그래프를 사용하여 함수를 탐색하는 방법을 살펴보겠습니다. 그래프를 보면 우리에게 관심이 있는 모든 것을 찾을 수 있습니다.

• 기능 도메인
• 기능 범위
• 기능 0
• 증가 및 감소 간격
• 최대 및 최소 포인트
• 세그먼트에 있는 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값.

용어를 명확히 합시다.

횡좌표점의 수평 좌표입니다.
안수수직 좌표입니다.
가로축- 가장 흔히 축이라고 불리는 수평 축.
Y축- 수직 축 또는 축.

논쟁함수의 값이 의존하는 독립 변수입니다. 가장 자주 표시됩니다.
즉, 우리 스스로 선택하고 수식에서 기능을 대체하고 얻습니다.

도메인함수 - 함수가 존재하는 인수의 해당 값(및 해당 값만)의 집합입니다.
다음으로 표시됩니다.

이 그림에서 함수의 도메인은 세그먼트입니다. 이 부분에 함수의 그래프가 그려집니다. 여기에서만 이 기능이 존재합니다.

기능 범위변수가 취하는 값의 집합입니다. 우리 그림에서 이것은 가장 낮은 값에서 가장 높은 값까지의 세그먼트입니다.

기능 0- 함수의 값이 0과 같은 지점, 즉. 우리 그림에서 이것들은 점과입니다.

함수 값은 양수입니다어디 . 우리 그림에서 이들은 간격과.
함수 값은 음수입니다.어디 . 우리는 이 간격(또는 간격) from to가 있습니다.

가장 중요한 개념 - 증가 및 감소 기능어떤 세트에. 집합으로 세그먼트, 간격, 간격의 합집합 또는 전체 숫자 선을 사용할 수 있습니다.

기능 증가하고있다

즉, 많을수록 차트가 오른쪽 위로 위쪽으로 이동합니다.

기능 감소집합에 속하는 경우 부등식은 부등식에서 부등식을 따릅니다.

감소 함수의 경우 더 큰 값은 더 작은 값에 해당합니다. 그래프는 오른쪽 아래로 이동합니다.

우리 그림에서 함수는 구간에서 증가하고 구간에서 감소합니다.

무엇인지 정의하자 함수의 최대 및 최소 포인트.

최대 포인트는 정의 영역의 내부 점이므로 함수의 값은 충분히 가까운 모든 점보다 큽니다.
즉, 최대점은 그러한 점이며, 더이웃보다. 이것은 차트의 로컬 "마운드"입니다.

우리 그림에서 - 최대 지점.

최소 포인트- 정의 영역의 내부 점, 그 안에 있는 함수의 값이 그것에 충분히 가까운 모든 점보다 작습니다.
즉, 최소점은 그 함수의 값이 이웃 함수의 값보다 작도록 하는 것입니다. 이것은 차트의 로컬 "구멍"입니다.

우리 그림에서 - 최소 지점.

점은 경계입니다. 정의 영역의 내부 점이 아니므로 최대 점의 정의에 맞지 않습니다. 결국 그녀의 왼쪽에는 이웃이 없습니다. 마찬가지로 차트의 최소값이 될 수 없습니다.

최대 및 최소 포인트를 총칭하여 함수의 극점... 우리의 경우 이것은 및입니다.

예를 들어, 찾아야 할 경우해야 할 일 최소 기능세그먼트에? 이 경우 답은 입니다. 왜냐하면 최소 기능최소점에서의 값입니다.

마찬가지로 함수의 최대값은 다음과 같습니다. 한 지점에 도달했습니다.

우리는 함수의 극한이 and와 같다고 말할 수 있습니다.

때때로 당신이 찾아야 할 작업에서 가장 큰 함수 값과 가장 작은 함수 값주어진 세그먼트에. 그것들은 반드시 극단과 일치하지 않습니다.

우리의 경우 가장 작은 함수 값세그먼트에서 함수의 최소값과 동일하고 일치합니다. 그러나이 부문에서 가장 큰 가치는 동일합니다. 선분의 왼쪽 끝에 도달합니다.

어쨌든 세그먼트에 대한 연속 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값은 극점 또는 세그먼트 끝에서 달성됩니다.

