Sia dato un sistema di coordinate affine OXY.

Teorema 2.1. Qualsiasi dritto io il sistema di coordinate X è dato da un'equazione lineare della forma

UN X+ B sì+ C = O, (1)

dove А, В, С R e А 2 + В 2 0. Viceversa, qualsiasi equazione della forma (1) definisce una retta.

Equazione della forma (1) - equazione generale della retta .

Lascia che nell'equazione (1) tutti i coefficienti A, B e C siano diversi da zero. Quindi

Ax-By = -C, e.

Indichiamo -C / A = a, -C / B = b. Noi abbiamo

-equazione del segmento di linea .

Infatti, i numeri | a | e | b | indicare i valori dei segmenti tagliati dalla retta io rispettivamente sugli assi OX e OY.

Lascia che sia dritto ioè dato dall'equazione generale (1) in un sistema di coordinate rettangolari e facciano appartenere i punti M 1 (x 1, y 1) e M 2 (x 2, y 2) io... Quindi

UN X 1 + B a 1 + C = LA NS 2 + B a 2 + C, cioè A ( X 1 -X 2) + B ( a 1 -a 2) = 0.

L'ultima uguaglianza significa che il vettore = (A, B) è ortogonale al vettore = (x 1 -x 2, y 1 -y 2). quelli. Il vettore (A, B) si chiama vettore normale della retta l.

Considera un vettore = (- B, A). Quindi

A (-B) + BA = 0. quelli. ^.

Pertanto, il vettore = (- B, A) è il vettore direzionale del piccante io.

Equazioni parametriche e canoniche di una retta

Equazione di una retta passante per due punti dati

Sia data una retta nel sistema di coordinate affine (0, X, Y) io, il suo vettore di direzione = (m, n) e il punto M 0 ( X 0 ,sì 0) di proprietà io... Allora per un punto arbitrario M ( X,a) di questa linea abbiamo

e così come? .

Se indichiamo e

I vettori raggio dei punti M e M 0, rispettivamente, allora

- equazione di una retta in forma vettoriale.

Poiché = ( NS,a), =(NS 0 ,a 0), quindi

X= X 0 + mt,

sì= sì 0 + nt

- equazione parametrica di una retta .

Quindi ne segue che

- equazione canonica della retta .

Infine, se in linea retta io due punti M 1 ( NS 1 ,a 1) e

M2 ( X 2 ,a 2), quindi vettore = ( NS 2 -NS 1 ,sì 2 -a 1) è guida linea retta vettoriale io... Quindi

- equazione di una retta passante per due punti dati.

La posizione relativa di due rette.

Lascia che le linee rette io 1 e io 2 sono dati dalle loro equazioni generali

io 1: La 1 NS+ SI 1 a+ С 1 = 0, (1)

io 2: La 2 NS+ SI 2 a+ C2 = 0.

Teorema... Lascia che le linee rette io 1 e io 2 sono dati dalle equazioni (1). Allora e solo allora:

1) le rette si intersecano quando non esiste un numero tale che

A 1 = λA 2, B 1 = λB 2;

2) le rette coincidono quando esiste un numero tale che

1 = λA 2, B 1 = λB 2, 1 = λС 2;

3) le rette sono distinte e parallele quando esiste un numero tale che

1 = λA 2, В 1 = λВ 2, 1 λС 2.

Fascio di linee rette

Un mucchio di linee rette si chiama l'insieme di tutte le rette del piano passanti per un punto, detto centro trave.

Per impostare l'equazione del raggio, è sufficiente conoscere due rette qualsiasi io 1 e io 2 passante per il centro della trave.

Lascia nel sistema di coordinate affine le linee io 1 e io 2 sono dati dalle equazioni

io 1: La 1 X+ SI 1 sì+ C1 = 0,

io 2: La 2 X+ SI 2 sì+ C2 = 0.

L'equazione:

un 1 X+ SI 1 sì+ C + λ (LA 2 NS+ SI 2 sì+ C) = 0

- l'equazione della matita delle rette, definita dalle equazioni l 1 e l 2.

In quanto segue, per sistema di coordinate intendiamo un sistema di coordinate rettangolare .

Condizioni di parallelismo e perpendicolarità di due rette

Lascia che le linee rette io 1 e io 2. le loro equazioni generali; = (A 1, B 1), = (A 2, B 2) - vettori normali di queste linee; K 1 = tgα 1, K 2 = tgα 2 - pendenze; = ( m 1 ,n 1), (m 2 ,n 2) - vettori di direzione. Allora, dritto io 1 e io 2 sono paralleli se e solo se è soddisfatta una delle seguenti condizioni:

o entrambi K 1 =K 2 o.

