"Pagbabago ng Function" - Swing. Lumipat sa kahabaan ng y-axis pataas. I-on ang buong volume - taasan ang a (amplitude) ng air vibrations. Lumipat sa kahabaan ng x-axis sa kaliwa. Mga layunin ng aralin. 3 puntos. musika. I-plot ang function at tukuyin ang D (f), E (f), at T: Compression kasama ang x-axis. Lumipat sa kahabaan ng y-axis pababa. Magdagdag ng pula sa palette - babawasan mo ang k (frequency) ng mga electromagnetic oscillations.

"Mga pag-andar ng ilang mga variable" - Mga derivative ng mas mataas na pagkakasunud-sunod. Ang pag-andar ng dalawang variable ay maaaring ipakita sa grapiko. Differential at integral calculus. Panloob at dulo na mga punto. Pagpapasiya ng limitasyon ng isang function ng 2 variable. Ang kurso ng pagsusuri sa matematika. Berman. Limitasyon ng isang function ng 2 variable. Function graph. Teorama. Limitadong lugar.

"Ang konsepto ng isang function" - Mga paraan upang bumuo ng mga graph ng isang quadratic function. Ang pag-aaral ng iba't ibang paraan ng pagtukoy sa isang function ay isang mahalagang pamamaraan. Mga tampok ng pag-aaral ng isang quadratic function. Ang genetic na interpretasyon ng konsepto ng "function". Mga function at graph sa kursong matematika ng paaralan. Ang konsepto ng isang linear function ay binibigyang-diin kapag nagpaplano ng isang tiyak na linear function.

"Pag-andar ng Paksa" - Pagsusuri. Ito ay kinakailangan upang malaman hindi kung ano ang hindi alam ng mag-aaral, ngunit kung ano ang alam niya. Paglalatag ng mga pundasyon para sa matagumpay na pagpasa sa pagsusulit at pagpasok sa mga unibersidad. Synthesis. Kung ang mga mag-aaral ay gumagawa sa iba't ibang paraan, kung gayon ang guro ay dapat makipagtulungan sa kanila sa iba't ibang paraan. pagkakatulad. Paglalahat. Pamamahagi ng mga takdang-aralin sa USE ayon sa mga pangunahing bloke ng nilalaman ng kurso sa matematika ng paaralan.

"Pagbabago ng mga function ng graph" - Ulitin ang mga uri ng mga pagbabago sa graph. Magtalaga ng function sa bawat graph. Symmetry. Ang layunin ng aralin: Pagbalangkas ng mga kumplikadong function. Isaalang-alang natin ang mga halimbawa ng pagbabago, ipaliwanag ang bawat uri ng pagbabago. I-convert ang mga function graph. Nagbabanat. Ayusin ang pag-plot ng mga function gamit ang graph transformations ng elementary functions.

"Mga function na graph" - Tingnan ang function. Ang hanay ng mga halaga ng function ay ang lahat ng mga halaga ng umaasa na variable y. Ang graph ng function ay isang parabola. Ang graph ng function ay isang cubic parabola. Ang graph ng function ay isang hyperbola. Domain at hanay ng mga halaga ng function. Iugnay ang bawat tuwid na linya sa equation nito: Domain ng function - lahat ng value ng independent variable x.

Ang function na y = x ^ 2 ay tinatawag na quadratic function. Ang graph ng isang quadratic function ay isang parabola. Ang pangkalahatang view ng parabola ay ipinapakita sa figure sa ibaba.

Quadratic function

Fig 1. Pangkalahatang view ng parabola

Tulad ng makikita mo mula sa graph, simetriko ito tungkol sa axis ng Oy. Ang axis Oy ay tinatawag na axis of symmetry ng parabola. Nangangahulugan ito na kung gumuhit ka ng isang tuwid na linya parallel sa axis ng Ox sa itaas ng axis na ito. Pagkatapos ay tatawid ito sa parabola sa dalawang punto. Magiging pareho ang distansya mula sa mga puntong ito sa Oy axis.

