Zusammenfassung des Mentors

Das Thema des Forschungsprojekts lautet „Kann die Welt als geometrisch korrekt angesehen werden?“ In diesem Schuljahr begannen die Schüler, ein neues Fach zu studieren – Geometrie. Um sein Verständnis zu erweitern, beschäftigte sich Kirill eingehender mit dem Thema regelmäßiger Polyeder, den sogenannten platonischen Körpern. Im praktischen Teil erstellte Kirill selbstständig Modelle dieser regelmäßigen Polyeder, die das Ergebnis dieser Forschungsarbeit sind. Darüber hinaus besuchte Kirill das Museum des Naturschutzgebiets Ilmensky, sah Mineralkristalle mit eigenen Augen und fotografierte sie. Die vorgestellten Materialien können sowohl im Grundunterricht als auch im Wahlpflichtunterricht eingesetzt werden.

Einführung

Dieses Schuljahr habe ich mit dem Studium des Fachs „Geometrie“ begonnen und laut anderen Schülern ist es eines der schwierigsten Schulfächer. Ich glaube nicht und möchte das Stereotyp zerstören, das Schulkinder haben.

Warum studieren wir Geometrie, wo können wir das erworbene Wissen anwenden, wie oft begegnen wir geometrischen Formen? Gibt es Informationen zur Geometrie irgendwo anders als im Mathematikunterricht?

Um diese Fragen zu beantworten, begann ich, mich theoretisch mit dem Thema auseinanderzusetzen und durchsuchte Fachliteratur zum Forschungsthema. Durch das Internet habe ich viele interessante Dinge gelernt. Ich habe herausgefunden, dass wir in der Natur sehr oft auf schöne, geometrisch korrekte Figuren stoßen. Ich stellte die Hypothese auf, dass die Welt geometrisch regelmäßig ist. Danach begann er mit der Forschungsarbeit.

Legen Sie das Ziel der Forschungsarbeit fest: Finden Sie Beispiele in der Natur und im Alltag, die die Tatsachen der geometrischen Korrektheit der Welt beweisen.

Relevanz Das Thema ist unbestreitbar, denn diese Arbeit ermöglicht es, unsere Welt anders zu betrachten und die Schönheit der Geometrie im menschlichen Leben und in der uns umgebenden Natur zu erkennen. Angesichts der Relevanz dieses Themas habe ich diese Forschungsarbeit durchgeführt.

Der Zweck, das Thema und die Hypothese der Studie bestimmten die Nominierung und Lösung der folgenden Fragen Forschungsschwerpunkte:

1. Studieren Sie Fachliteratur zum Forschungsthema;

2. Sehen Sie die Schönheit der Geometrie in der Architektur;

3. Betrachten Sie die Schönheit der Geometrie in der Natur;

4. Fassen Sie das Ergebnis der Arbeit zusammen.

1.Theoretischer Teil

1.1.Geschichte der Geometrie

Geometrie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Untersuchung ebener und räumlicher Figuren und ihrer Eigenschaften beschäftigt. Sie entstand vor langer Zeit; sie ist eine der ältesten Wissenschaften. Geometrie (von griechisch geo – Erde und metrein – messen) ist die Wissenschaft vom Raum, genauer gesagt die Wissenschaft von den Formen, Größen und Grenzen der Teile des Raums, die materielle Körper darin einnehmen. Allerdings geht die moderne Geometrie in vielen ihrer Disziplinen weit über diese Definition hinaus. Auch die ästhetischen Bedürfnisse der Menschen spielten eine wichtige Rolle: der Wunsch, ein schönes Zuhause zu bauen und es mit Gemälden aus der umliegenden Welt zu schmücken.

1.2 Die Bedeutung der Geometrie im 21. Jahrhundert.

Der große französische Architekt Corbusier rief einst aus: „Alles ist Geometrie!“ Heute können wir diesen Ausruf mit noch größerer Verwunderung wiederholen. Schauen Sie sich tatsächlich um – Geometrie ist überall! Moderne Gebäude und Raumstationen, U-Boote, Wohnungseinrichtungen und Haushaltsgeräte – alles hat eine geometrische Form. Geometrische Kenntnisse sind heute für viele moderne Fachgebiete von beruflicher Bedeutung: für Designer und Konstrukteure, für Arbeiter und Wissenschaftler.

Ein Mensch kann sich kulturell und spirituell nicht wirklich weiterentwickeln, wenn er in der Schule nicht Geometrie studiert hat; Geometrie entstand nicht nur aus praktischen, sondern auch aus den spirituellen Bedürfnissen des Menschen

1.3 Das Konzept eines Polyeders. Arten von Polyedern

Was ist also ein Polyeder? Ein Polyeder ist ein Teil eines Raums, der durch eine Ansammlung einer endlichen Anzahl flacher Polygone begrenzt wird. Polyeder kommen in vielen Wissenschaften vor: in der Chemie (Struktur molekularer Atomgitter), in der Geologie (Formen von Mineralien, Gesteinen), im Sport (Form eines Balls), in der Geographie (Bermuda-Dreieck). Viele Spielzeuge werden in Form von Polyedern hergestellt – der berühmte Zauberwürfel, Würfel, Pyramiden und verschiedene Puzzles.

Große Wissenschaftler und Philosophen – Platon, Euklid, Archimedes, Kepler – untersuchten die Eigenschaften von Polyedern.

Der Name „richtig“ stammt aus der Antike, als man nach Harmonie, Korrektheit und Vollkommenheit in der Natur und im Menschen suchte.

Die Namen regelmäßiger Polyeder stammen aus Griechenland. Wörtlich aus dem Griechischen übersetzt bedeuten „Tetraeder“, „Oktaeder“, „Hexaeder“, „Dodekaeder“, „Ikosaeder“: „Tetraeder“, „Oktaeder“, „Hexaeder“, „Dodekaeder“, „Zwanzigeder“. Das 13. Buch von Euklids Elementen ist diesen schönen Körpern gewidmet. Was ist diese trotzig kleine Zahl und warum gibt es so viele davon? Und wie viel? Es stellt sich heraus, dass es genau fünf sind – nicht mehr und nicht weniger. Dies kann durch die Entwicklung eines konvexen Polyederwinkels bestätigt werden.

Um tatsächlich ein reguläres Polyeder gemäß seiner Definition zu erhalten, muss an jedem Scheitelpunkt die gleiche Anzahl von Flächen zusammenlaufen, von denen jede ein regelmäßiges Polyeder ist. Die Summe der Ebenenwinkel eines Polyederwinkels muss kleiner als 360° sein, sonst entsteht keine Polyederfläche. Aufzählung möglicher ganzzahliger Lösungen für Ungleichungen: 60k< 360, 90к < 360 и 108к < 360, можно доказать, что правильных многогранников ровно пять (к - число плоских углов, сходящихся в одной вершине многогранника).

2 Praktischer Teil

Gemeinsam mit den Neuntklässlern habe ich Netze gezeichnet und alle 5 Arten regelmäßiger Polyeder zusammengeklebt. Während der Mathematikwoche habe ich, da ich mich noch nicht mit regulären Polyedern beschäftigt habe (Lehrplan der 11. Klasse), an einer Ausstellung über geometrische Körper teilgenommen.

Durch die Schaffung vielfältiger und komplexer Papierprodukte machen wir unsere Kreationen zu einem Teil des Alltags.

2.1 Beispiele aus der Außenwelt

Während ich mich mit dem Thema Forschung beschäftigte, fand ich viele Beispiele, die die Schönheit der Richtigkeit der Welt bestätigen. In der Natur findet man häufig eine Vielzahl regelmäßiger Vielecke. Dies können Dreiecke, Vierecke, Fünfecke usw. sein. Durch ihre meisterhafte Anordnung hat die Natur eine endlose Vielfalt komplexer, erstaunlich schöner, leichter, langlebiger und wirtschaftlicher Strukturen geschaffen. Beispiele für regelmäßige Polygone in der Natur sind: Waben, Schneeflocken und andere. Schauen wir sie uns genauer an.

Waben bestehen aus Sechsecken. Aber warum „wählten“ die Bienen die Form regelmäßiger Sechsecke für die Zellen der Wabe? Von den regelmäßigen Vielecken gleicher Fläche hat das regelmäßige Sechseck den kleinsten Umfang. Mit dieser „mathematischen“ Arbeit sparen Bienen 2 % Wachs. Die beim Bau von 54 Zellen eingesparte Wachsmenge kann für den Bau einer gleichen Zelle verwendet werden. Daher sparen weise Bienen Wachs und Zeit für den Wabenbau (siehe Anhang).

Schneeflocken können die Form eines Dreiecks oder eines Sechsecks haben. Aber warum nur diese beiden Formen? Es kommt vor, dass ein Wassermolekül aus drei Teilchen besteht – zwei Wasserstoffatomen und einem Sauerstoffatom. Wenn daher ein Wasserteilchen vom flüssigen in den festen Zustand übergeht, verbindet sich sein Molekül mit anderen Wassermolekülen und bildet nur eine drei- oder sechseckige Figur (siehe Anhang).

Einige komplexe Kohlenstoffmoleküle sind auch Beispiele für Polygone in der Natur.

Regelmäßige Polyeder kommen in der belebten Natur vor. Beispielsweise hat das Skelett des Einzellers Feodaria die Form eines Ikosaeders. Was hat diese natürliche Geometrisierung von Feodaria verursacht? (siehe Anhang). Anscheinend ist es das Ikosaeder, das von allen Polyedern mit der gleichen Anzahl an Flächen das größte Volumen mit der kleinsten Oberfläche hat. Diese Eigenschaft hilft dem Meeresorganismus, den Druck der Wassersäule zu überwinden.

