Queste proprietà vengono utilizzate per effettuare trasformazioni dell'integrale allo scopo di ridurlo a uno degli integrali elementari e ulteriore calcolo.

1. La derivata dell'integrale indefinito è uguale all'integrando:

2. Il differenziale dell'integrale indefinito è uguale all'integrando:

3. L'integrale indefinito del differenziale di una funzione è uguale alla somma di questa funzione e di una costante arbitraria:

4. Il fattore costante può essere sottratto al segno di integrale:

Inoltre, un 0

5. L'integrale della somma (differenza) è uguale alla somma (differenza) degli integrali:

6. La proprietà è una combinazione delle proprietà 4 e 5:

Inoltre, a 0 ˄ b ≠ 0

7. Proprietà di invarianza dell'integrale indefinito:

Se poi

8. Proprietà:

Se poi

In effetti, questa proprietà è un caso speciale di integrazione con il metodo del cambio variabile, discusso più dettagliatamente nella sezione successiva.

Consideriamo un esempio:

Prima abbiamo applicato la proprietà 5, poi la proprietà 4, quindi abbiamo usato la tabella delle antiderivate e abbiamo ottenuto il risultato.

L'algoritmo del nostro calcolatore integrale online supporta tutte le proprietà elencate sopra e può facilmente trovare una soluzione dettagliata per il tuo integrale.

Lascia che la funzione sì = F(X) è definito sul segmento [ un, B ], un < B... Eseguiamo le seguenti operazioni:

1) ci dividiamo [ un, B] punti un = X 0 < X 1 < ... < X io- 1 < X io < ... < X n = B Su n segmenti di linea parziali [ X 0 , X 1 ], [X 1 , X 2 ], ..., [X io- 1 , X io ], ..., [X n- 1 , X n ];

2) in ciascuno dei segmenti parziali [ X io- 1 , X io ], io = 1, 2, ... n, scegli un punto arbitrario e calcola il valore della funzione in questo punto: F(z io ) ;

3) trova le opere F(z io ) · Δ X io , dove è la lunghezza del segmento parziale [ X io- 1 , X io ], io = 1, 2, ... n;

4) comporre somma integrale funzioni sì = F(X) sul segmento [ un, B ]:

Da un punto di vista geometrico, questa somma σ è la somma delle aree dei rettangoli, le cui basi sono segmenti parziali [ X 0 , X 1 ], [X 1 , X 2 ], ..., [X io- 1 , X io ], ..., [X n- 1 , X n ], e le altezze sono F(z 1 ) , F(z 2 ), ..., F(z n) rispettivamente (fig. 1). Indichiamo con λ lunghezza del segmento parziale più grande:

5) trovare il limite della somma integrale quando λ → 0.

Definizione. Se esiste un limite finito della somma integrale (1) e non dipende dal metodo di partizione del segmento [ un, B] a segmenti parziali, né dalla selezione dei punti z io in essi, allora questo limite si chiama integrale definito dalla funzione sì = F(X) sul segmento [ un, B] ed è denotato

Così,

In questo caso, la funzione F(X) è chiamato integrabile Su [ un, B]. Numeri un e B sono chiamati, rispettivamente, i limiti inferiore e superiore di integrazione, F(X) è l'integrando, F(X ) dx- l'integrando, X- variabile di integrazione; sezione [ un, B] è chiamato intervallo di integrazione.

Teorema 1. Se la funzione sì = F(X) è continua sul segmento [ un, B], allora è integrabile su questo segmento.

Un integrale definito con gli stessi limiti di integrazione è uguale a zero:

Se un > B, quindi, per definizione, poniamo

2. Il significato geometrico di un integrale definito

Lascia che il segmento [ un, B] è data una funzione continua non negativa sì = F(X ) . Trapezio curvoè la figura delimitata dall'alto dal grafico della funzione sì = F(X), dal basso - per l'asse del bue, a sinistra e a destra - per linee rette x = a e x = b(fig. 2).

L'integrale definito di una funzione non negativa sì = F(X) da un punto di vista geometrico è uguale all'area di un trapezio curvilineo delimitata dall'alto dal grafico della funzione sì = F(X), a sinistra e a destra - per segmenti di linea x = a e x = b, sotto - da un segmento dell'asse del bue.

