Подивимося, як досліджувати функцію за допомогою графіка. Виявляється, дивлячись на графік, можна дізнатися все, що нас цікавить, а саме:

• область визначення функції
• область значень
• нулі функції
• проміжки зростання та спадання
• точки максимуму і мінімуму
• найбільше і найменше значення функції на відрізку.

Уточнимо термінологію:

абсциса- це координата точки по горизонталі.
ордината- координата по вертикалі.
вісь абсцис- горизонтальна вісь, найчастіше звана вісь.
вісь ординат- вертикальна вісь, або вісь.

аргумент- незалежна змінна, від якої залежать значення функції. Найчастіше позначається.
Іншими словами, ми самі вибираємо, підставляємо в формулу функції і отримуємо.

Область визначенняфункції - безліч тих (і тільки тих) значень аргументу, при яких функція існує.
Позначається: або.

На нашому малюнку область визначення функції - це відрізок. Саме на цьому відрізку намальований графік функції. Тільки тут дана функція існує.

Область значень функції- це безліч значень, які приймає змінна. На нашому малюнку це відрізок - від найнижчого до найвищого значення.

нулі функції- точки, де значення функції дорівнює нулю, тобто. На нашому малюнку це точки і.

Значення функції позитивнітам де . На нашому малюнку це проміжки і.
Значення функції негативнітам де . У нас це проміжок (або інтервал) від до.

Найважливіші поняття - зростання і спадання функціїна деякій множині. Як безлічі можна взяти відрізок, інтервал, об'єднання проміжків або всю числову пряму.

функція зростає

Іншими словами, чим більше, тим більше, тобто графік йде вправо і вгору.

функція убуваєна безлічі, якщо для будь-яких і, що належать безлічі, з нерівності слід нерівність.

Для спадної функції більшому значенню відповідає менше значення. Графік йде вправо і вниз.

На нашому малюнку функція зростає на проміжку і убуває на проміжках і.

Визначимо, що таке точки максимуму і мінімуму функції.

точка максимуму- це внутрішня точка області визначення, така, що значення функції в ній більше, ніж у всіх досить близьких до неї точках.
Іншими словами, точка максимуму - така точка, значення функції в якій більше, Ніж в сусідніх. Це локальний «горбок» на графіку.

На нашому малюнку - точка максимуму.

точка мінімуму- внутрішня точка області визначення, така, що значення функції в ній менше, ніж у всіх досить близьких до неї точках.
Тобто точка мінімуму - така, що значення функції в ній менше, ніж в сусідніх. На графіку це локальна «ямка».

На нашому малюнку - точка мінімуму.

Точка - гранична. Вона не є внутрішньою точкою області визначення і тому не підходить під визначення точки максимуму. Адже у неї немає сусідів зліва. Точно так само і на нашому графіку не може бути точкою мінімуму.

Точки максимуму і мінімуму разом називаються точками екстремуму функції. У нашому випадку це і.

А що робити, якщо потрібно знайти, наприклад, мінімум функціїна відрізку? В даному випадку відповідь:. Тому що мінімум функції- це її значення в точці мінімуму.

Аналогічно, максимум нашої функції дорівнює. Він досягається в точці.

Можна сказати, що екстремуми функції рівні і.

Іноді в завданнях потрібно знайти найбільше і найменше значення функціїна заданому відрізку. Вони не обов'язково збігаються з екстремумами.

У нашому випадку найменше значення функціїна відрізку одно і збігається з мінімумом функції. А ось найбільше її значення на цьому відрізку одно. Воно досягається в лівому кінці відрізка.

У будь-якому випадку найбільше та найменше значення неперервної функції на відрізку досягаються або в точках екстремуму, або на кінцях відрізка.

нехай функція у =f(Х)неперервна на відрізку [ a, b]. Як відомо, така функція на цьому відрізку досягає найбільшого і найменшого значень. Ці значення функція може прийняти або у внутрішній точці відрізка [ a, b], Або на кордоні відрізка.

Для знаходження найбільшого і найменшого значень функції на відрізку [ a, b] Необхідно:

1) знайти критичні точки функції в інтервалі ( a, b);

2) обчислити значення функції в знайдених критичних точках;

3) обчислити значення функції на кінцях відрізка, тобто при x=аі х = b;

4) з усіх обчислених значень функції вибрати найбільше і найменше.

Приклад.Знайти найбільше і найменше значення функції

на відрізку.

