Criterio di convergenza di D'Alembert Criterio di convergenza radicale di Cauchy Criterio di convergenza integrale di Cauchy

Uno dei segni comuni di confronto, che si trova negli esempi pratici, è il segno d'Alembert. I segni di Cauchy sono meno comuni, ma anche molto popolari. Come sempre, cercherò di presentare il materiale in modo semplice, accessibile e comprensibile. L'argomento non è il più difficile e tutti i compiti sono in una certa misura stencil.

Jean Leron D'Alembert è un famoso matematico francese del XVIII secolo. In generale, D'Alembert si specializzò in equazioni differenziali e, sulla base delle sue ricerche, si occupò di balistica, affinché Sua Maestà potesse far volare meglio le palle di cannone. Allo stesso tempo, non ho dimenticato i ranghi numerici, non per niente i ranghi delle truppe di Napoleone convergevano e divergevano così chiaramente.

Prima di formulare la funzione stessa, considera una domanda importante:
Quando applicare il criterio di convergenza di d'Alembert?

Cominciamo con la ripetizione. Ricordiamo i casi in cui è necessario utilizzare il più popolare criterio di confronto dei limiti... Il criterio di confronto limite si applica quando nel termine comune della serie:
1) Il denominatore contiene un polinomio.
2) I polinomi sono sia al numeratore che al denominatore.
3) Uno o entrambi i polinomi possono essere alla radice.

I principali prerequisiti per l'utilizzo della caratteristica d'Alembert sono i seguenti:

1) Il termine comune della serie ("ripieno" della serie) include qualche numero nella potenza, per esempio, e così via. Inoltre, non importa affatto dove si trova questa cosa, nel numeratore o nel denominatore: è importante che sia presente lì.

2) Il fattoriale è compreso nel termine generale della serie. Abbiamo incrociato le spade con i fattoriali durante la lezione Sequenza numerica e suo limite... Tuttavia, non fa male stendere di nuovo la tovaglia autoassemblata:





…


…

! Quando si usa il test di d'Alembert, dobbiamo solo descrivere il fattoriale in dettaglio. Come nel paragrafo precedente, il fattoriale può essere posizionato nella parte superiore o inferiore della frazione.

3) Se c'è una “catena di fattori” nel termine comune della serie, per esempio. Questo caso è raro, ma! Quando si esamina una serie del genere, vengono spesso commessi errori - vedere l'esempio 6.

Insieme a potenze e (e) fattoriali, i polinomi si trovano spesso nel riempimento della serie, questo non cambia la questione: è necessario utilizzare il segno di d'Alembert.

Inoltre, nel termine generale della serie, si possono trovare contemporaneamente sia il grado che il fattoriale; ci possono essere due fattoriali, due gradi, è importante che ci sia almeno qualcosa di dei punti considerati - e questo è solo un prerequisito per l'uso del segno di d'Alembert.

segno D'Alembert: Tener conto di serie di numeri positivi... Se c'è un limite alla relazione del membro successivo con il precedente:, allora:
a) Per una serie converge... In particolare, la serie converge per.
b) Per una serie diverge... In particolare, la serie diverge a.
c) Quando il segno non dà una risposta... Dovrebbe essere usato un altro segno. Molto spesso, l'unità si ottiene quando si tenta di applicare il test di d'Alembert laddove è necessario utilizzare la funzione di confronto limitante.

Chiunque abbia ancora problemi con i limiti o un'incomprensione dei limiti, faccia riferimento alla lezione Limiti. Esempi di soluzioni... Purtroppo, senza comprendere il limite e la capacità di svelare l'incertezza, non si può andare oltre.

E ora gli esempi tanto attesi.

Esempio 1

Vediamo che abbiamo nel termine comune della serie, e questo è un presupposto corretto per usare il segno di d'Alembert. Innanzitutto, una soluzione completa e un progetto di esempio, commenti di seguito.

Usiamo il segno di d'Alembert:

converge.

(1) Componiamo il rapporto tra il prossimo membro della serie e il precedente:. Dalla condizione si vede che il termine comune della serie. Per ottenere il prossimo membro della serie, è necessario invece di sostituire: .
(2) Liberarsi della frazione di quattro piani. Con una certa esperienza con la soluzione, questo passaggio può essere saltato.
(3) Espandere le parentesi nel numeratore. Al denominatore, eliminiamo il quattro dal grado.
(4) Ridurre di. La costante viene sottratta al segno limite. Diamo termini simili al numeratore tra parentesi.
(5) L'incertezza viene eliminata nel modo standard, dividendo il numeratore e il denominatore per "en" alla massima potenza.
(6) Dividiamo i numeratori per i denominatori termine per termine, e indichiamo i termini che tendono a zero.
(7) Semplifichiamo la risposta e notiamo che con la conclusione che, secondo il test di d'Alembert, la serie in esame converge.

Nell'esempio considerato, nel termine comune della serie, abbiamo incontrato un polinomio di 2° grado. E se esiste un polinomio di 3°, 4° o superiore? Il fatto è che se viene dato un polinomio di grado superiore, allora ci saranno difficoltà nell'aprire le parentesi. In questo caso, puoi usare la soluzione "turbo".

Esempio 2

Prendi una serie simile ed esaminala per la convergenza

Prima la soluzione completa, poi i commenti:

Usiamo il segno di d'Alembert:

Quindi, la serie in studio converge.

(1) Comporre la relazione.
(2) Sbarazzarsi della frazione di quattro piani.
(3) Consideriamo un'espressione al numeratore e un'espressione al denominatore. Vediamo che al numeratore bisogna aprire le parentesi ed elevare alla quarta potenza: cosa che non si vuole assolutamente fare. Inoltre, per coloro che non hanno familiarità con il binomio di Newton, questo compito potrebbe non essere affatto fattibile. Analizziamo i gradi più alti: se apriamo le parentesi in alto, otteniamo il grado più alto. Di seguito abbiamo lo stesso grado senior:. Per analogia con l'esempio precedente, è ovvio che quando numeratore e denominatore sono divisi per termine per, otteniamo uno nel limite. Oppure, come dicono i matematici, polinomi e - stesso ordine di crescita... Pertanto, è del tutto possibile cerchiare il rapporto con una matita semplice e indicare immediatamente che questa cosa tende a uno. Ci occupiamo della seconda coppia di polinomi in modo simile: e sono anche stesso ordine di crescita, e il loro rapporto tende all'unità.

In effetti, un simile "hack" avrebbe potuto essere fatto nell'Esempio n. 1, ma per un polinomio di 2° grado, una tale soluzione sembra ancora in qualche modo poco dignitosa. Personalmente faccio così: se c'è un polinomio (o più polinomi) di primo o secondo grado, uso la via "lunga" per risolvere l'Esempio 1. Se mi imbatto in un polinomio di terzo grado o superiori, uso la "turbo" -metodo simile all'Esempio 2.

Esempio 3

Esaminare la serie per la convergenza

Soluzione completa e disegno di esempio alla fine della lezione sulle sequenze numeriche.
(4) Ridurre tutto ciò che può essere ridotto.
(5) La costante è sottratta al segno limite. Espandi le parentesi al numeratore.
(6) L'incertezza viene eliminata nel modo standard, dividendo il numeratore e il denominatore per "en" alla massima potenza.

Esempio 5

Esaminare la serie per la convergenza

Soluzione completa e disegno di esempio alla fine della lezione

Esempio 6

Esaminare la serie per la convergenza

A volte ci sono righe che contengono una "catena" di fattori nel loro riempimento; non abbiamo ancora considerato questo tipo di riga. Come indagare una serie con una "catena" di fattori? Usa il segno di d'Alembert. Ma prima, per capire cosa sta succedendo, descriveremo la serie in dettaglio:

Dall'espansione, vediamo che per ogni termine successivo della serie, viene aggiunto un fattore aggiuntivo al denominatore, quindi, se il termine comune nella serie, allora il termine successivo nella serie:
... Qui, spesso commettono un errore automaticamente, scrivendo formalmente secondo l'algoritmo che

Un esempio approssimativo di una soluzione potrebbe essere simile a questo:

Usiamo il segno di d'Alembert:

Quindi, la serie in studio converge.

Jean Leron D'Alembert è un famoso matematico francese del XVIII secolo. In generale, D'Alembert si specializzò in equazioni differenziali e, sulla base delle sue ricerche, si occupò di balistica, affinché Sua Maestà potesse far volare meglio le palle di cannone. Allo stesso tempo, non ho dimenticato i ranghi numerici, non per niente i ranghi delle truppe di Napoleone convergevano e divergevano così chiaramente.

Prima di formulare la funzione stessa, considera una domanda importante:
Quando applicare il criterio di convergenza di d'Alembert?

Cominciamo con la ripetizione. Ricordiamo i casi in cui è necessario utilizzare il più popolare criterio di confronto dei limiti... Il criterio di confronto limite si applica quando nel termine comune della serie:
1) Il denominatore contiene un polinomio.
2) I polinomi sono sia al numeratore che al denominatore.
3) Uno o entrambi i polinomi possono essere alla radice.

I principali prerequisiti per l'utilizzo della caratteristica d'Alembert sono i seguenti:

1) Il termine comune della serie ("ripieno" della serie) include qualche numero nella potenza, per esempio, e così via. Inoltre, non importa affatto dove si trova questa cosa, nel numeratore o nel denominatore: è importante che sia presente lì.

2) Il fattoriale è compreso nel termine generale della serie. Che cos'è un fattoriale? Niente di complicato, fattoriale è solo una notazione piegata di un'opera:





…


…

! Quando si usa il test di d'Alembert, dobbiamo solo descrivere il fattoriale in dettaglio. Come nel paragrafo precedente, il fattoriale può essere posizionato nella parte superiore o inferiore della frazione.

3) Se c'è una “catena di fattori” nel termine comune della serie, per esempio. Questo caso è raro, ma! Quando si esamina una serie del genere, vengono spesso commessi errori - vedere l'esempio 6.

Insieme a potenze e (e) fattoriali, i polinomi si trovano spesso nel riempimento della serie, questo non cambia la questione: è necessario utilizzare il segno di d'Alembert.

Inoltre, nel termine generale della serie, si possono trovare contemporaneamente sia il grado che il fattoriale; ci possono essere due fattoriali, due gradi, è importante che ci sia almeno qualcosa dai punti considerati - e questo è solo un prerequisito per usare il segno di d'Alembert.

segno D'Alembert: Tener conto di serie di numeri positivi... Se c'è un limite alla relazione del membro successivo con il precedente:, allora:
a) Per una serie converge
b) Per una serie diverge
c) Quando il segno non dà una risposta... Dovrebbe essere usato un altro segno. Molto spesso, l'unità si ottiene quando si tenta di applicare il test di d'Alembert laddove è necessario utilizzare la funzione di confronto limitante.