Regelmäßige Polyeder sind die „profitabelsten“ Figuren. Und die Natur nutzt dies in großem Umfang. Was ist es an Kristallen, das die Aufmerksamkeit von Mathematikern überhaupt auf sich ziehen kann? (Richtige geometrische Form, Kristalle nehmen die Form von Polyedern an). Diamantkristalle sind riesige Polymermoleküle und haben normalerweise die Form von Oktaedern, rhombischen Dodekaedern und seltener von Würfeln oder Tetraedern.(siehe Anhang)

Dies wird durch die Form einiger Kristalle bestätigt. Nehmen wir zum Beispiel Speisesalz, auf das wir nicht verzichten können. Und Speisesalzkristalle haben die Form eines Würfels (siehe Anhang). Bei der Herstellung von Aluminium wird Aluminium-Kalium-Quarz verwendet, dessen Einkristall die Form eines regelmäßigen Oktaeders hat. Gewinnung von Schwefelsäure und Eisen. Spezielle Zementsorten kommen ohne Schwefelkies nicht aus. Die Kristalle dieser Chemikalie haben die Form eines Dodekaeders. Antimonnatriumsulfat, eine von Wissenschaftlern synthetisierte Substanz, wird in verschiedenen chemischen Reaktionen verwendet. Sein Kristall hat die Form eines Tetraeders. Das letzte regelmäßige Polyeder, das Ikosaeder, vermittelt die Form von Borkristallen. Einst wurde Bor zur Herstellung von Halbleitern der ersten Generation verwendet.

Platon glaubte, dass die Welt aus vier „Elementen“ besteht – Feuer, Erde, Luft und Wasser – und dass die Atome dieser „Elemente“ die Form von vier regelmäßigen Polyedern haben.

Das Tetraeder verkörperte das Feuer, da seine Spitze wie eine lodernde Flamme nach oben zeigt; Ikosaeder – als das stromlinienförmigste – Wasser; Der Würfel ist die stabilste der Figuren – die Erde, und das Oktaeder ist die Luft. Das gesamte Universum hatte die Form eines regelmäßigen Dodekaeders.

Bildhauer, Architekten und Künstler zeigten großes Interesse an den Formen regelmäßiger Polyeder. Sie waren erstaunt über die Perfektion und Harmonie der Polyeder. Leonardo da Vinci (1452 – 1519) interessierte sich für die Theorie der Polyeder und stellte sie oft auf seinen Leinwänden dar. In dem Gemälde „Das letzte Abendmahl“ stellte Salvador Dali I. Christus mit seinen Jüngern vor dem Hintergrund eines riesigen transparenten Dodekaeders dar (siehe Anhang).

Und hier ist ein weiteres Beispiel für Polygone, dieses Mal jedoch nicht von der Natur, sondern vom Menschen geschaffen. Das ist das Pentagon-Gebäude. Es hat die Form eines Fünfecks. Aber warum hat das Pentagon-Gebäude diese Form? Die fünfeckige Form des Gebäudes wurde im Lageplan bei der Erstellung der Projektskizzen vorgeschlagen. An dieser Stelle gab es mehrere Straßen, die sich in einem Winkel von 108 Grad kreuzten, und in diesem Winkel wurde das Fünfeck errichtet. Daher fügte sich dieses Formular organisch in die Verkehrsinfrastruktur ein und das Projekt wurde genehmigt.

Olympiastadion in Pyeongchang hat die Form eines regelmäßigen Fünfecks. Jede Ecke symbolisiert ein wichtiges Ziel Olympische Spiele : kulturelle Spiele, umweltfreundliche Spiele, wirtschaftliche Spiele, Spiele für den Frieden und Spiele im Bereich Informationstechnologie(siehe Anhang).

Abschluss

Dank regelmäßiger Polyeder werden nicht nur die erstaunlichen Eigenschaften geometrischer Formen offenbart, sondern auch Möglichkeiten, natürliche Harmonie zu verstehen. Geometrie ist eine erstaunliche Wissenschaft. Seine Geschichte reicht mehr als ein Jahrtausend zurück, aber jede Begegnung mit ihm kann (sowohl Schüler als auch Lehrer) mit der aufregenden Neuheit einer kleinen Entdeckung, der erstaunlichen Freude an Kreativität beschenken und bereichern. Die von mir durchgeführte Forschungsarbeit hat gezeigt, dass es in der Welt um uns herum zwar viele Beispiele für die geometrische Korrektheit der Welt gibt, aber nicht alles in unserer Welt die richtige geometrische Form hat. Was würde passieren, wenn alles rundherum rund oder eckig wäre? Die vorgestellten Materialien können sowohl im Grundunterricht als auch im Wahlpflichtunterricht eingesetzt werden.

Im antiken Griechenland bildete das Studium des Wesens der Schönheit, des Mysteriums der Schönheit, basierend auf bestimmten geometrischen Mustern, einen eigenen Wissenschaftszweig – die Ästhetik, die unter antiken Philosophen untrennbar mit der Kosmologie verbunden war. Die alten Griechen hatten eine geometrische Vision einer universellen Ordnung. Sie betrachteten das Universum als eine riesige Fläche verschiedener miteinander verbundener Elemente. Die Heilige Geometrie vereint die Weisheit vieler Schulen, sowohl derjenigen, die lange vor unserer Zeitrechnung existierten, als auch moderner Schulen, die Esoterik mit den neuesten Errungenschaften der Quantenphysik verbinden. Diese erstaunliche Wissenschaft erkennt alle typischen Manifestationsformen höheren Wissens an und betrachtet sie als Schalen, die Informationen über die manifestierte Welt und den Platz des Menschen darin enthalten. Alles ist Energie, Schwingung, Harmonie und Dissonanz der Frequenz; alles ist Geometrie.

Heilige geometrische Formen sind ein wichtiges Werkzeug für spirituelles Wachstum. Einem Menschen, der sich die in geometrischen Formen enthaltene Kraft nicht vorstellt, der nicht erkennt, dass er mit ihrer Hilfe mit einer fantastisch reichen Informations- und Energiewelt in Kontakt kommt, wird sehr viel vorenthalten. Er verliert die Möglichkeit, sich von irdischer und kosmischer Energie ernähren zu lassen, was sich unweigerlich auf seine körperliche und geistige Entwicklung auswirken wird. Das Verstehen der einfachen Wahrheiten der Heiligen Geometrie führt zur Entwicklung des Bewusstseins und zur Öffnung des Herzens, was den nächsten Schritt in der menschlichen Entwicklung darstellt. Die Heilige Geometrie spielte und spielt seit Jahrtausenden eine wichtige Rolle in der Kunst, Architektur und Philosophie vieler Kulturen.

Mantra-Räder sind in Tibet und den Nachbarländern seit der Antike bekannt und gelten als Generatoren wohltuender Energie, die allen Lebewesen hilft. Mantra-Räder sind hohle Zylinder, die sich um eine Achse drehen. Die Abmessungen eines solchen Zylinders können zwischen mehreren Zentimetern und mehreren Metern variieren. Tibeter tragen kleine Mantra-Räder in ihren Händen und drehen sie mit einer leichten Handbewegung. Größere Räder stehen in großer Zahl in der Nähe von Tempeln und anderen heiligen Gebäuden. Darüber hinaus können sie sich in verschiedenen Bereichen des Gebiets befinden, manchmal weit entfernt von menschlicher Besiedlung, und rotieren durch die Energie des Windes oder des Wassers in einem Gebirgsbach. Diese Räder sind mit einer kleinen Turbine verbunden und drehen sich Tag und Nacht.

Es ist zu beachten, dass sich alle Mantra-Räder von oben betrachtet im Uhrzeigersinn drehen. Untersuchungen der sogenannten Torsionsfelder, die bei der Rotation massiver Zylinder, Kegel und anderer Objekte entstehen, haben gezeigt, dass sie eine ausgeprägte biologische und physikalisch-chemische Wirkung haben. Darüber hinaus wurde nun gezeigt, dass es sich um eine völlig neue Art physikalischer Felder handelt, die mit der Spinpolarisation des physikalischen Vakuums verbunden sind. Das Mantra-Rad ist eine Art ökologisches Gerät, eine Art „Entropiepumpe“, die Chaos und Desorganisation in der Umwelt reduziert. Diese bereits in der Antike entdeckten Geräte enthalten jedoch noch einiges an Know-how, das modernen Spin-Torsions-Generatoren fehlt. Dies sind zunächst Mantras, die als eine Art Modulator des Spin-Torsionsfeldes dienen. Tatsächlich bestimmt die Art eines solchen Mantras die Art der Wirkung eines solchen Generators. Mit anderen Worten, hier ist der Haupteffekt nicht mit der Energie der Strahlung verbunden, sondern mit ihrer Informationskomponente – der semantischen Struktur des Mantras.

Abschließend:

Wie reinigt man einen Raum mit Polyedern? Mit der japanischen Technologie zum Zusammensetzen verschiedener Figuren aus Origami-Papier (es gibt Baupläne im Internet) müssen Sie zusammenbauen T ein Dodekaeder und zwei Ikosaeder mit Seitenlängen von 3 und 5 cm, dann einen Oktaederstumpf entlang des Scans platzieren T drinnen - es funktioniert einfach super, die Reinigung aller Energieverschmutzungen ist kolossal. Geopathogene Zonen werden entfernt, der Raum wird vollständig harmonisiert. Und man kann an sich selbst arbeiten, die Möglichkeiten sind sehr groß.
Ich empfehle.

