Il corso esamina: cinematica di un punto e di un corpo rigido (e da diversi punti di vista si propone di considerare il problema dell'orientamento di un corpo rigido), problemi classici della dinamica dei sistemi meccanici e della dinamica di un corpo rigido, elementi di meccanica celeste, moto di sistemi di composizione variabile, teoria dell'impatto, equazioni differenziali di dinamica analitica.

Il corso presenta tutte le sezioni tradizionali della meccanica teorica, ma particolare attenzione è rivolta alla considerazione di quelle più significative e preziose per la teoria e le applicazioni delle sezioni di dinamica e metodi della meccanica analitica; la statica viene studiata come una sezione di dinamica, e nella sezione di cinematica vengono introdotti in dettaglio i concetti e gli apparati matematici necessari per la sezione di dinamica.

Risorse informative

Gantmakher F.R. Lezioni di Meccanica Analitica. - 3a ed. - M.: Fizmatlit, 2001.
Zhuravlev V.F. Fondamenti di meccanica teorica. - 2a ed. - M.: Fizmatlit, 2001; 3a ed. - M.: Fizmatlit, 2008.
A.P. Markeev Meccanica teorica. - Mosca - Izhevsk: Centro di ricerca "Dinamica regolare e caotica", 2007.

Requisiti

Il corso è rivolto a studenti che possiedono l'apparato di geometria analitica e algebra lineare nell'ambito del primo anno di corso di un'università tecnica.

Programma del corso

1. Cinematica di un punto
1.1. Problemi cinematici. Sistema di coordinate cartesiano. Scomposizione di un vettore in una base ortonormale. Il raggio vettore e le coordinate del punto. Velocità e accelerazione del punto. Traiettoria di movimento.
1.2. Triedro naturale. Espansione di velocità e accelerazione negli assi di un triedro naturale (teorema di Huygens).
1.3. Coordinate curvilinee di un punto, esempi: sistemi di coordinate polari, cilindrici e sferici. Componenti di velocità e proiezioni di accelerazione sull'asse del sistema di coordinate curvilineo.

2. Metodi per impostare l'orientamento di un corpo rigido
2.1. Solido. Sistema di coordinate fisso associato al corpo.
2.2. Matrici di rotazione ortogonale e loro proprietà. Teorema dei giri finiti di Eulero.
2.3. Un punto di vista attivo e passivo sulla trasformazione ortogonale. Aggiunta di turni.
2.4. Angoli di rotazione finali: angoli di Eulero e angoli di aeroplano. Espressione di una matrice ortogonale in termini di angoli di rotazione finale.

3. Movimento spaziale di un corpo rigido
3.1. Moto traslazionale e rotazionale di un corpo rigido. Velocità angolare e accelerazione angolare.
3.2. Distribuzione delle velocità (formula di Eulero) e delle accelerazioni (formula di Rivali) punti di un corpo rigido.
3.3. Invarianti cinematici. Vite cinematica. Asse elicoidale istantaneo.

4. Movimento parallelo al piano
4.1. Il concetto di movimento del corpo piano parallelo. Velocità angolare e accelerazione angolare nel caso di moto piano parallelo. Centro di velocità istantaneo.

5. Moto complesso di un punto e di un corpo rigido
5.1. Sistemi di coordinate fissi e mobili. Movimento assoluto, relativo e figurativo di un punto.
5.2. Il teorema sulla somma delle velocità in un moto complesso di un punto, le velocità relative e portatili di un punto. Teorema di Coriolis sulla somma delle accelerazioni durante il moto complesso di un punto, accelerazioni relative, traslazionali e di Coriolis di un punto.
5.3. Velocità angolare assoluta, relativa e di traslazione e accelerazione angolare del corpo.

6. Moto di un corpo rigido con punto fisso (presentazione quaternionica)
6.1. Il concetto di numeri complessi e ipercomplessi. Algebra dei quaternioni. Prodotto quaternione. Quaternione coniugato e inverso, norma e modulo.
6.2. Rappresentazione trigonometrica dell'unità quaternione. Modo quaternionico di specificare la rotazione del corpo. Teorema dei giri finiti di Eulero.
6.3. La relazione tra i componenti del quaternione in basi diverse. Aggiunta di turni. Parametri di Rodrigues-Hamilton.

7. Prova d'esame

8. Concetti base di dinamica.
8.1 Impulso, momento angolare (momento angolare), energia cinetica.
8.2 Potenza delle forze, lavoro delle forze, energia potenziale ed totale.
8.3 Centro di massa (centro di massa) del sistema. Il momento d'inerzia del sistema attorno all'asse.
8.4 Momenti d'inerzia attorno ad assi paralleli; Teorema di Huygens-Steiner.
8.5 Tensore ed ellissoide d'inerzia. Principali assi di inerzia. Proprietà dei momenti d'inerzia assiali.
8.6 Calcolo del momento angolare e dell'energia cinetica di un corpo mediante il tensore d'inerzia.

9. Teoremi di base della dinamica nei sistemi di riferimento inerziali e non.
9.1 Il teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema nel sistema di riferimento inerziale. Il teorema sul moto del centro di massa.
9.2 Il teorema sulla variazione del momento angolare del sistema nel sistema di riferimento inerziale.
9.3 Il teorema sulla variazione dell'energia cinetica del sistema nel sistema di riferimento inerziale.
9.4 Forze potenziali, giroscopiche e dissipative.
9.5 Teoremi di base della dinamica in sistemi di riferimento non inerziali.

