanti modi puoi creare una pattuglia di tre soldati e un ufficiale, se ci sono 80 soldati e 3 ufficiali?

Soluzione. Puoi scegliere un soldato di pattuglia

nei modi, e gli ufficiali nei modi. Dal momento che qualsiasi ufficiale può andare con ogni squadra di soldati, ci sono solo modi.

Problema 5. Trova, se è noto.

Da allora, otteniamo

,

,

Dalla definizione di combinazione segue che,. Quella. ...

1.3. Il concetto di evento casuale. Tipi di eventi. Probabilità dell'evento

Qualsiasi azione, fenomeno, osservazione con più esiti differenti, realizzata in un dato insieme di condizioni, sarà chiamata test.

Il risultato di questa azione o osservazione è chiamato evento .

Se un evento nelle condizioni date può o non può verificarsi, allora viene chiamato a caso ... Nel caso in cui un evento debba certamente verificarsi, si chiama affidabile , e nel caso in cui ovviamente non possa accadere, - impossibile.

Gli eventi si chiamano incoerente se solo uno di essi può apparire alla volta.

Gli eventi si chiamano giunto se nelle condizioni date il verificarsi di uno di questi eventi non esclude il verificarsi di un altro nel corso della stessa prova.

Gli eventi si chiamano di fronte se, nelle condizioni della prova, esse, essendone gli unici esiti, risultano incompatibili.

Gli eventi sono solitamente designati da lettere maiuscole dell'alfabeto latino: A, B, C, D, : .

Il sistema completo di eventi А 1, А 2, А 3,:, А n è un insieme di eventi incompatibili, l'inizio di almeno uno dei quali è obbligatorio per un dato test.

Se il sistema completo è costituito da due eventi incompatibili, tali eventi sono chiamati opposti e sono designati A e.

Esempio. La scatola contiene 30 palline numerate. Stabilire quale dei seguenti eventi è impossibile, affidabile, opposto:

ho una pallina numerata (UN);

ho una palla con un numero pari (V);

ha una palla dispari (INSIEME A);

ho una palla senza numero (D).

Quali costituiscono un gruppo completo?

Soluzione ... UN- un evento affidabile; D- un evento impossibile;

In e INSIEME A- eventi opposti.

L'intero gruppo di eventi è composto da UN e D, B e INSIEME A.

La probabilità di un evento è considerata come una misura della possibilità oggettiva del verificarsi di un evento casuale.

1.4. Definizione classica di probabilità

Un numero che è espressione di una misura della possibilità oggettiva che un evento si verifichi si chiama probabilità questo evento ed è indicato dal simbolo PAPÀ).

Definizione. Probabilità dell'evento UNè il rapporto tra il numero di esiti m, favorevole all'insorgenza di un dato evento UN, al numero n tutti i risultati (incoerenti, unici e ugualmente possibili), ad es. ...

Pertanto, per determinare la probabilità di un evento, è necessario, dopo aver considerato i vari esiti della sperimentazione, calcolare tutti i possibili esiti inconsistenti. n, scegli il numero di risultati che ci interessa m e calcola il rapporto m Per n.

Da questa definizione derivano le seguenti proprietà:

La probabilità di qualsiasi test è un numero non negativo non superiore a uno.

Infatti, il numero m degli eventi desiderati è nei limiti. Dividendo entrambe le parti in n, noi abbiamo

2. La probabilità di un evento attendibile è uguale a uno, poiché ...

3. La probabilità di un evento impossibile è zero, perché.

Problema 1. Nella lotteria di 1000 biglietti, ci sono 200 vincite. Prendi un biglietto a caso. Qual è la probabilità che questo biglietto sia vincente?

Soluzione. Il numero totale di risultati diversi è n= 1000. Il numero di esiti favorevoli alla vittoria è m = 200. Secondo la formula, otteniamo

.

Problema 2. Ci sono 4 parti difettose in un lotto di 18 parti. 5 parti sono scelte a caso. Trova la probabilità che di queste 5 parti, due risultino difettose.