Generatoren von Entwicklern von Epam-Technologien

Laut den Wissenschaftlern A. V. Skvortsov und E. V. Khmelinskaya, die die einzigartigen Epam-Präparate entwickelt haben, haben einige geometrische Objekte die Eigenschaft, Mensch und Raum in Einklang zu bringen:
 Der Oktaederstumpf neutralisiert den Energieeinfluss von außen, erhöht das Energieniveau des Gehirns, hilft bei der Arbeit auf einer intuitiven Ebene und reinigt die Energiestruktur eines Ortes im Umkreis von 500 m;
 ein Ikosaeder mit einer Seitenlänge von 5 cm beseitigt psychologische Abhängigkeiten, stellt die Biostruktur wieder her, harmonisiert die Persönlichkeit, reinigt die Struktur eines Ortes im Umkreis von 100 m;
 Ein Ikosaeder mit einer Seitenlänge von 3 cm verbessert die Kommunikation mit dem Unterbewusstsein, harmonisiert die Beziehungen zu anderen Menschen, erhöht das Energieniveau im Umkreis von 200 m, stellt die Verbindung einer Person mit der Erde und dem Weltraum wieder her und stellt die Schilddrüse wieder her; trägt zur Umsetzung seiner eigenen Mission gemäß dem Umsetzungsprogramm bei;
 Ein Ikosaeder mit einer Seitenlänge von 1 cm steigert die Energiekraft und Intelligenz einer Person, verbessert das Schicksal, stellt die Energie eines Ortes wieder her und richtet die Psyche aus;
 Die zehnseitige Pyramide schützt vor künstlicher Strahlung, aktiviert die Selbstregulierung des Körpers, stellt den menschlichen Energieaustausch wieder her, steigert die menschliche Energie, erhöht das Energieniveau eines Ortes (70 m), stellt das menschliche endokrine System wieder her und neutralisiert Erdmagnetismus Strahlung, harmonisiert die Beziehungen zwischen Menschen;
 Die zwölfseitige Pyramide harmonisiert die Beziehungen zwischen Menschen, stellt menschliche Energiekanäle wieder her, aktiviert Anpassungssysteme, verbessert die Selbstregulierung, passt sich an das Gelände an, fördert kreative Prozesse, neutralisiert geomagnetische Strahlung und stellt die Verbindung eines Menschen mit dem Kosmos und den natürlichen Biostrukturen wieder her.
Die konvexe Form des Körpers ohne Kanten ermöglicht es ihm, Energie zu speichern und an den Besitzer zu übertragen. Diese Form kann eine Veränderung jeder Struktur oder Freizeitarbeit fördern. Diese Form „mildert“ diejenigen, die aus irgendeinem Grund hart und unausgeglichen sind oder in inneren Widersprüchen stecken. Das Fehlen von Richtungswinkeln verhindert, dass die Energie unbewusst gelenkt wird. Diese Form stabilisiert, beruhigt und konzentriert die Kraft. Die ovale Form ermöglicht es dem Objekt, Energie mit einer Person auszutauschen. Es wirkt sich vor allem positiv auf die Psyche und das Verhalten aus.
Die runde Form verdichtet die Energie optimal. Dient hauptsächlich der Verbesserung der Gesundheit. Ein geometrisches Objekt in Form einer Linse oder eines Tropfens kommuniziert energetisch mit einer gleichberechtigten Person. Sie tauschen Energie aus, verschmelzen aber nicht. Diese Form ist in der Lage, auf Gedanken zu reagieren. Wenn jemand plant, etwas aus dem Einflussbereich dieser Form zu tun, dann wird es ihm helfen. Zu anderen Zeiten fühlt man sich einfach gut dabei.

Lesen Sie die Fähigkeiten jeder Figur sorgfältig durch – versetzen Sie sich dann in der Meditation entsprechend Ihren Bedürfnissen in die ausgewählte Figur und bitten Sie den Schutzengel und den Höheren Geist, Ihnen dabei zu helfen, beispielsweise die URSACHE einer Fehlfunktion in den Kommunikationskanälen mit dem zu beseitigen Kosmos, mit dem Unterbewusstsein oder jedem physiologischen System, denn die DNA des genetischen Codes des Lebens ist eine endlose Kette abwechselnder Ikosaeder und Dodekaeder im Verhältnis des Goldenen Schnitts. Und das gesamte Universum und alle darin lebenden Dinge sind nach diesem Prinzip aufgebaut.

Was die heiligen Kräfte angeht, ist das Dodekaeder das mächtigste Polyeder. Nicht umsonst wählte Salvador Dali diese Figur für sein „Letztes Abendmahl“. Es enthält 12 Fünfecke, ebenfalls eine starke Figur, die Kräfte konzentrieren sich auf einen Punkt – auf Jesus Christus. In der Pythagoras-Schule wurden Menschen getötet, weil sie außerhalb der Schulmauern das Wort „Dodekaeder“ erwähnten. Diese Figur galt als so heilig. Zweihundert Jahre später, zu Platons Lebzeiten, sprachen sie darüber, aber nur sehr vorsichtig. Warum? Es wird angenommen, dass sich das Dodekaeder am äußeren Rand des menschlichen Energiefeldes befindet und die höchste Form des Bewusstseins darstellt. Regelmäßige Polyeder bestechen durch die Perfektion ihrer Formen und die vollständige Symmetrie.

Das Ikosaeder und das Dodekaeder wirken im Weltraum nicht nur zur Beseitigung geopathogener Zonen, sie haben auch viele Parameter, das sind göttliche Strukturen und das sagt alles.
Wir verstehen vielleicht etwas falsch oder wissen nicht, wie wir es nutzen sollen, aber das ändert nichts an ihrer Macht; wir müssen es wissen, lernen, mit ihnen zusammenzuarbeiten und ihr Potenzial zum Guten zu nutzen.

Heilige geometrische Formen sind ein wichtiges Werkzeug für spirituelles Wachstum. Einem Menschen, der sich die in geometrischen Formen enthaltene Kraft nicht vorstellt, der nicht erkennt, dass er mit ihrer Hilfe mit einer fantastisch reichen Informations- und Energiewelt in Kontakt kommt, wird sehr viel vorenthalten. Er verliert die Möglichkeit, sich von irdischer und kosmischer Energie ernähren zu lassen, was sich unweigerlich auf seine körperliche und geistige Entwicklung auswirken wird. Das Verstehen der einfachen Wahrheiten der Heiligen Geometrie führt zur Entwicklung des Bewusstseins und zur Öffnung des Herzens, was den nächsten Schritt in der menschlichen Entwicklung darstellt. Die Heilige Geometrie spielte und spielt seit Jahrtausenden eine wichtige Rolle in der Kunst, Architektur und Philosophie vieler Kulturen.

STAATLICHE HAUSHALTSBILDUNGSEINRICHTUNG DER STADT MOSKAU

Bildungskomplex „Schule Nr. 2121“.

benannt nach dem Marschall der Sowjetunion S.K. Kurkotkin"

FORSCHUNG

zum Thema „Lebende Geometrie“

Abgeschlossen von Schülern der 7. Klasse „C“

Leonow Alexander

Epichin Kirill

Ilchibekov Rizo

Projektmanager E.E. Khromova

MOSKAU

2016

Zusammenfassung zum Projekt „Geometrie um uns herum“

Die Welt der Geometrie umgibt uns von Geburt an. Schließlich hat alles, was wir um uns herum sehen (ein rechteckiges Fenster, ein geheimnisvolles Schneeflockenmuster, quaderförmige Häuser, ein Fahrradreifen), auf die eine oder andere Weise mit der Geometrie zu tun.

RELEVANZ: Das Thema des Projekts wurde gewählt, um sich besser auf das Geometriestudium in der 7. Klasse vorzubereiten.

ZIELE: Beitrag zur Bildung geometrischer Konzepte, des ästhetischen Geschmacks, der Forschungsfähigkeiten, der Entwicklung der kreativen Fähigkeiten und des Horizonts der Schüler.

HYPOTHESE: Alles, was uns umgibt, hängt mit der Geometrie zusammen.

Die Welt, in der wir leben, ist erfüllt von der Geometrie von Häusern und Straßen, Bergen und Feldern, Schöpfungen der Natur und des Menschen. Dieses Projekt wird Ihnen helfen, sich darin besser zurechtzufinden, neue Dinge zu entdecken und die Schönheit und Weisheit der Welt um Sie herum zu verstehen.

AUFGABEN: Material sammeln, das in irgendeiner Weise mit Geometrie zu tun hat, systematisieren, Folien für eine Präsentation erstellen, es den Schülern vorführen, Interesse an einem neuen Thema wecken, Entwicklungen und Modelle geometrischer Körper durchführen, handwerkliche Elemente erlernen.

ERWARTETES ERGEBNIS – Am Ende der Projektarbeit werden die Studierenden in der Lage sein, sich in den einfachsten geometrischen Situationen zurechtzufinden, geometrische Figuren in der Umgebung zu erkennen und Antworten auf die Fragen zu erhalten: Warum wird die Mathematik in Algebra und Geometrie unterteilt, wie wird Geometrie verwendet? Leben, warum ist es nötig? Sie lernen, wie man geometrische Körper und Handarbeitselemente entwickelt.