Chiunque abbia ancora problemi con i limiti o un'incomprensione dei limiti, faccia riferimento all'argomento Limiti. Esempi di soluzioni... Purtroppo, senza comprendere il limite e la capacità di svelare l'incertezza, non si può andare oltre. E ora gli esempi tanto attesi.

Esempio 1
Vediamo che abbiamo nel termine comune della serie, e questo è un presupposto corretto per usare il segno di d'Alembert. Innanzitutto, una soluzione completa e un progetto di esempio, commenti di seguito.

Usiamo il segno di d'Alembert:

converge.

(1) Componiamo il rapporto tra il prossimo membro della serie e il precedente:. Dalla condizione si vede che il termine comune della serie. Per ottenere il prossimo membro della serie, è necessario invece di sostituire: .
(2) Liberarsi della frazione di quattro piani. Con una certa esperienza con la soluzione, questo passaggio può essere saltato.
(3) Espandere le parentesi nel numeratore. Al denominatore, eliminiamo il quattro dal grado.
(4) Ridurre di. La costante viene sottratta al segno limite. Diamo termini simili al numeratore tra parentesi.
(5) L'incertezza viene eliminata nel modo standard, dividendo il numeratore e il denominatore per "en" alla massima potenza.
(6) Dividiamo i numeratori per i denominatori termine per termine, e indichiamo i termini che tendono a zero.
(7) Semplifichiamo la risposta e notiamo che con la conclusione che, secondo il test di d'Alembert, la serie in esame converge.

Nell'esempio considerato, nel termine comune della serie, abbiamo incontrato un polinomio di 2° grado. E se esiste un polinomio di 3°, 4° o superiore? Il fatto è che se viene dato un polinomio di grado superiore, allora ci saranno difficoltà nell'aprire le parentesi. In questo caso, puoi usare la soluzione "turbo".

Esempio 2 Prendi una serie simile ed esaminala per la convergenza
Prima la soluzione completa, poi i commenti:

Usiamo il segno di d'Alembert:

Quindi, la serie in studio converge.

(1) Comporre la relazione.
(2) Ci liberiamo della frazione di quattro piani.
(3) Consideriamo un'espressione al numeratore e un'espressione al denominatore. Vediamo che al numeratore bisogna aprire le parentesi ed elevare alla quarta potenza: cosa che non si vuole assolutamente fare. Inoltre, per coloro che non hanno familiarità con il binomio di Newton, questo compito potrebbe non essere affatto fattibile. Analizziamo i gradi più alti: se apriamo le parentesi in alto, otteniamo il grado più alto. Di seguito abbiamo lo stesso grado senior:. Per analogia con l'esempio precedente, è ovvio che quando numeratore e denominatore sono divisi per termine per, otteniamo uno nel limite. Oppure, come dicono i matematici, polinomi e - stesso ordine di crescita... Pertanto, è del tutto possibile cerchiare il rapporto con una matita semplice e indicare immediatamente che questa cosa tende a uno. Ci occupiamo della seconda coppia di polinomi in modo simile: e sono anche stesso ordine di crescita, e il loro rapporto tende all'unità.

In effetti, un simile "hack" avrebbe potuto essere fatto nell'Esempio n. 1, ma per un polinomio di 2° grado, una tale soluzione sembra ancora in qualche modo poco dignitosa. Personalmente faccio così: se c'è un polinomio (o più polinomi) di primo o secondo grado, uso la via "lunga" per risolvere l'Esempio 1. Se mi imbatto in un polinomio di terzo grado o superiori, uso la "turbo" -metodo simile all'Esempio 2.

Esempio 3 .

Consideriamo esempi tipici con fattoriali:

Esempio 4 Esaminare la serie per la convergenza

Il termine generale della serie include sia il grado che il fattoriale. È chiaro come la luce del giorno che il segno d'Alembert dovrebbe essere usato qui. Noi decidiamo.

Quindi, la serie in studio diverge.

(1) Comporre la relazione. Ripetiamo ancora una volta. Per condizione, il termine comune della serie:. Per ottenere il termine successivo della serie, invece devi sostituire, così: .
(2) Sbarazzarsi della frazione di quattro piani.
(3) Pizzichiamo il sette dal grado. Dipingiamo i fattoriali in dettaglio... Come farlo: vedi l'inizio della lezione.
(4) Ridurre tutto ciò che può essere ridotto.
(5) La costante è sottratta al segno limite. Espandi le parentesi al numeratore.
(6) L'incertezza viene eliminata nel modo standard, dividendo il numeratore e il denominatore per "en" alla massima potenza.

Esempio 5 Indagare la serie per la convergenza Soluzione completa di seguito.

Esempio 6 Esaminare la serie per la convergenza

A volte ci sono righe che contengono una "catena" di fattori nel loro riempimento; non abbiamo ancora considerato questo tipo di riga. Come indagare una serie con una "catena" di fattori? Usa il segno di d'Alembert. Ma prima, per capire cosa sta succedendo, descriveremo la serie in dettaglio:

Dall'espansione, vediamo che per ogni termine successivo della serie, viene aggiunto un fattore aggiuntivo al denominatore, quindi, se il termine comune nella serie, allora il termine successivo nella serie:
... Qui, spesso commettono un errore automaticamente, scrivendo formalmente secondo l'algoritmo che

Un esempio approssimativo della soluzione può essere simile a questo: Usiamo il test di d'Alembert:
Quindi, la serie in studio converge.
UN SEGNO RADICALE DI KOSHIE

Augustin Louis Cauchy è un matematico francese ancora più famoso. Qualsiasi studente tecnico può parlarti della biografia di Cauchy. Nei colori più pittoreschi. Non è un caso che questo nome sia scolpito al primo piano della Torre Eiffel.

Il test di convergenza di Cauchy per le serie positive è in qualche modo simile al test di d'Alembert appena considerato.

Il segno radicale di Cauchy: Tener conto di serie di numeri positivi... Se c'è un limite:, allora:
a) Per una serie converge... In particolare, la serie converge per.
b) Per una serie diverge... In particolare, la serie diverge a.
c) Quando il segno non dà una risposta... Dovrebbe essere usato un altro segno. È interessante notare che se il test di Cauchy non ci dà una risposta alla domanda sulla convergenza della serie, allora nemmeno il test di d'Alembert ci darà una risposta. Ma se il segno di d'Alembert non dà una risposta, allora il segno di Cauchy potrebbe benissimo “funzionare”. Cioè, il segno di Cauchy è in questo senso un segno più forte.

Quando dovresti usare il segno di Cauchy radicale? Il criterio del radicale di Cauchy viene solitamente utilizzato nei casi in cui il termine comune della serie COMPLETAMENTEè in laurea a seconda di "it"... O quando la radice "buono" viene estratta da un membro comune della serie. Ci sono anche casi esotici, ma non ci preoccuperemo di loro.

Esempio 7 Esaminare la serie per la convergenza

Vediamo che il termine comune della serie è completamente sotto il grado dipendente da, il che significa che è necessario utilizzare il criterio radicale di Cauchy:

Quindi, la serie in studio diverge.

(1) Formiamo il termine comune della serie come radice.
(2) Riscriviamo la stessa cosa, solo senza la radice, usando la proprietà power.
(3) Nell'esponente, dividere il numeratore per il denominatore termine per termine, indicando che
(4) Il risultato è l'incertezza. Qui si potrebbe fare molta strada: costruire un cubo, costruire un cubo, quindi dividere numeratore e denominatore per "en" alla massima potenza. Ma in questo caso c'è una soluzione più efficace: puoi dividere numeratore e denominatore termine per termine proprio sotto il grado costante. Per eliminare l'incertezza, dividere numeratore e denominatore per (grado più alto).
(5) In realtà, effettuiamo la divisione termine per termine, e indichiamo i termini che tendono a zero.
(6) Ricordiamo la risposta, la segniamo e concludiamo che la serie diverge.

Ed ecco un esempio più semplice per una soluzione fai-da-te:

Esempio 8 Esaminare la serie per la convergenza

E un altro paio di esempi tipici.

La soluzione completa e il disegno di esempio sono riportati di seguito.

Esempio 9 Esaminare la serie per la convergenza
Usiamo il segno di Cauchy radicale:

Quindi, la serie in studio converge.

(1) Poniamo il termine comune della serie sotto la radice.
(2) Riscriviamo lo stesso, ma senza la radice, espandendo le parentesi usando la formula di moltiplicazione abbreviata:.
(3) Nell'indicatore, dividere il numeratore per il denominatore termine per termine e indicarlo.
(4) Si ottiene l'incertezza della specie. Qui puoi dividere il numeratore per il denominatore per "en" alla potenza più alta proprio tra parentesi. Abbiamo incontrato qualcosa di simile durante lo studio secondo meraviglioso limite... Ma qui la situazione è diversa. Se i coefficienti ai gradi più alti fossero lo stesso, per esempio:, allora il trucco con la divisione dei termini non sarebbe passato, e si sarebbe dovuto usare il secondo meraviglioso limite. Ma abbiamo questi coefficienti vari(5 e 6), quindi è possibile (e necessario) dividere termine per termine (a proposito, al contrario - il secondo limite notevole a diverso i coefficienti a gradi più alti non stanno più rotolando).
(5) In realtà, effettuiamo la divisione termine per termine e indichiamo quali termini tendono a zero.
(6) Eliminata l'incertezza, rimane il limite più semplice: perché in infinitamente grande grado tende a zero? Perché la base del grado soddisfa la disuguaglianza. Se qualcuno ha dubbi sull'equità del limite, allora non sarò pigro, prenderò una calcolatrice:
Se poi
Se poi
Se poi
Se poi
Se poi
… eccetera. all'infinito - cioè al limite:
(7) Segnaliamo che concludiamo che la serie converge.

Esempio 10 Esaminare la serie per la convergenza

Questo è un esempio di soluzione fai-da-te.