Lascia che le linee rette ora io 1 e io 2 sono perpendicolari. Allora, ovviamente, cioè A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0.

Se dritto io 1 e io 2 sono dati dalle equazioni

io 1: a=K 1 X+ B 1 ,

io 2: a=K 2 X+ B 2 ,

allora tgα 2 = tg (90º + α) = .

Quindi ne segue che

Infine, se e sono i vettori di direzione delle rette, allora ^, cioè

m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0

Queste ultime relazioni esprimono la condizione necessaria e sufficiente per la perpendicolarità di due piani.

Angolo tra due rette

Ad angolo tra due rette io 1 e io 2 si intende il più piccolo angolo di cui una retta deve essere ruotata in modo che diventi parallela ad un'altra retta o coincida con essa, cioè 0 £ φ £

Lascia che le rette siano date da equazioni generali. È ovvio che

cosφ =

Lascia che le linee rette ora io 1 e io 2 è dato da equazioni con coefficienti di pendenza K 1 pollice K 2 rispettivamente. Quindi

È ovvio che, cioè ( NS-NS 0) + B ( a-a 0) + C ( z-z 0) = 0

Espandi le parentesi e denotiamo D = -A X 0 - SI a 0 - Do z 0. Noi abbiamo

UN X+ B sì+ C z+ D = 0 (*)

- equazione generale del piano o equazione generale del piano.

Teorema 3.1 L'equazione lineare (*) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) è l'equazione del piano e viceversa, qualsiasi equazione del piano è lineare.

1) D = 0, quindi il piano passa per l'origine.

2) A = 0, quindi il piano è parallelo all'asse OX

3) A = 0, B = 0, quindi il piano è parallelo al piano OXY.

Lascia che tutti i coefficienti nell'equazione siano diversi da zero.

- equazione del piano in segmenti di linea... I numeri | a |, | b |, | c | indicare i valori dei segmenti di linea tagliati dal piano sugli assi delle coordinate.

Se nell'equazione generale della retta Ax + Vy + C = 0 C ¹ 0, allora, dividendo per –C, otteniamo: o

Il significato geometrico dei coefficienti è che il coefficiente unè la coordinata del punto di intersezione della retta con l'asse del bue, e B- la coordinata del punto di intersezione della retta con l'asse Oy.

Esempio. Viene data l'equazione generale della retta x - y + 1 = 0. Trova l'equazione di questa retta in segmenti.

C = 1, a = -1, b = 1.

Equazione normale di una retta.

Se entrambi i membri dell'equazione Ax + Vy + C = 0 sono divisi per un numero chiamato fattore di normalizzazione, quindi otteniamo

Xcosj + ysinj - p = 0 -

equazione normale di una retta.

Il segno ± del fattore di normalizzazione dovrebbe essere scelto in modo che m × С< 0.

p è la lunghezza della perpendicolare caduta dall'origine alla retta, e j è l'angolo formato da questa perpendicolare con la direzione positiva dell'asse di bue.

Esempio. Viene data un'equazione generale della retta 12x - 5y - 65 = 0. È necessario scrivere vari tipi di equazioni di questa retta.

l'equazione di questa retta in segmenti:

equazione di questa retta con pendenza: (dividere per 5)

equazione normale della retta:

; cosj = 12/13; sinj = -5/13; p = 5.

Va notato che non tutte le rette possono essere rappresentate da un'equazione in segmenti, ad esempio rette parallele agli assi o passanti per l'origine.

Esempio. La linea retta taglia segmenti positivi uguali sugli assi delle coordinate. Crea un'equazione in linea retta se l'area del triangolo formato da questi segmenti è 8 cm 2.

L'equazione della retta ha la forma:, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 non corrisponde all'affermazione del problema.

Totale: o x + y - 4 = 0.

Esempio. Calcola l'equazione della retta passante per il punto A (-2, -3) e per l'origine.

L'equazione della retta ha la forma:, dove x 1 = y 1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.

Equazione di una retta passante per un punto dato

Perpendicolare alla retta data.

Definizione. La retta passante per il punto M 1 (x 1, y 1) e perpendicolare alla retta y = kx + b è rappresentata dall'equazione:

L'angolo tra le rette sul piano.

