Vale a dire, quello che vedi nel titolo. Essenzialmente, è un "analogo spaziale" il problema di trovare la tangente e normali al grafico di una funzione di una variabile, e quindi non dovrebbero sorgere difficoltà.

Cominciamo con alcune domande di base: COS'È un piano tangente e COS'È una normale? Molti sono consapevoli di questi concetti a livello di intuizione. Il modello più semplice che viene in mente è una palla con un sottile pezzo di cartone piatto appoggiato su di essa. Il cartone si trova il più vicino possibile alla sfera e la tocca in un unico punto. Inoltre, nel punto di contatto, è fissato da un ago che sporge verso l'alto.

In teoria, esiste una definizione piuttosto ingegnosa di piano tangente. Immagina un arbitrario superficie e il punto che gli appartiene. Ovviamente molto linee spaziali che appartengono a questa superficie. Chi ha quali associazioni? =) ... ho presentato personalmente il polpo. Supponiamo che ciascuna di queste linee abbia tangente spaziale al punto.

Definizione 1: piano tangente alla superficie in un punto è aereo contenente le tangenti a tutte le curve che appartengono a questa superficie e passano per il punto.

Definizione 2: normale alla superficie in un punto è dritto passante per questo punto perpendicolare al piano tangente.

Semplice ed elegante. A proposito, per non morire di noia per la semplicità del materiale, poco dopo condividerò con te un elegante segreto che ti permette di dimenticare UNA VOLTA PER SEMPRE di stipare varie definizioni.

Faremo conoscenza con le formule di lavoro e l'algoritmo di soluzione direttamente su un esempio specifico. Nella stragrande maggioranza dei problemi, è necessario comporre sia l'equazione del piano tangente che le equazioni della normale:

Esempio 1

Soluzione: se la superficie è data dall'equazione (cioè implicitamente), allora l'equazione del piano tangente ad una data superficie in un punto può essere trovata dalla seguente formula:

Faccio particolare attenzione alle derivate parziali insolite: le loro da non confondere insieme a derivate parziali di una funzione definita implicitamente (sebbene la superficie sia implicitamente specificata)... Quando trovi questi derivati, devi essere guidato da le regole di differenziazione di una funzione di tre variabili, cioè, quando si differenzia rispetto a qualsiasi variabile, le altre due lettere sono considerate costanti:

Senza uscire dal checkout, troviamo la derivata parziale al punto:

Allo stesso modo:

Questo è stato il momento più spiacevole della decisione, in cui un errore, se non consentito, appare costantemente. Tuttavia, qui c'è una tecnica di verifica efficace, di cui ho parlato nella lezione Derivata direzionale e gradiente.

Tutti gli "ingredienti" sono stati trovati, e ora tocca ad una netta sostituzione con ulteriori semplificazioni:

– equazione generale il piano tangente richiesto.

Consiglio vivamente di controllare anche questa fase della soluzione. Innanzitutto, devi assicurarti che le coordinate del punto di contatto soddisfino davvero l'equazione trovata:

- vera uguaglianza.

Ora "rimuoviamo" i coefficienti dell'equazione generale del piano e controlliamo la loro coincidenza o proporzionalità con i valori corrispondenti. In questo caso sono proporzionali. Ti ricordi da corso di geometria analitica, - questo è vettore normale piano tangente, ed è - vettore di direzione normale linea retta. Componiamo equazioni canoniche normali per punto e vettore di direzione:

In linea di principio, i denominatori possono essere ridotti di "due", ma non c'è bisogno di questo

Risposta:

Non è vietato designare le equazioni con alcune lettere, tuttavia, ancora una volta - perché? Qui, e quindi è estremamente chiaro cosa sia cosa.

I prossimi due esempi sono per l'auto-aiuto. Un piccolo "scioglilingua matematico":

Esempio 2

Trova le equazioni del piano tangente e della normale alla superficie in un punto.

E un compito interessante da un punto di vista tecnico:

Esempio 3

Scrivi le equazioni per il piano tangente e la normale alla superficie in un punto

Al punto.

