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Un'uguaglianza contenente un'incognita sotto il segno di una funzione trigonometrica (`sin x, cos x, tan x` o` ctg x`) è chiamata equazione trigonometrica e considereremo ulteriormente le loro formule.

Le equazioni più semplici sono chiamate `sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a`, dove` x` è l'angolo da trovare, `a` è un numero qualsiasi. Scriviamo le formule radice per ciascuno di essi.

1. Equazione `sin x = a`.

Per `| a |> 1` non ha soluzioni.

Per `| un | \ leq 1` ha un numero infinito di soluzioni.

Formula radice: `x = (- 1) ^ n arco in a + \ pi n, n \ in Z`

2. L'equazione `cos x = a`

Per `| a |> 1` - come nel caso del seno, non ha soluzioni tra i numeri reali.

Per `| un | \ leq 1` ha un numero infinito di soluzioni.

Formula radice: `x = \ pm arccos a + 2 \ pi n, n \ in Z`

Casi speciali per seno e coseno nei grafici.

3. L'equazione `tg x = a`

Ha un numero infinito di soluzioni per qualsiasi valore di `a`.

Formula radice: `x = arctan a + \ pi n, n \ in Z`

4. Equazione `ctg x = a`

Ha anche un numero infinito di soluzioni per qualsiasi valore di `a`.

Formula radice: `x = arcctg a + \ pi n, n \ in Z`

Formule per le radici delle equazioni trigonometriche in una tabella

Per il seno:
Per il coseno:
Per tangente e cotangente:
Formule per risolvere equazioni contenenti funzioni trigonometriche inverse:

Metodi per risolvere equazioni trigonometriche

La soluzione di qualsiasi equazione trigonometrica consiste in due fasi:

• usando convertirlo nel più semplice;
• risolvere l'equazione più semplice risultante utilizzando le formule e le tabelle radice scritte sopra.

Diamo un'occhiata agli esempi dei principali metodi di risoluzione.

Metodo algebrico.

In questo metodo, viene eseguita la sostituzione delle variabili e la sostituzione nell'uguaglianza.

Esempio. Risolvi l'equazione: `2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3sin (\ frac \ pi 3 - x) + 1 = 0`

`2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3cos (x + \ frac \ pi 6) + 1 = 0`,

facciamo la modifica: `cos (x + \ frac \ pi 6) = y`, quindi` 2y ^ 2-3y + 1 = 0`,

troviamo le radici: `y_1 = 1, y_2 = 1 / 2`, da cui seguono due casi:

1.` cos (x + \ frac \ pi 6) = 1`, `x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n`,` x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

2.` cos (x + \ frac \ pi 6) = 1 / 2`, `x + \ frac \ pi 6 = \ pm arccos 1/2 + 2 \ pi n`,` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

Risposta: `x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`,` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

Fattorizzazione.

Esempio. Risolvi l'equazione: `sin x + cos x = 1`.

Soluzione. Sposta tutti i termini dell'uguaglianza a sinistra: `sin x + cos x-1 = 0`. Usando, trasformando e fattorizzando il lato sinistro:

`peccato x - 2peccato ^ 2 x / 2 = 0`,

`2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 = 0`,

`2sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) = 0`,

1. `sin x / 2 = 0`,` x / 2 = \ pi n`, `x_1 = 2 \ pi n`.
2. `cos x / 2-sin x / 2 = 0`,` tg x / 2 = 1`, `x / 2 = arctan 1+ \ pi n`,` x / 2 = \ pi / 4 + \ pi n` , `x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

Risposta: `x_1 = 2 \ pi n`,` x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

Riduzione ad un'equazione omogenea

Innanzitutto, devi portare questa equazione trigonometrica a uno dei due tipi:

`a sin x + b cos x = 0` (equazione omogenea di primo grado) o` a sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x = 0` (equazione omogenea di secondo grado).

Quindi dividi entrambe le parti per `cos x \ ne 0` - per il primo caso, e per ` cos ^ 2 x \ ne 0` - per il secondo. Otteniamo equazioni per `tg x`:` a tg x + b = 0` e `a tg ^ 2 x + b tg x + c = 0`, che devono essere risolte con metodi noti.

Esempio. Risolvi l'equazione: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x = 1`.

Soluzione. Riscrivi il lato destro come `1 = sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`:

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x =` `sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`,

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x -` `sin ^ 2 x - cos ^ 2 x = 0`

`sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x = 0`.

Questa è un'equazione trigonometrica omogenea di secondo grado, dividiamo i suoi lati sinistro e destro per `cos ^ 2 x \ ne 0`, otteniamo:

`\ frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \ frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) = 0`

`tg ^ 2 x + tg x - 2 = 0`. Introduciamo la sostituzione `tg x = t`, di conseguenza `t ^ 2 + t - 2 = 0`. Le radici di questa equazione sono `t_1 = -2` e` t_2 = 1`. Quindi:

1. `tg x = -2`,` x_1 = arctg (-2) + \ pi n`, `n \ in Z`
2. `tg x = 1`,` x = arctan 1+ \ pi n`, `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n`,` n \ in Z`.

Risposta. `x_1 = arctg (-2) + \ pi n`,` n \ in Z`, `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n`,` n \ in Z`.

Vai a metà angolo

Esempio. Risolvi l'equazione: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Soluzione. Applicare le formule del doppio angolo, come risultato: `22 sin (x / 2) cos (x / 2) -`` 2 cos ^ 2 x / 2 + 2 sin ^ 2 x / 2 =` `10 sin ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2`

`4 tg ^ 2 x / 2 - 11 tg x / 2 + 6 = 0`

Applicando il metodo algebrico sopra, si ottiene:

1. `tg x / 2 = 2`,` x_1 = 2 arctan 2 + 2 \ pi n`, `n \ in Z`,
2. `tg x / 2 = 3 / 4`,` x_2 = arctan 3/4 + 2 \ pi n`, `n \ in Z`.

Risposta. `x_1 = 2 arctan 2 + 2 \ pi n, n \ in Z`,` x_2 = arctan 3/4 + 2 \ pi n`, `n \ in Z`.

Introdurre un angolo ausiliario

Nell'equazione trigonometrica `a sin x + b cos x = c`, dove a, b, c sono coefficienti e x è una variabile, dividiamo entrambi i lati per ` sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) `:

`\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) sin x +` ` `\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x = '' \ frac c (sqrt (a ^ 2 + b^2)) `.

I coefficienti sul lato sinistro hanno le proprietà di seno e coseno, ovvero la somma dei loro quadrati è uguale a 1 e i loro valori assoluti non sono maggiori di 1. Li denotiamo come segue: `\ frac a (sqrt ( a ^ 2 + b ^ 2)) = cos \ varphi` , `\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) = sin \ varphi`,` \ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) = C`, quindi:

`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = C`.

Diamo un'occhiata più da vicino al seguente esempio:

Esempio. Risolvi l'equazione: `3 sin x + 4 cos x = 2`.

Soluzione. Dividi entrambi i lati dell'uguaglianza per `sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)`, otteniamo:

`\ frac (3 sin x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +` ` ` \ frac (4 cos x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) = '' \ frac 2 (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) `

`3/5 sin x + 4/5 cos x = 2 / 5`.

Indichiamo `3/5 = cos \ varphi`,` 4/5 = sin \ varphi`. Poiché `sin \ varphi> 0`,` cos \ varphi> 0`, allora prendiamo `\ varphi = arcsin 4 / 5` come angolo ausiliario. Quindi scriviamo la nostra uguaglianza nella forma:

`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = 2 / 5`

Applicando la formula per la somma degli angoli per il seno, scriviamo la nostra uguaglianza nella forma seguente:

`sin (x + \ varphi) = 2 / 5`,

`x + \ varphi = (- 1) ^ n arcsin 2/5 + \ pi n`,` n \ in Z`,

`x = (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \ pi n`,` n \ in Z`.

Risposta. `x = (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \ pi n`,` n \ in Z`.

Equazioni trigonometriche frazionali-razionali

Queste sono uguaglianze con frazioni con funzioni trigonometriche nei numeratori e denominatori.

Esempio. Risolvi l'equazione. `\ frac (sin x) (1 + cos x) = 1-cos x`.

Soluzione. Moltiplica e dividi il lato destro dell'uguaglianza per `(1 + cos x)`. Di conseguenza, otteniamo:

`\ frac (sin x) (1 + cos x) = '' \ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x)`

`\ frac (sin x) (1 + cos x) =` ` `\ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\ frac (sin x) (1 + cos x) =` ` `\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\ frac (sin x) (1 + cos x) -`` \ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0`

`\ frac (sin x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0`

Considerando che il denominatore non può essere uguale a zero, otteniamo `1 + cos x \ ne 0`,` cos x \ ne -1`, `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ in Z`.