Hinahati ng axis ng symmetry ang graph ng parabola sa dalawang bahagi, kumbaga. Ang mga bahaging ito ay tinatawag na mga sanga ng parabola. At ang punto ng parabola na namamalagi sa axis ng symmetry ay tinatawag na tuktok ng parabola. Iyon ay, ang axis ng symmetry ay dumadaan sa tuktok ng parabola. Ang mga coordinate ng puntong ito (0; 0).

Mga pangunahing katangian ng isang quadratic function

1. Para sa x = 0, y = 0, at y> 0 para sa x0

2. Naabot ng quadratic function ang pinakamababang halaga nito sa vertex nito. Ymin sa x = 0; Dapat ding tandaan na ang function ay walang maximum na halaga.

3. Bumababa ang function sa pagitan (-∞; 0] at tumataas sa interval Paglutas ng equation \ (x "\ left (t \ right) = 0, \) matukoy ang mga nakatigil na punto ng function \ (x \ left (t \ kanan): \ ) \ [(x "\ kaliwa (t \ kanan) = 0,) \; \; (\ Rightarrow 3 (t ^ 2) + 2t - 1 = 0,) \; \; ( \ Rightarrow (t_ (1, 2)) = \ frac ((- 2 \ pm \ sqrt (16))) (6) = - 1; \; \ frac (1) (3).) \] Para sa \ ( t = 1 \) ang function \ (x \ left (t \ right) \) ay umabot sa maximum na \ at sa puntong \ (t = \ large \ frac (1) (3) \ normalsize \) mayroon itong minimum na \ [(x \ left (( \ frac (1) (3)) \ right)) = ((\ left ((\ frac (1) (3)) \ right) ^ 3) + (\ left ((\ frac (1) (3)) \ right) ^ 2) - \ left ((\ frac (1) (3)) \ right)) = (\ frac (1) ((27)) + \ frac (1) (9) - \ frac (1 ) (3) = - \ frac (5) ((27)).) \] Isaalang-alang ang derivative \ (y "\ left (t \ right): \) \ [(y" \ kaliwa (t \ kanan) = ( \ kaliwa (((t ^ 3) + 2 (t ^ 2) - 4t) \ kanan) ^ \ prime)) = (3 (t ^ 2) + 4t - 4.) \] Hanapin ang mga nakatigil na punto ng function \ (y \ left (t \ right): \) \ [(y "\ left (t \ right) = 0,) \; \; (\ Rightarrow 3 (t ^ 2 ) + 4t - 4 = 0,) \; \ ; (\ Rightarrow (t_ (1,2)) = \ frac ((- 4 \ pm \ sqrt (64) )) (6) = - 2; \; \ frac (2) (3).) \] Dito, sa katulad na paraan, ang function na \ (y \ left (t \ right) \) ay umabot sa maximum nito sa puntong \ (t = -2 : \) \ at pinakamababa sa punto \ (t = \ large \ frac (2) (3) \ normalsize: \) \ [(y \ left ((\ frac (2) (3)) \ right) ) = ( (\ left ((\ frac (2) (3)) \ right) ^ 3) + 2 (\ left ((\ frac (2) (3)) \ right) ^ 2) - 4 \ cdot \ frac (2 ) (3)) = (\ frac (8) ((27)) + \ frac (8) (9) - \ frac (8) (3)) = (- \ frac ((40)) ( (27) ).) \] Ang mga graph ng mga function \ (x \ left (t \ right) \), \ (y \ left (t \ right) \) ay schematically na ipinapakita sa figure \ (15a. \)

