Quando si risolvono molti problemi pratici, non è sempre necessario caratterizzare completamente una variabile casuale, cioè determinare le leggi di distribuzione. Inoltre, la costruzione di una funzione o di una serie di distribuzioni per un discreto e densità - per una variabile casuale continua è ingombrante e non necessaria.

A volte è sufficiente indicare singoli parametri numerici che caratterizzano in parte le caratteristiche della distribuzione. È necessario conoscere un valore medio di ciascuna variabile casuale, attorno al quale è raggruppato il suo possibile valore, o il grado di dispersione di questi valori rispetto alla media, ecc.

Le caratteristiche delle caratteristiche più significative della distribuzione sono chiamate caratteristiche numeriche. variabile casuale. Con il loro aiuto, è più facile risolvere molti problemi probabilistici senza definire leggi di distribuzione per essi.

La caratteristica più importante della posizione di una variabile casuale sull'asse dei numeri è valore atteso m[X]= un, che a volte è chiamata la media della variabile casuale. Per variabile casuale discreta X con valori possibili X 1 , X 2 , … , x n e probabilità P 1 , P 2 ,… , p nè determinato dalla formula

Considerando che = 1, possiamo scrivere

Così, aspettativa matematica una variabile casuale discreta è la somma dei prodotti dei suoi possibili valori per le loro probabilità. La media aritmetica dei valori osservati di una variabile casuale con un gran numero di esperimenti si avvicina alla sua aspettativa matematica.

Per variabile casuale continua X l'aspettativa matematica è determinata non dalla somma, ma integrante

dove F(X) - densità di distribuzione della quantità X.

L'aspettativa matematica non esiste per tutte le variabili casuali. Per alcuni di essi la somma, o integrale, diverge, e quindi non c'è aspettativa matematica. In questi casi, per ragioni di accuratezza, la regione delle possibili variazioni della variabile casuale dovrebbe essere limitata X, per cui la somma, o integrale, converge.

In pratica, vengono utilizzate anche caratteristiche della posizione di una variabile casuale come moda e mediana.

Modalità variabile casualeviene chiamato il suo valore più probabile. Nel caso generale, la modalità e l'aspettativa matematica non coincidono.

La mediana di una variabile casualeX è il suo valore, rispetto al quale è ugualmente probabile ottenere un valore maggiore o minore di una variabile casuale, cioè è l'ascissa del punto in cui l'area delimitata dalla curva di distribuzione è divisa a metà. Per una distribuzione simmetrica, tutte e tre le caratteristiche sono le stesse.

Oltre all'aspettativa matematica, alla moda e alla mediana, la teoria della probabilità utilizza altre caratteristiche, ognuna delle quali descrive una certa proprietà della distribuzione. Ad esempio, le caratteristiche numeriche che caratterizzano la dispersione di una variabile casuale, cioè che mostrano quanto strettamente i suoi possibili valori siano raggruppati attorno all'aspettativa matematica, sono la varianza e la deviazione standard. Completano in modo significativo la variabile casuale, poiché in pratica si incontrano spesso variabili casuali con aspettative matematiche uguali ma distribuzioni diverse. Quando si determinano le caratteristiche di dispersione, si fa uso della differenza tra una variabile casuale X e la sua aspettativa matematica, cioè

dove un = m[X] - valore atteso.

Questa differenza si chiama variabile casuale centrata, valore corrispondente X, e denotato :

Varianza di una variabile casualeè l'aspettativa matematica del quadrato della deviazione del valore dalla sua aspettativa matematica, cioè:

D [ X] = M [( X - a) 2], o

D [ X] = M [ 2 ].

La varianza di una variabile casuale è una caratteristica conveniente della dispersione e della dispersione dei valori di una variabile casuale sulla sua aspettativa matematica. Tuttavia, è privo di chiarezza, poiché ha la dimensione del quadrato di una variabile casuale.

Per una caratteristica visiva dello scattering, è più conveniente utilizzare una quantità la cui dimensione coincide con la dimensione di una variabile casuale. Questo valore è deviazione standard una variabile casuale che è la radice quadrata positiva della sua varianza.

Aspettativa matematica, moda, mediana, varianza, deviazione standard - le caratteristiche numeriche più comunemente usate delle variabili casuali... Quando si risolvono problemi pratici, quando è impossibile determinare la legge di distribuzione, una descrizione approssimativa di una variabile casuale sono le sue caratteristiche numeriche, che esprimono alcune proprietà di distribuzione.

