APIBRĖŽIMAS

Stabilus balansas- tai pusiausvyra, kurioje kūnas, ištrauktas iš pusiausvyros padėties ir paliktas sau, grįžta į ankstesnę padėtį.

Taip atsitinka, jei, šiek tiek pasislinkus kūnui bet kuria kryptimi nuo pradinės padėties, kūną veikiančių jėgų rezultatas tampa nuliniu ir nukreipiamas į pusiausvyros padėtį. Pavyzdžiui, rutulio formos įdubos apačioje gulintis rutulys (1 a pav.).

APIBRĖŽIMAS

Nestabili pusiausvyra- tai pusiausvyra, kurioje kūnas, ištrauktas iš pusiausvyros padėties ir paliktas sau, dar labiau nukryps nuo pusiausvyros padėties.

Šiuo atveju, šiek tiek pasislinkus kūnui iš pusiausvyros padėties, į jį veikiančių jėgų atstumas yra nulis ir yra nukreiptas iš pusiausvyros padėties. Pavyzdys yra rutulys, esantis išgaubto sferinio paviršiaus viršuje (1 b pav.).

APIBRĖŽIMAS

Abejingas balansas- tai pusiausvyra, kurioje kūnas, ištrauktas iš pusiausvyros padėties ir paliktas sau, savo padėties (būsenos) nekeičia.

Šiuo atveju, esant nedideliems kūno poslinkiams nuo pradinės padėties, kūnui veikiančių jėgų rezultatas lieka lygus nuliui. Pavyzdžiui, rutulys, gulintis ant lygaus paviršiaus (1 pav., c).

1 pav. Įvairių tipų kūno balansas ant atramos: a) stabili pusiausvyra; b) nestabili pusiausvyra; c) abejingas balansas.

Statinė ir dinaminė kūnų pusiausvyra

Jei dėl jėgų veikimo kūnas negauna pagreičio, jis gali būti ramybės būsenoje arba tolygiai judėti tiesia linija. Todėl galime kalbėti apie statinį ir dinaminį balansą.

APIBRĖŽIMAS

Statinis balansas- tai tokia pusiausvyra, kai, veikiant veikiančioms jėgoms, kūnas ilsisi.

Dinaminis balansas- tai tokia pusiausvyra, kai, veikiant jėgoms, kūnas nekeičia savo judėjimo.

Statinės pusiausvyros būsenoje yra žibintas, pakabintas ant kabelių, bet kokios pastato konstrukcijos. Dinaminės pusiausvyros pavyzdžiu galime laikyti ratą, kuris rieda lygiu paviršiumi nesant trinties jėgų.

Pagrindiniai balanso taškų tipai

Tegu pateikiama antros eilės tiesinė vienalytė sistema su pastoviais koeficientais: \ [\ left \ (\ begin (masyvas) (l) \ frac ((dx)) ((dt)) = (a_ (11)) x + ( a_ (12 )) y \\ \ frac ((dy)) ((dt)) = (a_ (21)) x + (a_ (22)) y \ pabaiga (masyvas) \ dešinėje .. \] Ši sistema lygtys yra autonominis, nes dešiniosiose lygčių pusėse nėra tiesiogiai nepriklausomo kintamojo \ (t. \)

Matricos pavidalu lygčių sistema rašoma taip: \ [(\ mathbf (X ") = A \ mathbf (X), \; \; \ text (kur) \; \; \ mathbf (X) = \ left ( (\ pradžia (masyvas) (* (20) (c)) x \\ y \ pabaiga (masyvas)) \ dešinėn),) \; \; (A = \ left ((\ pradžia (masyvas)) (* (20) ) (c) ) ((a_ (11))) & ((a_ (12))) \\ ((a_ (21))) & ((a_ (22))) \ pabaiga (masyvas)) \ dešinė) .) \] Pusiausvyros padėtys randamos iš stacionarios lygties sprendinio \ Ši lygtis turi unikalų sprendinį \ (\ mathbf (X) = \ mathbf (0), \), jei matrica \ (A \) yra neišsigimęs , t.y. pagal sąlygą \ (\ det A \ ne 0. \) Byloje išsigimusi matrica sistema turi begalinį pusiausvyros taškų rinkinį.

Nustatyta pusiausvyros padėčių klasifikacija savąsias reikšmes \ ((\ lambda _1), (\ lambda _2) \) matricos \ (A. \) Iš sprendinio randami skaičiai \ ((\ lambda _1), (\ lambda _2) \ charakteristikos lygtis \ [(\ lambda ^ 2) - \ kairė (((a_ (11)) + (a_ (22))) \ dešinė) \ lambda + (a_ (11)) (a_ (22)) - (a_ (12) )) (a_ (21)) = 0. \] Bendruoju atveju, kai matrica \ (A \) yra neišsigimusi, yra \ (4 \) skirtingų tipų pusiausvyros taškų:

Nustatomas pusiausvyros padėčių stabilumas bendrosios stabilumo teoremos... Taigi, jei tikrosios savosios reikšmės (arba tikrosios sudėtingų savųjų reikšmių dalys) yra neigiamos, tada pusiausvyros taškas yra asimptotiškai stabilus ... Tokių pusiausvyros padėčių pavyzdžiai yra ir pastovus dėmesys .

Jei bent vienos savosios reikšmės tikroji dalis yra teigiama, tai atitinkama pusiausvyros padėtis yra nestabilus ... Pavyzdžiui, gali būti.

Galiausiai, grynai įsivaizduojamų šaknų atveju (pusiausvyros taškas yra centras) turime reikalą su klasika stabilumas Lyapunovo prasme .

Kitas mūsų tikslas yra ištirti sprendimų elgesį šalia pusiausvyros padėčių. \ (2 \) eilės sistemoms patogu tai padaryti grafiškai naudojant fazinis portretas , kuri yra kolekcija fazių trajektorijos koordinačių plokštumoje. Rodyklės fazių trajektorijose rodo taško judėjimo kryptį (t. y. tam tikrą sistemos būseną) laikui bėgant.