Themen, die bei Schülern Interesse geweckt haben und sich im Projekt widerspiegeln: Architektur von Gebäuden, Landschaftsgestaltung, Geometrie im Alltag (Geschirr, Nähen, Parkett), Geometrie in der Kunst, Raum, Sport, Symmetrie in der Natur, Verwendung geometrischer Formen in die Tierwelt, Geometrie von Spielzeug.

FORSCHUNGSMETHODEN:

Analyse und Synthese.

Zusammenfassung der während des Forschungsprozesses gesammelten Materialien.

Inhaltsverzeichnis

Einleitung……………………………………………………………………………3-5

Der Ursprung der Geometrie……………………………………….6-7

Geometrie und Architektur……………………………………………………..8-13

Geometrie und Kunst……………………………………………………………14-16

Geometrie in der Natur…………………………………………….17-18

Geometrie im Raum……………………………………………..19

Geometrie im Alltag………………………………………………………20-28

Fazit………………………………………………………….29

Referenzen……………………………………………………………………..30

11.Anhang (Folien)

Einführung

Manchmal merken wir nicht, in was für einer geometrischen Welt wir leben. Die Welt der Geometrie umgibt uns von Geburt an. Schließlich hat alles, was wir um uns herum sehen (ein rechteckiges Fenster, ein geheimnisvolles Schneeflockenmuster, quaderförmige Häuser, ein Fahrradreifen), auf die eine oder andere Weise mit der Geometrie zu tun.

„Ich denke, dass wir noch nie zuvor in einer so geometrischen Zeit gelebt haben. Alles drumherum ist Geometrie.“ Diese Worte des großen französischen Architekten Le Corbusier zu Beginn des 20. Jahrhunderts charakterisieren unsere Zeit sehr treffend.

Nächstes Jahr müssen wir ein neues Fach studieren – Geometrie. Unser Wissen ist noch nicht groß, aber wir hoffen, dass wir durch das Studium dieses Themas viele interessante Dinge entdecken werden.

Pyramiden

Seit vielen Jahrtausenden, nach verschiedenen Schätzungen zwischen 4.500 und 200.000 Jahren, hat die Menschheit verschiedene pyramidenförmige Strukturen geschaffen. Die alten Ägypter waren bemerkenswerte Mathematiker und Ingenieure. Ägyptische Pyramiden sind riesige Gräber. Wie aus Würfeln bestehen sie aus riesigen behauenen Steinblöcken. Die größte Cheopspyramide ist höher als ein vierzigstöckiges Gebäude. Die Ägypter hatten weder Kräne noch leistungsstarke Wagenheber. Es ist immer noch nicht klar, wie sie das gemacht haben. Alle Pyramiden haben genau die gleiche regelmäßige Form. Und sie stehen nicht willkürlich da: Eine Seite zeigt immer nach Osten, die andere nach Norden, Süden und Westen. Die Ägypter wussten schon vor 5.000 Jahren, wie man Pyramiden baut.

Pyramiden wurden auf allen Kontinenten gefunden und sogar auf dem Mars entdeckt.

Ein Blick auf den Zweck der Großen Pyramiden legt nahe, dass sie als Wissensspeicher früherer Zivilisationen geschaffen wurden, eingebettet in eine Pyramidenform mit Dimensionen, die mit mathematischen Konstanten verknüpft sind.

Pyramidenformen werden auch in der modernen Architektur umgesetzt. Dies wird durch im Bau befindliche Gebäude in Moskau und anderen Städten bestätigt, und in der Regel wird das Dach oder der dekorative Aufbau in Form von Pyramiden hergestellt.

Interessante Fakten.

Laborstudien haben gezeigt, dass im Inneren der Pyramiden: das Wachstum von Mikroorganismen stoppt; es kommt zu keinem Lebensmittelverderb. Auch die Auswirkungen von Pyramiden auf Prävention und Gesundheitsförderung sind bekannt. Der Aufenthalt innerhalb bestimmter Pyramidenstrukturen auf einer bestimmten Höhe oder in ihrer Aktionszone sowie das Trinken von in ihrer aktiven Zone aufbereitetem Wasser ermöglicht es einer Person, ihre Gesundheit effektiv zu verbessern.

Kunst und Geometrie

Ein Mensch unterscheidet Gegenstände um ihn herum anhand ihrer Form. Das Interesse an der Form eines Objekts kann durch eine lebenswichtige Notwendigkeit bedingt sein oder durch die Schönheit der Form verursacht werden. Die Form, deren Konstruktion auf einer Kombination aus Symmetrie und dem Goldenen Schnitt basiert, trägt zur besten visuellen Wahrnehmung und zum Erscheinungsbild eines Gefühls von Schönheit und Harmonie bei. Das Ganze besteht immer aus Teilen, unterschiedlich große Teile stehen in einem bestimmten Verhältnis zueinander und zum Ganzen.

Das Prinzip des Goldenen Schnitts ist die höchste Manifestation der strukturellen und funktionalen Perfektion des Ganzen und seiner Teile in Kunst, Wissenschaft, Technik und Natur. Der Goldene Schnitt und sogar die „göttliche Proportion“ der Mathematik der Antike und des Mittelalters sind die Teilung eines Segments, wobei die Länge des gesamten Segments so mit der Länge des größeren Teils des kleineren zusammenhängt . Auch Objekte um uns herum liefern oft Beispiele für den Goldenen Schnitt. Beispielsweise haben viele Bucheinbände ein Längen-Breiten-Verhältnis von etwa 0,618. Betrachtet man die Anordnung der Blätter am gemeinsamen Stängel der Pflanze, fällt auf, dass sich zwischen jeweils zwei Blattpaaren das dritte im Goldenen Schnitt befindet.

Der Goldene Schnitt in Leonardo da Vincis Gemälde „La Gioconda“

Das Porträt von Mona Lisa ist attraktiv, weil die Komposition der Zeichnung auf „goldenen Dreiecken“ basiert (genauer gesagt auf Dreiecken, die Teile eines regelmäßigen sternförmigen Fünfecks sind).

Goldener Schnitt in der Architektur

St. Basil Kathedrale

Trotz der fantastischen Vielfalt an dekorativen Details und deren Kontrast zeichnet sich der Tempel durch eine überraschend harmonische Gesamtkomposition aus. Die Komposition der Domgebäude zeichnet sich durch eine harmonische Kombination symmetrischer und asymmetrischer Proportionen aus. Der Goldene Schnitt ist sowohl in der Breite als auch in der Höhe des Tempels vorhanden.

Es ist kaum legitim zu sagen, dass die Architekten der Basilius-Kathedrale den Goldenen Schnitt und seinen mathematischen Ausdruck 1,618 oder 0,618 kannten und diesen Wert bei ihren Konstruktionen bewusst verwendeten.

„Ich möchte immer mit Formen spielen“

Richard Sarson

Richard Sarson ist ein in London lebender Grafiker.

Die geometrischen Werke von Richard Sarson hypnotisieren und faszinieren und zwingen einen dazu, immer wieder auf sich selbst zu blicken und in das komplizierte Geflecht der Linien zu blicken ... Und um sie zu erstellen, braucht man nicht viel – einen Kompass, Papier und Kugelschreiber.

Obwohl die meisten von Richards Zeichnungen aus Hunderten sich überschneidenden Kreisen bestehen, behauptet der Autor selbst, dass er nie absichtlich versucht hat, diese besondere Form darzustellen. Alle seine Werke haben eine klare Struktur und der Künstler ist davon überzeugt, dass der Betrachter zunächst auf das Werk als Ganzes achtet und nicht auf die Elemente, aus denen es besteht. Gleichzeitig bestreitet Richard nicht, dass er die Einfachheit des Kreises für schön hält: „Es ist etwas Unglaubliches, eine Linie zu ziehen und an den gleichen Ort zurückzukehren, an dem man angefangen hat.“

Allerdings, so der Autor, wirken die mit einem Kugelschreiber gezeichneten Linien manchmal zu grob und offensichtlich. Daher experimentierte Richard Sarson neben Zeichnungen auf Papier auch mehrfach mit dreidimensionalen Bildern und schuf eine Reihe von Arbeiten aus auf Nadeln gespannten Fäden. Einer der Vorteile solcher Arbeiten besteht darin, dass Sie den Faden jederzeit wieder zu einer Kugel aufwickeln und den erfolglosen Teil der Arbeit wiederholen können, während beim Zeichnen auf Papier eine umständliche Bewegung die gesamte Arbeit ruinieren kann.

„Ich lebe nach Formen“, gibt Richard Sarson zu. – Ich liebe Formen, ihr Gefühl, ihren Geruch und ihren Geschmack; ihre Schärfe und Glätte; Enttäuschung über ihre abstrakte Individualität; Bewunderung für ihre Fähigkeit, zu überraschen und zu vermitteln, was wir nicht in Worte fassen können. Ich liebe kleine und große Formen, komplex und einfach. Ich möchte den Menschen durch meine Arbeit zeigen, wie wunderbar sie sind.“ Und dieses entzückende Geständnis enthält alles von Richard, seine ganze Leidenschaft.

Symmetrie in der Natur

„Symmetrie“ ist ein Wort griechischen Ursprungs. Es bedeutet wie „Harmonie“ Proportionalität, das Vorhandensein einer bestimmten Ordnung, Muster in der Anordnung der Teile.

Objekte und Phänomene der belebten Natur weisen Symmetrie auf. Es erfreut nicht nur das Auge und inspiriert Dichter aller Zeiten und Völker, sondern ermöglicht es auch lebenden Organismen, sich besser an ihre Umgebung anzupassen und einfach zu überleben.