Tandaan na dahil \ [(\ lim \ limits_ (t \ to \ pm \ infty) x \ left (t \ right) = \ pm \ infty,) \; \; \; (\ lim \ limits_ (t \ to \ pm \ infty) y \ left (t \ right) = \ pm \ infty,) \] pagkatapos ay ang curve \ (y \ left (x \ right) \) ay walang vertical, walang pahalang na asymptotes. Bukod dito, dahil \ [(k = \ lim \ limits_ (t \ to \ pm \ infty) \ frac ((y \ left (t \ right)))) ((x \ left (t \ right)))) = ( \ lim \ limits_ (t \ to \ pm \ infty) \ frac (((t ^ 3) + 2 (t ^ 2) - 4t)) (((t ^ 3) + (t ^ 2) - t) ) ) = (\ lim \ limits_ (t \ to \ pm \ infty) \ frac ((1 + \ frac (2) (t) - \ frac (4) (((t ^ 2))))) (( 1 + \ frac (1) (t) - \ frac (1) (((t ^ 2))))) = 1,) \] \ [(b = \ lim \ limits_ (t \ to \ pm \ infty ) \ left [(y \ left (t \ right) - kx \ left (t \ right)) \ right]) = (\ lim \ limits_ (t \ to \ pm \ infty) \ left ((\ cancel (\ color (asul) (t ^ 3)) + \ kulay (pula) (2 (t ^ 2)) - \ kulay (berde) (4t) - \ kanselahin (\ kulay (asul) (t ^ 3)) - \ kulay (pula) (t ^ 2) + \ kulay (berde) (t)) \ kanan)) = (\ lim \ limits_ (t \ to \ pm \ infty) \ kaliwa ((\ kulay (pula) (t ^ 2 ) - \ color (berde) (3t)) \ right) = + \ infty,) \] pagkatapos ay ang curve \ (y \ left (x \ right) \) ay wala ring oblique asymptotes.

Tukuyin natin ang mga punto ng intersection ng graph \ (y \ left (x \ right) \) gamit ang mga coordinate axes. Ang intersection sa abscissa axis ay nangyayari sa mga sumusunod na punto: \ [(y \ left (t \ right) = (t ^ 3) + 2 (t ^ 2) - 4t = 0,) \; \; (\ Rightarrow t \ kaliwa (((t ^ 2) + 2t - 4) \ right) = 0;) \]

1. \ (((t ^ 2) + 2t - 4 = 0,) \; \; (\ Rightarrow D = 4 - 4 \ cdot \ kaliwa ((- 4) \ kanan) = 20,) \; \; (\ Rightarrow (t_ (2,3)) = \ large \ frac ((- 2 \ pm \ sqrt (20))) (2) \ normalsize = - 1 \ pm \ sqrt 5.) \)

1. \ (((t ^ 2) + t - 1 = 0,) \; \; (\ Rightarrow D = 1 - 4 \ cdot \ kaliwa ((- 1) \ kanan) = 5,) \; \; (\ Rightarrow (t_ (2,3)) = \ large \ frac ((- 1 \ pm \ sqrt (5))) (2) \ normalsize.) \)

Sa pangalawang pagitan \ (\ kaliwa ((- 2, - 1) \ kanan) \) ang variable na \ (x \) ay tumataas mula sa \ (x \ kaliwa ((- 2) \ kanan) = - 2 \) hanggang \ (x \ left ((- 1) \ right) = 1, \) at ang variable \ (y \) ay bumababa mula sa \ (y \ left ((- 2) \ right) = 8 \) hanggang \ (y \ left ((- 1) \ right) = 5. \) Narito mayroon kaming isang segment ng isang bumababa na kurba \ (y \ kaliwa (x \ kanan). \) Nag-intersect ito sa ordinate sa puntong \ (\ kaliwa ((0, 3 + 2 \ sqrt 5) \ kanan). \)

Sa ikatlong pagitan \ (\ kaliwa ((- 1, \ malaki \ frac (1) (3) \ normalsize) \ kanan) \), ang parehong mga variable ay bumababa. Ang halaga ng \ (x \) ay mula sa \ (x \ left ((- 1) \ right) = 1 \) hanggang sa \ (x \ left ((\ large \ frac (1) (3) \ normalsize) \ right) = - \ large \ frac (5) ((27)) \ normalsize. \) Alinsunod dito, ang \ (y \) value ay bumababa mula sa \ (y \ left ((- 1) \ right) = 5 \) hanggang \ ( y \ left ((\ large \ frac (1) (3) \ normalsize) \ right) = - \ large \ frac (29) ((27)) \ normalsize. \) Curve \ (y \ left (x \ right ) \ ) sa kasong ito ay nag-intersect sa pinanggalingan.

