Istituto scolastico di bilancio comunale

"Scuola secondaria Siverskaya n. 3"

Ricerca

matematica.

Ha fatto il lavoro

studente di grado 8-1

Emelin Pavel

supervisore

insegnante di matematica

Tupitsyna Natalia Alekseevna

Insediamento Siversky

anno 2014

La matematica è tutta permeata di bellezza e armonia,

Solo questa bellezza deve essere vista.

B. Mandelbrot

Introduzione _________________________________ 3-4 p.

Capitolo 1.Storia dell'origine dei frattali ._______ 5-6 pp.

Capitolo 2. Classificazione dei frattali ._____________ 6-10 p.

Frattali geometrici

Frattali algebrici

Frattali stocastici

Capitolo 3. "Geometria frattale della natura" ______ 11-13 p.

Capitolo 4. Applicazione dei frattali _______________ 13-15 p.

Capitolo 5 Lavoro pratico __________________ 16-24 p.

Conclusione _________________________________ 25.p

Riferimenti e risorse Internet ________ 26 p.

introduzione

Matematica,

se la guardi bene,

riflette non solo la verità,

ma anche di incomparabile bellezza.

Bertrand Russell

La parola "frattale" è qualcosa di cui parlano molte persone in questi giorni, dagli scienziati agli studenti delle scuole superiori. Appare sulle copertine di molti libri di testo di matematica, riviste scientifiche e scatole di software per computer. Oggi le immagini colorate dei frattali si trovano ovunque: dalle cartoline, alle magliette, alle immagini sul desktop di un personal computer. Quindi cosa sono queste forme colorate che vediamo in giro?

La matematica è la scienza più antica. Alla maggior parte delle persone sembrava che la geometria in natura fosse limitata a figure così semplici come una linea, un cerchio, un poligono, una sfera, ecc. Come si è scoperto, molti sistemi naturali sono così complessi che usare solo oggetti familiari di geometria ordinaria per modellarli sembra senza speranza. Come si può, ad esempio, modellare una cresta di una montagna o una corona di alberi in termini di geometria? Come descrivere la diversità della diversità biologica che osserviamo nel mondo delle piante e degli animali? Come immaginare tutta la complessità del sistema circolatorio, costituito da molti capillari e vasi e che trasporta sangue ad ogni cellula del corpo umano? Immagina la struttura dei polmoni e dei reni, simile alla struttura degli alberi con una corona ramificata?

I frattali sono strumenti adatti per indagare le domande poste. Spesso ciò che vediamo in natura ci incuriosisce con la ripetizione infinita dello stesso schema, ingrandito o ridotto più volte. Ad esempio, un albero ha rami. Questi rami hanno rami più piccoli, ecc. In teoria, l'elemento “biforcazione” si ripete infinite volte, diventando sempre più piccolo. Lo stesso si può vedere guardando una fotografia di un rilievo montuoso. Prova a ingrandire un po' la catena montuosa: vedrai di nuovo le montagne. È così che si manifesta l'autosimilarità caratteristica dei frattali.

Lo studio dei frattali apre meravigliose possibilità, sia nello studio di un numero infinito di applicazioni, sia nel campo della matematica. L'uso dei frattali è molto esteso! Dopotutto, questi oggetti sono così belli che sono usati da designer, artisti, con l'aiuto di loro molti elementi di alberi, nuvole, montagne, ecc. Sono disegnati in grafica. Ma i frattali sono anche usati come antenne in molti telefoni cellulari.

Per molti caologi (scienziati che studiano frattali e caos), questo non è solo un nuovo campo di conoscenza che unisce matematica, fisica teorica, arte e tecnologia informatica: questa è una rivoluzione. Questa è la scoperta di un nuovo tipo di geometria, la geometria che descrive il mondo che ci circonda e che può essere vista non solo nei libri di testo, ma anche nella natura e ovunque nell'universo sconfinato..

Nel mio lavoro, ho anche deciso di "toccare" il mondo della bellezza e determinato per me stesso...

scopo del lavoro: Crea oggetti dall'aspetto molto naturale.

Metodi di ricerca: analisi comparativa, sintesi, modellazione.

Compiti:

conoscenza del concetto, della storia dell'occorrenza e della ricerca di B. Mandelbrot,

G. Koch, V. Sierpinsky e altri;

conoscenza di vari tipi di insiemi frattali;

studio della letteratura scientifica popolare su questo tema, conoscenza di

ipotesi scientifiche;

trovare conferme alla teoria della frattalità del mondo circostante;

studio dell'applicazione dei frattali in altre scienze e nella pratica;

condurre un esperimento per creare le proprie immagini frattali.

Domanda di lavoro fondamentale:

Mostra che la matematica non è una materia arida e senz'anima, può esprimere il mondo spirituale di una persona individualmente e nella società nel suo insieme.

Materia di studio: Geometria frattale.

Oggetto di studio: frattali in matematica e nel mondo reale.

Ipotesi: Tutto ciò che esiste nel mondo reale è un frattale.

Metodi di ricerca: analitico, ricerca.

Rilevanza l'argomento dichiarato è determinato, prima di tutto, dall'oggetto della ricerca, che è la geometria frattale.

Risultati aspettati: Nel corso del lavoro, potrò ampliare le mie conoscenze nel campo della matematica, vedere la bellezza della geometria frattale, iniziare a lavorare sulla creazione dei miei frattali.

Il risultato del lavoro sarà la realizzazione di una presentazione al computer, una newsletter e un booklet.

Capitolo 1 storia dell'origine

B enoie mandelbrot

Il concetto di "frattale" è stato inventato da Benoit Mandelbrot. La parola deriva dal latino "fractus" che significa "rotto, frantumato".

Frattale (latino fractus - schiacciato, rotto, frantumato) è un termine che indica una figura geometrica complessa con la proprietà di auto-similarità, cioè composta da più parti, ognuna delle quali è simile all'intera figura nel suo insieme.

Gli oggetti matematici a cui si riferisce sono caratterizzati da proprietà estremamente interessanti. Nella geometria convenzionale, una linea ha una dimensione, una superficie ha due dimensioni e una figura spaziale è tridimensionale. I frattali, invece, non sono linee o superfici, ma, se si può immaginare questo, una via di mezzo. All'aumentare delle dimensioni aumenta anche il volume del frattale, ma la sua dimensione (esponente) non è un valore intero, ma frazionario, e quindi il bordo di una figura frattale non è una linea: ad alto ingrandimento diventa chiaro che è sfocato e consiste di spirali e riccioli, ripetendo in piccola scala la figura stessa. Questa regolarità geometrica è chiamata invarianza di scala o autosimilarità. È lei che determina la dimensione frazionaria delle figure frattali.

Prima dell'avvento della geometria frattale, la scienza si occupava di sistemi racchiusi in tre dimensioni spaziali. Grazie ad Einstein, è diventato chiaro che lo spazio tridimensionale è solo un modello della realtà e non la realtà stessa. In effetti, il nostro mondo si trova in un continuum spazio-temporale quadridimensionale.
Grazie a Mandelbrot, è diventato chiaro come appare lo spazio quadridimensionale, in senso figurato, il volto frattale del Caos. Benoit Mandelbrot scoprì che la quarta dimensione include non solo le prime tre dimensioni, ma anche (questo è molto importante!) gli intervalli tra di esse.

La geometria ricorsiva (o frattale) sta sostituendo quella euclidea. La nuova scienza è in grado di descrivere la vera natura dei corpi e dei fenomeni. La geometria euclidea si occupava solo di oggetti artificiali, immaginari, appartenenti a tre dimensioni. Solo la quarta dimensione può trasformarli in realtà.

Liquido, gas, solido sono i tre stati fisici usuali della materia che esiste nel mondo tridimensionale. Ma qual è la dimensione di un club di fumo, nuvole, o meglio, i loro confini, continuamente erosi dal turbolento movimento dell'aria?

Fondamentalmente, i frattali sono classificati in tre gruppi:

Frattali algebrici

Frattali stocastici

Frattali geometrici

Diamo un'occhiata più da vicino a ciascuno di essi.

Capitolo 2. Classificazione dei frattali

Frattali geometrici

Benoit Mandelbrot ha proposto un modello frattale, che è già diventato classico ed è spesso utilizzato per dimostrare sia un tipico esempio del frattale stesso, sia per dimostrare la bellezza dei frattali, che attira anche ricercatori, artisti, semplicemente persone interessate.

Fu con loro che iniziò la storia dei frattali. Questo tipo di frattale è ottenuto da semplici costruzioni geometriche. Di solito, quando si costruiscono questi frattali, si fa quanto segue: viene preso un "seme" - un assioma - un insieme di segmenti, sulla base dei quali verrà costruito il frattale. Quindi viene applicata una serie di regole a questo "seme", che lo trasforma in una sorta di figura geometrica. Successivamente, lo stesso insieme di regole viene applicato a ciascuna parte di questa figura. Ad ogni passo, la figura diventerà sempre più complessa, e se eseguiamo (almeno nella nostra mente) un numero infinito di trasformazioni, otterremo un frattale geometrico.

I frattali di questa classe sono i più illustrativi, perché l'autosomiglianza è immediatamente visibile in essi a qualsiasi scala di osservazione. In un caso bidimensionale, tali frattali possono essere ottenuti specificando una certa linea spezzata, chiamata generatore. In un passaggio dell'algoritmo, ciascuno dei segmenti che compongono la polilinea viene sostituito da un generatore di polilinea, nella scala appropriata. Come risultato della ripetizione infinita di questa procedura (o, più precisamente, quando si passa al limite), si ottiene una curva frattale. Con l'apparente complessità della curva risultante, il suo aspetto generale è determinato solo dalla forma del generatore. Esempi di tali curve sono: la curva di Koch (Fig. 7), la curva di Peano (Fig. 8), la curva di Minkowski.

All'inizio del ventesimo secolo, i matematici cercavano curve che non avessero tangente in nessun punto. Ciò significava che la curva cambia direzione bruscamente e, inoltre, ad una velocità enorme (la derivata è uguale all'infinito). La ricerca di queste curve è stata motivata non semplicemente dall'interesse ozioso dei matematici. Il fatto è che all'inizio del ventesimo secolo la meccanica quantistica si è sviluppata molto rapidamente. Il ricercatore M. Brown ha abbozzato la traiettoria delle particelle sospese nell'acqua e ha spiegato questo fenomeno come segue: gli atomi di un liquido che si muovono casualmente colpiscono le particelle sospese e quindi le mettono in movimento. Dopo una tale spiegazione del moto browniano, gli scienziati si sono trovati di fronte al compito di trovare una curva che mostrasse al meglio il moto delle particelle browniane. Per questo, la curva doveva soddisfare le seguenti proprietà: non avere una tangente in nessun punto. Il matematico Koch ha proposto una di queste curve.

A La curva di Koch è un tipico frattale geometrico. Il processo della sua costruzione è il seguente: prendiamo un segmento unitario, lo dividiamo in tre parti uguali e sostituiamo l'intervallo medio con un triangolo equilatero senza questo segmento. Di conseguenza, viene formata una polilinea, composta da quattro collegamenti di lunghezza 1/3. Al passaggio successivo, ripetiamo l'operazione per ciascuno dei quattro collegamenti risultanti, ecc.

La curva limite è Curva di Koch.

Il fiocco di neve di Koch. Eseguendo trasformazioni simili sui lati di un triangolo equilatero, puoi ottenere un'immagine frattale di un fiocco di neve di Koch.

T
Un altro semplice rappresentante di un frattale geometrico è Piazza Sierpinski.È costruito in modo molto semplice: il quadrato è diviso da linee rette parallele ai suoi lati in 9 quadrati uguali. Il quadrato centrale viene rimosso dal quadrato. Il risultato è un set composto da 8 quadrati rimanenti di "primo rango". Procedendo allo stesso modo con ciascuno dei quadrati di prima fila, otteniamo un insieme composto da 64 quadrati di seconda fila. Continuando questo processo all'infinito, otteniamo una sequenza infinita o quadrato di Sierpinski.

Frattali algebrici

Questo è il più grande gruppo di frattali. I frattali algebrici prendono il nome dal fatto che sono costruiti usando semplici formule algebriche.

