يُطلق على التعيين الفردي الذي يتميز بخاصية الحفاظ على الزوايا من حيث الحجم والاتجاه وخاصية التوسيع المستمر للأحياء الصغيرة للنقاط المعينة رسم الخرائط المطابقة.

للتأكد من أن الانعكاس هو واحد لواحد ، يتم تمييز مجالات شليشتنيس للوظيفة. يُطلق على المجال D مجال التكافؤ للوظيفة f (z) إذا.

الخصائص الأساسية للتعيينات المطابقة:

1) ثبات التمدد. الخطية عند نقطة ما هي نفسها لجميع المنحنيات التي تمر عبر هذه النقطة ، وهي متساوية ؛

2) المحافظة على الزوايا. يتم تدوير جميع المنحنيات عند نقطة ما بنفس الزاوية التي تساوي.

تعرض الوظيفة نقاط المستوى z (أو سطح Riemann). في كل نقطة z بحيث تكون f (z) تحليلية (أي أنها محددة بشكل فريد وقابلة للتفاضل في بعض المناطق المجاورة لهذه النقطة) ويكون التعيين مطابقًا ، أي ، الزاوية بين منحنيين يمران بالنقطة z ، تتساوى في المقدار ويتم توجيهها إلى الزاوية المرجعية بين المنحنيين المتناظرين في المستوى.

يتم تعيين مثلث متناهي الصغر بالقرب من هذه النقطة z في مثلث متناهي الصغر مماثل - مستوى ؛ يتم شد كل جانب من جوانب المثلث بشكل متناسب وتدويره بزاوية. يتم تحديد عامل التشويه (النسبة المحلية للمساحات الصغيرة) في الشاشة بواسطة Jacobian للشاشة

عند كل نقطة z حيث يكون التعيين مطابقًا.

يحول التعيين المطابق الخطوط إلى مجموعة من المسارات المتعامدة في المستوى w.

منطقة المستوى z ، التي تم تعيينها على مستوى w بأكمله بواسطة الدالة f (z) ، تسمى المنطقة الأساسية للدالة f (z).

النقاط التي تسمى نقاط العرض الحرجة.

يُطلق على التعيين الذي يحتفظ بالحجم وليس الاتجاه المرجعي للزاوية بين منحنيين اسم الخرائط المتساوية أو المطابقة من النوع الثاني.

يعد التعيين مطابقًا عند اللانهاية إذا كانت الوظيفة ترسم أصلًا إلى المستوى بشكل مطابق.

يتقاطع منحنيان بزاوية عند نقطة ما إذا قام التحويل بتحويلهما إلى منحنيين يتقاطعان بزاوية عند نقطة ما.

وبالمثل ، فإن الخرائط المطابقة لنقطة تتوافق مع نقطة ما.

أمثلة كلاسيكية للتخطيطات غير الرسمية

أبسط الأمثلة

مثال 1. استخدم الوظيفة لرسم خط مستقيم على مستوى.

نقوم بتحويل الخط المستقيم.

هكذا،

نستبدل المعادلات الناتجة:

ونحصل

نستثني x من المعادلات التي تم الحصول عليها.

من المعادلة (1) نجد س ونحصل عليها

عوّض (3) في المعادلة (2):

نحن نحصل

لنرسم الخطوط الناتجة في الشكل 1.

الشكل 1 رسم الخرائط المطابقة عن طريق الوظيفة المباشرة

الإجابة: لذلك ، تم تعيين خط مستقيم يقع في المستوى xOy بشكل مطابق في منحنى (القطع المكافئ) الموجود في المستوى

مثال 2. أوجد زاوية الدوران وعامل تشويه المقياس عند نقطة عرضه:

عند عرضها باستخدام الوظيفة ، تكون زاوية الدوران و.

في هذه النقطة لدينا

الجواب: (ضغط).

مثال 3. أوجد زاوية الدوران وعامل تشويه المقياس عند نقطة ما عند عرضها:

عند عرضها باستخدام الوظيفة ، تكون زاوية الدوران ، وعامل تشويه المقياس عند هذه النقطة

في هذه النقطة لدينا

(تمتد).

الجواب: (التمدد).

مثال 4. أوجد نقاط المستوى التي يكون عندها عامل تشويه المقياس مساويًا لـ 1 عند عرض:

عامل تشويه المقياس عند نقطة ما هو

أوجد المشتق

بالتالي،

مثال 5. أوجد نقاط المستوى التي يكون فيها عامل تشويه المقياس مساويًا لـ 1 عند عرض:

عامل تشويه المقياس عند نقطة ما هو

أوجد المشتق

حسب الحالة ، يجب أن يكون عامل تشويه المقياس مساويًا لـ 1.

بالتالي،

يمكن حساب أنظمة الأقطاب ذات المجالات الكهروستاتيكية المعقدة ثنائية الأبعاد باستخدام طريقة رسم الخرائط المطابقة. الفكرة الرئيسية لهذه الطريقة هي استبدال الحقول المعقدة بحقول بسيطة معروفة الحلول لها. تتضمن هذه الحقول البسيطة مجالات مكثف مسطح أو أسطواني بعيدًا عن حوافها. طريقة رسم الخرائط المطابقة هي تطبيق عملي لنظرية وظائف المتغير المعقد. التعيين المطابق هو تعيين مستمر يحافظ على شكل الأشكال متناهية الصغر (متناهية الصغر). ل رسم الخرائط المطابقةتتحقق خاصية ثبات الزوايا وثبات التمدد. يأتي الاسم من اللاتينية المتأخرة - المطابقة- عرض مشابه ومستمر يحافظ على شكل الأشكال متناهية الصغر: على سبيل المثال ، بي إم. الدائرة لا تزال ب. حول؛ الزوايا بين الخطوط عند نقطة تقاطعها مع بعضها البعض لا تتغير. مجال تطبيق طريقة الخرائط المطابقة لحساب المجالات الكهربائية هو المجالات الكهروستاتيكية ثنائية الأبعاد.

التحويل المطابق خرائط كل نقطة ض=x+ي × ذمجال حسابي حقيقي ، وصفه مستوى معقد ، إلى حد ما ث=ش+ي × الخامسمستوى معقد آخر ، مع تكوين مجال أبسط. تكمن الصعوبة الرئيسية لهذه الطريقة في العثور على نوع الوظيفة لنظام قطب كهربائي حقيقي معين. في الممارسة العملية ، عند محاولة العثور على وظيفة رسم الخرائط المطابقة ، يتم استخدام كتالوجات خاصة للتعيينات المطابقة ، أو يتم البحث عنها من خلال التجارب المتتالية.

افترض أننا نعرف شكل بعض التحول ض=و (ث)أو التحول العكسي ث=و (ض)، والذي ينشئ تطابقًا واحدًا لواحد بين طائرتين معقدتين معقد ( ض) وبسيط ( ث) تكوين المجال. عامل التحويل هو النسبة د / د.

هنا يتم استخدام العلاقات:

, . (2.94)

وبالمثل ، يمكنك كتابة:

. (2.95)

يتساوى عددان مركبان إذا تساوي الجزءان الحقيقي والتخيلي بشكل منفصل. بمقارنة قيم معامل التحويل الواردة في التعبيرات (2.93) و (2.95) ، يمكنك كتابة:

تُعرف التعبيرات (2.96) بشروط كوشي-ريمان. باستخدام أشكال مختلفة لتمثيل الأعداد المركبة ، يمكن كتابة عامل التحويل على النحو التالي:

أين هو معامل التغيير في طول المقاطع أثناء التحويل ، و tg (j) = ب / أ(j هي زاوية دوران المقاطع أثناء التحويل). من علاقات كوشي-ريمان ، نحصل على:

(2.99)

من العلاقات (2.97) - (2.98) يتبع ذلك معامل التحويل المطابق مهي القوة النسبية للمجال الكهربائي ، ولكل وظيفة شو الخامسيمكن اختياره كاحتمالية على مستوى معقد جديد ث=و (ش ، ت)... يمكن التحقق من هذا الاستنتاج بطريقة أخرى. إذا كان يعمل شو الخامسيمكن اختياره كإمكانات ، ثم يجب أن يفي كل منهم بمعادلة لابلاس: د ش= 0 و د الخامس= 0. يمكن التحقق من ذلك عن طريق التمايز المباشر المتكرر لظروف كوشي-ريمان. دعونا نفرق بين الشرط الأول فيما يتعلق NS، والثاني في؛ اجمع النتيجة ننقل جميع المشتقات المهمة إلى الجانب الأيسر من السجل ونترك صفرًا على اليمين:

; ; . (2.100)

من التعبير الذي تم الحصول عليه يتبع ذلك الوظيفة شيفي بمعادلة لابلاس (1.25) ، (1.30) ويمكن اعتباره محتملًا. دعونا نفرق بين الشرط الأول فيما يتعلق في، والثاني - بقلم NS:

; ; , (2.101)

أولئك. والوظيفة الخامسيفي أيضًا بمعادلة لابلاس ويمكن أيضًا اعتباره محتملًا. منذ خطوط القوة وخطوط متساوية الجهد على المستوى ض=و (س ، ص)متعامدة بشكل متبادل ، ويترك التحويل المطابق الزوايا بين الخطوط عند نقطة تقاطعها دون تغيير ، ثم من (2.97) ¸ (2.101) يتبع ذلك إذا كانت الوظيفة شالمقبولة ، على سبيل المثال ، للإمكانات ، ثم الخط مع الخامس= const - خط القوة. لو الخامس- الإمكانيات إذن ش= const - خط القوة. أي من الوظائف شأو الخامسهي الإمكانية ، والتي هي خط القوة ، يجب تحديدها من تحليل التحويل المطابق للمجال على المستوى الأولي ض=و (س ، ص)في الميدان على متن الطائرة ث=و (ش ، ت).أي وظيفة ض = و (ث)(أو ث = و (ض))يعطينا حلًا لأي مشكلة في الكهرباء الساكنة. يمكنك التوصل إلى وظيفة عشوائية ، وإيجاد حلول لها ، ثم تحديد نظام القطب المناسب للحلول التي تم العثور عليها. تم العثور على العديد من الحلول لمشاكل الكهرباء الساكنة بهذه الطريقة (للخلف).

عند العثور على شدة المجال الكهربائي بطريقة الخرائط المطابقة ، يجب مراعاة الظروف المهمة التالية. يتم تحديد صورة المجال الكهربائي بالكامل بواسطة المعلمات الهندسية لنظام القطب ، بغض النظر عن المقياس المكاني والجهد المطبق. لذلك ، يمكن وصف المجال بالقوة لكل وحدة جهد أو طول. التعبيرات (2.97) - (2.98) تمثل مثل هذا التوتر النسبي. للحصول على الجهد الفعلي ، يجب مراعاة الجهد المطبق الفعلي والمسافة الفعلية بين الأقطاب الكهربائية. يتم ذلك بضرب التعبيرات (2.97) - (2.98) في عامل القياس كم... دع المسافة بين الأقطاب الكهربائية في الطائرة ثيساوي ش 2 -ش 1 (الخامس 2 -الخامس 1) ، إذا كانت الوظائف شأو الخامس، على التوالى. ثم يأخذ عامل القياس الشكل:

كم= يو/(ش 2 -ش 1) أو كم= يو/(الخامس 2 -الخامس 1). (2.102)

مكثف أسطواني.على الرغم من أن حساب المجال الكهروستاتيكي للمكثف الأسطواني مذكور في الفقرة 2.5 ، فإننا سنعتبره مثالاً على تطبيق طريقة التعيينات المطابقة. مجال مكثف أسطواني (مجال من دائرتين متحدة المركز) على مستوى هويمكن تعيينها في حقل موحد (حقل مكثف مسطح) عن طريق التحويل التالي:

ض = ه ث; س + ي × ص = e u + jv = الاتحاد الأوروبي(كوس الخامس+ي× الخطيئة الخامس).

دعونا نفصل بين الأجزاء الحقيقية والخيالية:

خط مستقيم على مستوى حقيقي ضيمر من خلال الأصل بزاوية ميل إلى المحور NSمساو الخامس= يذهب const إلى خط مستقيم على المستوى ثبالتوازي مع محور حدودي.

في ش= const على الطائرة ثيتم الحصول على نظام من الخطوط المستقيمة الموازية للمحور الإحداثي. على السطح ضإنها تتوافق مع نظام من الدوائر متحدة المركز. من الواضح أن الخطوط ذات ش= يجب اعتبار const خطوط محتملة ، و الخامس- لخطوط القوة الميدانية. سيتم حساب الشد وفقًا للصيغة (2.97):

طول المقطع الصغير المحول عند النقل من المستوى ضعلى متن الطائرة ثالتغييرات إلى 1 / صمرات أين صهي المسافة إلى مركز الدوائر. كلما ابتعد عن المركز ، قل معامل التغيير في أطوال المقاطع. يتم تدوير المقطع المنقول بالزاوية j = arctan (- ص / س). الزاوية بين الشعاع الذي ينتقل من نقطة الأصل إلى منتصف المقطع المحول والمحور NSيصبح صفر. تشغيل كل أنصاف الأقطار ض- الطائرات تتحول إلى ث- طائرات في خط مواز للمحور ش... عامل المقياس

توتر

(2.103)

تتطابق الصيغة الناتجة (2.103) ، كما هو متوقع بحكم نظرية التفرد ، مع التعبير (2.18) الذي تم الحصول عليه باستخدام نظرية Ostrogradskii-Gauss.

حقل داخل الزاوية اليمنى يتكون من مستويين

كمثال آخر على تطبيق طريقة التعيينات المطابقة ، ضع في اعتبارك حقلاً يتكون من طائرتين متعامدين غير متناهيين. من الواضح أن نظام الإلكترود هذا له تناظر انتقالي مع خطوة ترجمة صغيرة للغاية على طول المستويات ومستوى تناظر يمر بزاوية 45 درجة لكل من المستويات. يتم تقليل هذا المجال إلى مجال ثنائي الأبعاد ، ولتحديد معلماته ، يكفي حساب خصائص المجال بين أحد المستويات ومستوى التناظر. بالنسبة للحقول ثنائية الأبعاد ، يمكن تطبيق طريقة رسم الخرائط المطابقة. مجال في ض- يظهر المستوى العمودي على خط تقاطع المستويات المشحونة في الشكل 2.20 أ. خلف المحور NSو فيخطوط تقاطع الطائرات المشحونة مع ض- طائرة. يتم تحويل الحقل الموجود داخل الزاوية اليمنى المكونة من المستويين إلى حقل موحد عن طريق التحويل ث = ض 2. دعنا نظهر هذا:

ث= ش+جي = ض 2 = (x+جي) 2 = x 2 + ي 2س ص – ذ 2 ; ش = x 2 – ذ 2 ; الخامس = + ي 2س ص.

في ش= خطوط ثابتة موازية للمحور الخامسعلى السطح ث، إلى عائلة من القطوع الزائدة متساوية الساقين x 2 – ذ 2 = أ 2 على متن طائرة ض... المحور 0 NSهو المحور الحقيقي (البؤري) للقطوع الزائدة ، والمحور فيمحوره التخيلي. خط مستقيم يمر عبر نقطة الأصل بزاوية 45 درجة مع المحور NS (ش = 0; ذ = x) ، يمثل خط التقاطع ض- طائرة ذات مستوى تناظر وهي خط تقارب للقطوع الزائدة. زاوية تقاطع القطوع الزائدة مع المحور NSيساوي 90 درجة ، أي خطوط الوظائف ش=NS 2 -في 2 عمودي على خط متساوي الجهد NS(سطح الطائرة المشحونة NS).