Leiskite mums išsamiau apsvarstyti kiekvieną pusiausvyros taško tipą ir atitinkamus fazių portretus.

Stabilus ir nestabilus mazgas

„mazgo“ tipo savosios reikšmės \ (((\ lambda _1), (\ lambda _2)) \) taškai atitinka šias sąlygas: \ [(\ lambda _1), (\ lambda _2) \ in \ Re , \; \; ( \ lambda _1) \ cdot (\ lambda _2)> 0. \] Gali įvykti šie ypatingi atvejai.

Šaknys \ (((\ lambda _1), (\ lambda _2)) \) skiriasi \ (\ kairysis (((\ lambda _1) \ ne (\ lambda _2)) \ dešinė) \) ir neigiamas \ (\ kairėje ( ((\ lambda _1)
Sukurkime tokio pusiausvyros taško scheminį fazės portretą. Apibrėžtumo sumetimais tegul \ (\ kairė | ((\ lambda _1)) \ dešinė |
Kadangi abi savosios reikšmės yra neigiamos, sprendimas \ (\ mathbf (X) = \ mathbf (0) \) yra asimptotiškai stabilus ... Ši pusiausvyros padėtis vadinama stabilus mazgas ... Kaip \ (t \ iki \ infty \), fazių kreivės linkusios į pradžią \ (\ mathbf (X) = \ mathbf (0). \)

Nurodykime fazių trajektorijų kryptį. Kadangi \ [(x \ left (t \ right) = (C_1) (V_ (11)) (e ^ ((\ lambda _1) t)) + (C_2) (V_ (12)) (e ^ ((\) lambda _2) t)),) \; \; (y \ kairė (t \ dešinė) = (C_1) (V_ (21)) (e ^ ((\ lambda _1) t)) + (C_2) (V_ (22)) (e ^ ((\ lambda _2) t)),) \] tada išvestinė \ (\ big \ frac ((dy)) ((dx)) \ normalsize \) yra \ [\ frac ((dy)) ((dx)) = \ frac (( ( C_1) (V_ (21)) (\ lambda _1) (e ^ ((\ lambda _1) t)) + (C_2) (V_ (22)) (\ lambda _2) (e ^ ((\ lambda _2) t )))) (((C_1) (V_ (11)) (\ lambda _1) (e ^ ((\ lambda _1) t)) + (C_2) (V_ (12)) (\ lambda _2) (e ^ ((\ lambda _2) t)))). \] Padalinkite skaitiklį ir vardiklį iš \ (((e ^ ((\ lambda _1) t))): \) \ [\ frac ((dy)) ( (dx )) = \ frac (((C_1) (V_ (21)) (\ lambda _1) + (C_2) (V_ (22)) (\ lambda _2) (e ^ (\ left (((\ lambda _2)) ) - (\ lambda _1)) \ dešinėje) t)))) (((C_1) (V_ (11)) (\ lambda _1) + (C_2) (V_ (12)) (\ lambda _2) (e ^ (\ kairėje (((\ lambda _2) - (\ lambda _1)) \ dešinėje) t)))). \] Šiuo atveju \ ((\ lambda _2) - (\ lambda _1)
Tuo atveju \ ((C_1) = 0 \) bet kurio \ (t \) išvestinė yra \ [\ frac ((dy)) ((dx)) = \ frac (((V_ (22)))) ( (( V_ (12)))), \] ty fazės trajektorija yra tiesėje, nukreiptoje išilgai savojo vektoriaus \ ((\ mathbf (V) _2). \)

Dabar apsvarstykite fazių trajektorijų elgseną \ (t \ to - \ infty. \) Akivaizdu, kad koordinatės \ (x \ kairė (t \ dešinė), y \ kairė (t \ dešinė) \) yra linkusios į begalybę, ir išvestinė \ ( \ large \ frac ((dy)) ((dx)) \ normalsize \) su \ ((C_2) \ ne 0 \) yra tokia forma: \ [\ frac ((dy)) ((dx) )) = \ frac (((C_1) (V_ (21)) (\ lambda _1) (e ^ (\ left (((\ lambda _1) - (\ lambda _2)) \ dešinė) t)) + (C_2 ) (V_ (22 )) (\ lambda _2))) (((C_1) (V_ (11)) (\ lambda _1) (e ^ (\ left (((\ lambda _1) - (\ lambda _2)) \ dešinė) t) ) + (C_2) (V_ (12)) (\ lambda _2))) = \ frac (((V_ (22)))) (((V_ (12)))), \] t.y. fazių kreivės begalybėje tampa lygiagrečios vektoriui \ ((\ mathbf (V) _2). \)

Atitinkamai, \ ((C_2) = 0 \) išvestinė yra \ [\ frac ((dy)) ((dx)) = \ frac (((V_ (21)))) (((V_ (11)) ) ). \] Šiuo atveju fazės trajektorija nustatoma pagal savojo vektoriaus kryptį \ ((\ mathbf (V) _1). \)

Atsižvelgiant į svarstomas fazių trajektorijų savybes, fazinis portretas stabilus mazgas turi tokią formą, kaip schematiškai parodyta paveiksle \ (1. \)

Panašiai galima ištirti fazių trajektorijų elgseną kitų tipų pusiausvyros padėtyse. Be to, praleisdami išsamią analizę, atliksime pagrindines kitų pusiausvyros taškų kokybines charakteristikas.