10. Il moto di un corpo rigido con punto fisso per inerzia.
10.1 Equazioni di Eulero dinamiche.
10.2 Caso di Eulero, primi integrali di equazioni dinamiche; rotazione permanente.
10.3 Interpretazioni di Poinsot e McCoolug.
10.4 Precessione regolare nel caso di simmetria dinamica del corpo.

11. Il movimento di un corpo rigido pesante con un punto fisso.
11.1 Formulazione generale del problema del moto di un corpo rigido pesante intorno.
Punto fisso. Equazioni dinamiche di Eulero e loro primi integrali.
11.2 Analisi qualitativa del moto di un corpo rigido nel caso di Lagrange.
11.3 Precessione regolare forzata di un corpo rigido dinamicamente simmetrico.
11.4 La formula base della giroscopia.
11.5 Il concetto della teoria elementare dei giroscopi.

12. Dinamica di un punto nel campo centrale.
12.1 Equazione di Binet.
12.2 Equazione dell'orbita. Le leggi di Keplero.
12.3 Il problema della dispersione.
12.4 Problema a due corpi. Equazioni del moto. Integrale di aree, integrale di energia, integrale di Laplace.

13. Dinamica dei sistemi a composizione variabile.
13.1 Concetti di base e teoremi sul cambiamento di quantità dinamiche di base in sistemi a composizione variabile.
13.2 Movimento di un punto materiale di massa variabile.
13.3 Equazioni del moto di un corpo di composizione variabile.

14. La teoria dei movimenti impulsivi.
14.1 Concetti di base e assiomi della teoria dei movimenti impulsivi.
14.2 Teoremi sulla variazione delle grandezze dinamiche fondamentali durante il movimento impulsivo.
14.3 Movimento impulsivo di un corpo rigido.
14.4 Collisione di due corpi rigidi.
14.5 I teoremi di Karnot.

15. Lavoro di prova

Risultati di apprendimento

A seguito della padronanza della disciplina, lo studente deve:

• Conoscere:
  • i concetti ei teoremi di base della meccanica ei metodi che ne derivano per lo studio del moto dei sistemi meccanici;
• Essere in grado di:
  • formulare correttamente problemi in termini di meccanica teorica;
  • sviluppare modelli meccanici e matematici che riflettano adeguatamente le proprietà di base dei fenomeni in esame;
  • applicare le conoscenze acquisite per risolvere problemi specifici rilevanti;
• Proprio:
  • capacità di risolvere problemi classici di meccanica teorica e matematica;
  • capacità nello studio di problemi di meccanica e nella costruzione di modelli meccanici e matematici che descrivano adeguatamente una varietà di fenomeni meccanici;
  • le abilità dell'uso pratico dei metodi e dei principi della meccanica teorica nella risoluzione dei problemi: calcolo della forza, determinazione delle caratteristiche cinematiche dei corpi con vari metodi di messa in moto, determinazione della legge del moto dei corpi materiali e dei sistemi meccanici sotto l'azione di forze;
  • le capacità di padroneggiare autonomamente nuove informazioni nel processo di attività industriali e scientifiche, utilizzando moderne tecnologie educative e informatiche;