Uguaglia il numeratore della frazione a zero: `sin x-sin ^ 2 x = 0`,` sin x (1-sin x) = 0`. Quindi `sin x = 0` o` 1-sin x = 0`.

1. `sin x = 0`,` x = \ pi n`, `n \ in Z`
2. `1-sin x = 0`,` sin x = -1`, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n, n \ in Z`.

Considerando che `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ in Z`, le soluzioni sono` x = 2 \ pi n, n \ in Z` e `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n` , `n \ in Z`.

Risposta. `x = 2 \ pi n`,` n \ in Z`, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n`,` n \ in Z`.

La trigonometria, e le equazioni trigonometriche in particolare, sono utilizzate in quasi tutte le aree della geometria, della fisica, dell'ingegneria. Lo studio inizia al grado 10, ci sono sicuramente compiti per l'esame, quindi cerca di ricordare tutte le formule delle equazioni trigonometriche: torneranno sicuramente utili!

Tuttavia, non è nemmeno necessario memorizzarli, l'importante è comprenderne l'essenza ed essere in grado di dedurli. Non è così difficile come sembra. Guarda tu stesso guardando il video.

un) Risolvi l'equazione 2 (\ sin x- \ cos x) = tgx-1.

B) \ sinistra [\ frac (3 \ pi) 2; \, 3 \ pi \ destra].

Soluzione

un) Espandendo le parentesi e trasferendo tutti i termini sul lato sinistro, otteniamo l'equazione 1 + 2 \ sin x-2 \ cos x-tan x = 0. Considerando che \ cos x \ neq 0, il termine 2 \ sin x può essere sostituito da 2 tg x \ cos x, otteniamo l'equazione 1 + 2 tg x \ cos x-2 \ cos x-tg x = 0, che con il metodo del raggruppamento può essere ridotto alla forma (1-tg x) (1-2 \ cos x) = 0.

1) 1-tg x = 0, tg x = 1, x = \ frac \ pi 4+ \ pi n, n \ in \ mathbb Z;

2) 1-2 \ cos x = 0, \ cos x = \ frac12, x = \ pm \ frac \ pi 3 + 2 \ pi n, n \ in \ mathbb Z.

B) Usando il cerchio numerico, seleziona le radici appartenenti all'intervallo \ sinistra [\ frac (3 \ pi) 2; \, 3 \ pi \ destra].

x_1 = \ frac \ pi 4 + 2 \ pi = \ frac (9 \ pi) 4,

x_2 = \ frac \ pi 3 + 2 \ pi = \ frac (7 \ pi) 3,

x_3 = - \ frac \ pi 3 + 2 \ pi = \ frac (5 \ pi) 3.

Risposta

un) \ frac \ pi 4+ \ pi n, \ pm \ frac \ pi 3 + 2 \ pi n, n \ in \ mathbb Z;

B) \ frac (5 \ pi) 3, \ frac (7 \ pi) 3, \ frac (9 \ pi) 4.

Condizione

un) Risolvi l'equazione (2 \ sin ^ 24x-3 \ cos 4x) \ cdot \ sqrt (tgx) = 0.

B) Scegli le radici di questa equazione che appartengono all'intervallo \ sinistra (0; \, \ frac (3 \ pi) 2 \ destra];

Soluzione

un) ODZ: \ begin (casi) tgx \ geqslant 0 \\ x \ neq \ frac \ pi 2+ \ pi k, k \ in \ mathbb Z. \ end (casi)

L'equazione originale sull'ODZ è equivalente a un insieme di equazioni

\ left [\! \! \ begin (array) (l) 2 \ sin ^ 2 4x-3 \ cos 4x = 0, \\ tg x = 0. \ fine (array) \ destra.

Risolviamo la prima equazione. Per fare questo, faremo una sostituzione \ cos 4x = t, t \ in [-1; 1]. Allora \ sin ^ 24x = 1-t ^ 2. Noi abbiamo:

2 (1-t ^ 2) -3t = 0,

2t ^ 2 + 3t-2 = 0,

t_1 = \ frac12, t_2 = -2, t_2 \ notin [-1; 1].

\ cos 4x = \ frac12,

4x = \ pm \ frac \ pi 3 + 2 \ pi n,

x = \ pm \ frac \ pi (12) + \ frac (\ pi n) 2, n \ in \ mathbb Z.

Risolviamo la seconda equazione.

tg x = 0, \, x = \ pi k, k \ in \ mathbb Z.

Con l'aiuto del cerchio unitario, troviamo soluzioni che soddisfano il DISPARI.

Il segno “+” segna il 1° e il 3° quarto, in cui tg x> 0.

Otteniamo: x = \ pi k, k \ in \ mathbb Z; x = \ frac \ pi (12) + \ pi n, n \ in \ mathbb Z; x = \ frac (5 \ pi) (12) + \ pi m, m \ in \ mathbb Z.

B) Trova le radici appartenenti all'intervallo \ sinistra (0; \, \ frac (3 \ pi) 2 \ destra].

x = \ frac \ pi (12), x = \ frac (5 \ pi) (12); x = \ pi; x = \ frac (13 \ pi) (12); x = \ frac (17 \ pi) (12).

Risposta

un) \ pi k, k \ in \ mathbb Z; \ frac \ pi (12) + \ pi n, n \ in \ mathbb Z; \ frac (5 \ pi) (12) + \ pi m, m \ in \ mathbb Z.

B) \ pi; \ frac \ pi (12); \ frac (5 \ pi) (12); \ frac (13 \ pi) (12); \ frac (17 \ pi) (12).

Fonte: “Matematica. Preparazione per l'esame-2017. Livello di profilo". Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condizione

un) Risolvi l'equazione: \ cos ^ 2x + \ cos ^ 2 \ frac \ pi 6 = \ cos ^ 22x + \ sin ^ 2 \ frac \ pi 3;

B) Specifica tutte le radici appartenenti allo span \ sinistra (\ frac (7 \ pi) 2; \, \ frac (9 \ pi) 2 \ destra].

Soluzione

un) Perché \ sin \ frac \ pi 3 = \ cos \ frac \ pi 6, poi \ sin ^ 2 \ frac \ pi 3 = \ cos ^ 2 \ frac \ pi 6, quindi, l'equazione data è equivalente all'equazione \ cos ^ 2x = \ cos ^ 22x, che, a sua volta, è equivalente all'equazione \ cos ^ 2x- \ cos ^ 2 2x = 0.

Ma \ cos ^ 2x- \ cos ^ 22x = (\ cos x- \ cos 2x) \ cdot (\ cos x + \ cos 2x) e

\ cos 2x = 2 \ cos ^ 2 x-1, quindi l'equazione diventa

(\ cos x- (2 \ cos ^ 2 x-1)) \, \ cdot(\ cos x + (2 \ cos ^ 2 x-1)) = 0,

(2 \ cos ^ 2 x- \ cos x-1) \, \ cdot (2 \ cos ^ 2 x + \ cos x-1) = 0.

Quindi o 2 \ cos ^ 2 x- \ cos x-1 = 0, o 2 \ cos ^ 2 x + \ cos x-1 = 0.

Risolvendo la prima equazione come equazione quadratica per \ cos x, otteniamo:

(\ cos x) _ (1,2) = \ frac (1 \ pm \ sqrt 9) 4 = \ frac (1 \ pm3) 4. Pertanto, o \ cos x = 1 o \ cos x = - \ frac12. Se \ cos x = 1, allora x = 2k \ pi, k \ in \ mathbb Z. Se \ cos x = - \ frac12, poi x = \ pm \ frac (2 \ pi) 3 + 2s \ pi, s \ in \ mathbb Z.

Allo stesso modo, risolvendo la seconda equazione, otteniamo \ cos x = -1, oppure \ cos x = \ frac12. Se \ cos x = -1, allora le radici x = \ pi + 2 m \ pi, m \ in \ mathbb Z. Se \ cos x = \ frac12, poi x = \ pm \ frac \ pi 3 + 2n \ pi, n \ in \ mathbb Z.

Uniamo le soluzioni ottenute:

x = m \ pi, m \ in \ mathbb Z; x = \ pm \ frac \ pi 3 + s \ pi, s \ in \ mathbb Z.

B) Selezioniamo le radici che cadono nell'intervallo dato usando il cerchio numerico.

Noi abbiamo: x_1 = \ frac (11 \ pi) 3, x_2 = 4 \ pi greco, x_3 = \ frac (13 \ pi) 3.

Risposta

un) m \ pi, m \ in \ mathbb Z; \ pm \ frac \ pi 3 + s \ pi, s \ in \ mathbb Z;

B) \ frac (11 \ pi) 3, 4 \ pi, \ frac (13 \ pi) 3.

Fonte: “Matematica. Preparazione per l'esame-2017. Livello di profilo". Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condizione

un) Risolvi l'equazione 10 \ cos ^ 2 \ frac x2 = \ frac (11 + 5ctg \ sinistra (\ dfrac (3 \ pi) 2-x \ destra)) (1 + tgx).