Šaknys \ (((\ lambda _1), (\ lambda _2)) \) yra skirtingos \ (\ left (((\ lambda _1) \ ne (\ lambda _2)) \ right) \) ir yra teigiamos \ ( \ left ( ((\ lambda _1)> 0, (\ lambda _2))> 0 \ right). \)
Šiuo atveju taškas \ (\ mathbf (X) = \ mathbf (0) \) vadinamas nestabilus mazgas ... Jos fazinis portretas parodytas paveikslėlyje \ (2. \)

Atkreipkite dėmesį, kad tiek stabilaus, tiek nestabilaus mazgo atveju fazių trajektorijos liečia tiesią liniją, kuri nukreipta išilgai savojo vektoriaus, atitinkančio mažesnę absoliučios vertės savąją reikšmę \ (\ lambda. \)

Distopinis mazgas

Tegul charakteristikos lygtis turi vieną nulinę daugybos šaknį \ (2, \), t.y. nagrinėkime atvejį \ ((\ lambda _1) = (\ lambda _2) = (\ lambda) \ ne 0. \) Šiuo atveju sistema turi dviejų savųjų vektorių pagrindą, t.y. geometrinė savosios reikšmės \ (\ lambda \) daugyba yra \ (2. \) Kalbant apie tiesinę algebrą, tai reiškia, kad matricos \ (A \) savosios erdvės matmuo yra \ (2: \) \ ( \ dim \ ker A = 2. \) Ši situacija realizuojama tokiose sistemose kaip \ [(\ frac ((dx)) ((dt)) = \ lambda x,) \; \; (\ frac ((dy)) ((dt)) = \ lambda y.) \] Fazių trajektorijų kryptis priklauso nuo ženklo \ (\ lambda. \) Čia galimi du atvejai:

Atvejis \ ((\ lambda _1) = (\ lambda _2) = (\ lambda) Ši pusiausvyra vadinama stabilus dikritinis mazgas (nuotrauka \ (3 \)).

Case \ ((\ lambda _1) = (\ lambda _2) = (\ lambda)> 0. \)Šis savųjų reikšmių derinys atitinka nestabilus kritinis mazgas (pav. \ (4 \)).

Išsigimęs mazgas

Tegul matricos \ (A \) savosios reikšmės vėl sutampa: \ ((\ lambda _1) = (\ lambda _2) = (\ lambda) \ ne 0. \) Priešingai nei ankstesnis kritinio mazgo atvejis , darome prielaidą, kad geometrinė savųjų reikšmių reikšmių daugyba (arba, kitaip tariant, savosios poerdvės matmuo) dabar yra \ (1. \) Tai reiškia, kad matrica \ (A \) turi tik vieną savąjį vektorių \ ( (\ mathbf (V) _1). \) Antrasis tiesiškai nepriklausomas vektorius, reikalingas pagrindui sudaryti, apibrėžiamas kaip vektorius \ ((\ mathbf (W) _1), \), pridedamas prie \ ((\ mathbf (V) ) _1). \)

Tuo atveju \ ((\ lambda _1) = (\ lambda _2) = (\ lambda) pusiausvyros taškas vadinamas stabilus išsigimęs mazgas (pav. \ (5 \)).

Jei \ ((\ lambda _1) = (\ lambda _2) = (\ lambda)> 0 \) pusiausvyros padėtis vadinama nestabilus išsigimęs mazgas (brėžinys \ (6 \)).

Pusiausvyros padėtis yra esant sąlygoms \ [(\ lambda _1), (\ lambda _2) \ in \ Re, \; \; (\ lambda _1) \ cdot (\ lambda _2) 0. \) Turinės reikšmės\ ( (\ lambda _1) \) ir \ ((\ lambda _2) \) yra susieti su atitinkamais savaisiais vektoriais \ ((\ mathbf (V) _1) \) ir \ ((\ mathbf (V) _2). \) Linijos nukreipti išilgai savųjų vektorių vektoriai \ ((\ mathbf (V) _1), \) \ ((\ mathbf (V) _2), \) vadinami separatoriai ... Jie yra likusių fazių trajektorijų, turinčių hiperbolių formą, asimptotai. Kiekvienas atskyrimas gali būti susietas su tam tikra judėjimo kryptimi. Jei separatorius susietas su neigiama savąja reikšme \ ((\ lambda _1) 0, \) t.y. separatriksui, susietam su vektoriumi \ ((\ mathbf (V) _2), \) judėjimas nukreiptas iš pradžios. Balnelio fazinis portretas schematiškai parodytas paveiksle \ (7. \)