Ci sono tutte le possibilità non solo di confondersi, ma anche di affrontare difficoltà durante la registrazione equazioni canoniche della retta... E le equazioni della normale, come probabilmente hai capito, di solito sono scritte in questa forma. Anche se, per dimenticanza o ignoranza di alcune sfumature, la forma parametrica è più che accettabile.

Esempi di soluzioni di finitura alla fine della lezione.

Esiste un piano tangente in qualsiasi punto della superficie? In generale, ovviamente no. Il classico esempio è superficie rastremata e punto: le tangenti a questo punto formano direttamente una superficie conica e, naturalmente, non giacciono sullo stesso piano. È facile convincersi analiticamente dei problemi:.

Un'altra fonte di problemi è il fatto non esistenza qualsiasi derivata parziale in un punto. Tuttavia, ciò non significa che in un dato punto non vi sia un unico piano tangente.

Ma si trattava, più probabilmente, di divulgazione scientifica che di informazioni praticamente significative, e torniamo ai nostri affari quotidiani:

Come scrivere le equazioni per il piano tangente e la normale in un punto,
se la superficie è data da una funzione esplicita?

Riscriviamolo implicitamente:

E secondo gli stessi principi, troveremo le derivate parziali:

Pertanto, la formula per il piano tangente viene trasformata nella seguente equazione:

E di conseguenza, le equazioni normali canoniche:

Come puoi immaginare, - questi sono già "reali" derivate parziali di una funzione di due variabili al punto che designavamo con la lettera "z" e trovavamo 100.500 volte.

Si noti che in questo articolo è sufficiente ricordare la primissima formula, dalla quale, se necessario, è facile derivare tutto il resto. (comprensibilmente, avendo un livello base di formazione)... Questo è l'approccio che dovrebbe essere utilizzato nello studio delle scienze esatte, vale a dire. da un minimo di informazioni, si dovrebbe sforzarsi di "tirare fuori" un massimo di conclusioni e conseguenze. "Soobrazhalovka" e le conoscenze già esistenti per aiutare! Questo principio è utile anche in quanto è probabile che ti salvi in ​​una situazione critica quando sai molto poco.

Elaboriamo le formule "modificate" con un paio di esempi:

Esempio 4

Scrivi le equazioni per il piano tangente e la normale alla superficie al punto.

Una piccola sovrapposizione qui si è rivelata con le designazioni - ora la lettera indica un punto sull'aereo, ma cosa fare - una lettera così popolare….

Soluzione: l'equazione del piano tangente richiesto è compilata dalla formula:

Calcoliamo il valore della funzione nel punto:

calcoliamo Derivate parziali del 1° ordine a questo punto:

Così:

con attenzione, senza fretta:

Scriviamo le equazioni canoniche della normale in un punto:

Risposta:

E un ultimo esempio per una soluzione fai-da-te:

Esempio 5

Scrivi le equazioni per il piano tangente e la normale alla superficie in un punto.

Quello finale - perché in effetti ho spiegato tutti i punti tecnici e non c'è niente di speciale da aggiungere. Anche le funzioni stesse, offerte in questo compito, sono noiose e monotone: in pratica è quasi garantito che ti imbatterai in un "polinomio", e in questo senso l'esempio n. 2 con un esponente sembra una "pecora nera". A proposito, è molto più probabile che incontri la superficie data dall'equazione, e questo è un altro motivo per cui la funzione è stata inclusa nell'articolo "secondo numero".

E infine, il segreto promesso: come evitare di stipare definizioni? (Io, ovviamente, non intendo una situazione in cui uno studente sta freneticamente stipando qualcosa prima dell'esame)

La definizione di qualsiasi concetto/fenomeno/oggetto, prima di tutto, dà una risposta alla seguente domanda: CHE COS'È? (chi/così/così/così). Consapevolmente nel rispondere a questa domanda, dovresti cercare di riflettere essenziale segni, inequivocabilmente identificare questo o quel concetto/fenomeno/oggetto. Sì, all'inizio questo risulta essere un po' muto, impreciso e ridondante (l'insegnante correggerà =)), ma nel tempo si sviluppa un discorso scientifico completamente degno.