B) Specificare le radici di questa equazione che appartengono all'intervallo \ sinistra (-2 \ pi; - \ frac (3 \ pi) 2 \ destra).

Soluzione

un) 1. Secondo la formula di riduzione, ctg \ sinistra (\ frac (3 \ pi) 2-x \ destra) = tgx. Il dominio dell'equazione sarà tali valori di x che \ cos x \ neq 0 e tg x \ neq -1. Trasforma l'equazione usando la formula del coseno a doppio angolo 2 \ cos ^ 2 \ frac x2 = 1 + \ cos x. Otteniamo l'equazione: 5 (1+ \ cos x) = \ frac (11 + 5tgx) (1 + tgx).

notare che \ frac (11 + 5tgx) (1 + tgx) = \ frac (5 (1 + tgx) +6) (1 + tgx) = 5+ \ frac (6) (1 + tgx), quindi l'equazione assume la forma: 5 + 5 \ cos x = 5 + \ frac (6) (1 + tgx). Da qui \ cos x = \ frac (\ dfrac65) (1 + tgx), \ cos x + \ sin x = \ frac65.

2. Trasformiamo \ sin x + \ cos x secondo la formula di riduzione e la formula per la somma dei coseni: \ sin x = \ cos \ sinistra (\ frac \ pi 2-x \ destra), \ cos x + \ sin x = \ cos x + \ cos \ sinistra (\ frac \ pi 2-x \ destra) = 2 \ cos \ frac \ pi 4 \ cos \ left (x- \ frac \ pi 4 \ right) = \ sqrt 2 \ cos \ left (x- \ frac \ pi 4 \ right) = \ frac65.

Da qui \ cos \ left (x- \ frac \ pi 4 \ right) = \ frac (3 \ sqrt 2) 5. Si intende, x- \ frac \ pi 4 = arco \ cos \ frac (3 \ sqrt 2) 5 + 2 \ pi k, k \ in \ mathbb Z,

o x- \ frac \ pi 4 = -arc \ cos \ frac (3 \ sqrt 2) 5 + 2 \ pi t, t \ in \ mathbb Z.

Ecco perchè x = \ frac \ pi 4 + arc \ cos \ frac (3 \ sqrt 2) 5 + 2 \ pi k, k \ in \ mathbb Z,

o x = \ frac \ pi 4-arc \ cos \ frac (3 \ sqrt 2) 5 + 2 \ pi t, t \ in \ mathbb Z.

I valori x trovati appartengono al dominio di definizione.

B) Cerchiamo prima di scoprire dove cadono le radici dell'equazione in k = 0 e t = 0. Questi saranno i numeri corrispondenti a = \ frac \ pi 4 + arccos \ frac (3 \ sqrt 2) 5 e b = \ frac \ pi 4-arccos \ frac (3 \ sqrt 2) 5.

1. Dimostriamo una disuguaglianza ausiliaria:

\ frac (\ sqrt 2) (2)<\frac{3\sqrt 2}2<1.

Veramente, \ frac (\ sqrt 2) (2) = \ frac (5 \ sqrt 2) (10)<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.

Nota anche che \ sinistra (\ frac (3 \ sqrt 2) 5 \ destra) ^ 2 = \ frac (18) (25)<1^2=1, si intende \ frac (3 \ sqrt 2) 5<1.

2. Dalle disuguaglianze (1) per la proprietà dell'arcoseno si ottiene:

arco 1

0

Da qui \ frac \ pi 4 + 0<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,

0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,

0

Allo stesso modo, - \ frac \ pi 4

0 = \ frac \ pi 4- \ frac \ pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5< \ frac \ pi 4<\frac\pi 2,

0

Per k = -1 et = -1 otteniamo le radici dell'equazione a-2 \ pi e b-2 \ pi.

\ Bigg (a-2 \ pi = - \ frac74 \ pi + arccos \ frac (3 \ sqrt 2) 5, \, b-2 \ pi = - \ frac74 \ pi -arccos \ frac (3 \ sqrt 2) 5 \ Bigg). in cui -2 \ pi

2 \ pi Quindi, queste radici appartengono a un dato intervallo \ sinistra (-2 \ pi, - \ frac (3 \ pi) 2 \ destra).

Per altri valori di k e t, le radici dell'equazione non appartengono all'intervallo specificato.

Infatti, se k \ geqslant 1 et \ geqslant 1, le radici sono maggiori di 2 \ pi. Se k \ leqslant -2 et \ leqslant -2, allora le radici sono minori - \ frac (7 \ pi) 2.

Risposta

un) \ frac \ pi4 \ pm arccos \ frac (3 \ sqrt2) 5 + 2 \ pi k, k \ in \ mathbb Z;

B) - \ frac (7 \ pi) 4 \ pm arccos \ frac (3 \ sqrt2) 5.

Fonte: “Matematica. Preparazione per l'esame-2017. Livello di profilo". Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condizione

un) Risolvi l'equazione \ sin \ sinistra (\ frac \ pi 2 + x \ destra) = \ sin (-2x).

B) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono all'intervallo;

Soluzione

un) Trasformiamo l'equazione:

\ cos x = - \ sin 2x,

\ cos x + 2 \ sin x \ cos x = 0,

\ cos x (1 + 2 \ sin x) = 0,

\cos x = 0,

x = \ frac \ pi 2+ \ pi n, n \ in \ mathbb Z;

1 + 2 \ sin x = 0,

\ sin x = - \ frac12,

x = (- 1) ^ (k + 1) \ cdot \ frac \ pi 6+ \ pi k, k \ in \ mathbb Z.

B) Trova le radici appartenenti al segmento usando il cerchio unitario.

L'intervallo specificato appartiene all'unico numero \ frac \ pi 2.

Risposta

un) \ frac \ pi 2+ \ pi n, n \ in \ mathbb Z; (-1) ^ (k + 1) \ cdot \ frac \ pi 6+ \ pi k, k \ in \ mathbb Z;

B) \ frac \ pi 2.

Fonte: “Matematica. Preparazione per l'esame-2017. Livello di profilo". Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condizione

Si intende, \ sin x \ neq 1.

Dividi entrambi i lati dell'equazione per un fattore (\ peccato x-1), diverso da zero. Otteniamo l'equazione \ frac 1 (1+ \ cos 2x) = \ frac 1 (1+ \ cos (\ pi + x)), o equazione 1+ \ cos 2x = 1 + \ cos (\ pi + x). Applicando la formula di riduzione dei gradi sul lato sinistro e la formula di riduzione sul lato destro, otteniamo l'equazione 2 \ cos ^ 2 x = 1- \ cos x. Questa equazione usando la sostituzione \ cos x = t, dove -1 \ leqslant t \ leqslant 1 ridurre al quadrato: 2t ^ 2 + t-1 = 0, le cui radici t_1 = -1 e t_2 = \ frac12. Tornando alla variabile x, otteniamo \ cos x = \ frac12 o \cos x = -1, dove x = \ frac \ pi 3 + 2 \ pi m, m \ in \ mathbb Z, x = - \ frac \ pi 3 + 2 \ pi n, n \ in \ mathbb Z, x = \ pi +2 \ pi k, k \ in \ mathbb Z.

B) Risolviamo le disuguaglianze

1) - \ frac (3 \ pi) 2 \ leqslant \ frac (\ pi) 3 + 2 \ pi m \ leqslant - \ frac \ pi 2,

2) - \ frac (3 \ pi) 2 \ leqslant - \ frac \ pi 3 + 2 \ pi n \ leqslant - \ frac \ pi (2,)

3) - \ frac (3 \ pi) 2 \ leqslant \ pi + 2 \ pi k \ leqslant - \ frac \ pi 2, m, n, k \ in \ mathbb Z.

1) - \ frac (3 \ pi) 2 \ leqslant \ frac (\ pi) 3 + 2 \ pi m \ leqslant - \ frac \ pi 2, - \ frac32 \ leqslant \ frac13 + 2m \ leqslant - \ frac12 - \ frac (11) 6 \ leqslant 2m \ leqslant - \ frac56, - \ frac (11) (12) \ leqslant m \ leqslant - \ frac5 (12).

\ sinistra [- \ frac (11) (12); - \ frac5 (12) \ destra].

2) - \ frac (3 \ pi) 2 \ leqslant - \ frac (\ pi) 3 + 2 \ pi n \ leqslant - \ frac (\ pi) (2), - \ frac32 \ leqslant - \ frac13 + 2n \ leqslant - \ frac12, - \ frac76 \ leqslant 2n \ leqslant - \ frac1 (6), - \ frac7 (12) \ leqslant n \ leqslant - \ frac1 (12).

Nessun numero intero appartenente allo span \ sinistra [- \ frac7 (12); - \ frac1 (12) \ destra].

