DEFINIZIONE

Equilibrio stabile- questo è un equilibrio in cui il corpo, portato fuori da una posizione di equilibrio e lasciato a se stesso, ritorna alla sua posizione precedente.

Ciò accade se, con un leggero spostamento del corpo in qualsiasi direzione dalla posizione iniziale, la risultante delle forze agenti sul corpo diventa diversa da zero e si dirige verso la posizione di equilibrio. Ad esempio, una palla che giace sul fondo di una depressione sferica (Fig. 1 a).

DEFINIZIONE

Equilibrio instabile- questo è un equilibrio in cui il corpo, tolto dalla posizione di equilibrio e lasciato a se stesso, devierà ancora di più dalla posizione di equilibrio.

In questo caso, con un leggero spostamento del corpo dalla posizione di equilibrio, la risultante delle forze applicate ad esso è diversa da zero ed è diretta dalla posizione di equilibrio. Un esempio è una palla situata nella parte superiore di una superficie sferica convessa (Fig. 1 b).

DEFINIZIONE

Equilibrio indifferente- questo è un equilibrio in cui il corpo, portato fuori da una posizione di equilibrio e lasciato a se stesso, non cambia la sua posizione (stato).

In questo caso, a piccoli spostamenti del corpo dalla posizione iniziale, la risultante delle forze applicate al corpo rimane uguale a zero. Ad esempio, una palla che giace su una superficie piana (Fig. 1, c).

Fig. 1. Vari tipi di equilibrio corporeo su supporto: a) equilibrio stabile; b) equilibrio instabile; c) equilibrio indifferente.

Equilibrio statico e dinamico dei corpi

Se, per effetto dell'azione delle forze, il corpo non riceve accelerazione, può essere fermo o muoversi uniformemente in linea retta. Pertanto, possiamo parlare di equilibrio statico e dinamico.

DEFINIZIONE

Equilibrio statico- questo è un tale equilibrio quando, sotto l'azione delle forze applicate, il corpo è a riposo.

Equilibrio dinamico- questo è un tale equilibrio quando, sotto l'azione delle forze, il corpo non cambia il suo movimento.

In uno stato di equilibrio statico c'è una lanterna sospesa su cavi, qualsiasi struttura edilizia. Come esempio di equilibrio dinamico, possiamo considerare una ruota che rotola su una superficie piana in assenza di forze di attrito.

I principali tipi di punti di equilibrio

Sia dato un sistema omogeneo lineare del secondo ordine a coefficienti costanti: \ [\ left \ (\ begin (array) (l) \ frac ((dx)) ((dt)) = (a_ (11)) x + (a_ (12 )) y \\ \ frac ((dy)) ((dt)) = (a_ (21)) x + (a_ (22)) y \ end (array) \ right .. \] Questo sistema di equazioni è autonomo, poiché i membri di destra delle equazioni non contengono esplicitamente la variabile indipendente \ (t. \)

In forma matriciale, il sistema di equazioni è scritto come \ [(\ mathbf (X ") = A \ mathbf (X), \; \; \ text (dove) \; \; \ mathbf (X) = \ left ( (\ begin ( array) (* (20) (c)) x \\ y \ end (array)) \ right),) \; \; (A = \ left ((\ begin (array) (* (20) ) (c) ) ((a_ (11))) & ((a_ (12))) \\ ((a_ (21))) & ((a_ (22))) \ fine (array)) \ destra) .) \] Le posizioni di equilibrio si trovano dalla soluzione dell'equazione stazionaria \ Questa equazione ha un'unica soluzione \ (\ mathbf (X) = \ mathbf (0), \) se la matrice \ (A \) è non degenerato , cioè. sotto la condizione \ (\ det A \ ne 0. \) Nel caso matrice degenere il sistema ha un insieme infinito di punti di equilibrio.

La classificazione delle posizioni di equilibrio è determinata autovalori \ ((\ lambda _1), (\ lambda _2) \) matrici \ (A. \) I numeri \ ((\ lambda _1), (\ lambda _2) \) si trovano dalla soluzione equazione caratteristica \ [(\ lambda ^ 2) - \ sinistra (((a_ (11)) + (a_ (22))) \ destra) \ lambda + (a_ (11)) (a_ (22)) - (a_ (12) )) (a_ (21)) = 0. \] Nel caso generale, quando la matrice \ (A \) è non degenere, esistono \ (4 \) diversi tipi di punti di equilibrio:

La stabilità delle posizioni di equilibrio è determinata teoremi di stabilità generale... Quindi, se gli autovalori reali (o parti reali di autovalori complessi) sono negativi, allora il punto di equilibrio è asintoticamente stabile ... Esempi di tali posizioni di equilibrio sono e messa a fuoco costante .

Se la parte reale di almeno un autovalore è positiva, allora la corrispondente posizione di equilibrio è instabile ... Ad esempio, potrebbe essere.

Infine, nel caso di radici puramente immaginarie (il punto di equilibrio è centro) abbiamo a che fare con un classico stabilità nel senso di Lyapunov .

Il nostro prossimo obiettivo è studiare il comportamento di soluzioni vicine a posizioni di equilibrio. Per i sistemi di \ (2 \) esimo ordine, è conveniente farlo graficamente usando ritratto di fase , che è una raccolta traiettorie di fase sul piano delle coordinate. Le frecce sulle traiettorie di fase mostrano la direzione del movimento di un punto (cioè uno stato specifico del sistema) nel tempo.