Esercitati sugli oggetti più astratti, ad esempio, rispondi alla domanda: chi è Cheburashka? Non è così semplice ;-) Si tratta di “un personaggio da favola con grandi orecchie, occhi e capelli castani”? Lontano e molto lontano dalla definizione - non si sa mai che ci siano personaggi con tali caratteristiche .... Ma questo è già molto più vicino alla definizione: "Cheburashka è un personaggio inventato dallo scrittore Eduard Uspensky nel 1966, che ... (enumerazione delle principali caratteristiche distintive)"... Nota come è iniziato bene

Definizione. Un punto giacente su una superficie del secondo ordine, dato rispetto al GDSK dall'equazione generale (1), si dice non singolare se, tra i tre numeri: ce n'è almeno uno diverso da zero.

Quindi, un punto che giace su una superficie del secondo ordine non è singolare se e solo se è il suo centro, altrimenti, quando la superficie è conica e il punto è il vertice di questa superficie.

Definizione. Una linea tangente ad una superficie del secondo ordine in un dato punto non singolare su di essa è una retta passante per questo punto, che interseca la superficie del secondo ordine in un punto doppio, o che è una generatrice rettilinea della superficie.

Teorema 3. Le linee tangenti alla superficie del secondo ordine in un dato punto non singolare su di essa giacciono in un piano, chiamato piano tangente alla superficie nel punto in questione. L'equazione del piano tangente ha

Prova. Siano le equazioni parametriche della retta passante per un punto non singolare della superficie del secondo ordine, data dall'equazione (1). Sostituendo nell'equazione (1), invece di,, otteniamo:

Poiché il punto giace sulla superficie (1), troviamo anche dall'equazione (3) (questo valore corrisponde al punto). Affinché il punto di intersezione della retta con la superficie (1) sia doppio, o che la retta giaccia interamente sulla superficie, è necessario e sufficiente che valga l'uguaglianza:

Se allo stesso tempo:

Il punto di intersezione della retta con la superficie (1) è doppio. Cosa succede se:

Quindi l'intera linea giace sulla superficie (1).

Dalle relazioni (4) e,, segue che le coordinate,, di qualsiasi punto giacente su qualsiasi tangente alla superficie (1) soddisfano l'equazione:

Viceversa, se le coordinate di un punto diverso da soddisfano questa equazione, allora le coordinate,, vettori, soddisfano la relazione (4), il che significa che la linea è tangente alla superficie considerata.

Poiché un punto è un punto non singolare della superficie (1), allora tra i numeri, ce n'è almeno uno diverso da zero; allora l'equazione (5) è un'equazione di primo grado rispetto a. Questa è l'equazione del piano tangente alla superficie (1) in un dato punto non singolare su di essa.

Sulla base delle equazioni canoniche delle superfici del secondo ordine, è facile comporre le equazioni dei piani tangenti a un ellissoide, iperboloide, ecc. in un dato punto su di essi.

1). Piano tangente all'ellissoide:

2). Il piano tangente agli iperboloidi a uno e due fogli:

3). Piano tangente ai paraboloidi ellittici e iperbolici:

§ 161. Intersezione di un piano tangente con una superficie del secondo ordine.

Prenderemo un punto non singolare della superficie del secondo ordine come origine delle coordinate dell'ODSK, l'asse e lo collocheremo nel piano tangente alla superficie nel punto. Quindi, nell'equazione generale della superficie (1), il termine libero è uguale a zero: e l'equazione del piano che tocca la superficie all'origine delle coordinate dovrebbe avere la forma:.

Ma l'equazione del piano passante per l'origine ha la forma:.

E, poiché questa equazione deve essere equivalente all'equazione, allora,,.