المهام الخامس = 2س صبقيم مختلفة الخامسوصف عائلة أخرى من القطوع الزائدة متساوية الساقين ، والتي لها محاور NSو فيهي الخطوط المقاربة والخط في = NSهو المحور البؤري. يوضح الشكل 2.20 أ القطوع الزائدة ذات الخامس= 4 ، 16 ، 36. ل الخامس= 0 يتدهور القطع الزائد في محور الإحداثيات NSو فيالتي تتزامن مع الطائرات المشحونة. نظرًا لأن سطح الطائرات المشحونة هو سطح له نفس الإمكانات ، فمن الواضح أنه الوظيفة الخامسيجب أن تؤخذ كوظيفة محتملة على المستوى ث... في هذه الحالة ، الوظيفة شهي وظيفة قوة. مجال طائرتين متعامدتين غير متناهيتين (محاور NSو فيتشغيل ض- الطائرة) إلى مجال موحد لمستوى مشحون لانهائي (المحور الخامستشغيل ث- طائرة).

يمكن أن يؤدي التحول المطابق ، مع الحفاظ على شكل الأشكال متناهية الصغر ، إلى تغيير شكل الأشكال النهائية بشكل كبير. مثال على هذا التغيير هو تحول المربع ا ب ت ثمع الإحداثيات أ(0,8;0,8), ب(0,8;4), ج(4;4), د(4 ؛ 0.8) في ض- الطائرات في رباعي الزوايا المنحني أ ، ب ، ج ، د ،مع الإحداثيات أ ¢(0;1,28), ب ¢(-15,36;6,4), ج ¢(0;32), د ¢(15.36 ؛ 6.4) في ث- طائرات.

دعونا نحدد القوة النسبية للمجال الإلكتروستاتيكي للطائرات المشحونة في الشكل 2.20 أ. من الصيغتين (2.97) و (2.98) لتحديد الشدة سنستخدم (2.98) ، حيث إنها الوظيفة الخامس = 2س صيصف نظام الأسطح متساوية الجهد (الخطوط). عامل التحويل الخطي:

, (2.104)

طول المقطع الصغير المحول عند التحويل من ض- على متن الطائرة ث- تزيد الطائرة بمقدار 2 صمرات أين ص=NS 2 +في 2 - المسافة إلى ض- الطائرات من الأصل إلى مركز القطعة. يتم تدوير الجزء المنقول بالزاوية j = arctan ( ص / س). يوجد مضاعفة للزاوية بين الشعاع الذي ينتقل من نقطة الأصل إلى نقطة المنتصف للمقطع والمحور NS... عامل المقياس كم = يو/(الخامس 2 -الخامس 1) = يو/(2x 2 ذ 2 -2x 1 ذ 1). تُحدد شدة المجال بضرب القوة النسبية بمعامل مقياس: ه=ه ¢ × ك م... دع عامل القياس يكون كم= 100 واط / م. دعونا نحدد شدة المجال عند نقطتين على المستوى المشحون: أقرب إلى زاوية تقاطع المستويات ن 1 (1 ؛ 0) وبعيد عنها ن 2 (5;0).

W / م ، × ث / م.

كلما اقتربنا من الزاوية ، انخفضت شدة المجال. يمكن توقع هذه النتيجة من نمط الحقل في الشكل 2.20: تتناقص المسافة بين خطوط الجهد المتساوي مع المسافة من الزاوية. أي انخفاض (مسافة بادئة ، انخفاض ، تجويف ، صدع ، إلخ) على سطح القطب يمكن وصفه تقريبًا بالمشكلة التي تم النظر فيها. بعد ذلك ، مع الأخذ في الاعتبار نتائج القسم السابق ، يمكننا أن نستنتج: بالقرب من الحافة أو النتوء ، تزداد شدة المجال الكهربائي ، وتضعف بالقرب من الكساد أو الثقب. لوحظت صورة لسلوك المجال وخطوط الجهد متساوية الجهد شبيهة بالشكل 2.20 أ بالقرب من نقطة فرع المجال من شحنتين متشابهتين (§2.11).

حقل عند حافة مكثف مسطح (ملف Rogowski)

ضع الأصل على ض- الطائرات بحيث يكون المحور NSكانت موازية لطائرات مكثف وكانت على نفس المسافة منها أ... محور فيعمودي على الصفائح وتمر عبر حوافها. تم الحصول على وظيفة تعيين الحقل على حافة مكثف مسطح في حقل موحد بواسطة Yu.K Maxwell في عام 1881 بالشكل:

. (2.105)

بعد فصل المتغيرات نحصل على:

في السادس= 0, ذ = 0, ... في الخامس الثاني= ع ، ذ= أ ، .

من الواضح ، كدالة محتملة ، يجب على المرء أن يختار الوظيفة الخامس.

,

معتبرا أن كم=U / (v II -v I) = يو/ ص

(2.106)

في ش < -5 в области от السادس= 0 إلى الخامس الثاني= p ، يتم الحصول على حقل موحد تقريبًا بكثافة يو / ا... في ش®0 التوتر على القطب ( الخامس=الخامس الثاني =ع) يزيد بقوة ويميل إلى اللانهاية عند ش= 0. لا يختفي التوتر الأكبر في الأنظمة الحقيقية:

. (2.107)

بسماكة محدودة للوحة المكثف الخامس¹p ويظل التوتر محدودًا. القيمة الخامسيجب اختياره بحيث يتطابق السطح متساوي الجهد مع السطح الحقيقي للوحة المكثف. اسمحوا ان الخامس= 174 درجة = 29 ع / 30 ، ثم نسبة التوتر عند حافة القطب إلى متوسط ​​الشد:

.

يمكن ملاحظة أنه حتى عند الحافة الحادة إلى حد ما ، يزداد التوتر بشكل حاد. يمكن جعل هذه النسبة قريبة من الوحدة إذا كان سطح القطب الكهربائي مصنوعًا على شكل سطح متساوي الجهد الخامس£ ص / 2. يسمى ملف تعريف القطب هذا بملف Rogowski (الشكل 2.21c). على مسافة أ= p (المسافة 2p بين اللوحات) لها إحداثيات الخامس= ع / 2 وله x = ش+1; ذ= ع / 2 + الاتحاد الأوروبي، بمعنى آخر. في= ع / 2 + ه (NS-1) (2.108)

ملف روجوفسكي الشخصي له حجم كبير أهمية عمليةفي تجارب على الانهيار في حقل قريب من الزي الموحد للقضاء على تأثير الحافة. يحدث حقل موحد في وسط الجهاز باستخدام أقطاب Rogowski.

انقسام مجال الأسلاك.

في خطوط النقل ذات الجهد العالي ، يتم تقسيم سلك الطور إلى موصلات متعددة لتقليل فقد طاقة النقل بسبب تفريغ الهالة. لوصف مجال الانقسام

الأسلاك ، يمكنك استخدام وظيفة العرض ، حيث ن –

عدد الموصلات الفردية التي ينقسم إليها موصل الطور. كتوضيح لطريقة رسم الخرائط المطابقة ، ضع في اعتبارك التقسيم إلى سلكين ( ن= 2). (لاحظ أن هذه الحالة يمكن حلها بسهولة بطريقة الصور)

دع الطائرة ضعمودي على الأسلاك المنقسمة. دعنا نختار المحور NSتشغيل ضمستوي بحيث يمر عبر محور الأسلاك. دع المحور ذيمر عبر منتصف المقطع بين الأسلاك. يتم تبسيط الحل إلى حد كبير إذا لم تجد وظائف س ، ص=و (ش ، ت)والوظائف ش ، ضد = و (س ، ص)... بفصل الأجزاء الحقيقية والخيالية ، نحصل على:

,

خطوط متساوية الجهد تتوافق مع الوظيفة ش... لتعمل شيساوي صفرًا ، ويجب أن يكون اللوغاريتم صفرًا ، ويجب أن يكون التعبير الموجود بين قوسين معقوفين مساويًا 1. ثم العلاقة التالية صحيحة:

(NS 2 +في 2) 2 = 2أ 2 (NS 2 -في 2)

هذه الوظيفة تمر من خلال الأصل ض- طائرات. في شفي النطاق -1.28< ش < 0 на ض- يتم ملاحظة المستويات الدائرية على يمين ويسار المحور في... في ش-1.28 جنيه إسترليني عمليا هي نقاط ذات إحداثيات NS = -أو NS = أ... في ش> 0 الحلول عبارة عن منحنيات مغلقة ، والتي تتزايد شنهج في شكل الدوائر. تمثل هذه المنحنيات الخطوط المحتملة لمجال أسطوانتين بشحنات من نفس العلامة ، أي مجالات من سلكين بنفس الإمكانات. الأكثر أهمية هي النقاط الموجودة على سطح الأسلاك. ص 2 و ص 1 ، حيث لوحظت أعلى وأقل شدة للمجال على التوالي. نقطة ص 2 يقع على سطح السلك في أبعد نقطة عن السلك الآخر وله إحداثيات:

,

مع الأخذ في الاعتبار عامل المقياس للنقطة p 2 نحصل على:

. (2.109)

في s®0 ، يتحول نظام الإلكترود إلى نظام من أسطوانتين متحدتين ( ب=0, س= 0) (انظر (2.18)):

عادة لخط الطاقة p ³ 200.