Consideriamo più in dettaglio ogni tipo di punto di equilibrio e i corrispondenti ritratti di fase.

Nodo stabile e instabile

Gli autovalori \ (((\ lambda _1), (\ lambda _2)) \) punti del tipo "nodo" soddisfano le seguenti condizioni: \ [(\ lambda _1), (\ lambda _2) \ in \ Re , \; \; ( \ lambda _1) \ cdot (\ lambda _2)> 0. \] Possono verificarsi i seguenti casi speciali.

Le radici \ (((\ lambda _1), (\ lambda _2)) \) sono diverse \ (\ left (((\ lambda _1) \ ne (\ lambda _2)) \ right) \) e negative \ (\ sinistra ( ((\ lambda _1)
Costruiamo un ritratto schematico di fase di tale punto di equilibrio. Sia, per definizione, \ (\ left | ((\ lambda _1)) \ right |
Poiché entrambi gli autovalori sono negativi, la soluzione \ (\ mathbf (X) = \ mathbf (0) \) è asintoticamente stabile ... Questa posizione di equilibrio è chiamata nodo stabile ... Poiché \ (t \ a \ infty \), le curve di fase tendono all'origine \ (\ mathbf (X) = \ mathbf (0). \)

Specifichiamo la direzione delle traiettorie di fase. Poiché \ [(x \ sinistra (t \ destra) = (C_1) (V_ (11)) (e ^ ((\ lambda _1) t)) + (C_2) (V_ (12)) (e ^ ((\ lambda _2) t)),) \; \; (y \ sinistra (t \ destra) = (C_1) (V_ (21)) (e ^ ((\ lambda _1) t)) + (C_2) (V_ (22)) (e ^ ((\ lambda _2) t)),) \] allora la derivata \ (\ large \ frac ((dy)) ((dx)) \ normalsize \) è \ [\ frac ((dy)) ((dx)) = \ frac (( ( C_1) (V_ (21)) (\ lambda _1) (e ^ ((\ lambda _1) t)) + (C_2) (V_ (22)) (\ lambda _2) (e ^ ((\ lambda _2) t )))) (((C_1) (V_ (11)) (\ lambda _1) (e ^ ((\ lambda _1) t)) + (C_2) (V_ (12)) (\ lambda _2) (e ^ ((\ lambda _2) t)))). \] Dividi numeratore e denominatore per \ (((e ^ ((\ lambda _1) t))): \) \ [\ frac ((dy)) ( (dx )) = \ frac (((C_1) (V_ (21)) (\ lambda _1) + (C_2) (V_ (22)) (\ lambda _2) (e ^ (\ left (((\ lambda _2 ) - (\ lambda _1)) \ destra) t)))) (((C_1) (V_ (11)) (\ lambda _1) + (C_2) (V_ (12)) (\ lambda _2) (e ^ (\ sinistra (((\ lambda _2) - (\ lambda _1)) \ destra) t)))). \] In questo caso \ ((\ lambda _2) - (\ lambda _1)
Nel caso \ ((C_1) = 0 \) la derivata per qualsiasi \ (t \) è \ [\ frac ((dy)) ((dx)) = \ frac (((V_ (22)))) ( (( V_ (12)))), \] cioè la traiettoria di fase giace su una retta diretta lungo l'autovettore \ ((\ mathbf (V) _2). \)

Consideriamo ora il comportamento delle traiettorie di fase per \ (t \ a - \ infty. \) Ovviamente, le coordinate \ (x \ sinistra (t \ destra), y \ sinistra (t \ destra) \) tendono all'infinito, e la derivata \ ( \ large \ frac ((dy)) ((dx)) \ normalsize \) con \ ((C_2) \ ne 0 \) assume la forma seguente: \ [\ frac ((dy)) ((dx )) = \ frac (((C_1) (V_ (21)) (\ lambda _1) (e ^ (\ left (((\ lambda _1) - (\ lambda _2)) \ right) t)) + (C_2 ) (V_ (22 )) (\ lambda _2))) (((C_1) (V_ (11)) (\ lambda _1) (e ^ (\ left (((\ lambda _1) - (\ lambda _2))) \ destra) t) ) + (C_2) (V_ (12)) (\ lambda _2))) = \ frac (((V_ (22)))) (((V_ (12)))), \] cioè le curve di fase all'infinito diventano parallele al vettore \ ((\ mathbf (V) _2). \)

Di conseguenza, per \ ((C_2) = 0 \) la derivata è \ [\ frac ((dy)) ((dx)) = \ frac (((V_ (21)))) (((V_ (11)) ) ). \] In questo caso, la traiettoria di fase è determinata dalla direzione dell'autovettore \ ((\ mathbf (V) _1). \)

Tenendo conto delle proprietà considerate delle traiettorie di fase, il ritratto di fase nodo stabile ha la forma schematicamente mostrata in figura \ (1. \)

Allo stesso modo, si può studiare il comportamento delle traiettorie di fase per altri tipi di posizioni di equilibrio. Inoltre, tralasciando l'analisi dettagliata, effettuiamo le principali caratteristiche qualitative degli altri punti di equilibrio.