Quindi, nel sistema di coordinate selezionato, l'equazione della superficie (1) dovrebbe avere la forma:

Viceversa, se, allora l'equazione (6) è l'equazione della superficie passante per l'origine, e il piano è il piano tangente a questa superficie in un punto. L'equazione della retta lungo la quale il piano tangente alla superficie in un punto interseca la superficie (6) ha la forma:

Se . Questo è un invariante nella teoria degli invarianti per le rette del secondo ordine. Equazione (7)

Questa è la seconda riga d'ordine. Per la forma di questa linea, è invariante, quindi:

Quando, ecco due linee rette immaginarie che si intersecano.

A - due rette intersecanti reali.

Se, ma almeno uno dei coefficienti,, non è uguale a zero, allora la linea di intersezione (7) è due rette coincidenti.

Infine, se, allora l'aereo

è una parte di questa superficie, e la superficie stessa si divide, quindi, in una coppia di piani

§ 162. Punti ellittici, iperbolici o parabolici di una superficie del secondo ordine.

1. Lascia che il piano tangente alla superficie del secondo ordine in un punto lo intersechi lungo due rette immaginarie che si intersecano. In questo caso, il punto è chiamato punto ellittico della superficie.

2. Lascia che il piano tangente alla superficie del secondo ordine in un punto lo intersechi lungo due rette reali che si intersecano nel punto di tangenza. In questo caso il punto è detto punto iperbolico della superficie.

3. Lascia che il piano tangente alla superficie del secondo ordine in un punto lo intersechi lungo due rette coincidenti. In questo caso, il punto è chiamato punto parabolico della superficie.

Teorema 4. Sia la superficie del secondo ordine rispetto all'ODSK data dall'equazione (1) e l'equazione data (1) sia l'equazione della superficie reale non decadente del secondo ordine. Quindi, se; allora tutti i punti della superficie sono ellittici.

Prova. Introduciamo un nuovo sistema di coordinate, scegliendo come origine delle coordinate qualsiasi punto non singolare della superficie data e ponendo gli assi e nel piano tangente alla superficie in quel punto. L'equazione (1) nel nuovo sistema di coordinate viene trasformata nella forma:

In cui si . Calcoliamo l'invariante di questa equazione.

Poiché durante il passaggio da un ODSK a un altro ODSK il segno non cambia, i segni sono opposti, quindi, se, allora; e, come risulta dalla classificazione (vedi § 161), il piano tangente alla superficie in un punto interseca la superficie lungo due linee immaginarie che si intersecano, cioè - punto ellittico.

2) Un iperboloide a un foglio e un paraboloide iperbolico sono costituiti da punti iperbolici.

3) Cono reale del secondo ordine (il vertice è escluso), cilindri ellittici (reali), iperbolici e parabolici costituiti da punti parabolici.

Cilindro parabolico.

Per determinare la posizione del cilindro parabolico è sufficiente sapere:

1) un piano di simmetria parallelo alla generatrice del cilindro;

2) il piano tangente al cilindro, perpendicolare a questo piano di simmetria;

3) un vettore perpendicolare a questo piano tangente e diretto verso la concavità del cilindro.

Se l'equazione generale definisce un cilindro parabolico, può essere riscritto come:

noi selezioneremo m in modo che l'aereo

sarebbe reciprocamente perpendicolare:

Con questo valore m aereo

sarà il piano di simmetria parallelo alla generatrice del cilindro.

Aereo

sarà il piano tangente al cilindro, perpendicolare al piano di simmetria specificato, e il vettore

sarà perpendicolare al piano tangente trovato e diretto verso la concavità del cilindro.

Una superficie è definita come un insieme di punti le cui coordinate soddisfano una certa forma di equazioni:

Se la funzione F (x, y, z) (\ stile di visualizzazione F (x, \, y, \, z))è continua in un punto e ha derivate parziali continue in esso, almeno una delle quali non si annulla, allora in prossimità di questo punto la superficie data dall'Eq. (1) sarà superficie corretta.

Oltre a quanto sopra modo implicito di impostazione, la superficie può essere definita chiaramente, se una delle variabili, ad esempio z, può essere espressa in termini delle altre:

Più rigorosamente, superficie semplice è chiamata l'immagine di una mappatura omeomorfa (cioè una mappatura uno-a-uno e mutuamente continua) dell'interno del quadrato unitario. Questa definizione può essere espressa analiticamente.