أسئلة الاختبار الذاتي

1. أعط معادلات لابلاس الأساسية في الفضاء والمجال المتجانس والمتوازي للمستوى.

2. أعط معادلات لحساب الجهد وشدة المجال لشحنة نقطية. أوجد قدرة كرة معدنية واحدة.

3. أعط معادلات لحساب الجهد وشدة المجال لسلك مستقيم واحد رقيق بلا حدود بطول لانهائي.

4. أين المنطقة ذات أعلى شدة مجال للكابل المحوري؟ أوجد القطر الأمثل للنواة الداخلية لحجم معين من الغلاف الخارجي وفرق الجهد بينهما. حدد السعة الخطية للكابل المحوري.

5. لماذا تصنع الكابلات بعزل من أنواع مختلفة من المواد العازلة؟

6. اشرح تصميم جلبة المكثف والغرض منه.

7. ما هي طريقة التراكب وما هي السعة الجزئية؟

8. ما هو ثنائي القطب الكهربائي ، ما هي خصائص المجال ثنائي القطب؟ لشرح ما هي ظاهرة يستخدم مفهوم ثنائي القطب؟

9. ما هي أوجه الشبه والاختلاف بين مجالين من شحنة متشابهة ومتقابلة؟

10. تصور بيانيا مجال اثنين من المحاور اللانهائية المشحونة عكسيا. قدم معادلات لحساب مثل هذا النظام ووضح النقاط ذات شدة المجال القصوى.

11. ما هي طريقة التفكير؟ اشرح جوهر الطريقة بمثال لحساب معلمات المجال لسلك واحد فوق الأرض.

12. أعط طريقة لحساب معلمات مجال الشحنة النقطية الموجودة بالقرب من كرة معدنية.

13. حدد قوة المجال الكهربائي على سطح سلك منفرد يقع فوق سطح الأرض.

14. كيفية تحديد المعلمات الميدانية لخط من ثلاث مراحل؟

15. حدد الحد الأقصى من الضغط على حاجز الكرة.

16. أعط تقنية لإيجاد معلمات المجال التي تم إنشاؤها بواسطة موصل بطول محدود.

17. أعط تقنية لإيجاد معلمات الحقل الذي تم إنشاؤه بواسطة شحنة الحلقة.

18. أعط تقنية لإيجاد معلمات الحقل التي تم إنشاؤها بواسطة قرص مشحون.

19. كيف تعتمد معلمات المجال على نصف قطر انحناء سطح القطب؟ لماذا يجب عليك تنعيم وطحن أسطح أقطاب الجهد العالي؟

20. اشرح جوهر طريقة التعيينات المطابقة وسرد تسلسل العمليات الحسابية لهذه الطريقة.

21. ما هو ملف Rogowski الشخصي؟

22. كيف تنشأ الشحنة الفضائية ، وكيف تغير خصائص المجال الكهربائي؟

23. أي من خصائص المجال الكهربائي مماثلة للطاقة؟

24. أي من خصائص المجال الكهربائي تشبه القوة؟

25. لأي غرض ، في خطوط الكهرباء ذات الجهد المقنن 330 كيلو فولت وما فوق ، يتم تقسيم موصل أحادي الطور إلى عدة موصلات متوازية؟ حدد نقاط الشد الأقصى على الأسلاك المنقسمة. ما هي المسافات بين الموصلات المنقسمة؟

26. أين تكون شدة المجال الكهربائي بالقرب من سطح الأرض أعلى: في المنخفض (حفرة ، واد) أو على ارتفاع (تل ، تلة)؟ اشرح الإجابة بيانياً وبالحساب.

27. كيف تتغير شدة المجال الكهربائي على مستوى الأرض تحت خط طاقة أحادي الدائرة بترتيب أفقي لأسلاك الطور؟

28. أعط خوارزمية لحساب القدرة على الأرض لخط علوي ثلاثي الطور.

29. لأي غرض يتم تركيب شاشات الحلقة على الأجهزة ذات الجهد العالي؟

30. اشتق الصيغ لحساب معاملات المكثف الأسطواني.

تتمثل المهمة الرئيسية لنظرية التعيينات المطابقة في إنشاء رسم خرائط امتثالي لمنطقة معينة على منطقة معينة من مستوى المتغير w.

يُطلق على التعيين المستمر لمجال في فضاء إقليدي ثنائي الأبعاد إلى فضاء إقليدي ثنائي الأبعاد اسم امتثالي عند نقطة ما إذا كان في هذه المرحلة يتميز بخصائص التوسعات المستمرة والحفاظ على الزوايا. خاصية ثبات الامتدادات عند نقطة ما أثناء التعيين هي أن نسبة المسافة بين الصور والنقاط u إلى المسافة بين وتميل إلى حد معين عندما تميل إلى طريقة عشوائية ؛ الرقم يسمى معامل التمدد عند نقطة في التعيين المدروس. خاصية الحفاظ (المحافظة) على الزوايا عند نقطة ما أثناء رسم الخرائط هي أن أي زوج من المنحنيات المستمرة يقع في ويتقاطع عند نقطة بزاوية ب (أي وجود ظل عند نقطة تشكل زاوية ب بينهما) ، تحت رسم الخرائط قيد النظر ، يتقاطع مع زوج من المنحنيات المستمرة عند نقطة في نفس الزاوية ب. يسمى التعيين المستمر لمنطقة ما بالتوافق إذا كان مطابقًا في كل نقطة من هذه المنطقة.

بحكم التعريف ، يجب أن يكون التعيين المطابق للمجال مستمرًا ومتوافقًا فقط في النقاط الداخلية ، وإذا تحدثنا عن تعيين مطابق لمجال مغلق ، فعندئذ ، كقاعدة عامة ، فإننا نعني تعيينًا مستمرًا لمجال مغلق يكون مطابقًا في نقاطه الداخلية.

من الملائم النظر في التعيينات المطابقة لمنطقة من الفضاء الإقليدي ثنائي الأبعاد إلى فضاء إقليدي ثنائي الأبعاد كتخطيط لمنطقة من مستوى متغير معقد إلى مستوى متغير معقد ؛ وفقًا لذلك ، يعد التعيين دالة ذات قيمة معقدة لمتغير معقد. علاوة على ذلك ، إذا كان التعيين يحافظ على الزوايا عند نقطة ما ، فإن الزوايا المنحنية مع الرأس في هذا التعيين إما تحتفظ بقيمتها المطلقة وتوقيعها ، أو تحتفظ بقيمتها المطلقة ، وتغيير الإشارة إلى العكس. في الحالة الأولى ، يُقال أن التعيين عند نقطة ما هو تعيين مطابق من النوع الأول ؛ وفي الحالة الثانية ، يكون تعيينًا مطابقًا من النوع الثاني. إذا حددت دالة ما خريطة مطابقة من النوع الثاني عند نقطة ما ، فإن دالة الاتحاد المعقدة w = تحدد خريطة مطابقة من النوع الأول في نقطة ما ، والعكس صحيح. لذلك ، تتم دراسة التعيينات المطابقة فقط من النوع الأول ، وعادةً ما يُقصد بها عندما يتحدث المرء عن تعيين امتثالي دون تحديد جنسها. إذا كان التعيين مطابقًا عند نقطة ما ، فهناك حد محدود للنسبة ، أي يوجد مشتق. والعكس صحيح أيضا. وهكذا ، إذا كان موجودًا ، فإن كل متجه متناهي الصغر له أصل عند نقطة ما يتم تحويله عن طريق التعيين باستخدام دالة خطيةأولئك. تتمدد بواسطة عامل ، وتدويرها بزاوية arg ومزاحة بالتوازي بواسطة متجه.