Definizione. Se sono date due rette y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, allora l'angolo acuto tra queste rette sarà definito come

Due rette sono parallele se k 1 = k 2.

Due rette sono perpendicolari se k 1 = -1 / k 2.

Teorema. Le rette Ax + Vy + C = 0 e A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sono parallele quando i coefficienti proporzionali A 1 = lA, B 1 = lB. Se anche С 1 = lС, allora le rette coincidono.

Le coordinate del punto di intersezione di due rette si trovano come soluzione del sistema di equazioni di queste rette.

Distanza da punto a linea.

Teorema. Se è dato un punto M (x 0, y 0), allora la distanza dalla retta Ax + Vy + C = 0 è determinata come

Prova. Sia il punto M 1 (x 1, y 1) la base della perpendicolare caduta dal punto M su una retta data. Allora la distanza tra i punti M e M 1:

Le coordinate x 1 e y 1 possono essere trovate come soluzione del sistema di equazioni:

La seconda equazione del sistema è l'equazione di una retta passante per un dato punto M 0 perpendicolare a una retta data.

Se trasformiamo la prima equazione del sistema nella forma:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + Per 0 + C = 0,

quindi risolvendo si ottiene:

Sostituendo queste espressioni nell'equazione (1), troviamo:

Il teorema è dimostrato.

Esempio . Determina l'angolo tra le rette: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2 tgj =; j = p / 4.

Esempio. Mostra che le rette 3x - 5y + 7 = 0 e 10x + 6y - 3 = 0 sono perpendicolari.

Troviamo: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, quindi le rette sono perpendicolari.

Esempio. Sono dati i vertici del triangolo A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Trova l'equazione per l'altezza disegnata dal vertice C.

Troviamo l'equazione del lato AB:; 4x = 6a - 6;

2x - 3a + 3 = 0;

L'equazione dell'altezza richiesta è: Ax + By + C = 0 oppure y = kx + b.

k =. Allora y =. Perché l'altezza passa per il punto C, quindi le sue coordinate soddisfano questa equazione: da cui b = 17. Totale:.

Risposta: 3x + 2y - 34 = 0.

Curve del secondo ordine.

Una curva del secondo ordine può essere data dall'equazione

Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Esiste un sistema di coordinate (non necessariamente cartesiano rettangolare), in cui questa equazione può essere rappresentata in una delle forme seguenti.

1) - l'equazione dell'ellisse.

2) - l'equazione dell'ellisse "immaginaria".

3) - l'equazione dell'iperbole.

4) a 2 x 2 - c 2 y 2 = 0 - l'equazione di due rette che si intersecano.

5) y 2 = 2px - equazione della parabola.

6) y 2 - a 2 = 0 è l'equazione di due rette parallele.

7) y 2 + a 2 = 0 è l'equazione di due rette parallele “immaginarie”.

8) y 2 = 0 è una coppia di rette coincidenti.

9) (x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 è l'equazione del cerchio.

Cerchio.

Nel cerchio (x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2, il centro ha coordinate (a; b).

Esempio. Trova le coordinate del centro e il raggio del cerchio, se la sua equazione è data nella forma:

2x 2 + 2 anni 2 - 8x + 5 anni - 4 = 0.

Per trovare le coordinate del centro e del raggio del cerchio, questa equazione deve essere ridotta alla forma indicata sopra al paragrafo 9. Per fare ciò, seleziona i quadrati completi:

x 2 + y 2 - 4x + 2,5 y - 2 = 0

x 2 - 4x + 4 –4 + y 2 + 2,5y + 25/16 - 25/16 - 2 = 0

(x - 2) 2 + (y + 5/4) 2 - 25/16 - 6 = 0

(x - 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16

Da qui troviamo O (2; -5/4); R = 11/4.

Ellisse.

Definizione. Ellisse chiamata curva data dall'equazione.

Definizione. Si concentra tali due punti sono chiamati, la somma delle distanze da cui a qualsiasi punto dell'ellisse è una costante.

F 1, F 2 - mette a fuoco. F 1 = (c; 0); Fa 2 (-c; 0)

c - metà della distanza tra i fuochi;

a - semiasse maggiore;

b - semiasse minore.

Teorema. La lunghezza focale e i semiassi dell'ellisse sono legati dal rapporto:

a2 = b2 + c2.