Le radici \ (((\ lambda _1), (\ lambda _2)) \) sono distinte \ (\ left (((\ lambda _1) \ ne (\ lambda _2)) \ right) \) e sono positive \ ( \ sinistra ( ((\ lambda _1)> 0, (\ lambda _2))> 0 \ destra). \)
In questo caso, viene chiamato il punto \ (\ mathbf (X) = \ mathbf (0) \) nodo instabile ... Il suo ritratto di fase è mostrato nella figura \ (2. \)

Si noti che nel caso sia di un nodo stabile che di un nodo instabile, le traiettorie di fase sono tangenti ad una retta, che è diretta lungo l'autovettore corrispondente all'autovalore più piccolo in valore assoluto \ (\ lambda. \)

Nodo distopico

Lascia che l'equazione caratteristica abbia una radice zero della molteplicità \ (2, \) cioè si consideri il caso \ ((\ lambda _1) = (\ lambda _2) = (\ lambda) \ ne 0. \) In questo caso, il sistema ha una base di due autovettori, ad es. la molteplicità geometrica dell'autovalore \ (\ lambda \) è \ (2. \) In termini di algebra lineare, ciò significa che la dimensione dell'autospazio della matrice \ (A \) è \ (2: \) \ ( \ dim \ ker A = 2. \) Questa situazione si realizza in sistemi come \ [(\ frac ((dx)) ((dt)) = \ lambda x,) \; \; (\ frac ((dy)) ((dt)) = \ lambda y.) \] La direzione delle traiettorie di fase dipende dal segno \ (\ lambda. \) Qui sono possibili i due casi seguenti:

Case \ ((\ lambda _1) = (\ lambda _2) = (\ lambda) Questo equilibrio si chiama nodo critico stabile (immagine \ (3 \)).

Case \ ((\ lambda _1) = (\ lambda _2) = (\ lambda)> 0. \) Questa combinazione di autovalori corrisponde a nodo dicritico instabile (figura \ (4 \)).

Nodo degenerato

Lascia che gli autovalori della matrice \ (A \) coincidano di nuovo: \ ((\ lambda _1) = (\ lambda _2) = (\ lambda) \ ne 0. \) Contrariamente al caso precedente di nodo dicritico , assumiamo che la molteplicità geometrica dei valori degli autovalori (o in altre parole, la dimensione dell'autosottospazio) sia ora \ (1. \) Ciò significa che la matrice \ (A \) ha un solo autovettore \ ( (\ mathbf (V) _1). \) Il secondo vettore linearmente indipendente, necessario per comporre la base, è definito come il vettore \ ((\ mathbf (W) _1), \) aggiunto a \ ((\ mathbf (V) ) _1). \)

Nel caso \ ((\ lambda _1) = (\ lambda _2) = (\ lambda) il punto di equilibrio si chiama nodo degenere stabile (figura \ (5 \)).

Per \ ((\ lambda _1) = (\ lambda _2) = (\ lambda)> 0 \) la posizione di equilibrio è chiamata nodo degenerato instabile (disegno \ (6 \)).

La posizione di equilibrio è nelle condizioni \ [(\ lambda _1), (\ lambda _2) \ in \ Re, \; \; (\ lambda _1) \ cdot (\ lambda _2) 0. \) Autovalori \ ( (\ lambda _1) \) e \ ((\ lambda _2) \) sono associati ai corrispondenti autovettori \ ((\ mathbf (V) _1) \) e \ ((\ mathbf (V) _2). \) Linee diretti lungo autovettori vettori \ ((\ mathbf (V) _1), \) \ ((\ mathbf (V) _2), \) sono chiamati separatrici ... Sono asintoti per le restanti traiettorie di fase, che hanno la forma di iperboli. Ciascuna delle separatrici può essere associata ad una certa direzione di movimento. Se la separatrice è associata a un autovalore negativo \ ((\ lambda _1) 0, \) cioè per la separatrice associata al vettore \ ((\ mathbf (V) _2), \) il moto è diretto dall'origine. Il ritratto di fase della sella è mostrato schematicamente nella figura \ (7. \)