3) - \ frac (3 \ pi) 2 \ leqslant \ pi +2 \ pi k \ leqslant - \ frac (\ pi) 2, - \ frac32 \ leqslant 1 + 2k \ leqslant - \ frac12, - \ frac52 \ leqslant 2k \ leqslant - \ frac32, - \ frac54 \ leqslant k \ leqslant - \ frac34.

Questa disuguaglianza è soddisfatta da k = -1, quindi x = - \ pi.

Risposta

un) \ frac \ pi 3 + 2 \ pi m; - \ frac \ pi 3 + 2 \ pi n; \ pi +2 \ pi k, m, n, k \ in \ mathbb Z;

B) - \ pi.

Problema numero 1

La logica è semplice: agiremo come prima, nonostante ora le funzioni trigonometriche abbiano un argomento più complesso!

Se dovessimo risolvere un'equazione della forma:

Quindi scriviamo la seguente risposta:

o (dal)

Ma ora abbiamo la seguente espressione nel nostro ruolo:

Quindi puoi scrivere:

Il nostro obiettivo con te è quello di rendere il cavalletto sinistro semplicemente, senza "impurità"!

Eliminiamoli gradualmente!

Innanzitutto, rimuoviamo il denominatore in: per questo moltiplichiamo la nostra uguaglianza per:

Ora sbarazziamoci di esso dividendo in esso entrambe le parti:

Ora sbarazziamoci degli otto:

L'espressione risultante può essere scritta come 2 serie di soluzioni (per analogia con un'equazione quadratica, dove si aggiunge o si sottrae il discriminante)

Dobbiamo trovare la radice negativa più grande! È chiaro che è necessario risolvere.

Consideriamo prima la prima serie:

È chiaro che se prendiamo, di conseguenza otterremo numeri positivi e non ci interessano.

Quindi devi prenderlo negativo. Lascia stare.

Quando la radice è già:

E dobbiamo trovare il più grande negativo !! Significa che non ha più senso andare nella direzione negativa. E la radice negativa più grande per questa serie sarà.

Passiamo ora alla seconda serie:

E ancora sostituiamo:, quindi:

Non interessato!

Allora non ha più senso aumentare! Ridurremo! Lascia, allora:

Si adatta!

Lascia stare. Quindi

Quindi - la radice negativa più grande!

Risposta:

Problema numero 2

Ancora una volta risolviamo, indipendentemente dall'argomento del coseno complesso:

Ora esprimiamo di nuovo a sinistra:

Moltiplichiamo entrambi i membri per

Dividiamo entrambi i lati in

Non resta che spostarlo a destra, cambiando il suo segno da meno a più.

Abbiamo ancora 2 serie di radici, una con e l'altra con.

Dobbiamo trovare la radice negativa più grande. Considera la prima serie:

È chiaro che riceveremo la prima radice negativa a, sarà uguale e sarà la radice negativa più grande in 1 serie.

Per la seconda serie

Anche la prima radice negativa sarà ottenuta a e sarà uguale a. Poiché, allora è la radice negativa più grande dell'equazione.

Risposta: .

Problema numero 3

Risolvi indipendentemente dal complesso argomento tangente.

Non sembra essere niente di complicato, giusto?

Come prima, esprimiamo sul lato sinistro:

Bene, è fantastico, c'è solo una serie di radici qui! Trova di nuovo il più grande negativo.

È chiaro che si scopre se mettiamo. E questa radice è uguale.

Risposta:

Ora prova a risolvere da solo i seguenti problemi.

Compiti a casa o 3 compiti per una soluzione indipendente.

1. Equazione decisioni-shi-te.
   
2. Equazione decisioni-shi-te.
   In ot-ve-these na-pi-shi-te, la più piccola radice po-li-tel.
3. Equazione decisioni-shi-te.
   In ot-ve-these na-pi-shi-te, la più piccola radice po-li-tel.

Pronto? Controllo. Non descriverò in dettaglio l'intero algoritmo della soluzione, mi sembra che sia già stata prestata sufficiente attenzione sopra.

Bene, è tutto corretto? Oh, quei brutti seni, ci sono sempre dei problemi con loro!

Bene, ora puoi risolvere le equazioni trigonometriche più semplici!

Controlla soluzioni e risposte:

Problema numero 1

Esprimiamoci

La più piccola radice positiva si ottiene ponendo, poiché, allora

Risposta:

Problema numero 2

La più piccola radice positiva si ottiene quando.

Sarà uguale.

Risposta: .

Problema numero 3

Quando arriviamo, quando arriviamo.

Risposta: .

Questa conoscenza ti aiuterà a risolvere molti dei problemi che dovrai affrontare durante l'esame.

Se stai facendo domanda per un voto di "5", allora devi solo andare a leggere l'articolo per livello intermedio, che sarà dedicato alla risoluzione di equazioni trigonometriche più complesse (task C1).

LIVELLO MEDIO

In questo articolo descriverò risolvere equazioni trigonometriche di tipo più complesso e come selezionare le loro radici. Qui mi baserò sui seguenti argomenti:

1. Equazioni trigonometriche per il livello base (vedi sopra).

Equazioni trigonometriche più complesse sono alla base di problemi più complessi. In essi, è necessario sia risolvere l'equazione stessa in forma generale, sia trovare le radici di questa equazione appartenenti a un certo intervallo specificato.

La risoluzione di equazioni trigonometriche si riduce a due attività secondarie:

1. Soluzione dell'equazione
2. Selezione di radici

Va notato che quest'ultimo non è sempre richiesto, ma nella maggior parte degli esempi è comunque richiesta la selezione. E se non è richiesto, allora puoi piuttosto simpatizzare - questo significa che l'equazione è piuttosto complicata in sé.

La mia esperienza nell'analisi delle attività C1 mostra che di solito sono divise in queste categorie.

Quattro categorie di compiti di maggiore complessità (ex C1)

1. Equazioni che si riducono alla fattorizzazione.
2. Equazioni che si riducono alla forma.
3. Equazioni risolte con variazione variabile.
4. Equazioni che richiedono un'ulteriore selezione delle radici a causa dell'irrazionalità o del denominatore.

Per dirla semplicemente: se ti imbatti in uno dei primi tre tipi di equazioni allora ti consideri fortunato. Per loro, di regola, è inoltre necessario raccogliere radici appartenenti a un certo intervallo.

Se ti imbatti in un'equazione di tipo 4, sei meno fortunato: devi armeggiare un po 'più a lungo e più da vicino, ma abbastanza spesso non richiede un'ulteriore selezione di radici. Tuttavia, analizzerò questo tipo di equazioni nel prossimo articolo, e questo sarà dedicato alla risoluzione di equazioni dei primi tre tipi.

Equazioni di fattorizzazione

La cosa più importante da ricordare per risolvere equazioni di questo tipo è

Come dimostra la pratica, di regola, questa conoscenza è sufficiente. Vediamo alcuni esempi:

Esempio 1. Equazione che riduce alla fattorizzazione utilizzando formule di riduzione e seno a doppio angolo

• Equazione Res-shi-te
• Nay-di-te tutte le radici di questa equazione

Qui, come promesso, le formule di fusione funzionano:

Quindi la mia equazione sarà simile a questa:

Quindi la mia equazione assumerà la seguente forma:

Uno studente miope potrebbe dire: e ora accorcerò entrambe le parti, otterrò l'equazione più semplice e mi godrò la vita! E sarà amaramente sbagliato!

Allora cosa fai? Sì, tutto è semplice, muovi tutto in una direzione ed elimina il fattore comune:

Bene, lo scomponiamo in fattori, evviva! Adesso decidiamo:

La prima equazione ha radici:

E il secondo:

Questo completa la prima parte del problema. Ora dobbiamo selezionare le radici:

Il divario è così:

Oppure si può anche scrivere così:

Bene, prendiamo le radici:

Per prima cosa, lavoriamo con la prima serie (ed è più facile, che dire!)

Poiché il nostro intervallo è completamente negativo, non è necessario prendere quelli non negativi, tuttavia daranno radici non negative.

Prendiamo, allora - un po' troppo, non va bene.

Lascia, quindi - non ha colpito di nuovo.

Un altro tentativo - allora - c'è, colpisci! Prima radice trovata!

Sparo di nuovo: poi - colpisco ancora!

Bene, ancora una volta:: - questo è già un volo.

Quindi dalla prima serie 2 radici appartengono all'intervallo:.

Stiamo lavorando con la seconda serie (stiamo costruendo ad un grado secondo la regola):

Undershoot!

Di nuovo sotto tiro!

Di nuovo sotto tiro!

Fatto!

Volo!

Pertanto, le seguenti radici appartengono al mio span:

È con questo algoritmo che risolveremo tutti gli altri esempi. Facciamo pratica insieme con un altro esempio.