A volte viene offerto un esempio provocatorio per una soluzione, ad esempio:. Qui nell'esponente nessun "en", solo una costante. Qui devi elevare al quadrato il numeratore e il denominatore (ottieni i polinomi), quindi aderire all'algoritmo dell'articolo Righe per manichini... In un tale esempio, dovrebbe funzionare o il criterio necessario per la convergenza della serie o il criterio di confronto limite.
CARATTERE INTEGRALE CAUCHY

Deluderò coloro che hanno scarsa padronanza del materiale del primo corso. Per applicare il criterio dell'integrale di Cauchy è necessario essere più o meno sicuri di trovare derivate, integrali, e avere anche la capacità di calcolare integrale improprio del primo genere. Nei libri di testo sull'analisi matematica, il criterio integrale di Cauchy è dato matematicamente rigorosamente, formuleremo il criterio in un modo completamente primitivo, ma comprensibile. E subito esempi di chiarimento.

Test di Cauchy integrale: Tener conto di serie di numeri positivi... Questa serie converge o diverge

Esempio 11 Esaminare la serie per la convergenza

Quasi un classico. Logaritmo naturale e una sorta di byaka.

La premessa principale dell'utilizzo del criterio di Cauchy integraleè il fatto che nel termine comune della serie c'è una certa funzione e la sua derivata. Dal tema Derivato probabilmente ti ricordi la cosa tabulare più semplice: e abbiamo proprio un caso canonico del genere.

Come utilizzare una funzione integrale? Innanzitutto, prendiamo l'icona integrale e riscriviamo i limiti superiore e inferiore dal "contatore" della serie:. Quindi, sotto l'integrale, riscriviamo il "ripieno" della riga con la lettera "heh":. Manca qualcosa ..., oh, sì, devi anche attaccare un distintivo differenziale al numeratore:.

Ora dobbiamo calcolare l'integrale improprio. In questo caso sono possibili due casi:

1) Se risulta che l'integrale converge, allora convergerà anche la nostra serie.

2) Se risulta che l'integrale diverge, anche la nostra serie diverge.

Ripeto, se il materiale è iniziato, la lettura del paragrafo sarà difficile e oscura, poiché l'uso della funzione si riduce essenzialmente al calcolo integrale improprio del primo genere.

La soluzione completa e il layout dell'esempio dovrebbero assomigliare a questo:

Usiamo una funzione integrale:

Quindi, la serie in studio diverge insieme al corrispondente integrale improprio.

Esempio 12 Esaminare la serie per la convergenza

Esempio di soluzione e progetto alla fine della lezione

Negli esempi considerati, il logaritmo potrebbe essere anche sotto la radice, questo non cambierebbe la via della soluzione.

E altri due esempi per uno spuntino

Esempio 13 Esaminare la serie per la convergenza

In termini di "parametri" generali, il termine comune della serie sembra essere adatto per utilizzare il criterio di confronto limite. Basta aprire le parentesi e passare subito al candidato al massimo confronto di questa serie con la serie convergente. Tuttavia, stavo barando un po ', le parentesi potrebbero non essere rivelate, ma comunque la soluzione attraverso il segno limitante di confronto sembrerà piuttosto pretenziosa.

Pertanto, usiamo il test di Cauchy integrale:

L'integrando è continuo su

converge insieme al corrispondente integrale improprio.

! Nota:il numero risultante ènon è la somma della serie!!!

Esempio 14 Esaminare la serie per la convergenza

La soluzione e il disegno di esempio sono alla fine della sezione che volge al termine.

Ai fini dell'assimilazione definitiva e irrevocabile del tema delle serie di numeri, visitare gli argomenti.

Soluzioni e risposte:

Esempio 3:Usiamo il segno di d'Alembert:

Quindi, la serie in studio diverge.
Nota: era anche possibile utilizzare il metodo della soluzione "turbo": tracciare immediatamente un cerchio attorno al rapporto con una matita, indicare che tende a uno e annotare: "dello stesso ordine di crescita".

Esempio 5: Usiamo il test di d'Alembert: Quindi, la serie indagata converge.

Esempio 8:

Quindi, la serie in studio converge.

Esempio 10:
Usiamo il criterio radicale di Cauchy.

Quindi, la serie in studio diverge.
Nota: questa è la base del grado, quindi

Esempio 12: Usiamo una funzione integrale.


Si ottiene un numero finito, il che significa che la serie in esame converge

Esempio 14: Usiamo una funzione integrale
L'integrando è continuo acceso.

Quindi, la serie in studio diverge insieme al corrispondente integrale improprio.
Nota: la riga può essere esplorata anche utilizzandocriterio di confronto dei limiti ... Per fare ciò è necessario aprire le parentesi sotto la radice e confrontare la serie in esame con la serie divergente.

Righe alternate. Il segno di Leibniz. Esempi di soluzioni

Per comprendere gli esempi di questa lezione è necessario essere ben orientati nelle serie numeriche positive: capire cos'è una serie, conoscere il criterio necessario per la convergenza di una serie, saper usare i segni di confronto, d «Il segno di Alembert, i segni di Cauchy. L'argomento può essere sollevato quasi da zero studiando in sequenza gli articoli Righe per manichini e segno D'Alembert. Segni cauchy... Logicamente, questa lezione è la terza di fila e consentirà non solo di comprendere le file alternate, ma anche di consolidare il materiale già trattato! Ci saranno poche novità e non sarà difficile padroneggiare le file alternate. Tutto è semplice e conveniente.

Cos'è una riga alternata? Questo è chiaro o quasi chiaro dal nome stesso. L'esempio più semplice subito, consideriamo una serie e descriviamola in modo più dettagliato:

E ora ci sarà un commento killer. I membri della riga alternata hanno segni alternati: più, meno, più, meno, più, meno, ecc. all'infinito.
L'alternanza dei segni fornisce un moltiplicatore: se è pari, allora ci sarà un segno più, se è dispari, ci sarà un segno meno. In gergo matematico, questa cosa è chiamata "lampeggiatore". Pertanto, la serie alternata è "identificata" da un meno uno alla potenza "en".

In esempi pratici, l'alternanza di caratteri in una serie può essere fornita non solo dal moltiplicatore, ma anche dai suoi fratelli:,,,…. Per esempio:

Le insidie ​​sono "trompe l'oeil":,, ecc. - tali fattori non fornire un cambio di segno... È abbastanza chiaro che per qualsiasi naturale:,,. Le file con trompe l'oeil sono scivolate non solo a studenti particolarmente dotati, ma appaiono di volta in volta "da sole" nel corso della soluzione righe funzionali.

Come studiare le serie alternate per la convergenza? Usa il segno di Leibniz. Non voglio parlare del gigante tedesco del pensiero Gottfried Wilhelm Leibniz, perché oltre alle opere matematiche, ha buttato giù diversi volumi di filosofia. Pericoloso per il cervello.

Il segno di Leibniz: Se i membri della serie alternata monotono diminuzione del modulo, allora la serie converge. Oppure in due punti:

2) I membri della serie diminuiscono modulo:. Inoltre, diminuiscono in modo monotono.

Se eseguito entrambi condizioni, allora la serie converge.

Un breve riferimento al modulo è fornito nel manualeCorso di matematica della scuola di formule calde , ma ancora per comodità:

Cosa significa "modulo"? Il modulo, come ricordiamo da scuola, "mangia" il segno meno. Torniamo alla riga. Cancella mentalmente tutti i segni con una gomma e diamo un'occhiata ai numeri... Vedremo che ogni prossimo membro di un numero più piccoli rispetto al precedente. Pertanto, le seguenti frasi significano la stessa cosa:

- Membri della serie segno escluso diminuire.
- I membri della serie stanno diminuendo modulo.
- I membri della serie stanno diminuendo in valore assoluto.
– Modulo il termine generale della serie tende a zero: Fine dell'aiuto

Ora parliamo un po' di monotonia. La monotonia è una noiosa costanza.

Membri della serie rigorosamente monotono diminuzione del modulo se OGNI PROSSIMO termine della serie modulo MENO del precedente:. Per la serie viene eseguita una rigorosa monotonia di diminuzione, che può essere descritta in dettaglio:

O, in breve: ogni membro successivo della serie modulo meno del precedente:.

Membri della serie vagamente monotono decrementa modulo se OGNI SEGUENTE termine della serie modulo NON è MAGGIORE del precedente:. Consideriamo una serie con un fattoriale: qui abbiamo una monotonicità non stretta, poiché i primi due termini della serie sono gli stessi in modulo. Cioè, ogni membro successivo della serie modulo non più del precedente:.

Nelle condizioni del teorema di Leibniz, la monotonicità del decadimento deve essere soddisfatta (non importa se è stretto o non stretto). In questo caso, i membri della serie possono anche aumentare in valore assoluto per un po', ma la “coda” della serie deve essere monotona decrescente. Non c'è bisogno di aver paura di ciò che ho accumulato, esempi pratici metteranno tutto al suo posto:

Esempio 1 Esaminare la serie per la convergenza

Il termine comune della serie include un fattore, il che significa che è necessario utilizzare il test di Leibniz

1) Controllo della serie per l'alternanza di caratteri. Solitamente, a questo punto della decisione, la lite viene descritta in dettaglio e il verdetto è "La lite è alternata".

2) I termini della serie diminuiscono modulo? È necessario risolvere il limite, che spesso è molto semplice.

- i membri della serie non diminuiscono in valore assoluto. A proposito, è scomparsa la necessità di ragionare sulla monotonia del decremento. Conclusione: la serie diverge.

Come capirlo, cosa importa? Molto semplice. Come sai, il modulo distrugge gli svantaggi, quindi per rimediare, devi solo rimuovere il faro dal tetto. In questo caso, il membro comune della serie. Rimuoviamo stupidamente la "luce lampeggiante":.

Esempio 2 Esaminare la serie per la convergenza

Usiamo il segno di Leibniz:

1) La riga è alternata a segni.

2) - i termini della serie diminuiscono in valore assoluto. Ogni termine successivo della serie è inferiore in valore assoluto rispetto al precedente: quindi, la diminuzione è monotona.

Conclusione: la serie converge.

Tutto sarebbe molto semplice, ma questa non è la fine della soluzione!

Se la serie converge secondo il criterio di Leibniz, allora si dice anche che la serie converge condizionatamente.

Se una serie composta da moduli: converge anche, allora dicono che la serie converge assolutamente.

Pertanto, all'ordine del giorno della seconda fase della risoluzione di un compito tipico c'è lo studio delle serie alternate per la convergenza assoluta.

Non sono colpevole - questa è la teoria delle serie di numeri =)

Esaminiamo la nostra serie per la convergenza assoluta.
Componiamo una serie di moduli - ancora, togliamo semplicemente il moltiplicatore che prevede l'alternanza di segni: - diverge (serie armonica).

