КТЕК
PCC економија и сметководство

15 примероци, 2006 година

Вовед. 4

Изводен концепт. 5

Делумни деривати. единаесет

Точки на флексија. 16

Вежби за решавање. 17

Тест. дваесет

Одговори на вежби .. 21

Литература. 23

Вовед

f (x xпотоа се јавуваат маргинален производ; ако g (x) g (x) g ′ (x)се нарекуваат маргинален трошок.

На пример, Нека функцијата u = u (t) uдодека работи т. ∆t = t 1 - t 0:

z сп. =

z av... на ∆t → 0:.

Трошоци за производство К x, за да можеме да пишуваме K = K (x) ∆x K (x + ∆x). ∆x ∆K = K (x + ∆x) - K (x).

Граница повикани

Изводен концепт

Изводот на функцијата во точката x 0се нарекува граница на односот на зголемувањето на функцијата со зголемувањето на аргументот, под услов зголемувањето на аргументот да тежи на нула.

Извод на функција:

Тоа. а-приоритет:

Алгоритам за наоѓање на изводот:

Нека функцијата y = f (x)континуирано на сегментот , x

1. Најдете го зголемувањето на аргументот:

x- новата вредност на аргументот

x 0- почетна вредност

2. Најдете го инкрементот на функцијата:

f (x)- нова вредност на функцијата

f (x 0) -почетната вредност на функцијата

3. Најдете го односот на зголемувањето на функцијата со зголемувањето на аргументот:

4. Најдете ја границата на пронајдениот сооднос кај

Најдете го изводот на функцијата врз основа на дефиницијата на изводот.

Решение:

Ајде да дадеме НСприраст Δх,тогаш новата вредност на функцијата ќе биде:

Ајде да го најдеме зголемувањето на функцијата како разлика помеѓу новите и почетните вредности на функцијата:

Најдете го односот на зголемувањето на функцијата со зголемувањето на аргументот:

.

Да ја најдеме границата на овој сооднос, под услов:

Затоа, по дефиниција на дериватот: .

Наоѓањето на изводот на функцијата се нарекува диференцијација.

Функција y = f (x)повикани диференцијабилнана интервалот (а; б) ако има извод во секоја точка од интервалот.

ТеоремаАко функцијата е диференцијабилна во дадена точка x 0, тогаш тоа е континуирано во оваа точка.

Обратно тврдење не е точно, бидејќи има функции кои се континуирани во одреден момент, но не се разликуваат во овој момент. На пример, функцијата во точката x 0 = 0.

Најдете изводи на функции

1) .

2) .

Ајде да извршиме идентични трансформации на функцијата:

Деривати од повисок ред

Дериват од втор редсе вика дериватот на првиот извод. Означено

Извод од редот nсе нарекува извод на изводот од (n-1)-ти ред.

На пример,

Делумни деривати

Делумен дериватФункција од неколку променливи во однос на една од овие променливи се нарекува извод, земена во однос на оваа променлива, под услов сите други променливи да останат константни.

На пример, за функцијата делумните деривати од прв ред ќе бидат еднакви:

Максимални и минимални функции

Се повикува вредноста на аргументот кај која функцијата има најголема вредност максимална точка.

Се повикува вредноста на аргументот кај која функцијата има најмала вредност минимална точка.

Максималната точка на функцијата е граничната точка на преминот на функцијата од зголемување во опаѓање, минималната точка на функцијата е граничната точка на преминот од намалување во зголемување.

Функција y = f (x)има (локално) максимумво точката ако за сите x

Функција y = f (x)има (локално) минимумво точката ако за сите НСдоволно блиску до нееднаквоста

Максималните и минималните вредности на функцијата се колективно повикани екстремни, а се нарекуваат точките до кои се достигнуваат екстремни точки.

Теорема (неопходен услов за постоење на екстрем) Нека функцијата е дефинирана на интервал и има најголема (најмала) вредност во точка. Тогаш, ако извод од оваа функција постои во точка, тогаш тој е еднаков на нула, т.е. ...

Доказ:

Нека функцијата има најголема вредност во точката x 0, тогаш неравенството важи за кое било:.

За која било точка

Ако x> x 0, тогаш, т.е.

Ако x< x 0 , то , т.е.

Бидејќи постои, што е можно само ако тие се еднакви на нула, затоа,.

