Funzione antiderivata e integrale indefinito

Fatto 1. L'integrazione è l'opposto della differenziazione, cioè il ripristino di una funzione da una derivata nota di questa funzione. La funzione così ripristinata F(X) è chiamato antiderivato per funzione F(X).

Definizione 1. Funzione F(X F(X) su un certo intervallo X se per tutti i valori X da questo intervallo, l'uguaglianza F "(X)=F(X), ovvero questa funzione F(X) è la derivata della funzione antiderivata F(X). .

Ad esempio, la funzione F(X) = peccato X è l'antiderivata della funzione F(X) = cos X sull'intera retta numerica, poiché per ogni valore di x (peccato X) "= (cos X) .

Definizione 2. L'integrale indefinito di una funzione F(X) è l'insieme di tutte le sue derivate... In questo caso, viene utilizzato il record

∫

F(X)dx

dov'è il segno? ∫ si chiama segno di integrale, la funzione F(X) è l'integrando, e F(X)dx - un integrando.

Quindi se F(X) È una sorta di antiderivata per F(X) , poi

∫

F(X)dx = F(X) +C

dove C - una costante arbitraria (costante).

Per comprendere il significato dell'insieme delle derivate di una funzione come integrale indefinito, è opportuna la seguente analogia. Lascia che ci sia una porta (porta di legno tradizionale). La sua funzione è quella di "essere la porta". Di cosa è fatta la porta? Fatto di legno. Ciò significa che l'insieme delle derivate dell'integrando "essere una porta", cioè il suo integrale indefinito, è la funzione "essere un albero + C", dove C è una costante, che in questo contesto può significare, per esempio, una specie arborea. Proprio come una porta è fatta di legno con alcuni strumenti, il derivato di una funzione è "fatto" da una funzione antiderivata usando la formula che abbiamo imparato studiando la derivata .

Quindi la tavola delle funzioni degli oggetti comuni e dei loro corrispondenti derivati ​​("essere una porta" - "essere un albero", "essere un cucchiaio" - "essere di metallo", ecc.) è simile alla tavola di base integrali indefiniti, che verranno indicati di seguito. La tabella degli integrali indefiniti elenca le funzioni comuni con l'indicazione delle derivate da cui queste funzioni sono "costituite". Nella parte dei problemi di trovare l'integrale indefinito, sono dati tali integrandi che, senza particolari considerazioni, possono essere integrati direttamente, cioè secondo la tabella degli integrali indefiniti. In problemi più complessi, l'integrando deve prima essere trasformato in modo da poter utilizzare integrali tabulari.

Fatto 2. Quando si ripristina una funzione come primitiva, dobbiamo prendere in considerazione una costante arbitraria (costante) C, e per non scrivere una lista di derivate con varie costanti da 1 a infinito, devi scrivere un insieme di derivate con una costante arbitraria C per esempio in questo modo: 5 X+ С. Quindi, una costante arbitraria (costante) è inclusa nell'espressione dell'antiderivata, poiché l'antiderivata può essere una funzione, ad esempio 5 X+ 4 o 5 X+ 3 e la differenziazione 4 o 3, o qualsiasi altra costante, svaniscono.

Poniamo il problema dell'integrazione: per questa funzione F(X) trova una funzione del genere F(X), il cui derivatoè uguale a F(X).

Esempio 1. Trova l'insieme delle derivate di una funzione

Soluzione. Per questa funzione, l'antiderivata è la funzione

Funzione F(X) è chiamata l'antiderivata per la funzione F(X) se la derivata F(X) è uguale a F(X), o, che è la stessa cosa, il differenziale F(X) è uguale a F(X) dx, cioè.

(2)

Pertanto, una funzione è un'antiderivata per una funzione. Tuttavia, non è l'unico antiderivato per. Servono anche come funzioni

dove INSIEME AÈ una costante arbitraria. Questo può essere verificato per differenziazione.

Quindi, se c'è un'antiderivata per una funzione, allora per essa c'è un numero infinito di antiderivate che differiscono per un termine costante. Tutte le derivate per una funzione sono scritte nella forma sopra. Ciò segue dal seguente teorema.