Sa ikaapat na pagitan ng \ (\ kaliwa ((\ large \ frac (1) (3) \ normalsize, \ large \ frac (2) (3) \ normalsize) \ right) \) variable \ (x \) ay tumataas mula sa \ ( x \ left ((\ large \ frac (1) (3) \ normalsize) \ right) = - \ large \ frac (5) ((27)) \ normalsize \) hanggang \ (x \ left ((\ large \ frac (2) (3) \ normalsize) \ right) = \ large \ frac (2) ((27)) \ normalsize, \) at ang variable na \ (y \) ay bumababa mula sa \ (y \ left ((\ malaki \ frac (1) (3) \ normalsize) \ kanan) = - \ malaki \ frac (29) ((27)) \ normalsize \) hanggang \ (y \ kaliwa ((\ malaki \ frac (2)) (3 ) \ normalsize) \ right) = - \ large \ frac (40) ((27)) \ normalsize. \) Sa segment na ito, ang curve \ (y \ left (x \ right) \) ay nag-intersect sa ordinate sa punto \ (\ kaliwa ( (0,3 - 2 \ sqrt 5) \ kanan). \)

Sa wakas, sa huling interval \ (\ kaliwa ((\ large \ frac (2) (3) \ normalsize, + \ infty) \ right) \) parehong gumagana \ (x \ left (t \ right) \), \ ( y \ left (t \ right) \) ay tumataas. Ang kurba \ (y \ kaliwa (x \ kanan) \) ay nag-intersect sa abscissa sa puntong \ (x = - 9 + 5 \ sqrt 5 \ approx 2.18. \)

Upang pinuhin ang hugis ng curve \ (y \ left (x \ right) \), kalkulahin ang maximum at minimum na mga puntos. Ang derivative \ (y "\ left (x \ right) \) ay ipinahayag bilang \ [(y" \ left (x \ right) = (y "_x)) = (\ frac (((y" _t))) (((x "_t)))) = (\ frac ((((\ kaliwa (((t ^ 3)) + 2 (t ^ 2) - 4t) \ right)) ^ \ prime))) ((( ( \ kaliwa (((t ^ 3) + (t ^ 2) - t) \ kanan)) ^ \ prime)))) = (\ frac ((3 (t ^ 2) + 4t - 4)) (( 3 (t ^ 2) + 2t - 1))) = (\ frac ((\ cancel (3) \ left ((t + 2) \ right) \ left ((t - \ frac (2) (3)) \ kanan))) ((\ kanselahin (3) \ kaliwa ((t + 1) \ kanan) \ kaliwa ((t - \ frac (1) (3)) \ kanan)))) = (\ frac (( \ kaliwa ((t + 2) \ kanan) \ kaliwa ((t - \ frac (2) (3)) \ kanan))) ((\ kaliwa ((t + 1) \ kanan) \ kaliwa ((t - \ frac (1) (3)) \ right))).) \] Ang pagbabago ng sign ng derivative \ (y "\ left (x \ right) \) ay ipinapakita sa figure \ (15c. \) Maaari itong makikita na sa puntong \ (t = - 2, \) i.e. sa hangganan ng \ (I \) - ika at \ (II \) - ika na pagitan ang kurba ay may maximum, at para sa \ (t = \ malaki \ frac (2) (3) \ normalsize \) (sa hangganan \ (IV \) -th at \ (V \) -th na pagitan) mayroong isang minimum. Kapag dumadaan sa puntong \ (t = \ large \ frac (1) (3) \ normalsize \), binabago din ng derivative ang sign mula plus hanggang minus, ngunit sa lugar na ito ang curve \ (y \ left (x \ right) \) ay hindi malinaw na pag-andar. Samakatuwid, ang tinukoy na punto ay hindi isang extremum.