Заклучок:

Ако во одредена точка диференцијабилната функција ја зема најголемата (најмалата) вредност, тогаш во точката тангентата на графикот на оваа функција е паралелна со оската Ox.

Се нарекуваат точките во кои првиот извод е нула или не постои критички -ова се можни екстремни точки.

Забележете дека, бидејќи еднаквоста на нула на првиот извод е само неопходен услов за екстремум, неопходно е дополнително да се истражи прашањето за присуството на екстрем во секоја точка од можниот екстремум.

Теорема(доволен услов за постоење на екстрем)

Нека функцијата y = f (x) е континуирано и диференцијабилно во некое соседство на точката x 0.Ако при преминување точка x 0од лево кон десно, првиот извод го менува знакот од плус во минус (од минус во плус), потоа во точката x 0функција y = f (x) има максимум (минимум). Ако првиот извод не го менува знакот, тогаш оваа функција нема екстрем во точката x 0.

Алгоритам за проучување на функција за екстрем:

1. Најдете го првиот извод на функцијата.

2. Изедначете го првиот извод на нула.

3. Реши ја равенката. Пронајдените корени на равенката се критични точки.

4. Пронајдени критични точки за одложување на бројната оска. Добиваме голем број интервали.

5. Определи го знакот на првиот извод во секој од интервалите и означи ги екстремите на функцијата.

6. За исцртување на графикот:

Ø утврдете ги вредностите на функцијата во екстремните точки

Ø најдете ги пресечните точки со координатните оски

Ø најдете дополнителни поени

Лимената лименка е во форма на кружен цилиндар со радиус ри висини ч... Претпоставувајќи дека јасно фиксна количина калај се користи за производство на лименка, одреди во кој сооднос помеѓу ри чбанката ќе има најголем обем.

Количината на употребената калај ќе биде еднаква на вкупната површина на конзервата, т.е. ... (1)

Од оваа еднаквост наоѓаме:

Тогаш волуменот може да се пресмета со формулата: ... Задачата ќе се сведе на пронаоѓање на максимумот од функцијата V (r)... Ајде да го најдеме првиот извод на оваа функција: ... Да го изедначиме првиот извод со нула:

... Ние најдовме:. (2)

Оваа точка е максимална точка, бидејќи првиот извод е позитивен во и негативен во.

Сега да утврдиме во кој однос помеѓу радиусот и висината банката ќе има најголем волумен. За ова, еднаквоста (1) ја делиме со r 2и употреба на релација (2) за С... Добиваме:. Така, најголемиот волумен ќе има тегла, во која висината е еднаква на дијаметарот.

Понекогаш проучувањето на знакот на првиот дериват лево и десно од точката на можниот екстрем е прилично тешко, тогаш можете да го користите вториот доволен услов за екстрем:

ТеоремаНека функцијата y = f (x) има во точката x 0можен екстрем, последниот втор дериват. Потоа функцијата y = f (x)има во точка x 0максимум ако , и барем ако .

Забелешка Оваа теорема не ја решава задачата на екстремот на функцијата во точка ако вториот извод на функцијата во дадена точка е еднаков на нула или не постои.

Точки на флексија

Се нарекуваат точките на кривата на кои конвексноста се одвојува од вдлабнатата точки на флексија.

Теорема (предуслов за точка на флексија): Нека графикот на функцијата има флексија во точката и функцијата има континуиран втор извод во точката x 0, тогаш

Теорема (доволна состојба за точката на флексија): Нека функцијата има втор извод во некое соседство на точката x 0, која има спротивни знаци лево и десно од x 0... тогаш графикот на функцијата има точка на флексија во точката.

Алгоритам за наоѓање точки на флексија:

1. Најдете го вториот извод на функцијата.

2. Изедначете го вториот извод на нула и решете ја равенката:. Добиените корени ставете ги на нумеричката линија. Добиваме голем број интервали.

3. Најдете го знакот на вториот извод во секој од интервалите. Ако знаците на вториот извод во два соседни интервали се различни, тогаш имаме точка на флексија за дадена вредност на коренот, ако знаците се исти, тогаш нема точки на флексија.

4. Најдете ги ординатите на точките на флексија.

Испитајте за кривина и вдлабнатина на кривата. Најдете точки на флексија.