Si ottengono utilizzando processi non lineari in n-spazi dimensionali. È noto che i sistemi dinamici non lineari hanno diversi stati stabili. Lo stato in cui si trova il sistema dinamico dopo un certo numero di iterazioni dipende dal suo stato iniziale. Pertanto, ogni stato stabile (o, come si dice, un attrattore) ha una certa regione di stati iniziali, da cui il sistema cadrà necessariamente negli stati finali in esame. Quindi, lo spazio delle fasi del sistema è diviso in aree di attrazione attrattori. Se uno spazio bidimensionale è uno spazio delle fasi, allora colorando le regioni di attrazione con colori diversi, si può ottenere ritratto in fase di colore questo sistema (processo iterativo). Modificando l'algoritmo di selezione del colore, puoi ottenere dipinti frattali complessi con bizzarri motivi multicolori. Una sorpresa per i matematici è stata la capacità di generare strutture molto complesse utilizzando algoritmi primitivi.

Consideriamo ad esempio l'insieme di Mandelbrot. È costruito usando numeri complessi.

Una sezione del confine dell'insieme di Mandelbrot, ingrandita 200 volte.

L'insieme di Mandelbrot contiene punti che duranteinfinito il numero di iterazioni non va all'infinito (punti con colore nero). Punti appartenenti al confine dell'insieme(è qui che sorgono strutture complesse) vanno all'infinito dopo un numero finito di iterazioni e i punti che si trovano al di fuori dell'insieme vanno all'infinito dopo diverse iterazioni (sfondo bianco).

NS



Un esempio di un altro frattale algebrico è l'insieme di Julia. Ci sono 2 tipi di questo frattale. Sorprendentemente, gli insiemi di Julia sono formati secondo la stessa formula dell'insieme di Mandelbrot. Il set Julia è stato inventato dal matematico francese Gaston Julia, da cui prende il nome il set.

E
fatto interessante, alcuni frattali algebrici assomigliano in modo sorprendente a immagini di animali, piante e altri oggetti biologici, per cui sono chiamati biomorfi.

Frattali stocastici

Un'altra classe ben nota di frattali sono i frattali stocastici, che si ottengono se uno qualsiasi dei suoi parametri viene modificato casualmente in un processo iterativo. Allo stesso tempo, si ottengono oggetti molto simili a quelli naturali: alberi asimmetrici, coste frastagliate, ecc.

Il plasma è un tipico rappresentante di questo gruppo di frattali.

D
Per costruirlo, viene preso un rettangolo e viene determinato un colore per ogni angolo. Successivamente, il punto centrale del rettangolo viene trovato e dipinto con un colore uguale alla media aritmetica dei colori agli angoli del rettangolo più un numero casuale. Più grande è il numero casuale, più "stracciato" sarà il disegno. Se assumiamo che il colore del punto sia l'altezza sul livello del mare, otterremo invece del plasma: una catena montuosa. È su questo principio che le montagne sono modellate nella maggior parte dei programmi. Utilizzando un algoritmo simile al plasma, viene costruita una mappa dell'altezza, vengono applicati vari filtri, viene applicata una trama e le montagne fotorealistiche sono pronte

E
Se guardiamo questo frattale in un taglio, vedremo questo frattale volumetrico, e ha “rugosità”, proprio a causa di questa “rugosità” c'è un'applicazione molto importante di questo frattale.

Diciamo che vuoi descrivere la forma di una montagna. Le figure ordinarie della geometria euclidea non aiuteranno qui, perché non tengono conto del rilievo superficiale. Ma quando combini la solita geometria con il frattale, puoi ottenere la stessa "rugosità" della montagna. Il plasma dovrebbe essere applicato a un cono ordinario e otterremo il rilievo della montagna. Tali operazioni possono essere eseguite con molti altri oggetti in natura; grazie ai frattali stocastici, si può descrivere la natura stessa.

Ora parliamo di frattali geometrici.

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Capitolo 3 "Geometria frattale della natura"

"Perché la geometria è spesso chiamata" fredda "e" secca? "Uno dei motivi è la sua incapacità di descrivere la forma di una nuvola, montagna, costa o albero. Le nuvole non sono sfere, le montagne non sono coni, le coste non sono cerchi, corteccia d'albero non è liscia, il fulmine non viaggia in linea retta Più in generale, sostengo che molti oggetti in Natura sono così irregolari e frammentati che rispetto a Euclide - termine che in questo lavoro si riferisce a tutta la geometria standard - la Natura ha più non solo una maggiore complessità, ma la complessità di un livello completamente diverso. Il numero di diverse scale di lunghezza degli oggetti naturali per tutti gli scopi pratici è infinito. "

(Benoit Mandelbrot "Geometria frattale della natura" ).

A La razza dei frattali è duplice: delizia l'occhio, come dimostra almeno la mostra mondiale di immagini frattali, organizzata da un gruppo di matematici di Brema sotto la guida di Peitgen e Richter. Successivamente, i reperti di questa grandiosa mostra sono stati catturati nelle illustrazioni per il libro degli stessi autori "La bellezza dei frattali". Ma c'è un altro aspetto, più astratto o sublime, della bellezza dei frattali, aperto, secondo R. Feynman, solo allo sguardo mentale del teorico, in questo senso i frattali sono belli con la bellezza di un difficile problema matematico. Benoit Mandelbrot ha fatto notare ai suoi contemporanei (e, presumibilmente, discendenti) una fastidiosa lacuna nei Principi di Euclide, secondo la quale, senza accorgersene, per quasi due millenni l'umanità ha compreso la geometria del mondo circostante e ha appreso il rigore matematico della presentazione . Naturalmente, entrambi gli aspetti della bellezza dei frattali sono strettamente interconnessi e non si escludono, ma si completano a vicenda, sebbene ciascuno di essi sia autosufficiente.

La geometria frattale della natura di Mandelbrot è una vera e propria geometria che soddisfa la definizione di geometria proposta nel Programma Erlangen da F. Klein. Il fatto è che prima della comparsa della geometria non euclidea N.I. Lobachevsky - L. Bolyai, c'era solo una geometria - quella che è stata presentata negli "Elementi", e la domanda su cosa sia la geometria e quale delle geometrie sia la geometria del mondo reale non si poneva e non poteva sorgere . Ma con l'avvento di un'altra geometria, è sorta la domanda su cosa sia la geometria in generale e quale delle tante geometrie corrisponda al mondo reale. Secondo F. Klein, la geometria sta studiando tali proprietà di oggetti che sono invarianti sotto trasformazioni: Euclidea - invarianti del gruppo di moti (trasformazioni che non cambiano la distanza tra due punti qualsiasi, cioè che rappresentano una sovrapposizione di traslazioni parallele e rotazioni con o senza un cambiamento di orientamento) , geometria di Lobachevsky-Bolyai - invarianti del gruppo di Lorentz. La geometria frattale studia gli invarianti del gruppo delle trasformazioni autoaffine, ad es. proprietà espresse dalle leggi di potenza.

Per quanto riguarda la corrispondenza con il mondo reale, la geometria frattale descrive una classe molto ampia di processi e fenomeni naturali, e quindi, seguendo B. Mandelbrot, possiamo giustamente parlare di geometria frattale della natura. Nuovo: gli oggetti frattali hanno proprietà insolite. Le lunghezze, le aree ei volumi di alcuni frattali sono uguali a zero, mentre altri vanno all'infinito.

La natura spesso crea frattali sorprendenti e belli, con una geometria perfetta e una tale armonia che ti congeli con l'ammirazione. Ed ecco i loro esempi:

Conchiglie

Fulmine ammirare con la loro bellezza. I frattali dei fulmini non sono né casuali né regolari

forma frattale sottospecie di cavolfiore(Brassica cauliflora). Questa vista particolare è un frattale particolarmente simmetrico.

NS Pantanoè anche un buon esempio di frattale tra la flora.

pavoni tutti sono conosciuti per il loro piumaggio colorato, in cui si nascondono solidi frattali.

Ghiaccio, motivi gelidi sulle finestre sono anche frattali

oh
t immagine ingrandita volantino, prima rami d'albero- i frattali possono essere trovati in tutto

I frattali sono ovunque e ovunque nella natura che ci circonda. L'intero Universo è costruito secondo leggi sorprendentemente armoniche con precisione matematica. Come puoi allora pensare che il nostro pianeta sia una coesione casuale di particelle? Difficilmente.

Capitolo 4. Applicazione dei frattali

I frattali stanno trovando sempre più applicazioni nella scienza. La ragione principale di ciò è che descrivono il mondo reale a volte anche meglio della fisica o della matematica tradizionali. Ecco alcuni esempi:

oh
giacciono i giorni delle più potenti applicazioni frattali computer grafica... Questa è la compressione dell'immagine frattale. La fisica e la meccanica moderne stanno appena iniziando a studiare il comportamento degli oggetti frattali.

I vantaggi degli algoritmi di compressione delle immagini frattali sono le dimensioni molto ridotte del file compresso e il breve tempo di recupero dell'immagine. Le immagini frattali possono essere ridimensionate senza la comparsa di pixel (qualità dell'immagine scadente - quadrati grandi). Ma il processo di compressione richiede molto tempo e talvolta richiede ore. L'algoritmo di compressione frattale con perdita consente di impostare il rapporto di compressione, simile al formato jpeg. L'algoritmo si basa sulla ricerca di grandi pezzi di un'immagine simili ad alcuni piccoli pezzi. E solo quale pezzo è simile a quale viene scritto nel file di output. Durante la compressione, di solito usano una griglia quadrata (pezzi - quadrati), che porta a una leggera angolarità durante il ripristino dell'immagine, la griglia esagonale è priva di tale inconveniente.

Iterated ha sviluppato un nuovo formato di immagine "Sting" che combina compressione senza perdita di frattali e forme d'onda (come jpeg). Il nuovo formato consente di creare immagini con possibilità di ridimensionamento successivo di alta qualità e il volume dei file grafici è del 15-20% del volume delle immagini non compresse.

In meccanica e fisica i frattali sono usati per la proprietà unica di ripetere i contorni di molti oggetti della natura. I frattali consentono di approssimare alberi, superfici rocciose e crepe con una precisione maggiore rispetto alle approssimazioni con un insieme di linee o poligoni (per la stessa quantità di dati memorizzati). I modelli frattali, come gli oggetti naturali, hanno "rugosità" e questa proprietà viene mantenuta a un ingrandimento arbitrariamente grande del modello. La presenza di una misura uniforme sui frattali consente di applicare l'integrazione, la teoria del potenziale, usarli al posto degli oggetti standard nelle equazioni già studiate.

T
La geometria frattale è usata anche per disegno dell'antenna... Questo è stato applicato per la prima volta dall'ingegnere americano Nathan Cohen, che allora viveva nel centro di Boston, dove era vietata l'installazione di antenne esterne sugli edifici. Cohen ha tagliato una curva di Koch da un foglio di alluminio e l'ha incollata su un pezzo di carta, quindi l'ha attaccata al ricevitore. Si è scoperto che una tale antenna non funziona peggio della solita. E sebbene i principi fisici di tale antenna non siano ancora stati studiati, ciò non ha impedito a Cohen di fondare la propria azienda e iniziare la loro produzione in serie. Al momento l'azienda americana "Fractal Antenna System" ha sviluppato un nuovo tipo di antenna. Ora puoi smettere di usare antenne esterne sporgenti nei telefoni cellulari. La cosiddetta antenna frattale si trova direttamente sulla scheda madre all'interno del dispositivo.

Ci sono anche molte ipotesi sull'uso dei frattali - ad esempio, i sistemi linfatico e circolatorio, i polmoni e molto altro hanno anche proprietà frattali.

Capitolo 5. Lavoro pratico.

Innanzitutto, soffermiamoci sui frattali "Collana", "Vittoria" e "Quadrato".

Primo - "Collana"(fig.7). Questo frattale è iniziato da un cerchio. Questo cerchio è costituito da un certo numero degli stessi cerchi, ma di dimensioni più piccole, ed è esso stesso uno dei tanti cerchi, che sono uguali, ma di dimensioni maggiori. Quindi il processo educativo è infinito e può essere condotto sia in una direzione che nella direzione opposta. Quelli. la figura può essere ingrandita prendendo solo un piccolo arco, oppure può essere ridotta considerando la sua costruzione da quelli più piccoli.