Messa a fuoco costante e instabile

Ora lascia che gli autovalori \ ((\ lambda _1), (\ lambda _2) \) siano numeri complessi , le cui parti reali non sono uguali a zero. Se la matrice \ (A \) è costituita da numeri reali, le radici complesse saranno rappresentate come complesso coniugato numeri: \ [(\ lambda _ (1,2)) = \ alpha \ pm i \ beta. \] Scopriamo che forma hanno le traiettorie di fase in prossimità dell'origine. Costruiamo una soluzione complessa \ ((\ mathbf (X) _1) \ left (t \ right) \) corrispondente all'autovalore \ ((\ lambda _1) = \ alpha + i \ beta: \) \ [((\ mathbf (X ) _1) \ left (t \ right) = (e ^ ((\ lambda _1) t)) (\ mathbf (V) _1)) = ((e ^ (\ left ((\ alpha + i \ beta) \ right) t)) \ left ((\ mathbf (U) + i \ mathbf (W)) \ right),) \] dove \ ((\ mathbf (V) _1) = \ mathbf (U) + i \ mathbf (W) \) è un autovettore a valori complessi associato al numero \ ((\ lambda _1), \) \ (\ mathbf (U) \) e \ (\ mathbf (W) \) sono vettori reali funzioni. Come risultato delle trasformazioni otteniamo \ [((\ mathbf (X) _1) \ left (t \ right) = (e ^ (\ alpha t)) (e ^ (i \ beta t)) \ left (( \ mathbf (U ) + i \ mathbf (W)) \ right)) = ((e ^ (\ alpha t)) \ left ((\ cos \ beta t + i \ sin \ beta t) \ right) \ left ((\ mathbf (U) + i \ mathbf (W)) \ right)) = ((e ^ (\ alpha t)) \ left ((\ mathbf (U) \ cos \ beta t + i \ mathbf (U) ) \ sin \ beta t + i \ mathbf (W) \ cos \ beta t - \ mathbf (W) \ sin \ beta t) \ right)) = ((e ^ (\ alpha t)) \ left ((\ mathbf (U) \ cos \ beta t + - \ mathbf (W) \ sin \ beta t) \ right)) + (i (e ^ (\ alpha t)) \ left ((\ mathbf (U) \ sin \ beta t + \ mathbf (W) \ cos \ beta t) \ right).) \] Le parti reale e immaginaria nell'ultima espressione formano la soluzione generale del sistema, che assomiglia a: \ [(\ mathbf (X) \ sinistra (t \ destra) = ( C_1) \ testo (Re) \ sinistra [((\ mathbf (X) _1) \ sinistra (t \ destra)) \ destra] + (C_2) \ testo (Im) \ sinistra [((\ mathbf (X) _1 ) \ left (t \ right)) \ right]) = ((e ^ (\ alpha t)) \ left [((C_1) \ left ((\ mathbf (U) \ cos \ beta t - \ mathbf (W ) \ sin \ beta t) \ destra)) \ destra.) + (\ sinistra. ((C_2) \ sinistra ((\ mathbf (U) \ sin \ beta t + \ mathbf (W) \ cos \ beta t) \ destra) ) \ destra]) = ((e ^ (\ alpha t)) \ sinistra [(\ mathbf (U) \ sinistra (((C_1) \ cos \ beta t + (C_2) \ sin \ beta t) \ destra) ) \ Giusto. ) + (\ left. (\ mathbf (W) \ left (((C_2) \ cos \ beta t - (C_1) \ sin \ beta t) \ right)) \ right].) \] Rappresenta le costanti \ ( ( C_1), (C_2) \) nella forma \ [(C_1) = C \ sin \ delta, \; \; (C_2) = C \ cos \ delta, \] dove \ (\ delta \) è qualche ausiliario angolo. Quindi la soluzione è scritta come \ [(\ mathbf (X) \ left (t \ right) = C (e ^ (\ alpha t)) \ left [(\ mathbf (U) \ left ((\ sin \ delta \ cos \ beta t + \ cos \ delta \ sin \ beta t) \ right)) \ right.) + (\ left. (\ mathbf (W) \ left ((\ cos \ delta \ cos \ beta t - \ sin \ delta \ sin \ beta t) \ right)) \ right]) = (C (e ^ (\ alpha t)) \ left [(\ mathbf (U) \ sin \ left ((\ beta t + \ delta) \ destra )) \ destra. + \ sinistra. (\ mathbf (W) \ cos \ sinistra ((\ beta t + \ delta) \ destra)) \ destra].) \] Quindi la soluzione è \ (\ mathbf ( X) \ left (t \ right) \) viene espanso nella base data dai vettori \ (\ mathbf (U) \) e \ (\ mathbf (W): \) \ [\ mathbf (X) \ left ( t \ destra) = \ mu \ sinistra (t \ destra) \ mathbf (U) + \ eta \ sinistra (t \ destra) \ mathbf (W), \] dove i coefficienti di espansione \ (\ mu \ sinistra (t \ right), \) \ (\ eta \ left (t \ right) \) sono definiti dalle formule: \ [(\ mu \ left (t \ right) = C (e ^ (\ alpha t)) \ sin \ sinistra ((\ beta t + \ delta ) \ destra),) \; \; (\ eta \ sinistra (t \ destra) = C (e ^ (\ alpha t)) \ cos \ sinistra ((\ beta t + \ delta) \ destra). ) \] Questo mostra che le traiettorie di fase sono spirali. Per \ (\ alfa messa a fuoco costante... Di conseguenza, per \ (\alpha> 0 \) abbiamo messa a fuoco irregolare .

La direzione di torsione delle spirali può essere determinata dal segno del coefficiente \ ((a_ (21)) \) nella matrice originale \ (A. \) Infatti, considera la derivata \ (\ large \ frac ((dy )) ((dt)) \ normalsize, \) per esempio, al punto \ (\ left ((1,0) \ right): \) \ [\ frac ((dy)) ((dt)) \ left ( (1,0) \ destra) = (a_ (21)) \ cdot 1 + (a_ (22)) \ cdot 0 = (a_ (21)). \] Un fattore positivo \ ((a_ (21))> 0 \) corrisponde a una spirale antioraria come mostrato nella figura \ (8. \) Per \ ((a_ (21))
Pertanto, tenendo conto della direzione della torsione delle spirali, esistono \ (4 \) diversi tipi di messa a fuoco. Sono mostrati schematicamente nelle Figure \ (8-11. \)

Se gli autovalori della matrice \ (A \) sono numeri immaginari, allora questo equilibrio si chiama centro... Per una matrice con elementi reali, gli autovalori immaginari saranno complessi coniugati. Nel caso del centro, le traiettorie di fase sono formalmente ottenute dall'equazione a spirale per \ (\ alpha = 0 \) e sono ellissi, cioè. descrivere il moto periodico di un punto sul piano delle fasi. Le posizioni di equilibrio del tipo "centro" sono stabili a Lyapunov.