3. Proprietà fondamentali di un integrale definito

1. Il valore dell'integrale definito non dipende dalla designazione della variabile di integrazione:

2. Dal segno di un integrale definito si può estrarre un fattore costante:

3. Un integrale definito della somma algebrica di due funzioni è uguale alla somma algebrica degli integrali definiti di queste funzioni:

4.Se la funzione sì = F(X) è integrabile su [ un, B] e un < B < C, poi

5. (teorema del valore medio)... Se la funzione sì = F(X) è continua sul segmento [ un, B], allora su questo segmento c'è un punto tale che

4. Formula di Newton-Leibniz

Teorema 2. Se la funzione sì = F(X) è continua sul segmento [ un, B] e F(X) Se una qualsiasi delle sue derivate è su questo segmento, allora è valida la seguente formula:

che è chiamato dalla formula di Newton-Leibniz. Differenza F(B) - F(un) è consuetudine scrivere come segue:

dove il carattere è chiamato carattere jolly doppio.

Pertanto, la formula (2) può essere scritta come:

Esempio 1. Calcola l'integrale

Soluzione. Per l'integrando F(X ) = X 2 una primitiva arbitraria ha la forma

Poiché qualsiasi derivata può essere utilizzata nella formula di Newton-Leibniz, per calcolare l'integrale prendiamo l'antiderivata, che ha la forma più semplice:

5. Cambio di variabile in un integrale definito

Teorema 3. Lascia che la funzione sì = F(X) è continua sul segmento [ un, B]. Se:

1) funzione X = φ ( T) e la sua derivata φ "( T) sono continue a;

2) l'insieme dei valori della funzione X = φ ( T) poiché è il segmento [ un, B ];

3) ( un) = un, φ ( B) = B, quindi la formula

che è chiamato dalla formula del cambiamento variabile nell'integrale definito .

A differenza dell'integrale indefinito, in questo caso non necessario tornare alla variabile di integrazione originale - è sufficiente trovare nuovi limiti di integrazione α e β (per questo è necessario risolvere rispetto alla variabile T equazioni φ ( T) = un e ( T) = B).

Invece di sostituzione X = φ ( T) puoi usare la sostituzione T = G(X). In questo caso, trovando nuovi limiti di integrazione rispetto alla variabile T semplificato: α = G(un) , β = G(B) .

Esempio 2... Calcola l'integrale

Soluzione. Introduciamo una nuova variabile con la formula. Elevando al quadrato entrambi i lati dell'uguaglianza, otteniamo 1 + x = T 2 , dove x = T 2 - 1, dx = (T 2 - 1)"dt= 2tdt... Troviamo nuovi limiti di integrazione. Per fare ciò, sostituiamo i vecchi limiti nella formula x = 3 e x = 8. Otteniamo:, da dove T= 2 e α = 2; , dove T= 3 e = 3. Quindi,

Esempio 3. Calcolare

Soluzione. lascia stare tu= ln X, poi , v = X... Secondo la formula (4)

Funzione antiderivata e integrale indefinito

Fatto 1. L'integrazione è l'opposto della differenziazione, cioè il ripristino di una funzione da una derivata nota di questa funzione. La funzione così ripristinata F(X) è chiamato antiderivato per funzione F(X).

Definizione 1. Funzione F(X F(X) su un certo intervallo X se per tutti i valori X da questo intervallo, l'uguaglianza F "(X)=F(X), ovvero questa funzione F(X) è la derivata della funzione antiderivata F(X). .

Ad esempio, la funzione F(X) = peccato X è l'antiderivata della funzione F(X) = cos X sull'intera retta numerica, poiché per ogni valore di x (peccato X) "= (cos X) .

Definizione 2. L'integrale indefinito di una funzione F(X) è l'insieme di tutte le sue derivate... In questo caso, viene utilizzato il record

∫

F(X)dx

dov'è il segno? ∫ si chiama segno di integrale, la funzione F(X) è l'integrando, e F(X)dx - un integrando.

Quindi se F(X) È una sorta di antiderivata per F(X) , poi

∫

F(X)dx = F(X) +C

dove C - una costante arbitraria (costante).

Per comprendere il significato dell'insieme delle derivate di una funzione come integrale indefinito, è opportuna la seguente analogia. Lascia che ci sia una porta (porta di legno tradizionale). La sua funzione è quella di "essere la porta". Di cosa è fatta la porta? Fatto di legno. Ciò significa che l'insieme delle derivate dell'integrando "essere una porta", cioè il suo integrale indefinito, è la funzione "essere un albero + C", dove C è una costante, che in questo contesto può significare, per esempio, una specie arborea. Proprio come una porta è fatta di legno con alcuni strumenti, il derivato di una funzione è "fatto" da una funzione antiderivata usando la formula che abbiamo imparato studiando la derivata .