Riso. 7.

Frattale "Collana"

Il secondo frattale è "Vittoria"(fig. 8). Ha preso questo nome perché assomiglia esternamente alla lettera latina "V", cioè "vittoria" - vittoria. Questo frattale è costituito da un certo numero di piccole “v” che formano una grande “V”, e nella metà sinistra, dove le piccole sono poste in modo che le loro metà sinistra formino una linea retta, il lato destro è costruito in allo stesso modo. Ognuna di queste "v" è costruita allo stesso modo e questo continua all'infinito.

figura 8. Frattale "Vittoria"

Il terzo frattale è "Quadrato" (fig. 9)... Ciascuno dei suoi lati è costituito da una fila di celle, sotto forma di quadrati, i cui lati rappresentano anche file di celle, ecc.

Fig.9 Frattale "Quadrato"

Il frattale è stato chiamato "Rosa" (Fig. 10), per la sua somiglianza esterna con questo fiore. La costruzione di un frattale è associata alla costruzione di una serie di cerchi concentrici, il cui raggio varia in proporzione al rapporto dato (in questo caso R m / R b = ¾ = 0,75.). Successivamente, in ciascun cerchio viene inscritto un esagono regolare, il cui lato è uguale al raggio del cerchio descritto attorno ad esso.

Riso. 11. Frattale "Rosa *"

Successivamente, passiamo al pentagono regolare, in cui disegniamo le sue diagonali. Quindi, nel pentagono risultante all'intersezione dei segmenti corrispondenti, disegna nuovamente le diagonali. Continuiamo questo processo all'infinito e otteniamo il frattale "Pentagramma" (Fig. 12).

Introduciamo un elemento di creatività e il nostro frattale assumerà la forma di un oggetto più visivo (Fig. 13).

R
è. 12. Frattale "Pentagramma".

Riso. 13. Frattale "Pentagramma *"

Riso. 14 frattali "Buco nero"

Esperimento n. 1 "Albero"

Ora che ho capito cos'è un frattale e come costruirlo, ho provato a creare le mie immagini frattali. In Adobe Photoshop, ho creato una piccola subroutine o azione, la particolarità di questa azione è che ripete le azioni che faccio, ed è così che ottengo un frattale.

Per cominciare, ho creato uno sfondo per il nostro futuro frattale con una risoluzione di 600 per 600. Poi ho disegnato 3 linee su questo sfondo: la base del nostro futuro frattale.

INSIEME A il passo successivo è scrivere lo script.

duplicare il livello ( livello> duplicato) e cambia il tipo di fusione in " Schermo" .

Chiamiamolo" fr1". Copiamo questo livello (" fr1") altre 2 volte.

Ora dobbiamo passare all'ultimo livello. (fr3) e fonderlo due volte con il precedente ( Ctrl + Mi). Diminuire la luminosità del livello ( Immagine> Regolazioni> Luminosità/Contrasto , luminosità impostata 50% ). Unisci di nuovo con il livello precedente e ritaglia i bordi dell'intero disegno per rimuovere le parti invisibili.

Nell'ultimo passaggio, ho copiato questa immagine e l'ho incollata e ruotata. Questo è quello che è successo nel risultato finale.

Conclusione

Questo lavoro è un'introduzione al mondo dei frattali. Abbiamo considerato solo la minima parte di cosa sono i frattali, in base a quali principi sono costruiti.

La grafica frattale non è solo un insieme di immagini che si ripetono, è un modello della struttura e del principio di qualsiasi essere. Tutta la nostra vita è rappresentata da frattali. Tutta la natura intorno a noi è composta da loro. Va notato che i frattali sono ampiamente utilizzati nei giochi per computer, dove i rilievi del terreno sono spesso immagini frattali basate su modelli tridimensionali di insiemi complessi. I frattali rendono molto facile disegnare la grafica del computer; con l'aiuto dei frattali, vengono creati molti effetti speciali, varie immagini favolose e incredibili, ecc. Inoltre, con l'aiuto della geometria frattale, vengono disegnati alberi, nuvole, banche e tutta l'altra natura. La grafica frattale è necessaria ovunque e lo sviluppo di "tecnologie frattali" è uno dei compiti più importanti oggi.

In futuro, ho intenzione di imparare a costruire frattali algebrici quando studio i numeri complessi in modo più dettagliato. Voglio anche provare a costruire le mie immagini frattali nel linguaggio di programmazione Pascal usando i loop.

Va notato l'uso dei frattali nella tecnologia informatica, oltre alla semplice costruzione di bellissime immagini sullo schermo di un computer. I frattali nella tecnologia informatica sono utilizzati nelle seguenti aree:

1. Compressione di immagini e informazioni

2. Nascondere le informazioni nell'immagine, nel suono, ...

3. Crittografia dei dati utilizzando algoritmi frattali

4. Creazione di musica frattale

5. Modellazione del sistema

Nel nostro lavoro, lontano da tutte le aree della conoscenza umana vengono fornite dove la teoria dei frattali ha trovato la sua applicazione. Vogliamo solo dire che non è passato più di un terzo di secolo da quando è apparsa la teoria, ma durante questo periodo i frattali per molti ricercatori sono diventati un'improvvisa luce brillante nella notte, che ha illuminato fatti e schemi finora sconosciuti in aree specifiche di dati . Con l'aiuto della teoria dei frattali, hanno iniziato a spiegare l'evoluzione delle galassie e lo sviluppo della cellula, l'emergere di montagne e la formazione di nuvole, il movimento dei prezzi in borsa e lo sviluppo della società e della famiglia . Forse all'inizio questa fascinazione per i frattali era fin troppo violenta ei tentativi di spiegare tutto con l'aiuto della teoria dei frattali erano ingiustificati. Ma, senza dubbio, questa teoria ha il diritto di esistere e ci dispiace che recentemente sia stata in qualche modo dimenticata e sia rimasta il destino dell'élite. Durante la preparazione di questo lavoro, è stato molto interessante per noi trovare l'applicazione della TEORIA nella PRATICA. Perché molto spesso si ha la sensazione che la conoscenza teorica si allontani dalla realtà della vita.

Pertanto, il concetto di frattali diventa non solo una parte della scienza "pura", ma anche un elemento della cultura umana universale. La scienza dei frattali è ancora molto giovane e ha un grande futuro davanti a sé. La bellezza dei frattali è lungi dall'essere esaurita e ci regalerà molti capolavori: quelli che deliziano l'occhio e quelli che portano vero piacere alla mente.

10. Riferimenti

Bozhokin S.V., Parshin D.A. Frattali e multifrattali. guida a destra 2001 .

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Mandelbrot B. Insiemi frattali autoaffini, "Frattali in fisica". M.: Mir 1988

Mandelbrot B. Geometria frattale della natura. - M.: "Istituto per la ricerca informatica", 2002.

Morozov d.C. Introduzione alla teoria dei frattali. N. Novgorod: Casa editrice di Nizhny Novgorod. Università 1999

Peitgen H.-O., Richter P. H. La bellezza dei frattali. - M.: "Mir", 1993.

Risorse Internet

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http://fractals.nsu.ru/animations.htm

http://www.cootey.com/fractals/index.html

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http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html

Quindi, un frattale è un insieme matematico costituito da oggetti simili a questo insieme. In altre parole, se osserviamo un piccolo frammento di una figura frattale sotto ingrandimento, sembrerà una parte su larga scala di questa figura, o anche la figura nel suo insieme. Per un frattale, inoltre, un aumento di scala non significa una semplificazione della struttura. Pertanto, a tutti i livelli, vedremo un quadro altrettanto complesso.

Proprietà frattali

In base alla definizione di cui sopra, un frattale è solitamente rappresentato come una figura geometrica che soddisfa una o più delle seguenti proprietà:

Ha una struttura complessa a qualsiasi ingrandimento;

Approssimativamente auto-simile (le parti sono simili al tutto);

Ha una dimensione frazionaria più topologica;

Può essere costruito utilizzando un metodo ricorsivo.

Frattali nel mondo esterno

Nonostante il concetto di "frattale" sembri estremamente astratto, nella vita puoi imbatterti in molti esempi reali e persino pratici di questo fenomeno. Inoltre, dal mondo circostante vanno sicuramente considerati, perché daranno una migliore comprensione del frattale e delle sue caratteristiche.

Ad esempio, le antenne per vari dispositivi, i cui progetti sono eseguiti con il metodo frattale, mostrano la loro efficienza del 20% superiore rispetto alle antenne di design tradizionale. Inoltre, l'antenna frattale può operare con prestazioni eccellenti simultaneamente su un'ampia varietà di frequenze. Ecco perché i moderni telefoni cellulari praticamente non hanno antenne esterne di un dispositivo classico nel loro design: queste ultime sono sostituite da frattali interne, che sono montate direttamente sul circuito stampato del telefono.

I frattali hanno ricevuto grande attenzione con lo sviluppo della tecnologia dell'informazione. Attualmente sono stati sviluppati algoritmi per comprimere varie immagini utilizzando i frattali, esistono metodi per costruire oggetti di computer grafica (alberi, superfici di montagne e mare) in modo frattale, nonché un sistema frattale per l'assegnazione di indirizzi IP in alcune reti.

In economia, c'è un modo per usare i frattali quando si analizzano le quotazioni di azioni e valute. Forse un lettore che fa trading nel mercato Forex ha visto l'analisi frattale in azione in un terminale di trading, o addirittura l'ha applicata nella pratica.

Inoltre, oltre agli oggetti creati artificialmente dall'uomo con proprietà frattali, in natura ci sono anche molti di questi oggetti. Buoni esempi di frattale sono i coralli, le conchiglie, alcuni fiori e piante (broccoli, cavolfiori), il sistema circolatorio e i bronchi di esseri umani e animali, motivi formati su vetro, cristalli naturali. Questi e molti altri oggetti hanno una forma frattale pronunciata.

I frattali sono noti da quasi un secolo, sono stati ben studiati e hanno numerose applicazioni nella vita. Tuttavia, questo fenomeno si basa su un'idea molto semplice: una moltitudine di forme, infinita in bellezza e varietà, può essere ottenuta da strutture relativamente semplici utilizzando solo due operazioni: copia e ridimensionamento.

Cosa hanno in comune un albero, una spiaggia, una nuvola o dei vasi sanguigni nella nostra mano? A prima vista, può sembrare che tutti questi oggetti non abbiano nulla in comune. Tuttavia, in effetti, c'è una proprietà di struttura inerente a tutti gli oggetti elencati: sono auto-simili. Dal ramo, così come dal tronco dell'albero, ci sono rami più piccoli, da loro - anche quelli più piccoli, ecc., cioè il ramo è come l'intero albero. Il sistema circolatorio è organizzato in modo simile: le arteriole partono dalle arterie e da esse - i più piccoli capillari attraverso i quali l'ossigeno entra negli organi e nei tessuti. Diamo un'occhiata alle immagini satellitari della costa del mare: vedremo baie e penisole; diamo un'occhiata, ma a volo d'uccello: vedremo baie e promontori; Ora immaginiamo di essere in piedi sulla spiaggia e di guardarci i piedi: ci sono sempre dei sassolini che sporgono nell'acqua più in là degli altri. Cioè, la costa rimane simile a se stessa quando viene ingrandita. Il matematico americano (benché cresciuto in Francia) Benoit Mandelbrot chiamò questa proprietà degli oggetti frattalità e tali oggetti stessi - frattali (dal latino fractus - rotti).

Questo concetto non ha una definizione rigorosa. Pertanto, la parola "frattale" non è un termine matematico. Tipicamente, un frattale è una figura geometrica che soddisfa una o più delle seguenti proprietà: Ha una struttura complessa a qualsiasi ingrandimento (al contrario, ad esempio, di una linea retta, la cui parte è la figura geometrica più semplice - una linea segmento). È (approssimativamente) autosimile. Ha una dimensione di Hausdorff (frattale) frazionaria, che è maggiore di quella topologica. Può essere costruito con procedure ricorsive.