Sia dato un quadrato su un piano con un sistema di coordinate rettangolare u e v, le cui coordinate dei punti interni soddisfano le disuguaglianze 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Un esempio superficie sempliceè un emisfero. L'intera sfera non lo è superficie semplice... Ciò richiede un'ulteriore generalizzazione del concetto di superficie.

Un sottoinsieme di spazio, ogni punto del quale ha un intorno che è superficie sempliceè chiamato superficie corretta .

Superficie in geometria differenziale

Elicoide

catenoide

La metrica non definisce in modo univoco la forma della superficie. Ad esempio, le metriche dell'elicoide e della catenoide, parametrizzate di conseguenza, coincidono, cioè c'è una corrispondenza tra le loro regioni che conserva tutte le lunghezze (isometria). Le proprietà conservate sotto trasformazioni isometriche sono chiamate geometria interna superficie. La geometria interna non dipende dalla posizione della superficie nello spazio e non cambia quando viene piegata senza tensione o compressione (ad esempio, quando un cilindro viene piegato a cono).

Coefficienti metrici E, F, G (\ stile di visualizzazione E, \ F, \ G) determinare non solo le lunghezze di tutte le curve, ma in generale i risultati di tutte le misurazioni all'interno della superficie (angoli, aree, curvature, ecc.). Pertanto, tutto ciò che dipende solo dalla metrica si riferisce alla geometria interna.

Sezione normale e normale

Vettori normali ai punti della superficie

Una delle principali caratteristiche di una superficie è la sua normale- vettore unitario perpendicolare al piano tangente in un punto dato:

Il segno della normale dipende dalla scelta delle coordinate.

La sezione di una superficie per un piano contenente la normale della superficie in un dato punto forma una certa curva, che si chiama sezione normale superficie. La normale principale per la sezione normale coincide con la normale alla superficie (fino a un segno).

Se la curva sulla superficie non è una sezione normale, allora la sua normale principale forma un certo angolo con la normale alla superficie (\ stile di visualizzazione \ theta)... Poi la curvatura k (\ stile di visualizzazione k) curva associata alla curvatura k n (\ stile di visualizzazione k_ (n)) sezione normale (con la stessa tangente) dalla formula di Meunier:

Le coordinate ort della normale per diversi modi di definire la superficie sono riportate nella tabella:

Qui D (y, z) D (u, v) = | y u ′ y v ′ z u ′ z v ′ | , D (z, x) D (u, v) = | z u ′ z v ′ x u ′ x v ′ | , D (x, y) D (u, v) = | x u ′ x v ′ y u ′ y v ′ | (\ displaystyle (\ frac (D (y, z)) (D (u, v))) = (\ begin (vmatrix) y "_ (u) & y" _ (v) \\ z "_ (u ) & z "_ (v) \ end (vmatrix)), \ quad (\ frac (D (z, x)) (D (u, v))) = (\ begin (vmatrix) z" _ (u) & z " _ (v) \\ x "_ (u) & x" _ (v) \ end (vmatrix)), \ quad (\ frac (D (x, y)) (D (u, v)) ) = (\ inizio (vmatrix) x "_ (u) & x" _ (v) \\ y "_ (u) & y" _ (v) \ fine (vmatrix))).

Tutte le derivate sono prese al punto (x 0, y 0, z 0) (\ stile di visualizzazione (x_ (0), y_ (0), z_ (0))).

Curvatura

Per direzioni diverse in un dato punto della superficie si ottiene una diversa curvatura della sezione normale, che si chiama curvatura normale; viene assegnato un segno più se la normale principale della curva va nella stessa direzione della normale alla superficie, o meno se le direzioni delle normali sono opposte.

In generale, in ogni punto della superficie ci sono due direzioni perpendicolari e 1 (\ stile di visualizzazione e_ (1)) e e 2 (\ stile di visualizzazione e_ (2)), in cui la curvatura normale assume i valori minimo e massimo; queste direzioni sono chiamate il principale... Un'eccezione è il caso in cui la curvatura normale è la stessa in tutte le direzioni (ad esempio, vicino a una sfera o alla fine di un ellissoide di rivoluzione), quindi tutte le direzioni in un punto sono principali.