Esistono due tipi di centro, che differiscono nella direzione di movimento dei punti (Figure \ (12, 13 \)). Come nel caso delle spirali, la direzione del movimento può essere determinata, ad esempio, dal segno della derivata \ (\ large \ frac ((dy)) ((dt)) \ normalsize \) ad un certo punto. Se prendiamo il punto \ (\ left ((1,0) \ right), \) allora \ [\ frac ((dy)) ((dt)) \ left ((1,0) \ right) = (a_ (21 )). \] ie il senso di rotazione è determinato dal segno del coefficiente \ ((a_ (21)). \)

Quindi, abbiamo considerato vari tipi di punti di equilibrio nel caso matrice non degenerata \ (A \) \ (\ left ((\ det A \ ne 0) \ right). \) Tenendo conto della direzione delle traiettorie di fase, ci sono \ (13 \) diversi ritratti di fase mostrati, rispettivamente, nel cifre \ (1- 13.\)

Ora passiamo al caso matrice degenere \ (UN. \)

Matrice degenerata

Se la matrice è degenerata, uno o entrambi i suoi autovalori sono uguali a zero. In questo caso, sono possibili i seguenti casi speciali:

Case \ ((\ lambda _1) \ ne 0, (\ lambda _2) = 0 \).
Qui la soluzione generale è scritta come \ [\ mathbf (X) \ left (t \ right) = (C_1) (e ^ ((\ lambda _1) t)) (\ mathbf (V) _1) + (C_2) ( \ mathbf (V) _2), \] dove \ ((\ mathbf (V) _1) = (\ sinistra (((V_ (11)), (V_ (21))) \ destra) ^ T), \) \ ((\ mathbf (V) _2) = (\ left (((V_ (12)), (V_ (22))) \ right) ^ T), \) sono autovettori corrispondenti ai numeri \ ((\ lambda _1 ) \) e \ ((\ lambda _2). \) Si scopre che in questo caso l'intera linea passante per l'origine e diretta lungo il vettore \ ((\ mathbf (V) _2), \) è costituita da punti di equilibrio (questi punti non hanno un nome speciale). Le traiettorie di fase sono raggi paralleli a un altro autovettore \ ((\ mathbf (V) _1). \) A seconda del segno \ ((\ lambda _1) \), il movimento in \ (t \ a \ infty \) si verifica in direzione della retta \ ((\ mathbf (V) _2) \) (fig. \ (14 \)), o da essa (fig. \ (15 \)). Case \ ((\ lambda _1) = (\ lambda _2) = 0, \ dim \ ker A = 2. \)
In questo caso, la dimensione dell'autospazio della matrice è \ (2 \) e, quindi, esistono due autovettori \ ((\ mathbf (V) _1) \) e \ ((\ mathbf (V) _2 ). \) Tale situazione è possibile a matrice zero \ (A. \) La soluzione generale è espressa dalla formula \ [\ mathbf (X) \ left (t \ right) = (C_1) (\ mathbf (V) _1) + (C_2) (\ mathbf (V) _2).\ ] Ne segue che ogni punto del piano è la posizione di equilibrio del sistema.

Case \ ((\ lambda _1) = (\ lambda _2) = 0, \ dim \ ker A = 1. \)
Questo caso di matrice degenere differisce dal precedente in quanto esiste solo l'autovettore \ (1 \) (Matrix \ (A \) sarà diverso da zero). Per costruire una base, come secondo vettore linearmente indipendente, possiamo prendere il vettore \ ((\ mathbf (W) _1), \) attaccato a \ ((\ mathbf (V) _1). \) La soluzione generale della sistema è scritto come \ [\ mathbf (X) \ left (t \ right) = \ left (((C_1) + (C_2) t) \ right) (\ mathbf (V) _1) + (C_2) (\ mathbf (W) _1). \] Qui tutti i punti della retta passante per l'origine e diretti lungo l'autovettore \ ((\ mathbf (V) _1), \) sono posizioni di equilibrio instabili. Le traiettorie di fase sono rette parallele a \ ((\ mathbf (V) _1). \) La direzione del moto lungo queste rette per \ (t \ a \ infty \) dipende dalla costante \ ((C_2): \ ) per \ (( C_2) 0 \) - nella direzione opposta (fig. \ (16 \)).

Richiama questo seguito da una matrice chiamato un numero uguale alla somma degli elementi diagonali: \ [(A = \ left ((\ begin (array) (* (20) (c)) ((a_ (11))) & ((a_ (12)) ) \\ ((a_ (21))) & ((a_ (22))) \ end (array)) \ right),) \; \; (\ testo (tr) \, A = (a_ (11)) + (a_ (22)),) \; \; (\ det A = (a_ (11)) (a_ (22)) - (a_ (12)) (a_ (21)).) \] Infatti, l'equazione caratteristica della matrice ha la seguente forma: \ [( \ lambda ^ 2 ) - \ sinistra (((a_ (11)) + (a_ (22))) \ destra) \ lambda + (a_ (11)) (a_ (22)) - (a_ (12)) ( a_ (21) ) = 0. \] Può essere scritto in termini di determinante e traccia della matrice: \ [(\ lambda ^ 2) - \ text (tr) \, A \ cdot \ lambda + \ det A = 0. \] Il discriminante di questa equazione quadratica è determinato dalla relazione \ Quindi, curva di biforcazione , delimitando vari modi di stabilità, è una parabola sul piano \ (\ left ((\ text (tr) \, A, \ det A) \ right) \) (Fig. \ (17 \)): \ [\ det A = (\ left ((\ frac (\ text (tr) \, A) (2)) \ right) ^ 2). \] Sopra la parabola ci sono i punti di fuoco e di equilibrio centrale. I punti del tipo "centro" si trovano sul semiasse positivo \ (Oy, \), ad es. sotto la condizione \ (\ text (tr) \, A = 0. \) Sotto la parabola ci sono punti del tipo "nodo" o "sella". La parabola stessa contiene nodi dicritici o degeneri.

