대학원 작업

1.1 등각 매핑의 개념과 기본 속성

크기와 방향의 각도를 유지하는 속성과 매핑된 점의 작은 이웃의 일정한 팽창 속성을 갖는 일대일 매핑을 등각 매핑이라고 합니다.

반사가 일대일임을 보장하기 위해 기능의 단일 영역이 구별됩니다. 영역 D를 함수 f(z) if의 univalence 영역이라고 합니다.

등각 매핑의 기본 속성:

1) 스트레칭의 불변성. 점에서의 선형은 이 점을 통과하는 모든 곡선에 대해 동일하며 동일합니다.

2) 각도 보존. 한 점의 모든 곡선은 같은 각도로 회전합니다.

이 함수는 z-평면(또는 리만 곡면)의 점을 표시합니다. f(z)가 분석적(즉, 이 점의 일부 이웃에서 고유하게 정의되고 미분 가능)인 각 점 z에서 매핑은 등각입니다. 즉, 점 z를 통과하는 두 곡선 사이의 각도는 크기가 같고 평면에서 해당하는 두 곡선 사이의 참조 각도로 향합니다.

그러한 점 z 근처의 극소 삼각형은 유사한 극소 삼각형 - 평면에 매핑됩니다. 삼각형의 각 변은 비례적으로 늘어나고 각도만큼 회전합니다. 디스플레이의 왜곡 계수(작은 영역의 국부 비율)는 디스플레이의 야코비 행렬에 의해 결정됩니다.

매핑이 등각인 각 지점 z에서.

등각 매핑은 선을 w 평면에서 직교 경로 패밀리로 변환합니다.

함수 f(z)에 의해 전체 w-평면에 매핑되는 z-평면의 영역을 함수 f(z)의 기본 영역이라고 합니다.

중요한 표시점이라고 하는 점.

두 곡선 사이 각도의 크기는 유지하지만 참조 방향은 유지하지 않는 매핑을 두 번째 종류의 등각 또는 등각 매핑이라고 합니다.

함수가 원점을 - 평면에 등각으로 매핑하는 경우 매핑은 무한대에서 등각입니다.

변환이 두 곡선을 한 점에서 일정 각도로 교차하는 두 곡선으로 변환하는 경우 두 곡선은 한 점에서 일정 각도로 교차합니다.

마찬가지로, 등각은 점을 점에 등각으로 매핑합니다.

대수 행렬 그룹

하자 및 높이 열의 산술 선형 공간 및, 각각. 더 나아가, 크기의 행렬이라고 하자. 행렬의 열이 있는 위치를 설정하여 매핑을 정의합니다. 그들은 키가 있기 때문에 ...

유한 그룹의 바이젝터

정의. 그룹이 되어 그룹의 클래스가 되자. If and, then은 그룹의 하위 그룹입니다. 정의. 그룹의 최대 하위 그룹은 더 큰 하위 그룹에 포함되지 않은 그룹의 하위 그룹입니다. 정의...

벡터 필드

벡터장의 회전자의 정의: 돌기가 있는 벡터를 벡터장의 회전자 또는 와류라고 합니다 회전자의 기본 속성: 벡터장의 미분(즉, 점) 특성인 벡터량 .. .

상수 포인트 유형이 있는 표면의 외부 형상

안장 표면은 어떤 의미에서 볼록 표면과 속성이 반대입니다. 볼록한 표면과 마찬가지로 순전히 기하학적으로 정의될 수 있습니다 ...

중국의 나머지 정리와 그 결과

이 섹션에서는 정수를 고려하고 라틴 문자로 표시합니다. 임의의 고정된 자연수 p를 취하고 p로 나눌 때 나머지를 고려합니다.

잔여 클래스 시스템의 수학적 기초

임의의 고정된 자연수 p를 취하고 p로 나눈 나머지를 다른 정수로 고려합니다. 이러한 잔차의 속성을 고려하고 연산을 수행할 때 모듈로 비교의 개념을 도입하는 것이 편리합니다...

기술적 개체의 수학적 모델링

모델은 모델링된 대상의 물리적 또는 추상적 이미지로, 연구 수행에 편리하고 관심 대상의 물리적 특성 및 특성을 연구자에게 적절하게 표시할 수 있도록 ...