في نظرية التعيينات المطابقة المسطحة وتطبيقاتها ، فإن السؤال الأساسي هو ما إذا كان من الممكن تعيين مجال معين بشكل فردي ومتوافق على نطاق آخر ، وفي التطبيقات العملية ، مسألة إمكانية القيام بذلك عن طريق المقارنة وظائف بسيطة... يتم حل المشكلة الأولى في حالة المجالات المتصلة ببساطة والتي لا تكون حدودها فارغة ولا تتدهور إلى نقاط بالمعنى الإيجابي بواسطة نظرية ريمان في رسم الخرائط المطابقة. يتم حل المشكلة الثانية لبعض المناطق من نوع خاص باستخدام الدوال الأولية لمتغير معقد.

المبادئ الأساسية لنظرية التعيينات المطابقة على رسم خرائط منطقة إلى أخرى

نظرية ريمان. اسمح أن يكون مجالًا متصلًا ببساطة للمستوى المعقد الممتد ، والذي يحتوي حده على نقطتين على الأقل. ثم:

• 1) هناك وظيفة تحليلية ترسم خرائط مطابقة لدائرة الوحدة
• 2) يمكن اختيار هذه الوظيفة بحيث تتحقق الشروط

أين مجموعة النقاط، الرقم الحقيقي المحدد. في هذه الحالة ، يتم تحديد الوظيفة بشكل فريد من خلال الشروط (1).

يمكن تعيين منطقتين مترابطتين ببساطة ، لكل منهما نقطتان حدوديتان على الأقل ، بشكل مطابق لبعضهما البعض. إن الاقتراح النظري المهم الذي يميز سلوك رسم الخرائط المطابقة بالقرب من حدود المجال هو المبدأ التالي للمراسلات الحدودية.

النظرية 1. لنفترض ببساطة أن المجالات المتصلة مقيدة بخطوط بسيطة ومتجانسة متعددة التعريف ، وتقوم الوظيفة بتعيين النطاق بشكل فردي ومتوافق على المجال. ثم:

• 1) الوظيفة لها استمرار مستمر لحدود المنطقة ، أي يمكن إعادة تعريفه عند نقاط الكفاف بحيث تحصل على دالة مستمرة في الإغلاق ؛
• 2) الوظيفة ، التي يتم تحديدها بشكل إضافي على الحدود ، ترسم الكفاف بطريقة فردية إلى الكفاف ، وبالتالي فإن اجتياز المحيط الإيجابي سيتوافق مع اجتياز إيجابي للكفاف.

النظرية 2. اجعل الدالة تحليلية في مجال متصل ببساطة يحده كفاف سلس متعدد التعريف ومستمر في إغلاق هذا المجال. إذا كانت الوظيفة تقوم بتخطيط واحد لواحد للكفاف إلى بعض الكفاف البسيط السلس ، فإنها تحدد المنطقة بشكل مطابق ومنفرد للمنطقة التي يحدها الكفاف ، ويتوافق الدوران حول المحيط في الاتجاه الإيجابي مع الذهاب حول الكفاف أيضًا في الاتجاه الإيجابي.

لإثبات النظرية ، يكفي إظهار ذلك

• 1) لكل نقطة هناك نقطة واحدة فقط ، أي الدالة لديها صفر واحد فقط في المنطقة ؛
• 2) لكل نقطة ليس هناك نقطة من هذا القبيل لا تأخذ الدالة أي قيمة لأي

دعونا نثبت البيان الأول. من خلال فرضية النظرية ، لا تختفي الوظيفة على الكفاف ، منذ ذلك الحين عندما تسقط النقطة على المحيط ، لكنها تكمن في ولا يمكن أن تنتمي. ومن ثم ، وفقًا لمبدأ الوسيطة ، فإن عدد أصفار الوظيفة في المنطقة يساوي

نظرًا لأن النقطة تقع في المنطقة التي يحدها الكفاف ، فعندئذٍ تتوافق علامة الجمع مع الاتجاه الإيجابي لاجتياز المحيط. القيمة السالبة في هذه الحالة مستحيلة ، لأنها تشير إلى وجود في منطقة أقطاب الوظيفة a ، بالشرط ، يكون تحليليًا فيها. وبالتالي ، فإن المعادلة في المنطقة لها حل واحد فقط.

تأمل العبارة الثانية. إذا كانت نقطة ما تقع في الحافة الخارجية للكفاف ، فإن المعادلة أيضًا ليس لها حلول في المنطقة أ ، مما يعني أن أي نقطة داخلية في المنطقة بموجب التعيين المطابق وغير التكافؤ تذهب إلى النقطة الداخلية للمنطقة. Q.E.D.

ملاحظة 1. تنطبق النظريتان 1 و 2 أيضًا على المجالات والمستوى المعقد الممتد الذي يحده خطوط بسيطة ومتجانسة ومتجانسة.

النظرية 3 (مبدأ الحفاظ على المنطقة) إذا كانت الوظيفة تحليلية في المنطقة وليست ثابتة ، فإن صورة المنطقة هي أيضًا منطقة.

لإثبات النظرية ، يلزم إظهار أن المجموعة متصلة ومفتوحة خطيًا. نظرًا لأن التعيين ، نظرًا للتحليل ، هو تعيين مستمر ، فإن صورة أي مجموعة متصلة بالمسار ضمن هذا التعيين هي مجموعة متصلة بالمسار. ومن ثم ، مجموعة متصلة خطيا.

دعونا الآن نثبت أن المجموعة المفتوحة ، أي أي نقطة تدخل مع بعض من جوارها. دع واحدة من الصور المسبقة للنقطة. إذا ، وفقًا لنظرية الوظيفة العكسية ، في بعض المناطق المجاورة لنقطة ما ، يتم تعريف دالة تكون معكوسة للدالة ، وبالتالي ، فإن جميع نقاط هذا الحي هي صور تحت التعيين وهي تنتمي بالكامل. إذا ، وصلنا إلى نفس النتيجة ، بالاعتماد على النظرية (في الوظيفة العكسية).

النظرية 4 (مبدأ المعامل الأقصى). إذا كانت الوظيفة تحليلية في المنطقة ، ووصل معاملها إلى قيمة قصوى محلية عند نقطة ما ، فإنها تكون ثابتة عند.

نقوم بالدليل بالتناقض. اسمحوا ان. بالنسبة للحظة ، نختار حيًا تعسفيًا ينتمي بالكامل إلى المنطقة ، ونفترض أنه ليس ثابتًا في الحي قيد الدراسة. وفقًا لمبدأ الحفاظ على المنطقة ، فإن صورة الدائرة عند عرضها هي مساحة. ومن ثم ، فإن جميع نقاط بعض المناطق المجاورة لنقطة ما هي صور لنقاط دائرة. في هذا الحي ، نختار النقطة التي (إذا كان بإمكاننا أخذها

وإذا ، يمكن اعتبار أي نقطة من الحي المشار إليه على أنها). بالنسبة لهذه النقطة ، لدينا> نظرًا لأنه يمكن اختيار جوار النقطة بنصف قطر صغير بشكل تعسفي ، فإننا نستنتج أن النقطة ليست نقطة ذات الحد الأقصى المحلي للدالة.

لذلك ، إذا لم تكن الوظيفة ثابتة بالقرب من نقطة ، فلن يكون لها حد أقصى عند هذه النقطة. إذا وصلت إلى الحد الأقصى في نقطة ما من المنطقة ، فإن الوظيفة تكون ثابتة في بعض المناطق المجاورة للنقطة ، أي في. وفقًا لنظرية التفرد لوظيفة تحليلية ، تتطابق الوظائف التحليلية في المجال. بمعنى آخر ، الوظيفة ثابتة عند.

نظرية 5. إذا كانت الوظيفة تحليلية في منطقة محدودةومستمر عند إغلاق هذه المنطقة ، ثم تصل الوظيفة إلى أقصى قيمتها عند حدود المنطقة.