Pastovus ir nestabilus fokusavimas

Dabar tebūnie savosios reikšmės \ ((\ lambda _1), (\ lambda _2) \) kompleksiniai skaičiai , kurių tikrosios dalys nėra lygios nuliui. Jei matrica \ (A \) susideda iš realiųjų skaičių, tada kompleksinės šaknys bus vaizduojamos kaip kompleksinis konjugatas skaičiai: \ [(\ lambda _ (1,2)) = \ alfa \ pm i \ beta. \] Išsiaiškinkime, kokia forma yra fazių trajektorijos šaltinio vietoje. Sukurkime kompleksinį sprendimą \ ((\ mathbf (X) _1) \ left (t \ right) \) atitinkantį savąją reikšmę \ ((\ lambda _1) = \ alfa + i \ beta: \) \ [((\) mathbf (X ) _1) \ left (t \ right) = (e ^ ((\ lambda _1) t)) (\ mathbf (V) _1)) = ((e ^ (\ left ((\ alfa + i \) beta) \ right) t)) \ left ((\ mathbf (U) + i \ mathbf (W)) \ right),) \] kur \ ((\ mathbf (V) _1) = \ mathbf (U) + i \ mathbf (W) \) yra sudėtingos vertės savasis vektorius, susietas su skaičiumi \ ((\ lambda _1), \) \ (\ mathbf (U) \) ir \ (\ mathbf (W) \) yra tikrasis vektorius funkcijas. Dėl transformacijų gauname \ [((\ mathbf (X) _1) \ left (t \ right) = (e ^ (\ alfa t)) (e ^ (i \ beta t)) \ left (( \ mathbf (U ) + i \ mathbf (W)) \ dešinė)) = ((e ^ (\ alfa t)) \ kairė ((\ cos \ beta t + i \ sin \ beta t) \ dešinė) \ kairė ((\ mathbf (U) + i \ mathbf (W)) \ dešinė)) = ((e ^ (\ alfa t)) \ kairė ((\ mathbf (U) \ cos \ beta t + i \ mathbf (U) ) \ sin \ beta t + i \ mathbf (W) \ cos \ beta t - \ mathbf (W) \ sin \ beta t) \ right)) = ((e ^ (\ alfa t)) \ kairė ((\) mathbf (U) \ cos \ beta t + - \ mathbf (W) \ sin \ beta t) \ right)) + (i (e ^ (\ alfa t)) \ left ((\ mathbf (U) \ sin \ beta t + \ mathbf (W) \ cos \ beta t) \ right).) \] Paskutinėje išraiškoje esančios tikrosios ir menamos dalys sudaro bendrą sistemos sprendimą, kuris atrodo taip: \ [(\ mathbf (X) \ left (t \ right) = ( C_1) \ text (Re) \ left [((\ mathbf (X) _1) \ left (t \ right)) \ right] + (C_2) \ text (Im) \ left [((\ mathbf (X) _1 ) \ left (t \ right)) \ right]) = ((e ^ (\ alfa t)) \ left [((C_1) \ left ((\ mathbf (U) \ cos \ beta t - \ mathbf (W ) \ sin \ beta t) \ right)) \ right.) + (\ left. ((C_2) \ left ((\ mathbf (U) \ sin \ beta t + \ mathbf) (W) \ cos \ beta t) \ right) ) \ dešinė]) = ((e ^ (\ alfa t)) \ kairė [(\ mathbf (U) \ left (((C_1) \ cos \ beta t + (C_2) \ sin \ beta t) \ dešinė) ) \ teisingai. ) + (\ left. (\ mathbf (W) \ left (((C_2) \ cos \ beta t - (C_1) \ sin \ beta t) \ right)) \ right].) \] Pavaizduokite konstantas \ ( (C_1), (C_2) \) forma \ [(C_1) = C \ sin \ delta, \; \; (C_2) = C \ cos \ delta, \], kur \ (\ delta \) yra tam tikra pagalbinė vertė kampu. Tada sprendimas parašomas kaip \ [(\ mathbf (X) \ left (t \ right) = C (e ^ (\ alfa t)) \ left [(\ mathbf (U) \ left ((\ sin \ delta \ cos \ beta t + \ cos \ delta \ sin \ beta t) \ right)) \ right.) + (\ left. (\ mathbf (W) \ left ((\ cos \ delta \ cos \ beta t - \ sin \ delta \ sin \ beta t) \ dešinė)) \ dešinė]) = (C (e ^ (\ alfa t)) \ kairė [(\ mathbf (U) \ sin \ left ((\ beta t + \ delta) \ dešinė )) \ dešinė. + \ kairė. (\ mathbf (W) \ cos \ left ((\ beta t + \ delta) \ right)) \ right].) \] Taigi sprendimas yra \ (\ mathbf ( X) \ left (t \ right) \) išplečiamas remiantis vektoriais \ (\ mathbf (U) \) ir \ (\ mathbf (W): \) \ [\ mathbf (X) \ left ( t \ dešinė) = \ mu \ left (t \ right) \ mathbf (U) + \ eta \ left (t \ right) \ mathbf (W), \] kur plėtimosi koeficientai \ (\ mu \ left (t \) dešinėje), \) \ (\ eta \ left (t \ right) \) apibrėžiami formulėmis: \ [(\ mu \ left (t \ right) = C (e ^ (\ alfa t)) \ sin \ kairėje ((\ beta t + \ delta ) \ dešinėje),) \; \; (\ eta \ left (t \ right) = C (e ^ (\ alfa t)) \ cos \ left ((\ beta t + \ delta) \ right). ) \] Tai rodo, kad fazių trajektorijos yra spiralės. Skirta \ (\ alfa pastovus dėmesys... Atitinkamai, \ (\ alfa> 0 \) turime nepastovus dėmesys .

Spiralių sukimosi kryptį galima nustatyti pagal koeficiento \ ((a_ (21)) \) ženklą pradinėje matricoje \ (A. \) Iš tiesų, apsvarstykite išvestinę \ (\ large \ frac ((dy) )) ((dt)) \ normalsize, \) pavyzdžiui, taške \ (\ kairėje ((1,0) \ dešinėje): \) \ [\ frac ((dy)) ((dt)) \ left ( (1,0) \ dešinė) = (a_ (21)) \ cdot 1 + (a_ (22)) \ cdot 0 = (a_ (21)). \] Teigiamas faktorius \ ((a_ (21))> 0 \) atitinka spiralę prieš laikrodžio rodyklę, kaip parodyta paveikslėlyje \ (8. \) Jei \ ((a_ (21))
Taigi, atsižvelgiant į spiralių sukimosi kryptį, yra \ (4 \) skirtingų fokusavimo tipų. Jie schematiškai pavaizduoti paveiksluose \ (8-11. \)

Jei matricos \ (A \) savosios reikšmės yra įsivaizduojami skaičiai, tada ši pusiausvyra vadinama centras... Matricoje su realiais elementais įsivaizduojamos savosios reikšmės bus sudėtingos konjuguotos. Centro atveju fazių trajektorijos formaliai gaunamos iš spiralinės lygties \ (\ alfa = 0 \) ir yra elipsės, t.y. apibūdinkite periodinį taško judėjimą fazinėje plokštumoje. „Centro“ tipo pusiausvyros padėtys Lyapunov yra stabilios.