Oltre alle caratteristiche principali della distribuzione centrale (aspettativa matematica) e della dispersione (varianza), è spesso necessario descrivere altre importanti caratteristiche della distribuzione - simmetria e apice, che può essere rappresentato in termini di momenti di distribuzione.

La distribuzione di una variabile casuale è completamente specificata se sono noti tutti i suoi momenti. Tuttavia, molte distribuzioni possono essere completamente descritte utilizzando i primi quattro momenti, che non sono solo parametri che descrivono le distribuzioni, ma sono anche importanti nella selezione delle distribuzioni empiriche, cioè calcolando i valori numerici dei momenti per una data serie statistica e utilizzando grafici speciali, si può determinare la legge di distribuzione.

Nella teoria della probabilità si distinguono momenti di due tipi: iniziali e centrali.

Il momento iniziale del k-esimo ordine variabile casuale Tè l'aspettativa matematica della quantità Xk, cioè.

Pertanto, per una variabile casuale discreta, è espressa dalla somma

e per continuo - dall'integrale

Tra i momenti iniziali di una variabile casuale, è di particolare importanza il momento del primo ordine, che è l'aspettativa matematica. I momenti iniziali di ordine superiore vengono utilizzati principalmente per calcolare i momenti centrali.

Il momento centrale del k-esimo ordine una variabile casuale è chiamata aspettativa matematica di un valore ( X - M [X])K

dove un = M [X].

Per una variabile casuale discreta, è espressa dalla somma

un per continuo - dall'integrale

Tra i momenti centrali di una variabile casuale, di particolare importanza è momento centrale del secondo ordine, che rappresenta la varianza della variabile casuale.

Il momento centrale del primo ordine è sempre zero.

Terzo punto di partenza caratterizza l'asimmetria (asimmetria) della distribuzione e, in base ai risultati delle osservazioni per variabili casuali discrete e continue, è determinata dalle corrispondenti espressioni:

Poiché ha la dimensione di un cubo di una variabile casuale, per ottenere una caratteristica adimensionale, m 3 diviso per la deviazione standard nella terza potenza

Il valore risultante è chiamato coefficiente di asimmetria e, a seconda del segno, caratterizza il positivo ( Come> 0) o negativo ( Come< 0) asimmetria di distribuzione (Fig. 2.3).

71, Caratteristiche numeriche delle variabili casuali sono ampiamente utilizzati nella pratica per il calcolo degli indicatori di affidabilità. In molte questioni pratiche, non è necessario caratterizzare in modo completo ed esaustivo una variabile casuale. Spesso è sufficiente indicare solo i parametri numerici, caratterizzando in qualche misura i tratti essenziali della distribuzione della variabile casuale, ad esempio: Significare , attorno al quale sono raggruppati i possibili valori della variabile casuale; numero che caratterizza la dispersione di una variabile casuale relativi al valore medio, ecc. I parametri numerici che consentono di esprimere in forma sintetica le caratteristiche più significative di una variabile aleatoria sono detti caratteristiche numeriche di una variabile aleatoria.

un) B)

Riso. 11 Determinazione del valore atteso

Le caratteristiche numeriche delle variabili casuali utilizzate nella teoria dell'affidabilità sono riportate in tabella. 1.

72, valore atteso(valore medio) di una variabile casuale continua, i cui possibili valori appartengono all'intervallo , è un integrale definito (Fig., 11, B)

. (26)

L'aspettativa matematica può essere espressa in termini di complemento della funzione integrale. Per fare ciò, sostituiamo (11) nella (26) e integriamo per parti l'espressione risultante

, (27)

perché e , poi

. (28)

Per variabili casuali non negative, i cui possibili valori appartengono all'intervallo , la formula (28) assume la forma

. (29)

cioè l'aspettativa matematica di una variabile casuale non negativa, i cui possibili valori appartengono all'intervallo , è numericamente uguale all'area sotto il grafico della somma della funzione integrale (Fig., 11, un).

73, Tempo medio al primo guasto in base alle informazioni statisticheè determinato dalla formula

, (30)

dov'è il tempo di funzionamento al primo guasto? io-esimo oggetto; n- il numero di oggetti testati.

La risorsa media, la vita media di servizio, il tempo medio di recupero, la durata media di conservazione sono determinati allo stesso modo.

74, Scattering di una variabile casuale intorno alla sua aspettativa matematica valutato usando varianza della deviazione standard(RMS) e coefficiente di variazione.