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• Levi-Civita T., Amaldi W. Corso di Meccanica Teorica. Volume 1, parte 2: Cinematica, principi di meccanica, statica. M.: Da-in. letteratura, 1952 (djvu)
• Levi-Civita T., Amaldi W. Corso di Meccanica Teorica. Volume 2, parte 1: Dinamica dei sistemi con un numero finito di gradi di libertà. M.: Da-in. letteratura, 1951 (djvu)
• Levi-Civita T., Amaldi W. Corso di Meccanica Teorica. Volume 2, parte 2: Dinamica dei sistemi con un numero finito di gradi di libertà. M.: Da-in. letteratura, 1951 (djvu)
• Leach J.W. Meccanica classica. M.: Inostr. letteratura, 1961 (djvu)
• Lunts Ya.L. Introduzione alla teoria dei giroscopi. Mosca: Nauka, 1972 (djvu)
• Lurie AI Meccanica analitica. M.: GIFML, 1961 (djvu)
• Lyapunov A.M. Problema generale di stabilità del moto. M.-L.: GITTL, 1950 (djvu)
• A.P. Markeev Dinamica di un corpo a contatto con una superficie solida. Mosca: Nauka, 1992 (djvu)
• A.P. Markeev Meccanica teorica, 2a edizione. Izhevsk: RHD, 1999 (djvu)
• Martynyuk A.A. Stabilità di movimento di sistemi complessi. Kiev: Nauk. dumka, 1975 (djvu)
• Merkin D.R. Introduzione alla meccanica del filo flessibile. Mosca: Nauka, 1980 (djvu)
• Meccanica in URSS da 50 anni. Volume 1. Meccanica generale e applicata. Mosca: Nauka, 1968 (djvu)
• I. I. Metelitsyn Teoria del giroscopio. Teoria della stabilità. Opere selezionate. Mosca: Nauka, 1977 (djvu)
• I.V. Meshchersky Raccolta di problemi di meccanica teorica (34a edizione). Mosca: Nauka, 1975 (djvu)
• Misurev M.A. Metodologia per la risoluzione di problemi di meccanica teorica. M.: Liceo, 1963 (djvu)
• Moiseev N.N. Metodi asintotici della meccanica non lineare. Mosca: Nauka, 1969 (djvu)
• Yu.I. Neimark, N.A. Fufaev Dinamica dei sistemi anolonomi. Mosca: Nauka, 1967 (djvu)
• A.I. Nekrasov Corso di meccanica teorica. Volume 1. Statica e cinematica (6a ed.) M.: GITTL, 1956 (djvu)
• A.I. Nekrasov Corso di meccanica teorica. Volume 2. Dinamiche (2a ed.) M.: GITTL, 1953 (djvu)
• Nikolai E.L. Giroscopio e alcune delle sue applicazioni tecniche nel pubblico dominio. M.-L.: GITTL, 1947 (djvu)
• Nikolai E.L. La teoria dei giroscopi. L.-M.: GITTL, 1948 (djvu)
• Nikolai E.L. Meccanica teorica. Parte I. Statica. Cinematica (20a edizione). M.: GIFML, 1962 (djvu)
• Nikolai E.L. Meccanica teorica. Seconda parte. Dinamica (tredicesima edizione). M.: GIFML, 1958 (djvu)
• Novoselov V.S. Metodi variazionali in meccanica. L.: Casa editrice dell'Università statale di Leningrado, 1966 (djvu)
• Olkhovsky I.I. Un corso di meccanica teorica per fisici. M.: MGU, 1978 (djvu)
• Olkhovsky I.I., Pavlenko Yu.G., Kuzmenkov L.S. Compiti di meccanica teorica per fisici. Mosca: Università statale di Mosca, 1977 (djvu)
• Pars L.A. Dinamiche analitiche. Mosca: Nauka, 1971 (djvu)
• Perelman Ya.I. Meccanica divertente (4a edizione). M.-L.: ONTI, 1937 (djvu)
• Planck M. Introduzione alla fisica teorica. Prima parte. Meccanica Generale (2a Edizione). M.-L.: GTTI, 1932 (djvu)
• Polak L.S. (a cura di) Principi variazionali della meccanica. Raccolta di articoli dei classici della scienza. Mosca: Fizmatgiz, 1959 (djvu)
• Poincaré A. Lezioni sulla meccanica celeste. Mosca: Nauka, 1965 (djvu)
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• Roze N.V. (a cura di) Meccanica teorica. Parte 1. Meccanica di un punto materiale. L.-M.: GTTI, 1932 (djvu)
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• Rosenblat G.M. Attrito a secco in problemi e soluzioni. M.-Izhevsk: RKhD, 2009 (pdf)
• Rubanovsky V.N., Samsonov V.A. Stabilità dei movimenti stazionari in esempi e problemi. M.-Izhevsk: RKhD, 2003 (pdf)
• Samsonov V.A. Appunti delle lezioni di meccanica. M.: MGU, 2015 (pdf)
• Zucchero N.F. Corso di meccanica teorica. M.: Superiore. scuola, 1964 (djvu)
• Raccolta di articoli scientifici e metodologici sulla meccanica teorica. Problema 1. M .: Superiore. scuola, 1968 (djvu)
• Raccolta di articoli scientifici e metodologici sulla meccanica teorica. Numero 2. M .: Superiore. scuola, 1971 (djvu)
• Raccolta di articoli scientifici e metodologici sulla meccanica teorica. Problema 3. M .: Superiore. scuola, 1972 (djvu)
• Raccolta di articoli scientifici e metodologici sulla meccanica teorica. Numero 4. M.: Superiore. scuola, 1974 (djvu)
• Raccolta di articoli scientifici e metodologici sulla meccanica teorica. Numero 5. M.: Superiore. scuola, 1975 (djvu)
• Raccolta di articoli scientifici e metodologici sulla meccanica teorica. Numero 6. M .: Superiore. scuola, 1976 (djvu)
• Raccolta di articoli scientifici e metodologici sulla meccanica teorica. Numero 7. M.: Superiore. scuola, 1976 (djvu)
• Raccolta di articoli scientifici e metodologici sulla meccanica teorica. Numero 8. M.: Superiore. scuola, 1977 (djvu)
• Raccolta di articoli scientifici e metodologici sulla meccanica teorica. Numero 9. M .: Superiore. scuola, 1979 (djvu)
• Raccolta di articoli scientifici e metodologici sulla meccanica teorica. Numero 10. M .: Superiore. scuola, 1980 (djvu)
• Raccolta di articoli scientifici e metodologici sulla meccanica teorica. Numero 11. M.: Superiore. scuola, 1981 (djvu)
• Raccolta di articoli scientifici e metodologici sulla meccanica teorica. Numero 12. M .: Superiore. scuola, 1982 (djvu)
• Raccolta di articoli scientifici e metodologici sulla meccanica teorica. Numero 13. M.: Superiore. scuola, 1983 (djvu)
• Raccolta di articoli scientifici e metodologici sulla meccanica teorica. Numero 14. M .: Superiore. scuola, 1983 (djvu)
• Raccolta di articoli scientifici e metodologici sulla meccanica teorica. Numero 15. M .: Superiore. scuola, 1984 (djvu)
• Raccolta di articoli scientifici e metodologici sulla meccanica teorica. Numero 16. M .: Superiore. scuola, 1986

Meccanica teorica- questa è una sezione di meccanica, che enuncia le leggi fondamentali del moto meccanico e dell'interazione meccanica dei corpi materiali.