Teorema (affermazione formale di fatto 2). Se F(X) È l'antiderivata per la funzione F(X) su un certo intervallo NS, quindi qualsiasi altra antiderivata per F(X) sullo stesso intervallo può essere rappresentato come F(X) + C, dove INSIEME AÈ una costante arbitraria.

Nel prossimo esempio ci riferiamo già alla tabella degli integrali, che verrà data nel Paragrafo 3, dopo le proprietà dell'integrale indefinito. Lo facciamo prima di leggere l'intera tabella in modo che l'essenza di quanto sopra sia chiara. E dopo la tabella e le proprietà, le utilizzeremo nell'integrazione nella loro interezza.

Esempio 2. Trova insiemi di derivativi:

Soluzione. Troviamo un insieme di funzioni antiderivate da cui queste funzioni sono "costituite". Quando menzioni le formule della tabella degli integrali, per ora, accetta semplicemente che ci siano tali formule e studieremo un po' più avanti l'intera tabella degli integrali indefiniti.

1) Applicando la formula (7) dalla tabella degli integrali per n= 3, otteniamo

2) Utilizzando la formula (10) dalla tabella degli integrali per n= 1/3, abbiamo

3) Poiché

quindi per la formula (7) at n= -1/4 trova

L'integrale non è la funzione stessa F, e il suo prodotto per il differenziale dx... Questo viene fatto principalmente per indicare quale variabile viene ricercata per l'antiderivata. Per esempio,

, ;

qui in entrambi i casi l'integrando è uguale, ma i suoi integrali indefiniti nei casi considerati risultano differenti. Nel primo caso, questa funzione è considerata come una funzione della variabile X, e nel secondo - in funzione di z .

Il processo per trovare l'integrale indefinito di una funzione è chiamato integrazione di questa funzione.

Il significato geometrico dell'integrale indefinito

Sia richiesto di trovare una curva y = F (x) e sappiamo già che la tangente dell'angolo di inclinazione della tangente in ciascuno dei suoi punti è una funzione data f(x) ascissa di questo punto.

Secondo il significato geometrico della derivata, la tangente della pendenza della tangente in un dato punto della curva y = F (x)è uguale al valore della derivata F "(x)... Quindi, dobbiamo trovare una tale funzione F (x), per cui F "(x) = f (x)... Funzione richiesta nel compito F (x)è l'antiderivata di f(x)... La condizione del problema è soddisfatta non da una curva, ma da una famiglia di curve. y = F (x)è una di queste curve, e da essa si può ricavare qualsiasi altra curva per traslazione parallela lungo l'asse ahi.

Chiamiamo il grafico della funzione antiderivata di f(x) curva integrale. Se F "(x) = f (x), quindi il grafico della funzione y = F (x) esiste una curva integrale.

Fatto 3. L'integrale indefinito è geometricamente rappresentato dalla famiglia di tutte le curve integrali come nella foto qui sotto. La distanza di ciascuna curva dall'origine è determinata da una costante arbitraria (costante) di integrazione C.

Proprietà integrali indefinite

Fatto 4. Teorema 1. La derivata di un integrale indefinito è uguale all'integrando e il suo differenziale è uguale all'integrando.

Fatto 5. Teorema 2. Integrale indefinito del differenziale di una funzione F(X) è uguale alla funzione F(X) fino a un termine costante , cioè.

(3)

I teoremi 1 e 2 mostrano che differenziazione e integrazione sono operazioni reciproche.

Fatto 6. Teorema 3. Il fattore costante nell'integrando può essere preso dal segno integrale indefinito , cioè.

Queste proprietà vengono utilizzate per effettuare trasformazioni dell'integrale allo scopo di ridurlo a uno degli integrali elementari e ulteriore calcolo.