Знаходимо критичні точки:

Ці точки лежать всередині відрізка; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

в точці x= 3 і в точці x= 0.

Дослідження функції на опуклість і точку перегину.

функція y = f (x) називається випуклойвверхна проміжку (a, b) , Якщо її графік лежить під дотичній, проведеної в будь-якій точці цього проміжку, і називається опуклою вниз (увігнутою), Якщо її графік лежить над дотичній.

Точка, при переході через яку опуклість змінюється увігнутістю або навпаки, називається точкою перегину.

Алгоритм дослідження на опуклість і точку перегину:

1. Найдемі критичні точки другого роду, тобто точки в яких друга похідна дорівнює нулю або не існує.

2. Нанести критичні точки на числову пряму, розбиваючи її на проміжки. Знайти знак другої похідної на кожному проміжку; якщо, то функція опукла вгору, якщо, то функція опукла вниз.

3. Якщо при переході через критичну точку другого роду поміняє знак і в цій точці друга похідна дорівнює нулю, то ця точка - абсциса точки перегину. Знайти її ординату.

Асимптоти графіка функції. Дослідження функції на асимптоти.

Визначення.Асимптотой графіка функції називається пряма, Що володіє тим властивістю, що відстань від будь-якої точки графіка до цієї прямої прямує до нуля при необмеженому видаленні точки графіка від початку координат.

Існують три види асимптот: вертикальні, горизонтальні і похилі.

Визначення.пряма називається вертикальної асимптотойграфіка функції у = f (х), Якщо хоча б один з односторонніх меж функції в цій точці дорівнює нескінченності, тобто

де - точка розриву функції, то естьне належить області визначення.

Приклад.

D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - точка розриву.

Визначення.пряма у =Aназивається горизонтальної асимптотойграфіка функції у = f (х)за умови, якщо

Приклад.

Визначення.пряма у =kх +b (k≠ 0) називається похилій асимптотойграфіка функції у = f (х)при, де

Загальна схема дослідження функцій і побудови графіків.

Алгоритм дослідження функціїу = f (х) :

1. Знайти область визначення функції D (y).

2. Знайти (якщо це можна) точки перетину графіка з осями координат (при x= 0 і при y = 0).

3. Дослідити на парність і непарність функції ( y (‒ x) = y (x) ‒ парність; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ непарність).

4. Знайти асимптоти графіка функції.

5. Знайти інтервали монотонності функції.

6. Знайти екстремуми функції.

7. Знайти інтервали опуклості (угнутості) і точки перегину графіка функції.

8. На підставі проведених досліджень побудувати графік функції.

Приклад.Дослідити функцію і побудувати її графік.

1) D (y) =

x= 4 - точка розриву.

2) При x = 0,

(0; - 5) - точка перетину з oy.

при y = 0,

3) y(‒ x)= функція загального вигляду (ні парна, ні непарна).

4) Досліджуємо на асимптоти.

а) вертикальні

б) горизонтальні

в) знайдемо похилі асимптоти де

-уравненіе похилій асимптоти

5) В даному рівнянні не потрібно знайти інтервали монотонності функції.

6)

Ці критичні точки розбивають всю область визначення функції на інтервалі (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) і (10; + ∞). Отримані результати зручно представити у вигляді такої таблиці:

З таблиці видно, що точка х= -2-точка максимуму, в точці х= 4-немає екстремуму, х= 10-точка мінімуму.

Підставами значення (- 3) в рівняння:

9 + 24 ‒ 20 > 0

25 ‒ 40 ‒ 20 < 0

121 ‒ 88 ‒ 20 > 0

Максимум цієї функції дорівнює

(- 2; - 4) - екстремум максимальний.

Мінімум цієї функції дорівнює

(10; 20) - екстремум мінімальний.

7) досліджуємо на опуклість і точку перегину графіка функції

Варіант 1. у

1. Графік функції у =f(x) зображений на малюнку.

Вкажіть найбільше значення цієї функції 1

на відрізку [ a; b]. а 0 1 b х

1) 2,5; 2) 3; 3) 4; 4) 2.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image003_127.gif "width =" 242 "height =" 133 src = "> 1) -4; 2) -2; 3) 4; 4) 2.

4. Функції у =f(x) задана на відрізку [ a; b]. у

На малюнку зображений графік її похідної

у =f ´(x). Досліджуйте на екстремуми 1 b

функцію у =f(x). У відповіді вкажіть кількість a 0 1 х

точок мінімуму.