La meccanica teorica è la scienza in cui vengono studiati i movimenti dei corpi nel tempo (movimenti meccanici). Serve come base per altri rami della meccanica (teoria dell'elasticità, resistenza dei materiali, teoria della plasticità, teoria dei meccanismi e delle macchine, idro-aerodinamica) e molte discipline tecniche.

Movimento meccanico- questo è un cambiamento nel tempo nella posizione relativa nello spazio dei corpi materiali.

Interazione meccanica- questa è una tale interazione a seguito della quale cambia il movimento meccanico o cambia la posizione relativa delle parti del corpo.

Statica del corpo rigido

Statica- questa è una sezione di meccanica teorica, che si occupa dei problemi dell'equilibrio dei corpi rigidi e della trasformazione di un sistema di forze in un altro, ad esso equivalente.

Concetti di base e leggi della statica
• Assolutamente solido(solido, corpo) è un corpo materiale, la distanza tra i punti in cui non cambia.
• Punto materialeÈ un corpo le cui dimensioni, a seconda delle condizioni del problema, possono essere trascurate.
• corpo liberoÈ un corpo il cui movimento non è soggetto ad alcuna restrizione.
• Corpo non libero (vincolato)È un corpo con restrizioni imposte al suo movimento.
• Connessioni- si tratta di corpi che impediscono il movimento dell'oggetto in esame (corpo o sistema di corpi).
• Reazione di comunicazioneÈ una forza che caratterizza l'effetto di un legame su un corpo rigido. Se consideriamo come un'azione la forza con cui un corpo rigido agisce su un legame, allora la reazione di legame è una reazione. In questo caso, la forza - l'azione viene applicata al legame e la reazione di legame viene applicata al solido.
• Sistema meccanicoÈ un insieme di corpi o punti materiali interconnessi.
• Solido può essere considerato come un sistema meccanico, la cui posizione e distanza tra i punti non cambiano.
• ForzaÈ una grandezza vettoriale che caratterizza l'azione meccanica di un corpo materiale su un altro.
  La forza come vettore è caratterizzata dal punto di applicazione, dalla direzione di azione e dal valore assoluto. L'unità di misura del modulo di forza è Newton.
• Linea di azione della forzaÈ una linea retta lungo la quale è diretto il vettore di forza.
• Potenza concentrata- forza applicata in un punto.
• Forze distribuite (carico distribuito)- sono le forze agenti su tutti i punti del volume, della superficie o della lunghezza del corpo.
  Il carico distribuito è determinato dalla forza che agisce su un'unità di volume (superficie, lunghezza).
  La dimensione del carico distribuito è N/m 3 (N/m 2, N/m).
• Forza esternaÈ una forza che agisce da un corpo che non appartiene al sistema meccanico considerato.
• Forza interioreÈ una forza che agisce su un punto materiale di un sistema meccanico da un altro punto materiale appartenente al sistema in esame.
• Sistema di forzaÈ un insieme di forze che agiscono su un sistema meccanico.
• Sistema di forze piattoÈ un sistema di forze, le cui linee d'azione giacciono sullo stesso piano.
• Sistema spaziale di forzeÈ un sistema di forze le cui linee d'azione non giacciono sullo stesso piano.
• Sistema di forze convergentiÈ un sistema di forze le cui linee di azione si intersecano in un punto.
• Sistema arbitrario di forzeÈ un sistema di forze, le cui linee d'azione non si intersecano in un punto.
• Sistemi di forze equivalenti- si tratta di sistemi di forze, la cui sostituzione l'una con l'altra non modifica lo stato meccanico del corpo.
  Designazione accettata:.
• Equilibrio- questo è uno stato in cui il corpo sotto l'azione delle forze rimane fermo o si muove uniformemente in linea retta.
• Sistema di forze equilibratoÈ un sistema di forze che, applicato ad un solido libero, non ne modifica lo stato meccanico (non si sbilancia).
  .
• Forza risultanteÈ una forza la cui azione sul corpo è equivalente all'azione del sistema di forze.
  .
• Momento di potereÈ un valore che caratterizza la capacità di rotazione di una forza.
• Un paio di forzeÈ un sistema di due forze parallele, di uguale grandezza, dirette in modo opposto.
  Designazione accettata:.
  Sotto l'azione di una coppia di forze, il corpo ruoterà.
• Proiezione della forza dell'asseÈ un segmento racchiuso tra le perpendicolari tracciate dall'inizio e dalla fine del vettore di forza a questo asse.
  La proiezione è positiva se la direzione del segmento di linea coincide con la direzione positiva dell'asse.
• Proiezione della forza sul pianoÈ un vettore su un piano, racchiuso tra le perpendicolari tracciate dall'inizio e dalla fine del vettore di forza a questo piano.
• Legge 1 (legge di inerzia). Un punto materiale isolato è fermo o si muove in modo uniforme e rettilineo.
  Il moto uniforme e rettilineo di un punto materiale è moto per inerzia. Lo stato di equilibrio tra un punto materiale e un corpo rigido è inteso non solo come stato di quiete, ma anche come moto per inerzia. Per un corpo rigido esistono vari tipi di moto inerziale, ad esempio rotazione uniforme di un corpo rigido attorno ad un asse fisso.
• Legge 2. Un corpo solido è in equilibrio sotto l'azione di due forze solo se queste forze sono di uguale grandezza e dirette in direzioni opposte lungo la comune linea di azione.
  Queste due forze sono chiamate forze di bilanciamento.
  In generale, le forze sono chiamate bilanciamento se il corpo rigido a cui vengono applicate queste forze è in quiete.
• Legge 3. Senza disturbare lo stato (la parola "stato" qui significa uno stato di movimento o di riposo) di un corpo rigido, si possono aggiungere e diminuire forze di contrappeso.
  Conseguenza. Senza violare lo stato di un corpo rigido, la forza può essere trasferita lungo la sua linea di azione in qualsiasi punto del corpo.
  Due sistemi di forze si dicono equivalenti se uno di essi può essere sostituito da un altro senza violare lo stato di un corpo rigido.
• Legge 4. La risultante di due forze applicate in un punto, applicate nello stesso punto, è uguale in grandezza alla diagonale del parallelogramma costruito su queste forze, ed è diretta lungo questo
  diagonali.
  Il modulo della risultante è pari a:
  