Yra dviejų tipų centrai, kurie skiriasi taškų judėjimo kryptimi (paveikslai \ (12, 13 \)). Kaip ir spiralių atveju, judėjimo kryptį galima nustatyti, pavyzdžiui, pagal išvestinės \ (\ big \ frac ((dy)) ((dt)) \ normalsize \) ženklą tam tikru momentu. Jei imsime tašką \ (\ left ((1,0) \ right), \), tada \ [\ frac ((dy)) ((dt)) \ left ((1,0) \ right) = (a_ (21)).\] ty sukimosi kryptis nustatoma pagal koeficiento \ ((a_ (21)) ženklą. \)

Taigi, mes nagrinėjome įvairius pusiausvyros taškų tipus neišsigimusi matrica \ (A \) \ (\ left ((\ det A \ ne 0) \ right). \) Atsižvelgiant į fazių trajektorijų kryptį, atitinkamai rodomi \ (13 \) skirtingų fazių portretai. skaičiai \ (1–13.\)

Dabar pereikime prie bylos išsigimusi matrica \ (A. \)

Degeneruota matrica

Jei matrica yra išsigimusi, tada viena arba abi jos savosios reikšmės yra lygios nuliui. Šiuo atveju galimi šie ypatingi atvejai:

Atvejis \ ((\ lambda _1) \ ne 0, (\ lambda _2) = 0 \).
Čia bendras sprendimas parašytas kaip \ [\ mathbf (X) \ left (t \ right) = (C_1) (e ^ ((\ lambda _1) t)) (\ mathbf (V) _1) + (C_2) ( \ mathbf (V) _2), \] kur \ ((\ mathbf (V) _1) = (\ kairėje (((V_ (11)), V_ (21))) \ dešinėje) ^ T), \) \ ((\ mathbf (V) _2) = (\ kairėje (((V_ (12)), V_ (22))) \ dešinėje) ^ T), \) yra savieji vektoriai, atitinkantys skaičius \ ((\ lambda _1 ) \) ir \ ((\ lambda _2) (šie taškai neturi specialaus pavadinimo). Fazių trajektorijos yra spinduliai, lygiagretūs kitam savajam vektoriui \ ((\ mathbf (V) _1). \) Priklausomai nuo ženklo \ ((\ lambda _1) \), judėjimas ties \ (t \ iki \ infty \) vyksta arba tiesės kryptis \ ((\ mathbf (V) _2) \) (pav. \ (14 \)), arba nuo jos (pav. \ (15 \)). Case \ ((\ lambda _1) = (\ lambda _2) = 0, \ dim \ ker A = 2. \)
Šiuo atveju matricos savosios erdvės matmuo yra \ (2 \), todėl yra du savieji vektoriai \ ((\ mathbf (V) _1) \) ir \ ((\ mathbf (V) _2 \) Tokia situacija galima nulinė matrica \ (A. \) Bendras sprendimas išreiškiamas formule \ [\ mathbf (X) \ left (t \ right) = (C_1) (\ mathbf (V) _1) + (C_2) (\ mathbf (V) _2). \ ] Iš to išplaukia, kad bet kuris plokštumos taškas yra sistemos pusiausvyros padėtis.

Case \ ((\ lambda _1) = (\ lambda _2) = 0, \ dim \ ker A = 1. \)
Šis išsigimusios matricos atvejis skiriasi nuo ankstesnio tuo, kad yra tik \ (1 \) savasis vektorius (Matrica \ (A \) bus ne nulis). Norėdami sukurti pagrindą, kaip antrą tiesiškai nepriklausomą vektorių, galime paimti vektorių \ ((\ mathbf (W) _1), \), prijungtą prie \ ((\ mathbf (V) _1). \) Bendras sistema parašyta kaip \ [\ mathbf (X) \ left (t \ right) = \ left (((C_1) + (C_2) t) \ right) (\ mathbf (V) _1) + (C_2) (\ mathbf (W) _1). \] Čia visi tiesės, einančios per pradžią ir nukreiptos išilgai savąjį vektorių \ ((\ mathbf (V) _1), \) taškai yra nestabilios pusiausvyros padėtys. Fazių trajektorijos yra tiesės, lygiagrečios \ ((\ mathbf (V) _1). \) Judėjimo pagal šias tieses kryptis \ (t \ to \ infty \) priklauso nuo konstantos \ ((C_2): \ ) \ (( C_2) 0 \) - priešinga kryptimi (pav. \ (16 \)).

Prisiminkite tai po to seka matrica vadinamas skaičiumi, lygiu įstrižainių elementų sumai: \ [(A = \ left ((\ begin (masyvas)) (* (20) (c)) ((a_ (11))) & ((a_ (12)) ) \\ ((a_ (21))) & ((a_ (22))) \ pabaiga (masyvas)) \ dešinėje),) \; \; (\ tekstas (tr) \, A = (a_ (11)) + (a_ (22)),) \; \; (\ det A = (a_ (11)) (a_ (22)) - (a_ (12)) (a_ (21)).) \] Iš tiesų, būdinga matricos lygtis turi tokią formą: \ [( \ lambda ^ 2 ) - \ kairė (((a_ (11)) + (a_ (22))) \ dešinė) \ lambda + (a_ (11)) (a_ (22)) - (a_ (12)) ( a_ (21) ) = 0. \] Jį galima parašyti pagal determinantą ir matricos pėdsaką: \ [(\ lambda ^ 2) - \ text (tr) \, A \ cdot \ lambda + \ det A = 0. \] Šios kvadratinės lygties diskriminantas nustatomas pagal ryšį \ Taigi, bifurkacinė kreivė , ribojantis įvairius stabilumo režimus, yra parabolė plokštumoje \ (\ kairėje ((\ tekstas (tr) \, A, \ det A) \ dešinėje) \) (pav. \ (17 \)): \ [\ det A = (\ left ((\ frac (\ text (tr) \, A) (2)) \ right) ^ 2). \] Virš parabolės yra židinio ir centro pusiausvyros taškai. „Centro“ tipo taškai yra teigiamoje pusašėje \ (Oy, \) t.y. pagal sąlygą \ (\ tekstas (tr) \, A = 0. \) Po parabole yra „mazgo“ arba „balno“ tipo taškai. Pačioje parabolėje yra kritinių arba išsigimusių mazgų.