1) најдете го вториот извод:

2) Решете ја неравенката 2x<0 x<0 при x кривая выпуклая

3) Решете ја неравенката 2x> 0 x> 0 за x кривата е конкавна

4) Најдете ги точките на флексија, за кои го изедначуваме вториот извод на нула: 2x = 0 x = 0. Бидејќи во точката x = 0, вториот извод има различни знаци лево и десно, тогаш x = 0 е апсциса на точката на флексија. Најдете ја ординатата на точката на флексија:

(0; 0) точка на флексија.

Вежби за решавање

№ 1 Најдете ги изводите на овие функции, пресметајте ја вредноста на изводите за дадена вредност на аргументот:

1.	5.	9.
2.	6.	10.
3.	7.	11.
4.	8.	12.
	13.	14.
	15.	16.

# 2 Најдете деривати на сложени функции:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.

№3 Решавање проблеми:

1. Најдете го наклонот на тангентата на параболата во точката x = 3.

2. Тангента и нормалата се нацртани на параболата y = 3x 2 -x во точката x = 1. Составете ги нивните равенки.

3. Најдете ги координатите на точката во која тангентата на параболата y = x 2 + 3x-10 прави агол од 135 0 со оската OX.

4. Направете ја равенката на тангентата на графикот на функцијата y = 4x-x 2 во точката на пресек со оската OX.

5. При кои вредности на x е тангентата на графикот на функцијата y = x 3 -x паралелна на правата y = x.

6. Точката се движи праволиниски според законот S = 2t 3 -3t 2 +4. најдете го забрзувањето и брзината на точката на крајот од 3-та секунда. Во кој момент забрзувањето ќе биде нула?

7. Кога брзината на точка што се движи според законот S = t 2 -4t + 5 е еднаква на нула?

# 4 Истражете ги функциите користејќи го изводот:

1. Истражете ја монотоноста на функцијата y = x 2

2. Најдете ги интервалите на зголемување и намалување на функцијата .

3. Најдете ги интервалите на зголемување и намалување на функцијата.

4. Истражете ја максималната и минималната функција .

5. Истражете ја функцијата екстрем .

6. Истражете ја екстремната функција y = x 3

7. Истражете ја функцијата екстрем .

8. Бројот 24 поделете го на два члена за нивниот производ да биде најголем.

9. Од лист хартија потребно е да се исече правоаголник со површина од 100 cm 2, така што периметарот на овој правоаголник е најмал. Кои треба да бидат страните на овој правоаголник?

10. Истражете ја екстремната функција y = 2x 3 -9x 2 + 12x-15 и изградете го нејзиниот график.

11. Истражете за конкавност и конвексност на кривата.

12. Најдете ги интервалите на конвексност и конкавност на кривата .

13. Најдете ги точките на флексија на функциите: а); б).

14. Испитајте ја функцијата и изградете го нејзиниот график.

15. Истражете ја функцијата и изградете го нејзиниот график.

16. Функција за истражување и изградете го нејзиниот распоред.

17. Најди ја најголемата и најмалата вредност на функцијата y = x 2 -4x + 3 на отсечката

Тест прашања и примери

1. Наведете ја дефиницијата за изводот.

2. Што се нарекува зголемување на аргументот? со зголемување на функцијата?

3. Кое е геометриското значење на дериватот?

4. Што се нарекува диференцијација?

5. Наброј ги главните својства на дериватот.

6. Која функција се нарекува сложена? обратно?

7. Наведете го концептот на извод од втор ред.

8. Формулирај правило за диференцијација на сложена функција?

9. Телото се движи праволиниски според законот S = S (t). Што може да се каже за движењето ако:

5. Функцијата се зголемува во одреден интервал. Дали од ова произлегува дека неговиот дериват е позитивен на овој интервал?

6. Што се нарекуваат екстреми на функција?

7. Дали максималната вредност на функцијата на некој интервал нужно се совпаѓа со вредноста на функцијата во максималната точка?

8. Функцијата е дефинирана на. Дали точката x = a може да биде екстремна точка на оваа функција?

10. Изводот на функцијата во точката x 0 е еднаков на нула. Дали од ова произлегува дека x 0 е екстремната точка на оваа функција?