Geometria e Algebra

Lo studio dei frattali a cavallo tra il XIX e il XX secolo era piuttosto episodico che sistematico, perché i matematici precedenti studiavano principalmente oggetti "buoni" che erano suscettibili di ricerca utilizzando metodi e teorie generali. Nel 1872, il matematico tedesco Karl Weierstrass costruisce un esempio di funzione continua che non è differenziabile da nessuna parte. Tuttavia, la sua costruzione era del tutto astratta e difficile da percepire. Pertanto, nel 1904, lo svedese Helge von Koch inventò una curva continua, che non ha tangenti da nessuna parte, ed è abbastanza semplice da disegnare. Si è scoperto che ha le proprietà di un frattale. Una delle varianti di questa curva è chiamata "fiocco di neve di Koch".

Le idee sull'autosomiglianza delle figure furono raccolte dal francese Paul Pierre Levy, il futuro mentore di Benoit Mandelbrot. Nel 1938 pubblicò il suo articolo "Curve e superfici piane e spaziali, costituite da parti simili al tutto", che descrive un altro frattale: la curva C di Lévy. Tutti questi frattali di cui sopra possono essere attribuiti condizionatamente a una classe di frattali costruttivi (geometrici).

Un'altra classe sono i frattali dinamici (algebrici), che includono l'insieme di Mandelbrot. I primi studi in questa direzione sono iniziati all'inizio del XX secolo e sono associati ai nomi dei matematici francesi Gaston Julia e Pierre Fatou. Nel 1918 fu pubblicata la memoria di quasi duecento pagine di Julia, dedicata alle iterazioni di complesse funzioni razionali, in cui venivano descritti gli insiemi di Julia - un'intera famiglia di frattali strettamente correlati all'insieme di Mandelbrot. Quest'opera è stata insignita del premio dell'Accademia di Francia, ma non conteneva una sola illustrazione, quindi era impossibile apprezzare la bellezza degli oggetti scoperti. Nonostante il fatto che questo lavoro glorificasse Julia tra i matematici dell'epoca, fu presto dimenticato. Solo mezzo secolo dopo i computer tornarono all'attenzione: furono loro a rendere visibile la ricchezza e la bellezza del mondo dei frattali.

Dimensioni frattali

Come sai, la dimensione (numero di misure) di una figura geometrica è il numero di coordinate necessarie per determinare la posizione di un punto che giace su questa figura.
Ad esempio, la posizione di un punto su una curva è determinata da una coordinata, su una superficie (non necessariamente un piano) da due coordinate, nello spazio tridimensionale da tre coordinate.
Da un punto di vista matematico più generale, puoi definire la dimensione in questo modo: un aumento delle dimensioni lineari, diciamo, due volte, per oggetti (segmento) unidimensionali (da un punto di vista topologico) porta ad un aumento delle dimensioni (lunghezza) due volte, per bidimensionale (quadrato ) lo stesso aumento delle dimensioni lineari porta ad un aumento delle dimensioni (area) di 4 volte, per tridimensionale (cubo) - di 8 volte. Cioè, la dimensione "reale" (la cosiddetta Hausdorff) può essere calcolata come il rapporto tra il logaritmo di un aumento della "dimensione" di un oggetto e il logaritmo di un aumento della sua dimensione lineare. Cioè, per il segmento D = log (2) / log (2) = 1, per il piano D = log (4) / log (2) = 2, per il volume D = log (8) / log (2 ) = 3.
Calcoliamo ora la dimensione della curva di Koch, per la cui costruzione il segmento unitario viene diviso in tre parti uguali e l'intervallo medio viene sostituito da un triangolo equilatero privo di tale segmento. Con un aumento delle dimensioni lineari del segmento minimo di tre volte, la lunghezza della curva di Koch aumenta di log (4) / log (3) ~ 1,26. Cioè, la dimensione della curva di Koch è frazionaria!

Scienza e arte

Nel 1982 è stato pubblicato il libro di Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature", in cui l'autore ha raccolto e sistematizzato quasi tutte le informazioni disponibili in quel momento sui frattali e le ha presentate in modo facile e accessibile. Nella sua presentazione, Mandelbrot ha posto l'accento principale non su formule ingombranti e costruzioni matematiche, ma sull'intuizione geometrica dei lettori. Grazie alle illustrazioni generate al computer e ai racconti storici, con i quali l'autore ha abilmente diluito la componente scientifica della monografia, il libro è diventato un bestseller e i frattali sono diventati noti al grande pubblico. Il loro successo tra i non matematici è in gran parte dovuto al fatto che con l'aiuto di costruzioni e formule molto semplici che uno studente delle superiori può comprendere, si ottengono immagini di straordinaria complessità e bellezza. Quando i personal computer sono diventati abbastanza potenti, è apparsa anche un'intera tendenza nell'arte: la pittura frattale, e quasi tutti i proprietari di computer potrebbero farlo. Ora su Internet puoi facilmente trovare molti siti dedicati a questo argomento.

Schema per ottenere la curva di Koch

Guerra e Pace

Come notato sopra, uno degli oggetti naturali con proprietà frattali è la costa. Ad esso è collegata una storia interessante, o meglio, con un tentativo di misurarne la lunghezza, che ha costituito la base dell'articolo scientifico di Mandelbrot, ed è anche descritta nel suo libro "The Fractal Geometry of Nature". Questo è un esperimento condotto da Lewis Richardson, un matematico, fisico e meteorologo molto talentuoso ed eccentrico. Una delle direzioni della sua ricerca era il tentativo di trovare una descrizione matematica delle cause e della probabilità di un conflitto armato tra i due paesi. Tra i parametri che ha preso in considerazione c'era la lunghezza del confine comune dei due paesi belligeranti. Quando ha raccolto dati per esperimenti numerici, ha scoperto che in diverse fonti i dati sul confine comune tra Spagna e Portogallo sono molto diversi. Questo lo ha spinto a scoprire quanto segue: la lunghezza dei confini di un paese dipende dal righello con cui li misuriamo. Più piccola è la scala, più lungo è il bordo. Ciò è dovuto al fatto che con un ingrandimento maggiore diventa possibile tenere conto di un numero sempre maggiore di curve costiere, prima ignorate a causa della scabrezza delle misurazioni. E se, con ogni aumento di scala, si apriranno le curve delle linee precedentemente non contabilizzate, allora si scopre che la lunghezza dei confini è infinita! È vero, in realtà ciò non accade: l'accuratezza delle nostre misurazioni ha un limite finito. Questo paradosso è chiamato effetto Richardson.

Frattali costruttivi (geometrici)

L'algoritmo per costruire un frattale costruttivo nel caso generale è il seguente. Prima di tutto, abbiamo bisogno di due forme geometriche adatte, chiamiamole una base e un frammento. Nella prima fase, viene raffigurata la base del futuro frattale. Quindi alcune delle sue parti vengono sostituite con un frammento preso su una scala adeguata: questa è la prima iterazione della costruzione. Quindi, la figura risultante cambia di nuovo alcune parti in figure simili a un frammento, e così via.Se continuiamo questo processo indefinitamente, al limite otteniamo un frattale.

Diamo un'occhiata a questo processo usando la curva di Koch come esempio (vedi la barra laterale nella pagina precedente). Come base per la curva di Koch, puoi prendere qualsiasi curva (per il "fiocco di neve di Koch" è un triangolo). Ma ci limiteremo al caso più semplice: un segmento. Un frammento è una linea spezzata mostrata in alto nella figura. Dopo la prima iterazione dell'algoritmo, in questo caso, il segmento iniziale coinciderà con il frammento, quindi ciascuno dei suoi segmenti costituenti sarà sostituito da una linea spezzata, simile a un frammento, ecc. La figura mostra i primi quattro passaggi di questo processo.

Nel linguaggio della matematica: frattali dinamici (algebrici)

Frattali di questo tipo nascono nello studio dei sistemi dinamici non lineari (da cui il nome). Il comportamento di un tale sistema può essere descritto da una funzione non lineare complessa (polinomio) f (z). Prendi un punto di partenza z0 sul piano complesso (vedi barra laterale). Consideriamo ora una tale sequenza infinita di numeri sul piano complesso, ciascuno dei quali è ottenuto dal precedente: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn ). A seconda del punto iniziale z0, tale successione può comportarsi in modi diversi: tendere all'infinito come n -> ∞; convergere verso un punto finale; assumere ciclicamente un numero di valori fissi; sono possibili anche opzioni più complesse.

Numeri complessi

Un numero complesso è un numero composto da due parti: reale e immaginario, ovvero la somma formale x + iy (qui xey sono numeri reali). io è il cosiddetto. unità immaginaria, cioè un numero che soddisfa l'equazione io ^ 2 = -1. Le operazioni matematiche di base sono definite su numeri complessi: addizione, moltiplicazione, divisione, sottrazione (solo l'operazione di confronto non è definita). Per visualizzare i numeri complessi, viene spesso utilizzata una rappresentazione geometrica: sul piano (è chiamato complesso), la parte reale è posta sull'ascissa e la parte immaginaria sull'ordinata, mentre il numero complesso corrisponderà a un punto con cartesiano coordinate x e y.

Pertanto, qualsiasi punto z del piano complesso ha il proprio carattere di comportamento durante le iterazioni della funzione f (z) e l'intero piano è diviso in parti. In questo caso, i punti che si trovano sui confini di queste parti hanno la seguente proprietà: per uno spostamento arbitrariamente piccolo, la natura del loro comportamento cambia bruscamente (tali punti sono chiamati punti di biforcazione). Quindi, risulta che gli insiemi di punti con un tipo specifico di comportamento, così come gli insiemi di punti di biforcazione, hanno spesso proprietà frattali. Questi sono gli insiemi di Julia per la funzione f (z).

Famiglia di draghi

Variando la base e il frammento, puoi ottenere una straordinaria varietà di frattali costruttivi.
Inoltre, operazioni simili possono essere eseguite nello spazio tridimensionale. Esempi di frattali volumetrici sono la spugna di Menger, la piramide di Sierpinski e altri.
La famiglia dei draghi è anche chiamata frattali costruttivi. A volte vengono chiamati con il nome degli scopritori "draghi dell'autostrada Harter" (nella loro forma assomigliano ai draghi cinesi). Esistono diversi modi per tracciare questa curva. Il più semplice e intuitivo è questo: devi prendere una striscia di carta sufficientemente lunga (più sottile è la carta, meglio è) e piegarla a metà. Quindi piegalo di nuovo due volte nella stessa direzione della prima volta. Dopo diverse ripetizioni (di solito dopo cinque o sei pieghe, la striscia diventa troppo spessa per essere piegata ulteriormente), è necessario distendere la striscia all'indietro e cercare di formare angoli di 90˚ alle pieghe. Quindi la curva del drago risulterà di profilo. Naturalmente, questa sarà solo un'approssimazione, come tutti i nostri tentativi di rappresentare oggetti frattali. Il computer ti consente di rappresentare molti più passaggi in questo processo e il risultato è una figura molto bella.

L'insieme di Mandelbrot è costruito in un modo leggermente diverso. Considera la funzione fc (z) = z 2 + ñ, dove c è un numero complesso. Costruiamo una successione di questa funzione con z0 = 0, a seconda del parametro c, può divergere all'infinito o rimanere limitata. Inoltre, tutti i valori di c per cui questa sequenza è limitata formano l'insieme di Mandelbrot. Fu studiato in dettaglio dallo stesso Mandelbrot e da altri matematici, che scoprirono molte proprietà interessanti di questo insieme.

Si vede che le definizioni degli insiemi di Julia e Mandelbrot sono simili tra loro. In realtà, questi due insiemi sono strettamente correlati. Ossia, l'insieme di Mandelbrot sono tutti i valori del parametro complesso c per cui è connesso l'insieme di Julia fc (z) (un insieme si dice connesso se non può essere scomposto in due parti disgiunte, con alcune condizioni aggiuntive).