Viršutiniame kairiajame bifurkacijos diagramos kvadrante yra stabilūs judėjimo režimai. Likę trys kvadrantai atitinka nestabilias pusiausvyros padėtis.

Fazinio portreto konstravimo algoritmas

Schematiškai sukonstruoti \ (2 \) eilės linijinės autonominės sistemos su pastoviais koeficientais fazinį portretą \ [(\ mathbf (X ") = A \ mathbf (X),) \; \; (A = \ left () (\ begin (masyvas) (* (20) (c)) ((a_ (11))) & ((a_ (12))) \\ ((a_ (21))) & ((a_ (22)) ) \ pabaiga (masyvas)) \ dešinė),) \; \; (\ mathbf (X) = \ left ((\ pradžia (masyvas)) (* (20) (c)) x \\ y \ pabaiga (masyvas) ) \ right )) \] turite atlikti šiuos veiksmus:

Raskite matricos savąsias reikšmes išspręsdami charakteristikų lygtį \ [(\ lambda ^ 2) - \ left (((a_ (11)) + (a_ (22))) \ dešinėje) \ lambda + (a_ (11) )) (a_ ( 22)) - (a_ (12)) (a_ (21)) = 0. \]

Nustatykite pusiausvyros padėties tipą ir stabilumo pobūdį.

Pastaba: Pusiausvyros padėties tipą galima nustatyti ir remiantis bifurkacijos diagrama (pav. \ (17 \)), žinant matricos pėdsaką ir determinantą: \ [(\ text (tr) \, A = (a_ () 11)) + (a_ ( 22)),) \; \; (\ det A = \ left | (\ begin (masyvas) (* (20) (c)) ((a_ (11))) & ((a_ (12))) \\ ((a_ (21))) & ((a_ (22))) \ pabaiga (masyvas)) \ dešinė |) = ((a_ (11)) (a_ (22)) - (a_ (12)) (a_ (21)).) \]

Raskite lygtį izoklinas: \ [(\ frac ((dx)) ((dt)) = (a_ (11)) x + (a_ (12)) y) \; \; (\ kairėn (\ tekstas (vertikali izoklinija) \ dešinė),) \] \ [(\ frac ((dy)) ((dt)) = (a_ (21)) x + (a_ (22)) y) \ ; \; (\ kairėn (\ tekstas (horizontali izoklinija) \ dešinė).) \]

Jei pusiausvyros padėtis yra mazgas arba, tada reikia apskaičiuoti savuosius vektorius ir nubrėžti jiems lygiagrečias asimptotes, einančias per pradžią.

Nubraižykite fazės portretą.

Parodykite judėjimo kryptį fazių trajektorijomis (tai priklauso nuo pusiausvyros taško stabilumo ar nestabilumo). Kada sutelkti dėmesį turėtų būti nustatyta trajektorijų sukimosi kryptis. Tai galima padaryti apskaičiuojant greičio vektorių \ (\ left ((\ large \ frac ((dx))) ((dt)) \ normalsize, \ large \ frac ((dy)) ((dt)) \ normalsize) \ dešinėje) \) savavališkame taške, pavyzdžiui, taške \ (\ kairėje ((1,0) \ dešinėje). \) Judėjimo kryptis nustatoma panašiai, jei pusiausvyra yra centras .

Visos jėgos, veikiančios kūną bet kurios savavališkos sukimosi ašies atžvilgiu, taip pat yra lygios nuliui.

Pusiausvyros būsenoje kūnas yra ramybės būsenoje (greičio vektorius lygus nuliui) pasirinktoje atskaitos sistemoje arba juda tolygiai tiesia linija, arba sukasi be tangentinio pagreičio.

Kolegialus „YouTube“.

1 / 3

✪ Fizika. Statika: kūno pusiausvyros sąlygos. Foksfordo internetinis mokymosi centras

✪ KŪNO BALANSO BŪKLĖ 10 klasė Romanov

✪ 70 pamoka. Pusiausvyros rūšys. Kūno pusiausvyros sąlyga, kai nėra sukimosi.

Subtitrai

Apibrėžimas per sistemos energiją

Kadangi energiją ir jėgas sieja esminiai ryšiai, šis apibrėžimas yra lygiavertis pirmajam. Tačiau energijos apibrėžimas gali būti išplėstas, siekiant gauti informacijos apie pusiausvyros padėties stabilumą.

Balanso tipai

Pateiksime vieno laisvės laipsnio sistemos pavyzdį. Šiuo atveju pakankama pusiausvyros padėties sąlyga bus vietinio ekstremumo buvimas tiriamame taške. Kaip žinoma, diferencijuojamos funkcijos lokalaus ekstremumo sąlyga yra jo pirmosios išvestinės lygybė nuliui. Norint nustatyti, kada šis taškas yra minimumas ar maksimalus, būtina išanalizuoti antrąją jo išvestinę. Pusiausvyros padėties stabilumas apibūdinamas šiomis galimybėmis:

• nestabili pusiausvyra;
• stabili pusiausvyra;
• abejingas balansas.

Tuo atveju, kai antroji išvestinė yra neigiama, sistemos potenciali energija yra vietinio maksimumo būsenoje. Tai reiškia, kad pusiausvyros padėtis nestabilus... Jei sistema pasislenka nedideliu atstumu, ji ir toliau judės dėl sistemą veikiančių jėgų. Tai yra, kai kūnas yra nesubalansuotas, jis negrįžta į pradinę padėtį.

Stabilus balansas

Antroji išvestinė> 0: potenciali energija vietiniame minimume, pusiausvyros padėtyje stabiliai(žr. Lagrange'o teoremą apie pusiausvyros stabilumą). Jei sistema bus perkelta nedideliu atstumu, ji grįš į pusiausvyros būseną. Pusiausvyra yra stabili, jei kūno svorio centras yra žemiausioje padėtyje, palyginti su visomis įmanomomis gretimomis padėtimis. Esant tokiai pusiausvyrai, nesubalansuotas kūnas grįžta į pradinę vietą.