• Legge 5 (la legge dell'uguaglianza di azione e reazione)... Le forze con cui due corpi agiscono l'uno sull'altro sono uguali in grandezza e dirette in direzioni opposte lungo una linea retta.
  Va tenuto presente che azione- forza applicata al corpo B, e contrattacco- forza applicata al corpo UN non sono equilibrati, poiché sono attaccati a corpi diversi.
• Legge 6 (legge di indurimento)... L'equilibrio di un corpo non solido non viene disturbato quando si solidifica.
  Non va dimenticato che le condizioni di equilibrio, necessarie e sufficienti per un solido, sono necessarie, ma non sufficienti per il corrispondente non solido.
• Legge 7 (la legge di liberazione dai vincoli). Un corpo rigido non libero può essere considerato libero se è mentalmente liberato dai legami, sostituendo l'azione dei legami con le corrispondenti reazioni dei legami.

Connessioni e loro reazioni
• Superficie liscia vincola il movimento lungo la normale alla superficie di appoggio. La reazione è diretta perpendicolarmente alla superficie.
• Supporto mobile articolato vincola il movimento del corpo lungo la normale al piano di riferimento. La reazione è diretta lungo la normale alla superficie di supporto.
• Supporto fisso articolato contrasta qualsiasi movimento in un piano perpendicolare all'asse di rotazione.
• Asta articolata senza peso contrasta il movimento del corpo lungo la linea della barra. La reazione sarà diretta lungo la linea della barra.
• Terminazione cieca contrasta qualsiasi movimento e rotazione nel piano. La sua azione può essere sostituita da una forza rappresentata sotto forma di due componenti e una coppia di forze con un momento.

Cinematica

Cinematica- una sezione di meccanica teorica, che esamina le proprietà geometriche generali del moto meccanico, come processo che avviene nello spazio e nel tempo. Gli oggetti in movimento sono considerati punti geometrici o corpi geometrici.

Concetti base di cinematica
• La legge del moto di un punto (corpo)È la dipendenza della posizione di un punto (corpo) nello spazio dal tempo.
• Traiettoria del puntoÈ la posizione geometrica di un punto nello spazio durante il suo movimento.
• Punto (corpo) velocità- Questa è una caratteristica del cambiamento nel tempo della posizione di un punto (corpo) nello spazio.
• Punto (corpo) accelerazione- Questa è una caratteristica della variazione nel tempo della velocità di un punto (corpo).

Determinazione delle caratteristiche cinematiche di un punto
• Traiettoria del punto
  Nel sistema di riferimento vettoriale, la traiettoria è descritta dall'espressione:.
  Nel sistema di coordinate di riferimento, la traiettoria è determinata secondo la legge del moto di un punto ed è descritta dalle espressioni z = f (x, y)- nello spazio, o y = f (x)- sull'aereo.
  Nel quadro di riferimento naturale, la traiettoria è impostata in anticipo.
• Determinazione della velocità di un punto in un sistema di coordinate vettoriale
  Quando si specifica il movimento di un punto in un sistema di coordinate vettoriali, il rapporto tra il movimento e l'intervallo di tempo è chiamato valore medio della velocità in questo intervallo di tempo:.
  Prendendo l'intervallo di tempo come un valore infinitamente piccolo, il valore della velocità si ottiene in un dato momento (valore della velocità istantanea): .
  Il vettore della velocità media è diretto lungo il vettore nella direzione del movimento del punto, il vettore della velocità istantanea è diretto tangenzialmente alla traiettoria nella direzione del movimento del punto.
  Produzione: la velocità di un punto è una grandezza vettoriale uguale alla derivata della legge del moto rispetto al tempo.
  Proprietà derivata: la derivata di qualsiasi grandezza rispetto al tempo determina il tasso di variazione di tale grandezza.
• Determinazione della velocità di un punto in un sistema di coordinate
  Le coordinate dei punti cambiano i tassi:
  .
  Il modulo della velocità massima di un punto con un sistema di coordinate rettangolare sarà pari a:
  .
  La direzione del vettore velocità è determinata dai coseni degli angoli di direzione:
  ,
  dove sono gli angoli tra il vettore velocità e gli assi coordinati.
• Determinazione della velocità di un punto nel sistema di riferimento naturale
  La velocità di un punto nel sistema di riferimento naturale è determinata come una derivata della legge di moto di un punto:.
  Secondo le conclusioni precedenti, il vettore velocità è diretto tangenzialmente alla traiettoria nella direzione di movimento del punto e negli assi è determinato da una sola proiezione.