Così, la nostra serie non è assolutamente convergente.
Serie in studio converge solo condizionatamente.

Si noti che nell'Esempio n. 1 non è necessario condurre uno studio di convergenza non assoluta, poiché al primo passo si è concluso che la serie diverge.

Raccogliamo secchi, pale, auto e lasciamo la sandbox per guardare il mondo con gli occhi sbarrati dalla cabina del mio escavatore:

Esempio 3 Indagare la serie per la convergenza Usiamo il test di Leibniz:

1)
Questa riga è alternata.

2) - i termini della serie diminuiscono in valore assoluto. Ogni termine successivo della serie è minore in valore assoluto del precedente: quindi la diminuzione è monotona. Conclusione: la serie converge.

Analizzando il riempimento della riga, arriviamo alla conclusione che qui è necessario utilizzare il criterio di confronto limite. È più conveniente aprire le parentesi al denominatore:

Confrontiamo questa serie con una serie convergente. Usiamo il criterio di confronto limite.

Si ottiene un numero finito diverso da zero, il che significa che la serie converge insieme alla serie. Serie in studio converge assolutamente.

Esempio 4 Esaminare la serie per la convergenza

Esempio 5 Esaminare la serie per la convergenza

Questi sono esempi per una soluzione fai-da-te. Soluzione completa e disegno di esempio alla fine della sezione.

Come puoi vedere, le file alternate sono semplici e noiose! Ma non abbiate fretta di chiudere la pagina, in appena un paio di schermate prenderemo in considerazione un caso che sconcerta molti. Per ora, un altro paio di esempi per la pratica e la ripetizione.

Esempio 6 Esaminare la serie per la convergenza

Usiamo il segno di Leibniz.
1) La riga è alternata a segni.
2)
I membri della serie diminuiscono modulo. Ogni termine successivo della serie è inferiore in valore assoluto rispetto al precedente, il che significa che la diminuzione è monotona. Conclusione: la serie converge.

Nota che non ho dettagliato i membri della serie. È sempre desiderabile dipingerli, ma per irresistibile pigrizia in casi "difficili", puoi limitarti alla frase "La serie si alterna con i segni". A proposito, non c'è bisogno di trattare questo punto formalmente, controlla sempre(almeno mentalmente) che la fila sia davvero alternata. Una rapida occhiata ti delude e viene commesso un errore "sulla macchina". Ricorda i "falsi", se lo sono, allora devi sbarazzartene, dopo aver ricevuto la serie "solita" con termini positivi.

La seconda sottigliezza riguarda la frase sulla monotonia, l'ho anche ridotta il più possibile. Puoi farlo e quasi sempre il tuo compito sarà accettato. Dirò una cosa completamente negativa: personalmente, spesso taccio sulla monotonia e un tale numero passa. Ma preparati a dipingere tutto in dettaglio, fino a catene dettagliate di disuguaglianze (vedi l'esempio all'inizio della lezione). Inoltre, a volte la monotonia non è rigida, e anche questo deve essere monitorato per sostituire la parola "meno" con la parola "non più".

Esaminiamo la serie per la convergenza assoluta:

Ovviamente, è necessario utilizzare il criterio di Cauchy radicale:

Quindi la serie converge. Serie in studio converge assolutamente.

Esempio 7 Esaminare la serie per la convergenza

Questo è un esempio per una soluzione indipendente.Spesso ci sono righe alternate che causano difficoltà.

Esempio 8 Esaminare la serie per la convergenza

Usiamo il segno di Leibniz:
1) La riga è alternata a segni.

Il punto è che non esistono pratiche commerciali standard per affrontare tali limiti. Dove va a finire un tale limite? A zero, all'infinito? È importante qui COSA cresce più velocemente all'infinito.- numeratore o denominatore.

NOTA: il concetto di ordine di crescita di una funzione è trattato in dettaglio nell'articoloMetodi di risoluzione dei limiti ... Abbiamo limiti di sequenza ma questo non cambia il punto.

Se il numeratore a cresce più velocemente del fattoriale, allora. Se, all'infinito, il fattoriale cresce più velocemente del numeratore, allora, al contrario, "tira" di zero il limite:. O forse questo limite è uguale a un numero diverso da zero?

Proviamo a scrivere i primi membri della serie:
puoi sostituire un polinomio del millesimo grado, questo, ancora una volta, non cambierà la situazione: prima o poi il fattoriale "supererà" ancora un polinomio così terribile. Fattoriale ordine di crescita superiore di qualsiasi sequenza di potenza.

- Factorial cresce più velocemente di prodotto di qualsiasi numero sequenze esponenziali e di potenza (il nostro caso).

– Qualunque la sequenza esponenziale cresce più velocemente di qualsiasi sequenza di potenza, ad esempio:,. Sequenza illustrativa ordine di crescita superiore di qualsiasi sequenza di potenza. Simile al fattoriale, la sequenza esponenziale "trascina" il prodotto di qualsiasi numero di qualsiasi sequenza di potenze o polinomi:.

- C'è qualcosa di più "cool" del fattoriale? C'è! La sequenza esponenziale (da "en" alla potenza "en") cresce più velocemente del fattoriale. In pratica, è raro, ma l'informazione non sarà superflua. Fine dell'aiuto

Quindi, il secondo punto dello studio (ricordi ancora questo? =)) Può essere scritto come segue:
2), in quanto di ordine di crescita superiore a.
I membri della serie decrescono modulo, a partire da qualche numero, inoltre, ogni termine successivo della serie è minore in valore assoluto del precedente, quindi la diminuzione è monotona.

Conclusione: la serie converge.

Ecco proprio quel caso curioso, quando i membri della serie prima crescono in valore assoluto, motivo per cui ci siamo formati un'opinione iniziale errata sul limite. Ma, a partire da un numero "en", il fattoriale viene superato dal numeratore, e la "coda" della serie diventa monotona decrescente, cosa di fondamentale importanza per il soddisfacimento della condizione del teorema di Leibniz. Che cosa sia esattamente il dato "en", è piuttosto difficile da scoprire.

Per il teorema corrispondente, la convergenza condizionata della serie segue anche dalla convergenza assoluta della serie. Produzione: Serie sotto inchiesta converge assolutamente.

E infine, un paio di esempi per una soluzione indipendente. Una stessa opera (rileggi l'aiuto), ma più semplice. Un altro per i buongustai è consolidare il criterio integrale della convergenza.

Esempio 9 Esaminare la serie per la convergenza

Esempio 10 Esaminare la serie per la convergenza

Dopo uno studio qualitativo delle serie numeriche positive e alternate con la coscienza pulita, si può andare su ranghi funzionali, che non sono meno monotoni e monotoni interessanti.

Soluzioni e risposte:

Esempio 4: Usiamo il segno di Leibniz:

1) Questa riga è alternata.
2)
I membri della serie non diminuiscono modulo. Conclusione: la serie diverge.... , inoltre, ogni termine successivo della serie è minore in valore assoluto del precedente, quindi la diminuzione è monotona.

Pertanto, la serie diverge insieme al corrispondente integrale improprio. Serie in studio converge solo condizionatamente.

Questo articolo ha raccolto e strutturato le informazioni necessarie per risolvere quasi tutti gli esempi sull'argomento delle serie di numeri, dalla ricerca della somma di una serie all'esame per la convergenza.

Recensione dell'articolo.

Iniziamo con le definizioni di una serie segno-positiva, che cambia segno e il concetto di convergenza. Successivamente, considereremo serie standard, come una serie armonica, una serie armonica generalizzata, richiamando la formula per trovare la somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente. Successivamente, passiamo alle proprietà delle serie convergenti, soffermiamoci sulla condizione necessaria per la convergenza della serie e elaboriamo i criteri sufficienti per la convergenza della serie. Diluiremo la teoria con la soluzione di esempi tipici con spiegazioni dettagliate.

Navigazione della pagina.

Definizioni e concetti di base.

Supponiamo di avere una sequenza numerica, dove .

Facciamo un esempio di sequenza numerica: .

Serie numericaÈ la somma dei membri di una sequenza numerica della forma .

Come esempio di serie numerica, possiamo dare la somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente con denominatore q = -0,5: .

Sono chiamati membro comune della serie numerica o il k-esimo membro della serie.

Per l'esempio precedente, il termine comune della serie di numeri è.

Somma parziale di una serie di numeriÈ una somma della forma, dove n è un numero naturale. detta anche somma parziale n-esima di una serie di numeri.

Ad esempio, la quarta somma parziale della serie c'è .

Importi parziali formano una sequenza infinita di somme parziali di una serie di numeri.

Per la nostra serie, l'n-esima somma parziale si trova con la formula della somma dei primi n termini di una progressione geometrica , cioè avremo la seguente sequenza di somme parziali: .

La serie di numeri si chiama convergente se esiste un limite finito della successione delle somme parziali. Se il limite della successione delle somme parziali di una serie numerica non esiste o è infinito, allora la serie si chiama divergente.

La somma di una serie di numeri convergentiè detto limite della successione delle sue somme parziali, cioè .

Nel nostro esempio, quindi, la serie converge, e la sua somma è pari a sedici terzi: .

Un esempio di serie divergente è la somma di una progressione geometrica con denominatore maggiore di uno: ... La n-esima somma parziale è determinata dall'espressione , e il limite delle somme parziali è infinito: .

Un altro esempio di serie numerica divergente è una somma della forma ... In questo caso, l'n-esima somma parziale può essere calcolata come. Il limite delle somme parziali è infinito .

Somma della forma chiamato serie di numeri armonici.

Somma della forma , dove s è un numero reale, si chiama serie di numeri armonici generalizzati.

Le definizioni di cui sopra sono sufficienti per corroborare le seguenti affermazioni utilizzate molto frequentemente, ti consigliamo di ricordarle.

LE SERIE ARMONICHE SONO IN DISTRIBUZIONE.

Dimostriamo la divergenza della serie armonica.

Supponiamo che la serie converge. Allora c'è un limite finito delle sue somme parziali. In questo caso, possiamo scrivere e, che ci porta all'uguaglianza .

Dall'altro lato,


Le seguenti disuguaglianze sono fuori dubbio. Così, . La disuguaglianza risultante ci indica che l'uguaglianza non può essere raggiunto, il che contraddice la nostra ipotesi sulla convergenza della serie armonica.

Conclusione: la serie armonica diverge.

LA SOMMA DELLA PROGRESSIONE GEOMETRICA DELLA VISTA CON IL DENOMINATORE q È UNA SERIE DI NUMERI CONVERGENTI, IF, E UNA SERIE DI DIVISIONE AT.