Esempio 2. Un'equazione che si riduce alla fattorizzazione usando formule di riduzione

• Risolvi l'equazione

Soluzione:

Ancora le famigerate formule di casting:

Ancora una volta, non cercare di ridurre!

La prima equazione ha radici:

E il secondo:

Ora cerca di nuovo le radici.

Inizierò con la seconda serie, ne so già tutto dall'esempio precedente! Guarda e assicurati che le radici appartenenti al gap siano le seguenti:

Ora il primo episodio ed è più semplice:

Se - si adatta

Se - è anche buono

Se - già un volo.

Quindi le radici saranno le seguenti:

Lavoro indipendente. 3 equazioni.

Bene, la tecnica ti è chiara? Risolvere equazioni trigonometriche non sembra più così difficile? Quindi risolvi rapidamente i seguenti problemi da solo, quindi tu e io risolveremo altri esempi:

1. Risolvi l'equazione
   Nay-di-quelle sono tutte le radici di questa equazione, attaccate all'intervallo.
2. Equazione Res-shi-te
   Indica le radici dell'equazione
3. Equazione Res-shi-te
   Nay-di-quelle sono tutte le radici di questa equazione-non-niy, allegato-over-le-zha-shi-pro-me-zhut-ku.

Equazione 1.

E ancora la formula del casting:

Prima serie di radici:

Seconda serie di radici:

Selezione di partenza per il divario

Risposta: , .

Equazione 2. Verifica del lavoro autonomo.

Un raggruppamento piuttosto complicato in fattori (userò la formula del seno del doppio angolo):

allora o

Questa è una soluzione generale. Ora dobbiamo selezionare le radici. Il problema è che non possiamo dire il valore esatto dell'angolo, il cui coseno è uguale a un quarto. Pertanto, non posso semplicemente sbarazzarmi dell'arcoseno: è un vero peccato!

Quello che posso fare è capire cosa e come, allora.

Facciamo una tabella: interval:

Bene, attraverso ricerche dolorose, siamo giunti alla deludente conclusione che la nostra equazione ha una radice nell'intervallo indicato: \ displaystyle arccos \ frac (1) (4) -5 \ pi

Equazione 3. Controllo del lavoro indipendente.

Un'equazione spaventosa. Tuttavia, può essere risolto semplicemente applicando la formula del seno a doppio angolo:

Riduci di 2:

Raggruppiamo il primo termine con il secondo e il terzo con il quarto ed eliminiamo i fattori comuni:

È chiaro che la prima equazione non ha radici e ora consideriamo la seconda:

In generale, mi sarei soffermato sulla soluzione di tali equazioni un po 'più tardi, ma dal momento che si è presentato, non c'è niente da fare, è necessario risolvere ...

Equazioni della forma:

Questa equazione si risolve dividendo entrambe le parti per:

Quindi, la nostra equazione ha una singola serie di radici:

È necessario trovare quelli di loro che appartengono all'intervallo:.

Costruiamo di nuovo una tabella, come ho fatto prima:

Risposta: .

Equazioni che si riducono alla forma:

Bene, ora è il momento di passare alla seconda serie di equazioni, soprattutto perché ho già detto in che cosa consiste la soluzione di equazioni trigonometriche di un nuovo tipo. Ma non sarà superfluo ripetere che un'equazione della forma

Si risolve dividendo entrambe le parti per il coseno:

1. Equazione Res-shi-te
   Indica le radici dell'equazione-non-nia, quando-troppo-giacendo-da-taglio.
2. Equazione Res-shi-te
   Indica le radici dell'equazione-not-nia, quando-over-le-zha-shi-pro-me-zhut-ku.

Esempio 1.

Il primo è molto semplice. Spostati a destra e applica la formula del coseno del doppio angolo:

Ah! Equazione della forma:. Divido entrambe le parti in

Facciamo la setacciatura delle radici:

Spacco:

Risposta:

Esempio 2.

Tutto è anche piuttosto banale: espandiamo le parentesi a destra:

Identità trigonometrica di base:

Seno a doppio angolo:

Otteniamo infine:

Dropout della radice: gap.

Risposta: .

Bene, come ti piace la tecnica, non è troppo complicata? Spero di no. Possiamo subito fare una riserva: nella loro forma pura, le equazioni, che si riducono immediatamente a un'equazione per la tangente, sono piuttosto rare. Tipicamente, questa transizione (divisione per coseno) è solo una parte di un problema più complesso. Ecco un esempio per esercitarti:

• Equazione Res-shi-te
• Nay-di-quelle sono tutte le radici di questa equazione-non-nia, attaccata-su-le-zha-shi-ku.

Controlliamo:

L'equazione è risolta immediatamente, è sufficiente dividere entrambe le parti in:

Abbandono della radice:

Risposta: .

In un modo o nell'altro, dobbiamo ancora incontrare equazioni del tipo che abbiamo appena analizzato. Tuttavia, è troppo presto per concludere: c'è un altro "strato" di equazioni che non abbiamo analizzato. Così:

Risolvere equazioni trigonometriche cambiando una variabile

Qui tutto è trasparente: osserviamo da vicino l'equazione, semplifichiamo il più possibile, facciamo una sostituzione, risolviamo, facciamo una sostituzione inversa! In parole, tutto è molto facile. Vediamo in azione:

Esempio.

• Risolvi l'equazione:.
• Nay-di-quelle sono tutte le radici di questa equazione-non-nia, attaccata-su-le-zha-shi-ku.

Bene, qui la sostituzione stessa implora di essere nelle nostre mani!

Quindi la nostra equazione si trasformerà in questa:

La prima equazione ha radici:

E il secondo sono questi:

Ora troveremo le radici appartenenti all'intervallo

Risposta: .

Esaminiamo insieme un esempio leggermente più complesso:

• Equazione Res-shi-te
• Indica le radici dell'equazione data-non-niy, quando-over-le-za-shi-n-e-zhut-ku.

Qui la sostituzione non è immediatamente visibile, inoltre, non è molto evidente. Pensiamo prima: cosa possiamo fare?

Ad esempio, possiamo immaginare

E allo stesso tempo

Quindi la mia equazione assumerà la forma:

Ora attenzione, concentrati:

Dividiamo entrambi i membri dell'equazione per:

Improvvisamente io e te abbiamo ottenuto un'equazione quadratica per! Facciamo una sostituzione, quindi otteniamo:

L'equazione ha le seguenti radici:

Brutta seconda serie di radici, ma non si può fare a meno! Selezioniamo le radici nell'intervallo.

Dobbiamo anche considerare che

Da e poi

Risposta:

Per consolidare, prima di risolvere i problemi da soli, ecco un altro esercizio per te:

• Equazione Res-shi-te
• Nay-di-quelle sono tutte le radici di questa equazione-non-niy, allegato-over-le-zha-shi-pro-me-zhut-ku.

Qui bisogna tenere gli occhi aperti: ora abbiamo denominatori che possono essere zero! Pertanto, devi essere particolarmente attento alle radici!

Prima di tutto, devo trasformare l'equazione in modo da poter effettuare una sostituzione adeguata. Non riesco a pensare a niente di meglio in questo momento che riscrivere la tangente in termini di seno e coseno:

Ora andrò dal coseno al seno per identità trigonometrica di base:

E infine, porterò tutto a un denominatore comune:

Ora posso andare all'equazione:

Ma a (cioè a).

Ora è tutto pronto per la sostituzione:

Allora neanche

Tuttavia, tieni presente che se, quindi allo stesso tempo!

Chi ne soffre? Il problema con la tangente, è indefinito quando il coseno è zero (divisione per zero).

Pertanto, le radici dell'equazione sono le seguenti:

Ora setacciamo le radici nell'intervallo:

Quindi, la nostra equazione ha un'unica radice nell'intervallo ed è uguale a.

Vedete: l'aspetto del denominatore (così come la tangente, porta a certe difficoltà con le radici! Qui bisogna stare più attenti!).

Bene, io e te abbiamo quasi finito l'analisi delle equazioni trigonometriche, rimane ben poco per risolvere in modo indipendente due problemi. Eccoli.

1. Risolvi l'equazione
   Nay-di-quelle sono tutte le radici di questa equazione-non-nia, attaccata-su-le-zha-shi-ku.
2. Equazione Res-shi-te
   Indica le radici di questa equazione, attaccata al taglio.

Deciso? Non molto difficile? Controlliamo:

1. Lavoriamo secondo le formule di riduzione:

   Sostituisci nell'equazione:

   Riscriviamo tutto in termini di coseni, in modo che sia più conveniente fare la sostituzione:

   Ora è facile effettuare la sostituzione:

   È chiaro che questa è una radice estranea, poiché l'equazione non ha soluzioni. Quindi:

   Stiamo cercando le radici di cui abbiamo bisogno nell'intervallo

   Risposta: .