Cinematica del corpo rigido
• Nella cinematica dei solidi vengono risolti due compiti principali:
  1) il compito del movimento e la determinazione delle caratteristiche cinematiche del corpo nel suo insieme;
  2) determinazione delle caratteristiche cinematiche dei punti del corpo.
• Il moto traslatorio di un corpo rigido
  Il movimento di traslazione è un movimento in cui una linea retta tracciata attraverso due punti del corpo rimane parallela alla sua posizione originale.
  Teorema: durante il moto traslatorio, tutti i punti del corpo si muovono lungo le stesse traiettorie e in ogni momento hanno la stessa velocità e accelerazione in grandezza e direzione.
  Produzione: il movimento traslatorio di un corpo rigido è determinato dal movimento di uno qualsiasi dei suoi punti, e quindi il compito e lo studio del suo movimento è ridotto alla cinematica del punto.
• Movimento rotatorio di un corpo rigido attorno ad un asse fisso
  Il movimento rotatorio di un corpo rigido attorno ad un asse fisso è il movimento di un corpo rigido in cui due punti appartenenti al corpo rimangono immobili durante tutto il tempo del movimento.
  La posizione del corpo è determinata dall'angolo di rotazione. L'unità dell'angolo sono i radianti. (Radiante è l'angolo al centro di un cerchio la cui lunghezza dell'arco è uguale al raggio, l'angolo totale del cerchio contiene 2π radianti.)
  La legge del moto rotatorio di un corpo attorno ad un asse fisso.
  La velocità angolare e l'accelerazione angolare del corpo sono determinate dal metodo di differenziazione:
  - velocità angolare, rad/s;
  - accelerazione angolare, rad/s².
  Se tagli il corpo con un piano perpendicolare all'asse, seleziona il punto sull'asse di rotazione INSIEME A e un punto arbitrario m poi punto m descriverà intorno al punto INSIEME A raggio del cerchio R... Durante dt avviene una rotazione elementare di un angolo, mentre il punto m si sposterà lungo la traiettoria a distanza .
  Modulo velocità lineare:
  .
  Accelerazione del punto m con una traiettoria nota, è determinata dai suoi componenti:
  ,
  dove .
  Di conseguenza, otteniamo le formule
  accelerazione tangenziale: ;
  accelerazione normale: .

Dinamica

Dinamica- Questa è una sezione di meccanica teorica in cui vengono studiati i movimenti meccanici dei corpi materiali, a seconda delle ragioni che li provocano.

Concetti base di dinamica
• Inerzia- questa è la proprietà dei corpi materiali di mantenere uno stato di quiete o moto rettilineo uniforme finché forze esterne non cambiano questo stato.
• Il pesoÈ una misura quantitativa dell'inerzia del corpo. L'unità di misura della massa è il chilogrammo (kg).
• Punto materialeÈ un corpo con una massa, le cui dimensioni vengono trascurate quando si risolve questo problema.
• Centro di gravità del sistema meccanico- punto geometrico, le cui coordinate sono determinate dalle formule:
  
  dove m k, x k, y k, z k- massa e coordinate K-esimo punto del sistema meccanico, mÈ la massa del sistema.
  In un campo gravitazionale omogeneo, la posizione del baricentro coincide con la posizione del baricentro.
• Momento d'inerzia di un corpo materiale attorno all'asseÈ una misura quantitativa dell'inerzia durante il movimento rotatorio.
  Il momento d'inerzia di un punto materiale attorno all'asse è uguale al prodotto della massa del punto per il quadrato della distanza del punto dall'asse:
  .
  Il momento d'inerzia del sistema (corpo) attorno all'asse è uguale alla somma aritmetica dei momenti d'inerzia di tutti i punti:
  
• La forza d'inerzia di un punto materialeÈ una quantità vettoriale uguale in grandezza al prodotto della massa puntiforme per il modulo di accelerazione e diretta opposta al vettore di accelerazione:
• La forza d'inerzia di un corpo materialeÈ una grandezza vettoriale uguale in modulo al prodotto della massa corporea per il modulo di accelerazione del centro di massa del corpo e diretta opposta al vettore di accelerazione del centro di massa:,
  dove è l'accelerazione del centro di massa del corpo.
• Impulso di forza elementare Una quantità vettoriale è uguale al prodotto del vettore forza per un intervallo di tempo infinitamente piccolo? dt:
  .
  L'impulso totale della forza per Δt è uguale all'integrale degli impulsi elementari:
  .
• Lavoro elementare di forzaè uno scalare? dA uguale al proi scalare

Cinematica

Cinematica del punto materiale

Determinazione della velocità e dell'accelerazione di un punto secondo le equazioni date del suo moto

Dato: Equazioni del moto di un punto: x = 12 peccato (πt / 6), cm; y = 6 cos 2 (πt / 6), cm.

Imposta il tipo della sua traiettoria e per l'istante di tempo t = 1 secondo trovare la posizione di un punto sulla traiettoria, la sua velocità, le accelerazioni totali, tangenziali e normali, nonché il raggio di curvatura della traiettoria.