한정적분

1. 한정 적분의 값은 적분 변수의 지정에 의존하지 않습니다. 2. 동일한 적분 한계를 갖는 한정 적분은 0과 같습니다. 3. 그렇다면 정의에 따라 4 ...

Chebyshev-Hermite 가중치를 사용한 직교 공식의 실제 적용

전체 축에 짝수 가중치 함수를 부여합니다. (1.1) 이 함수를 순차적으로 미분하면 (1.2) 함수 (1.1)의 차수 n의 도함수가 차수 n의 일부 다항식에 의해 이 함수의 곱이라는 것을 귀납법으로 증명하는 것은 쉽습니다 ...

구형 다각형은 반원보다 작은 큰 원의 호로 둘러싸인 구의 일부이며, 그 끝은 이러한 큰 원의 교차점으로 순차적으로 취해집니다 ...

쿼터니언에서 원형 실린더 주위의 이상적인 유체 흐름 문제의 해결

쿼터니언은 William Rowan Hamilton 1]에 의해 수학에 도입되었습니다. 그것들은 3차원 공간과 관련된 많은 문제를 해결하기 위한 좋은 도구이며 그 특성을 고려합니다 ...

통계 모델링

평가가 실용적인 가치를 갖기 위해서는 다음과 같은 속성이 있어야 합니다. 1. 매개변수의 추정치는 수학적 기대치가 추정된 매개변수와 같으면 편향되지 않은 것으로 간주됩니다. М =.(22.1) 같음(22 ...

삼각 함수

사이클로이드

이전에 소개 된 사이클로이드의 정의는 결코 만족스럽지 않은 과학자입니다. 결국 속도, 움직임 추가 등 기계적 개념에 의존합니다.

인덱싱 클래스에 대한 극단적인 문제

우리는 두 가지 사실이 필요합니다. 1. 누구에게나 하나의 FR이 있습니다. 2. 그렇다면 집합은 요소 1개입니다. 연속적인 1-매개변수 패밀리(즉, for 및 (아이콘은 약한 수렴을 나타냄))와 DF가 있는 경우 ...

함수가 점의 일부 이웃에 정의되도록 하십시오. z 0.

정의 1.매핑은 점에서 등각이라고 합니다. z 0점에서 각의 보존과 확장의 불변의 속성을 가지고 있다면 z 0.

기능을 보자 f (z)끝 영역에서 1가 이자형.

정의 2.매핑은 해당 영역에서 등각이라고 합니다. 이자형이 영역의 모든 지점에서 등각이면.

분명히 선형 함수( NS그리고 NS¹ 0은 복소수) 전체 복소 평면의 등각 매핑을 수행합니다. 지복잡한 평면에서 승.명료함을 위해 이 평면을 결합하여 원점과 좌표축이 일치하도록 합시다. 그럼 특히 승 = z + z 0벡터에 의해 전체 평면의 이동을 수행 z 0, (NS- 실제) - 각도 a만큼 원점을 중심으로 한 평면의 회전, 그리고 w = kz(k> 0) - 유사성 변환, k - 유사성 계수. 선형 함수를 형식으로 작성하면 이동, 유사성 및 회전 연산의 곱으로 나타낼 수 있음을 알 수 있습니다. 이러한 작업에서 각도 보존 및 팽창 불변의 속성이 분명하기 때문에 이 매핑은 등각입니다.

직선 사이의 각도무한대의 점을 통과하는 것은 점에 표시될 때 이 곡선의 이미지 사이의 각도입니다 승 = 0.

예를 들어 데카르트 좌표계의 축은 0에서 각도로 교차합니다.

정의 2는 확장된 복합 평면의 모든 영역으로 확장됩니다. 선형 함수의 정의를 확장하면 확장된 복소 평면을 등각적으로 매핑할 수 있다고 가정합니다. 지 승.

함수의 속성 참고 NS(지)에 의해 수행된 매핑이 등각을 이루기 위해 가져야 합니다.