Sinisiyasat din namin ang convexity ng curve na ito. Pangalawang derivative Ang \ (y "" \ left (x \ right) \) ay may anyo: \ [y "" \ left (x \ right) = (y "" _ (xx)) = \ frac ((((\ left ( ( (y "_x)) \ kanan))" _ t))) (((x "_t))) = \ frac ((((\ left ((\ frac ((3 (t ^ 2))))) + 4t - 4) ) ((3 (t ^ 2) + 2t - 1))) \ kanan)) ^ \ prime))) ((((\ kaliwa (((t ^ 3)) + (t ^ 2)) - t) \ kanan )) ^ \ prime))) = \ frac ((\ kaliwa ((6t + 4) \ kanan) \ kaliwa ((3 (t ^ 2) + 2t - 1) \ kanan) - \ kaliwa ((3 (t ^ 2) + 4t - 4) \ kanan) \ kaliwa ((6t + 2) \ kanan))) ((((\ kaliwa ((3 (t ^ 2)) + 2t - 1) \ kanan))) ^ 3) )) = \ frac ((18 (t ^ 3) + 12 (t ^ 2) + 12 (t ^ 2) + 8t - 6t - 4 - \ left ((18 (t ^ 3) + 24 (t ^ 2 ) - 24t + 6 (t ^ 2) + 8t - 8) \ kanan))) ((((\ kaliwa ((3 (t ^ 2)) + 2t - 1) \ kanan))) ^ 3))) = \ frac ((\ cancel (\ color (blue) (18 (t ^ 3))) + \ color (red) (24 (t ^ 2)) + \ color (green) (2t) - \ color (maroon ) ( 4) - \ kanselahin (\ kulay (asul) (18 (t ^ 3))) - \ kulay (pula) (30 (t ^ 2)) + \ kulay (berde) (16t) + \ kulay (maroon ) ( 8))) ((((\ kaliwa ((3 (t ^ 2)) + 2t - 1) \ kanan)) ^ 3))) = \ frac ((- \ kulay (pula) (6 (t ^ 2) ) + \ kulay (berde) (18t) + \ kulay (maroon) (4))) ((((\ kaliwa ((3 (t ^ 2)) + 2t - 1) \ kanan)) ^ 3)) ) = \ frac ((- 6 \ kaliwa ((t - \ frac ((9 - \ sqrt (105)))) (6)) \ kanan) \ kaliwa ((t - \ frac ((9 + \ sqrt (105))) (6)) \ kanan))) ((((\ kaliwa ((t + 1) \ kanan))) ^ 3) ((\ kaliwa ((3t - 1)) \ kanan)) ^ 3))). \] Samakatuwid, binabago ng pangalawang derivative ang sign nito sa kabaligtaran kapag dumadaan sa mga sumusunod na punto (Fig. \ (15с \)): \ [((t_1) = - 1: \; \; x \ left ((- 1) ) \ kanan ) = 1,) \; \; (y \ kaliwa ((- 1) \ kanan) = 5;) \] \ [((t_2) = \ frac ((9 - \ sqrt (105))) (6):) \; \; (x \ left ((\ frac ((9 - \ sqrt (105))) (6)) \ right) \ approx 0.24;) \; \; (y \ left ((\ frac ((9 - \ sqrt (105))) (6)) \ right) \ approx 0.91;) \] \ [((t_3) = \ frac (1) (3) :) \; \; (x \ left ((\ frac (1) (3)) \ right) = - \ frac (5) ((27)),) \; \; (y \ kaliwa ((\ frac (1) (3)) \ right) = - \ frac ((29)) ((27));) \] \ [((t_4) = \ frac ((9 + \ sqrt (105))) (6):) \; \; (x \ left ((\ frac ((9 + \ sqrt (105))) (6)) \ right) \ approx 40,1;) \; \; (y \ left ((\ frac ((9 + \ sqrt (105))) (6)) \ right) \ approx 40.8.) \] Samakatuwid ang tinukoy na mga punto ay ang mga inflection point ng curve \ (y \ left ( x \ kanan). \)

Ang isang schematic graph ng curve \ (y \ left (x \ right) \) ay ipinapakita sa itaas sa figure \ (15b. \)