1) 6; 2) 7; 3) 4;

5. Знайдіть найбільше значення функції у = -2х2 + 8х -7.

1) -2; 2) 7; 3) 1;

6. Знайдіть найменше значення функції на відрізку .

1) https://pandia.ru/text/78/524/images/image005_87.gif "width =" 17 "height =" 48 src = ">.

7. Знайдіть найменше значення функції у =|2х + 3| - .

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image006_79.gif "width =" 17 "height =" 47 "> ; 4) - .

https://pandia.ru/text/78/524/images/image009_67.gif "width =" 144 "height =" 33 src = "> має мінімум в точці хо = 1,5?

1) 5; 2) -6; 3) 4; 4) 6.у

9. Вкажіть найбільше значення функції у =f(x) ,

1 х

0 1

1) 2,5; 2) 3; 3) -3;

у =lg(100 – x2 ).

1) 10 ; 2) 100 ; 3) 2 ; 4) 1 .

11. Знайдіть найменше значення функції у = 2sin-1.

1) -1 ; 2) -3 ; 3) -2 ; 4) - .

Тест 14. Екстремуми. Найбільше (найменше) значення функції.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image013_44.gif "width =" 130 "height =" 115 src = "> 1. Графік функції у =f(x) зображений на малюнку.

Вкажіть найменше значення цієї функції 1

на відрізку [ a; b]. а b

0 1 x

1) 0; 2) - 4 ,5; 3) -2; 4) - 3.

2. у На малюнку зображено графік функції у =f(x).

Скільки точок максимуму має функція?

1

0 1 х 1) 5; 2) 6; 3) 4; 4) 1.

3. В якій точці функція у = 2х2 + 24х -25приймає найменше значення?

https://pandia.ru/text/78/524/images/image018_37.gif "width =" 76 "height =" 48 "> на відрізку [-3;-1].

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image020_37.gif "width =" 17 "height =" 47 src = ">; 2); 4) - 5.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image022_35.gif "width =" 135 "height =" 33 src = "> має мінімум в точці хо = -2?

; 2) -6;; 4) 6.у

9. Вкажіть найменше значення функції у =f(x) ,

графік якої зображено на малюнку. 1 х

0 1

1) -1,5; 2) -1; 3) -3;

10. Знайдіть найбільше значення функції у =log11 (121 – x2 ).

1) 11;; 3) 1;

11. Знайдіть найбільше значення функції у = 2cos+3.

1) 5 ; 2) 3 ; 3) 2 ; 4) .

відповіді :

У завданні B14 з ЄДІ з математики потрібно знайти найменше або найбільше значення функції однієї змінної. Це досить тривіальна задача з математичного аналізу, і саме з цієї причини навчитися вирішувати її в нормі може і повинен кожен випускник середньої школи. Розберемо кілька прикладів, які школярі вирішували на діагностичній роботі з математики, що пройшла в Москві 7 грудня 2011 року.

Залежно від проміжку, на якому потрібно знайти максимальне або мінімальне значення функції, для вирішення цього завдання використовується один з наступних стандартних алгоритмів.

I. Алгоритм знаходження найбільшого або найменшого значення функції на відрізку:

• Знайти похідну функції.
• Вибрати з точок, підозрілих на екстремум, ті, які належать даному відрізку і області визначення функції.
• обчислити значення функції(Не похідне!) В цих точках.
• Серед отриманих значень вибрати найбільше або найменше, воно і буде шуканим.

Приклад 1.Знайдіть найменше значення функції
y = x 3 – 18x 2 + 81x+ 23 на відрізку.

Рішення:діємо за алгоритмом знаходження найменшого значення функції на відрізку:

• Область визначення функції не обмежена: D (y) = R.
• Похідна функції дорівнює: y ' = 3x 2 – 36x+ 81. Область визначення похідної функції також не обмежена: D (y ') = R.
• Нулі похідною: y ' = 3x 2 – 36x+ 81 = 0, значить x 2 – 12x+ 27 = 0, звідки x= 3 і x= 9, в наш проміжок входить тільки x= 9 (одна точка, підозріла на екстремум).
• Знаходимо значення функції в точці, підозрілої на екстремум і на краях проміжку. Для зручності обчислень подамо функцію у вигляді: y = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 = x(x-9) 2 +23:
  • y(8) = 8 · (8-9) 2 +23 = 31;
  • y(9) = 9 · (9-9) 2 +23 = 23;
  • y(13) = 13 · (13-9) 2 +23 = 231.