Тест

1. Најдете изводи на овие функции:

а)	д)
б)	е)
со)	ж)
д)	и)

2. Напиши ги равенките на тангентите на параболата y = x 2 -2x-15: а) во точката со апсциса x = 0; б) на местото на пресекот на параболата со оската на апсцисата.

3. Определи ги интервалите на зголемување и намалување на функцијата

4. Истражете ја функцијата и нацртајте го нејзиниот график

5. Најдете во време t = 0 брзината и забрзувањето на точка што се движи според законот s = 2e 3 t

Одговори на вежби

5.

7.

9.

11.

12.

13.

14.

2.

3.

4. (резултатот се добива со примена на формулата за изводот на количникот). Овој пример можете да го решите на поинаков начин:

5.

8. Производот ќе биде најголем ако секој член е еднаков на 12.

9. Периметарот на правоаголникот ќе биде најмал ако страните на правоаголникот се по 10 cm, т.е. треба да исечете квадрат.

17. На отсечката, функцијата ја зема најголемата вредност еднаква на 3 за x = 0а најмалата вредност еднаква на –1 во x = 2.

Литература

КАЛИНИНГРАД ТРГОВСКО ЕКОНОМСКИ КОЛЕКТ

да ја проучува темата

„Дериват на функција“

за студенти од специјалитетот 080110 „Економија и сметководство“, 080106 „Финансии“,
080108 „Банкарство“, 230103 „Системи за автоматска обработка и контрола на информации“

Составен од Е.А.Федорова

КАЛИНИНГРАД

Рецензенти: Горскаја Наталија Владимировна, предавач, Трговско-економски колеџ Калининград

Во овој прирачник се разгледани основните поими за диференцијално сметање: концепт на извод, својства на дериватите, примена во аналитичката геометрија и механика, дадени се основните формули на диференцијација, дадени се примери за илустрација на теоретскиот материјал. Прирачникот е дополнет со вежби за самостојна работа, дадени се одговори на нив, прашања и примерок на задачи за средна контрола на знаењето. Наменет е за студенти кои ја изучуваат дисциплината „Математика“ во средните специјализирани образовни установи, запишани на редовни, вонредни, вечерни, екстерни или имаат бесплатно следење на наставата.

КТЕК
PCC економија и сметководство

15 примероци, 2006 година

Вовед. 4

Барања за знаења и вештини .. 5

Изводен концепт. 5

Геометриското значење на дериватот. 7

Механичкото значење на дериватот. 7

Основни правила за диференцијација. осум

Формули за диференцијација на основните функции. девет

Извод на инверзната функција. девет

Диференцијација на сложени функции. десет

Деривати од повисок ред. единаесет

Делумни деривати. единаесет

Истражување на функции со помош на деривати. единаесет

Зголемување и намалување на функции. единаесет

Максимумот и минимумот на функцијата. 13

Конвексност и конкавност на крива. 15

Точки на флексија. 16

Општа шема за проучување на функции и исцртување. 17

Вежби за решавање. 17

Тест прашања и примери .. 20

Тест. дваесет

Одговори на вежби .. 21

Литература. 23

Вовед

Математичката анализа дава голем број фундаментални концепти со кои работи еден економист - функција, граница, извод, интеграл, диференцијална равенка. Во економските истражувања, специфична терминологија често се користи за означување на деривати. На пример, ако f (x) е производна функција која ја изразува зависноста на аутпутот на кој било производ од трошоците на факторот xпотоа се јавуваат маргинален производ; ако g (x)постои функција на трошоци, т.е. функција g (x)ја изразува зависноста на вкупните трошоци од обемот на производите x, тогаш g ′ (x)се нарекуваат маргинален трошок.

Маргинална анализа во економијата- збир на техники за проучување на променливите вредности на трошоците или резултатите при промена на обемот на производство, потрошувачка итн. врз основа на анализата на нивните гранични вредности.

На пример, наоѓање продуктивност на трудот.Нека функцијата u = u (t)изразувајќи ја количината на произведените производи uдодека работи т.Да ја пресметаме количината на производи произведени во текот на времето ∆t = t 1 - t 0:

u = u (t 1) -u (t 0) = u (t 0 + ∆t) -u (t 0).