Frattali e vita

Oggi, la teoria dei frattali è ampiamente utilizzata in vari campi dell'attività umana. Oltre a un oggetto di ricerca puramente scientifico e alla già citata pittura frattale, i frattali sono usati nella teoria dell'informazione per comprimere dati grafici (qui si usa principalmente la proprietà di autosomiglianza dei frattali - dopotutto, per ricordare un piccolo frammento di un disegno e trasformazioni con cui è possibile ottenere il resto delle parti, è necessaria molta meno memoria rispetto alla memorizzazione dell'intero file). Aggiungendo perturbazioni casuali alle formule che definiscono il frattale, si possono ottenere frattali stocastici che veicolano molto plausibilmente alcuni oggetti reali - elementi in rilievo, la superficie dei corpi idrici, alcune piante, che viene utilizzato con successo in fisica, geografia e computer grafica per ottenere maggiori somiglianza di oggetti simulati con oggetti reali. Nell'elettronica radio, nell'ultimo decennio, hanno iniziato a produrre antenne con una forma frattale. Occupando poco spazio, forniscono una ricezione del segnale di qualità piuttosto elevata. Gli economisti usano i frattali per descrivere le curve dei tassi di cambio (una proprietà scoperta da Mandelbrot oltre 30 anni fa). Questo conclude questa piccola escursione nel mondo incredibilmente bello e variegato dei frattali.

Il caos è un ordine che deve essere decifrato.

Jose Saramago, Il Doppio

“Il XX secolo sarà ricordato per le generazioni future solo grazie alla creazione delle teorie della relatività, della meccanica quantistica e del caos... la teoria della relatività si è liberata delle illusioni di Newton sullo spazio-tempo assoluto, la meccanica quantistica ha dissipato il sogno del il determinismo degli eventi fisici e, infine, il caos ha sfatato la fantasia di Laplace sulla completa predeterminazione dello sviluppo dei sistemi”. Queste parole del famoso storico e divulgatore scientifico americano, James Gleick, riflettono l'enorme importanza della questione, che viene trattata solo brevemente nell'articolo portato all'attenzione del lettore. Il nostro mondo è emerso dal caos. Tuttavia, se il caos non obbedisse alle proprie leggi, se non ci fosse una logica speciale in esso, non sarebbe in grado di generare nulla.

Il nuovo è il vecchio ben dimenticato

Permettetemi di prendere un'altra citazione da Gleick:

Il pensiero di una somiglianza interiore, che il grande possa essere investito nel piccolo, ha accarezzato a lungo l'anima umana... Secondo Leibniz, una goccia d'acqua contiene il mondo intero splendente di colori, dove l'acqua schizza scintilla e altri universi sconosciuti abitare. "Vedi il mondo in un granello di sabbia" - ha esortato Blake, e alcuni scienziati hanno cercato di seguire il suo patto. I primi ricercatori del liquido seminale tendevano a vedere in ogni spermatozoo una specie di omuncolo, cioè un essere umano minuscolo, ma già completamente formato.

Una retrospettiva di tali visioni può essere portata molto più lontano nelle profondità della storia. Uno dei principi fondamentali della magia - una tappa integrale nello sviluppo di ogni società - è il postulato: la parte è come il tutto. Si è manifestato in azioni come seppellire il cranio di un animale invece dell'intero animale, un modello di un carro invece del carro stesso, ecc. Mantenendo il cranio di un antenato, i parenti credevano che continuasse a vivere accanto a loro e prendere parte ai loro affari.

Anche l'antico filosofo greco Anassagora considerava gli elementi primari dell'universo come particelle, simili ad altre particelle del tutto e del tutto stesso, "infiniti sia nella moltitudine che nella piccolezza". Aristotele caratterizzò gli elementi di Anassagora con l'aggettivo "simile".

E il nostro contemporaneo cibernetico americano Ron Eglash, esplorando la cultura delle tribù africane e degli indiani sudamericani, ha fatto una scoperta: fin dall'antichità alcuni di loro hanno utilizzato i principi frattali di costruzione negli ornamenti, nei modelli applicati agli abiti e agli oggetti per la casa, nei gioielli , cerimonie rituali e anche in architettura. Quindi, la struttura dei villaggi di alcune tribù africane è un cerchio in cui ci sono piccoli cerchi - case, all'interno delle quali cerchi ancora più piccoli sono case di spiriti. Per altre tribù, invece dei cerchi, altre figure fungono da elementi di architettura, ma si ripetono anche su scale diverse, soggette a un'unica struttura. Inoltre, questi principi di costruzione non erano una semplice imitazione della natura, ma erano coerenti con la visione del mondo e l'organizzazione sociale prevalenti.

La nostra civiltà, a quanto pare, è andata ben lontana dall'esistenza primitiva. Tuttavia, continuiamo a vivere nello stesso mondo, siamo ancora circondati dalla natura, vivendo secondo le sue leggi, nonostante tutti i tentativi umani di adattarla ai nostri bisogni. E l'uomo stesso (non dimentichiamolo) resta parte di questa natura.

Gert Eilenberger, un fisico tedesco che studiava la non linearità, una volta osservò:

Perché la sagoma di un albero nudo piegato sotto la pressione di un vento tempestoso sullo sfondo di un cupo cielo invernale è percepita come bella, e i contorni di un moderno edificio multifunzionale, nonostante tutti gli sforzi dell'architetto, non lo fanno affatto sembra così? Mi sembra che... il nostro senso della bellezza sia "alimentato" da un'armoniosa combinazione di ordine e disordine, che si può osservare nei fenomeni naturali: nuvole, alberi, catene montuose o cristalli di fiocchi di neve. Tutti questi contorni sono processi dinamici, congelati in forme fisiche, e una combinazione di stabilità e caos è tipica per loro.

Alle origini della teoria del caos

Cosa intendiamo per caos? L'incapacità di prevedere il comportamento del sistema, salti erratici in direzioni diverse, che non si trasformeranno mai in una sequenza ordinata.

Il primo ricercatore del caos è considerato il matematico, fisico e filosofo francese Henri Poincaré. Torna alla fine del 19 ° secolo. mentre studiava il comportamento di un sistema con tre corpi che interagiscono gravitazionalmente, ha notato che possono esserci orbite non periodiche che sono costantemente e non si allontanano da un punto particolare, e non si avvicinano ad esso.

I metodi tradizionali di geometria, ampiamente utilizzati nelle scienze naturali, si basano sull'approssimazione della struttura dell'oggetto in esame mediante figure geometriche, ad esempio linee, piani, sfere, le cui dimensioni metriche e topologiche sono uguali tra loro. Nella maggior parte dei casi, le proprietà dell'oggetto in esame e la sua interazione con l'ambiente sono descritte da caratteristiche termodinamiche integrali, che portano alla perdita di una parte significativa delle informazioni sul sistema e alla sua sostituzione con un modello più o meno adeguato. Molto spesso, tale semplificazione è abbastanza giustificata, tuttavia, ci sono numerose situazioni in cui l'uso di modelli topologicamente inadeguati è inaccettabile. Un esempio di tale discrepanza è stato fornito nella sua tesi di dottorato (ora dottore in scienze chimiche) Vladimir Konstantinovich Ivanov: si rivela quando si misura l'area di una superficie sviluppata (ad esempio porosa) di solidi usando metodi di assorbimento che registrano le isoterme di adsorbimento. Si è scoperto che la dimensione dell'area dipende dalla dimensione lineare delle molecole - "misurando" non quadraticamente, cosa che ci si dovrebbe aspettare dalle più semplici considerazioni geometriche, ma con un esponente, a volte molto vicino a tre.

Le previsioni del tempo sono uno dei problemi con cui l'umanità ha lottato fin dai tempi antichi. C'è un noto aneddoto su questo argomento, in cui le previsioni del tempo vengono trasmesse lungo una catena dallo sciamano al pastore di renne, quindi al geologo, quindi all'editore del programma radiofonico e infine il cerchio si chiude, poiché si scopre che lo sciamano ha appreso la previsione alla radio. Una descrizione di un sistema così complesso come il meteo, con molte variabili, non può essere ridotta a semplici modelli. Questo compito ha dato il via all'uso dei computer per la modellazione di sistemi dinamici non lineari. Uno dei fondatori della teoria del caos, il meteorologo e matematico americano Edward Norton Lorenz ha dedicato molti anni al problema delle previsioni del tempo. Già negli anni '60 del secolo scorso, cercando di capire le ragioni dell'inaffidabilità delle previsioni meteorologiche, dimostrò che lo stato di un sistema dinamico complesso può dipendere fortemente dalle condizioni iniziali: un leggero cambiamento in uno dei tanti parametri può cambiare radicalmente il risultato atteso. Lorenz chiamò questa dipendenza l'effetto farfalla: "Il battito d'ali di una falena di oggi a Pechino in un mese potrebbe causare un uragano a New York". Divenne famoso per il suo lavoro sulla circolazione generale dell'atmosfera. Esplorando il sistema di equazioni con tre variabili che descrivono il processo, Lorenz ha mostrato graficamente i risultati della sua analisi: le linee del grafico rappresentano le coordinate dei punti determinati dalle soluzioni nello spazio di queste variabili (Fig. 1). La doppia elica risultante, chiamata attrattore di Lorenz(o "strano attrattore"), sembrava qualcosa di infinitamente confuso, ma sempre localizzato entro certi confini e mai ripetuto. Il moto nell'attrattore è astratto (le variabili possono essere velocità, densità, temperatura, ecc.), e tuttavia veicola le caratteristiche di fenomeni fisici reali, come il moto di una ruota idraulica, la convezione ad anello chiuso, l'irraggiamento di un laser monomodale, oscillazioni armoniche dissipative (i cui parametri giocano il ruolo delle variabili corrispondenti).

Delle migliaia di pubblicazioni che componevano la letteratura specializzata sul problema del caos, quasi nessuna è stata citata più spesso dell'articolo "Deterministic nonperiodic flow" scritto da Lorentz nel 1963. Sebbene le simulazioni al computer avessero già trasformato le previsioni del tempo da "arte a scienza" durante questo lavoro, le previsioni a lungo termine erano ancora inaffidabili e inaffidabili. La ragione di ciò era proprio l'effetto farfalla.

Negli stessi anni '60, il matematico Stephen Smale dell'Università della California riunì a Berkeley un gruppo di ricerca di giovani che la pensavano allo stesso modo. In precedenza è stato insignito della Medaglia Fields per la ricerca eccezionale in topologia. Smale ha studiato sistemi dinamici, in particolare oscillatori caotici non lineari. Per riprodurre tutto il disordine dell'oscillatore di van der Pol nello spazio delle fasi, ha creato una struttura nota come "ferro di cavallo" - un esempio di sistema dinamico con dinamica caotica.

"Ferro di cavallo" (Fig. 2) è un'immagine accurata e visibile di una forte dipendenza dalle condizioni iniziali: non si sa mai dove sarà il punto di partenza dopo diverse iterazioni. Questo esempio è servito come impulso per l'invenzione del matematico russo, specialista nella teoria dei sistemi dinamici e delle equazioni differenziali, geometria differenziale e topologia Dmitry Viktorovich Anosov, "Diffeomorfismi di Anosov". Successivamente, la teoria dei sistemi dinamici iperbolici è nata da questi due lavori. Ci è voluto un decennio perché il lavoro di Smale attirasse l'attenzione di altre discipline. "Quando è successo, i fisici si sono resi conto che Smale aveva trasformato un intero ramo della matematica per affrontare il mondo reale".

Nel 1972, il matematico dell'Università del Maryland James Yorke lesse il suddetto articolo di Lorenz, che lo stupì. York vedeva nell'articolo un modello fisico vivente e considerava suo sacro dovere trasmettere ai fisici ciò che non scorgevano nelle opere di Lorenz e Smale. Ha inoltrato una copia dell'articolo di Lorenz a Smale. Fu stupito di scoprire che un oscuro meteorologo (Lorenz) dieci anni prima aveva scoperto quel disturbo, che lui stesso un tempo considerava matematicamente improbabile, e ne aveva inviato copie a tutti i suoi colleghi.

Il biologo Robert May, un amico di York, ha studiato i cambiamenti nelle popolazioni animali. May seguì le orme di Pierre Verhlust, che nel 1845 attirò l'attenzione sull'imprevedibilità dei cambiamenti nel numero di animali e giunse alla conclusione che il tasso di crescita della popolazione non è costante. In altre parole, il processo risulta non lineare. May ha cercato di cogliere ciò che accade alla popolazione quando le fluttuazioni del tasso di crescita si avvicinano a un punto critico (punto di biforcazione). Variando i valori di questo parametro non lineare, ha scoperto che sono possibili cambiamenti fondamentali nell'essenza stessa del sistema: un aumento del parametro significava un aumento del grado di non linearità, che, a sua volta, cambiava non solo il quantitativo, ma anche le caratteristiche qualitative del risultato. Tale operazione ha influenzato sia il valore finale della dimensione della popolazione, che era in equilibrio, sia la sua capacità di raggiungere quest'ultima in generale. In determinate condizioni, la periodicità ha lasciato il posto al caos, alle fluttuazioni che non si sono mai estinte.