Prova: Se il punto M è all'intersezione dell'ellisse con l'asse verticale, r1 + r2= 2 (per il teorema di Pitagora). Se il punto M è all'intersezione dell'ellisse con l'asse orizzontale, r 1 + r 2 = a - c + a + c. Perché per definizione l'importo r1 + r2È un valore costante, quindi, eguagliando, otteniamo:

a2 = b2 + c2

r1 + r2 = 2a.

Definizione. La forma di un'ellisse è determinata da una caratteristica, che è il rapporto tra la lunghezza focale e l'asse maggiore ed è chiamata eccentricità.

Perché insieme a< a, то е < 1.

Definizione. La quantità k = b/a si chiama rapporto di compressione ellisse, e la quantità 1 - k = (a - b) / a è chiamata spremitura ellisse.

Il rapporto di compressione e l'eccentricità sono legati dal rapporto: k 2 = 1 - e 2.

Se a = b (c = 0, e = 0, i fuochi si fondono), l'ellisse si trasforma in un cerchio.

Se per un punto M (x 1, y 1) la condizione è soddisfatta:, allora è all'interno dell'ellisse, e se, allora il punto è al di fuori dell'ellisse.

Teorema. Per un punto arbitrario M (x, y) appartenente a un'ellisse, valgono le seguenti relazioni::

R 1 = a - es, r 2 = a + es.

Prova.È stato mostrato sopra che r 1 + r 2 = 2a. Inoltre, per motivi geometrici, puoi scrivere:

Dopo aver squadrato e ridotto termini simili:

Allo stesso modo si può dimostrare che r 2 = a + ex. Il teorema è dimostrato.

All'ellisse sono collegate due rette, dette registi... Le loro equazioni sono:

X = a/e; x = -a / e.

Teorema. Affinché un punto giaccia su un'ellisse, è necessario e sufficiente che il rapporto tra la distanza dal fuoco e la distanza dalla direttrice corrispondente sia uguale all'eccentricità e.

Esempio. Uguaglia la retta passante per il fuoco sinistro e il vertice inferiore dell'ellisse data dall'equazione:

1) Coordinate del vertice inferiore: x = 0; y2 = 16; y = -4.

2) Coordinate del fuoco sinistro: c 2 = a 2 - b 2 = 25 - 16 = 9; c = 3; F2 (-3; 0).

3) Equazione di una retta passante per due punti:

Esempio. Disegna l'equazione di un'ellisse se i suoi fuochi sono F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), l'asse maggiore è 2.

L'equazione dell'ellisse ha la forma:. Distanza tra i fuochi:

2c =, quindi a 2 - b 2 = c 2 = ½

per la condizione 2a = 2, quindi a = 1, b =

Iperbole.

Definizione. Iperbole si chiama l'insieme dei punti del piano per cui il modulo della differenza tra le distanze da due punti dati, detto trucchi c'è un valore costante minore della distanza tra i fuochi.

Per definizione ïr 1 - r 2 ï = 2a. F 1, F 2 - fuochi dell'iperbole. F 1 F 2 = 2c.

Scegliamo un punto arbitrario M (x, y) sull'iperbole. Quindi:

denota c 2 - a 2 = b 2 (geometricamente, questo valore è il semiasse minore)

Ricevuta l'equazione iperbole canonica.

L'iperbole è simmetrica rispetto al punto medio del segmento che collega i fuochi e attorno agli assi coordinati.

L'asse 2a è detto asse reale dell'iperbole.

L'asse 2b è detto asse immaginario dell'iperbole.

L'iperbole ha due asintoti le cui equazioni sono

Definizione. La relazione si chiama eccentricità iperboli, dove c è la metà della distanza tra i fuochi, ed è il semiasse reale.

Considerando che c 2 - a 2 = b 2:

Se a = b, e =, allora l'iperbole si chiama isoscele (equilatero).

Definizione. Si chiamano due rette perpendicolari all'asse reale dell'iperbole e disposte simmetricamente rispetto al centro ad una distanza a/e da essa registi iperbole. Le loro equazioni sono:.

Teorema. Se r è la distanza da un punto arbitrario M dell'iperbole a qualsiasi fuoco, d è la distanza dallo stesso punto alla direttrice corrispondente a questo fuoco, allora il rapporto r / d è un valore costante uguale all'eccentricità.

Prova. Disegniamo un'iperbole.

Dalle ovvie relazioni geometriche, puoi scrivere:

a / e + d = x, quindi d = x - a / e.