في الواقع ، إذا كانت الوظيفة ثابتة عند ، فبفضل استمراريتها تكون ثابتة عند وبيان النظرية واضح.

ومع ذلك ، إذا لم تكن ثابتة في ، إذن ، وفقًا للنظرية 4 ، لا يمكن أن تصل الوظيفة إلى أكبر قيمة في المجال ، منذ ذلك الحين خلاف ذلك ، سيكون لها حد أقصى محلي. لكن كونه مستمرًا على مجموعة محدودة محدودة ، فإنه يصل إلى أقصى قيمته في هذه المجموعة: يمكن أن يحدث هذا فقط عند حدود المنطقة.

النظرية 6. إذا كانت الدالة تحليلية في منطقة ما ، ولا تحتوي على أصفار ووصل معاملها إلى حد أدنى محلي ، فإنها تكون ثابتة في هذه المنطقة.

النظرية 7 (لمة شوارز). إذا كانت دالة تحليلية في دائرة تفي بالشروط ، إذن ، و z. علاوة على ذلك ، المساواة أو ممكنة على الأقل عند نقطة واحدة z 0 فقط إذا

دليل. نظرًا لحقيقة أن النقطة هي صفر من الوظيفة ، يمكن تمثيل هذه الوظيفة في النموذج ، حيث - دالة تحليليةفي ، علاوة على ذلك. خذ بعين الاعتبار دائرة تحدها دائرة ، الوظيفة تحليلية عند ومتصلة عند. لذلك ، وفقًا للنظرية 5 ، تصل إلى أقصى قيمتها عند الحد. علاوة على ذلك ، منذ ذلك الحين من خلال فرضية النظرية. لذلك ، في كل مكان لدينا.

افترض أن عدم المساواة صمدت في مرحلة ما. دعونا نختار r<1 так, что. Тогда и, следовательно, . Получили противоречие, которое показывает, что на самом деле всюду в. В частности, в.

إذا وصلت الدالة إلى الحد الأقصى عند نقطة تساوي واحدًا. وبالمثل ، تعني المساواة أنها تصل إلى الحد الأقصى عند نقطة تساوي واحدًا. في كلتا الحالتين ، وفقًا لمبدأ المعامل الأقصى ، تكون الوظيفة ثابتة ، علاوة على ذلك. وبالتالي ، و.

نظرية 8. اجعل الوظيفة متناسقة في مجال محدود ومستمرة في إغلاق هذا المجال. إذا لم يكن ثابتًا عند ، فإنه يصل إلى القيم القصوى والدنيا فقط عند حدود هذه المنطقة.

المعنى الهندسي للوحدة وحجة الدالة التحليلية.دع الوظيفة ث = و (ض)هو تحليلي في بعض المجالات د. اختر نقطة عشوائية وارسم من خلالها منحنى سلس تعسفي يقع بالكامل فيه د... وظيفة و (ض)يعرض المنطقة دطائرة معقدة ( ض)لكل منطقة جيطائرة معقدة ( ث)... دعنا نرسم نقطة إلى نقطة ، ونرسم منحنى إلى منحنى. دعونا نشير بالزاوية التي يتكون منها المماس عند النقطة مع المحور ثور،ومن خلال - الزاوية التي يتكون منها الظل عند النقطة مع المحور أوي... منذ الوظيفة و (ض)تحليلي ، إذن هناك مشتق في أي نقطة في المنطقة د... افترض أن في د... يمكن تمثيل المشتق بشكل أسي ، أي اكتب في النموذج:

دعونا نختار طريقة الطموح التي تكمن فيها النقاط على المنحنى. ثم سيتم تصوير النقاط المقابلة للأرقام المركبة وعلى المستوى من خلال نواقل القاطع إلى المنحنيات وعلى التوالي ، وهي أطوال المتجهات القاطعة والزوايا التي تشكلها هذه المتجهات والمحاور الإيجابية. في ، تمر هذه النواقل القاطعة في ظل المنحنيات وعند النقاط و. من المساواة (10) يتبع ذلك ، أي الحجة المشتقة لها المعنى الهندسي للاختلاف بين زاوية متجه المماس وزاوية متجه المماس. نظرًا لأن المشتق لا يعتمد على طريقة المرور إلى النهاية ، فسيكون هو نفسه بالنسبة لأي منحنى آخر يمر عبر النقطة. بمعنى آخر ، يمر الأقواس بالنقطة ض 0على السطح ضعند العرض ث = و (ض)قم بتدوير نفس الزاوية على المستوى ث... عندما تكون الزاوية بين أي منحنيات على المستوى ( ض)يمر بالنقطة ض 0، تساوي الزاوية بين المنحنيات وعلى المستوى ( ث)، ثم يسمى هذا العقار المحافظة على الزوايا.

وبالمثل ، من المساواة (10) نحصل على: ، أي حتى قيم مرتبة أعلى من الصغر ، فإن المساواة التالية تصح:.

لا تعتمد العلاقة الأخيرة أيضًا على طريقة اختيار المنحنى ومعناها الهندسي هو أنه في ظل التعيين الذي تقوم به وظيفة تحليلية تفي بالشرط ، يتم تحويل العناصر الخطية متناهية الصغر (الأقواس المتناهية الصغر) بطريقة مماثلة ، ويتم تحويل المعامل المشتق يسمى معامل التشابه... هذه الخاصية لهذا التعيين تسمى الخاصية تمدد الثبات، وبالتالي كوتسمى أيضا نسبة التمدد... يقولون ذلك متى ك> 1 - التوتر ، وفي ك<1 – сжатие.

تعريف الخرائط المطابقة والخصائص الأساسية. التعريف 17.تخطيط منطقة واحد لواحد دطائرة معقدة ( ض)لكل منطقة جيطائرة معقدة ( ث)مسمى امتثاليإذا كان في جميع النقاط ض ديمتلك خاصية حفظ الزوايا وثبات التمدد.

نظرية 6.لجعل وظيفة معقدة ث = و (ض)تعيين المنطقة بشكل مطابق دطائرة ( ض)لكل منطقة جيطائرة ( ث)، من الضروري والكافي أن يكون تحليليًا في دوفي أي وقت من الأوقات في المنطقة د.

□ يحتاج... لنفرض. ما الوظيفة ث = و (ض)ينفذ رسم الخرائط المطابقة. بحكم التعريف ، هذا يعني تحقيق خصائص الحفاظ على الزوايا وثبات التمدد. خذ الطائرة ضنقطة تعسفية ض 0وفي جوارها نقطتان: ض 1و ض 2.على السطح ثسوف تتوافق مع النقاط أ 0 ، ع 1 ، ع 2

مع دقة القيم اللامتناهية في الصغر تتحقق العلاقات التالية: ومن ثبات الزوايا يتبع ذلك: من المساواة في الحجج ، يترتب على ذلك أن الزوايا متساوية ليس فقط في القيمة المطلقة ، ولكن أيضًا في الاتجاه. نتيجة لذلك ، نحصل على :.

وبالتالي ، من المعادلتين الأخيرتين ، يترتب على ذلك استيفاء التكافؤات التالية حتى القيم المتناهية الصغر: بسبب الاختيار التعسفي للنقطة ض 0ونقاط ض 1 ، ض 2من جوارها يترتب على ذلك وجود ، قدرة.دع المشتق موجود ولا يساوي الصفر في المنطقة د، فإن المعنى الهندسي للمشتق يعني تحقيق خصائص الحفاظ على الزوايا وثبات التمدد ، وهذا ، بالتعريف ، يعني أن الوظيفة تؤدي رسم الخرائط المطابقة. ■

يستخدم رسم الخرائط المطابقة لحل المشكلات في الفيزياء الرياضية والديناميكا المائية والديناميكا الهوائية ونظرية المرونة ونظرية المجالات الكهرومغناطيسية والحرارية. تتمثل المهمة الرئيسية لنظرية التعيين المطابق في إيجاد دالة لمتغير معقد ث = و (ض) ،والتي من شأنها أن تعرض المنطقة المحددة دطائرة ضإلى منطقة معينة جيطائرة ث... تلعب النظرية دورًا مهمًا في حل هذه المشكلة.