Dimostriamolo.

Sappiamo che la somma dei primi n termini di una progressione geometrica si trova con la formula .

Quando è vero


che indica la convergenza della serie di numeri.

Per q = 1, abbiamo una serie di numeri ... Le sue somme parziali si trovano come, e il limite delle somme parziali è infinito , che in questo caso indica la divergenza della serie.

Se q = -1, allora la serie numerica assumerà la forma ... Le somme parziali assumono valori per n dispari e n pari. Da ciò possiamo concludere che il limite delle somme parziali non esiste e la serie diverge.

Quando è vero


che indica la divergenza della serie di numeri.

GENERALIZZATA, LA SERIE ARMONICA CONVERGE PER s> 1 E DIVERSA PER.

Prova.

Per s = 1, otteniamo una serie armonica, e sopra abbiamo stabilito la sua divergenza.

In s la disuguaglianza vale per tutti i k naturali. A causa della divergenza della serie armonica, si può sostenere che la successione delle sue somme parziali è illimitata (poiché non esiste un limite finito). Allora la successione delle somme parziali della serie numerica è tanto più illimitata (ogni termine di questa serie è maggiore del corrispondente termine della serie armonica), quindi la serie armonica generalizzata diverge in s.

Resta da dimostrare la convergenza della serie per s> 1.

Scriviamo la differenza:



Ovviamente allora


Scriviamo la disuguaglianza risultante per n = 2, 4, 8, 16, ...



Utilizzando questi risultati, puoi eseguire le seguenti operazioni con la serie di numeri originale:



Espressione è la somma di una progressione geometrica, il cui denominatore è. Poiché stiamo considerando il caso per s> 1, allora. Ecco perchè
... Quindi, la successione delle somme parziali della serie armonica generalizzata per s> 1 è crescente e allo stesso tempo limitata dall'alto dal valore, quindi ha un limite, che indica la convergenza della serie. La prova è completa.

La serie di numeri si chiama positivo se tutti i suoi membri sono positivi, cioè .

La serie di numeri si chiama alternato se i segni dei suoi membri vicini sono diversi. Una serie di numeri alternati può essere scritta come o , dove .

La serie di numeri si chiama alternato se contiene un insieme infinito di termini sia positivi che negativi.

Una serie numerica alternata è un caso speciale di una serie alternata.

I ranghi

sono rispettivamente segno positivo, segno alternato e segno alternato.

Per una serie alternata esiste il concetto di convergenza assoluta e condizionale.

assolutamente convergente, se una serie di valori assoluti dei suoi membri converge, cioè converge una serie di numeri con segno positivo.

Ad esempio, serie di numeri e converge assolutamente, poiché la serie , che è la somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente.

La serie alternata si chiama condizionatamente convergente se la serie diverge e la serie converge.

Come esempio di una serie numerica convenzionalmente convergente, possiamo dare la serie ... Serie numerica , composto dai valori assoluti dei membri della serie originaria, divergente, in quanto armonica. Allo stesso tempo, la serie originale è convergente, che è facilmente stabilita usando. Quindi, la serie numerica alternata condizionatamente convergente.

Proprietà delle serie numeriche convergenti.

Esempio.

Dimostrare la convergenza di una serie di numeri.

Soluzione.

Scriviamo la serie in una forma diversa ... La serie numerica converge, poiché la serie armonica generalizzata è convergente per s> 1, e in virtù della seconda proprietà delle serie numeriche convergenti, convergerà anche una serie a coefficiente numerico.

Esempio.

Se la serie numerica converge.

Soluzione.

Trasformiamo la riga originale: ... Quindi, abbiamo ottenuto la somma di due serie numeriche e ciascuna di esse converge (vedi l'esempio precedente). Di conseguenza, in virtù della terza proprietà delle serie numeriche convergenti, converge anche la serie originaria.

Esempio.

Dimostrare la convergenza di una serie di numeri e calcola la sua somma.

Soluzione.

Questa serie di numeri può essere rappresentata come la differenza tra due serie:

Ognuna di queste serie è la somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente, quindi è convergente. La terza proprietà delle serie convergenti ci permette di affermare che la serie numerica originaria converge. Calcoliamo la sua somma.

Il primo termine della serie è uno, e il denominatore della corrispondente progressione geometrica è 0,5, quindi, .

Il primo termine della serie è 3, e il denominatore della corrispondente progressione geometrica infinitamente decrescente è 1/3, quindi .

Usiamo i risultati ottenuti per trovare la somma della serie numerica originale:

Condizione necessaria per la convergenza della serie.

Se la serie di numeri converge, allora il limite del suo k-esimo termine è zero:.

Nell'esaminare qualsiasi serie numerica per la convergenza, prima di tutto, si dovrebbe verificare il rispetto della condizione di convergenza necessaria. Il mancato rispetto di questa condizione indica la divergenza della serie numerica, cioè se, allora la serie diverge.

D'altra parte, devi capire che questa condizione non è sufficiente. Cioè, l'adempimento dell'uguaglianza non significa la convergenza della serie numerica. Ad esempio, per una serie armonica, la condizione di convergenza necessaria è soddisfatta e la serie diverge.

Esempio.

Indagare una serie di numeri per la convergenza.

Soluzione.

Verifichiamo la condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica:

Limite l'n-esimo membro della serie di numeri non è uguale a zero, quindi la serie diverge.

Segni sufficienti di convergenza di una serie positiva.

Quando si utilizzano funzionalità sufficienti per studiare le serie numeriche per la convergenza, è necessario confrontarsi costantemente, quindi si consiglia di fare riferimento a questa sezione in caso di difficoltà.

Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza di una serie di numeri positivi.

Per la convergenza di una serie di numeri positivi è necessario e sufficiente che la sequenza delle sue somme parziali sia limitata.

Cominciamo con i segni di confronto delle serie. La loro essenza sta nel confrontare la serie numerica studiata con una serie, la cui convergenza o divergenza è nota.

Il primo, secondo e terzo segno di confronto.

Il primo segno di confronto delle righe.

Sia u due serie numeriche con segno positivo e la disuguaglianza vale per ogni k = 1, 2, 3, ... Allora la convergenza della serie implica la convergenza, e la divergenza della serie implica la divergenza.

Il primo criterio di confronto è usato molto spesso ed è uno strumento molto potente per indagare le serie numeriche per la convergenza. Il problema principale è la selezione di una serie adatta per il confronto. La serie da confrontare viene solitamente (ma non sempre) scelta in modo che l'esponente del suo k-esimo termine sia uguale alla differenza tra gli esponenti del numeratore e del denominatore del k-esimo termine della serie numerica in esame. Ad esempio, supponiamo che la differenza tra gli esponenti del numeratore e del denominatore sia 2 - 3 = -1, quindi, per confronto, selezioniamo una serie con il k-esimo termine, cioè una serie armonica. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

Esempio.

Stabilire la convergenza o divergenza della serie.

Soluzione.

Poiché il limite del termine generale della serie è nullo, la condizione necessaria per la convergenza della serie è soddisfatta.

È facile vedere che la disuguaglianza vale per tutti i numeri naturali k. Sappiamo che la serie armonica diverge, quindi, secondo il primo segno di confronto, diverge anche la serie originaria.

Esempio.

Esaminare la serie di numeri per la convergenza.

Soluzione.

La condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica è soddisfatta, poiché ... Ovviamente la disuguaglianza per ogni valore naturale k. La serie converge poiché la serie armonica generalizzata converge per s> 1. Quindi, il primo segno di confronto della serie ci consente di affermare la convergenza della serie numerica originale.

Esempio.

Determinare la convergenza o la divergenza della serie di numeri.

Soluzione.

, quindi, la condizione necessaria per la convergenza della serie numerica è soddisfatta. Quale riga scegliere per il confronto? La serie numerica suggerisce se stessa e, per determinare s, esaminiamo attentamente la sequenza numerica. I membri della sequenza numerica aumentano all'infinito. Quindi, a partire da un numero N (vale a dire, con N = 1619), i membri di questa sequenza saranno maggiori di 2. A partire da questo numero N, vale la disuguaglianza. La serie numerica converge in virtù della prima proprietà della serie convergente, poiché si ottiene dalla serie convergente scartando i primi N - 1 termini. Quindi, secondo il primo criterio di confronto, la serie è convergente e, per la prima proprietà delle serie numeriche convergenti, anche la serie convergerà.

Secondo segno di confronto.

Sia e sia una serie numerica positiva. Se, allora la convergenza segue dalla convergenza della serie. Se, allora la divergenza segue dalla divergenza della serie numerica.

Conseguenza.

Se e, allora dalla convergenza di una serie segue la convergenza dell'altra, e dalla divergenza segue la divergenza.

Indaghiamo le serie per convergenza utilizzando il secondo criterio di confronto. Prendi una serie convergente come una serie. Troviamo il limite del rapporto tra i k-esimi termini della serie numerica:

Quindi, secondo il secondo criterio di confronto, la convergenza della serie originaria segue dalla convergenza della serie numerica.

Esempio.

Studia la convergenza di una serie di numeri.

Soluzione.

Verifichiamo la condizione necessaria per la convergenza della serie ... La condizione è soddisfatta. Per applicare il secondo criterio di confronto, prendiamo una serie armonica. Troviamo il limite del rapporto tra i k-esimi termini:

Di conseguenza, dalla divergenza della serie armonica segue la divergenza della serie originaria secondo il secondo criterio di confronto.

Per informazione, daremo il terzo segno di confronto delle serie.

Il terzo segno di confronto.

Sia e sia una serie numerica positiva. Se la condizione è soddisfatta da un numero N, allora la convergenza segue dalla convergenza della serie e la divergenza segue dalla divergenza della serie.

segno D'Alembert.

Commento.

Il test di d'Alembert è valido se il limite è infinito, cioè se , allora la serie converge se , allora la serie diverge.

Se, quindi, il test di d'Alembert non fornisce informazioni sulla convergenza o divergenza delle serie e sono necessarie ulteriori ricerche.

Esempio.

Esaminare la serie di numeri per la convergenza di d'Alembert.

Soluzione.

Verifichiamo il soddisfacimento della condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica, il limite si calcola con:

La condizione è soddisfatta.

Usiamo il test di d'Alembert:

Quindi la serie converge.

Il segno radicale di Cauchy.

Sia una serie di numeri positivi. Se, allora la serie di numeri converge, se, allora la serie diverge.

Commento.