Modi di movimento stabili esistono nel quadrante in alto a sinistra del diagramma della biforcazione. I restanti tre quadranti corrispondono a posizioni di equilibrio instabili.

Algoritmo di costruzione del ritratto di fase

Per costruire schematicamente un ritratto di fase di un sistema autonomo lineare di \ (2 \) esimo ordine con coefficienti costanti \ [(\ mathbf (X ") = A \ mathbf (X),) \; \; (A = \ left ( (\ begin (array) (* (20) (c)) ((a_ (11))) & ((a_ (12))) \\ ((a_ (21))) & ((a_ (22)) ) \ end (array)) \ right),) \; \; (\ mathbf (X) = \ left ((\ begin (array) (* (20) (c)) x \\ y \ end (array) ) \ right )) \] devi fare quanto segue:

Trova gli autovalori della matrice risolvendo l'equazione caratteristica \ [(\ lambda ^ 2) - \ left (((a_ (11)) + (a_ (22))) \ right) \ lambda + (a_ (11) )) (a_ ( 22)) - (a_ (12)) (a_ (21)) = 0. \]

Determinare il tipo di posizione di equilibrio e la natura della stabilità.

Nota: Il tipo di posizione di equilibrio può essere determinato anche in base al diagramma di biforcazione (Fig. \ (17 \)), conoscendo la traccia e il determinante della matrice: \ [(\ text (tr) \, A = (a_ ( 11)) + (a_ ( 22)),) \; \; (\ det A = \ left | (\ begin (array) (* (20) (c)) ((a_ (11))) & ((a_ (12))) \\ ((a_ (21))) & ((a_ (22))) \ end (array)) \ right |) = ((a_ (11)) (a_ (22)) - (a_ (12)) (a_ (21)).) \]

Trova equazione isocline: \ [(\ frac ((dx)) ((dt)) = (a_ (11)) x + (a_ (12)) y) \; \; (\ sinistra (\ testo (isoclina verticale) \ destra),) \] \ [(\ frac ((dy)) ((dt)) = (a_ (21)) x + (a_ (22)) y) \ ;\; (\ sinistra (\ testo (isoclina orizzontale) \ destra).) \]

Se la posizione di equilibrio è nodo oppure, allora occorre calcolare gli autovettori e tracciare ad essi asintoti paralleli passanti per l'origine.

Disegna il ritratto di fase.

Mostra la direzione del moto lungo le traiettorie di fase (dipende dalla stabilità o instabilità del punto di equilibrio). quando messa a fuoco la direzione di torsione delle traiettorie dovrebbe essere determinata. Questo può essere fatto calcolando il vettore velocità \ (\ left ((\ large \ frac ((dx)) ((dt)) \ normalsize, \ large \ frac ((dy)) ((dt)) \ normalsize) \ destra) \) in un punto arbitrario, ad esempio nel punto \ (\ sinistra ((1,0) \ destra). \) La direzione del movimento è determinata in modo simile se la posizione di equilibrio è centro .

Anche tutte le forze applicate al corpo rispetto a qualsiasi asse di rotazione arbitrario sono uguali a zero.

In uno stato di equilibrio, il corpo è a riposo (il vettore velocità è zero) nel sistema di riferimento selezionato si muove uniformemente in linea retta o ruota senza accelerazione tangenziale.

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Fisica. Statica: condizioni per l'equilibrio del corpo. Centro di apprendimento online Foxford

✪ CONDIZIONE DI EQUILIBRIO CORPO 10° grado Romanov

✪ Lezione 70. Tipi di equilibrio. Condizione di equilibrio per un corpo in assenza di rotazione.

Sottotitoli

Definizione attraverso l'energia del sistema

Poiché energia e forze sono legate da relazioni fondamentali, questa definizione è equivalente alla prima. Tuttavia, la definizione in termini di energia può essere estesa per ottenere informazioni sulla stabilità della posizione di equilibrio.

Tipi di equilibrio

Facciamo un esempio per un sistema con un grado di libertà. In questo caso, una condizione sufficiente per la posizione di equilibrio sarà la presenza di un estremo locale nel punto in esame. Come è noto, la condizione per un estremo locale di una funzione differenziabile è l'uguaglianza a zero della sua derivata prima. Per determinare quando questo punto è il minimo o il massimo, è necessario analizzare la sua seconda derivata. La stabilità della posizione di equilibrio è caratterizzata dalle seguenti opzioni:

• equilibrio instabile;
• equilibrio stabile;
• equilibrio indifferente.

Nel caso in cui la seconda derivata sia negativa, l'energia potenziale del sistema è nello stato di massimo locale. Ciò significa che la posizione di equilibrio instabile... Se il sistema viene spostato per una breve distanza, continuerà a muoversi a causa delle forze che agiscono sul sistema. Cioè, quando il corpo è sbilanciato, non ritorna nella sua posizione originale.