York ha analizzato matematicamente i fenomeni descritti nel suo lavoro, dimostrando che in qualsiasi sistema unidimensionale accade quanto segue: se appare un ciclo regolare con tre onde (lievi sali e scendi dei valori di qualsiasi parametro), allora in futuro il Il sistema inizierà a dimostrare come siano corretti cicli di qualsiasi altra durata e completamente caotici. (Come risultò alcuni anni dopo la pubblicazione dell'articolo in una conferenza internazionale a Berlino Est, il matematico sovietico (ucraino) Alexander Nikolaevich Sharkovsky era un po' più avanti di York nella sua ricerca). Yorke ha scritto un articolo per la nota pubblicazione scientifica American Mathematical Monthly. Tuttavia, Yorke ha ottenuto più di un semplice risultato matematico: ha dimostrato ai fisici che il caos è onnipresente, stabile e strutturato. Ha dato ragione di credere che i sistemi complessi, tradizionalmente descritti da equazioni differenziali difficili, possano essere rappresentati usando grafici visivi.

May ha cercato di attirare l'attenzione dei biologi sul fatto che le popolazioni animali attraversano più di cicli ordinati. Sulla via del caos, sorge un'intera cascata di raddoppio del periodo. È nei punti di biforcazione che un leggero aumento della fecondità degli individui potrebbe portare, ad esempio, alla sostituzione del ciclo quadriennale della popolazione di zingara con uno di otto anni. L'americano Mitchell Feigenbaum ha deciso di iniziare calcolando i valori esatti del parametro che ha generato tali modifiche. I suoi calcoli hanno mostrato che non importava quale fosse la popolazione iniziale: si stava ancora avvicinando costantemente all'attrattore. Poi, con il primo raddoppio dei periodi, l'attrattore, come una cellula divisoria, si biforcava. Quindi avvenne la successiva moltiplicazione dei periodi e ogni punto dell'attrattore iniziò a dividersi di nuovo. Il numero - l'invariante ottenuto da Feigenbaum - gli ha permesso di prevedere esattamente quando ciò accadrà. Lo scienziato ha scoperto che poteva prevedere questo effetto per un attrattore molto complesso - a due, quattro, otto punti ... Parlando nel linguaggio dell'ecologia, poteva prevedere il numero effettivo che si ottiene nelle popolazioni durante le fluttuazioni annuali. Così Feigenbaum scoprì nel 1976 la "cascata del raddoppio del periodo", attingendo al lavoro di May e ai suoi studi sulla turbolenza. La sua teoria rifletteva la legge naturale che si applica a tutti i sistemi in fase di transizione dall'ordinato al caos. York, May e Feigenbaum furono i primi in Occidente a comprendere appieno l'importanza del raddoppio del periodo e furono in grado di trasmettere questa idea all'intera comunità scientifica. May ha affermato che il caos deve essere insegnato.

Matematici e fisici sovietici avanzarono nelle loro ricerche indipendentemente dai colleghi stranieri. Lo studio del caos è stato avviato dal lavoro di A. N. Kolmogorov negli anni '50. Ma le idee dei colleghi stranieri non sono rimaste senza la loro attenzione. I pionieri della teoria del caos sono i matematici sovietici Andrei Nikolaevich Kolmogorov e Vladimir Igorevich Arnold e il matematico tedesco Jurgen Moser, che hanno costruito una teoria del caos chiamata KAM (teoria di Kolmogorov-Arnold-Moser). Un altro nostro eccezionale connazionale, un brillante fisico e matematico Yakov Grigorievich Sinai, applicò in termodinamica considerazioni simili al "ferro di cavallo piccolo". Appena negli anni '70 i fisici occidentali conobbero il lavoro di Lorentz, quando divenne famoso in URSS. Nel 1975, quando York e May stavano ancora facendo notevoli sforzi per attirare l'attenzione dei loro colleghi, Sinai ei suoi compagni organizzarono un gruppo di ricerca a Gorky per studiare questo problema.

Nel secolo scorso, quando la ristretta specializzazione e la dissociazione tra le diverse discipline divennero la norma nella scienza, matematici, fisici, biologi, chimici, fisiologi, economisti si litigarono problemi simili senza ascoltarsi. Le idee che richiedono un cambiamento nella consueta visione del mondo faticano sempre a farsi strada. Tuttavia, è diventato gradualmente chiaro che cose come i cambiamenti nelle popolazioni animali, le fluttuazioni dei prezzi nel mercato, i cambiamenti del tempo, la distribuzione delle dimensioni dei corpi celesti e molto, molto altro, obbediscono alle stesse leggi. "La consapevolezza di questo fatto ha costretto i manager a riconsiderare il loro atteggiamento nei confronti delle assicurazioni, gli astronomi - da una diversa angolazione per guardare al sistema solare, i politici - a cambiare idea sulle cause dei conflitti armati".

A metà degli anni '80, la situazione era molto cambiata. Le idee della geometria frattale univano scienziati che erano perplessi dalle proprie osservazioni e non sapevano come interpretarle. Per i ricercatori del caos, la matematica è diventata una scienza sperimentale, i computer hanno sostituito i laboratori. Le rappresentazioni grafiche sono diventate di fondamentale importanza. La nuova scienza ha dato al mondo un linguaggio speciale, nuovi concetti: ritratto di fase, attrattore, biforcazione, sezione dello spazio delle fasi, frattale...

Benoit Mandelbrot, attingendo alle idee e al lavoro di predecessori e contemporanei, ha mostrato che processi così complessi come la crescita degli alberi, la formazione delle nuvole, le variazioni nelle caratteristiche economiche o il numero di popolazioni animali sono governati da leggi della natura essenzialmente simili. Questi sono alcuni modelli in base ai quali vive il caos. Dal punto di vista dell'auto-organizzazione naturale, sono molto più semplici delle forme artificiali familiari a una persona civilizzata. Possono essere riconosciuti come complessi solo nel contesto della geometria euclidea, poiché i frattali sono determinati specificando un algoritmo e, quindi, possono essere descritti utilizzando una piccola quantità di informazioni.

Geometria frattale della natura

Proviamo a capire cos'è un frattale e "con cosa viene mangiato". E puoi davvero mangiarne alcuni, come, ad esempio, un tipico rappresentante mostrato nella foto.

Parola frattale deriva dal latino frattura - schiacciato, rotto, fatto a pezzi. Un frattale è un insieme matematico che ha la proprietà dell'autosimilarità, cioè dell'invarianza di scala.

Il termine "frattale" è stato coniato da Mandelbrot nel 1975 e ha guadagnato ampia popolarità con la pubblicazione del suo libro "Fractal Geometry of Nature" nel 1977. "Dai al mostro un nome accogliente e familiare, e sarai sorpreso di quanto sarà più facile domarlo!" disse Mandelbrot. Questo desiderio di rendere vicini e comprensibili gli oggetti oggetto di studio (insiemi matematici) ha portato alla nascita di nuovi termini matematici, come polvere, fiocchi di latte, siero, dimostrando chiaramente la loro profonda connessione con i processi naturali.

Il concetto matematico di frattale distingue oggetti con strutture di varie scale, sia grandi che piccole, e riflette quindi il principio gerarchico di organizzazione. Certo, i diversi rami di un albero, ad esempio, non possono essere esattamente allineati tra loro, ma possono essere considerati simili in senso statistico. Allo stesso modo, le forme delle nuvole, i contorni delle montagne, la linea del mare, il modello di fiamma, il sistema vascolare, i burroni, i fulmini, visti su scale diverse, sembrano simili. Sebbene questa idealizzazione possa rivelarsi una semplificazione della realtà, aumenta significativamente la profondità della descrizione matematica della natura.

Mandelbrot ha introdotto il concetto di "frattale naturale" per denotare strutture naturali che possono essere descritte utilizzando insiemi frattali. Questi oggetti naturali includono un elemento di fortuna. La teoria ideata da Mandelbrot permette di descrivere quantitativamente e qualitativamente tutte quelle forme che prima venivano chiamate aggrovigliate, ondulate, ruvide, ecc.

I processi dinamici discussi sopra, i cosiddetti processi di feedback, sorgono in vari problemi fisici e matematici. Hanno tutti una cosa in comune: la competizione di diversi centri (chiamati "attrattori") per il dominio sull'aereo. Lo stato in cui si trova il sistema dopo un certo numero di iterazioni dipende dal suo "luogo di partenza". Ad ogni attrattore corrisponde quindi una certa regione di stati iniziali, da cui il sistema cadrà necessariamente nello stato finale considerato. Pertanto, lo spazio delle fasi del sistema (lo spazio astratto dei parametri associati a uno specifico sistema dinamico, i punti in cui caratterizzano in modo univoco tutti i suoi possibili stati) è suddiviso in aree di attrazione attrattori. C'è una sorta di ritorno alla dinamica di Aristotele, secondo la quale ogni corpo tende al suo posto previsto. I confini semplici tra "territori contigui" raramente sorgono a causa di tale rivalità. È in questa zona di confine che avviene il passaggio da una forma di esistenza all'altra: dall'ordine al caos. La forma generale dell'espressione per la legge dinamica è molto semplice: x n + 1 → f x n C. Tutta la difficoltà sta nella relazione non lineare tra il valore iniziale e il risultato. Se iniziamo un processo iterativo del tipo specificato da un valore arbitrario \ (x_0 \), il suo risultato sarà una sequenza \ (x_1 \), \ (x_2 \), ..., che converge a un valore limite \ (X \) , cercando uno stato di quiete, o raggiungerà un certo ciclo di significati, che si ripeterà più e più volte, o si comporterà sempre in modo casuale e imprevedibile. Sono proprio questi processi che furono studiati durante la prima guerra mondiale dai matematici francesi Gaston Julia e Pierre Fato.

Studiando gli insiemi scoperti da loro, Mandelbrot nel 1979 arrivò all'immagine sul piano complesso di un'immagine, che, come sarà chiaro da quanto segue, è una sorta di indice per un'intera classe di forme chiamate insiemi di Julia. L'insieme di Julia è un insieme di punti derivanti dall'iterazione di una trasformazione quadratica: x n → x n − 1 2 + C, la cui dinamica nelle vicinanze è instabile rispetto a piccole perturbazioni della posizione iniziale. Ogni valore consecutivo \ (x \) è ricavato dal precedente; un numero complesso \ (C \) è chiamato parametro di controllo... Il comportamento della sequenza di numeri dipende dal parametro \ (C \) e dal punto di partenza \ (x_0 \). Se fissiamo \ (C \) e cambiamo \ (x_0 \) nel campo dei numeri complessi, otteniamo l'insieme di Julia. Se fissiamo \ (x_0 \) = 0 e cambiamo \ (C \), otteniamo l'insieme di Mandelbrot (\ (M \)). Ci dice che tipo di insieme di Julia ci si dovrebbe aspettare per una particolare scelta di \ (C \). Ogni numero complesso \ (C \) appartiene o meno al dominio \ (M \) (nero in Fig. 3). \ (C \) appartiene a \ (M \) se e solo se il "punto critico" \ (x_0 \) = 0 non tende all'infinito. L'insieme \ (M \) è costituito da tutti i punti \ (C \) associati agli insiemi di Julia connessi, ma se il punto \ (C \) si trova al di fuori dell'insieme \ (M \), l'insieme di Julia associato è disconnesso. Il confine dell'insieme \ (M \) determina il momento della transizione di fase matematica per gli insiemi di Julia x n → x n − 1 2 + C. Quando il parametro \ (C \) lascia \ (M \), gli insiemi di Julia perdono la loro connettività, in senso figurato, esplodono e si trasformano in polvere. Un salto qualitativo che si verifica al confine \ (M \) colpisce anche la regione adiacente al confine. La complessa struttura dinamica della regione di confine può essere approssimativamente mostrata dipingendo (convenzionalmente) con colori diversi le zone con lo stesso tempo di "fuga all'infinito del punto iniziale \ (x_0 \) = 0". Quei valori \ (C \) (una sfumatura), in corrispondenza dei quali il punto critico richiede che un dato numero di iterazioni sia al di fuori del cerchio di raggio \ (N \), riempiono lo spazio tra le due linee. Man mano che ci avviciniamo al limite \ (M \), il numero richiesto di iterazioni aumenta. Il punto è sempre più costretto a vagare per sentieri tortuosi vicino al set di Julia. L'insieme di Mandelbrot incarna il processo di transizione dall'ordine al caos.