Moto traslazionale e rotatorio di un corpo rigido

Dato:
t = 2 s; r1 = 2 cm, R1 = 4 cm; r2 = 6 cm, R2 = 8 cm; r 3 = 12 cm, R 3 = 16 cm; s 5 = t 3 - 6 t (cm).

Determinare al tempo t = 2 le velocità dei punti A, C; accelerazione angolare della ruota 3; punto B accelerazione e accelerazione personale 4.

Analisi cinematica di un meccanismo piano

Dato:
R 1, R 2, L, AB, 1.
Trova: ω 2.

Il meccanismo piatto è composto dalle aste 1, 2, 3, 4 e dalla slitta E. Le aste sono collegate tramite cerniere cilindriche. Il punto D si trova al centro della barra AB.
Dato: ω 1, ε 1.
Trova: velocità V A, V B, V D e V E; velocità angolari ω 2, ω 3 e ω 4; accelerazione a B; accelerazione angolare ε AB collegamento AB; posizioni dei centri istantanei delle velocità P 2 e P 3 delle maglie 2 e 3 del meccanismo.

Determinazione della velocità assoluta e dell'accelerazione assoluta di un punto

La piastra rettangolare ruota attorno ad un asse fisso secondo la legge φ = 6 t 2 - 3 t 3... La direzione positiva dell'angolo è mostrata nelle figure con una freccia ad arco. Asse di rotazione OO 1 giace nel piano del piatto (il piatto ruota nello spazio).

Il punto M si sposta lungo la linea BD sul piatto. La legge del suo moto relativo è data, cioè la dipendenza s = AM = 40 (t - 2 t 3) - 40(s - in centimetri, t - in secondi). Distanza b = 20 cm... Nella figura, il punto M è mostrato in una posizione in cui s = AM > 0 (per s< 0 il punto M è dall'altra parte del punto A).

Trova la velocità assoluta e l'accelerazione assoluta del punto M al tempo t 1 = 1 s.

Dinamica

Integrazione di equazioni differenziali del moto di un punto materiale sotto l'azione di forze variabili

Un carico D di massa m, avendo ricevuto una velocità iniziale V 0 nel punto A, si muove in un tubo curvo ABC situato in un piano verticale. Sulla sezione AB, la cui lunghezza è l, agiscono sul carico una forza costante T (la sua direzione è mostrata in figura) e la forza R della resistenza media (il modulo di questa forza R = μV 2, il vettore R è diretto opposto alla velocità V del carico).

Il carico, terminato il suo movimento sul tratto AB, nel punto B del tubo, senza variare il valore del modulo della sua velocità, si dirige al tratto BC. Nella sezione BC agisce sul carico una forza variabile F di cui è data la proiezione F x sull'asse x.

Considerando il carico come un punto materiale, trova la legge del suo movimento sulla sezione BC, ad es. x = f (t), dove x = BD. Trascurare l'attrito del carico sul tubo.

Scarica la soluzione del problema

Il teorema sulla variazione dell'energia cinetica di un sistema meccanico

Il sistema meccanico è costituito da pesi 1 e 2, un rullo cilindrico 3, pulegge bistadio 4 e 5. I corpi del sistema sono collegati da fili avvolti sulle pulegge; le sezioni di filettatura sono parallele ai piani corrispondenti. Il rullo (cilindro solido omogeneo) rotola sul piano di riferimento senza strisciare. I raggi dei passi delle pulegge 4 e 5 sono rispettivamente R 4 = 0,3 m, r 4 = 0,1 m, R 5 = 0,2 m, r 5 = 0,1 m La massa di ciascuna puleggia si considera uniformemente distribuita lungo la sua bordo esterno... I piani di appoggio dei pesi 1 e 2 sono ruvidi, il coefficiente di attrito radente per ogni carico è f = 0,1.

Sotto l'azione della forza F, il cui modulo cambia secondo la legge F = F (s), dove s è lo spostamento del punto della sua applicazione, il sistema inizia a muoversi da uno stato di quiete. Quando il sistema si muove, sulla puleggia 5 agiscono forze di resistenza, il cui momento rispetto all'asse di rotazione è costante e uguale a M 5.

Determinare il valore della velocità angolare della puleggia 4 nell'istante in cui lo spostamento s del punto di applicazione della forza F diventa uguale a s 1 = 1.2 m.

Scarica la soluzione del problema

Applicazione dell'equazione generale della dinamica allo studio del moto di un sistema meccanico

Per il sistema meccanico, determinare l'accelerazione lineare a 1. Supponiamo che le masse dei blocchi e dei rulli siano distribuite lungo il raggio esterno. Corde e cinture sono considerate senza peso e inestensibili; non c'è slittamento. Trascurare il rotolamento e l'attrito radente.

Scarica la soluzione del problema

Applicazione del principio di d'Alembert alla determinazione delle reazioni dei supporti di un corpo rotante

L'albero verticale AK, rotante uniformemente con velocità angolare ω = 10 s -1, è fissato da un cuscinetto reggispinta nel punto A e da un cuscinetto cilindrico nel punto D.