Equilibrio stabile

Derivata seconda > 0: energia potenziale al minimo locale, posizione di equilibrio costantemente(vedi il teorema di Lagrange sulla stabilità di un equilibrio). Se il sistema viene spostato per una breve distanza, tornerà in uno stato di equilibrio. L'equilibrio è stabile se il baricentro del corpo è nella posizione più bassa rispetto a tutte le possibili posizioni vicine. Con questo equilibrio, il corpo squilibrato ritorna al suo posto originale.

Equilibrio indifferente

Derivata seconda = 0: in questa regione l'energia non varia e la posizione di equilibrio è indifferente... Se il sistema viene spostato per una breve distanza, rimarrà nella nuova posizione. Se devii o muovi il corpo, rimarrà in equilibrio.

• Tipi di sostenibilità

La sezione della meccanica in cui si studiano le condizioni di equilibrio dei corpi è detta statica. Dalla seconda legge di Newton segue che se la somma vettoriale di tutte le forze applicate al corpo è uguale a zero, allora il corpo mantiene invariata la sua velocità. In particolare, se la velocità iniziale è nulla, il corpo rimane fermo. La condizione per l'invariabilità della velocità del corpo può essere scritta nella forma:

o nelle proiezioni sugli assi coordinati:

.

Ovviamente, il corpo può essere a riposo solo in relazione a uno specifico sistema di coordinate. In statica, le condizioni di equilibrio dei corpi sono studiate proprio in un tale sistema. La condizione necessaria per l'equilibrio può essere ottenuta anche considerando il moto del centro di massa di un sistema di punti materiali. Le forze interne non influenzano il movimento del centro di massa. L'accelerazione del centro di massa è determinata dalla somma vettoriale delle forze esterne. Ma se questa somma è uguale a zero, allora l'accelerazione del centro di massa e, di conseguenza, la velocità del centro di massa. Se nel momento iniziale, il centro di massa del corpo rimane a riposo.

Quindi, la prima condizione per l'equilibrio dei corpi è formulata come segue: la velocità di un corpo non cambia se la somma delle forze esterne applicate in ogni punto è uguale a zero. La condizione di quiete del baricentro ottenuta è una condizione necessaria (ma insufficiente) per l'equilibrio di un corpo rigido.

Esempio

Può darsi che tutte le forze che agiscono sul corpo siano equilibrate; tuttavia, il corpo accelererà. Ad esempio, se si applicano due forze uguali e opposte (chiamate coppia di forze) al centro di massa di una ruota, la ruota sarà ferma se la sua velocità iniziale fosse zero. Se queste forze vengono applicate a punti diversi, la ruota inizierà a ruotare (Fig. 4.5). Questo perché il corpo è in equilibrio quando la somma di tutte le forze è zero in ogni punto del corpo. Ma se la somma delle forze esterne è uguale a zero e la somma di tutte le forze applicate a ciascun elemento del corpo non è uguale a zero, allora il corpo non sarà in equilibrio, forse (come nell'esempio considerato) movimento rotatorio . Quindi, se il corpo può ruotare attorno a un asse, allora per il suo equilibrio non è sufficiente che la risultante di tutte le forze sia zero.

Per ottenere la seconda condizione di equilibrio, usiamo l'equazione del moto rotatorio, dove è la somma dei momenti delle forze esterne rispetto all'asse di rotazione. Quando, allora b = 0, il che significa che la velocità angolare del corpo non cambia. Se nel momento iniziale w = 0, il corpo non ruoterà in futuro. Di conseguenza, la seconda condizione per l'equilibrio meccanico è il requisito che la somma algebrica dei momenti di tutte le forze esterne relative all'asse di rotazione sia uguale a zero:

Nel caso generale di un numero arbitrario di forze esterne, le condizioni di equilibrio possono essere rappresentate come segue:

,

.

Queste condizioni sono necessarie e sufficienti.

Esempio

L'equilibrio è stabile, instabile e indifferente. L'equilibrio è stabile se, a piccoli spostamenti del corpo dalla posizione di equilibrio, le forze ei momenti delle forze agenti su di esso tendono a riportare il corpo nella posizione di equilibrio (Fig. 4.6a). L'equilibrio è instabile se le forze agenti spostano il corpo più lontano dalla posizione di equilibrio (Fig. 4.6b). Se a piccoli spostamenti del corpo le forze agenti sono ancora bilanciate, allora l'equilibrio è indifferente (Fig. 4.6c). Una palla che giace su una superficie piana orizzontale è in uno stato di equilibrio indifferente. Una palla in cima a una sporgenza sferica è un esempio di equilibrio instabile. Infine, la palla al fondo della depressione sferica è in uno stato di equilibrio stabile.

Un interessante esempio dell'equilibrio di un corpo su un supporto è la torre pendente nella città italiana di Pisa, che, secondo la leggenda, fu utilizzata da Galileo per studiare le leggi della caduta libera dei corpi. La torre ha la forma di un cilindro con raggio di 7 m La sommità della torre è deviata dalla verticale di 4,5 m.

La Torre Pendente di Pisa è famosa per il fatto che è fortemente inclinata. La torre "cade". L'altezza della torre è di 55,86 metri da terra sul lato più basso e 56,70 metri sul lato più alto. Il suo peso è stimato in 14.700 tonnellate. L'inclinazione attuale è di circa 5,5 °. Una linea verticale tracciata attraverso il baricentro della torre interseca la base a circa 2,3 m dal suo centro. Quindi, la torre è in uno stato di equilibrio. L'equilibrio sarà disturbato e la torre cadrà quando la deviazione della sua sommità dalla verticale raggiungerà i 14 m.A quanto pare, questo accadrà molto presto.