Abejingas balansas

Antroji išvestinė = 0: šioje srityje energija nekinta, o pusiausvyra yra abejingas... Jei sistema perkeliama nedideliu atstumu, ji liks naujoje padėtyje. Jei nukreipsite ar judinsite kūną, jis išliks pusiausvyroje.

• Tvarumo rūšys

Mechanikos skyrius, kuriame tiriamos kūnų pusiausvyros sąlygos, vadinama statika. Iš antrojo Niutono dėsnio išplaukia, kad jei visų kūną veikiančių jėgų vektorinė suma lygi nuliui, tai kūnas išlaiko savo greitį nepakitęs. Visų pirma, jei pradinis greitis yra lygus nuliui, kūnas lieka ramybės būsenoje. Kūno greičio nekintamumo sąlyga gali būti parašyta tokia forma:

arba projekcijose ant koordinačių ašių:

.

Akivaizdu, kad kūnas gali būti ramybėje tik vienos konkrečios koordinačių sistemos atžvilgiu. Statikoje kūnų pusiausvyros sąlygos tiriamos būtent tokioje sistemoje. Būtiną pusiausvyros sąlygą galima gauti ir įvertinus materialių taškų sistemos masės centro judėjimą. Vidinės jėgos neturi įtakos masės centro judėjimui. Masės centro pagreitį lemia išorinių jėgų vektorinė suma. Bet jei ši suma lygi nuliui, tada masės centro pagreitis, taigi ir masės centro greitis. Jei pradiniu momentu, tai kūno masės centras lieka ramybės būsenoje.

Taigi pirmoji kūnų pusiausvyros sąlyga formuluojama taip: kūno greitis nekinta, jei kiekviename taške veikiančių išorinių jėgų suma lygi nuliui. Gauta masės centro poilsio sąlyga yra būtina (bet nepakankama) standaus kūno pusiausvyros sąlyga.

Pavyzdys

Gali būti, kad visos kūną veikiančios jėgos yra subalansuotos, tačiau kūnas įsibėgės. Pavyzdžiui, jei rato masės centrui pritaikysite dvi lygias ir priešingai nukreiptas jėgas (jos vadinamos jėgų pora), tada ratas bus ramybėje, jei jo pradinis greitis bus lygus nuliui. Jei šios jėgos veikia skirtinguose taškuose, tada ratas pradės suktis (4.5 pav.). Taip yra todėl, kad kūnas yra pusiausvyroje, kai visų jėgų suma kiekviename kūno taške yra lygi nuliui. Bet jei išorinių jėgų suma lygi nuliui, o visų jėgų, veikiančių kiekvieną kūno elementą, suma nėra lygi nuliui, tada kūnas nebus pusiausvyroje, galbūt (kaip nagrinėjamame pavyzdyje) sukamasis judėjimas. . Taigi, jei kūnas gali suktis apie kokią nors ašį, tai jo pusiausvyrai neužtenka, kad visų jėgų rezultatas būtų lygus nuliui.

Norėdami gauti antrąją pusiausvyros sąlygą, naudojame sukimosi judėjimo lygtį, kur yra išorinių jėgų momentų suma sukimosi ašies atžvilgiu. Kai, tada b = 0, tai reiškia, kad kūno kampinis greitis nekinta. Jei pradiniu momentu w = 0, tai kūnas ateityje nesisuks. Vadinasi, antroji mechaninės pusiausvyros sąlyga yra reikalavimas, kad visų išorinių jėgų momentų algebrinė suma sukimosi ašies atžvilgiu būtų lygi nuliui:

Bendruoju savavališko skaičiaus išorinių jėgų atveju pusiausvyros sąlygos gali būti pavaizduotos taip:

,

.

Šios sąlygos yra būtinos ir pakankamos.

Pavyzdys

Pusiausvyra yra stabili, nestabili ir abejinga. Pusiausvyra yra stabili, jei, esant nedideliems kūno poslinkiams iš pusiausvyros padėties, jį veikiančios jėgos ir jėgų momentai yra linkę grąžinti kūną į pusiausvyros padėtį (4.6a pav.). Pusiausvyra yra nestabili, jei veikiančios jėgos perkelia kūną toliau nuo pusiausvyros padėties (4.6b pav.). Jei prie nedidelių kūno poslinkių veikiančios jėgos vis dar yra subalansuotos, tai pusiausvyra yra abejinga (4.6c pav.). Rutulys, gulintis ant lygaus horizontalaus paviršiaus, yra abejingos pusiausvyros būsenoje. Rutulio formos iškyšos viršuje esantis rutulys yra nestabilios pusiausvyros pavyzdys. Galiausiai rutulys, esantis sferinės įdubos apačioje, yra stabilios pusiausvyros būsenoje.

Įdomus kūno pusiausvyros ant atramos pavyzdys – Italijos mieste Pizoje esantis pasviręs bokštas, kurį, pasak legendos, naudojo Galilėjus, tyrinėdamas laisvo kūnų kritimo dėsnius. Bokštas yra cilindro formos, kurio spindulys 7 m. Bokšto viršus nuo vertikalės nukrypęs 4,5 m.

Pizos bokštas garsėja tuo, kad yra stipriai pasviręs. Bokštas „krenta“. Bokšto aukštis nuo žemės žemiausioje pusėje yra 55,86 metro, o aukščiausioje – 56,70 metro. Apskaičiuota, kad jo svoris yra 14 700 tonų. Dabartinis posvyris yra apie 5,5 °. Vertikali linija, nubrėžta per bokšto svorio centrą, kerta pagrindą maždaug 2,3 m atstumu nuo jo centro. Taigi bokštas yra pusiausvyros būsenoje. Pusiausvyra bus sutrikdyta ir bokštas kris, kai jo viršūnės nuokrypis nuo vertikalės pasieks 14 m. Matyt, tai įvyks labai greitai.