Il criterio radicale di Cauchy è valido se il limite è infinito, cioè se , allora la serie converge se , allora la serie diverge.

Se, quindi, il test di Cauchy radicale non fornisce informazioni sulla convergenza o divergenza della serie e sono necessarie ulteriori ricerche.

Di solito è abbastanza facile discernere i casi in cui è meglio usare il criterio radicale di Cauchy. Un caso tipico è quando il termine comune di una serie numerica è un'espressione esponenziale esponenziale. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

Esempio.

Indagare una serie di numeri positivi per la convergenza utilizzando il test radicale di Cauchy.

Soluzione.

... Per il criterio del radicale di Cauchy, si ottiene .

Di conseguenza, la serie converge.

Esempio.

La serie numerica converge? .

Soluzione.

Usiamo il criterio radicale di Cauchy , quindi, la serie numerica converge.

Test di Cauchy integrale.

Sia una serie di numeri positivi. Componiamo una funzione di argomento continuo y = f (x), simile alla funzione. Sia la funzione y = f (x) positiva, continua e decrescente sull'intervallo, dove). Allora, in caso di convergenza integrale improprio la serie numerica in esame converge. Se l'integrale improprio diverge, diverge anche la serie originale.

Quando si verifica la diminuzione della funzione y = f (x) su un intervallo, la teoria della sezione potrebbe esserti utile.

Esempio.

Esaminare una serie di numeri con termini positivi per la convergenza.

Soluzione.

La condizione necessaria per la convergenza della serie è soddisfatta, poiché ... Consideriamo una funzione. È positivo, continuo e decrescente nell'intervallo. La continuità e la positività di questa funzione è fuori dubbio, e sulla diminuzione ci soffermeremo un po' più nel dettaglio. Trova la derivata:
... È negativo nell'intervallo, quindi la funzione diminuisce in questo intervallo.

Criteri di convergenza per le serie.
segno D'Alembert. Segni cauchy

Lavoro, lavoro - e la comprensione verrà dopo
J.L. D'Alembert

Congratulazioni a tutti per l'inizio dell'anno scolastico! Oggi è il 1 settembre e in onore delle vacanze ho deciso di informare i lettori del fatto che non vedevi l'ora e desideravi sapere da molto tempo - criteri di convergenza per serie numeriche positive... La festa del 1 settembre e le mie congratulazioni sono sempre attuali, va bene se fuori è estate, ora stai ripetendo l'esame per la terza volta, se vai su questa pagina!

Per chi ha appena iniziato a studiare la serie, consiglio di leggere prima l'articolo Serie di numeri per manichini... In realtà, questo carro è una continuazione del banchetto. Quindi, oggi nella lezione esamineremo esempi e soluzioni su argomenti:

Uno dei segni comuni di confronto, che si trova negli esempi pratici, è il segno d'Alembert. I segni di Cauchy sono meno comuni, ma anche molto popolari. Come sempre, cercherò di presentare il materiale in modo semplice, accessibile e comprensibile. L'argomento non è il più difficile e tutti i compiti sono in una certa misura stencil.

Il test di convergenza di d'Alembert

Jean Leron D'Alembert è un famoso matematico francese del XVIII secolo. In generale, D'Alembert si specializzò in equazioni differenziali e, sulla base delle sue ricerche, si occupò di balistica, affinché Sua Maestà potesse far volare meglio le palle di cannone. Allo stesso tempo, non ho dimenticato i ranghi numerici, non per niente i ranghi delle truppe di Napoleone convergevano e divergevano così chiaramente.

Prima di formulare la funzione stessa, considera una domanda importante:
Quando applicare il criterio di convergenza di d'Alembert?

Cominciamo con la ripetizione. Ricordiamo i casi in cui è necessario utilizzare il più popolare criterio di confronto dei limiti... Il criterio di confronto limite si applica quando nel termine comune della serie:

1) Il denominatore contiene un polinomio.
2) I polinomi sono sia al numeratore che al denominatore.
3) Uno o entrambi i polinomi possono essere alla radice.
4) Naturalmente, potrebbero esserci più polinomi e radici.

I principali prerequisiti per l'utilizzo della caratteristica d'Alembert sono i seguenti:

1) Il termine comune della serie ("ripieno" della serie) include un certo numero nella potenza, per esempio, e così via. Inoltre, non importa affatto dove si trovi questa cosa, nel numeratore o nel denominatore: è importante che sia presente lì.

2) Il fattoriale è compreso nel termine generale della serie. Abbiamo incrociato le spade con i fattoriali nella lezione Sequenza numerica e il suo limite. Tuttavia, non fa male stendere di nuovo la tovaglia autoassemblata:





…


…

! Quando si usa il test di d'Alembert, dobbiamo solo descrivere il fattoriale in dettaglio. Come nel paragrafo precedente, il fattoriale può essere posizionato nella parte superiore o inferiore della frazione.

3) Se nel termine comune della serie c'è una "catena di fattori", ad esempio, ... Questo caso è raro, ma! Quando si esamina una serie del genere, vengono spesso commessi errori - vedere l'esempio 6.

Insieme a potenze e (e) fattoriali, i polinomi si trovano spesso nel riempimento della serie, questo non cambia la questione: è necessario utilizzare il segno di d'Alembert.

Inoltre, nel termine generale della serie, si possono trovare contemporaneamente sia il grado che il fattoriale; ci possono essere due fattoriali, due gradi, è importante che ci sia almeno qualcosa dai punti considerati - e questo è solo un prerequisito per l'utilizzo del segno di d'Alembert.

segno D'Alembert: Tener conto di serie di numeri positivi... Se c'è un limite alla relazione del membro successivo con il precedente:, allora:
a) Per una serie converge
b) Per una serie diverge
c) Quando il segno non dà una risposta... Dovrebbe essere usato un altro segno. Molto spesso, l'unità si ottiene quando si tenta di applicare il test di d'Alembert laddove è necessario utilizzare la funzione di confronto limitante.

Chiunque abbia ancora problemi con i limiti o un'incomprensione dei limiti, faccia riferimento alla lezione Limiti. Esempi di soluzioni... Purtroppo, senza comprendere il limite e la capacità di svelare l'incertezza, non si può andare oltre.

E ora gli esempi tanto attesi.

Esempio 1

Vediamo che abbiamo nel termine comune della serie, e questo è un presupposto corretto per usare il segno di d'Alembert. Innanzitutto, una soluzione completa e un progetto di esempio, commenta di seguito.

Usiamo il segno di d'Alembert:


converge.
(1) Componiamo il rapporto tra il prossimo membro della serie e il precedente:. Dalla condizione si vede che il termine comune della serie. Per ottenere il prossimo membro della serie, è necessario sostituire INVECE: .
(2) Sbarazzarsi della frazione di quattro piani. Con una certa esperienza con la soluzione, questo passaggio può essere saltato.
(3) Espandere le parentesi nel numeratore. Al denominatore, eliminiamo il quattro dal grado.
(4) Ridurre di. La costante viene sottratta al segno limite. Diamo termini simili al numeratore tra parentesi.
(5) L'incertezza viene eliminata nel modo standard, dividendo il numeratore e il denominatore per "en" alla massima potenza.
(6) Dividiamo i numeratori per i denominatori termine per termine, e indichiamo i termini che tendono a zero.
(7) Semplifichiamo la risposta e notiamo che con la conclusione che, secondo il test di d'Alembert, la serie in esame converge.

Nell'esempio considerato, nel termine comune della serie, abbiamo incontrato un polinomio di 2° grado. E se esiste un polinomio di 3°, 4° o superiore? Il fatto è che se viene dato un polinomio di grado superiore, allora ci saranno difficoltà nell'aprire le parentesi. In questo caso, puoi usare la soluzione "turbo".

Esempio 2

Prendi una serie simile ed esaminala per la convergenza

Prima la soluzione completa, poi i commenti:

Usiamo il segno di d'Alembert:


Quindi, la serie in studio converge.

(1) Comporre la relazione.

(3) Si consideri l'espressione al numeratore ed espressione al denominatore. Vediamo che al numeratore bisogna aprire le parentesi ed elevare alla quarta potenza: cosa che non si vuole assolutamente fare. E per coloro che non hanno familiarità con il binomio di Newton, questo compito sarà ancora più difficile. Analizziamo i gradi più alti: se allarghiamo le parentesi in alto , quindi otteniamo il grado più alto. Di seguito abbiamo lo stesso grado senior:. Per analogia con l'esempio precedente, è ovvio che quando numeratore e denominatore sono divisi per termine per, otteniamo uno nel limite. O, come dicono i matematici, polinomi e - stesso ordine di crescita... Pertanto, è del tutto possibile circoscrivere la relazione con una matita semplice e indicare subito che questa cosa tende a uno. Ci occupiamo della seconda coppia di polinomi in modo simile: e sono anche stesso ordine di crescita, e il loro rapporto tende all'unità.

In effetti, un simile "hack" avrebbe potuto essere fatto nell'Esempio n. 1, ma per un polinomio di 2° grado, una tale soluzione sembra ancora in qualche modo poco dignitosa. Personalmente faccio così: se c'è un polinomio (o più polinomi) di primo o secondo grado, uso la via "lunga" per risolvere l'Esempio 1. Se mi imbatto in un polinomio di terzo grado o superiore, uso la "turbo" -metodo simile all'esempio 2.

Esempio 3

Esaminare la serie per la convergenza

Consideriamo esempi tipici con fattoriali:

Esempio 4

Esaminare la serie per la convergenza

Il termine generale della serie include sia il grado che il fattoriale. È chiaro come la luce del giorno che il segno d'Alembert dovrebbe essere usato qui. Noi decidiamo.

Quindi, la serie in studio diverge.
(1) Comporre la relazione. Ripetiamo ancora una volta. Per condizione, il termine comune della serie: ... Per ottenere il termine successivo della serie, invece devi sostituire, così: .
(2) Sbarazzarsi della frazione di quattro piani.
(3) Pizzichiamo il sette dal grado. Dipingiamo i fattoriali in dettaglio... Come fare ciò: vedere l'inizio della lezione o l'articolo sulle sequenze numeriche.
(4) Ridurre tutto ciò che può essere ridotto.
(5) La costante è sottratta al segno limite. Espandi le parentesi al numeratore.
(6) L'incertezza viene eliminata nel modo standard, dividendo il numeratore e il denominatore per "en" alla massima potenza.