(x - c) 2 + y 2 = r 2

Dall'equazione canonica:, tenendo conto di b 2 = c 2 - a 2:

poi dal momento che c / a = e, quindi r = ex - a.

Per il ramo sinistro dell'iperbole, la dimostrazione è simile. Il teorema è dimostrato.

Esempio. Trova l'equazione di un'iperbole, i cui vertici e fuochi sono ai corrispondenti vertici e fuochi dell'ellisse.

Per un'ellisse: c 2 = a 2 - b 2.

Per l'iperbole: c 2 = a 2 + b 2.

Equazione dell'iperbole:.

Esempio. Scrivi l'equazione dell'iperbole se la sua eccentricità è 2 e i fuochi coincidono con i fuochi dell'ellisse con l'equazione del parametro parabola. Ricaviamo l'equazione canonica della parabola.

Dalle relazioni geometriche: AM = MF; AM = x + p / 2;

MF 2 = y 2 + (x - p / 2) 2

(x + p / 2) 2 = y 2 + (x - p / 2) 2

x 2 + xp + p 2/4 = y 2 + x 2 - xp + p 2/4

Equazione direttrice: x = -p / 2.

Esempio . Sulla parabola y 2 = 8x trova un punto la cui distanza dalla direttrice è 4.

Dall'equazione della parabola troviamo che p = 4.

r = x + p / 2 = 4; quindi:

x = 2; y2 = 16; y = ± 4. Punti di ricerca: M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).

Esempio. L'equazione della curva nel sistema di coordinate polari è:

Trova l'equazione di una curva in un sistema di coordinate cartesiane rettangolari, determina il tipo di curva, trova i fuochi e l'eccentricità. Costruisci schematicamente una curva.

Usiamo la connessione tra i sistemi di coordinate cartesiane rettangolari e polari:;

Ricevuta l'equazione iperbole canonica. Dall'equazione si vede che l'iperbole è spostata lungo l'asse Ox di 5 verso sinistra, il semiasse maggiore a è uguale a 4, il semiasse minore b è uguale a 3, da cui si ricava c 2 = a 2 + b 2; c = 5; e = c / a = 5/4.

Mette a fuoco F 1 (-10; 0), F 2 (0; 0).

Tracciamo questa iperbole.

Proprietà di una retta in geometria euclidea.

Puoi disegnare infinite linee rette attraverso qualsiasi punto.

Una singola linea retta può essere tracciata attraverso due punti qualsiasi non coincidenti.

Due rette non corrispondenti su un piano si intersecano in un unico punto o sono

parallelo (segue dal precedente).

Nello spazio tridimensionale, ci sono tre opzioni per la posizione relativa di due linee rette:

• le linee rette si intersecano;

• le linee rette sono parallele;

• le linee rette si intersecano.

Dritto linea- curva algebrica del primo ordine: in un sistema di coordinate cartesiane, una retta

è dato sul piano da un'equazione di primo grado (equazione lineare).

Equazione generale della retta.

Definizione... Qualsiasi retta su un piano può essere data da un'equazione del primo ordine

Ascia + Wu + C = 0,

con costante A, B non sono uguali a zero allo stesso tempo. Questa equazione del primo ordine è chiamata Comune

equazione di una retta. A seconda dei valori delle costanti A, B e INSIEME A sono possibili i seguenti casi speciali:

. C = 0, A 0, B ≠ 0- la retta passa per l'origine

. A = 0, B 0, C ≠ 0 (per + C = 0)- retta parallela all'asse Oh

. B = 0, A 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- retta parallela all'asse OU

. B = C = 0, A 0- la retta coincide con l'asse OU

. A = C = 0, B ≠ 0- la retta coincide con l'asse Oh

L'equazione di una retta può essere presentata in forme diverse, a seconda di un dato

condizioni iniziali.

Equazione di una retta lungo un punto e un vettore normale.

Definizione... In un sistema di coordinate cartesiane rettangolari, un vettore con componenti (A, B)

perpendicolare alla retta data dall'equazione

Ascia + Wu + C = 0.

Esempio... Trova l'equazione di una retta passante per un punto A (1, 2) perpendicolare al vettore (3, -1).

Soluzione... In A = 3 e B = -1, componiamo l'equazione della retta: 3x - y + C = 0. Per trovare il coefficiente C

nell'espressione risultante sostituiamo le coordinate del punto A. Otteniamo: 3 - 2 + C = 0, quindi

C = -1. Totale: l'equazione richiesta: 3x - y - 1 = 0.