È interessante tracciare il percorso che Mandelbrot ha preso alle sue scoperte. Benoit è nato a Varsavia nel 1924, nel 1936 la famiglia emigrò a Parigi. Dopo essersi laureato all'Ecole Polytechnique, e poi all'Università di Parigi, Mandelbrot si è trasferito negli Stati Uniti, dove ha studiato anche al California Institute of Technology. Nel 1958 è entrato a far parte dell'IBM Research Center di Yorktown. Nonostante le attività prettamente applicate dell'azienda, la sua posizione gli ha permesso di condurre ricerche in vari campi. Mentre lavorava nel campo dell'economia, il giovane specialista ha iniziato a studiare le statistiche dei prezzi del cotone per un lungo periodo di tempo (più di 100 anni). Analizzando la simmetria delle fluttuazioni dei prezzi a lungo ea breve termine, ha notato che queste fluttuazioni durante il giorno sembravano casuali e imprevedibili, ma la sequenza di tali cambiamenti non dipendeva dalla scala. Per risolvere questo problema, utilizzò per la prima volta i suoi sviluppi della futura teoria dei frattali e una visualizzazione grafica dei processi studiati.

Interessato a un'ampia varietà di campi della scienza, Mandelbrot si dedicò alla linguistica matematica, poi venne la volta della teoria dei giochi. Propose anche un proprio approccio all'economia, sottolineando l'ordine di scala nella diffusione delle città e dei paesi. Studiando il lavoro poco noto dello scienziato inglese Lewis Richardson, pubblicato dopo la morte dell'autore, Mandelbrot si è trovato di fronte al fenomeno della costa. Nell'articolo "Quanto è lunga la costa del Regno Unito?" indaga nel dettaglio questa domanda, alla quale pochi hanno pensato prima di lui, e giunge a conclusioni inaspettate: la lunghezza della costa è pari a... infinito! Più accuratamente cerchi di misurarlo, maggiore è il suo valore!

Per descrivere tali fenomeni, Mandelbrot ha avuto l'idea di partire dall'idea di dimensione. La dimensione frattale di un oggetto serve come caratteristica quantitativa di una delle sue caratteristiche, vale a dire, il suo riempimento dello spazio.

La definizione del concetto di dimensione frattale risale al lavoro di Felix Hausdorff, pubblicato nel 1919, ed è stato infine formulato da Abram Samoilovich Besicovich. La dimensione frattale è una misura del dettaglio, del nodo, dell'irregolarità di un oggetto frattale. Nello spazio euclideo, la dimensione topologica è sempre determinata da un numero intero (la dimensione di un punto è 0, una linea è 1, un piano è 2, un corpo volumetrico è 3). Se tracciamo, ad esempio, la proiezione sul piano di moto di una particella Browniana, che sembra essere costituita da segmenti di linea retta, cioè avere dimensione 1, risulterà molto presto che la sua traccia riempie quasi tutto il piano . Ma la dimensione del piano è 2. La discrepanza tra questi valori ci dà il diritto di riferire questa "curva" ai frattali e chiamare frattale la sua dimensione intermedia (frazionaria). Se consideriamo il moto caotico di una particella in volume, la dimensione frattale della traiettoria risulterà essere maggiore di 2, ma minore di 3. Le arterie umane, ad esempio, hanno una dimensione frattale di circa 2,7. I risultati di Ivanov, menzionati all'inizio dell'articolo, relativi alla misurazione dell'area dei pori del gel di silice, che non possono essere interpretati nel quadro dei normali concetti euclidei, trovano una spiegazione ragionevole quando si utilizza la teoria dei frattali.

Quindi, da un punto di vista matematico, un frattale è un insieme per il quale la dimensione di Hausdorff - Besicovitch è strettamente maggiore della sua dimensione topologica e può essere (e molto spesso è) frazionaria.

Va sottolineato che la dimensione frattale di un oggetto non ne descrive la forma, e oggetti che hanno la stessa dimensione ma sono generati da differenti meccanismi di formazione sono spesso completamente diversi tra loro. I frattali fisici sono statisticamente piuttosto auto-similari.

La misurazione frazionata consente di calcolare caratteristiche che non possono essere definite chiaramente in altro modo: il grado di irregolarità, discontinuità, rugosità o instabilità di un oggetto. Ad esempio, una costa tortuosa, nonostante la sua lunghezza incommensurabile, ha una ruvidità inerente solo ad essa. Mandelbrot ha indicato i modi per calcolare le misurazioni frazionarie degli oggetti nella realtà circostante. Creando la sua geometria, ha proposto la legge sulle forme disordinate che si verificano in natura. La legge diceva: il grado di instabilità è costante a diverse scale.

Un tipo speciale di frattali sono frattali del tempo... Nel 1962, Mandelbrot si trovò di fronte al compito di eliminare il rumore sulle linee telefoniche che causava problemi ai modem dei computer. La qualità della trasmissione del segnale dipende dalla probabilità di errori. Gli ingegneri hanno lottato con la riduzione del rumore con trucchi sconcertanti e costosi, ma non hanno ottenuto risultati impressionanti. Basandosi sul lavoro del fondatore della teoria degli insiemi, Georg Cantor, Mandelbrot ha dimostrato che il verificarsi del rumore - la generazione del caos - non può essere evitato in linea di principio, quindi i metodi proposti per affrontarli non porteranno risultati. Alla ricerca della regolarità del verificarsi del rumore, riceve "Cantor dust" - una sequenza frattale di eventi. È interessante che la distribuzione delle stelle nella Galassia obbedisca alle stesse leggi:

La "sostanza", distribuita uniformemente lungo l'iniziatore (un segmento unitario dell'asse temporale), è esposta a un vortice centrifugo, che la "spazza" fino ai terzi estremi dell'intervallo ... Guardie ✔ si può chiamare qualsiasi cascata di stati instabili che alla fine porti a un ispessimento della materia, e il termine fiocchi di latte può determinare il volume entro il quale una certa caratteristica fisica diventa - per effetto della coagulazione - estremamente concentrata.

Fenomeni caotici, come la turbolenza atmosferica, la mobilità crostale, ecc., mostrano un comportamento simile a diverse scale temporali, proprio come oggetti che sono invarianti per scala mostrano modelli strutturali simili a diverse scale spaziali.

A titolo di esempio, daremo alcune situazioni tipiche in cui è utile utilizzare il concetto di struttura frattale. Il professore della Columbia University Christopher Scholz si è specializzato nello studio della forma e della struttura della materia solida terrestre, ha studiato i terremoti. Nel 1978 ha letto il libro di Mandelbrot Fractals: Form, Randomness and Dimension » e ha cercato di applicare la teoria alla descrizione, classificazione e misurazione di oggetti geofisici. Scholz ha scoperto che la geometria frattale ha fornito alla scienza un metodo efficiente per descrivere lo specifico paesaggio collinare della Terra. La misurazione frattale dei paesaggi del pianeta apre la porta alla comprensione delle sue caratteristiche più importanti. I metallurgisti hanno trovato la stessa cosa su una scala diversa, applicata a superfici di vari tipi di acciaio. In particolare, la misurazione frattale di una superficie metallica permette spesso di valutarne la robustezza. Un numero enorme di oggetti frattali produce il fenomeno della cristallizzazione. Il tipo più comune di frattali che si formano durante la crescita dei cristalli sono i dendriti, estremamente diffusi in natura. Gli insiemi di nanoparticelle spesso dimostrano l'implementazione della polvere di Levy. Questi insiemi, in combinazione con il solvente assorbito, formano compatti trasparenti - vetri di Levy, materiali potenzialmente importanti per la fotonica.

Poiché i frattali non sono espressi in forme geometriche primarie, ma in algoritmi, insiemi di procedure matematiche, è chiaro che quest'area della matematica ha iniziato a svilupparsi a passi da gigante insieme all'emergere e allo sviluppo di potenti computer. Il caos, a sua volta, ha dato origine alla nuova tecnologia informatica, una speciale tecnica grafica in grado di riprodurre le sorprendenti strutture di incredibile complessità generate da vari tipi di disordine. Nell'era di Internet e dei personal computer, ciò che era così difficile ai tempi di Mandelbrot è diventato facilmente accessibile a chiunque. Ma la cosa più importante nella sua teoria era, ovviamente, non la creazione di belle immagini, ma la conclusione che questo apparato matematico è adatto a descrivere fenomeni e processi naturali complessi che in precedenza non erano affatto considerati nella scienza. Il repertorio di elementi algoritmici è inesauribile.

Una volta che hai imparato il linguaggio dei frattali, puoi descrivere la forma di una nuvola in modo chiaro e semplice come un architetto descrive un edificio usando progetti che usano il linguaggio della geometria tradizionale.<...>Sono passati solo pochi decenni da quando Benoit Mandelbrot disse: "La geometria della natura è frattale!"

In conclusione, permettetemi di presentare alla vostra attenzione una serie di fotografie che illustrano questa conclusione e frattali costruiti utilizzando un programma per computer. Esploratore di frattali... Il nostro prossimo articolo sarà dedicato al problema dell'uso dei frattali nella fisica dei cristalli.

Post scriptum

Dal 1994 al 2013, un lavoro unico di scienziati russi "Atlante delle variazioni temporali dei processi antropogenici e sociali naturali" è stato pubblicato in cinque volumi: una fonte ineguagliabile di materiali che include dati di monitoraggio da spazio, biosfera, litosfera, atmosfera, idrosfera, e sfere tecnogene e sfere relative alla salute umana e alla qualità della vita. Il testo fornisce dettagli sui dati e sui risultati della loro elaborazione, confronta le caratteristiche della dinamica delle serie temporali e dei loro frammenti. Una presentazione unificata dei risultati consente di ottenere risultati comparabili per identificare le caratteristiche comuni e individuali della dinamica dei processi e le relazioni causa-effetto tra di loro. Il materiale sperimentale ha dimostrato che i processi in diverse aree sono, in primo luogo, simili e, in secondo luogo, in misura maggiore o minore correlati tra loro.

Quindi, l'atlante ha riassunto i risultati della ricerca interdisciplinare e ha presentato un'analisi comparativa di dati completamente diversi nella più ampia gamma di tempo e spazio. Il libro mostra che “i processi che si verificano nelle sfere terrene sono dovuti a un gran numero di fattori interagenti che provocano reazioni diverse in aree diverse (e in tempi diversi)”, che parla della “necessità di un approccio integrato all'analisi dei osservazioni geodinamiche, spaziali, sociali, economiche e mediche”. Resta da esprimere l'auspicio che questi lavori fondamentali continuino.

Spesso, le scoperte brillanti fatte nella scienza possono cambiare radicalmente le nostre vite. Quindi, ad esempio, l'invenzione di un vaccino può salvare molte persone e la creazione di nuove armi porta all'omicidio. Letteralmente ieri (sulla scala della storia) una persona "domava" l'elettricità, e oggi non può più immaginare la sua vita senza di essa. Tuttavia, ci sono anche tali scoperte che, come si suol dire, rimangono nell'ombra e nonostante il fatto che abbiano anche questa o quell'influenza sulla nostra vita. Una di queste scoperte era un frattale. La maggior parte delle persone non ha nemmeno sentito parlare di un tale concetto e non sarà in grado di spiegarne il significato. In questo articolo cercheremo di capire la domanda su cosa sia un frattale, considera il significato di questo termine dal punto di vista della scienza e della natura.