2. 
   Qui la sostituzione è immediatamente visibile:

   Allora neanche

   	- si adatta!	- si adatta!
   	- si adatta!	- si adatta!
   	- molti!	- anche molto!

   Risposta:

Bene, ora è tutto! Ma la soluzione delle equazioni trigonometriche non finisce qui, ci restano i casi più difficili: quando c'è irrazionalità nelle equazioni o ogni sorta di "denominatore complesso". Considereremo come risolvere tali compiti nell'articolo per il livello avanzato.

LIVELLO AVANZATO

Oltre alle equazioni trigonometriche discusse nei due articoli precedenti, prenderemo in considerazione un'altra classe di equazioni che richiedono un'analisi ancora più attenta. Questi esempi trigonometrici contengono irrazionalità o un denominatore, che li rende più difficili da analizzare.... Tuttavia, potresti imbatterti in queste equazioni nella parte C della prova d'esame. Tuttavia, c'è un lato positivo: per tali equazioni, di regola, non viene sollevata la questione di quale delle sue radici appartenga a un determinato intervallo. Non giriamoci intorno, ma solo esempi trigonometrici.

Esempio 1.

Risolvi l'equazione e trova le radici che appartengono al segmento.

Soluzione:

Abbiamo un denominatore che non dovrebbe essere zero! Quindi risolvere questa equazione equivale a risolvere il sistema

Risolviamo ciascuna delle equazioni:

E ora il secondo:

Ora diamo un'occhiata alla serie:

È chiaro che l'opzione non ci soddisfa, poiché in questo caso il denominatore viene azzerato (vedi la formula per le radici della seconda equazione)

Se, tuttavia, tutto è in ordine e il denominatore non è zero! Allora le radici dell'equazione sono le seguenti:,.

Ora selezioniamo le radici appartenenti all'intervallo.

Allora le radici sono le seguenti:

Vedete, anche la comparsa di un piccolo rumore sotto forma di denominatore ha influito significativamente sulla soluzione dell'equazione: abbiamo lasciato cadere una serie di radici che azzerano il denominatore. La situazione può essere ancora più difficile se ti imbatti in esempi trigonometrici che hanno irrazionalità.

Esempio 2.

Risolvi l'equazione:

Soluzione:

Bene, almeno non c'è bisogno di selezionare le radici, e questo è un bene! Risolviamo prima l'equazione, indipendentemente dall'irrazionalità:

È tutto? No, ahimè, sarebbe troppo facile! Va ricordato che solo i numeri non negativi possono essere sotto la radice. Quindi:

La soluzione a questa disuguaglianza:

Ora resta da scoprire se alcune delle radici della prima equazione sono arrivate accidentalmente là dove la disuguaglianza non è soddisfatta.

Per fare ciò, puoi nuovamente utilizzare la tabella:

Quindi, una delle radici "è caduta" da me! Si scopre se lo metti. Allora la risposta può essere scritta come segue:

Risposta:

Vedi, la radice richiede un'attenzione ancora maggiore! Per complicare le cose: ora fammi avere una funzione trigonometrica sotto la radice.

Esempio 3.

Come prima: prima risolveremo ciascuno separatamente, e poi penseremo a ciò che abbiamo fatto.

Ora la seconda equazione:

Ora la cosa più difficile è scoprire se si ottengono valori negativi sotto la radice aritmetica se sostituiamo le radici dalla prima equazione lì:

Il numero deve essere inteso come radianti. Poiché i radianti sono circa i gradi, i radianti sono circa i gradi. Questo è l'angolo del secondo quarto. Qual è il segno del coseno del secondo quarto? Meno. E il seno? Un vantaggio. Quindi cosa si può dire dell'espressione:

È meno di zero!

Ciò significa che non è la radice dell'equazione.

Ora è il turno.

Confrontiamo questo numero con zero.

La cotangente è una funzione decrescente di 1 quarto (più piccolo è l'argomento, maggiore è la cotangente). i radianti sono all'incirca gradi. Allo stesso tempo

poiché, allora, e quindi
,

Risposta: .

Potrebbe essere ancora più difficile? Per favore! Sarà più difficile se la funzione trigonometrica è ancora sotto la radice e la seconda parte dell'equazione è di nuovo la funzione trigonometrica.

Più esempi trigonometrici sono, meglio è, vedi oltre:

Esempio 4.

La radice non è adatta a causa del coseno limitato

Ora il secondo:

Allo stesso tempo, per definizione della radice:

Dobbiamo ricordare il cerchio unitario: cioè quei quarti in cui il seno è minore di zero. Che quarti sono? Terzo e quarto. Allora saremo interessati a quelle soluzioni della prima equazione che si trovano nel terzo o quarto quarto.

La prima serie produce radici all'intersezione del terzo e del quarto quarto. La seconda serie, ad essa diametralmente opposta, dà origine a radici giacenti sul margine del primo e del secondo quarto. Pertanto, questa serie non ci soddisfa.

Risposta: ,

E di nuovo esempi trigonometrici con "difficile irrazionalità"... Non solo abbiamo di nuovo la funzione trigonometrica sotto la radice, ma ora è anche nel denominatore!

Esempio 5.

Bene, non si può fare nulla: agiamo come prima.

Ora lavoriamo con il denominatore:

Non voglio risolvere la disuguaglianza trigonometrica, e quindi agirò con astuzia: prenderò e sostituirò la mia serie di radici nella disuguaglianza:

Se - pari, allora abbiamo:

poiché, allora tutti gli angoli della vista giacciono nel quarto quarto. E ancora la sacra domanda: qual è il segno del seno nel quarto quarto? Negativo. Allora la disuguaglianza

Se è dispari, allora:

In quale quarto si trova l'angolo? Questo è l'angolo del secondo quarto. Poi tutti gli angoli sono di nuovo gli angoli del secondo quarto. Il seno è positivo lì. Proprio quello di cui hai bisogno! Quindi, la serie:

Si adatta!

Affronta la seconda serie di radici allo stesso modo:

Sostituiamo nella nostra disuguaglianza:

Se - pari, allora

Angoli del primo quarto. Il seno è positivo lì, quindi la serie è adatta. Ora se - dispari, allora:

si adatta anche!

Bene, ora scriviamo la risposta!

Risposta:

Bene, questo è stato forse il caso che ha richiesto più tempo. Ora ti offro problemi per la tua soluzione.

Allenamento

1. Risolvi e trova tutte le radici dell'equazione che appartengono al segmento.

Soluzioni:

1. 
   Prima equazione:
   o
   Radice ODZ:

   Seconda equazione:

   Selezione di radici che appartengono al gap

   Risposta:

o
o
Ma

Tener conto di:. Se - pari, allora
- non va bene!
Se - dispari,: - si adatta!
Ciò significa che la nostra equazione ha la seguente serie di radici:
o
Selezione delle radici nell'intervallo:

	- non va bene	- si adatta
	- si adatta	- molti
	- si adatta	molti

Risposta: , .

o
Poiché, quando la tangente non è definita. Scartiamo subito questa serie di radici!

Seconda parte:

Allo stesso tempo, secondo ODZ, è necessario che

Controlliamo le radici trovate nella prima equazione:

Se il segno è:

Curve del primo quarto dove la tangente è positiva. Non va bene!
Se il segno è:

Angolo di quarto quarto. Lì la tangente è negativa. Si adatta. Scriviamo la risposta:

Risposta: , .

Abbiamo trattato insieme esempi trigonometrici complessi in questo articolo, ma dovresti risolvere tu stesso le equazioni.

RIEPILOGO E FORMULE DI BASE

Un'equazione trigonometrica è un'equazione in cui l'incognita è strettamente sotto il segno della funzione trigonometrica.

Esistono due modi per risolvere le equazioni trigonometriche:

Il primo modo è usare le formule.

Il secondo modo è attraverso il cerchio trigonometrico.

Consente di misurare gli angoli, trovare i loro seni, coseni e altro.

Preparazione per il livello di profilo dell'esame di stato unificato in matematica. Materiali utili sulla trigonometria, grandi videolezioni teoriche, analisi video di problemi e una selezione di compiti degli anni passati.

Materiali utili

Selezioni video e corsi online

Formule trigonometriche

Illustrazione geometrica delle formule trigonometriche

Funzioni dell'arco. Equazioni trigonometriche più semplici

Equazioni trigonometriche

1. La teoria necessaria per risolvere i problemi.
2. a) Risolvi l'equazione $ 7 \ cos ^ 2 x - \ cos x - 8 = 0 $.
   b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono all'intervallo $ \ left [- \ dfrac (7 \ pi) (2); - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ destra] $.
3. a) Risolvi l'equazione $ \ dfrac (6) (\ cos ^ 2 x) - \ dfrac (7) (\ cos x) + 1 = 0 $.
   b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono all'intervallo $ \ left [-3 \ pi; - \ pi \ destra] $.
4. Risolvi l'equazione $ \ sin \ sqrt (16 - x ^ 2) = \ dfrac12 $.
5. a) Risolvi l'equazione $ 2 \ cos 2x - 12 \ cos x + 7 = 0 $.
   b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono all'intervallo $ \ left [- \ pi; \ dfrac (5 \ pi) (2) \ destra] $.
6. a) Risolvi l'equazione $ \ dfrac (5) (\ mathrm (tg) ^ 2 x) - \ dfrac (19) (\ sin x) + 17 = 0 $.
   