1. La derivata dell'integrale indefinito è uguale all'integrando:

2. Il differenziale dell'integrale indefinito è uguale all'integrando:

3. L'integrale indefinito del differenziale di una funzione è uguale alla somma di questa funzione e di una costante arbitraria:

4. Il fattore costante può essere sottratto al segno di integrale:

Inoltre, un 0

5. L'integrale della somma (differenza) è uguale alla somma (differenza) degli integrali:

6. La proprietà è una combinazione delle proprietà 4 e 5:

Inoltre, a 0 ˄ b ≠ 0

7. Proprietà di invarianza dell'integrale indefinito:

Se poi

8. Proprietà:

Se poi

In effetti, questa proprietà è un caso speciale di integrazione che utilizza il metodo del cambio variabile, discusso in maggior dettaglio nella sezione successiva.

Consideriamo un esempio:

Prima abbiamo applicato la proprietà 5, poi la proprietà 4, quindi abbiamo usato la tabella delle antiderivate e abbiamo ottenuto il risultato.

L'algoritmo del nostro calcolatore integrale online supporta tutte le proprietà elencate sopra e può facilmente trovare una soluzione dettagliata per il tuo integrale.

In questo articolo elencheremo le principali proprietà dell'integrale definito. La maggior parte di queste proprietà sono dimostrate sulla base dei concetti dell'integrale definito di Riemann e Darboux.

La definizione di un integrale definito è molto spesso fatta utilizzando le prime cinque proprietà, quindi ad esse faremo riferimento quando necessario. Le restanti proprietà di un integrale definito vengono utilizzate principalmente per valutare varie espressioni.

Prima di passare a le proprietà di base dell'integrale definito, concordiamo che a non superi b.

Per la funzione y = f (x), definita in x = a, l'uguaglianza è vera.

Cioè, il valore di un integrale definito con limiti di integrazione coincidenti è zero. Questa proprietà è una conseguenza della definizione dell'integrale di Riemann, poiché in questo caso ogni somma integrale per qualsiasi partizione dell'intervallo e ogni scelta di punti è uguale a zero, poiché, quindi, il limite delle somme integrali è zero.

Per una funzione integrabile su un segmento, .

In altre parole, quando si cambiano i limiti superiore e inferiore dell'integrazione in luoghi, il valore dell'integrale definito cambia al contrario. Questa proprietà di un integrale definito segue anche dal concetto di integrale di Riemann, solo la numerazione della partizione di un segmento dovrebbe iniziare dal punto x = b.

per funzioni y = f (x) ey = g (x) integrabili su un intervallo.

Prova.

Scriviamo la somma integrale della funzione per una data divisione di un segmento e una data scelta di punti:

dove e sono le somme integrali delle funzioni y = f (x) e y = g (x) per la data partizione del segmento, rispettivamente.

Passando al limite a si ottiene che, per definizione dell'integrale di Riemann, è equivalente all'asserzione della proprietà che si sta dimostrando.

Dal segno di un integrale definito si può sottrarre un fattore costante. Cioè, per una funzione y = f (x) integrabile su un intervallo e un numero arbitrario k, l'uguaglianza .

La dimostrazione di questa proprietà di un integrale definito è assolutamente simile alla precedente:


Sia la funzione y = f (x) integrabile sull'intervallo X, e poi .

Questa proprietà è vera per entrambi e per o.

La dimostrazione può essere effettuata utilizzando le precedenti proprietà dell'integrale definito.

Se una funzione è integrabile su un segmento, allora è integrabile anche su qualsiasi segmento interno.

La dimostrazione si basa sulla proprietà delle somme Darboux: se aggiungi nuovi punti alla partizione esistente del segmento, la somma Darboux inferiore non diminuirà e quella superiore non aumenterà.

Se la funzione y = f (x) è integrabile su un intervallo e per qualsiasi valore dell'argomento, allora .

Questa proprietà è dimostrata attraverso la definizione dell'integrale di Riemann: qualsiasi somma integrale per qualsiasi scelta di punti di partizione di un segmento e punti a sarà non negativa (non positiva).

Conseguenza.