Superfici con curvature negative (a sinistra), zero (al centro) e positive (a destra).

Le curvature normali nelle direzioni principali sono chiamate curvature principali; denotali κ 1 (\ stile di visualizzazione \ kappa _ (1)) e κ 2 (\ stile di visualizzazione \ kappa _ (2))... Quantità:

Ad un certo punto e ha in esso derivate parziali continue, almeno una delle quali non svanisce, allora in prossimità di questo punto la superficie data dall'Eq. (1) sarà superficie corretta.

Oltre a quanto sopra modo implicito di impostazione la superficie può essere determinata chiaramente se una delle variabili, ad esempio z, può essere espressa in termini delle altre:

C'è anche parametrico modo di assegnazione. In questo caso, la superficie è determinata da un sistema di equazioni:

Il concetto di una superficie semplice

Più accuratamente, superficie semplice è chiamata l'immagine di una mappatura omeomorfa (cioè una mappatura uno-a-uno e mutuamente continua) dell'interno del quadrato unitario. Questa definizione può essere espressa analiticamente.

Sia dato un quadrato su un piano con un sistema di coordinate rettangolare u e v, le cui coordinate dei punti interni soddisfano le disuguaglianze 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Un esempio superficie sempliceè un emisfero. L'intera sfera non lo è superficie semplice... Ciò richiede un'ulteriore generalizzazione del concetto di superficie.

Un sottoinsieme di spazio, ogni punto del quale ha un intorno che è superficie sempliceè chiamato superficie corretta .

Superficie in geometria differenziale

Elicoide

catenoide

La metrica non definisce in modo univoco la forma della superficie. Ad esempio, le metriche dell'elicoide e della catenoide, parametrizzate di conseguenza, coincidono, cioè c'è una corrispondenza tra le loro regioni che conserva tutte le lunghezze (isometria). Le proprietà conservate sotto trasformazioni isometriche sono chiamate geometria interna superficie. La geometria interna non dipende dalla posizione della superficie nello spazio e non cambia quando viene piegata senza tensione o compressione (ad esempio, quando un cilindro viene piegato a cono).

I coefficienti metrici determinano non solo le lunghezze di tutte le curve, ma in generale i risultati di tutte le misurazioni all'interno della superficie (angoli, aree, curvature, ecc.). Pertanto, tutto ciò che dipende solo dalla metrica si riferisce alla geometria interna.

Sezione normale e normale

Vettori normali ai punti della superficie

Una delle principali caratteristiche di una superficie è la sua normale- vettore unitario perpendicolare al piano tangente in un punto dato:

Il segno della normale dipende dalla scelta delle coordinate.

La sezione di una superficie da un piano contenente una normale (in un dato punto) forma una curva sulla superficie, che si chiama sezione normale superficie. La normale principale per la sezione normale coincide con la normale alla superficie (fino a un segno).

Se la curva sulla superficie non è una sezione normale, allora la sua normale principale forma un certo angolo con la normale alla superficie. Poi la curvatura K curva associata alla curvatura K n sezione normale (con la stessa tangente) dalla formula di Meunier:

Le coordinate ort della normale per diversi modi di definire la superficie sono riportate nella tabella:

	Coordinate normali in un punto della superficie
assegnazione implicita
incarico esplicito
assegnazione parametrica

Curvatura

Per direzioni diverse in un dato punto della superficie si ottiene una diversa curvatura della sezione normale, che si chiama curvatura normale; viene assegnato un segno più se la normale principale della curva va nella stessa direzione della normale alla superficie, o meno se le direzioni delle normali sono opposte.

In generale, in ogni punto della superficie ci sono due direzioni perpendicolari e 1 e e 2, in cui la curvatura normale assume i valori minimo e massimo; queste direzioni sono chiamate il principale... Un'eccezione è il caso in cui la curvatura normale è la stessa in tutte le direzioni (ad esempio, vicino a una sfera o alla fine di un ellissoide di rivoluzione), quindi tutte le direzioni in un punto sono principali.