정리 1.기능의 경우 NS(지)은 지역에서 1가입니다. 이자형매핑이 아닌 한 지점을 제외한 모든 곳에서 확장된 복잡한 평면 및 분석 승 = f(z) 면적 이자형지역별 NS함수의 값은 일치하게(증거 없이).

선형 분수 함수를 고려하십시오. ~와 함께= 0이면 위에서 고려한 선형으로 넘어가므로 다음을 넣습니다. ~와 함께¹ 0. 역함수가 단일 값이기 때문에 분수 선형 함수는 전체 복소 평면에서 1가입니다. 점을 제외한 모든 곳에서 분석적이다. 그 안에서 무한대로 변하고,

이 함수는 전체 복소 평면에서 정리 1을 만족하므로 전체 복소 평면에서 등각입니다. for 및 for를 설정하여 함수의 정의를 확장해 보겠습니다. 이 경우 부분 선형 함수가 확장된 복소 평면을 등각으로 매핑하는지 확인할 수 있습니다. 지확장된 복합 평면으로 승.

함수가 확장된 복소 평면을 등각으로 매핑하는 경우에도 그 반대가 참입니다. 지확장된 복합 평면으로 승, 이 함수는 선형 분수입니다.

확장된 복합 평면의 직선은 반지름이 무한한 원으로 간주됩니다. 확장된 복소 평면의 모든 원은 선형 분수 함수에 의해 원에 매핑되고 반 평면은 원에 매핑됨을 증명할 수 있습니다. 또한, 반 평면의 모든 선형 분수 매핑 지> 원당 0은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

어디 임 지 0> 0, a는 실수입니다.

기능을 고려하십시오

주코프스키 함수라고 합니다.

기능 (2)는 전체 복소 평면에서 정의되고 모호하지 않습니다(점 제외 지= 0)이지만 역함수가 모호하기 때문에 일가는 아닙니다. 점은 분기점입니다.

univalence 영역을 찾아보자. 이를 위해 우리는 두 개의 다른 점을 가정합니다. 지 1 및 지 2는 동일한 지점에 매핑됩니다. 승... 그럼 우리는

따라서 조건을 만족하는 단일 쌍의 점을 포함하지 않는 영역은 Zhukovsky 함수의 schlichtness 영역이 됩니다. 이 조건은 예를 들어 원 ½에 의해 충족됩니다. 지½< 1 или внешность этого круга ½지 1> 1. 이 영역에서 함수 (2)는 정리 1을 충족하므로 이러한 영역을 등각으로 매핑합니다.

Zhukovsky 함수가 원 ½을 등각으로 매핑하는 도메인을 찾자 지½< 1. Положим Подставляя в (2) и отделяя действительную 유그리고 상상의 V부품, 우리는

방정식 (3)은 반축이 있는 타원의 방정식입니다.

따라서 모든 원이 타원으로 표시됩니다. (4)에서 다음과 같습니다. NS®1 NS®1, NS®0, 즉 원 ½의 경계 지½< 1 отображается в дважды пробегаемый отрезок ½유½ £ 1 비행기의 실제 축 승... ~에 NS®0 따라서 원 ½ 지½< 1 отображается на расширенную комплексную плоскость 승포인트 컷으로 지= -1 포인트 지= 1(그림 6 ¢ 참조).

유사하게, 원의 외부가 ½임을 확인할 수 있습니다. 지½> 1 동일한 절단으로 확장된 복합 평면에 Zhukovsky 함수에 의해 표시됩니다. 따라서 Zhukovsky 함수는 확장된 복소 평면을 리만 곡면에 매핑합니다. 이 평면은 점에서 실제 축의 절단을 따라 붙인 두 평면으로 구성됩니다. 지= -1 포인트 지 = 1.

등각 매핑 이론의 주요 임무는 하나의 주어진 영역을 다른 주어진 영역에 매핑하는 함수를 찾는 것입니다. 이 문제를 해결하기 위한 충분히 간단한 알고리즘은 존재하지 않으므로 실제로는 등각 매핑 및 일반 원칙의 존재를 위한 일반 조건에 따라야 합니다. 그 중 가장 중요한 것을 나열해 보겠습니다. 첫째, 다중 연결 영역을 단순 연결 영역에 등각 매핑하는 것이 불가능하고, 두 번째로 전체 복소 평면을 유한 영역에 등각 매핑하는 것이 불가능합니다. 그러나 경계가 둘 이상의 점으로 구성된 두 개의 임의의 단순 연결 영역은 항상 서로 등각으로 매핑될 수 있습니다.