Per funzioni y = f (x) e y = g (x) integrabili su un intervallo valgono le seguenti disuguaglianze:


Questa affermazione significa che l'integrazione delle disuguaglianze è ammissibile. Useremo questo corollario per dimostrare le seguenti proprietà.

Sia la funzione y = f (x) integrabile su un intervallo, allora la disuguaglianza .

Prova.

È ovvio che ... Nella proprietà precedente, abbiamo scoperto che la disuguaglianza può essere integrata termine per termine, quindi è vero ... Questa doppia disuguaglianza può essere scritta come .

Siano le funzioni y = f (x) e y = g (x) integrabili su un intervallo e per qualsiasi valore dell'argomento, allora , dove e .

La prova è simile. Poiché m e M sono i valori più piccolo e più grande della funzione y = f (x) sul segmento, allora ... Moltiplicando la doppia disuguaglianza per la funzione non negativa y = g (x) si ottiene la seguente doppia disuguaglianza. Integrandolo su un segmento, si arriva all'asserzione in corso di dimostrazione.

Conseguenza.

Se prendiamo g (x) = 1, allora la disuguaglianza assume la forma .

Prima formula del valore medio.

Sia la funzione y = f (x) integrabile su un intervallo, e poi c'è un numero tale che .

Conseguenza.

Se la funzione y = f (x) è continua su un intervallo, allora esiste un numero tale che .

La prima formula per la media in forma generalizzata.

Siano le funzioni y = f (x) e y = g (x) integrabili su un intervallo, e, e g (x)> 0 per qualsiasi valore dell'argomento. Allora c'è un numero tale che .

Seconda formula per la media.

Se la funzione y = f (x) è integrabile su un intervallo e y = g (x) è monotona, allora esiste un numero tale che l'uguaglianza .

Risolvere gli integrali è un compito facile, ma solo per pochi eletti. Questo articolo è per coloro che vogliono imparare a capire gli integrali, ma non ne sanno nulla o quasi. Integrale... Perché è necessario? Come calcolarlo? Cosa sono gli integrali definiti e indefiniti?

Se l'unico uso di un integrale che conosci è lavorare all'uncinetto qualcosa di utile da luoghi difficili da raggiungere con un uncinetto a forma di icona integrale, allora sei il benvenuto! Impara come risolvere gli integrali elementari e di altro tipo e perché non puoi farne a meno in matematica.

Esplorare il concetto « integrante »

L'integrazione è nota fin dall'antico Egitto. Certo, non nella sua forma moderna, ma comunque. Da allora, i matematici hanno scritto molti libri su questo argomento. Si sono particolarmente distinti Newton e Leibniz ma l'essenza delle cose non è cambiata.

Come capire gli integrali da zero? Non c'è modo! Per comprendere questo argomento, è comunque necessaria una conoscenza di base delle basi del calcolo. Abbiamo già informazioni su limiti e derivate necessarie per comprendere gli integrali nel nostro blog.

Integrale indefinito

Supponiamo di avere un qualche tipo di funzione f(x) .

Integrale indefinito di una funzione f(x) tale funzione si chiama F (x) la cui derivata è uguale alla funzione f(x) .

In altre parole, l'integrale è la derivata inversa o l'antiderivata. A proposito, leggi come calcolare i derivati ​​nel nostro articolo.

L'antiderivata esiste per tutte le funzioni continue. Inoltre, il segno di una costante viene spesso aggiunto all'antiderivata, poiché le derivate di funzioni che differiscono per una costante coincidono. Il processo per trovare l'integrale si chiama integrazione.

Esempio semplice:

Per non calcolare costantemente le derivate delle funzioni elementari, è conveniente ridurle in una tabella e utilizzare valori già pronti.

Tavola completa degli integrali per studenti

Integrale definito

Quando si tratta del concetto di integrale, si tratta di quantità infinitesimali. L'integrale aiuterà a calcolare l'area di una figura, la massa di un corpo disomogeneo, il percorso percorso con movimento irregolare e molto altro. Va ricordato che l'integrale è la somma di un numero infinitamente grande di termini infinitamente piccoli.