Superfici con curvature negative (a sinistra), zero (al centro) e positive (a destra).

Le curvature normali nelle direzioni principali sono chiamate curvature principali; indichiamoli con 1 e 2. Quantità:

chiamato curvatura gaussiana, curvatura completa o semplicemente curvatura superficie. C'è anche il termine scalare di curvatura, che implica il risultato della convoluzione del tensore di curvatura; in questo caso, lo scalare di curvatura è due volte più grande della curvatura gaussiana.

La curvatura gaussiana può essere calcolata attraverso la metrica, e quindi è oggetto della geometria intrinseca delle superfici (si noti che le curvature principali non si applicano alla geometria intrinseca). In base al segno di curvatura, puoi classificare i punti sulla superficie (vedi figura). La curvatura del piano è zero. La curvatura di una sfera di raggio R è ovunque uguale. C'è anche una superficie di curvatura negativa costante - una pseudosfera.

Linee geodetiche, curvatura geodetica

La curva sulla superficie si chiama linea geodetica, o semplicemente geodetico se in tutti i suoi punti la normale principale alla curva coincide con la normale alla superficie. Esempio: su un piano, le geodetiche saranno linee rette e segmenti di linea, su una sfera - grandi cerchi e i loro segmenti di linea.

Definizione equivalente: per una linea geodetica, la proiezione della sua normale principale su un piano adiacente ha vettore zero. Se la curva non è geodetica, la proiezione indicata è diversa da zero; la sua lunghezza si chiama curvatura geodetica K G curva sulla superficie. C'è un rapporto:

dove K- la curvatura di questa curva, K n- curvatura della sua sezione normale con la stessa tangente.

Le linee geodetiche si riferiscono alla geometria interna. Elenchiamo le loro principali proprietà.

• Una e una sola geodetica passa per un dato punto della superficie in una data direzione.
• Su un'area sufficientemente piccola della superficie, due punti possono sempre essere collegati da una geodetica e, inoltre, solo uno. Spiegazione: sulla sfera, i poli opposti sono collegati da un numero infinito di meridiani e due punti vicini possono essere collegati non solo da un segmento di un cerchio grande, ma anche completandolo a un cerchio completo, in modo che si osservi l'unicità solo in una piccola.
• La geodetica è la più corta. Più rigorosamente: su un piccolo pezzo di superficie, il percorso più breve tra i punti dati si trova lungo la geodetica.

Quadrato

Un altro attributo importante di una superficie è la sua quadrato, che si calcola con la formula:

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4. TEORIA DELLE SUPERFICI.

4.1 EQUAZIONI PER LE SUPERFICI.

Una superficie nello spazio 3D può essere specificata:

1) implicitamente: F ( X , sì , z ) =0 (4.1)

2) esplicitamente: z = F ( X , sì ) (4.2)

3) parametricamente: (4.3)

o:
(4.3’)

dove gli argomenti scalari
a volte chiamate coordinate curvilinee. Ad esempio, la sfera
conviene impostare in coordinate sferiche:
.

4.2 PIANO TANGENTE E NORMALE ALLA SUPERFICIE.

Se la linea giace sulla superficie (4.1), le coordinate dei suoi punti soddisfano l'equazione della superficie:

Differenziando questa identità, otteniamo:

(4.4)

o
(4.4 ’ )

in ogni punto di una curva su una superficie. Quindi, il vettore gradiente in punti non singolari della superficie (in cui la funzione (4.5) è differenziabile e
) è perpendicolare ai vettori tangenti a qualsiasi retta sulla superficie, cioè può essere usato come vettore normale per comporre l'equazione del piano tangente nel punto M 0 (X 0 , sì 0 , z 0 ) superficie

(4.6)

e come vettore di direzione nell'equazione normale:

(4.7)

Nel caso di esplicita (4.2) specificando la superficie, le equazioni del piano tangente e della normale, rispettivamente, assumono la forma:

(4.8)

e
(4.9)

Nella rappresentazione parametrica della superficie (4.3), i vettori
giacciono nel piano tangente e l'equazione del piano tangente può essere scritta come:

(4.10)

e il loro prodotto vettoriale può essere preso come vettore di direzione della normale:

e l'equazione normale può essere scritta come:

(4.11)

dove
- valori dei parametri corrispondenti al punto М 0 .

