Завдання, пов'язані з зворотними тригонометричними функціями, часто пропонуються на шкільних випускних іспитах і на вступних іспитах в деяких ВНЗ. Докладне вивчення цієї теми може бути досягнуто тільки на факультативних заняттях або на елективних курсах. Пропонований курс покликаний якомога повніше розвинути здібності кожного учня, підвищити його математичну підготовку.

Курс розрахований на 10 годин:

1.Функция arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 год.).

2.Операціі над оберненими тригонометричними функціями (4 год.).

3.Обратние тригонометричні операції над тригонометричними функціями (2 ч.).

Урок 1 (2 год.) Тема: Функції y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.

Мета: повне висвітлення даного питання.

1.Функция y = arcsin х.

а) Для функції y = sin x на відрізку існує зворотна (однозначна) функція, яку домовилися називати арксинуса і позначати так: y = arcsin x. Графік зворотного функції симетричний з графіком основної функції щодо бісектриси I - III координатних кутів.

Властивості функції y = arcsin x.

1) Область визначення: відрізок [-1; 1];

2) Область зміни: відрізок;

3) Функція y = arcsin x непарна: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) Функція y = arcsin x монотонно зростає;

5) Графік перетинає осі Ох, Оу на початку координат.

Приклад 1. Знайти a = arcsin. Даний приклад докладно можна сформулювати так: знайти такий аргумент a, що лежить в межах від до, синус якого дорівнює.

Рішення. Існує безліч аргументів, синус яких дорівнює, наприклад: і т.д. Але нас цікавить тільки той аргумент, який знаходиться на відрізку. Таким аргументом буде. Отже,.

Приклад 2. Знайти .Рішення.Міркуючи так само, як і в прикладі 1, отримаємо .

б) усні вправи. Знайти: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin (), arcsin, arcsin (), arcsin, arcsin (), arcsin 0. Зразок відповіді: , Тому що . Чи мають сенс виразу:; arcsin 1,5; ?

в) Розмістіть в порядку зростання: arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0,9.

II. Функції y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (аналогічно).

Урок 2 (2 год) Тема: Зворотні тригонометричні функції, їх графіки.

Мета: на даному уроці необхідно відпрацювати навички у визначенні значень тригонометричних функцій, в побудові графіків зворотних тригонометричних функцій з використанням Д (у), Е (у) і необхідних перетворень.

На даному уроці виконати вправи, що включають знаходження області визначення, області значення функцій типу: y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos.

Слід побудувати графіки функцій: а) y = arcsin 2x; б) y = 2 arcsin 2x; в) y = arcsin;

г) y = arcsin; д) y = arcsin; е) y = arcsin; ж) y = | arcsin | .

Приклад.Побудуємо графік y = arccos

У домашнє завдання можна включити наступні вправи: побудувати графіки функцій: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

Графіки зворотних функцій

Мета: розширити математичні пізнання (це важливо для вступників на спеціальності з підвищеними вимогами до математичної підготовки) шляхом введення основних співвідношень для зворотних тригонометричних функцій.

Матеріал для уроку.

Деякі найпростіші тригонометричні операції над оберненими тригонометричними функціями: sin (arcsin x) = x, i xi? 1; cos (arсcos x) = x, i xi? 1; tg (arctg x) = x, x I R; ctg (Arcctg x) = x, x I R.

Вправи.

а) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctg x) =; tg (arcctg x) =.

б) cos (+ arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Нехай arcsin 0,6 = a, sin a = 0,6;

cos (arcsin x) =; sin (arccos x) =.

Зауваження: беремо перед коренем знак "+" тому, що a = arcsin x задовольняє.

в) sin (1,5 + arcsin) .Відповідь:;

г) ctg (+ arctg 3) .Відповідь:;

д) tg (- arcctg 4) .Відповідь:.

е) cos (0,5 + arccos). Відповідь:.

обчислити:

a) sin (2 arctg 5).

Нехай arctg 5 = a, тоді sin 2 a = або sin (2 arctg 5) = ;

б) cos (+ 2 arcsin 0,8) .Відповідь: 0,28.

в) arctg + arctg.

Нехай a = arctg, b = arctg,

тоді tg (a + b) = .

г) sin (arcsin + arcsin).

д) Довести, що для всіх x I [-1; 1] вірно arcsin x + arccos x =.