Equazione di una retta passante per due punti.

Siano dati due punti nello spazio M 1 (x 1, y 1, z 1) e M2 (x 2, y 2, z 2), poi equazione di una retta,

passando per questi punti:

Se uno dei denominatori è zero, il numeratore corrispondente deve essere uguale a zero. Sopra

piano, l'equazione della retta scritta sopra è semplificata:

Se x 1≠ x 2 e x = x 1, Se x 1 = x 2 .

Frazione = k chiamato pendenza dritto.

Esempio... Trova l'equazione della retta passante per i punti A (1, 2) e B (3, 4).

Soluzione... Applicando la formula precedente si ottiene:

Equazione di una retta per punto e pendenza.

Se l'equazione generale della retta Ascia + Wu + C = 0 porta alla forma:

e designare , quindi l'equazione risultante è chiamata

equazione di una retta con pendenza k.

Equazione di una retta lungo un punto e un vettore di direzione.

Per analogia con il paragrafo che considera l'equazione di una retta attraverso il vettore normale, puoi inserire il compito

una retta passante per un punto e un vettore di direzione di una retta.

Definizione... Ogni vettore diverso da zero (α 1, α 2) i cui componenti soddisfano la condizione

α 1 + Вα 2 = 0 chiamato vettore direzionale di una retta.

Ascia + Wu + C = 0.

Esempio... Trova l'equazione di una retta con un vettore di direzione (1, -1) e passante per il punto A (1, 2).

Soluzione... L'equazione della retta richiesta sarà ricercata nella forma: Ascia + Per + C = 0. Secondo la definizione,

i coefficienti devono soddisfare le condizioni:

1 * A + (-1) * B = 0, cioè A = B

Allora l'equazione della retta ha la forma: Ax + Ay + C = 0, o x + y + C / A = 0.

a x = 1, y = 2 noi abbiamo C/LA = -3, cioè. equazione richiesta:

x + y - 3 = 0

Equazione di una retta in segmenti.

Se nell'equazione generale della retta Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0, allora, dividendo per -C, otteniamo:

o dove

Il significato geometrico dei coefficienti è che il coefficiente a è la coordinata del punto di intersezione

dritto con asse Oh, un B- la coordinata del punto di intersezione della retta con l'asse UO.

Esempio... L'equazione generale della retta è data x - y + 1 = 0. Trova l'equazione di questa retta in segmenti.

C = 1, a = -1, b = 1.

Equazione normale di una retta.

Se entrambi i lati dell'equazione Ascia + Wu + C = 0 dividere per numero che è chiamato

fattore di normalizzazione, quindi otteniamo

xcosφ + ysinφ - p = 0 -equazione normale della retta.

Il segno ± del fattore di normalizzazione dovrebbe essere scelto in modo che μ * C< 0.

R- la lunghezza della perpendicolare caduta dall'origine alla retta,

un φ - l'angolo formato da questa perpendicolare con la direzione positiva dell'asse Oh.

Esempio... Si dà un'equazione generale della retta 12x - 5a - 65 = 0... Necessario per scrivere diversi tipi di equazioni

questa linea retta.

L'equazione di questa linea in segmenti:

Equazione di questa linea con pendenza: (dividi per 5)

Equazione di una retta:

cos = 12/13; peccato = -5/13; p = 5.

Va notato che non tutte le linee rette possono essere rappresentate da un'equazione in segmenti, ad esempio linee rette,

parallela agli assi o passante per l'origine.

L'angolo tra le rette sul piano.

Definizione... Se vengono fornite due righe y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, quindi un angolo acuto tra queste linee

sarà definito come

Due rette sono parallele se k1 = k2... Due rette sono perpendicolari,

Se k1 = -1 / k2 .

Teorema.

Diretto Ascia + Wu + C = 0 e A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sono paralleli quando i coefficienti sono proporzionali

1 = , В 1 = λВ... Se anche 1 = λС, allora le rette coincidono. Coordinate del punto di intersezione di due rette

si trovano come soluzione del sistema di equazioni di queste rette.

Equazione di una retta passante per un dato punto perpendicolare ad una retta data.

Definizione... Linea per punto M 1 (x 1, y 1) e perpendicolare alla linea y = kx + b

è rappresentato dall'equazione:

Distanza da punto a linea.