Nel seguito ci limitiamo a considerare solo quei punti della superficie dove i vettori

non uguale a zero e non parallelo.

Esempio 4.1 Scrivi le equazioni del piano tangente e della normale nel punto M 0 (1,1,2) alla superficie di un paraboloide di rivoluzione
.

Soluzione: Poiché l'equazione del paraboloide è data esplicitamente, secondo (4.8) e (4.9), è necessario trovare
al punto M 0 :

, e nel punto 0
... Allora l'equazione del piano tangente nel punto M 0 assumerà la forma:

2(X -1)+2(sì -1)-(z-2) = 0 o 2 X +2 sì - z - 2 = 0, e l'equazione normale
.

Esempio 4.2 Calcolare le equazioni del piano tangente e della normale in un punto arbitrario dell'elicoide
, .

Soluzione. Qui ,

Equazione del piano tangente:

o

Equazioni normali:

.

4.3 FORMA DELLA PRIMA SUPERFICIE QUADRATA.

Se la superficie è data dall'equazione

poi la curva
su di esso può essere dato dall'equazione
(4.12)

Differenziale vettore raggio
lungo la curva corrispondente allo spostamento dal punto M 0 a un punto vicino M è uguale a

(4.13)

Perché
È il differenziale dell'arco della curva corrispondente allo stesso spostamento), allora

(4.14)

dove .

L'espressione a destra della (4.14) è chiamata la prima forma quadratica di superficie e gioca un ruolo enorme nella teoria delle superfici.

integro il differenzialeds che vanno da T 0 (corrisponde al punto М 0) a t (corrisponde al punto M), otteniamo la lunghezza del corrispondente segmento della curva

(4.15)

Conoscendo la prima forma quadratica della superficie, puoi trovare non solo le lunghezze, ma anche gli angoli tra le curve.

Se du , dv Sono i differenziali delle coordinate curvilinee corrispondenti a uno spostamento infinitesimo lungo una curva, e
- d'altro canto, tenendo conto della (4.13):

(4.16)

Usando la formula

(4.17)

la prima forma quadratica consente di calcolare l'area della regione
superficie.

Esempio 4.3 Sull'elicoide, trova la lunghezza dell'elica
tra due punti.

Soluzione. Poiché sull'elica
, poi . Trova al punto
la prima forma quadratica. Denotando ev = T , otteniamo l'equazione di questa linea elicoidale nella forma. Forma quadratica:

= È la prima forma quadratica.

Qui . Nella formula (4.15), in questo caso
e lunghezza dell'arco:

=

4.4 SECONDA FORMA DELLA SUPERFICIE QUADRATA.

indichiamo
Il vettore unitario normale alla superficie è?
:

(4.18) . (4.23)

Una linea su una superficie è detta linea di curvatura se la sua direzione in ogni punto è la direzione principale.

4.6 CONCETTO SULLE LINEE GEODETICA DI SUPERFICIE.

Definizione 4.1 ... Una curva su una superficie si dice geodetica se la sua normale principale in ogni punto in cui la curvatura è diversa da zero coincide con la normale alla superficie.

Passa attraverso ogni punto della superficie in qualsiasi direzione, e inoltre, solo una geodetica. Su una sfera, ad esempio, i cerchi grandi sono geodetiche.

La parametrizzazione di una superficie è detta semigeodetica se una famiglia di linee coordinate è costituita da geodetiche e la seconda è ad essa ortogonale. Ad esempio, sui meridiani della sfera (geodetiche) e sui paralleli.

Una geodetica su un segmento sufficientemente piccolo è la più corta tra tutte le curve ad essa vicine, che collegano gli stessi punti.