La varianza di una variabile casuale continua X è l'aspettativa matematica del quadrato della deviazione della variabile casuale dalla sua aspettativa matematica ed è calcolata dalla formula

. (31)

Dispersione ha la dimensione del quadrato di una variabile casuale, il che non è sempre conveniente.

75, deviazione standard della variabile casuale è la radice quadrata della varianza e ha la dimensione della variabile casuale

. (32)

76, Coefficiente di variazioneè un indicatore relativo della dispersione di una variabile casuale ed è definito come il rapporto tra la deviazione standard e l'aspettativa matematica

. (33)

77, Gamma - valore percentuale di una variabile casuale- valore di una variabile casuale corrispondente ad una data probabilità il fatto che la variabile casuale assumerà un valore maggiore di

. (34)

78, Gamma: il valore percentuale di una variabile casuale può essere determinato dalla funzione integrale, dal suo complemento e dalla funzione differenziale (Fig. 12). Il valore percentuale gamma di una variabile casuale è un quantile di probabilità (Fig. 12, un)

. (35)

La teoria dell'affidabilità utilizza gamma percentuale della risorsa, durata di servizio e durata di conservazione(Tabella 1). La percentuale gamma è chiamata risorsa, durata di servizio, durata di conservazione, che ha (e supera) la percentuale di oggetti di un dato tipo.

un) B)

Fig. 12 Determinazione del valore percentuale gamma di una variabile casuale

Risorsa percentuale gamma caratterizza durata al livello selezionato probabilità di non distruzione. La risorsa percentuale gamma viene assegnata tenendo conto della responsabilità degli oggetti. Ad esempio, per i cuscinetti volventi, viene spesso utilizzata una risorsa del 90%; per i cuscinetti degli oggetti più critici, viene scelta una risorsa del 95% e oltre, avvicinandola al 100%, se il guasto è pericoloso per la vita umana.

79, Mediana della variabile casualeè la sua percentuale gamma a ... Per la mediana è altrettanto probabile che la variabile casuale risulti essere T più o meno, cioè

Geometricamente, la mediana è l'ascissa del punto di intersezione della funzione di distribuzione cumulativa e del suo complemento (Fig. 12, B). La mediana può essere interpretata come l'ascissa del punto in cui l'ordinata della funzione differenziale dimezza l'area delimitata dalla curva di distribuzione (Fig., 12, v).

La mediana di una variabile casuale viene utilizzata nella teoria dell'affidabilità come caratteristica numerica della risorsa, della durata di servizio, della durata di conservazione (Tabella 1).

Esiste una relazione funzionale tra gli indicatori dell'affidabilità degli oggetti. Conoscenza di una delle funzioni
consente di determinare altri indicatori di affidabilità. Una sintesi della relazione tra gli indicatori di affidabilità è fornita in tabella. 2.

Tabella 2. Relazione funzionale tra indicatori di affidabilità

Valore atteso. Aspettativa matematica variabile casuale discreta NS che assume un numero finito di valori NSio con probabilità Rio, la somma si chiama:

Aspettativa matematica variabile casuale continua NS si chiama integrale del prodotto dei suoi valori NS sulla distribuzione di probabilità F(X):

(6B)

Integrale improprio (6 B) si assume che sia assolutamente convergente (altrimenti si dice che l'aspettativa matematica m(NS) non esiste). L'aspettativa matematica caratterizza Significare variabile casuale NS... La sua dimensione coincide con la dimensione di una variabile casuale.

Proprietà delle aspettative matematiche:

Dispersione. Dispersione variabile casuale NS il numero si chiama:

La varianza è caratteristica di dispersione valori di una variabile casuale NS rispetto alla sua media m(NS). La dimensione della varianza è uguale alla dimensione della variabile casuale al quadrato. Sulla base delle definizioni di varianza (8) e aspettativa matematica (5) per una variabile casuale discreta e (6) per una variabile casuale continua, otteniamo espressioni simili per la varianza:

(9)

Qui m = m(NS).

Proprietà di dispersione:

Deviazione quadratica media:

(11)

Poiché la dimensione della deviazione standard è la stessa di una variabile casuale, è più spesso della varianza utilizzata come misura della dispersione.