Esempio 5

Esaminare la serie per la convergenza

Soluzione completa e disegno di esempio alla fine della lezione

Esempio 6

Esaminare la serie per la convergenza

A volte ci sono righe che contengono una "catena" di fattori nel loro riempimento; non abbiamo ancora considerato questo tipo di riga. Come indagare una serie con una "catena" di fattori? Usa il segno di d'Alembert. Ma prima, per capire cosa sta succedendo, descriveremo la serie in dettaglio:

Dallo sviluppo si vede che per ogni termine successivo della serie viene aggiunto un fattore addizionale al denominatore, quindi, se il termine comune della serie , quindi il prossimo membro della serie:
... Qui, spesso commettono un errore automaticamente, scrivendo formalmente secondo l'algoritmo che

Un esempio approssimativo di una soluzione potrebbe essere simile a questo:

Usiamo il segno di d'Alembert:

Quindi, la serie in studio converge.

Il segno radicale di Cauchy

Augustin Louis Cauchy è un matematico francese ancora più famoso. Qualsiasi studente tecnico può parlarti della biografia di Cauchy. Nei colori più pittoreschi. Non è un caso che questo nome sia scolpito al primo piano della Torre Eiffel.

Il test di convergenza di Cauchy per le serie positive è in qualche modo simile al test di d'Alembert appena considerato.

Il segno radicale di Cauchy: Tener conto di serie di numeri positivi... Se c'è un limite:, allora:
a) Per una serie converge... In particolare, la serie converge per.
b) Per una serie diverge... In particolare, la serie diverge a.
c) Quando il segno non dà una risposta... Dovrebbe essere usato un altro segno. È interessante notare che se il test di Cauchy non ci dà una risposta alla domanda sulla convergenza della serie, allora anche il test di d'Alembert non dà una risposta. Ma se il segno di d'Alembert non dà una risposta, allora il segno di Cauchy potrebbe benissimo “funzionare”. Cioè, il segno di Cauchy è in questo senso un segno più forte.

Quando dovresti usare il segno di Cauchy radicale? Il criterio del radicale di Cauchy viene solitamente utilizzato nei casi in cui la radice "buono" viene estratta da un membro comune della serie. In genere, questo pepe è nel grado che dipende da... Ci sono anche casi esotici, ma non ci preoccuperemo di loro.

Esempio 7

Esaminare la serie per la convergenza

Vediamo che la frazione è completamente sotto il grado a seconda di "en", il che significa che è necessario utilizzare il criterio radicale di Cauchy:


Quindi, la serie in studio diverge.

(1) Formiamo il termine comune della serie come radice.

(2) Riscriviamo la stessa cosa, solo senza la radice, usando la proprietà power.
(3) Nell'esponente, dividere il numeratore per il denominatore termine per termine, indicando che
(4) Il risultato è l'incertezza. Qui si potrebbe fare molto: costruire in un cubo, costruire in un cubo, quindi dividere numeratore e denominatore per "en" nel cubo. Ma in questo caso c'è una soluzione più efficiente: questa tecnica può essere utilizzata proprio sotto la costante di grado. Per eliminare l'incertezza, dividi il numeratore e il denominatore per (il grado più alto dei polinomi).

(5) Eseguiamo la divisione termine per termine, e indichiamo i termini che tendono a zero.
(6) Ricordiamo la risposta, la segniamo e concludiamo che la serie diverge.

Ed ecco un esempio più semplice per una soluzione fai-da-te:

Esempio 8

Esaminare la serie per la convergenza

E un altro paio di esempi tipici.

Soluzione completa e disegno di esempio alla fine della lezione

Esempio 9

Esaminare la serie per la convergenza
Usiamo il segno di Cauchy radicale:


Quindi, la serie in studio converge.

(1) Poniamo il termine comune della serie sotto la radice.

(2) Riscriviamo lo stesso, ma senza la radice, espandendo le parentesi usando la formula per la moltiplicazione abbreviata: .
(3) Nell'indicatore, dividere il numeratore per il denominatore termine per termine e indicarlo.
(4) L'incertezza della forma si ottiene, e anche qui puoi eseguire la divisione direttamente sotto il grado. Ma con una condizione: i coefficienti ai gradi più alti dei polinomi devono essere diversi. Li abbiamo diversi (5 e 6), e quindi è possibile (e necessario) suddividere entrambi i piani. Se questi coefficienti sono uguali, ad esempio (1 e 1):, allora questo trucco non funziona e devi usarlo secondo meraviglioso limite... Se ricordi, queste sottigliezze sono state considerate nell'ultimo paragrafo dell'articolo. Metodi di risoluzione dei limiti.

(5) In realtà, effettuiamo la divisione termine per termine e indichiamo quali termini tendono a zero.
(6) L'incertezza viene rimossa, abbiamo il limite più semplice:. Perché in? infinitamente grande grado tende a zero? Perché la base del grado soddisfa la disuguaglianza. Se qualcuno ha dubbi sull'equità del limite , quindi non sarò pigro, prenderò una calcolatrice:
Se poi
Se poi
Se poi
Se poi
Se poi
… eccetera. all'infinito - cioè al limite:

Proprio lo stesso progressione geometrica infinitamente decrescente sulle dita =)
! Non usare mai questo trucco come prova! Perché se qualcosa è ovvio, non significa che sia giusto.

(7) Segnaliamo che concludiamo che la serie converge.

Esempio 10

Esaminare la serie per la convergenza

Questo è un esempio di soluzione fai-da-te.

A volte viene offerto un esempio provocatorio per una soluzione, ad esempio:. Qui nell'esponente nessun "en", solo una costante. Qui devi elevare al quadrato il numeratore e il denominatore (ottieni i polinomi), quindi aderire all'algoritmo dell'articolo Righe per manichini... In un tale esempio, dovrebbe funzionare o il criterio necessario per la convergenza della serie o il criterio di confronto limite.

Test di Cauchy integrale

O solo una caratteristica integrale. Deluderò coloro che hanno scarsa padronanza del materiale del primo corso. Per applicare il criterio dell'integrale di Cauchy è necessario essere più o meno sicuri di trovare derivate, integrali, e avere anche la capacità di calcolare integrale improprio del primo genere.

Nei libri di testo di calcolo test di Cauchy integrale dato matematicamente rigorosamente, ma troppo distorto, quindi formulerò il criterio non troppo rigorosamente, ma comprensibilmente:

Tener conto di serie di numeri positivi... Se c'è un integrale improprio, allora la serie converge o diverge insieme a questo integrale.

E subito esempi di chiarimento:

Esempio 11

Esaminare la serie per la convergenza

Quasi un classico. Logaritmo naturale e una sorta di byaka.

La premessa principale dell'utilizzo del criterio di Cauchy integraleè il fatto che il termine comune della serie contiene fattori simili a qualche funzione e la sua derivata. Dal tema

Prima di formulare la funzione stessa, considera una domanda importante:
Quando applicare il criterio di convergenza di d'Alembert?

I principali prerequisiti per l'applicazione della caratteristica d'Alembert sono i seguenti:

1) Il termine comune della serie ("ripieno" della serie) include qualche numero nella potenza, per esempio, e così via. Inoltre, non importa affatto dove si trovano queste funzioni, al numeratore o al denominatore: è importante che siano presenti lì.

2) Il fattoriale è compreso nel termine generale della serie. Che cos'è un fattoriale?





…


…

! Quando si usa il test di d'Alembert, dobbiamo solo descrivere il fattoriale in dettaglio. Come nel paragrafo precedente, il fattoriale può essere posizionato nella parte superiore o inferiore della frazione.

3) Se nel termine comune della serie c'è una "catena di fattori", ad esempio, ... Questo caso è raro.

Insieme a potenze e (e) fattoriali, i polinomi si trovano spesso nel riempimento della serie, questo non cambia la questione: è necessario utilizzare il segno di d'Alembert.

Inoltre, nel termine generale della serie, si possono trovare contemporaneamente sia il grado che il fattoriale; ci possono essere due fattoriali, due gradi, è importante che ci sia almeno qualcosa dai punti considerati - e questo è solo un prerequisito per l'utilizzo del segno di d'Alembert.

segno D'Alembert: Tener conto di serie di numeri positivi... Se c'è un limite alla relazione del membro successivo con il precedente:, allora:
a) Per una serie converge
b) Per una serie diverge
c) Quando il segno non dà una risposta... Dovrebbe essere usato un altro segno. Molto spesso, l'unità si ottiene quando si tenta di applicare il test di d'Alembert laddove è necessario utilizzare la funzione di confronto limitante.

Purtroppo, senza comprendere il limite e la capacità di svelare l'incertezza, non si può andare oltre.

Esempio:
Soluzione: Vediamo che abbiamo nel termine comune della serie, e questo è un presupposto corretto per usare il segno di d'Alembert.

Usiamo il segno di d'Alembert:


converge.

Il segno radicale di Cauchy.

Il test di convergenza di Cauchy per le serie positive è in qualche modo simile al test di d'Alembert appena considerato.

Il segno radicale di Cauchy: Tener conto di serie di numeri positivi... Se c'è un limite:, allora:
a) Per una serie converge... In particolare, la serie converge per.
b) Per una serie diverge... In particolare, la serie diverge a.
c) Quando il segno non dà una risposta... Dovrebbe essere usato un altro segno.

! È interessante notare che se il test di Cauchy non ci dà una risposta alla domanda sulla convergenza della serie, allora nemmeno il test di d'Alembert ci darà una risposta. Ma se il segno di d'Alembert non dà una risposta, allora il segno di Cauchy potrebbe benissimo “funzionare”. Cioè, il segno di Cauchy è in questo senso un segno più forte.

!!! Quando dovresti usare il segno di Cauchy radicale? Il criterio del radicale di Cauchy viene solitamente utilizzato nei casi in cui il termine comune della serie COMPLETAMENTEè in laurea a seconda di "it"... O quando la radice "buono" viene estratta da un membro comune della serie. Ci sono anche casi esotici, ma non ci preoccuperemo di loro.

Esempio: Esaminare la serie per la convergenza

Soluzione: Vediamo che il termine comune della serie è completamente sotto il grado dipendente da, il che significa che è necessario utilizzare il criterio radicale di Cauchy:


Quindi, la serie in studio diverge.

Test di Cauchy integrale.

Per applicare il criterio dell'integrale di Cauchy è necessario essere più o meno sicuri di trovare derivate, integrali, e avere anche la capacità di calcolare integrale improprio del primo genere.

Lo formulerò con parole mie (per facilità di comprensione).

Test di Cauchy integrale: Tener conto di serie di numeri positivi... Questa serie converge o diverge insieme al corrispondente integrale improprio.