기능을 보자 y =NS(NS)세그먼트에서 연속입니다 [ 에이, ㄴ]. 아시다시피 이 세그먼트의 이러한 함수는 가장 큰 값과 가장 작은 값에 도달합니다. 이 함수는 세그먼트 [ 에이, ㄴ] 또는 세그먼트의 경계에 있습니다.

세그먼트에서 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾으려면 [ 에이, ㄴ] 필요한:

1) 구간에서 함수의 임계점을 찾습니다( 에이, ㄴ);

2) 발견된 임계점에서 함수 값을 계산합니다.

3) 세그먼트 끝에서 함수 값을 계산합니다. 즉, NS=NS그리고 x = NS;

4) 함수의 계산된 모든 값 중 가장 큰 값과 가장 작은 값을 선택합니다.

예시.가장 큰 함수 값과 가장 작은 함수 값 찾기

세그먼트에.

임계점 찾기:

이러한 점은 선분 내부에 있습니다. 와이(1) = ‒ 3; 와이(2) = ‒ 4; 와이(0) = ‒ 8; 와이(3) = 1;

그 시점에 NS= 3 및 지점에서 NS= 0.

볼록 및 변곡점에 대한 기능 조사.

기능 와이 = NS (NS) ~라고 불리는 위로 볼록사이 (NS, NS) 그래프가 이 간격의 임의의 지점에서 그려진 접선 아래에 있고 호출되는 경우 아래로 볼록(오목)그래프가 접선 위에 있는 경우.

볼록한 부분이 오목한 부분으로 바뀌거나 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 변곡점.

볼록 및 변곡점에 대한 연구 알고리즘:

1. 2종 임계점, 즉 2차 도함수가 0이거나 존재하지 않는 점을 찾습니다.

2. 숫자선에 임계점을 그려 간격으로 나눕니다. 각 구간에서 2차 도함수의 부호를 찾습니다. 이면 함수는 위쪽으로 볼록하고, 이면 함수는 아래쪽으로 볼록합니다.

3. 2종 임계점을 지날 때 부호가 바뀌고 이 지점에서 2차 도함수가 0이면 이 점이 변곡점의 가로 좌표입니다. 그녀의 부하를 찾으십시오.

함수 그래프의 점근선. 점근선에 대한 기능 조사.

정의.함수 그래프의 점근선을 호출합니다. 똑바로, 그래프의 임의의 점에서 이 직선까지의 거리가 그래프 점의 원점에서 무제한 거리로 0이 되는 경향이 있습니다.

점근선에는 세 가지 유형이 있습니다. 수직, 수평 및 경사.

정의.직선이라고 한다 수직 점근선기능 그래픽 y = f(x)이 지점에서 함수의 단측 극한 중 적어도 하나가 무한대와 같으면

여기서 는 함수의 불연속점입니다. 즉, 정의 영역에 속하지 않습니다.

예시.

NS ( 와이) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

NS= 2 - 중단점.

정의.똑바로 y =NS~라고 불리는 수평 점근선기능 그래픽 y = f(x)에, 만약

예시.

정의.똑바로 y =케이x +NS (케이≠ 0) 비스듬한 점근선기능 그래픽 y = f(x)어디에

기능 및 플로팅 연구에 대한 일반 계획.

기능 연구 알고리즘y = f(x) :

1. 함수의 도메인 찾기 NS (와이).

2. 가능한 경우 좌표축과 그래프의 교차점을 찾습니다( NS= 0 및 와이 = 0).

3. 함수의 짝수와 홀수를 조사합니다( 와이 (‒ NS) = 와이 (NS) ‒ 동등; 와이(‒ NS) = ‒ 와이 (NS) ‒ 이상한).

4. 함수 그래프의 점근선을 찾습니다.

5. 함수의 단조성의 구간을 찾으십시오.

6. 함수의 극한값을 구합니다.

7. 함수 그래프의 볼록함(concavity)과 변곡점의 간격을 구합니다.

8. 수행한 연구를 바탕으로 함수의 그래프를 작성하십시오.

예시.함수를 조사하고 그래프로 나타내십시오.

1) NS (와이) =

NS= 4 - 중단점.

2) 언제 NS = 0,

(0; - 5) - 교차점 어이.

~에 와이 = 0,

3) 와이(‒ NS)= 일반 기능(짝수도 홀수도 아님).