Momenti di distribuzione. I concetti di aspettativa matematica e varianza sono casi speciali di un concetto più generale per le caratteristiche numeriche delle variabili casuali - momenti di distribuzione... I momenti di distribuzione di una variabile casuale vengono introdotti come le aspettative matematiche di alcune delle funzioni più semplici di una variabile casuale. Quindi, un momento di ordine K rispetto al punto NS 0 è chiamata aspettativa matematica m(NS–NS 0 )K... Momenti relativi all'origine NS= 0 sono chiamati punti di partenza e sono designati:

(12)

Il momento iniziale del primo ordine è il centro della distribuzione della variabile casuale considerata:

(13)

Momenti relativi al centro di distribuzione NS= m sono chiamati punti focali e sono designati:

(14)

Dalla (7) segue che il momento centrale del primo ordine è sempre zero:

I momenti centrali non dipendono dall'origine dei valori della variabile casuale, poiché quando spostati di un valore costante INSIEME A il suo centro di distribuzione è spostato dello stesso valore INSIEME A, e la deviazione dal centro non cambia: NS – m = (NS – INSIEME A) – (m – INSIEME A).
Ormai è ovvio che dispersione- questo è momento centrale del secondo ordine:

Asimmetria. Momento centrale del terzo ordine:

(17)

serve per valutare asimmetria di distribuzione... Se la distribuzione è simmetrica rispetto al punto NS= m, allora il momento centrale del terzo ordine sarà uguale a zero (come tutti i momenti centrali degli ordini dispari). Pertanto, se il momento centrale del terzo ordine è diverso da zero, allora la distribuzione non può essere simmetrica. L'entità dell'asimmetria è stimata utilizzando l'adimensionale coefficiente di asimmetria:

(18)

Il segno del coefficiente di asimmetria (18) indica asimmetria lato destro o lato sinistro (Fig. 2).

Riso. 2. Tipi di asimmetria distributiva.

Eccesso. Il momento centrale del quarto ordine:

(19)

serve a valutare il cosiddetto eccesso, che determina il grado di pendenza (picco) della curva di distribuzione in prossimità del centro di distribuzione rispetto alla curva di distribuzione normale. Poiché per una distribuzione normale, il valore viene preso come curtosi:

(20)

Nella fig. 3 mostra esempi di curve di distribuzione con diversi valori di curtosi. Per la distribuzione normale E= 0. Le curve con un picco più alto del normale hanno una curtosi positiva, quelle più piatte hanno una curtosi negativa.

Riso. 3. Curve di distribuzione con diversi gradi di pendenza (curtosi).

I momenti di ordine superiore di solito non vengono utilizzati nelle applicazioni ingegneristiche della statistica matematica.

Moda discreto una variabile casuale è il suo valore più probabile. Moda continuo variabile casuale è chiamato il suo valore al quale la densità di probabilità è massima (Fig. 2). Se la curva di distribuzione ha un massimo, allora la distribuzione è chiamata unimodale... Se la curva di distribuzione ha più di un massimo, allora la distribuzione è chiamata polimodale... A volte ci sono distribuzioni le cui curve non hanno un massimo, ma un minimo. Tali distribuzioni sono chiamate anti-modale... Nel caso generale, la modalità e l'aspettativa matematica di una variabile casuale non coincidono. In un caso particolare, per modale, cioè. avendo una distribuzione modale, simmetrica e purché vi sia un'aspettativa matematica, quest'ultima coincide con la moda e il centro di simmetria della distribuzione.

Mediano variabile casuale NSè il suo significato? Me, per cui vale l'uguaglianza: i.e. è altrettanto probabile che la variabile casuale NS sarà meno o più Me... Geometricamente medianoÈ l'ascissa del punto in cui si dimezza l'area sotto la curva di distribuzione (Fig. 2). Nel caso di una distribuzione modale simmetrica, la mediana, la moda e l'aspettativa matematica sono le stesse.

VALORI CASUALI E LEGGI DELLA LORO DISTRIBUZIONE.

A caso si chiama tale valore che assume valori a seconda della coincidenza di circostanze casuali. Distinguere discreto e casuale continuo grandezze.

Discreto una quantità viene chiamata se prende un insieme numerabile di valori. ( Esempio: il numero di pazienti all'appuntamento del medico, il numero di lettere sulla pagina, il numero di molecole in un dato volume).

Continuo è una quantità che può assumere valori entro un certo intervallo. ( Esempio: temperatura dell'aria, peso corporeo, altezza umana, ecc.)

Legge sulla distribuzione Una variabile casuale è un insieme di possibili valori di questa quantità e, corrispondenti a questi valori, probabilità (o frequenze di occorrenza).

PRI me R:

Caratteristiche numeriche delle variabili casuali.