7. Risolvi l'equazione $ \ dfrac (2 \ cos ^ 3 x + 3 \ cos ^ 2 x + \ cos x) (\ sqrt (\ mathrm (ctg) x)) = 0 $.
8. Risolvi l'equazione $ \ dfrac (\ mathrm (tg) ^ 3x - \ mathrm (tg) x) (\ sqrt (- \ sin x)) = 0 $.
9. 
   b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono all'intervallo $ \ left [- \ dfrac (5 \ pi) (2); - \ pi \ destra) $.
10. a) Risolvi l'equazione $ \ cos 2x = \ sin \ left (\ dfrac (3 \ pi) (2) - x \ right) $.
    b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono all'intervallo $ \ left [\ dfrac (3 \ pi) (2); \ dfrac (5 \ pi) (2) \ destra] $.
11. a) Risolvi l'equazione $ 2 \ sin ^ 2 \ left (\ dfrac (3 \ pi) (2) + x \ right) = \ sqrt3 \ cos x $.
    b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono all'intervallo $ \ left [- \ dfrac (7 \ pi) (2); -2 \ pi \ destra] $.

Analisi video delle attività

b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [\ sqrt (3); \ sqrt (20) \ destra] $.

b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [- \ dfrac (9 \ pi) (2); -3 \ pi \ destra] $.

b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [- \ sqrt (3); \ sqrt (30) \ destra] $.

a) Risolvi l'equazione $ \ cos 2x = 1 - \ cos \ left (\ dfrac (\ pi) (2) - x \ right) $.
b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono all'intervallo $ \ left [- \ dfrac (5 \ pi) (2); - \ pi \ destra) $.

a) Risolvi l'equazione $ \ cos ^ 2 (\ pi - x) - \ sin \ left (x + \ dfrac (3 \ pi) (2) \ right) = 0 $.
b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono all'intervallo $ \ left [\ dfrac (5 \ pi) (2); 4 \ pi \ destra] $.

b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono all'intervallo $ \ left [\ log_5 2; \ log_5 20 \ destra] $.

a) Risolvi l'equazione $ 8 \ sin ^ 2 x + 2 \ sqrt (3) \ cos \ left (\ dfrac (3 \ pi) (2) - x \ right) = 9 $.
b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono all'intervallo $ \ left [- \ dfrac (5 \ pi) (2); - \ pi \ destra] $.

a) Risolvi l'equazione $ 2 \ log_3 ^ 2 (2 \ cos x) - 5 \ log_3 (2 \ cos x) + 2 = 0 $.
b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono all'intervallo $ \ left [\ pi; \ dfrac (5 \ pi) (2) \ destra] $.

a) Risolvere l'equazione $ \ left (\ dfrac (1) (49) \ right) ^ (\ sin x) = 7 ^ (2 \ sin 2x) $.
b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono all'intervallo $ \ left [\ dfrac (3 \ pi) (2); 3 \ pi \ destra] $.

a) Risolvere l'equazione $ \ sin x + \ left (\ cos \ dfrac (x) (2) - \ sin \ dfrac (x) (2) \ right) \ left (\ cos \ dfrac (x) (2) + \ sin \ dfrac (x) (2) \ destra) = 0 $.
b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono all'intervallo $ \ left [\ pi; \ dfrac (5 \ pi) (2) \ destra] $.

a) Risolvi l'equazione $ \ log_4 (\ sin x + \ sin 2x + 16) = 2 $.
b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono all'intervallo $ \ left [-4 \ pi; - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ destra] $.

Una selezione di incarichi degli anni passati

1. a) Risolvere l'equazione $ \ dfrac (\ sin x) (\ sin ^ 2 \ dfrac (x) (2)) = 4 \ cos ^ 2 \ dfrac (x) (2) $.
   b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [- \ dfrac (9 \ pi) (2); -3 \ pi \ destra] $. (USE-2018. Prima ondata)
2. a) Risolvi l'equazione $ \ sqrt (x ^ 3 - 4x ^ 2 - 10x + 29) = 3 - x $.
   b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [- \ sqrt (3); \ sqrt (30) \ destra] $. (USE-2018. Ondata anticipata, giorno di riserva)
3. a) Risolvi l'equazione $ 2 \ sin ^ 2 x + \ sqrt2 \ sin \ left (x + \ dfrac (\ pi) (4) \ right) = \ cos x $.
   b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [-2 \ pi; - \ dfrac (\ pi) (2) \ destra] $. (USE-2018. Onda principale)
4. a) Risolvi l'equazione $ \ sqrt6 \ sin ^ 2 x + \ cos x = 2 \ sin \ left (x + \ dfrac (\ pi) (6) \ right) $.
   b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [3 \ pi; \ dfrac (9 \ pi) (2) \ destra] $. (USE-2018. Onda principale)
5. a) Risolvi l'equazione $ \ sin x + 2 \ sin \ left (2x + \ dfrac (\ pi) (6) \ right) = \ sqrt3 \ sin 2x + 1 $.
   b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [- \ dfrac (7 \ pi) (2); -2 \ pi \ destra] $. (USE-2018. Onda principale)
6. a) Risolvi l'equazione $ \ cos ^ 2 x + \ sin x = \ sqrt2 \ sin \ left (x + \ dfrac (\ pi) (4) \ right) $.
   b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [-4 \ pi; - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ destra] $. (USE-2018. Onda principale)
7. a) Risolvi l'equazione $ 2 \ sin \ left (2x + \ dfrac (\ pi) (3) \ right) - \ sqrt (3) \ sin x = \ sin 2x + \ sqrt3 $.
   
8. a) Risolvi l'equazione $ 2 \ sqrt3 \ sin \ left (x + \ dfrac (\ pi) (3) \ right) - \ cos 2x = 3 \ cos x - 1 $.
   b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [2 \ pi; \ dfrac (7 \ pi) (2) \ destra] $. (USE-2018. Onda principale)
9. a) Risolvi l'equazione $ 2 \ sin \ left (2x + \ dfrac (\ pi) (6) \ right) - \ cos x = \ sqrt3 \ sin 2x - 1 $.
   b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [\ dfrac (5 \ pi) (2); 4 \ pi \ destra] $. (USE-2018. Onda principale)
10. a) Risolvi l'equazione $ \ sqrt2 \ sin \ left (\ dfrac (\ pi) (4) + x \ right) + \ cos 2x = \ sin x - 1 $.
    b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [\ dfrac (7 \ pi) (2); 5 \ pi \ destra] $. (USE-2018. Onda principale)
11. a) Risolvi l'equazione $ \ sqrt2 \ sin \ left (2x + \ dfrac (\ pi) (4) \ right) + \ sqrt2 \ cos x = \ sin 2x - 1 $.
    b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [- \ dfrac (5 \ pi) (2); - \ pi \ destra] $. (USE-2018. Onda principale)
12. a) Risolvi l'equazione $ 2 \ sin \ left (x + \ dfrac (\ pi) (3) \ right) + \ cos 2x = \ sqrt3 \ cos x + 1 $.
    b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [-3 \ pi; - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ destra] $. (USE-2018. Onda principale)
13. 
    b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [\ pi; \ dfrac (5 \ pi) (2) \ destra] $. (USE-2018. Onda principale)
14. 
    