نظرية 7.أي منطقة متصلة ببساطة دطائرة معقدة ض، التي تتكون حدودها من أكثر من نقطة واحدة يمكن تعيينها بشكل مطابق على الجزء الداخلي من دائرة الوحدة<1 комплексной плоскости ث.(لا إثبات).

تشير هذه النظرية إلى إمكانية التعيين المطابق للمجال المحدد دإلى منطقة معينة زإذا كانت حدود كل منطقة تتكون من أكثر من نقطة واحدة. ثم ، من خلال تعيين هذه المناطق إلى دائرة مساعدة <1, мы получим искомое отображение. Конформное отображение многосвязной области на односвязную область невозможно, но в ряде случаев возможно конформное отображение областей одинаковой связности. Рассмотрим два конформных отображения.

العرض الخطي. خطييسمى التعيين الذي يتم بواسطة دالة خطية حيث أو ب- ارقام مركبة.

مثل هذا التعيين هو واحد لواحد ومتوافق على المستوى المعقد بأكمله لأن التعيين الخطي يترك نقطتين ثابتتين:

دعونا نمثل التخطيط الخطي في شكل أبسط ثلاثة.

1) قم بتحويل دوران المستوى z بأكمله إلى زاوية حول الأصل:

2) تحويل التشابه مع مركز التشابه في الأصل ، أي التوتر عند> 1 والضغط عند 0< <1:

3) النقل الموازي إلى ناقل ب:

مثال 4.ابحث عن دالة تعرض مثلثًا برؤوس معينة ض 1 = -1 ، ض 2 = أنا ، ع 3 = 1في مثلث برؤوس ع 1 = 0 ، ع 2 = -2 + 2 ط ، 3 = 4 ط.

حل.دعونا نبني الوظيفة المطلوبة كتراكب لثلاثة تحويلات أولية.

1) - دوران عكس اتجاه عقارب الساعة ؛

2) - تمتد مرتين

3) - التحول بمقدار وحدتين ؛

الوظيفة المطلوبة لها الشكل:

العرض الخطي الجزئي.دالة خطية كسرية ، أين ا ب ت ث- تنفذ الأعداد المركبة رسم الخرائط الكسرية الخطيةطائرة معقدة ممتدة ض ث... أوجد المشتق: if .

التعريف 18.نقاط ض 1و ض 2وتسمى متماثل حول دائرةإذا كانوا مستلقين على شعاع واحد يمر عبر النقاط z 1 و z 2 ونقطة ض 0 ،و.

انعكاسفيما يتعلق بالدائرة يسمى تحويل المستوى المركب الممتد إلى نفسه ، ونقل كل نقطة ض 1الطائرة للإشارة ض 2متماثل حول هذه الدائرة. ضع في اعتبارك التعيين الذي قدمته الوظيفة والدلالة باستخدام خاصية الوحدة ، يمكننا كتابة :. ومن ثم ، فإن التعيين قيد النظر هو انعكاس فيما يتعلق بدائرة نصف قطرها R ،تتمحور في الأصل ثم تنعكس حول المحور الحقيقي.

بالتشابه مع رسم الخرائط الخطي ، فإننا نمثل رسم خرائط كسري خطي كتراكب لأبسط التحولات. أولاً ، دعنا نحدد الجزء الكامل من الكسر:

ستكون أبسط التحولات كما يلي:

1) النقل الموازي إلى: ؛

2) تحويل الانعكاس فيما يتعلق بدائرة نصف قطرها صمتمركزة في الأصل مع انعكاس لاحق حول المحور الحقيقي :؛

3) الدوران حول أصل الإحداثيات ؛

4) التحويل الموازي إلى :.

مثال 5.أوجد المنطقة التي تذهب إليها الدائرة في رسم الخرائط الكسرية الخطية.

حل.

ستكون هذه هي الدائرة التي يتم الحصول عليها بعد التحولات التالية:

1) التحويل 1 لأسفل:

2) الانعكاس نسبي ، سيتغير اتجاه السير:

3) 90 درجة دوران:

4) التحويل 1 لأسفل:

خصائص العرض الخطي الجزئي.نذكر الخصائص التالية دون دليل.

1. التوافق.الدالة الخطية الجزئية ترسم خرائط للمستوى المركب الممتد ضإلى المستوى المعقد الممتد ث.

2. التفرد.هناك دالة كسرية خطية واحدة لها ثلاث نقاط مميزة ض 1 ، ض 2 ، ض 3طائرة ضخرائط لثلاث نقاط مختلفة أ 1 ، ث 2 ، ث 3طائرة ثوهذا التعيين من خلال المساواة:.

3- الملكية الدائرية.مع رسم الخرائط الكسرية الخطية ، فإن صورة أي دائرة بالمعنى الواسع هي دائرة (بالمعنى الواسع ، أي دائرة أو أي خط مستقيم).

4. مبدأ رسم الحدود.باستخدام التعيين الكسري الخطي ، يتم تحويل المنطقة التي تقع داخل الدائرة إلى المنطقة التي تقع إما داخل أو خارج الدائرة المحولة (يتم عرض الحد كحدود).

5. مبدأ تناظر ريمان شوارتز.في رسم الخرائط الكسرية الخطية ، يتم تعيين النقاط المتماثلة حول دائرة إلى نقاط متماثلة حول الدائرة المحولة (التناظر بمعنى الانعكاس).

مثال 6.يرد نصف المستوى العلوي للمستوى ضونقطة اعتباطية ض 0... ابحث عن دالة تعينها على دائرة الوحدة في المستوى ثلهذا السبب ض 0معروضة في وسط الدائرة.

حل.

دعنا إذن ، وفقًا لمبدأ عرض الحدود ، المحور الحقيقي على المستوى ضسيتم تعيين دائرة نصف قطرها الوحدة. تقوم خاصية التناظر بتعيين النقطة إلى نقطة ما. لذلك ، مع وضع هذا في الاعتبار ، دعونا نبني دالة. إذا أخذنا في الاعتبار النقاط ضالكذب على المحور الحقيقي ، وهذه نقاط من الشكل: ثم بالنسبة لهم ستتحقق المساواة: لا يزالون على مسافة متساوية من نقطة على المحور الحقيقي ، أي لدينا أن جميع نقاط المحور الحقيقي يتم تعيينها لجميع نقاط دائرة الوحدة. ومن ثم ، نحصل على أنه إذا أخذنا في الاعتبار الوحدة ، فإن التعيين المطلوب سيكون بالشكل :.

قم بحل مشكلة رسم الخرائط الكسرية الخطية وأدخل كليهما في الوحدة الأولى!

هنا سنتحدث بمزيد من التفصيل عن الأساليب الهندسية لنظرية الوظائف التحليلية والتحليلية المعممة ، والتي سنستخدمها في التطبيقات.

§ 10. مشكلة ريمان

تمت مناقشة مشكلة القيمة الحدودية الأساسية لنظرية التعيينات المطابقة بالفعل في الفصل السابق. وهو يتألف من إنشاء خرائط مطابقة من منطقة إلى أخرى.

الوجود والتفرد.لنبدأ بالملاحظة التي مفادها أنه يكفي أن نتعلم كيف نرسم خريطة مطابقة تعسفية لمنطقة متصلة ببساطة على دائرة ، وبعد ذلك سنكون قادرين على تعيين أي منطقتين من هذه المناطق بالتوافق مع بعضهما البعض.

تستند هذه الملاحظة إلى خاصيتين بسيطتين للتعيينات المطابقة: 1) التعيين العكسي للتعيين المطابق و 2) التعيين المعقد المكون من تعيينين امتثاليين (أي التعيين) هما مرة أخرى تعيينات مطابقة. تتضح الخصائص من تعريف التعيين المطابق كتحويل تحليلي واحد لواحد ومن قواعد التفرقة بين الوظائف المعكوسة والمعقدة.