! !! La premessa principale dell'utilizzo del criterio di Cauchy integraleè il fatto che nel termine comune della serie c'è una certa funzione e la sua derivata.

Esempio: Esaminare la serie per la convergenza

Soluzione: Dal tema Derivato probabilmente ti ricordi la cosa tabulare più semplice: e abbiamo proprio un caso canonico del genere.

Come utilizzare una funzione integrale? Innanzitutto, prendiamo l'icona integrale e riscriviamo i limiti superiore e inferiore dal "contatore" della serie:. Quindi, sotto l'integrale, riscriviamo il "ripieno" della riga con la lettera "X":.

Ora dobbiamo calcolare l'integrale improprio. In questo caso sono possibili due casi:

1) Se risulta che l'integrale converge, allora convergerà anche la nostra serie.

2) Se risulta che l'integrale diverge, anche la nostra serie diverge.

Usiamo una funzione integrale:

L'integrando è continuo su

Quindi, la serie in studio diverge insieme al corrispondente integrale improprio.

Esempio: Indagare la convergenza della serie

Soluzione: prima di tutto, controlliamo un criterio necessario per la convergenza di una serie... Questa non è una formalità, ma un'ottima occasione per affrontare un esempio di "poco sangue".

Sequenza numerica più alto ordine di crescita di, quindi , cioè, il criterio di convergenza necessario è soddisfatto e la serie può sia convergere che divergere.

Pertanto, è necessario utilizzare alcune funzionalità. Ma quale? Limita la funzione di confronto chiaramente non si adatta, dal momento che il logaritmo è stato incuneato nel termine comune della serie, segni di d'Alembert e Cauchy inoltre non portano a un risultato. Se lo avessimo fatto, almeno sarebbe stato possibile divincolarsi caratteristica integrale.

"Ispezione della scena" suggerisce una serie divergente (il caso di una serie armonica generalizzata), ma di nuovo sorge la domanda, come tenere conto del logaritmo al numeratore?

Ciò che rimane è il primissimo indizio di confronto basato sulle disuguaglianze, che spesso viene trascurato e accumula polvere sullo scaffale più lontano. Scriviamo la serie in modo più dettagliato:

Ti ricordo che - in crescita illimitata sequenza numerica:

E, partendo dal numero, la disuguaglianza sarà soddisfatta:

cioè, i membri della serie saranno molto di piu membri interessati divergente riga.

Di conseguenza, la fila non ha altra scelta che disperdersi.

La convergenza o divergenza di una serie di numeri dipende dalla sua "coda infinita" (resto). Nel nostro caso, possiamo ignorare il fatto che la disuguaglianza non è vera per i primi due numeri: ciò non influisce sulla conclusione.

Il layout finale dell'esempio dovrebbe essere simile a questo:

Confrontiamo questa riga con la riga divergente.
Per tutti i numeri, a partire da, la disuguaglianza è soddisfatta, quindi, secondo il criterio di confronto, la serie indagata diverge.

Righe alternate. Il segno di Leibniz. Esempi di soluzioni.

Cos'è una riga alternata? Questo è chiaro o quasi chiaro dal nome stesso. Solo l'esempio più semplice.

Consideriamo la serie e la descriviamo in modo più dettagliato:

L'alternanza di segni fornisce un moltiplicatore: se pari, allora ci sarà un segno "più", se dispari - un segno "meno"

In esempi pratici, l'alternanza di caratteri in una serie può essere fornita non solo dal moltiplicatore, ma anche dai suoi fratelli:,,,…. Per esempio:

Le insidie ​​sono "trompe l'oeil":,, ecc. - tali fattori non fornire un cambio di segno... È abbastanza chiaro che per qualsiasi naturale:,,.

Come studiare le serie alternate per la convergenza? Usa il segno di Leibniz.

Il segno di Leibniz: Se nella serie alternata sono soddisfatte due condizioni: 1) i termini della serie diminuiscono monotonamente in valore assoluto. 2) il limite del termine generale in modulo è zero, quindi la serie converge e il modulo della somma di questa serie non supera il modulo del primo termine.

Un rapido riferimento al modulo:

Cosa significa "modulo"? Il modulo, come ricordiamo da scuola, "mangia" il segno meno. Torna alla riga ... Cancella mentalmente tutti i segni con una gomma e diamo un'occhiata ai numeri... Vedremo che ogni prossimo membro di un numero più piccoli rispetto al precedente.

Adesso un po' sulla monotonia.

Membri della serie rigorosamente monotono diminuzione del modulo se OGNI PROSSIMO termine della serie modulo MENO del precedente:. Per un numero c'è una stretta monotonia di diminuzione, può essere descritta in dettaglio:

O, in breve: ogni membro successivo della serie modulo meno del precedente:.

Membri della serie vagamente monotono decrementa modulo se OGNI SEGUENTE termine della serie modulo NON è MAGGIORE del precedente:. Consideriamo una serie con un fattoriale: Qui si verifica una monotonicità non stretta, poiché i primi due termini della serie sono gli stessi in valore assoluto. Cioè, ogni membro successivo della serie modulo non più del precedente:.

Nelle condizioni del teorema di Leibniz, la monotonicità del decadimento deve essere soddisfatta (non importa se è stretto o non stretto). In questo caso, i membri della serie possono anche aumentare in valore assoluto per un po', ma la “coda” della serie deve essere monotona decrescente.

Esempio: Esaminare la serie per la convergenza

Soluzione: Il termine comune della serie include un fattore, il che significa che è necessario utilizzare il test di Leibniz

1) Verifica della serie per diminuzione monotona.

1<2<3<…, т.е. n + 1 > n - la prima condizione non è soddisfatta

2) - anche la seconda condizione non è soddisfatta.

Conclusione: la serie diverge.

Definizione: Se una serie converge secondo il segno di Leibniz e una serie composta di moduli: converge anche, allora si dice che la serie converge assolutamente.

Se una serie converge secondo il segno di Leibniz, e una serie composta da moduli: diverge, allora si dice che la serie converge condizionatamente.

Se converge una serie composta da moduli, converge anche questa serie.

Pertanto, le serie convergenti alternate devono essere studiate per la convergenza assoluta o condizionata.

Esempio:

Soluzione: Usiamo il segno di Leibniz:

1) Ogni termine successivo della serie è inferiore in valore assoluto al precedente: - la prima condizione è soddisfatta.

2) - è soddisfatta anche la seconda condizione.

Conclusione: la serie converge.

Verifichiamo la convergenza condizionale o assoluta.

Componiamo una serie di moduli - ancora una volta, rimuoviamo semplicemente il moltiplicatore che fornisce l'alternanza di caratteri:
- diverge (serie armonica).

Così, la nostra serie non è assolutamente convergente.
Serie in studio converge condizionatamente.

Esempio: Esaminare una serie per la convergenza condizionale o assoluta

Soluzione: Usiamo il segno di Leibniz:
1) Proviamo a scrivere i primi membri della serie:


…?!

2)

Il punto è che non esistono pratiche commerciali standard per affrontare tali limiti. Dove va a finire un tale limite? A zero, all'infinito? È importante qui COSA cresce più velocemente all'infinito.- numeratore o denominatore.

Se il numeratore a cresce più velocemente del fattoriale, allora. Se, all'infinito, il fattoriale cresce più velocemente del numeratore, allora, al contrario, "tira" di zero il limite: ... O forse questo limite è uguale a un numero diverso da zero? o . Invece, puoi sostituire un polinomio del millesimo grado, anche questo non cambierà la situazione: prima o poi il fattoriale "sorpasserà" un polinomio così terribile. Fattoriale ordine di crescita superiore.

– Il fattoriale cresce più velocemente di prodotto di qualsiasi numero sequenze esponenziali e di potenza(il nostro caso).

– Qualunque la sequenza esponenziale cresce più velocemente di qualsiasi sequenza di potenza, ad esempio:,. Sequenza illustrativa ordine di crescita superiore di qualsiasi sequenza di potenza... Simile al fattoriale, la sequenza esponenziale "trascina" il prodotto di qualsiasi numero di qualsiasi sequenza di potenze o polinomi: .

- C'è qualcosa di "più forte" del fattoriale? C'è! La sequenza esponenziale (da "en" alla potenza "en") cresce più velocemente del fattoriale... In pratica, è raro, ma l'informazione non sarà superflua.

Fine dell'aiuto

Pertanto, il secondo punto dello studio può essere scritto come segue:
2) poiché è di un ordine di crescita superiore a.
I membri della serie decrescono modulo, a partire da qualche numero, inoltre, ogni termine successivo della serie è minore in valore assoluto del precedente, quindi la diminuzione è monotona.

Produzione: la serie converge.

Ecco proprio quel caso curioso, quando i membri della serie prima crescono in valore assoluto, motivo per cui ci siamo formati un'opinione iniziale errata sul limite. Ma, a partire da un numero "en", il fattoriale supera il numeratore, e la “coda” della serie diventa monotonicamente decrescente, cosa di fondamentale importanza per il soddisfacimento della condizione del teorema di Leibniz. Che cosa sia esattamente il dato "en", è piuttosto difficile da scoprire.

Esaminiamo la serie per la convergenza assoluta o condizionata:

Ed ecco che già funziona il segno d'Alembert:

Usiamo il segno di d'Alembert:

Quindi la serie converge.

Serie in studio converge assolutamente.

L'esempio considerato può essere risolto in altro modo (usiamo un criterio sufficiente per la convergenza delle serie alternate).

Un criterio sufficiente per la convergenza di una serie alternata: Se una serie composta dai valori assoluti dei membri di una data serie converge, allora converge anche questa serie.

Secondo modo:

Esaminare una serie per la convergenza condizionale o assoluta

Soluzione : Esaminiamo la serie per la convergenza assoluta:

Usiamo il segno di d'Alembert:

Quindi la serie converge.
Procedendo da un criterio sufficiente per la convergenza di una serie alternata, converge anche la serie stessa.

Produzione: Serie sotto inchiesta converge assolutamente.

Per calcolare la somma di una serie con una data precisione useremo il seguente teorema:

Lascia che la riga alternata soddisfa le condizioni del test di Leibniz e lascia - la sua n-esimo importo parziale. Allora la serie converge e l'errore nel calcolo approssimativo della sua somma S in valore assoluto non supera il modulo del primo termine scartato:

Righe funzionali. Serie di potenze.
Regione di convergenza della serie.

Per padroneggiare con successo l'argomento, devi essere esperto nelle solite serie di numeri.