Отже, з отриманих значень найменшим є 23. Відповідь: 23.

II. Алгоритм знаходження найбільшого або найменшого значення функції:

• Знайти область визначення функції.
• Знайти похідну функції.
• Визначити точки, підозрілі на екстремум (ті точки, в яких похідна функції звертається в нуль, і точки, в яких не існує двосторонньої кінцевої похідною).
• Відзначити ці крапки і область визначення функції на числовій прямій і визначити знаки похідною(Не функція!) На одержані проміжках.
• визначити значення функції(Не похідне!) В точках мінімуму (ті точки, в яких знак похідної змінюється з мінуса на плюс), найменше з цих значень буде найменшим значенням функції. Якщо точок мінімуму немає, то у функції немає найменшого значення.
• визначити значення функції(Не похідне!) В точках максимуму (ті точки, в яких знак похідної змінюється з плюса на мінус), найбільше з цих значень буде найбільшим значенням функції. Якщо точок максимуму немає, то у функції немає найбільшого значення.

Приклад 2.Знайдіть найбільше значення функції.

Дана функція, певна і безперервна на деякому проміжку. Потрібно знайти найбільше (найменше) значення функції на цьому проміжку.

Теоретичні основи.
Теорема (Друга теорема Вейєрштрасса):

Якщо функція визначена і неперервна в замкнутому проміжку, то вона досягає в цьому проміжку своїх найбільшого і найменшого значень.

Функція може досягати своїх найбільших і найменших значень або на внутрішніх точках проміжку, або на його кордонах. Проілюструємо всі можливі варіанти.

пояснення:
1) Функція досягає свого максимального значення на лівій межі проміжку в точці, а свого найменшого значення на правій межі проміжку в точці.
2) Функція досягає свого максимального значення в точці (це точка максимуму), а свого найменшого значення на правій межі проміжку в точці.
3) Функція досягає свого максимального значення на лівій межі проміжку в точці, а свого найменшого значення в точці (це точка мінімуму).
4) Функція постійна на проміжку, тобто вона досягає свого мінімального і максимального значення в будь-якій точці проміжку, причому мінімальне і максимальне значення рівні між собою.
5) Функція досягає свого максимального значення в точці, а свого найменшого значення точці (незважаючи на те, що функція має на цьому проміжку як максимум, так і мінімум).
6) Функція досягає свого максимального значення в точці (це точка максимуму), а свого найменшого значення в точці (це точка мінімуму).
зауваження:

«Максимум» та «максимальне значення» - різні речі. Це випливає з визначення максимуму і інтуїтивного розуміння словосполучення «максимальне значення».

Алгоритм розв'язання задачі 2.



4) Вибрати з отриманих значень найбільше (найменше) і записати відповідь.

Приклад 4:

Визначити найбільшу і найменшу значення функції на відрізку.
Рішення:
1) Знайти похідну функції.

2) Знайти стаціонарні точки (і точки, підозрілі на екстремум), вирішивши рівняння. Звернути увагу на точки, в яких не існує двосторонньої кінцевої похідною.

3) Обчислити значення функції в стаціонарних точках і на кордонах інтервалу.

4) Вибрати з отриманих значень найбільше (найменше) і записати відповідь.

Функція на цьому відрізку досягає свого максимального значення в точці з координатами.

Функція на цьому відрізку досягає свого найменшого значення в точці з координатами.

В правильність обчислень можна переконатися, поглянувши на графік досліджуваної функції.


зауваження:Найбільшого значення функція досягає в точці максимуму, а найменшого - на кордоні відрізка.

Окремий випадок.

Припустимо, потрібно знайти максимально і мінімальне значення деякої функції на відрізку. Після виконання першого пункту алгоритму, тобто обчислення похідної, стає ясно, що, наприклад, вона приймає тільки негативні значення на всьому розглянутому відрізку. Пам'ятаємо, що якщо похідна негативна, то функція спадає. Отримали, що на всьому відрізку функція спадає. Ця ситуація відображена на графіку № 1 на початку статті.

На відрізку функція спадає, тобто точок екстремумів у неї немає. З картинки видно, що найменше значення функція прийме на правій межі відрізка, а найбільше значення - на лівій. якщо ж похідна на відрізку всюди позитивна, то функція зростає. Найменше значення - на лівій межі відрізка, найбільше - на правій.