Un'asta 1 senza peso con una lunghezza di l 1 = 0,3 m è fissata rigidamente all'albero, alla cui estremità libera c'è un carico con una massa di m 1 = 4 kg, e un'asta omogenea 2 con una lunghezza di l 2 = 0,6 m, avente una massa di m 2 = 8 kg. Entrambe le aste giacciono sullo stesso piano verticale. Nella tabella sono indicati i punti di attacco delle aste all'albero, nonché gli angoli α e β. Dimensioni AB = BD = DE = EK = b, dove b = 0,4 M. Prendi il carico come punto materiale.

Trascurando la massa dell'albero, determinare la reazione del cuscinetto reggispinta e del cuscinetto.

Cinematica dei punti.

1. Il tema della meccanica teorica. Astrazioni di base.

Meccanica teoricaè una scienza in cui vengono studiate le leggi generali del moto meccanico e dell'interazione meccanica dei corpi materiali

Movimento meccanicosi chiama movimento di un corpo in relazione ad un altro corpo, che avviene nello spazio e nel tempo.

Interazione meccanica viene chiamata una tale interazione di corpi materiali, che cambia la natura del loro movimento meccanico.

Statica - Questa è una branca della meccanica teorica, in cui vengono studiati i metodi per trasformare i sistemi di forze in sistemi equivalenti e vengono stabilite le condizioni per l'equilibrio delle forze applicate a un solido.

Cinematica - questa è una branca della meccanica teorica che studia il movimento dei corpi materiali nello spazio da un punto di vista geometrico, indipendentemente dalle forze che agiscono su di essi.

Dinamica - questa è una sezione di meccanica, che studia il movimento dei corpi materiali nello spazio, in funzione delle forze che agiscono su di essi.

Oggetti di studio in meccanica teorica:

punto materiale,

sistema di punti materiali,

Assolutamente solido.

Spazio assoluto e tempo assoluto sono indipendenti l'uno dall'altro. Spazio assoluto - spazio euclideo tridimensionale, omogeneo, stazionario. Tempo assoluto - scorre continuamente dal passato al futuro, è omogeneo, uguale in tutti i punti dello spazio e non dipende dal movimento della materia.

2. Il tema della cinematica.

Cinematica - questa è una branca della meccanica in cui si studiano le proprietà geometriche del moto dei corpi senza tener conto della loro inerzia (cioè massa) e delle forze agenti su di essi

Per determinare la posizione di un corpo (o punto) in movimento con il corpo, in relazione al quale si studia il movimento del corpo dato, viene rigidamente connesso un sistema di coordinate che, insieme al corpo, forma quadro di riferimento.

Il compito principale della cinematica è, conoscendo la legge del moto di un dato corpo (punto), determinare tutte le quantità cinematiche che caratterizzano il suo moto (velocità e accelerazione).

3. Metodi per specificare il movimento di un punto

· modo naturale

Dovrebbe essere noto:

Traiettoria di movimento del punto;

Inizio e direzione del conteggio;

La legge del moto di un punto lungo una data traiettoria nella forma (1.1)

· Modo coordinato

Le equazioni (1.2) sono le equazioni del moto del punto M.

L'equazione della traiettoria del punto M si ottiene escludendo il parametro tempo « T » dalle equazioni (1.2)

· modo vettoriale

La relazione tra coordinate e modi naturali di specificare il movimento di un punto

Determinare la traiettoria di un punto, escludendo il tempo dalle equazioni (1.2);

-- trovare la legge del moto di un punto lungo una traiettoria (usare l'espressione per il differenziale dell'arco)

Dopo l'integrazione, otteniamo la legge del moto di un punto lungo una data traiettoria:

La relazione tra i metodi delle coordinate e dei vettori per specificare il movimento di un punto è determinata dall'equazione (1.4)

4. Determinazione della velocità di un punto nel metodo vettoriale per specificare il movimento.

Lascia che al momentoTla posizione del punto è determinata dal vettore raggio, e al momento del tempoT 1 - raggio vettore, quindi per un periodo di tempo il punto si sposterà.

Velocità del punto in un dato momento

Per ottenere la velocità di un punto in un determinato istante è necessario effettuare il passaggio al limite

(1.6)

(1.7)

Il vettore velocità di un punto in un dato momento è uguale alla prima derivata del raggio vettore nel tempo ed è diretta tangenzialmente alla traiettoria in un dato punto.

(unità m/s, km/h)

Vettore di accelerazione media ha la stessa direzione del vettoreΔ v , cioè diretto verso la concavità della traiettoria.

Vettore di accelerazione di un punto in un dato momento è uguale alla derivata prima del vettore velocità o alla derivata seconda del vettore raggio del punto rispetto al tempo.

(unità di misura -)

Come si posiziona il vettore rispetto al percorso del punto?

Nel moto rettilineo, il vettore è diretto lungo la retta lungo la quale si muove il punto. Se la traiettoria di un punto è una curva piana, allora il vettore di accelerazione, così come il vettore cp, giace nel piano di questa curva ed è diretto verso la sua concavità. Se la traiettoria non è una curva piana, allora il vettore cp sarà diretto verso la concavità della traiettoria e giacerà nel piano passante per la tangente alla traiettoria nel puntom e una retta parallela alla tangente in un punto adiacenteM 1 . V limite quando puntoM 1 si sforza di m questo piano occupa la posizione del cosiddetto piano di contatto. Pertanto, nel caso generale, il vettore di accelerazione giace nel piano di contatto ed è diretto verso la concavità della curva.