Soluzione. Il numero di tutti i risultati indipendenti ugualmente possibili nè uguale al numero di combinazioni da 18 a 5 cioè

Contiamo il numero m, favorevole per l'evento A. Tra 5 parti prese a caso, dovrebbero esserci 3 di alta qualità e 2 difettose. Il numero di modi per selezionare due parti difettose da 4 parti difettose disponibili è uguale al numero di combinazioni da 4 a 2:

Il numero di modi per selezionare tre parti di alta qualità da 14 parti di alta qualità disponibili è

.

Qualsiasi gruppo di parti di qualità può essere combinato con qualsiasi gruppo di parti difettose, quindi il numero totale di combinazioni mè

La probabilità ricercata dell'evento A è uguale al rapporto tra il numero di esiti m, favorevoli a questo evento, e il numero n di tutti gli esiti indipendenti ugualmente possibili:

.

La somma di un numero finito di eventi è un evento consistente nel verificarsi di almeno uno di essi.

La somma di due eventi è indicata dal simbolo A + B, e la somma n eventi con il simbolo А 1 + А 2 +: + А n.

Il teorema di addizione per le probabilità.

La probabilità della somma di due eventi incompatibili è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi.

Corollario 1. Se l'evento А 1, А 2,:, А n forma un sistema completo, allora la somma delle probabilità di questi eventi è uguale a uno.

Corollario 2. La somma delle probabilità di eventi opposti è uguale a uno.

.

Problema 1. Ci sono 100 biglietti della lotteria. È noto che 5 biglietti ricevono un premio di 20.000 rubli ciascuno, 10 biglietti - 15.000 rubli ciascuno, 15 biglietti - 10.000 rubli ciascuno, 25 - 2.000 rubli ciascuno. e niente per il resto. Trova la probabilità di ricevere un premio di almeno 10.000 rubli sul biglietto acquistato.

Soluzione. Siano A, B e C eventi, consistenti nel fatto che sul biglietto acquistato ricade un premio, pari rispettivamente a 20.000, 15.000 e 10.000 rubli. poiché gli eventi A, B e C sono inconsistenti, allora

Compito 2. Il dipartimento di corrispondenza della scuola tecnica riceve test di matematica dalle città A, B e INSIEME A... Probabilità di ricezione del lavoro di prova dalla città UNè uguale a 0,6, da città V- 0,1. Trova la probabilità che il prossimo test venga dalla città INSIEME A.

L'esempio più semplice di connessione tra due eventi è una relazione causale, quando l'insorgenza di uno degli eventi porta necessariamente all'insorgenza dell'altro, o viceversa, quando l'insorgenza di uno esclude la possibilità dell'insorgenza dell'altro.

Per caratterizzare la dipendenza di alcuni eventi da altri si introduce il concetto probabilità condizionale.

Definizione. lascia stare UN e V- due eventi casuali della stessa sfida. Allora la probabilità condizionata dell'evento UN o la probabilità dell'evento A, a condizione che l'evento B si sia verificato, è un numero.

Denotando la probabilità condizionata, otteniamo la formula

, .

Problema 1. Calcola la probabilità che un secondo ragazzo nasca in una famiglia con un figlio, un maschio.

Soluzione. Lascia che l'evento UNè che ci sono due ragazzi in famiglia, e l'evento V- quel ragazzo.

Considera tutti i possibili risultati: ragazzo e ragazzo; ragazzo e ragazza; ragazza e ragazzo; ragazza e ragazza.

Allora, e per la formula troviamo

.

Evento UN chiamato indipendente dall'evento V se il verificarsi dell'evento V non ha alcun effetto sulla probabilità che un evento si verifichi UN.

Teorema della moltiplicazione delle probabilità

La probabilità del verificarsi simultaneo di due eventi indipendenti è uguale al prodotto delle probabilità di questi eventi:

La probabilità di verificarsi di più eventi, indipendenti nell'aggregato, è calcolata dalla formula

Problema 2. La prima urna contiene 6 palline nere e 4 bianche, la seconda 5 palline nere e 7 bianche. Una palla viene rimossa da ogni urna. Qual è la probabilità che entrambe le palline risultino bianche?

e V c'è un evento AB... Quindi,

b) Se il primo elemento funziona, allora si verifica un evento (opposto all'evento UN- guasto di questo elemento); se il secondo elemento funziona - event v. Troviamo le probabilità degli eventi e:

Allora l'evento che entrambi gli elementi funzioneranno è e, quindi,