In der belebten Natur weist die überwiegende Mehrheit der lebenden Organismen verschiedene Arten von Symmetrien auf (Form, Ähnlichkeit, relative Lage). Darüber hinaus können Organismen unterschiedlicher anatomischer Struktur die gleiche äußere Symmetrie aufweisen.

Die spezifische Struktur von Pflanzen und Tieren wird durch die Eigenschaften des Lebensraums, an den sie sich anpassen, und die Merkmale ihrer Lebensweise bestimmt.

Beispielsweise zeichnen sich die Blätter vieler Pflanzen durch Spiegelsymmetrie aus. Die gleiche Symmetrie findet sich auch bei Blumen, allerdings tritt bei ihnen Spiegelsymmetrie oft in Kombination mit Rotationssymmetrie auf. Es gibt auch häufige Fälle von figurativer Symmetrie (Akazienzweige, Ebereschenbäume).

Bienenwabe - ein echtes Design-Meisterwerk. Sie bestehen aus einer Reihe sechseckiger Zellen. Dies ist die dichteste Verpackung, die es Ihnen ermöglicht, die Larve vorteilhaft in der Zelle zu platzieren und bei größtmöglichem Volumen den Baustoff Wachs am wirtschaftlichsten zu nutzen.

Raum

Auf Fotos sieht Saturn etwas gestreift aus: Seine dichte Atmosphäre ist ständigen Ost-West-Winden ausgesetzt. Die meisten von ihnen bilden geschlossene runde Ringe, die den gesamten riesigen Planeten bedecken, aber 1988 wurde eine Strömung um den Nordpol registriert, die ein riesiges Sechseck bildet (jede der Flächen hat ungefähr die gleichen Abmessungen wie unser gesamter Planet).

Zunächst entschieden Wissenschaftler, dass es durch einen mächtigen Sturmtrichter entstanden sei. Eine erneute Untersuchung im Jahr 2006 ergab jedoch, dass der Sturm bereits abgeklungen war, das Sechseck jedoch bestehen blieb.

Einige Wissenschaftler beschlossen, den umgekehrten Weg zu gehen und durch die Simulation von Strömungen und Winden im Labor zu versuchen, eine so klare geometrische Struktur zu erhalten.

Die atmosphärischen Strömungen um den Nordpol des Saturn bewegen sich schneller als der Planet selbst und genau mit der gleichen Geschwindigkeit, die zur Bildung eines Sechsecks führt. Es bleibt jedoch noch unklar, welche Kraft diese Wirbelströmung erzeugt und sie schneller rotieren lässt als die anderen.

Parkette

Bei Parkett handelt es sich um kleine gehobelte Holzstreifen (Nieten), die als Bodenbelag verwendet werden. Parkett ist der Boden selbst, der aus dicht verlegten Nieten besteht. Es gibt verschiedene Arten von Parkett:

Stück;

Schriftsatz;

Schild;

Parkettbretter.

Parkettböden zeichnen sich durch besondere Komplexität und künstlerischen Wert aus.

XVII-XVIII Jahrhundert. Ihnen wurde der Name „Naryschkin-Barock“ zugewiesen.

Tempel dieses Stils erschienen auf den Anwesen der Naryshkins, Verwandten von Peter I. mütterlicherseits. Ein wunderbares Denkmal ist die Kirche des Zeichens der Heiligen Jungfrau Maria am Scheremetjewo-Hof, die zwischen 1680 und 1690 erbaut wurde.

Der Boden im Inneren des Gebäudes basiert auf geometrischen Mustern: Würfel, Rauten, Quadrate, Kreuze, vielstrahlige Sterne. Dadurch wurde es für Handwerker einfacher, Parkett herzustellen, da nur rechte Winkel und Schnitte erforderlich waren. Russische Handwerker stellten Parkettböden aus heimischen Hölzern her: Eiche und Esche, Buche und Birne, Erle und Lärche, Birke und Walnuss, Ahorn.

Ornamente

Seit jeher schmücken Menschen die Dinge, die sie im Alltag umgeben. Zu diesem Zweck malten sie verschiedene Motive auf die Wände ihrer Häuser, auf Geschirr, Waffen sowie auf Stoff- und Lederprodukte – Blumen und Blätter, Tiere, Menschen, geometrische Formen.

Wenn die Oberfläche groß genug war, zeichneten die Handwerker ein Muster und wiederholten es viele Male, sodass sie die gesamte Oberfläche des Objekts ausfüllten. So entstand das Ornament.

Es gibt verschiedene Arten von Ornamenten:

--Natürliche Verzierung – kann aus Bildern von Pflanzenzweigen, Blättern, Blumen, Muscheln, Schmetterlingen, Vögeln und Tieren bestehen.

Dekoratives Ornament – ​​besteht aus den gleichen natürlichen Formen, nur modifiziert, angepasst an die Form und den Zweck des Objekts, das es schmückt.

Geometrisches Muster – besteht aus verschiedenen geometrischen Formen, am häufigsten Kreisen, Quadraten und Dreiecken.

Abstraktes Ornament- stellt Kombinationen abstrakter Formen und Farbflecken dar, die keinem bestimmten Objekt ähneln.

Geschichte des Patchworks

Es ist allgemein anerkannt, dass die Patchwork-Technik in ihrer modernen Form ihren Ursprung in England hat. Die Entstehungsgeschichte reicht jedoch bis in sehr ferne Zeiten zurück. Eines der Nationalmuseen in Kairo zeigt ein Beispiel eines aus Gazellenlederstücken genähten Ornaments aus dem Jahr 980 v. Chr., und das Tokio-Museum enthält antike Kleidung aus etwa derselben Zeit, verziert mit Mustern aus verschiedenen Stoffresten. In Russland etablierte sich die Patchwork-Technik im 19. Jahrhundert mit dem Aufkommen fabrikgefertigter Stoffe.

Wenn das menschliche Leben nur auf rein utilitaristische Bedürfnisse reduziert würde, wäre er als Spezies längst ausgestorben. In Russland beispielsweise hatte selbst Bauernkleidung – ein einfaches Leinenhemd – farbig genähte Armlöcher, Einsätze auf der Brust, manchmal einen farbigen Mantel, verzierte Kragen und bestickte Säume, oft mit Applikationen aus andersfarbigen Materialien (meist rot). . Aus Schönheit, nicht aus Armut.

Ein Wandpaneel oder eine Decke für ein Landhaus, in der Reste von Familienkleidung gesammelt werden, haben einen besonderen Charme. Ein gewisser Zauber des Lebens, eine durchdringende Erinnerung an eines ihrer „Glücks“-Kleider, den Morgenmantel ihrer Großmutter oder das Sommerkleid ihrer Mutter, in dem sie ins Resort ging. Ein solches Produkt birgt eine gewisse Lebensfreude und eine solche Decke kann für viele Jahre zu einer Art Glücksbringer werden, einem Totem Ihres Zuhauses.

Das Leben eines jeden Menschen ist eine Art Patchwork-Leinwand, auf der sich helle und magische Momente mit grauem Alltag und dunklen Tagen abwechseln. Und jede Handwerkerin schafft sozusagen die Leinwand ihres Lebens. Und vielleicht mögen sie deshalb bei Patchwork-Mosaiken keine stumpfe schwarze Farbe und versuchen, weniger davon zu haben und zumindest kleine Erbsen oder Blumen, um sie aufzulockern.

Geometrie unter Spielzeugen

Eltern kaufen oft Baukästen für ihre Kinder. Beim Bau großer Burgen kennen Kinder nicht die Namen der Figuren, aus denen der Baukasten zusammengesetzt wurde. Dies sind Würfel, Kegel, Zylinder, Pyramiden, Kugeln, Parallelepipede. Kinder entwickeln beim Spielen eine räumliche Vorstellungskraft, die es ihnen ermöglicht, gut zu lernen und sogar einen zukünftigen Beruf zu wählen.

Gerichte

Jeden Tag im Alltag verwenden wir immer wieder verschiedene Gerichte, aber wir denken nie darüber nach, wie und wann sie erschienen sind, wie sie aussahen und wie sie verwendet wurden. Gerichte gibt es schon vor langer Zeit, ihre Geschichte reicht bis in die Antike zurück.

Es wird angenommen, dass die Töpferei von einer Frau erfunden wurde. Frauen waren stärker in die Hausarbeit eingebunden und mussten für die Sicherheit der Lebensmittel sorgen. Korbgeschirr wurde zunächst einfach mit Ton überzogen. Und wahrscheinlich landeten solche Gerichte zufällig nicht weit vom Feuer entfernt. Damals erkannten die Menschen die Eigenschaften von gebranntem Ton und begannen, daraus Gerichte herzustellen.

Meistens waren die Gerichte mit verschiedenen Ornamenten verziert, das waren geometrische Figuren, tanzende Menschen, Blumenrosetten und Tierfiguren.

Geschirr gibt es aus verschiedenen Materialien:

Hölzern

Porzellan

Metall

Ton

Geometrie im Sport

Im Sport ist die Geometrie üblich, zum Beispiel hat ein normaler Fußball die Form eines Kreises, sonst wäre es unmöglich, ihn zu treten. Der Ball selbst besteht aus vielen Teilen, die wie Fünfecke geformt sind. Und im American Football hat der Ball eine ovale Form und wird nicht wie üblich mit den Füßen, sondern mit den Händen gespielt. Andernfalls ist es schwierig, die Flugbahn des Balls und den Ausgang des Spiels vorherzusagen.

Fußballtor

Auch Fußballtore haben eine geometrische Form.

Das Tor selbst hat die Form eines Rechtecks, und der Abstand zwischen dem Kreuz und dem Ende des Tors hat die Form eines Dreiecks.