Quindi la tavola delle funzioni degli oggetti comuni e dei loro corrispondenti derivati ​​("essere una porta" - "essere un albero", "essere un cucchiaio" - "essere di metallo", ecc.) è simile alla tavola di base integrali indefiniti, che verranno indicati di seguito. La tabella degli integrali indefiniti elenca le funzioni comuni con l'indicazione delle derivate da cui queste funzioni sono "costituite". Nella parte dei problemi di trovare l'integrale indefinito, sono dati tali integrandi che, senza particolari considerazioni, possono essere integrati direttamente, cioè secondo la tabella degli integrali indefiniti. In problemi più complessi, l'integrando deve prima essere trasformato in modo da poter utilizzare integrali tabulari.

Fatto 2. Quando si ripristina una funzione come primitiva, dobbiamo prendere in considerazione una costante arbitraria (costante) C, e per non scrivere una lista di derivate con varie costanti da 1 a infinito, devi scrivere un insieme di derivate con una costante arbitraria C per esempio in questo modo: 5 X+ С. Quindi, una costante arbitraria (costante) è inclusa nell'espressione dell'antiderivata, poiché l'antiderivata può essere una funzione, ad esempio 5 X+ 4 o 5 X+ 3 e la differenziazione 4 o 3, o qualsiasi altra costante, svaniscono.

Poniamo il problema dell'integrazione: per questa funzione F(X) trova una funzione del genere F(X), il cui derivatoè uguale a F(X).

Esempio 1. Trova l'insieme delle derivate di una funzione

Soluzione. Per questa funzione, l'antiderivata è la funzione

Funzione F(X) è chiamata l'antiderivata per la funzione F(X) se la derivata F(X) è uguale a F(X), o, che è la stessa cosa, il differenziale F(X) è uguale a F(X) dx, cioè.

(2)

Pertanto, una funzione è un'antiderivata per una funzione. Tuttavia, non è l'unico antiderivato per. Servono anche come funzioni

dove INSIEME AÈ una costante arbitraria. Questo può essere verificato per differenziazione.

Quindi, se c'è un'antiderivata per una funzione, allora per essa c'è un numero infinito di antiderivate che differiscono per un termine costante. Tutte le derivate per una funzione sono scritte nella forma sopra. Ciò segue dal seguente teorema.

Teorema (affermazione formale di fatto 2). Se F(X) È l'antiderivata per la funzione F(X) su un certo intervallo NS, quindi qualsiasi altra antiderivata per F(X) sullo stesso intervallo può essere rappresentato come F(X) + C, dove INSIEME AÈ una costante arbitraria.

Nel prossimo esempio ci riferiamo già alla tabella degli integrali, che verrà data nel Paragrafo 3, dopo le proprietà dell'integrale indefinito. Lo facciamo prima di leggere l'intera tabella in modo che l'essenza di quanto sopra sia chiara. E dopo la tabella e le proprietà, le utilizzeremo nell'integrazione nella loro interezza.

Esempio 2. Trova insiemi di derivativi:

Soluzione. Troviamo un insieme di funzioni antiderivate da cui queste funzioni sono "costituite". Quando menzioni le formule della tabella degli integrali, per ora, accetta semplicemente che ci siano tali formule e studieremo un po' più avanti l'intera tabella degli integrali indefiniti.

1) Applicando la formula (7) dalla tabella degli integrali per n= 3, otteniamo

2) Utilizzando la formula (10) dalla tabella degli integrali per n= 1/3, abbiamo

3) Poiché

quindi per la formula (7) at n= -1/4 trova

L'integrale non è la funzione stessa F, e il suo prodotto per il differenziale dx... Questo viene fatto principalmente per indicare quale variabile viene ricercata per l'antiderivata. Per esempio,

, ;

qui in entrambi i casi l'integrando è uguale, ma i suoi integrali indefiniti nei casi considerati risultano differenti. Nel primo caso, questa funzione è considerata come una funzione della variabile X, e nel secondo - in funzione di z .

Il processo per trovare l'integrale indefinito di una funzione è chiamato integrazione di questa funzione.

Il significato geometrico dell'integrale indefinito

Sia richiesto di trovare una curva y = F (x) e sappiamo già che la tangente dell'angolo di inclinazione della tangente in ciascuno dei suoi punti è una funzione data f(x) ascissa di questo punto.

Secondo il significato geometrico della derivata, la tangente della pendenza della tangente in un dato punto della curva y = F (x)è uguale al valore della derivata F "(x)... Quindi, dobbiamo trovare una tale funzione F (x), per cui F "(x) = f (x)... Funzione richiesta nel compito F (x)è l'antiderivata di f(x)... La condizione del problema è soddisfatta non da una curva, ma da una famiglia di curve. y = F (x)è una di queste curve, e qualsiasi altra curva può essere ottenuta da essa per traslazione parallela lungo l'asse ahi.