Ordine nel caos

Per capire cos'è un frattale bisognerebbe iniziare a fare un debriefing dal punto di vista della matematica, però, prima di approfondire, filosoferemo un po'. Ogni persona ha una curiosità naturale, grazie alla quale impara il mondo che lo circonda. Spesso, nella sua ricerca della conoscenza, cerca di operare con logica nei giudizi. Quindi, analizzando i processi che stanno accadendo intorno, cerca di calcolare la relazione e dedurre determinati schemi. Le più grandi menti del pianeta si occupano di questi compiti. In parole povere, i nostri scienziati stanno cercando modelli dove non esistono, e in effetti non dovrebbero esistere. Eppure, anche nel caos, c'è una connessione tra certi eventi. Questa connessione è il frattale. Ad esempio, considera un ramo spezzato che giace sulla strada. Se lo osserviamo da vicino, vedremo che esso stesso, con tutti i suoi rami e nodi, è esso stesso simile a un albero. Questa somiglianza di una parte separata con un tutto unico testimonia il cosiddetto principio di autosimilarità ricorsiva. I frattali in natura si possono trovare sempre, perché molte forme inorganiche e organiche si formano in modo simile. Queste sono nuvole, conchiglie, gusci di lumache, corone di alberi e persino il sistema circolatorio. L'elenco è infinito. Tutte queste forme casuali sono facilmente descritte da un algoritmo frattale. Veniamo ora a considerare cosa sia un frattale dal punto di vista delle scienze esatte.

Alcuni fatti asciutti

La stessa parola "frattale" è tradotta dal latino come "parziale", "diviso", "frammentato", e per quanto riguarda il contenuto di questo termine, la formulazione in quanto tale non esiste. Di solito viene interpretato come un insieme autosimilare, una parte del tutto, che viene ripetuto dalla sua struttura a livello micro. Questo termine fu inventato negli anni Settanta del Novecento da Benoit Mandelbrot, a cui viene riconosciuto il padre.Oggi il concetto di frattale indica una rappresentazione grafica di una certa struttura, che, su scala ingrandita, sarà simile a se stessa . Tuttavia, la base matematica per la creazione di questa teoria fu posta anche prima della nascita dello stesso Mandelbrot, ma non poté svilupparsi fino alla comparsa dei computer elettronici.

Contesto storico, o come tutto ebbe inizio

A cavallo tra il XIX e il XX secolo, lo studio della natura dei frattali era di natura episodica. Questo perché i matematici preferivano studiare oggetti suscettibili di ricerca sulla base di teorie e metodi generali. Nel 1872, il matematico tedesco K. Weierstrass costruì un esempio di funzione continua che non è differenziabile da nessuna parte. Tuttavia, questa costruzione si è rivelata completamente astratta e difficile da percepire. Poi andò lo svedese Helge von Koch, che nel 1904 costruì una curva continua che non ha tangente da nessuna parte. È abbastanza facile da disegnare e ha proprietà frattali a quanto pare. Una delle varianti di questa curva prende il nome dal suo autore: "Koch snowflake". Inoltre, l'idea dell'autosomiglianza delle figure è stata sviluppata dal futuro mentore di B. Mandelbrot, il francese Paul Levy. Nel 1938 pubblicò l'articolo "Curve e superfici piane e spaziali, costituite da parti, come un tutto". In esso, ha descritto una nuova specie: la curva C di Lévy. Tutte le figure di cui sopra sono convenzionalmente indicate come frattali geometrici.

Frattali dinamici o algebrici

Questa classe include l'insieme di Mandelbrot. I primi ricercatori di questa direzione furono i matematici francesi Pierre Fatou e Gaston Julia. Nel 1918, Julia pubblicò un articolo basato sullo studio delle iterazioni di funzioni complesse razionali. Qui descrisse una famiglia di frattali strettamente imparentati con l'insieme di Mandelbrot. Nonostante il fatto che questo lavoro abbia reso l'autore famoso tra i matematici, è stato rapidamente dimenticato. E solo mezzo secolo dopo, grazie ai computer, il lavoro di Julia ha ricevuto una seconda vita. I computer hanno permesso di rendere visibile ad ogni persona la bellezza e la ricchezza del mondo dei frattali che i matematici potevano “vedere” visualizzandoli attraverso funzioni. Mandelbrot è stato il primo a utilizzare un computer per eseguire calcoli (un volume del genere non può essere eseguito manualmente), il che ha permesso di costruire un'immagine di queste figure.

Immaginazione spaziale

Mandelbrot ha iniziato la sua carriera scientifica presso l'IBM Research Center. Studiando la possibilità di trasmettere dati su lunghe distanze, gli scienziati si trovano di fronte al fatto di grandi perdite dovute all'interferenza del rumore. Benoit stava cercando modi per risolvere questo problema. Esaminando i risultati delle misurazioni, ha attirato l'attenzione su uno strano schema, vale a dire: i grafici del rumore sembravano gli stessi su scale temporali diverse.

Un quadro simile è stato osservato sia per un periodo di un giorno che per sette giorni o per un'ora. Lo stesso Benoit Mandelbrot ha ripetuto spesso che non lavora con le formule, ma gioca con le immagini. Questo scienziato si distingueva per il pensiero figurativo, traduceva qualsiasi problema algebrico nel campo geometrico, dove la risposta corretta è ovvia. Quindi non c'è da stupirsi che sia ricco di funzioni e sia diventato il padre della geometria frattale. Dopotutto, la consapevolezza di questa figura può venire solo quando studi i disegni e rifletti sul significato di questi strani vortici che formano uno schema. I disegni frattali non hanno elementi identici, ma sono simili a qualsiasi scala.

Julia - Mandelbrot

Uno dei primi disegni di questa figura era un'interpretazione grafica del set, nato dal lavoro di Gaston Julia e finalizzato da Mandelbrot. Gaston ha provato a immaginare come si presenta un set, costruito sulla base di una semplice formula, che viene ripetuta da un ciclo di feedback. Proviamo a spiegare cosa è stato detto in linguaggio umano, per così dire, sulle dita. Per un valore numerico specifico, usa la formula per trovare un nuovo valore. Lo sostituiamo nella formula e troviamo quanto segue. Il risultato è grande Per rappresentare un tale insieme, è necessario eseguire questa operazione un numero enorme di volte: centinaia, migliaia, milioni. Questo è ciò che ha fatto Benoit. Ha elaborato la sequenza e ha trasferito i risultati in forma grafica. Successivamente ha colorato la forma risultante (ogni colore corrisponde ad un certo numero di iterazioni). Questo grafico si chiama "frattale di Mandelbrot".

L. Carpenter: un'arte fatta dalla natura

La teoria dei frattali ha trovato rapidamente applicazione pratica. Poiché è strettamente correlato alla visualizzazione di immagini auto-simili, i primi ad adottare i principi e gli algoritmi per la costruzione di queste forme insolite sono stati gli artisti. Il primo di questi è stato il futuro fondatore dello studio Pixar Lauren Carpenter. Mentre lavorava alla presentazione di un prototipo di aereo, gli è venuta l'idea di utilizzare un'immagine di montagne come sfondo. Oggi quasi tutti gli utenti di computer possono far fronte a tale compito e negli anni settanta del secolo scorso i computer non erano in grado di eseguire tali processi, perché a quel tempo non esistevano editor grafici e applicazioni per la grafica tridimensionale. E così Lauren si è imbattuta nel libro di Mandelbrot Fractals: Form, Randomness and Dimension. In esso, Benoit ha fornito molti esempi, mostrando che ci sono frattali in natura (phwa), ha descritto le loro varie forme e ha dimostrato che sono facilmente descritti da espressioni matematiche. Il matematico ha citato questa analogia come argomento per l'utilità della teoria che stava sviluppando in risposta a una raffica di critiche da parte dei suoi colleghi. Hanno sostenuto che un frattale è solo una bella immagine senza valore, che è un sottoprodotto delle macchine elettroniche. Carpenter ha deciso di provare questo metodo nella pratica. Dopo aver studiato attentamente il libro, il futuro animatore ha iniziato a cercare un modo per implementare la geometria frattale nella computer grafica. Gli ci sono voluti solo tre giorni per rendere un'immagine completamente realistica del paesaggio montano sul suo computer. E oggi questo principio è ampiamente utilizzato. Come si è scoperto, la creazione di frattali non richiede molto tempo e fatica.

La soluzione del carpentiere

Il principio utilizzato da Lauren si è rivelato semplice. Consiste nel dividere i più grandi in elementi più piccoli, e quelli in elementi simili più piccoli, e così via. Carpenter, usando grandi triangoli, li divise in 4 piccoli, e così via, fino ad ottenere un realistico paesaggio montano. Così, è diventato il primo artista ad applicare l'algoritmo frattale nella computer grafica per costruire l'immagine richiesta. Oggi questo principio viene utilizzato per simulare varie forme naturali realistiche.

Prima visualizzazione 3D basata su algoritmo frattale

Nel giro di pochi anni, Lauren ha applicato le sue migliori pratiche in un progetto su larga scala: il video animato Vol Libre, mostrato al Siggraph nel 1980. Questo video ha scioccato molti e il suo creatore è stato invitato a lavorare alla Lucasfilm. Qui l'animatore è stato in grado di realizzare pienamente se stesso, ha creato paesaggi tridimensionali (l'intero pianeta) per il film "Star Trek". Qualsiasi programma moderno ("Fractals") o applicazione per la creazione di grafica tridimensionale (Terragen, Vue, Bryce) utilizza lo stesso algoritmo per modellare trame e superfici.

Tom Beddard

Ex fisico laser e ora artigiano e artista digitale, Beddard ha creato una serie di forme geometriche molto intriganti che ha chiamato frattali Faberge. Esternamente, assomigliano alle uova decorative di un gioielliere russo, hanno lo stesso brillante motivo intricato. Beddard ha utilizzato un metodo standard per creare i suoi rendering digitali dei modelli. I prodotti risultanti colpiscono per la loro bellezza. Sebbene molti si rifiutino di confrontare un prodotto fatto a mano con un programma per computer, bisogna ammettere che le forme che ne risultano sono straordinariamente belle. Il clou è che chiunque può costruire un tale frattale utilizzando la libreria del software WebGL. Ti permette di esplorare varie strutture frattali in tempo reale.

Frattali in natura

Poche persone prestano attenzione, ma queste cifre incredibili sono presenti ovunque. La natura è creata da figure auto-simili, semplicemente non ce ne accorgiamo. Basta guardare attraverso una lente di ingrandimento la nostra pelle o una foglia di un albero e vedremo i frattali. Oppure prendi, ad esempio, un ananas o anche la coda di un pavone: sono costituiti da forme simili. E la varietà di broccoli Romanescu è generalmente sorprendente nel suo aspetto, perché può davvero essere definita un miracolo della natura.

Pausa musicale

Si scopre che i frattali non sono solo forme geometriche, possono anche essere suoni. Ad esempio, il musicista Jonathan Colton scrive musica utilizzando algoritmi frattali. Afferma corrisponde all'armonia naturale. Il compositore pubblica tutte le sue opere sotto la licenza CreativeCommons Attribution-Noncommercial, che prevede la distribuzione gratuita, la copia, il trasferimento di opere da parte di altri.

Indicatore frattale

Questa tecnica ha trovato un'applicazione molto inaspettata. Sulla base, è stato creato uno strumento per l'analisi del mercato azionario e, di conseguenza, hanno iniziato a utilizzarlo nel mercato Forex. Ora l'indicatore frattale si trova su tutte le piattaforme di trading e viene utilizzato in una tecnica di trading chiamata breakout dei prezzi. Questa tecnica è stata sviluppata da Bill Williams. Come l'autore commenta la sua invenzione, questo algoritmo è una combinazione di più "candele" in cui quella centrale riflette il punto di massimo o, al contrario, il punto estremo di minimo.

Finalmente

Quindi abbiamo esaminato cos'è un frattale. Si scopre che nel caos che ci circonda, infatti, ci sono forme ideali. La natura è il miglior architetto, costruttore ideale e ingegnere. È organizzato in modo molto logico e se non riusciamo a trovare uno schema, ciò non significa che non esista. Forse hai bisogno di guardare su una scala diversa. Possiamo dire con sicurezza che i frattali nascondono ancora molti segreti che dobbiamo ancora scoprire.