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Abschluss

PRAKTISCHE BEDEUTUNG: Die Präsentation kann im Unterricht und bei außerschulischen Aktivitäten für Schüler der Klassen 5-6 zur Einführung in den Abschnitt Mathematik und Geometrie eingesetzt werden, um Interesse am Thema zu wecken und den Schülern zu helfen, den Zusammenhang zwischen Geometrie und der sie umgebenden Welt zu erkennen.

SCHLUSSFOLGERUNGEN: Diese Arbeit war nicht einfach, aber wir haben das gewünschte Ergebnis erzielt. Wir haben viel Neues gelernt und durch Beobachtungen und das Studium neuer Fakten unsere Hypothese bestätigt: Alles um uns herum ist Geometrie. Wir haben die gesammelten Informationen systematisiert, eine Präsentation vorbereitet und das Projekt verteidigt. Während der Projektarbeit wurden wir Freunde und hörten uns aufmerksam die Meinungen unserer Klassenkameraden zu jeder vorgeschlagenen Idee an. Wir haben viel gelernt:

Verschiedene Elemente der Handarbeit,

Entwicklungen und Modelle geometrischer Körper erstellen,

Internetressourcen nutzen, mit Text arbeiten, analysieren,

– geometrische Formen in Objekten um uns herum sehen,

– zusammenarbeiten

– die Meinungen des anderen respektieren,

Erworbene Fähigkeiten zum öffentlichen Reden.

Wir begannen, uns für diese Wissenschaft zu interessieren. In Zukunft würden wir gerne mehr über Geometrie erfahren, wir könnten dieses Projekt fortsetzen, da das Volumen riesig ist, und weitere andere Designarbeiten durchführen.

Referenzliste:

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2) V.G. Zhitomirsky, L.N. Shevrin „Reise durch das Land der Geometrie“. Moskau, 1991.

3) WENN Sharygin, L.N. Erganzhieva „Visuelle Geometrie“, Moskau, 2006.

4) Zusammengestellt von: L.V. Kuznetsova, L.O. Roslova, S.B. Suworow „Geometrie“. Aufgaben für Schüler der 6. Klasse. Entwicklungstrainingsprogramm. Mathematik, 2009.

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8) I. Depman „Die Welt der Zahlen.“ Leningrad, „Kinderliteratur“, 1963.

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10) N. Vasyutkin „Goldener Schnitt“. M.: „Junge Garde“, 1990.

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12) Was ist das? Wer ist das. Band 1. „Pädagogik“ 2001.

13) N. S. Safonova; O. S. Molotobarova „Handwerk“, „Aufklärung“, Moskau, 1978.

14) „Ich erkunde die Welt“ Zusammengestellt von: T. Ponomareva; E. Ponomarev

15) G. V. Dorofeev „Mathematik 6“, „Bustard“, 1995.

Der als nächstes besprochene Mann war einer der bedeutendsten Himmelsforscher aller Zeiten. Seine Werke trugen nicht weniger zum Fortschritt auf dem Gebiet der Astronomie bei als das Werk „Über die Umdrehungen der Himmelssphären“ (1543) von Nikolaus Kopernikus und „Mathematische Prinzipien der Naturphilosophie“ (1714) von Isaac Newton. Die Wissenschaft sollte Kepler dankbar sein, dass er die Prinzipien und Methoden der Forschung, die die Grenze zwischen mittelalterlicher und moderner Naturwissenschaft zu symbolisieren schienen, entscheidend auflöste.

Johannes Kepler wurde am 27. Dezember 1571 in Weil, einer Kleinstadt am Rande des Schwarzwalds, geboren. Schon während seines Studiums der Evangelischen Theologie (das auch die Astronomie einschloss) und dem Abschluss als Magister der Theologie verärgerte Kepler seine Lehrer immer wieder mit kritischen und unvoreingenommenen Stellungnahmen zu kontroversen Themen der Theologie. Und als die evangelische Waisenhausschule in Graz einen Mathematiklehrer brauchte, schickten Keplers Tübinger Mentoren den eigensinnigen Schüler wohl ohne großes Bedauern dorthin.

Zu diesem Zeitpunkt war Kepler bereits mit den Grundprinzipien des kopernikanischen Weltsystems vertraut. Aus den Lippen seines Tübinger Mathematiklehrers Maestlin erfuhr er mit entsprechender Vorsicht von einer neuen Vorstellung vom Aufbau der Welt, die ihn zunächst faszinierte. Der Grund dafür war rein theologischer Natur: In der Sonne, im kosmischen Raum mit Erde und Menschen, auf anderen Planeten sowie in der Sphäre mit den Fixsternen sah Kepler eine Art Spiegelbild der Heiligen Dreifaltigkeit . Doch bald verschwand der Charme.

Der geometrische Standpunkt zur Struktur der Welt, der die ursprüngliche metaphysische Idee ablöste, wurde zur letzten Etappe in der Biographie des Theologen Kepler, die eigentlich nie begann. Dies wurde durch seine Aufgaben im Zusammenhang mit der Arbeit in Graz erheblich erleichtert: die Erstellung eines Kalenders und astrologische Prognosen, die ein gründliches Studium der Astronomie voraussetzten.

Als Kepler über den Weltraum nachdachte, kam er auf eine ziemlich seltsame Idee: Gibt es einen Zusammenhang zwischen der Zahl der damals bekannten Planeten (sechs) und der Zahl der regulären euklidischen Körper (fünf)? Im Wesentlichen handelte es sich um eine Idee über das geometrische Prinzip der Konstruktion eines Planetensystems. Kepler entwickelte seine Idee weiter und stellte bald fest, dass eine solche Verbindung tatsächlich stattfinden sollte.

So stellte Kepler in seinem Frühwerk „Kosmographische Mysterien“ die Anordnung der Planeten dar.

Durch die Verschachtelung eines Tetraeders (Tetraeder), eines Hexaeders (Würfel), eines Oktaeders (Oktaeder), eines Dodekaeders (Dodekaeder) und eines Zwanzigeders (Ikosaeder) stellte Kepler fest, dass sphärische Oberflächen, deren Durchmesser den Abmessungen der entsprechen Planetenbahnen im kopernikanischen System können sich sowohl innerhalb als auch außerhalb dieser regelmäßigen geometrischen Körper befinden. Wenn also ein Sechseck in die Saturnkugel eingeschrieben ist, dann ist die darin eingeschriebene Kugel genau die Jupiterkugel. Wenn wir weiterhin ein Tetraeder in die Kugel des Jupiter einschreiben und dabei die Sonne als Mittelpunkt nehmen, dann wird die in dieses Tetraeder eingeschriebene Kugel einen Durchmesser haben, der dem Durchmesser der Umlaufbahn des Mars entspricht. Auf ähnliche Weise erhält man die Durchmesser der Planetenbahnen von Erde, Venus und Merkur, wenn man die richtigen geometrischen Körper in der folgenden Reihenfolge einfügt: Dodekaeder, Ikosaeder und Oktaeder. Kepler war fest davon überzeugt, dass er das innerste „Geheimnis der Welt“, einen Teil des „Plans des Universums“, verstanden hatte. Die Anzahl der Planeten wurde seiner Meinung nach gerade dadurch bestimmt, dass es fünf Arten regelmäßiger Körper gibt, die sich nacheinander in sechs Planetensphären befinden können.

Kepler entwickelte seine Vorstellung von den geometrischen Prinzipien der Konstruktion der Welt mit beneidenswerter Beharrlichkeit und der festen Überzeugung, dass er Recht hatte. Darin lässt sich bereits der Stil seines Denkens und Schaffens erkennen: Er zeichnete sich gleichermaßen durch die wilde Fantasie eines Dichters und die Gewissenhaftigkeit und Beharrlichkeit eines einfachen Buchhalters aus. Die Fantasie gab die Richtung der Suche vor, und die kalte Vernunft führte streng und konsequent zum Ziel. Im Alter von 25 Jahren legte Kepler all diese Schlussfolgerungen in seinem ersten Werk „Das kosmographische Mysterium“ oder „Das Geheimnis des Universums“ (Prodromus Dissertationum Cosmographicarum continens Mysterium Cosmographicum oder Mysterium Cosmograph icum) dar.

Heute wissen wir mit Sicherheit, dass die Beziehung zwischen Planetenbahnen und den fünf von Kepler abgeleiteten regelmäßigen Polyedern absolut unbegründet ist. Doch inspiriert von seinem ersten Erfolg wollte Kepler seine Forschungen fortsetzen. Seine Korrespondenz mit Wissenschaftlern zeigt, dass er für sich ein äußerst kühnes Lebensprogramm skizzierte, an das er sich mit erstaunlicher Konsequenz hielt. Er definierte sein Ziel mit den Worten: „Von der Existenz der Dinge, die unsere Augen sehen, zu den Gründen für ihre Existenz und Entstehung voranschreiten.“ Diese Worte des jungen Kepler könnten zum Motto der gesamten neuen Naturwissenschaft gemacht werden.

Der Gedankenreichtum der Originalveröffentlichung veranlasste Tycho Brahe, auf Kepler aufmerksam zu machen. Er lud ihn zur Zusammenarbeit nach Prag ein (obwohl Kepler ein Vierteljahrhundert jünger war als er), obwohl er weder die Astronomie von Kopernikus noch die Ideen von Kepler selbst erkannte.