정리 2(경계 일치의 원리).기능의 경우 승 = NS(지)는 한 영역을 다른 영역에 등각으로 매핑한 다음 이러한 영역의 경계를 일대일 방식으로 매핑합니다(증명 없이).

역 정리도 참입니다. 기능의 경우 승 = NS(지), 현장에서 분석 이자형경계에서 연속적이며 이 경계를 일부 곡선에 고유하게 매핑합니다. NS, 다음 기능 NS(지) 영역을 등각으로 매핑합니다. 이자형지역별 NS, 경계가 곡선인 NS.

예시.점에서 가상의 축을 따라 절단된 상반면의 등각 매핑을 찾습니다. 지= 0에서 포인트까지 지= i(그림 7a 참조)를 단위 원에 표시하여 이 원의 중심에 점이 표시되도록 합니다.

해결책.먼저 컷을 매끄럽게 다듬습니다. 때문에 컷 포인트에 인수 p / 2가 있으면 함수를 사용합니다. 승 1 = 지 2 포인트 인수를 두 배로 늘리기 때문입니다. 이 함수는 분석적이며 상반면에서 1가이므로 주어진 영역을 평면에 등각으로 매핑합니다. 승, 컷 [-1, ¥)으로 (그림 b 참조).

경계 일치의 원리에 따르면 폴리라인은 ABCDA섹션에 표시 ABCDA비행기 승 1 . 그림에 표시된 해당 지점의 지정은 보존됩니다. 문자 A는 평면의 무한히 먼 점을 나타냅니다. 지(비행기 뿐만 아니라 승 1 , 승 2 및 승 3).

이제 복잡한 평면의 이동을 수행합니다. 승 1 점 C가 원점에 있도록 합니다. 이를 위해 선형 매핑을 사용합니다. 승 2 = 승 1 + 1(그림 C 참조).

그런 다음 복잡한 평면 승 2 절단면과 (I, + oo [실제 광선을 따라 절단면이 있는 평면 세그먼트를 따라 절단면이 있는 평면(O, 1J No. 21 1개 평면에 절단선이 있는 평면이 원점을 통과하는 직선 위에 놓여 있음) 실제 광선을 따라 좌표] - "ω, 0 ] 및 (1. 실제 광선을 따라 절단된 평면 (0, + oo (원호를 따라 절단된 평면 Ixl - 1, lm z> О 평면) a 원호를 따라 절단 III - I, Re z> O 원호를 따라 절단된 평면 실제 광선(0, 원호를 따라 절단된 평면 실제 광선을 따라 절단된 평면 [ C, + co [No. 25 컷이 있는 반평면 가상 광선을 따라 컷이 있는 세그먼트를 따라 컷이 있는 반평면 l 컷이 있는 원 세그먼트를 따라 컷이 있는 원 1(1/2, 1J No. 30 선분(-1, 5/4]을 따라 절단된 평면 Izl 선분(-1. -1/2] 및 (1/2, 1)을 따라 절단된 원 Izl No. 31 절단부 I -5를 따라 절단된 평면 /4, 5/4] 가상 축을 따라 대칭 절단이 있는 원 Ijl 실제 축을 따라 대칭 절단이 있는 원 거짓말 절단이 있는 원 외부 외부 세그먼트를 따라 절단 된 단위 원 I의 ь 및 11, 2) 번호 34 세그먼트를 따라 절단 된 평면 [-1, 5/4] 세그먼트를 따라 절단 된 평면 I - 5/4, 3/ 4] w = e "^ z 직경의 연속인 선분을 따라 절단된 단위원 Izl> 1 외부 실제 축에 있는 선분을 따라 절단된 단위원 외부 Iwl> 1 반원 cuts -r2 Nfc 36 Circle Iwl 선을 따라 자르기 [-1/4, 1] 반원, 선을 따라 자르기 (0, i / 2) 반원, 선을 따라 자르기)