Buvo manoma, kad bokšto kreivumą iš pradžių sugalvojo architektai – norėdami parodyti savo nepaprastus įgūdžius. Tačiau daug labiau tikėtina kas kita: architektai žinojo, kad stato ant itin nepatikimų pamatų, todėl į konstrukciją įtraukė lengvo nukrypimo galimybę.

Iškilus realiai bokšto griūties grėsmei, jį perėmė šiuolaikiniai inžinieriai. Ji buvo sutraukta į plieninį 18 trosų korsetą, švino blokeliais pasvertas pamatas ir lygiagrečiai sutvirtintas gruntas pumpuojant po žeme betoną. Visų šių priemonių pagalba pavyko puse laipsnio sumažinti krintančio bokšto pasvirimo kampą. Specialistai teigia, kad dabar jis galės stovėti dar mažiausiai 300 metų. Fizikos požiūriu taikytos priemonės reiškia, kad bokšto pusiausvyros sąlygos tapo patikimesnės.

Kūnui su fiksuota sukimosi ašimi galimi visi trys pusiausvyros tipai. Abejinga pusiausvyra susidaro, kai sukimosi ašis eina per masės centrą. Esant stabiliai ir nestabiliai pusiausvyrai, masės centras yra vertikalioje linijoje, einančioje per sukimosi ašį. Tokiu atveju, jei masės centras yra žemiau sukimosi ašies, pusiausvyros būsena yra stabili (4.7a pav.). Jeigu masės centras yra virš ašies, pusiausvyros būsena nestabili (4.7b pav.).

Ypatingas pusiausvyros atvejis yra kūno pusiausvyra ant atramos. Šiuo atveju elastinė atramos jėga taikoma ne vienam taškui, o paskirstoma per kūno pagrindą. Kūnas yra pusiausvyroje, jei vertikali linija, nubrėžta per kūno masės centrą, eina per atramos sritį, tai yra, kontūro, kurį sudaro linijos, jungiančios atramos taškus, viduje. Jei ši linija nekerta atramos srities, tada kūnas apvirsta.

Balanso tipai

Norint įvertinti kūno elgesį realiomis sąlygomis, neužtenka žinoti, kad jis yra pusiausvyroje. Taip pat turime įvertinti šią pusiausvyrą. Atskirkite stabilią, nestabilią ir indiferentišką pusiausvyrą.

Kūno pusiausvyra vadinama tvarus jeigu nuo jo nukrypstant atsiranda jėgos, grąžinančios kūną į pusiausvyros padėtį (1 pav., 2 padėtis). Esant stabiliai pusiausvyrai, kūno svorio centras užima žemiausią iš visų artimų padėčių. Stabilios pusiausvyros padėtis yra susijusi su minimaliu potencialios energijos kiekiu visų artimų gretimų kūno padėčių atžvilgiu.

Kūno pusiausvyra vadinama nestabilus jei esant menkiausiam nukrypimui nuo jos, kūną veikiančios rezultatinės jėgos sukelia tolesnį kūno nukrypimą nuo pusiausvyros padėties (1 pav., 1 padėtis). Nestabilios pusiausvyros padėtyje svorio centro aukštis yra didžiausias, o potenciali energija yra didžiausia kitų artimų kūno padėčių atžvilgiu.

Pusiausvyra, kai kūno poslinkis bet kuria kryptimi nesukelia jį veikiančių jėgų pasikeitimo ir išlaikoma kūno pusiausvyra, vadinama abejingas(1 pav. 3 padėtis).

Indiferentiška pusiausvyra siejama su pastovia visų artimų būsenų potencialine energija, o svorio centro aukštis visose pakankamai artimose padėtyse yra vienodas.

Kūnas, turintis sukimosi ašį (pavyzdžiui, vienoda liniuotė, galinti suktis aplink ašį, einanti per tašką O, parodytą 2 paveiksle), yra pusiausvyroje, jei vertikali linija, einanti per kūno svorio centrą, eina per sukimosi ašis. Be to, jei svorio centras C yra aukščiau nei sukimosi ašis (2.1 pav.), tai esant bet kokiam nukrypimui nuo pusiausvyros padėties, potencinė energija mažėja ir sunkio momentas O ašies atžvilgiu nukreipia kūną toliau nuo pusiausvyros padėties. pusiausvyros padėtis. Tai nestabili pusiausvyros padėtis. Jei svorio centras yra žemiau sukimosi ašies (2.2 pav.), tai pusiausvyra yra stabili. Jei svorio centras ir sukimosi ašis sutampa (2, 3 pav.), tai pusiausvyros padėtis yra abejinga.

pusiausvyros fizikos poslinkis

Kūnas, turintis atramos plotą, yra pusiausvyroje, jei vertikali linija, einanti per kūno svorio centrą, neviršija šio kūno atramos ploto, t.y. už kontūro, kurį sudaro kūno sąlyčio su atrama taškai, ribų, pusiausvyra šiuo atveju priklauso ne tik nuo atstumo tarp svorio centro ir atramos (ty nuo jo potencialios energijos gravitaciniame lauke). Žemė), bet ir dėl šio kūno atramos srities vietos ir dydžio.

2 paveiksle parodytas cilindro formos korpusas. Jei pakreipsite jį nedideliu kampu, tada jis grįš į pradinę padėtį 1 arba 2. Jei pakreipsite jį kampu (3 padėtis), korpusas apvirs. Tam tikrai masei ir atramos sričiai kūno stabilumas yra didesnis, tuo žemesnis yra jo svorio centras, t.y. kuo mažesnis kampas tarp tiesės, jungiančios kūno svorio centrą, ir kraštinio atramos srities sąlyčio su horizontalia plokštuma taško.