Доведення:

arcsin x = - arccos x

sin (arcsin x) = sin (- arccos x)

x = cos (arccos x)

Для самостійного рішення: sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos).

Для домашнього рішення: 1) sin (arcsin 0,6 + arctg 0); 2) arcsin + arcsin; 3) ctg (- arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5); 5) sin (1,5 - arcsin 0,8); 6) arctg 0,5 - arctg 3.

Мета: на даному уроці показати використання співвідношень в перетворенні більш складних виразів.

Матеріал для уроку.

УСНО:

а) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);

б) tg (arcсtg 5), ctg (arctg 5);

в) sin (arctg -3), cos (arcсtg ());

г) tg (arccos), ctg (arccos ()).

ПИСЬМОВО:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctg 5-arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) =

3) tg (- arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) =

4)

Самостійна робота допоможе виявити рівень засвоєння матеріалу

Для домашнього завдання можна запропонувати:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) sin 2 (arctg 2 - arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tg (arcsin)); 4) sin (2 arctg); 5) tg ((arcsin))

Мета: сформувати уявлення учнів про зворотні тригонометричних операціях над тригонометричними функціями, основну увагу приділити підвищенню свідомості досліджуваної теорії.

Під час вивчення цієї теми передбачається обмеження обсягу теоретичного матеріалу, що підлягає запам'ятовуванню.

Матеріал для уроку:

Вивчення нового матеріалу можна почати з дослідження функції y = arcsin (sin x) і побудови її графіка.

3. Кожному x I R ставиться у відповідність y I, тобто<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. Функція непарна: sin (-x) = - sin x; arcsin (sin (-x)) = - arcsin (sin x).

6. Графік y = arcsin (sin x) на:

a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

б)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y = sin (- x) = sinx, 0<= - x <= .

Отже,

Побудувавши y = arcsin (sin x) на, продовжимо симетрично відносно початку координат на [-; 0], враховуючи непарність цієї функції. Використовуючи періодичність, продовжимо на всю числову вісь.

Потім записати деякі співвідношення: arcsin (sin a) = a, якщо<= a <= ; arccos (cos a ) = A, якщо 0<= a <= ; arctg (tg a) = a, якщо< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

І виконати наступні вправи: a) arccos (sin 2) .Відповідь: 2 -; б) arcsin (cos 0,6) .Відповідь: - 0,1; в) arctg (tg 2) .Відповідь: 2 -;

г) arcctg (tg 0,6) .Відповідь: 0,9; д) arccos (cos (- 2)). Відповідь: 2 -; е) аrcsin (sin (- 0,6)). Відповідь: - 0,6; ж) аrctg (tg 2) = arctg (tg (2 -)). Відповідь: 2 -; з) аrcctg (tg 0,6). Відповідь: - 0,6; - arctg x; д) arccos + arccos

ГРАФІКИ ФУНКЦІЙ

функція синус

- безліч Rвсіх дійсних чисел.

Безліч значень функції- відрізок [-1; 1], тобто синус функція - обмежена.

Функція непарна: sin (-x) = - sin x для всіх х ∈ R.

функція періодична

sin (x + 2π · k) = sin x, де k ∈ Zдля всіх х ∈ R.

sin x = 0при x = π · k, k ∈ Z.

sin x> 0(Позитивна) для всіх x ∈ (2π · k, π + 2π · k), k ∈ Z.

sin x< 0 (Негативна) для всіх x ∈ (π + 2π · k, 2π + 2π · k), k ∈ Z.

функція косинус

Область визначення функції- безліч Rвсіх дійсних чисел.

Безліч значень функції- відрізок [-1; 1], тобто косинус функція - обмежена.

Функція парна: cos (-x) = cos x для всіх х ∈ R.

функція періодичназ найменшим позитивним періодом 2π:

cos (x + 2π · k) = Cos x, де k ∈ Zдля всіх х ∈ R.

cos x = 0при
cos x> 0для всіх
cos x< 0 для всіх
функція зростаєвід -1 до 1 на проміжках:
функція убуваєвід -1 до 1 на проміжках:
Найбільше значення функції sin x = 1в точках:
Найменше значення функції sin x = -1в точках:

функція тангенс

Безліч значень функції- вся числова пряма, тобто тангенс - функція необмежена.