Ad esempio, immaginiamo un grafico di una funzione.

Come trovare l'area di una forma delimitata dal grafico di una funzione? Usando l'integrale! Dividiamo il trapezio curvilineo, delimitato dagli assi coordinati e dal grafico della funzione, in segmenti infinitamente piccoli. Pertanto, la figura sarà divisa in colonne sottili. La somma delle aree delle colonne sarà l'area del trapezio. Ma ricorda che un tale calcolo darà un risultato approssimativo. Tuttavia, più piccoli e stretti sono i segmenti, più accurato sarà il calcolo. Se li riduciamo a tal punto che la lunghezza tende a zero, la somma delle aree dei segmenti tenderà all'area della figura. Questo è un integrale definito, che si scrive così:

I punti a e b sono detti limiti di integrazione.

« Integrante »

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Regole di calcolo integrale per manichini

Proprietà integrali indefinite

Come si risolve l'integrale indefinito? Qui esamineremo le proprietà dell'integrale indefinito, che torneranno utili quando si risolvono esempi.

• La derivata dell'integrale è uguale all'integrando:

• La costante può essere estratta da sotto il segno di integrale:

• L'integrale della somma è uguale alla somma degli integrali. Vale anche per la differenza:

Proprietà dell'integrale definito

• Linearità:

• Il segno dell'integrale cambia se si invertono i limiti di integrazione:

• In qualunque punti un, B e insieme a:

Abbiamo già scoperto che l'integrale definito è il limite della somma. Ma come si ottiene un valore specifico quando si risolve un esempio? Per questo esiste la formula di Newton-Leibniz:

Esempi di soluzioni integrali

Di seguito considereremo un integrale indefinito ed esempi con una soluzione. Ti offriamo di capire in modo indipendente le complessità della soluzione e, se qualcosa non è chiaro, fai domande nei commenti.

Per consolidare il materiale, guarda il video su come vengono risolti gli integrali in pratica. Non scoraggiarti se l'integrale non viene dato subito. Rivolgiti al servizio professionale per studenti e potrai gestire qualsiasi integrale triplo o curvilineo su una superficie chiusa.

Lascia che la funzione sì = F(X) è definito sul segmento [ un, B ], un < B... Eseguiamo le seguenti operazioni:

1) abbiamo diviso [ un, B] punti un = X 0 < X 1 < ... < X io- 1 < X io < ... < X n = B Su n segmenti di linea parziali [ X 0 , X 1 ], [X 1 , X 2 ], ..., [X io- 1 , X io ], ..., [X n- 1 , X n ];

2) in ciascuno dei segmenti parziali [ X io- 1 , X io ], io = 1, 2, ... n, scegli un punto arbitrario e calcola il valore della funzione a questo punto: F(z io ) ;

3) trova le opere F(z io ) · Δ X io , dove è la lunghezza del segmento parziale [ X io- 1 , X io ], io = 1, 2, ... n;

4) comporre somma integrale funzioni sì = F(X) sul segmento [ un, B ]:

Da un punto di vista geometrico, questa somma è la somma delle aree dei rettangoli, le cui basi sono segmenti parziali [ X 0 , X 1 ], [X 1 , X 2 ], ..., [X io- 1 , X io ], ..., [X n- 1 , X n ], e le altezze sono F(z 1 ) , F(z 2 ), ..., F(z n) rispettivamente (fig. 1). Indichiamo con λ lunghezza del segmento parziale più grande:

5) trovare il limite della somma integrale quando λ → 0.

Definizione. Se esiste un limite finito della somma integrale (1) e non dipende dal metodo di partizione del segmento [ un, B] a segmenti parziali, né dalla selezione dei punti z io in essi, allora questo limite si chiama integrale definito dalla funzione sì = F(X) sul segmento [ un, B] ed è denotato

Così,

In questo caso, la funzione F(X) è chiamato integrabile Su [ un, B]. Numeri un e B sono chiamati, rispettivamente, i limiti inferiore e superiore di integrazione, F(X) è l'integrando, F(X ) dx- l'integrando, X- variabile di integrazione; sezione [ un, B] è chiamato intervallo di integrazione.