Brahe war voller Hoffnung, dass Keplers Genie in der Lage sein würde, die Fakten zu analysieren, die er über Jahrzehnte seiner Beobachtungen gesammelt hatte. Natürlich sollte der Zweck dieser Analyse einer sein: die Richtigkeit des Weltsystems nach Tycho zu beweisen.

Der Text der Arbeit wird ohne Bilder und Formeln veröffentlicht.
Die Vollversion des Werkes ist im Reiter „Arbeitsdateien“ im PDF-Format verfügbar

Einführung

Geometrie als Wissenschaft hat sich seit der Antike entwickelt. Die Notwendigkeit, die Anbaufläche zu vermessen, die Notwendigkeit, Gebäude und Bauwerke zu errichten – all dies diente als Anstoß für das Studium der Muster verschiedener Figuren. Neben rein praktischen Problemen lösten antike Geometer allerlei geometrische Rätsel, die im Alltag keinen konkreten Nutzen hatten, aber gerade diese Forschungen ermöglichten es, bekannte geometrische Zusammenhänge in Form von Axiomen der Geometrie streng zu begründen . So wurden die Eigenschaften eines Kreises, Kegelschnitten (Parabel, Hyperbel), Spiralen, regelmäßigen Vielecken usw. untersucht. Alle diese Zahlen müssen den antiken Wissenschaftlern von der Natur selbst vorgeschlagen worden sein. So findet man jeden Tag einen Kreis in Form von Sonnen- oder Mondscheiben, eine Parabel und eine Hyperbel sind ein sehr anschauliches Beispiel für die Kurven, die beim Schnitt eines Kegels entstehen, Polygone findet man in Form von Seesternen, Kristallen usw In Form von Blüten verschiedener Pflanzen ist eine Spirale in Form von Muscheln zu erkennen. So schlug die Natur selbst Objekte vor, die der Mensch studieren sollte.

Die Hypothese, die ich in dieser wissenschaftlichen Forschung aufgestellt habe, ist, dass die Welt um uns herum als geometrisch korrekt angesehen werden kann. Diese Annahme basiert gerade auf der Tatsache, dass die Entwicklung der Geometrie mit der Untersuchung von Objekten begann, die dem Menschen von der Natur selbst vorgeschlagen wurden, was bedeutet, dass die Natur bereits Elemente enthält, die aus menschlicher Sicht geometrisch korrekt sind, und es daher keinen Grund gibt Ich glaube nicht, dass die Welt größtenteils geometrisch korrekt ist.

Ziel der Forschungsarbeit wird es sein, bestimmte Bewertungsmerkmale zu entwickeln, die es ermöglichen, Objekte der umgebenden Welt unter dem Gesichtspunkt der Zugehörigkeit zu einer bestimmten „richtigen“ Art zu bewerten und anschließend verschiedene Arten von Naturobjekten direkt zu bewerten .

Das Ergebnis wird eine Schlussfolgerung über die Bestätigung oder Widerlegung der von mir aufgestellten Hypothese sein.

1. Entwicklung von Bewertungsmerkmalen

1.1. Definition des Idealbegriffs

Schon die Definition von „geometrisch korrekt“ beantwortet die Frage: „Was ist ein geometrisch korrektes Objekt?“ Ein solches Objekt ist ein Objekt, das nach einer Regel, einem Gesetz, gebildet wird, das heißt, es hat eine Grundlage, die es von einem willkürlich zusammengesetzten Objekt unterscheidet. Anscheinend kann es für jedes Objekt mehrere solcher Regeln geben.

Ist das Objekt (Abbildung 1) geometrisch korrekt? Höchstwahrscheinlich nein. Das verrät uns der gesunde Menschenverstand, der etwas Vergleichbares hat. Es gibt keine allgemeine Glätte in dieser Figur, es gibt viele scharfe Winkel und es gibt ein gewisses Missverhältnis der Einzelteile.

Abbildung 1. Jede Figur. Abbildung 2. Kleines Sterndodekaeder

Das folgende Objekt hat jedoch wahrscheinlich das Recht, als geometrisch korrekt bezeichnet zu werden (Abbildung 2). Obwohl dieses Objekt um ein Vielfaches schärfere Ecken als das vorherige und keine glatten Linien aufweist, können wir dennoch mit Sicherheit sagen, dass dieses Objekt in seiner Klasse wirklich ideal ist.

Das Ideal einer geometrischen Figur existiert also zweifellos. Der menschliche Geist hat auf der Grundlage von Erfahrungen und zahlreichen Beobachtungen das Konzept eines Ideals entwickelt. Eine Person kann fast immer sicher angeben, ob ein bestimmtes Objekt zu einem idealen Typ gehört oder nicht, ob es sich um den höchsten Punkt in der Reihenfolge seiner Bestandteile handelt.

1.2. Ideale geometrische Objekte und ihre Eigenschaften

Betrachten wir die grundlegenden geometrischen Objekte: Kreis, Quadrat, Raute, Rechteck, gleichseitiges Dreieck, gleichschenkliges Dreieck, regelmäßiges Vieleck, Ellipse, Parkett (Abbildung 3).

1 – Kreis, 2 – Quadrat, 3 – Raute, 4 – Rechteck, 5 – gleichseitiges („regelmäßiges“) Dreieck, 6 – gleichschenkliges Dreieck, 7 – regelmäßiges Vieleck, 8 – Ellipse, 9 – Parkett

Abbildung 3. Verschiedene geometrische Objekte

Die Regeln, nach denen diese Zahlen gebildet werden, sind nicht schwer zu bestimmen. Das Quadrat zeichnet sich durch die Gleichheit seiner Seiten und vier Symmetrielinien aus (Linien, die parallel zu seinen Seiten oder entlang von Diagonalen durch die Mitte des Quadrats verlaufen). Eine Raute zeichnet sich durch die Gleichheit aller Seiten und zwei Symmetrielinien aus. Ein regelmäßiges Dreieck hat alle gleichen Seiten und drei Symmetrielinien. Jedes regelmäßige Vieleck hat alle gleichen Seiten und eine große Anzahl von Symmetrielinien. Ein Kreis ist die symmetrischste Figur; die Anzahl der Symmetrielinien darin ist unendlich. Wenn wir Parkett betrachten, dann ist seine Haupteigenschaft die sich wiederholende Kombination identischer Figuren, zum Beispiel Parkett aus rechteckigen „Bretter“, die im Fischgrätenmuster angeordnet sind, oder in Form von „Ziegel“-Mauerwerk.

Ähnliche regelmäßige Figuren finden sich auch bei dreidimensionalen Figuren. Dies ist eine Kugel, ein Torus (Donut), alle Arten regelmäßiger Polyeder (Tetraeder, Oktaeder, Hexaeder oder Würfel, Ikosaeder, Dodekaeder), Parallelogramm, verbundene sechseckige Prismen (Wabe). Die Haupteigenschaften, die solche Figuren charakterisieren, sind wiederum Symmetrie, aber nicht nur relativ zu einer Achse, sondern auch relativ zur Ebene; Wiederholung einzelner miteinander verbundener Elemente, wie im Beispiel mit einer Wabe; Bildung einer Figur durch Drehung um eine beliebige Achse.

1.3. Entwicklung einer Liste von Bewertungsmerkmalen

Bei der Analyse der Eigenschaften idealer Figuren stellte sich heraus, dass alle Arten dieser Figuren zweifellos zwei Haupteigenschaften haben:

Symmetrie;

Gleichheit oder Ähnlichkeit der Bestandteile.

Gleichheit der Teile wird in einem Quadrat, einer Raute oder einem gleichseitigen Dreieck beobachtet – als Gleichheit der Seiten. Sie haben auch eine oder mehrere Symmetrielinien.

Der Ball hat unendlich viele Symmetrieachsen und Symmetrieebenen, aber es gibt keine Gleichheit oder Ähnlichkeit seiner Bestandteile.

Die Symmetrie eines Torus, oder im Volksmund eines Donuts, ist eine Folge seiner Bildung durch Drehung eines Kreises relativ zu einer davon entfernten Achse.

Alle Arten regelmäßiger Polyeder sind symmetrisch und bestehen aus einer bestimmten Anzahl identischer Figuren (Dreiecke, Quadrate, Fünfecke).

Alle Arten von Parkettböden, die aus Rechtecken, Dreiecken und anderen Komponenten bestehen, haben zusammen eine „richtige“ geometrische Form, die durch die Gleichheit der sich wiederholenden Teile erklärt wird.

Aus all dem können wir schließen, dass es überhaupt nicht schwierig ist, eine „normale“ geometrische Figur von einer beliebigen zu unterscheiden; es reicht aus, herauszufinden, ob eine bestimmte Figur eine Achse oder Symmetrieebene hat und auch, ob sie zusammengesetzt ist der Wiederholung identischer oder ähnlicher Teile (wie die Archimedes-Spirale – zweifellos eine ideale Figur, aber ohne Symmetrieachse, jedoch ähnelt jede ihrer Windungen der vorherigen).

Daher werden wir verschiedene Objekte der umgebenden Welt anhand des Vorhandenseins/Fehlens von Symmetrie und Gleichheit oder Ähnlichkeit von Komponenten auf ihre Übereinstimmung mit der „richtigen“ geometrischen Form bewerten.

2. Bewertung von Objekten der umgebenden Welt

2.1. Klassifizierung geometrischer Objekte der umgebenden Welt

Die gesamte für den Menschen sichtbare Welt kann in zwei Teile geteilt werden. Ein Teil ist die Welt, deren Gegenstände vom Menschen selbst geschaffen werden. Und das andere ist die umgebende Welt der natürlichen Objekte. Natürlich sind die Objekte – architektonische Gebäude, Fahrzeuge – die eine Person mit ihren eigenen Händen geschaffen hat, geometrisch korrekt. Daher besteht keine Notwendigkeit, sie zu berücksichtigen. Achten wir auf natürliche Objekte.