Si credeva che la curvatura della torre fosse stata originariamente concepita dagli architetti - per dimostrare la loro straordinaria abilità. Ma qualcos'altro è molto più probabile: gli architetti sapevano di costruire su fondamenta estremamente inaffidabili, e quindi hanno incorporato nella struttura la possibilità di una facile deviazione.

Quando si presentò la vera minaccia del crollo della torre, gli ingegneri moderni la subentrarono. È stata tirata in un corsetto d'acciaio di 18 cavi, la fondazione è stata appesantita con blocchi di piombo e, in parallelo, il terreno è stato rafforzato pompando cemento sottoterra. Con l'aiuto di tutte queste misure, è stato possibile ridurre di mezzo grado l'angolo di inclinazione della torre cadente. Gli esperti dicono che ora potrà resistere per almeno altri 300 anni. Dal punto di vista della fisica, le misure adottate fanno sì che le condizioni di equilibrio della torre siano diventate più affidabili.

Per un corpo con un asse di rotazione fisso, sono possibili tutti e tre i tipi di equilibrio. L'equilibrio indifferente si verifica quando l'asse di rotazione passa per il centro di massa. In equilibrio stabile e instabile, il centro di massa si trova su una linea verticale passante per l'asse di rotazione. In questo caso, se il baricentro è al di sotto dell'asse di rotazione, lo stato di equilibrio è stabile (Fig. 4.7a). Se il baricentro si trova sopra l'asse, lo stato di equilibrio è instabile (Fig. 4.7b).

Un caso speciale di equilibrio è l'equilibrio del corpo sul supporto. In questo caso, la forza elastica di supporto non viene applicata in un punto, ma si distribuisce sulla base del corpo. Il corpo è in equilibrio se la linea verticale tracciata attraverso il centro di massa del corpo passa attraverso l'area di appoggio, cioè all'interno del contorno formato dalle linee che collegano i punti di appoggio. Se questa linea non interseca l'area di supporto, il corpo si ribalta.

Tipi di equilibrio

Per giudicare il comportamento di un corpo in condizioni reali non basta sapere che è in equilibrio. Dobbiamo valutare anche questo equilibrio. Distinguere tra equilibrio stabile, instabile e indifferente.

L'equilibrio del corpo si chiama sostenibile se, deviando da esso, sorgono forze che riportano il corpo nella posizione di equilibrio (Fig. 1, posizione 2). In equilibrio stabile, il baricentro del corpo occupa la più bassa di tutte le posizioni ravvicinate. La posizione di equilibrio stabile è associata a un minimo di energia potenziale in relazione a tutte le posizioni vicine del corpo.

L'equilibrio del corpo si chiama instabile se alla minima deviazione da esso, le forze risultanti che agiscono sul corpo provocano un'ulteriore deviazione del corpo dalla posizione di equilibrio (Fig. 1, posizione 1). In una posizione di equilibrio instabile, l'altezza del baricentro è massima e l'energia potenziale è massima rispetto ad altre posizioni corporee ravvicinate.

L'equilibrio in cui lo spostamento del corpo in qualsiasi direzione non provoca una variazione delle forze agenti su di esso e si mantiene l'equilibrio del corpo è chiamato indifferente(fig. 1 posizione 3).

L'equilibrio indifferente è associato all'energia potenziale costante di tutti gli stati vicini e l'altezza del centro di gravità è la stessa in tutte le posizioni sufficientemente vicine.

Un corpo che ha un asse di rotazione (ad esempio, un righello uniforme che può ruotare attorno ad un asse passante per il punto O mostrato in Figura 2) è in equilibrio se la verticale passante per il baricentro del corpo passa per il asse di rotazione. Inoltre, se il baricentro C è più alto dell'asse di rotazione (Fig. 2.1), allora per qualsiasi deviazione dalla posizione di equilibrio, l'energia potenziale diminuisce e il momento di gravità relativo all'asse O devia il corpo più lontano dal posizione di equilibrio. Questa è una posizione di equilibrio instabile. Se il baricentro è al di sotto dell'asse di rotazione (Fig. 2.2), l'equilibrio è stabile. Se il baricentro e l'asse di rotazione coincidono (Fig. 2, 3), la posizione di equilibrio è indifferente.

spostamento fisico dell'equilibrio

Un corpo con un'area di appoggio è in equilibrio se la linea verticale che passa per il baricentro del corpo non va oltre l'area di appoggio di questo corpo, ad es. oltre i confini del contorno formato dai punti di contatto del corpo con il supporto, Equilibrium in questo caso dipende non solo dalla distanza tra il baricentro e il supporto (cioè dalla sua energia potenziale nel campo gravitazionale del Terra), ma anche sulla posizione e sulle dimensioni dell'area di supporto di questo corpo.

La figura 2 mostra un corpo a forma di cilindro. Se lo inclini di un piccolo angolo, tornerà alla sua posizione originale 1 o 2. Se lo inclini di un angolo (posizione 3), il corpo si capovolgerà. Per una data massa e area di supporto, la stabilità del corpo è tanto più alta quanto più basso è il suo centro di gravità, ad es. minore è l'angolo tra la retta che collega il baricentro del corpo e il punto estremo di contatto dell'area di appoggio con il piano orizzontale.