15. a) Risolvi l'equazione $ 2 \ sin \ left (x + \ dfrac (\ pi) (4) \ right) + \ cos 2x = \ sqrt2 \ cos x + 1 $.
    b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [\ pi; \ dfrac (5 \ pi) (2) \ destra] $. (USE-2018. Onda principale, giorno di riserva)
16. a) Risolvi l'equazione $ 2 \ cos x - \ sqrt3 \ sin ^ 2 x = 2 \ cos ^ 3 x $.
    b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [- \ dfrac (7 \ pi) (2); -2 \ pi \ destra] $. (USE-2018. Onda principale, giorno di riserva)
17. a) Risolvi l'equazione $ 2 \ cos x + \ sin ^ 2 x = 2 \ cos ^ 3 x $.
    b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [- \ dfrac (9 \ pi) (2); -3 \ pi \ destra] $. (USE-2018. Onda principale, giorno di riserva)
18. a) Risolvi l'equazione $ 2 \ sqrt2 \ sin \ left (x + \ dfrac (\ pi) (3) \ right) + 2 \ cos ^ 2 x = 2 + \ sqrt6 \ cos x $.
    b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [-3 \ pi; - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ destra] $. (USE-2018. Onda principale, giorno di riserva)
19. a) Risolvi l'equazione $ x - 3 \ sqrt (x - 1) + 1 = 0 $.
    b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [\ sqrt (3); \ sqrt (20) \ destra] $. (USE-2018. Onda principale, giorno di riserva)
20. a) Risolvi l'equazione $ 2x \ cos x - 8 \ cos x + x - 4 = 0 $.
    b) Indicare le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [- \ dfrac (\ pi) (2); \ \ pi \ right] $. (USE-2017, ondata principale, giorno di riserva)
21. a) Risolvi l'equazione $ \ log_3 (x ^ 2 - 2x) = 1 $.
    b) Indicare le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [\ log_2 0 (,) 2; \ \ log_2 5 \ right] $. (USE-2017, ondata principale, giorno di riserva)
22. a) Risolvi l'equazione $ \ log_3 (x ^ 2 - 24x) = 4 $.
    b) Indicare le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [\ log_2 0 (,) 1; \ 12 \ sqrt (5) \ right] $. (USE-2017, ondata principale, giorno di riserva)
23. a) Risolvi l'equazione $ 0 (,) 4 ^ (\ sin x) + 2 (,) 5 ^ (\ sin x) = 2 $.
    b) Indicare le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [2 \ pi; \ \ dfrac (7 \ pi) (2) \ right] $. (USE-2017, ondata principale)
24. a) Risolvi l'equazione $ \ log_8 \ left (7 \ sqrt (3) \ sin x - \ cos 2x - 10 \ right) = 0 $.
    b) Indicare le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [\ dfrac (3 \ pi) (2); \ 3 \ pi \ right] $. (USE-2017, ondata principale)
25. a) Risolvi l'equazione $ \ log_4 \ left (2 ^ (2x) - \ sqrt (3) \ cos x - 6 \ sin ^ 2 x \ right) = x $.
    b) Indicare le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [\ dfrac (5 \ pi) (2); \ 4 \ pi \ right] $. (USE-2017, ondata principale)
26. a) Risolvi l'equazione $ 2 \ log_2 ^ 2 \ left (\ sin x \ right) - 5 \ log_2 \ left (\ sin x \ right) - 3 = 0 $.
    b) Indicare le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [- 3 \ pi; \ - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ right] $. (USE-2017, ondata principale)
27. a) Risolvi l'equazione $ 81 ^ (\ cos x) - 12 \ cdot 9 ^ (\ cos x) + 27 = 0 $.
    b) Indicare le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [- 4 \ pi; \ - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ right] $. (USE-2017, ondata principale)
28. a) Risolvi l'equazione $ 8 ^ x - 9 \ cdot 2 ^ (x + 1) + 2 ^ (5 - x) = 0 $.
    b) Indicare le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [\ log_5 2; \ \ log_5 20 \ right] $. (USE-2017, prima ondata)
29. a) Risolvi l'equazione $ 2 \ log ^ 2_9 x - 3 \ log_9 x + 1 = 0 $.
    b) Indicare le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [\ sqrt (10); \ \ sqrt (99) \ right] $. (USE-2016, ondata principale, giorno di riserva)
30. a) Risolvi l'equazione $ 6 \ log ^ 2_8 x - 5 \ log_8 x + 1 = 0 $.
    b) Indicare le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [2; \ 2 (,) 5 \ right] $. (USE-2016, ondata principale, giorno di riserva)
31. a) Risolvi l'equazione $ \ sin 2x = 2 \ sin x + \ sin \ left (x + \ dfrac (3 \ pi) (2) \ right) + 1 $.
    b) Indicare le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [-4 \ pi; \ - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ right] $. (USE-2016, ondata principale, giorno di riserva)
32. a) Risolvi l'equazione $ 2 \ cos ^ 2 x + 1 = 2 \ sqrt (2) \ cos \ left (\ dfrac (3 \ pi) (2) - x \ right) $.
    b) Indicare le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [\ dfrac (3 \ pi) (2); \ 3 \ pi \ right] $. (USE-2016, ondata principale)
33. a) Risolvi l'equazione $ 2 \ log ^ 2_2 (2 \ cos x) - 9 \ log_2 (2 \ cos x) + 4 = 0 $.
    b) Indicare le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [-2 \ pi; \ - \ dfrac (\ pi) (2) \ right] $. (USE-2016, ondata principale)
34. a) Risolvi l'equazione $ 8 ^ x - 7 \ cdot 4 ^ x - 2 ^ (x + 4) + 112 = 0 $.
    b) Indicare le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [\ log_2 5; \ \ log_2 11 \ right] $. (USE-2016, prima ondata)
35. a) Risolvi l'equazione $ \ cos 2x + \ cos ^ 2 \ left (\ dfrac (3 \ pi) (2) - x \ right) = 0,25 $.
    b) Indicare le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [-4 \ pi; \ - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ right] $. (USE-2016, prima ondata)
36. a) Risolvi l'equazione $ \ dfrac (13 \ sin ^ 2 x - 5 \ sin x) (13 \ cos x + 12) = 0 $.
    b) Indicare le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [-3 \ pi; \ - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ right] $. (USE-2016, prima ondata)
37. a) Risolvere l'equazione $ \ dfrac (\ sin2x) (\ sin \ left (\ dfrac (7 \ pi) (2) - x \ right)) = \ sqrt (2) $.
    b) Indicare le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left $. (USE-2015, onda principale)
38. a) Risolvi l'equazione $ 4 \ sin ^ 2 x = \ mathrm (tg) x $.
    b) Indicare le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [- \ pi; \ 0 \ right] $. (USE-2015, onda principale)
39. a) Risolvi l'equazione $ 3 \ cos 2x - 5 \ sin x + 1 = 0 $.
    b) Indicare le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [\ pi; \ \ dfrac (5 \ pi) (2) \ right] $. (USE-2015, onda principale)
40. a) Risolvi l'equazione $ \ cos 2x - 5 \ sqrt (2) \ cos x - 5 = 0 $.
    b) Indicare le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [-3 \ pi; \ - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ right] $. (USE-2015, onda principale)
41. a) Risolvi l'equazione $ \ sin 2x + \ sqrt (2) \ sin x = 2 \ cos x + \ sqrt (2) $.
    b) Indicare le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [\ pi; \ \ dfrac (5 \ pi) (2) \ right] $. (USE-2015, prima ondata)
42. a) Risolvi l'equazione $ 2 \ cos ^ 3 x - \ cos ^ 2 x + 2 \ cos x - 1 = 0 $.
    b) Indicare le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [2 \ pi; \ \ dfrac (7 \ pi) (2) \ right] $. (USE-2015, prima ondata)
43. a) Risolvi l'equazione $ \ mathrm (tg) ^ 2 x + (1 + \ sqrt (3)) \ mathrm (tg) x + \ sqrt (3) = 0 $.
    b) Indicare le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [\ dfrac (5 \ pi) (2); \ 4 \ pi \ destra] $. (USE-2014, ondata principale)
44. a) Risolvi l'equazione $ 2 \ sqrt (3) \ cos ^ 2 \ left (\ dfrac (3 \ pi) (2) + x \ right) - \ sin 2x = 0 $.
    b) Indicare le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [\ dfrac (3 \ pi) (2); \ 3 \ pi \ destra] $. (USE-2014, ondata principale)
45. a) Risolvi l'equazione $ \ cos 2x + \ sqrt (2) \ sin \ left (\ dfrac (\ pi) (2) + x \ right) + 1 = 0 $.
    b) Indicare le radici di questa equazione che appartengono al segmento $\left [-3\pi; \ - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ destra] $. (USE-2014, ondata principale)
46. a) Risolvere l'equazione $ - \ sqrt (2) \ sin \ left (- \ dfrac (5 \ pi) (2) + x \ right) \ cdot \ sin x = \ cos x $.
    b) Indicare le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [\ dfrac (9 \ pi) (2); \ 6 \ pi \ destra] $. (USE-2014, prima ondata)
47. a) Risolvi l'equazione $ \ sin 2x = \ sin \ left (\ dfrac (\ pi) (2) + x \ right) $.
    b) Indicare le radici di questa equazione che appartengono al segmento $ \ left [- \ dfrac (7 \ pi) (2); \ - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ destra] $. (USE-2013, ondata principale)
48. a) Risolvi l'equazione $ 6 \ sin ^ 2 x + 5 \ sin \ left (\ dfrac (\ pi) (2) - x \ right) - 2 = 0 $.
    b) Indicare le radici di questa equazione che appartengono al segmento $\left [-5\pi; \ - \ dfrac (7 \ pi) (2) \ destra] $. (USE-2012, seconda ondata)