Teorema... Se viene dato un punto M (x 0, y 0), la distanza dalla linea retta Ascia + Wu + C = 0 definito come:

Prova... Facciamo il punto M 1 (x 1, y 1)- la base della perpendicolare caduta dal punto m per una data

retta. Allora la distanza tra i punti m e M 1:

(1)

Coordinate x 1 e a 1 può essere trovata come soluzione del sistema di equazioni:

La seconda equazione del sistema è l'equazione di una retta passante per un dato punto M 0 perpendicolare a

una data retta. Se trasformiamo la prima equazione del sistema nella forma:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + Per 0 + C = 0,

quindi risolvendo si ottiene:

Sostituendo queste espressioni nell'equazione (1), troviamo:

Il teorema è dimostrato.

Equazione di una retta, dove un e B- alcuni numeri reali diversi da zero, chiamati l'equazione della retta nei segmenti... Questo nome non è casuale, poiché i valori assoluti dei numeri un e B sono uguali alle lunghezze dei segmenti che la retta taglia sugli assi coordinati Bue e ahi rispettivamente (i segmenti sono misurati dall'origine). Pertanto, l'equazione di una retta in segmenti semplifica la costruzione di questa retta nel disegno. Per fare ciò, segna in un sistema di coordinate rettangolare sul piano i punti con coordinate e e usa un righello per collegarli con una linea retta.

Ad esempio, costruiamo una retta data da un'equazione in segmenti della forma. Segniamo i punti e li colleghiamo.

Puoi ottenere informazioni dettagliate su questo tipo di equazione di una retta su un piano nell'articolo l'equazione di una retta in segmenti.

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Algebra e geometria analitica. Il concetto di matrice, le operazioni sulle matrici e le loro proprietà

Il concetto di una matrice operazioni su matrici e loro proprietà .. una matrice è una tabella rettangolare composta da numeri che non possono essere .. e l'aggiunta di matrici è un'operazione a livello di elementi ..

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Definizione di differenziabilità
L'operazione di trovare la derivata si chiama differenziazione di funzioni. Una funzione si dice differenziabile ad un certo punto se ha una derivata finita in questo punto, e

Regola di differenziazione
Corollario 1. Il fattore costante può essere spostato al di fuori del segno della derivata:

Il significato geometrico della derivata. Equazione tangente
L'angolo di inclinazione della retta y = kx + b è l'angolo misurato dalla posizione

Il significato geometrico della derivata di una funzione in un punto
Si consideri la linea di taglio AB del grafico della funzione y = f (x) tale che i punti A e B, rispettivamente, abbiano coordinate

Soluzione
La funzione è definita per tutti i numeri reali. Poiché (-1; -3) è il punto di contatto, allora

Condizioni necessarie per un estremo e condizioni sufficienti per un estremo
Determinazione di una funzione crescente. La funzione y = f (x) aumenta sull'intervallo X se per qualsiasi

Criteri sufficienti per l'estremo di una funzione
Per trovare i massimi e i minimi della funzione, puoi utilizzare uno qualsiasi dei tre segni sufficienti di un estremo. Sebbene il più comune e conveniente sia il primo.

Formula di Newton-Leibniz (con dimostrazione)
Formula di Newton-Leibniz. Sia la funzione y = f (x) continua su un intervallo e F (x) una delle antiderivate della funzione su questo intervallo, allora è vero che

Continuiamo a studiare la sezione "Equazione di una retta su un piano" e in questo articolo analizzeremo l'argomento "Equazione di una retta in segmenti". Consideriamo in sequenza la forma dell'equazione di una retta in segmenti, la costruzione di una retta, che è data da questa equazione, il passaggio dall'equazione generale di una retta all'equazione di una retta in segmenti. Il tutto sarà accompagnato da esempi e analisi di problem solving.

Lascia che un sistema di coordinate rettangolare O x y sia posizionato sul piano.

Una retta su un piano nel sistema di coordinate cartesiane O xy è data da un'equazione della forma xa + yb = 1, dove aeb sono alcuni numeri reali diversi da zero, i cui valori sono uguali alle lunghezze dei segmenti tagliati da una retta sugli assi O x e O y. Le lunghezze dei segmenti di linea vengono contate dall'origine.