Функція непарна: tg (-x) = - tg x
Графік функції симетричний щодо осі OY.

функція періодичназ найменшим позитивним періодом π, тобто tg (x + π · k) = Tg x, k ∈ Zдля всіх х з області визначення.

функція котангенс

Безліч значень функції- вся числова пряма, тобто котангенс - функція необмежена.

функція періодичназ найменшим позитивним періодом π, тобто ctg (x + π · k) = Ctg x, k ∈ Zдля всіх х з області визначення.

функція арксинус

Область визначення функції- відрізок [-1; 1]

Безліч значень функції- відрізок -π / 2 arcsin x π / 2, тобто арксинус - функція обмежена.

Функція непарна: arcsin (-x) = - arcsin x для всіх х ∈ R.
Графік функції симетричний відносно початку координат.

На всій області визначення.

функція арккосинус

Область визначення функції- відрізок [-1; 1]

Безліч значень функції- відрізок 0 arccos x π, тобто арккосинус - функція обмежена.

Функція є зростаючоюна всій області визначення.

функція арктангенс

Область визначення функції- безліч Rвсіх дійсних чисел.

Безліч значень функції- відрізок 0 π, тобто арктангенс - функція обмежена.

Функція непарна: arctg (-x) = - arctg x для всіх х ∈ R.
Графік функції симетричний відносно початку координат.

Функція є зростаючоюна всій області визначення.

функція арккотангенс

Область визначення функції- безліч Rвсіх дійсних чисел.

Безліч значень функції- відрізок 0 π, тобто арккотангенс - функція обмежена.

Функція не є ні парною, ні непарною.
Графік функції несиметричний ні щодо початку координат, ні щодо осі Оy.

Функція є спадноюна всій області визначення.

Визначення та позначення

Арксинус іноді позначають так:
.

Графік функції арксинус

Графік функції y = arcsin x

Графік арксинуса виходить з графіка синуса, якщо поміняти місцями осі абсцис і ординат. Щоб усунути багатозначність, область значень обмежують інтервалом, на якому функція монотонна. Таке визначення називають головним значенням арксинуса.

Арккосинус, arccos

Визначення та позначення

Арккосинус іноді позначають так:
.

Графік функції арккосинус

Графік функції y = arccos x

Графік арккосинуса виходить з графіка косинуса, якщо поміняти місцями осі абсцис і ординат. Щоб усунути багатозначність, область значень обмежують інтервалом, на якому функція монотонна. Таке визначення називають головним значенням арккосинуса.

парність

Функція арксинус є непарною:
arcsin (- x) = arcsin (-sin arcsin x) = arcsin (sin (-arcsin x)) = - arcsin x

Функція арккосинус не є парній або непарній:
arccos (- x) = arccos (-cos arccos x) = arccos (cos (π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Властивості - екстремуми, зростання, спадання

Функції арксинус і арккосинус безперервні на своїй області визначення (див. Доказ безперервності). Основні властивості арксинуса і арккосинуса представлені в таблиці.

Таблиця арксинуса і арккосинуса

В даній таблиці представлені значення арксинуса і арккосинуса, в градусах і радіанах, при деяких значеннях аргументу.

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

формули

Формули суми і різниці

при або

при і

при і

при або

при і

при і

при

при

при

при

Вирази через логарифм, комплексні числа

Вирази через гіперболічні функції

похідні

;
.
Див. Висновок похідних арксинуса і арккосинуса>>>

Похідні вищих порядків:
,
де - многочлен ступеня. Він визначається за формулами:
;
;
.

Див. Висновок похідних вищих порядків арксинуса і арккосинуса>>>

інтеграли

Робимо підстановку x = sin t. Інтегруємо частинами, враховуючи що -π / 2 ≤ t ≤ π / 2, cos t ≥ 0:
.

Висловимо арккосинус через арксинус:
.

Розкладання в ряд

При | x |< 1 має місце наступне розкладання:
;
.

Зворотні функції

Зворотними до арксинуса і арккосинуса є синус і косинус, відповідно.

Наступні формули справедливі на всій області визначення:
sin (arcsin x) = x
cos (arccos x) = x .

Наступні формули справедливі тільки на безлічі значень арксинуса і арккосинуса:
arcsin (sin x) = xпри
arccos (cos x) = xпри.

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяев, Довідник з математики для інженерів і учнів втузів, «Лань», 2009.