Просечна продуктивност на трудотнаречен однос на количината на произведените производи со потрошеното време, т.е. z сп. =

Продуктивноста на работницитево моментот t 0 се нарекува граница кон која тежи z av... на ∆t → 0:.Така, пресметката на продуктивноста на трудот се сведува на пресметката на дериватот:

Трошоци за производство Кхомогениот производ е во функција на количината на производот x, за да можеме да пишуваме K = K (x)... Да претпоставиме дека бројот на производи се зголемува за ∆x... Бројот на производи x + ∆x одговара на производствените трошоци K (x + ∆x).Затоа, зголемувањето на бројот на производи ∆xодговара на зголемувањето на трошоците за производство ∆K = K (x + ∆x) - K (x).

Просечниот прираст на трошоците за производство е ∆K / ∆x. Ова е зголемување на трошоците за производство по единица прираст во количината на производи.

Граница повикани маргинални трошоци за производство.

Историјата на Трговско-економскиот колеџ Калининград е страница од историјата на регионот, која се пишува од 1946 година. Во текот на изминатото време, повеќе од 25 илјади специјалисти дипломираа од ѕидовите на колеџот.

Од 2004 година, колеџот стана експериментална платформа за Московскиот институт за развој на средното стручно образование на тема „Ширење на европското искуство во создавањето и организацијата на центри за учење на возрасни и центри за отворено образование во регионот“. Десет години е член на Руската асоцијација за маркетинг, има статус на колеџ за социјална ориентација. Последниот беше доделен на колеџот од страна на регионалната администрација за постојана поддршка на социјално незаштитените студенти, наставници, пензионери, воени лица и нивните семејства, вработени наставници и персонал.

Обуката на студентите на Колеџот за трговија и економија во Калининград се спроведува на пет факултети: технологија и услуги, маркетинг менаџмент, јуриспруденција, економија и сметководство, нетрадиционални форми на образование. Образовната област на колеџот вклучува шеснаесет специјалитети. Тие вклучуваат технологија за готвење, трговија со храна, трговија во трговија, менаџмент, маркетинг, правен сметководител, банкарство, угостителство, финансии, туризам и многу повеќе.

Факултетот има Центар за стручно насочување и обука на апликантите. На факултетот за нетрадиционални форми на образование, вие не само што можете да ги подобрите вашите квалификации, туку и да стекнете нова специјалност на работното место. Сегашниот Центар за отворено образование е фокусиран на давање помош за стручно оспособување во повеќе од дваесет специјалности. Овде можете да ги подобрите вашите квалификации, да се подложите на преквалификација. Методите се многу разновидни: деловни игри, обуки, семинари, вежби, отворени сесии, конференции, работа на проекти, Сето тоа и овозможува на публиката да го асимилира предложениот материјал што е можно повеќе.

Соработката со Државниот универзитет Калининград, Државниот технички универзитет Калининград, Балтичката државна академија му овозможува на колеџот да обучи специјалисти чие знаење станува главен град и главен ресурс на економскиот развој на регионот. Во текот на годините на оваа интеракција, повеќе од двесте дипломци добија високо образование на посебен факултет со скратен период на обука. Сите тие се барани од економскиот комплекс на регионот, многумина влегоа во елитата на деловниот кор од регионот.

Трговско-економскиот колеџ Калининград има воспоставено комуникации и активно соработува со Данска, Шведска, Германија, Полска и Финска. Тимот учествува во меѓународни образовни проекти. Нивните теми се разновидни, вклучува важни теми како што се „Помош на властите во Калининград во развојот на малите и средни бизниси“, „Помош на службениците и невработените членови на нивните семејства при добивање цивилни специјалности за последователно вработување“, „Обука на наставниците по андрагогија и развојот на програмите за претприемничко образование.активности во Калининград“ и слично.

Во 1999 година, во рамките на меѓународен проект, благодарение на напорите на Лидија Ивановна Мотолијанец, заменик директор за академски прашања, беше создадена компанија за симулација - модел на претпријатие што ги одразува активностите на вистинска трговска организација, ефективна специјализирана форма на напредна обука за персонал од сите нивоа кои работат во областа на малиот бизнис.

Мисијата на тимот - да обезбеди образование што ги задоволува потребите на општеството и да придонесе за формирање на цела личност - се исполнува во потполност. Трговско-економскиот колеџ Калининград е професионализам, одговорност и престиж.