Objekte der umgebenden Welt können in die folgenden Kategorien eingeteilt werden: mikroskopische Objekte (Moleküle, Zellen, Bakterien, Viren, kleine Insekten, Sand, Staub usw.); makroskopische Objekte (Planeten, Sterne, Galaxien, etwas weniger – Berge, Meere, Ozeane, Landschaft im Allgemeinen); Objekte der Flora (Bäume, Pflanzen, Blumen, Pilze); Objekte der Fauna (Tiere, Fische, Vögel, Menschen).

Von links nach rechts: Spiralgalaxie, Gebirge in Peru, Planet Erde, Farnblätter, Brokkoliblüte, Efeublatt, Drachenbaum, Quasar, Nautilus-Fossil, Virus, Apatit, DNA-Helix, Sonnenblume

Abbildung 4. Objekte der umgebenden Welt

2.2. Anwendung von Bewertungsmerkmalen auf jede Objektklasse

Betrachten wir Objekte aus jeder Kategorie hinsichtlich der Einhaltung der oben genannten Kriterien.

Moleküle haben eine hochentwickelte Eigenschaft der Gleichheit oder Ähnlichkeit ihrer Bestandteile. Dies lässt sich leicht durch die Art und Weise erklären, wie Moleküle gebildet werden, die aus sich wiederholenden chemischen Verbindungen bestehen. Die Verbindungen von Molekülen untereinander bilden oft regelmäßige Formen; ein Beispiel ist Graphit, in dem Kohlenstoffmoleküle Sechsecke bilden. Die Formen einiger Viren (siehe Abbildung 4) ähneln regelmäßigen Polyedern.

Die Eigenschaften der Symmetrie oder Gleichheit der Bestandteile lassen sich jedoch weder auf Feinstaub, Sand noch auf die Zellen lebender Organismen übertragen. Dies erklärt sich aus der Tatsache, dass jedes Sandkorn, Staub oder jede Zelle ein isoliertes Objekt ist, das keine starke Beziehung zu ähnlichen Objekten hat und daher ihre Verbindungen diese Eigenschaften nicht haben. Aber in jedem Sandkorn oder jeder Zelle einzeln können diese Eigenschaften nachgewiesen werden. Quarzsand besteht beispielsweise aus winzigen Quarzkristallpartikeln. Gleichzeitig weisen die Kristalle eine ausgeprägte symmetrische Struktur auf (Abbildung 4).

Auch Weltraumobjekte haben weitgehend Symmetrieeigenschaften. Dies gilt für die Planeten des Sonnensystems, die eine Kugelform haben; Sterne, die meist die Form einer Kugel haben; Spiralgalaxien, die aufgrund der Rotation die Form von Spiralen annehmen, wobei jeder Sternzweig dem anderen ähnlich ist; Quasare – supermächtige Objekte, die Energieströme aussenden und sich schnell drehen (Abbildung 4). Im Allgemeinen sind die Eigenschaften von Rotation und Symmetrie charakteristisch für Weltraumobjekte; dank dieser Eigenschaften existieren sie und bilden Massenklumpen, die ohne Rotation im Raum verstreut wären.

Unter den Objekten der Flora und Fauna gibt es auch viele, die ausgeprägte Symmetrie- oder Ähnlichkeitseigenschaften aufweisen. Eine Wabe ist ein Beispiel für ein regelmäßiges Sechseck.

Farnblätter haben einen hohen Grad an Selbstähnlichkeit, ihre Blätter sind an dünnen Zweigen verbunden, Zweige sind an dickeren Zweigen verbunden und so weiter, wodurch eine verzweigte, selbstähnliche Struktur entsteht. Die Adern der Efeublätter verlaufen absolut symmetrisch um die Mittellinie. Sonnenblumenkerne werden in einem eleganten, symmetrischen Muster gesammelt (Abbildung 4).

Auch für die Tier- und Menschenwelt gilt das Prinzip der Symmetrie. Dabei handelt es sich jedoch nicht um eine ausgeprägte Symmetrie wie in den obigen Beispielen, sondern dennoch – jedes Lebewesen ist symmetrisch, hat symmetrische Bewegungsorgane, einen symmetrischen Aufbau von Körper und Kopf. Ein markantes Beispiel ist die Symmetrie der Schmetterlingsflügel. Raupen beispielsweise bestehen aus vielen ähnlichen Segmenten.

Die erstaunlichste Tatsache, die Geometrie und Natur verbindet, ist das in der Antike entdeckte Prinzip des Goldenen Schnitts in der Natur.

Der Goldene Schnitt ist im Allgemeinen ein Verhältnis, bei dem die Flächen aufeinanderfolgender geometrischer Figuren zu ≈1/1,618 in Beziehung stehen. Diese Beziehung wird deutlich durch die Beziehung zwischen jeweils zwei benachbarten Quadraten, deren Punkte auf einer logarithmischen Spirale liegen (Abbildung 5).

Abbildung 5. Goldener Schnitt in der Natur

Das Prinzip des Goldenen Schnitts ist charakteristisch für lebende Organismen. Daher haben Molluskenschalen die Form einer Archimedes-Spirale. Die Beziehung zwischen Verzweigungsknoten in Pflanzen und lebenden Organismen ist der Goldene Schnitt.

Daher sind Achsensymmetrie und Gleichheit oder Ähnlichkeit der Bestandteile einer breiten Klasse natürlicher Objekte inhärent.

2.3. Objekte, die nicht bewertet werden können

Neben der offensichtlichen Symmetrie gibt es in der Natur häufig Objekte, deren Aussehen nicht den offensichtlichen geometrischen Analogien entspricht.

Beispiele hierfür sind Gebirgszüge, die meisten Bäume (Abbildung 5), die Formen von Meeren und Flüssen sowie andere Objekte. Um Objekte dieser Klasse zu „konstruieren“, gelten andere Kriterien, die keine Symmetrie beinhalten. Dies ist die sogenannte implizite Ähnlichkeit.

Betrachten Sie einen Baum. Sein Stamm gabelt sich meistens ab einer bestimmten Höhe und bildet zwei Stämme mit kleinerem Durchmesser, die möglicherweise überhaupt nicht symmetrisch sind. Dann gabelt sich auch jeder der Stämme. Dies setzt sich bis zu den Blättern des Baumes fort, deren Adern sich ebenfalls auf der Blattoberfläche gabeln, alles endet am Blattrand, der ebenfalls eine Rippenstruktur aufweist. Solche Objekte, bei denen Selbstwiederholungen in der Struktur vorhanden sind, werden Fraktale genannt. Diese Notation wurde 1975 vom Mathematiker Benoit Mandelbrot in seinem Buch The Fractal Geometry of Nature eingeführt.

Fraktale kommen in der Natur sehr häufig vor. Ein klassisches Beispiel ist Brokkoli (Abbildung 4), dessen Form sich in jeder Komponente wiederholt. Aufgrund seiner hohen Ähnlichkeit weist dieses Objekt eine starke Symmetrie auf und gehört daher zur Klasse der „normalen“ geometrischen Objekte. Aber das passiert nicht immer. Die verzweigten Flussnetze oder das menschliche Kreislaufsystem weisen keine offensichtliche Symmetrie auf, aber sie haben die Eigenschaften eines Fraktals, eine implizite Ähnlichkeit ihrer Bestandteile.

Im Allgemeinen weisen Objekte, in deren Formen keine Anzeichen von „Richtigkeit“ erkennbar sind, keine große Wechselwirkungskraft zwischen ihren Bestandteilen auf, was es der Struktur des Objekts nicht ermöglicht, vollständige geometrische Formen anzunehmen .

Abschluss

Bei der Erforschung der Frage, ob die Welt als geometrisch korrekt angesehen werden kann, habe ich die Hypothese aufgestellt, dass die Objekte der umgebenden Welt als geometrisch korrekt angesehen werden können. Diese Hypothese entstand aus der Annahme, dass die Geometrie selbst aus Beobachtungen idealer Objekte in der Natur entstand.

Als nächstes untersuchte ich die Eigenschaften idealer geometrischer Formen und stellte fest, dass diese Formen zwei Hauptmerkmale aufweisen – Symmetrie und Gleichheit oder Ähnlichkeit ihrer Bestandteile. Ich habe diese Eigenschaften als bewertende Eigenschaften genommen, um sie als Bewertung auf Objekte der umgebenden Welt anzuwenden.

Bei der Analyse der Formen verschiedener Naturobjekte wurde festgestellt, dass die meisten von ihnen die oben genannten Eigenschaften aufweisen. Die übrigen Objekte, die keine ausgeprägten Eigenschaften haben, werden von mir in die Klasse der Fraktale oder zusammengesetzten Objekte ohne starke Wechselwirkung ihrer Bestandteile eingeordnet.

Auf der Grundlage all dessen lässt sich argumentieren, dass die Welt zum größten Teil geometrisch korrekt ist und aus Objekten besteht, die zunächst Ähnlichkeitseigenschaften besitzen, was auf das Vorhandensein einer starken inneren Wechselwirkungskraft zwischen Teilen zurückzuführen ist, z Ergebnis, bei dem Objekte Formen annehmen, die regelmäßigen geometrischen Figuren ähneln.

Die aufgestellte Hypothese wird bestätigt.

Liste der verwendeten Literatur

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