In molti casi, insieme alla distribuzione di una variabile casuale o al suo posto, l'informazione su queste quantità può essere data da parametri numerici, chiamati caratteristiche numeriche di una variabile casuale ... I più comuni:

1 .Valore atteso - (valore medio) di una variabile casuale è la somma dei prodotti di tutti i suoi possibili valori per le probabilità di questi valori:

2 .Dispersione variabile casuale:

3 .Deviazione quadratica media della radice :

Regola "TRE SIGMA" - se una variabile casuale è distribuita secondo la legge normale, la deviazione di questo valore dal valore medio in valore assoluto non supera il triplo della deviazione standard

Legge gaussiana - legge di distribuzione normale

Spesso ci sono quantità distribuite su legge normale (legge di Gauss). caratteristica principale : è una legge limitante, a cui si avvicinano altre leggi di distribuzione.

Una variabile casuale è distribuita secondo la legge normale se è densità di probabilità sembra:

M (X) - aspettativa matematica di una variabile casuale;

- deviazione standard.

Densità di probabilità (funzione di distribuzione) mostra come cambia la probabilità rispetto all'intervallo dx una variabile casuale, dipendente dal valore della grandezza stessa:

Concetti di base della statistica matematica

Statistiche matematiche - una branca della matematica applicata, direttamente adiacente alla teoria della probabilità. La principale differenza tra la statistica matematica e la teoria della probabilità è che nella statistica matematica non sono considerate le azioni sulle leggi di distribuzione e le caratteristiche numeriche delle variabili casuali, ma i metodi approssimativi per trovare queste leggi e le caratteristiche numeriche basate sui risultati degli esperimenti.

Concetti basilari le statistiche matematiche sono:

Popolazione generale;

campione;

gamma di variazione;

moda;

mediano;

percentile,

poligono di frequenza,

istogramma.

Popolazione generale - una vasta popolazione statistica, dalla quale vengono selezionati alcuni oggetti per la ricerca

(Esempio: l'intera popolazione della regione, gli studenti delle università di una determinata città, ecc.)

Campione (popolazione campione) - un insieme di oggetti selezionati dalla popolazione generale.

Serie variazionale - distribuzione statistica, costituita da una variante (valori di una variabile casuale) e dalle frequenze corrispondenti.

Esempio:

X - valore di una variabile casuale (massa di ragazze di 10 anni);

m - frequenza di accadimento.

Moda - il valore di una variabile casuale, che corrisponde alla più alta frequenza di occorrenza. (Nell'esempio sopra, la mod corrisponde al valore di 24 kg, si trova più spesso di altre: m = 20).

Mediano - il valore di una variabile casuale che divide la distribuzione a metà: metà dei valori si trovano a destra della mediana, metà (non di più) - a sinistra.

Esempio:

1, 1, 1, 1, 1. 1, 2, 2, 2, 3 , 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 , 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8 , 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10

Nell'esempio, osserviamo 40 valori di una variabile casuale. Tutti i valori sono disposti in ordine crescente in base alla loro frequenza di occorrenza. Puoi vedere che 20 (metà) di 40 valori si trovano a destra del valore evidenziato 7. Pertanto, 7 è la mediana.

Per caratterizzare la dispersione, troviamo i valori che non hanno superato il 25 e il 75% dei risultati della misurazione. Questi valori sono chiamati 25th e 75th percentili ... Se la mediana dimezza la distribuzione, il 25° e il 75° percentile vengono tagliati di un quarto. (La mediana stessa, tra l'altro, può essere considerata il 50° percentile.) Come puoi vedere dall'esempio, il 25° e il 75° percentile sono rispettivamente 3 e 8.

Utilizzo discreto (punto) distribuzione statistica e continuo (intervallo) distribuzione statistica.

Per chiarezza, le distribuzioni statistiche sono rappresentate graficamente nella forma poligono di frequenza o - istogrammi .

Poligono di frequenza - polilinea, i cui segmenti connettono punti con coordinate ( X 1 , m 1 ), (X 2 , m 2 ), ..., o per poligono delle frequenze relative - con coordinate ( X 1 ,R * 1 ), (X 2 ,R * 2 ), ... (Fig. 1).

mm io / nf(x)

X X

Fig. 1 Fig. 2

Istogramma di frequenza - un insieme di rettangoli adiacenti costruiti su una linea retta (Fig. 2), le basi dei rettangoli sono uguali e uguali dx , e le altezze sono uguali al rapporto tra la frequenza e dx , o R * Per dx (densità di probabilità).

Esempio: