У задачі B9 дається графік функції або похідної, яким потрібно визначити одну з наступних величин:

1. Значення похідної в деякій точці x 0
2. Точки максимуму або мінімуму (точки екстремуму),
3. Інтервали зростання та зменшення функції (інтервали монотонності).

Функції та похідні, представлені у цій задачі, завжди безперервні, що значно спрощує рішення. Незважаючи на те, що завдання відноситься до розділу математичного аналізу, вона цілком під силу навіть найслабшим учням, оскільки ніяких глибоких теоретичних знань тут не потрібно.

Для знаходження значення похідної, точок екстремуму та інтервалів монотонності існують прості та універсальні алгоритми – всі вони будуть розглянуті нижче.

Уважно читайте умову завдання B9, щоб не допускати дурних помилок: іноді трапляються досить об'ємні тексти, але важливих умов, які впливають на перебіг рішення, там небагато.

Обчислення значення похідної. Метод двох точок

Якщо в задачі дано графік функції f(x), що стосується цього графіка в деякій точці x 0 і потрібно знайти значення похідної в цій точці, застосовується наступний алгоритм:

1. Знайти на графіку дотичної дві «адекватні» точки: їх координати мають бути цілими. Позначимо ці точки A (x 1 ; y 1) і B (x 2 ; y 2). Правильно виписуйте координати - це ключовий момент рішення, і будь-яка помилка тут призводить до неправильної відповіді.
2. Знаючи координати, легко обчислити збільшення аргументу Δx = x 2 − x 1 і збільшення функції Δy = y 2 − y 1 .
3. Зрештою, знаходимо значення похідної D = Δy/Δx. Іншими словами, треба розділити збільшення функції на збільшення аргументу — і це буде відповідь.

Ще раз наголосимо: точки A і B треба шукати саме на дотичній, а не на графіку функції f(x), як це часто трапляється. Стосовно обов'язково міститиме хоча б дві такі точки — інакше завдання складено некоректно.

Розглянемо точки A (−3; 2) та B (−1; 6) і знайдемо збільшення:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Знайдемо значення похідної: D = y/Δx = 4/2 = 2.

Завдання. На малюнку зображено графік функції y = f(x) та дотична до нього в точці з абсцисою x0. Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці x 0 .

Розглянемо точки A (0; 3) та B (3; 0), знайдемо збільшення:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Тепер знаходимо значення похідної: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Завдання. На малюнку зображено графік функції y = f(x) та дотична до нього в точці з абсцисою x0. Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці x 0 .

Розглянемо точки A (0; 2) і B (5; 2) і знайдемо збільшення:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Залишилося знайти значення похідної: D = y/Δx = 0/5 = 0.

З останнього прикладу можна сформулювати правило: якщо дотична паралельна до осі OX, похідна функції в точці дотику дорівнює нулю. У цьому випадку навіть не треба нічого рахувати — достатньо поглянути на графік.

Обчислення точок максимуму та мінімуму

Іноді замість графіка функції завдання B9 дається графік похідної і потрібно знайти точку максимуму чи мінімуму функції. При такому розкладі метод двох точок марний, але існує інший, ще більш простий алгоритм. Спочатку визначимося з термінологією:

1. Точка x 0 називається точкою максимуму функції f(x), якщо в околиці цієї точки виконується нерівність: f(x 0) ≥ f(x).
2. Точка x 0 називається точкою мінімуму функції f(x), якщо в околиці цієї точки виконується нерівність: f(x 0) ≤ f(x).

Для того щоб знайти точки максимуму та мінімуму за графіком похідної, достатньо виконати такі кроки:

1. Перекреслити графік похідної, забравши всю зайву інформацію. Як показує практика, зайві дані лише заважають рішенню. Тому наголошуємо на координатній осі нулі похідної — і все.
2. З'ясувати похідні знаки на проміжках між нулями. Якщо для деякої точки x 0 відомо, що f'(x 0) ≠ 0, то можливі лише два варіанти: f'(x 0) ≥ 0 або f'(x 0) ≤ 0. Знак похідної легко визначити за вихідним кресленням: якщо графік похідної лежить вище за осю OX, значить f'(x) ≥ 0. І навпаки, якщо графік похідної проходить під віссю OX, то f'(x) ≤ 0.
3. Знову перевіряємо нулі та знаки похідної. Там, де знак змінюється з мінусу на плюс, точка мінімуму. І навпаки, якщо знак похідної змінюється із плюсу на мінус, це точка максимуму. Відлік завжди ведеться зліва направо.

Ця схема працює тільки для безперервних функцій — інших задач B9 не зустрічається.

Завдання. На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної на відрізку [-5; 5]. Знайдіть точку мінімуму функції f(x) у цьому відрізку.

Позбавимося зайвої інформації - залишимо тільки межі [-5; 5] і нулі похідної x = −3 та x = 2,5. Також відзначимо знаки:

Очевидно, у точці x = −3 знак похідної змінюється з мінусу на плюс. Це і є точка мінімуму.

Завдання. На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної на відрізку [−3; 7]. Знайдіть точку максимуму функції f(x) у цьому відрізку.

Перекреслимо графік, залишивши на координатній осі лише межі [−3; 7] і нулі похідної x = −1,7 та x = 5. Зазначимо на отриманому графіку знаки похідної. Маємо:

Вочевидь, у точці x = 5 знак похідної змінюється з плюсу мінус — це точка максимуму.

Завдання. На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної на відрізку [-6; 4]. Знайдіть кількість точок максимуму функції f(x), що належать відрізку [−4; 3].

З умови завдання слід, що досить розглянути лише частину графіка, обмежену відрізком [-4; 3]. Тому будуємо новий графік, у якому відзначаємо лише межі [−4; 3] та нулі похідної всередині нього. А саме точки x = −3,5 і x = 2. Отримуємо:

На цьому графіку є лише одна точка максимуму x=2. Саме в ній знак похідної змінюється з плюсу на мінус.

Невелике зауваження щодо точок з нецілочисельними координатами. Наприклад, в останній задачі було розглянуто точку x = −3,5, але з тим самим успіхом можна взяти x = −3,4. Якщо завдання складено коректно, такі зміни не повинні впливати на відповідь, оскільки точки без певного місця проживання не беруть безпосередньої участі у вирішенні завдання. Зрозуміло, з цілими точками такий фокус не пройде.

Знаходження інтервалів зростання та зменшення функції

У такій задачі, подібно до точок максимуму і мінімуму, пропонується за графіком похідної відшукати області, в яких сама функція зростає або зменшується. Для початку визначимо, що таке зростання та спадання:

1. Функція f(x) називається зростаючою на відрізку якщо для будь-яких двох точок x 1 і x 2 з цього відрізка правильне твердження: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Іншими словами, що більше значення аргументу, то більше значення функції.
2. Функція f(x) називається спадною на відрізку якщо для будь-яких двох точок x 1 і x 2 з цього відрізка правильне твердження: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Тобто. більшого значення аргументу відповідає менше значення функції.

Сформулюємо достатні умови зростання та спадання:

1. Щоб безперервна функція f(x) зростала на відрізку , достатньо, щоб її похідна всередині відрізка була позитивна, тобто. f'(x) ≥ 0.
2. Щоб безперервна функція f(x) убувала на відрізку , достатньо, щоб її похідна всередині відрізка була негативна, тобто. f'(x) ≤ 0.

Приймемо ці твердження без доказів. Таким чином, отримуємо схему для знаходження інтервалів зростання та спадання, яка багато в чому схожа на алгоритм обчислення точок екстремуму:

1. Забрати всю зайву інформацію. На вихідному графіку похідної нас цікавлять насамперед нулі функції, тому залишимо лише їх.
2. Позначити похідні знаки на інтервалах між нулями. Там, де f'(x) ≥ 0, функція зростає, а де f'(x) ≤ 0 – зменшується. Якщо завдання встановлено обмеження на змінну x, додатково позначаємо їх у новому графіці.
3. Тепер, коли нам відома поведінка функції та обмеження, залишається обчислити необхідну в завданні величину.

Завдання. На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної на відрізку [−3; 7,5]. Знайдіть проміжки зменшення функції f(x). У відповіді вкажіть суму цілих чисел, що входять до цих проміжків.

Як завжди, перекреслимо графік та відзначимо межі [−3; 7,5], а також нулі похідної x = −1,5 та x = 5,3. Потім відзначимо похідні знаки. Маємо:

Оскільки на інтервалі (− 1,5) похідна негативна, це і є інтервал зменшення функції. Залишилося підсумувати всі цілі числа, що знаходяться всередині цього інтервалу:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Завдання. На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної на відрізку [−10; 4]. Знайдіть проміжки зростання функції f(x). У відповіді вкажіть довжину найбільшого їх.

Позбавимося зайвої інформації. Залишимо лише межі [−10; 4] і нулі похідної, яких цього разу виявилося чотири: x = −8, x = −6, x = −3 та x = 2. Зазначимо знаки похідної та отримаємо наступну картинку:

Нас цікавлять періоди зростання функції, тобто. такі, де f'(x) ≥ 0. На графіку таких проміжків два: (−8; −6) та (−3; 2). Обчислимо їх довжини:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Оскільки потрібно знайти довжину найбільшого інтервалу, у відповідь записуємо значення l 2 = 5.

Калькулятор обчислює похідні всіх функцій, наводячи докладне рішення. Змінна диференціювання визначається автоматично.

Похідна функції- одне з найважливіших понять у математичному аналізі. До появи похідної призвели такі завдання, як, наприклад, обчислення миттєвої швидкості точки в момент часу, якщо відомий шлях залежно від часу, задача про знаходження дотичної до функції в точці.

Найчастіше похідна функції визначається як межа відношення збільшення функції до збільшення аргументу, якщо він існує.

Визначення.Нехай функція визначена в околицях точки . Тоді похідної функції в точці називається межа, якщо вона існує

Як обчислити похідну функцію?

Для того, щоб навчитися диференціювати функції, потрібно вивчити та зрозуміти правила диференціюваннята навчитися користуватися таблицею похідних.

Правила диференціювання

Нехай і — довільні функції, що диференціюються від речовинної змінної, — деяка речовинна постійна. Тоді

- правило диференціювання добутку функцій

- правило диференціювання приватних функцій

0" height="33" width="370" style="vertical-align: -12px;"> - Диференціювання функції зі змінним показником ступеня

- правило диференціювання складної функції

- правило диференціювання статечної функції

Похідна функції онлайн

Наш калькулятор швидко та точно обчислить похідну будь-якої функції онлайн. Програма не припуститься помилок при обчисленнях похідної і допоможе уникнути довгих і нудних розрахунків. Онлайн калькулятор буде корисним і в тому випадку, коли є необхідність перевірити на правильність своє рішення, і якщо воно неправильне, швидко знайти помилку.

Для геометричний зміст написано багато теорії. Не вдаватимуся до висновку збільшення функції, нагадаю основне для виконання завдань:

Похідна у точці x дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції y = f(x) у цій точці, тобто це тангенс кута нахилу до осі Х.

Візьмемо одразу завдання з ЄДІ та почнемо в ньому розбиратися:

Завдання №1. На малюнку зображенографік функції y = f(x) і дотична щодо нього у точці з абсцисою x0. Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці x0.
Хто дуже поспішає і не хоче розбиратися в поясненнях:будуйте до будь-якого такого трикутника (як показано нижче) і діліть стоячу сторону (вертикальну) на лежачу (горизонтальну) і буде вам щастя, якщо про знак не забудете (якщо пряма убуває (→↓), то відповідь має бути з мінусом, якщо пряма зростає(→), то відповідь має бути позитивною!)

Знайти потрібно кут між дотичною та віссю Х, назвемо його α: проведемо паралельну осі Х пряму в будь-якому місці через дотичну до графіка, отримаємо той самий кут.

Краще брати точку х0, т.к. знадобиться велика лупа визначення точних координат.

Взявши будь-який прямокутний трикутник (на малюнку запропоновано 3 варіанти), знайдемо tgα (кути, які рівні, як відповідні), тобто. отримаємо похідну функції f(x) у точці x0. Чому так?

Якщо ми проведемо дотичні в інших точках х2, х1 і т.д. дотичні будуть інші.

Повернемося до 7 класу, щоб збудувати пряму!

Рівняння прямої визначається рівнянням y = kx + b , де

k - нахил щодо осі Х.

b - відстань між точкою перетину з віссю Y та початком координат.

Похідна прямий, завжди та сама: y" = k.

У якій би точці на прямій ми не взяли похідну, вона буде незмінною.

Тому залишилося тільки знайти tgα (як було сказано вище: ділимо стоячу сторону на лежачу). Ділимо протилежний катет на прилеглий, отримуємо, що k = 0,5. Однак, якщо графік зменшується, коефіцієнт негативний: k = −0,5.

Раджу себе перевіряти другим способом:
За двома точками можна задати пряму. Знайдемо координати двох будь-яких точок. Наприклад, (-2;-2) та (2;-4):

Підставимо в рівняння y = kx + b замість y і координати точок:

−2 = −2k + b

Розв'язавши цю систему, отримаємо b = −3, k = −0,5

Другий спосіб довше, але в ньому ви не забудете про знак.

Відповідь: − 0,5

Завдання №2. На малюнку зображено графік похідноїфункції f(x). На осі абсцис відзначено вісім точок: x1, x2, x3, ..., x8. Скільки з цих точок лежить на проміжках зростання функції f(x)?

Якщо графік функції зменшується - похідна негативна (вірно і навпаки).

Якщо графік функції зростає – похідна позитивна (вірно і навпаки).

Ці дві фрази допоможуть вам вирішити більшу частину завдань.

Уважно дивіться, малюнок похідної вам дано або функції, а далі вибирайте одну з двох фраз.

Збудуємо схематично графік функції. Т.к. нам дано графік похідної, то там, де вона негативна, графік функції зменшується, де позитивна - зростає!

Виходить, що три точки лежать на ділянках зростання: x4; x5; x6.

Відповідь: 3

Завдання №3. Функцію f(x) визначено на проміжку (-6; 4). На малюнку зображено графік її похідної. Знайдіть абсцис точки, в якій функція приймає найбільше значення.

Раджу завжди будувати, як іде графік функції, такими стрілочками або схематично зі знаками (як №4 і №5):

Очевидно, якщо графік зростає до –2, то максимальна точка і є –2.

Відповідь: −2

Завдання №4. На малюнку зображено графік функції f(x) та дванадцять точок на осі абсцис: x1, x2, ..., x12. У скільки з цих точок похідна функції негативна?

Завдання зворотне, дано графік функції, потрібно схематично побудувати, як виглядатиме графік похідної функції, і порахувати, скільки точок лежатиме в негативному діапазоні.

Позитивні: x1, x6, x7, x12.

Негативні: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.

Відповідь: 7

Ще один вид завдань, коли питається про якісь страшні "екстремуми"? Що це таке вам знайти не складе труднощів, я ж поясню для графіків.

Завдання №5. На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної на інтервалі (-16; 6). Знайдіть кількість точок екстремуму функції f(x) на відрізку [-11; 5].

Зазначимо проміжок від -11 до 5!

Обернемо свої світлі очі на табличку: дано графік похідної функції => тоді екстремуми це точки перетину з віссю X.

Відповідь: 3

Завдання №6. На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної на інтервалі (-13; 9). Знайдіть кількість точок максимуму функції f(x) на відрізку [-12; 5].

Зазначимо проміжок від -12 до 5!

Можна одним оком глянути в табличку, точка максимуму - це екстремум, такий, що до нього похідна позитивна (функція зростає), а після нього похідна негативна (функція зменшується). Такі точки обведені у кружальце.

Стрілочками показано, як поводиться графік функції

Відповідь: 3

Завдання №7. На малюнку зображено графік функції f(x), визначеної на інтервалі (-7; 5). Знайдіть кількість точок, у яких похідна функції f(x) дорівнює 0.

Можна подивитися на наведену вище табличку (похідна дорівнює нулю, значить це точки екстремуму). А в даному завданні дано графік функції, отже потрібно знайти кількість точок перегину!

А можна, як завжди: будуємо схематичний графік похідної.

Похідна дорівнює нулю, коли графік функцій змінює свій напрямок (із зростання на спадання і навпаки)

Відповідь: 8

Завдання №8. На малюнку зображено графік похідноїфункції f(x), визначеної на інтервалі (-2; 10). Знайдіть проміжки зростання функції f(x). У відповіді вкажіть суму цілих точок, що входять до цих проміжків.

Побудуємо схематично графік функції:

Там, де він зростає, отримуємо 4 цілі точки: 4+5+6+7=22.

Відповідь: 22

Завдання №9. На малюнку зображено графік похідноїфункції f(x), визначеної на інтервалі (-6; 6). Знайдіть кількість точок f(x), у яких дотична до графіка функції паралельна до прямої y = 2x + 13 або збігається з нею.

Нам дано графік похідної! Значить, і нашу дотичну треба перевести у похідну.

Похідна дотична: y" = 2.

А тепер збудуємо обидві похідні:

Дотичні перетинаються у трьох точках, отже, наша відповідь 3.

Відповідь: 3

Завдання №10. На малюнку зображено графік функції f(x), і позначено точки -2, 1, 2, 3. У якій із цих точок значення похідної найменше? У відповіді вкажіть цю точку.

Завдання чимось схоже на перше: щоб знайти значення похідної потрібно побудувати дотичну до цього графіку в точці і знайти коефіцієнт k.

Якщо пряма зменшується, k< 0.

Якщо пряма збільшується, k > 0.

Подумаємо, як значення коефіцієнта позначиться на нахилі прямої:

При k = 1 або k = − 1 графік буде посередині між осями Х та У.

Що ближче пряма до осі Х, то ближче коефіцієнт k нулю.

Що ближче пряма до осі Y, то ближче коефіцієнт k до нескінченності.

У точці -2 та 1 k<0, однако в точке 1 прямая убывает "быстрее" больше похоже на ось Y =>саме там і буде найменше значення похідної

Відповідь: 1

Завдання №11. Пряма є дотичною y = 3x + 9 до графіка функції y = x³ + x² + 2x + 8 . Знайдіть абсцис точки торкання.

Пряма буде дотичною до графіка, коли графіки мають загальну точку, як і їх похідні. Прирівняємо рівняння графіків та їх похідні:

Розв'язавши друге рівняння, отримуємо 2 точки. Щоб перевірити, яка з них підходить, підставляємо у перше рівняння кожен із іксів. Підійде лише один.

Кубічне рівняння вирішувати не хочеться, а квадратне за милу душу.

Ось тільки, що записувати у відповідь, якщо вийде дві "нормальні" відповіді?

При підстановці ікса (х) у початкові графіки y = 3x + 9 і y = x³ + x² + 2x + 8 повинен вийти один і той же Y

y= 1³+1²+2×1+8=12

Правильно! Значить x = 1 і буде відповіддю

Завдання №12. Пряма y = − 5x − 6 є дотичною до графіка функції ax² + 5x − 5 . Знайдіть a.

Аналогічно прирівняємо функції та їх виробники:

Вирішимо цю систему щодо змінних a і x:

Відповідь: 25

Завдання з похідними вважається одним із найскладніших у першій частині ЄДІ, однак, при невеликій частині уважності та розуміння питання у вас все вийде, і ви піднімете відсоток виконання цього завдання!

Приклад 1

Довідка: Наступні способи позначення функції еквівалентні: У деяких завданнях буває зручно позначити функцію "ігреком", а в деяких через "еф від ікс".

Спочатку знаходимо похідну:

Приклад 2

Обчислити похідну функції у точці

, , повне дослідження функціїта ін.

Приклад 3

Обчислити похідну функції у точці . Спочатку знайдемо похідну:

Ну ось, зовсім інша річ. Обчислимо значення похідної в точці:

Якщо Вам не зрозуміло, як знайдена похідна, поверніться до перших двох уроків теми. Якщо виникли труднощі (нерозуміння) з арктангенсом та його значеннями, обов'язково вивчіть методичний матеріал Графіки та властивості елементарних функцій- Останній параграф. Бо арктангенсів на студентське століття ще вистачить.

Приклад 4

Обчислити похідну функції у точці .

Рівняння щодо графіку функції

Щоб закріпити попередній параграф, розглянемо задачу знаходження дотичної до графіку функціїу цій точці. Це завдання зустрічалося нам у школі, і воно зустрічається в курсі вищої математики.

Розглянемо "демонстраційний" найпростіший приклад.

Скласти рівняння дотичної до графіка функції у точці з абсцисою. Я відразу наведу готове графічне рішення завдання (на практиці цього робити здебільшого не треба):

Суворе визначення дотичної дається за допомогою визначення похідної функціїАле поки ми освоїмо технічну частину питання. Напевно, практично всім інтуїтивно зрозуміло, що таке дотична. Якщо пояснювати «на пальцях», то щодо графіку функції – це пряма, Що стосується графіка функції в єдиноюточці. При цьому всі прилеглі точки прямої розташовані максимально близько до графіка функції.

Стосовно нашої нагоди: при дотичній (стандартне позначення) стосується графіка функції в єдиній точці .

І наше завдання полягає в тому, щоб знайти рівняння прямої.

Похідна функції у точці

Як знайти похідну функцію в точці? З формулювання випливають два очевидні пункти цього завдання:

1) Необхідно знайти похідну.

2) Необхідно обчислити значення похідної у заданій точці.

Приклад 1

Обчислити похідну функції у точці

Довідка: Наступні способи позначення функції еквівалентні:


У деяких завданнях буває зручно позначити функцію "ігреком", а в деяких через "еф від ікс".

Спочатку знаходимо похідну:

Сподіваюся, багато хто вже пристосувався знаходити такі похідні усно.

На другому кроці обчислимо значення похідної в точці:

Невеликий приклад розминки для самостійного вирішення:

Приклад 2

Обчислити похідну функції у точці

Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Необхідність знаходити похідну в точці виникає у таких завданнях: побудова дотичної до графіку функції (наступний параграф), дослідження функції на екстремум , дослідження функції на перегин графіка , повне дослідження функції та ін.

Але завдання, що розглядається, зустрічається в контрольних роботах і саме по собі. І, зазвичай, у разі функцію дають досить складну. У зв'язку з цим розглянемо ще два приклади.

Приклад 3

Обчислити похідну функції у точці.
Спочатку знайдемо похідну:

Похідна, в принципі, знайдена, і можна підставляти необхідне значення. Але щось робити це не дуже хочеться. Вираз дуже довгий, та й значення «ікс» у нас дрібне. Тому намагаємося максимально спростити нашу похідну. В даному випадку спробуємо привести до спільного знаменника три останні складові: у точці.

Це приклад самостійного рішення.

Як визначити значення похідної функції F(x) у точці Хо? Як загалом це вирішувати?

Якщо формула задана, знайти похідну і замість Х підставити Х-нульовое. Порахувати
Якщо йдеться про б-8 ЄДІ, графік, то треба знайти тангенс кута (гострий або тупий), який утворює дотична з віссю Х (за допомогою уявної побудови прямокутного трикутника та визначення тангенсу кута)

Тимур адільходжаєв

По-перше, треба визначитися зі знаком. Якщо точка х0 знаходиться в нижній частині координатної площини, знак у відповіді буде мінус, а якщо вище, то +.
По-друге, треба знати, що таке тангес у прямокутному прямокутнику. А це співвідношення протилежної сторони (катета) до прилеглої сторони (теж катета). На картині зазвичай є кілька темних позначок. З цих позначок складаєш прямокутний трикутник і знаходиш тангес.

Як знайти значення похідної функції f x у точці x0?

У загальному випадку, щоб знайти значення похідної будь-якої функції по певній змінній в будь-якій точці, потрібно продиференціювати задану функцію по цій змінній. У разі змінної Х. У отримане вираз замість Х поставити значення ікса у тому точці, на яку треба визначити значення похідної, тобто. у Вашому випадку підставити нульовий Х та обчислити отриманий вираз.

Ну а ваше прагнення розібратися в цьому питанні, на мій погляд, безперечно заслуговує на +, яке ставлю з чистою совістю.

Така постановка завдання перебування похідної часто ставиться закріплення матеріалу на геометричний зміст похідної. Пропонується графік якоїсь функції, абсолютно довільної і не заданої рівнянням і потрібно знайти значення похідної (не похідну помітьте!) у зазначеній точці Х0. Для цього будується дотична до заданої функції та знаходиться точки її перетину з осями координат. Потім складається рівняння цієї дотичної як y=кx+b.

У цьому рівнянні коефіцієнт і буде значенням похідної. залишається лише визначити значення коефіцієнта b. Для цього знаходимо значення у при х = о, нехай воно дорівнює 3 - це значення коефіцієнта b. Підставляємо вихідне рівняння значення Х0 і У0 і знаходимо до - наше значення похідної в цій точці.