Chiamiamo il grafico della funzione antiderivata di f(x) curva integrale. Se F "(x) = f (x), quindi il grafico della funzione y = F (x) esiste una curva integrale.

Fatto 3. L'integrale indefinito è geometricamente rappresentato dalla famiglia di tutte le curve integrali come nella foto qui sotto. La distanza di ciascuna curva dall'origine è determinata da una costante arbitraria (costante) di integrazione C.

Proprietà integrali indefinite

Fatto 4. Teorema 1. La derivata di un integrale indefinito è uguale all'integrando e il suo differenziale è uguale all'integrando.

Fatto 5. Teorema 2. Integrale indefinito del differenziale di una funzione F(X) è uguale alla funzione F(X) fino a un termine costante , cioè.

(3)

I teoremi 1 e 2 mostrano che differenziazione e integrazione sono operazioni reciproche.

Fatto 6. Teorema 3. Il fattore costante nell'integrando può essere preso dal segno integrale indefinito , cioè.

Il compito principale del calcolo differenziale sta trovando la derivata F '(X) o differenziale df =F '(X)dx funzioni F (X). Nel calcolo integrale si risolve il problema inverso. Per una data funzione F (X) è necessario trovare tale funzione F (X), che cosa F '(x) =F (X) o dF (x) =F '(X)dx =F (X)dx.

Così, il compito principale del calcolo integraleè il ripristino della funzione F (X) dalla derivata nota (differenziale) di questa funzione. Il calcolo integrale ha numerose applicazioni in geometria, meccanica, fisica e ingegneria. Fornisce un metodo generale per trovare aree, volumi, centri di gravità, ecc.

Definizione. FunzioneF (x), è detta l'antiderivata della funzioneF (x) sull'insieme X se è differenziabile per qualsiasi eF '(x) =F (x) odF (x) =F (X)dx.

Teorema. Qualsiasi continuo sul segmento [un;b] funzioneF (x) ha l'antiderivata su questo segmentoF (x).

Teorema. SeF1 (x) eF2 (x) - due diverse derivate della stessa funzioneF (x) sull'insieme x, quindi differiscono l'uno dall'altro per un termine costante, ad es.F2 (x) =FA 1x) +C, dove C è una costante.

Integrale indefinito, sue proprietà.

Definizione. L'aggregatoF (x) +C di tutte le derivate di una funzioneF (x) sull'insieme X si dice integrale indefinito e si denota con:

Nella formula (1) F (X)dx chiamato l'integrando,F (x) è l'integrando, x è la variabile di integrazione, un С - costante di integrazione.

Consideriamo le proprietà dell'integrale indefinito che segue dalla sua definizione.

1. La derivata dell'integrale indefinito è uguale all'integrando, il differenziale dell'integrale indefinito è uguale all'integrando:

2. L'integrale indefinito del differenziale di una funzione è uguale alla somma di questa funzione e di una costante arbitraria:

3. Il fattore costante a (a ≠ 0) può essere preso al di fuori del segno integrale indefinito:

4. L'integrale indefinito della somma algebrica di un numero finito di funzioni è uguale alla somma algebrica degli integrali di queste funzioni:

5. SeF (x) è l'antiderivata della funzioneF (x), quindi:

6 (invarianza delle formule di integrazione). Qualsiasi formula di integrazione mantiene la sua forma se la variabile di integrazione viene sostituita da una qualsiasi funzione differenziabile di questa variabile:

doveu è una funzione differenziabile.

Tavola degli integrali indefiniti.

diamo regole di base per l'integrazione delle funzioni.

diamo tabella degli integrali indefiniti di base.(Si noti che qui, come nel calcolo differenziale, la lettera tu può denotare come una variabile indipendente (u =X) e una funzione della variabile indipendente (u =tu (X)).)

Gli integrali 1 - 17 sono chiamati tabulare.

Alcune delle formule precedenti della tabella degli integrali che non hanno analogo nella tabella delle derivate vengono verificate differenziando i loro membri di destra.

Variabile e integrazione per parti nell'integrale indefinito.

Integrazione per sostituzione (sostituzione di variabile). Sia richiesto di calcolare l'integrale

Teorema. Lascia che la funzionex = (t) è definito e derivabile su qualche insieme T e sia X l'insieme dei valori di questa funzione, su cui la funzioneF (X). Quindi se sull'insieme X la funzioneF (