Teorema 1. Se la funzione sì = F(X) è continua sul segmento [ un, B], allora è integrabile su questo segmento.

Un integrale definito con gli stessi limiti di integrazione è uguale a zero:

Se un > B, quindi, per definizione, poniamo

2. Il significato geometrico di un integrale definito

Lascia che il segmento [ un, B] è data una funzione continua non negativa sì = F(X ) . Trapezio curvoè la figura delimitata dall'alto dal grafico della funzione sì = F(X), dal basso - per l'asse del bue, a sinistra e a destra - per linee rette x = a e x = b(fig. 2).

L'integrale definito di una funzione non negativa sì = F(X) da un punto di vista geometrico è uguale all'area di un trapezio curvilineo delimitata dall'alto dal grafico della funzione sì = F(X), a sinistra e a destra - per segmenti di linea x = a e x = b, sotto - da un segmento dell'asse del bue.

3. Proprietà fondamentali di un integrale definito

1. Il valore dell'integrale definito non dipende dalla designazione della variabile di integrazione:

2. Dal segno di un integrale definito si può estrarre un fattore costante:

3. Un integrale definito della somma algebrica di due funzioni è uguale alla somma algebrica degli integrali definiti di queste funzioni:

4.Se la funzione sì = F(X) è integrabile su [ un, B] e un < B < C, poi

5. (teorema del valore medio)... Se la funzione sì = F(X) è continua sul segmento [ un, B], allora su questo segmento c'è un punto tale che

4. Formula di Newton-Leibniz

Teorema 2. Se la funzione sì = F(X) è continua sul segmento [ un, B] e F(X) Se una qualsiasi delle sue derivate è su questo segmento, allora è valida la seguente formula:

che è chiamato dalla formula di Newton-Leibniz. Differenza F(B) - F(un) è consuetudine scrivere come segue:

dove il carattere è chiamato carattere jolly doppio.

Pertanto, la formula (2) può essere scritta come:

Esempio 1. Calcola l'integrale

Soluzione. Per l'integrando F(X ) = X 2 una primitiva arbitraria ha la forma

Poiché qualsiasi derivata può essere utilizzata nella formula di Newton-Leibniz, per calcolare l'integrale prendiamo l'antiderivata, che ha la forma più semplice:

5. Cambio di variabile in un integrale definito

Teorema 3. Lascia che la funzione sì = F(X) è continua sul segmento [ un, B]. Se:

1) funzione X = φ ( T) e la sua derivata φ "( T) sono continue a;

2) l'insieme dei valori della funzione X = φ ( T) poiché è il segmento [ un, B ];

3) ( un) = un, φ ( B) = B, quindi la formula

che è chiamato dalla formula del cambiamento variabile nell'integrale definito .

A differenza dell'integrale indefinito, in questo caso non necessario tornare alla variabile di integrazione originale - è sufficiente trovare nuovi limiti di integrazione α e β (per questo è necessario risolvere rispetto alla variabile T equazioni φ ( T) = un e ( T) = B).

Invece di sostituzione X = φ ( T) puoi usare la sostituzione T = G(X). In questo caso, trovando nuovi limiti di integrazione rispetto alla variabile T semplificato: α = G(un) , β = G(B) .

Esempio 2... Calcola l'integrale

Soluzione. Introduciamo una nuova variabile utilizzando la formula. Elevando al quadrato entrambi i lati dell'uguaglianza, otteniamo 1 + x = T 2 , dove x = T 2 - 1, dx = (T 2 - 1)"dt= 2tdt... Troviamo nuovi limiti di integrazione. Per fare ciò, sostituiamo i vecchi limiti nella formula x = 3 e x = 8. Otteniamo:, da dove T= 2 e α = 2; , dove T= 3 e = 3. Quindi,

Esempio 3. Calcolare

Soluzione. lascia stare tu= ln X, poi , v = X... Secondo la formula (4)