بوجود هذه الخصائص ، ليس من الصعب على الإطلاق إثبات الملاحظة التي تم الإدلاء بها: إذا كانت الوظائف مطابقة ، على التوالي ، فإن المجالات إلى الوحدة

دائرة ثم سيتم تعيين الوظيفة إلى

تم حل مشكلة ريمان حتى النهاية في بداية هذا القرن. اتضح أن أي منطقة متصلة ببساطة ، تتكون حدودها من أكثر من نقطة واحدة ، يمكن تعيينها بشكل مطابق لدائرة الوحدة. هذه هي نظرية ريمان الشهيرة ، التي صاغها عام 1851 ، مدعومة باعتبارات مادية ، لكنه لم يثبتها (بتعبير أدق ، كان إثباته به فجوة كبيرة).

دعونا نتعامل مع مسألة كيفية تعريف مشكلة ريمان بشكل جيد ، وكم عدد الحلول التي لديها لمجالات معينة. من السهل التحقق من ذلك لأي رقم معقد وأي رقم حقيقي للوظيفة

تقوم بتعيين الدائرة على نفسها بشكل متوافق (في الواقع ، لأن لدينا ، وبالتالي ، (1) يحول دائرة الوحدة إلى نفسها ؛ بالإضافة إلى أنه واحد لواحد ، لأن المعادلة (1) قابلة للحل بشكل فريد فيما يتعلق وتحويل النقطة أ من الدائرة إلى مركزها). يعتمد العرض (1) على ثلاث معلمات حقيقية - إحداثيان للنقطة أ ، ويمران إلى مركز الدائرة ، والرقم 0 ، والذي يعني تغييره دوران الدائرة بالنسبة إلى المركز.

يمكن إثبات أن الصيغة (1) تحتوي على جميع التعيينات المطابقة لقرص الوحدة على نفسها. هذا يعني أن التعسف في حل مشكلة ريمان قد استنفد من خلال المعايير الحقيقية الثلاثة:

يتم تحديد التعيين المطابق لمنطقة ما إلى أخرى بشكل فريد إذا قمت بتعيين المراسلات من ثلاثة أزواج من النقاط الحدودية (يتم تحديد موضع نقطة على الحدود بمعامل واحد) أو تطابق زوج واحد من النقاط الداخلية (معلمتان) وزوج آخر من النقاط الحدودية (معلمة واحدة). يمكن أن يكون لمثل هذه الشروط ، التي تحدد التعيين بشكل فريد - يطلق عليها شروط التطبيع - شكل مختلف ، ولكن في كل مرة يجب أن تحدد هذه الشروط ثلاث معلمات.

أمثلة.فيما يلي بعض أبسط الأمثلة على التعيينات المطابقة.

1) تعيين مظهر الدائرة لنفسك. يمكن أيضًا اعتبار الوظيفة (1) على أنها تعكس المظهر ، أي المنطقة على نفسها ؛ إلى ما لا نهاية ، فإنه ينقل نقطة تسمى متماثل مع نسبة إلى دائرة الوحدة

2) يتم أيضًا عرض نصف المستوى العلوي لكل دائرة بواسطة دالة كسرية خطية:

هنا نقطة اعتباطية من النصف العلوي من المستوى ؛ يتم ترجمتها عن طريق تعيين (2) إلى مركز الدائرة ؛ نقطة الدائرة التي تمر إليها النقطة اللانهائية من المستوى (من الواضح أن حد الجانب الأيمن من (2) يساوي).

في التين. يوضح الشكل 22 أين تذهب الخطوط المستقيمة h - هذه هي الدوائر المماس للوحدة عند النقطة

3) يتم عرض مظهر دائرة الوحدة على الجزء الخارجي من المقطع بواسطة ما يسمى بوظيفة جوكوفسكي

يتم تحويل الدوائر في هذه الحالة إلى قطع ناقص مع أنصاف محاور وبؤر ± 1 ، والأشعة إلى أقواس من القطع الزائد المتعامدة مع القطع الناقص (الشكل 23).

4) يتم عرض الممر لكل دائرة بواسطة الوظيفة

في هذه الحالة ، تمر الخطوط المستقيمة الرأسية والأجزاء الأفقية إلى "خطوط الطول" و "المتوازيات" (الشكل 24).

5) يتم عرض نصف المستوى العلوي مع الجزء الدائري المهمل إلى نصف المستوى العلوي أثناء التطبيع بواسطة الوظيفة

حيث a و a معلمات المقطع (الشكل 25) ، و c هو ثابت حقيقي (لاحظ أن شروط التطبيع لدينا تحدد معلمتين حقيقيتين فقط ، لذلك يبقى الثالث تعسفيًا).

هذه الصيغة مرهقة للغاية بالنسبة للتطبيقات. بالنسبة للصغيرين a و a ، باستخدام المصطلحات الأولى لتوسعات Taylor ، يمكن استبدالها بالصيغة التقريبية

يمكن أيضًا ملاحظة أنه ، حتى الطلبات الأعلى الصغيرة ، يعطي المنطقة من المقطع المقذوف ، لذلك تتم إعادة كتابة (6) في النموذج

6) يتم أيضًا عرض دائرة بها فتحة صغيرة ملقاة على الدائرة مع وظيفة تسجيل مرهقة إلى حد ما. يمكن كتابة صيغة تقريبية لمثل هذا التعيين ، بشرط أن تكون مساحة الفتحة المقذوفة صغيرة ، على النحو التالي:

هنا هو قمة lune أو (بنفس الدقة) نقطته الأخرى.

7) نفس الصيغة التقريبية لتعيين شريط بمساحة صغيرة مقذوفة بفتحة على الشريط لها الشكل

حيث a هي حدود إحدى نقاط الحفرة ؛ ظل زائدي.

تدفق القناة.تحدد القدرة على حل مشكلة ريمان مدى نجاح حل بعض مشاكل الديناميكا المائية. سوف نوضح ذلك باستخدام أمثلة كلاسيكية لمشاكل التدفق حول الأجسام من خلال التدفقات الثابتة لسائل مثالي غير قابل للضغط. سوف يتعين علينا بالطبع أن نفترض أن الأجسام لها شكل أسطوانات لا نهائية (مع خطوط توجيه عشوائية) حتى نتمكن من استخدام مخطط الحركة المستوية.

فليكن من الضروري إيجاد تدفق في قناة ذات جدران متعامدة على مستوى معين وتتقاطع معها على طول منحنيين لا نهائيين بدون نقاط مشتركة (الشكل 26) ، وسرعات التدفق موازية لهذا المستوى وهي نفسها عند كلها متعامدة عليها. يوصف مجال السرعة في القناة بحقل مسطح في شريط تحده منحنيات

كما رأينا في الفصل السابق ، فإن الافتراض المتعلق بغياب المصادر والدوامات في التدفق يؤدي إلى استنتاج حول وجود إمكانات معقدة - تحليلية في الوظيفة أوجد التدفق - تعني إيجاد هذه الوظيفة.

يجب أن يتدفق التدفق حول جدران القناة ، أي يجب أن يكون كل منحني انسيابيًا ، وهذا يعطي حالة حدود المشكلة. يمكننا السؤال

أيضًا معدل التدفق ، والذي ، كما هو موضح في الفصل الأخير ، هو

حيث y هو خط له نهايات ، أي أي مقطع عرضي للتدفق. نظرًا لأننا مهتمون بالإمكانيات حتى حد ثابت ، يمكننا افتراض ذلك في G.

في هذه الصيغة ، لا تزال المشكلة غامضة للغاية. على سبيل المثال ، بالنسبة للحالة عندما تكون شريطًا مباشرًا ، فإن أي وظيفة تعمل كحل لها

لأي عدد حقيقي وصحيح (يختفي الجزء التخيلي من أجل صياغة المشكلة بشكل أكثر وضوحًا ، علينا أن نفترض أن عرض الشريط يظل مقيدًا عند اللانهاية ، ونفرض بعض شروط السلاسة ، ونفكر فقط في التدفقات ذات السرعة المحدودة عند اللانهاية. قيود إضافية ، حل المشكلة هو فقط تعيين المطابق لمجال على شريط مع التطبيع. يتم تعريف هذا التعيين حتى مصطلح ثابت (حقيقي) ، وهو ليس ضروريًا ، أي مشكلة التدفق في القيود المعتمدة تم حلها بشكل فريد ، وبالتالي ينحصر حلها في حل مشكلة ريمان.