Come sappiamo, le coordinate di uno qualsiasi dei punti appartenenti ad una retta data dall'equazione di una retta soddisfano l'equazione di questa retta. I punti a, 0 e 0, b appartengono a questa retta, poiché a a + 0 b = 1 ⇔ 1 ≡ 1 e 0 a + b b = 1 ⇔ 1 ≡ 1. I punti a, 0 e b, 0 si trovano sugli assi delle coordinate O x e O y e vengono rimossi dall'origine di unità a e b. La direzione in cui si vuole posticipare la lunghezza del segmento è determinata dal segno che sta davanti ai numeri a e b. Il segno "-" indica che la lunghezza del segmento di linea deve essere tracciata nella direzione negativa dell'asse delle coordinate.

Spieghiamo tutto quanto sopra posizionando le rette relative al sistema di coordinate cartesiane fisso O x y nel disegno schematico. L'equazione di una retta in segmenti x a + y b = 1 viene utilizzata per costruire una retta nel sistema di coordinate cartesiane O x y. Per fare ciò, dobbiamo contrassegnare i punti a, 0 e b, 0 sugli assi, quindi collegare questi punti con una linea usando un righello.

Il disegno mostra i casi in cui i numeri aeb hanno segni diversi e, pertanto, le lunghezze dei segmenti sono tracciate in direzioni diverse degli assi delle coordinate.

Diamo un'occhiata a un esempio.

Esempio 1

Una retta è data dall'equazione di una retta in segmenti della forma x 3 + y - 5 2 = 1. È necessario costruire questa retta su un piano nel sistema di coordinate cartesiane O x y.

Soluzione

Usando l'equazione di una retta in segmenti, determiniamo i punti attraverso i quali passa la retta. Questo è 3, 0, 0, - 5 2. Segnaliamoli e tracciamo una linea.

Riduzione dell'equazione generale di una retta a un'equazione di una retta in segmenti

Il passaggio da una data equazione di una retta a un'equazione di una retta in segmenti ci facilita la risoluzione di vari problemi. Avendo un'equazione generale completa della retta, possiamo ottenere l'equazione della retta in segmenti.

L'equazione generale completa di una retta in un piano è A x + B y + C = 0, dove A, B e C non sono zero. Trasferiamo il numero C sul lato destro dell'uguaglianza, dividiamo entrambi i lati dell'uguaglianza risultante per - In questo caso, inviamo i coefficienti di x e y ai denominatori:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Per fare l'ultima transizione, abbiamo usato l'uguaglianza p q = 1 q p, p 0, q ≠ 0.

Di conseguenza, abbiamo effettuato il passaggio dall'equazione generale della retta A x + B y + C = 0 all'equazione della retta nei segmenti xa + yb = 1, dove a = - CA, b = - C B.

Diamo un'occhiata al seguente esempio.

Esempio 2

Eseguiamo la transizione all'equazione di una retta in segmenti, avente l'equazione generale di una retta x - 7 y + 1 2 = 0.

Soluzione

Sposta l'altra metà a destra dell'uguaglianza x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2.

Dividi entrambi i lati dell'uguaglianza per - 1 2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1.

Converti l'uguaglianza risultante nella forma richiesta: 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 ⇔ x - 1 2 + y 1 14 = 1.

Abbiamo ottenuto l'equazione di una retta in segmenti.

Risposta: x - 1 2 + y 1 14 = 1

Nei casi in cui una retta è data dall'equazione canonica o parametrica di una retta su un piano, allora prima andiamo all'equazione generale di una retta e poi all'equazione di una retta in segmenti.

Passare dall'equazione di una retta in segmenti e l'equazione generale di una retta è semplice: trasferiamo l'unità dal lato destro dell'equazione di una retta in segmenti della forma xa + yb = 1 a sinistra lato con segno opposto, selezionare i coefficienti davanti alle incognite x e y.

x a + y b = 1 ⇔ x a + y b - 1 = 0 ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0

Otteniamo l'equazione generale di una retta, da cui puoi passare a qualsiasi altro tipo di equazione di una retta su un piano. Abbiamo analizzato in dettaglio il processo di transizione nell'argomento "Ridurre l'equazione generale di una linea retta ad altri tipi di equazioni di una linea retta".

Esempio 3

L'equazione di una retta in segmenti ha la forma x 2 3 + y - 12 = 1. È necessario scrivere l'equazione generale di una retta su un piano.

Soluzione

Agisce secondo l'algoritmo precedentemente descritto:

x 2 3 + y - 12 = 1 ⇔ 1 2 3 x + 1 - 12 y - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 2 x - 1 12 y - 1 = 0

Risposta: 3 2 x - 1 12 y - 1 = 0

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