4) 점근선을 조사합니다.

가) 수직

b) 수평

c) 비스듬한 점근선을 찾으십시오.

‒ 사선 점근 방정식

5) 이 방정식에서 함수의 단조성 구간을 찾을 필요는 없습니다.

6)

이러한 임계점은 구간(˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) 및 (10; + ∞)에서 함수의 전체 영역을 나눕니다. 얻은 결과를 다음 표의 형태로 제시하는 것이 편리합니다.

표는 요점을 보여줍니다 NS= ‒2 ‒ 지점에서의 최대 지점 NS= 4 ‒ 극한값 없음, NS= 10 - 최소 지점.

값(-3)을 방정식에 대입합니다.

9 + 24 ‒ 20 > 0

25 ‒ 40 ‒ 20 < 0

121 ‒ 88 ‒ 20 > 0

이 함수의 최대값은

(- 2; - 4) - 최대 극단.

이 함수의 최소값은

(10, 20) - 최소 극한값.

7) 함수 그래프의 볼록성과 변곡점을 조사한다.

옵션 1. ~에

1. 기능 그래프 y =NS(NS) 그림에 나와 있습니다.

표시하여주십시오 가장 큰 가치이 기능 1

세그먼트에 [ NS; NS]. NS 0 1 b x

1) 2,5; 2) 3; 3) 4; 4) 2.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image003_127.gif "너비 =" 242 " 높이 =" 133 src = "> 1) -4; 2) -2; 3) 4; 4) 2.

4. 기능 y =NS(NS) 세그먼트에 주어진 [ NS; NS]. ~에

그림은 파생 상품의 그래프를 보여줍니다.

y =NS ´(NS). 극한 상황에 대한 탐색 1 NS

기능 y =NS(NS). 답변에 수량을 표시하십시오. NS 0 1 x

최소 포인트.

1) 6; 2) 7; 3) 4;

5. 함수의 가장 큰 값 찾기 y = -2x2 + 8x -7.

1) -2; 2) 7; 3) 1;

6. 함수의 가장 작은 값 찾기 세그먼트에 .

1) https://pandia.ru/text/78/524/images/image005_87.gif "너비 = 17 "높이 = 48 src = ">.

7. 함수의 가장 작은 값 찾기 y =|2x + 3| - .

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image006_79.gif "너비 =" 17 " 높이 =" 47 "> ; 4) - .

https://pandia.ru/text/78/524/images/image009_67.gif "width =" 144 "height =" 33 src = "> 지점에서 최소값이 있습니다. xo = 1.5?

1) 5; 2) -6; 3) 4; 4) 6.~에

9. 함수의 가장 큰 값을 지정 y =NS(NS) ,

1 x

0 1

1) 2,5; 2) 3; 3) -3;

y =엘지(100 – NS2 ).

1) 10 ; 2) 100 ; 3) 2 ; 4) 1 .

11. 함수의 가장 작은 값 찾기 y = 2죄-1.

1) -1 ; 2) -3 ; 3) -2 ; 4) - .

테스트 14. 극단. 함수의 가장 큰(가장 작은) 값입니다.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image013_44.gif "width =" 130 "height =" 115 src = "> 1. 함수 그래프 y =NS(NS) 그림에 나와 있습니다.

이 함수에 대해 가장 작은 값을 지정하십시오. 1

세그먼트에 [ NS; NS]. NS NS

0 1 NS

1) 0; 2) - 4 ,5; 3) -2; 4) - 3.

2. ~에 그림은 함수의 그래프를 보여줍니다 y =NS(NS).

함수의 최대 점수는 몇 점입니까?

1

0 1 x 1) 5; 2) 6; 3) 4; 4) 1.

3. 함수는 어느 시점에 y = 2x2 + 24x -25가장 작은 값을 취합니까?

https://pandia.ru/text/78/524/images/image018_37.gif 세그먼트의 "width ="76 "height ="48 "> [-3;-1].

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image020_37.gif "너비 =" 17 "높이 =" 47 src = ">; 2); 4) - 5.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image022_35.gif "width =" 135 "height =" 33 src = ">는 한 지점에서 최소값이 있습니다. xo = -2?

; 2) -6;; 4) 6.~에

9. 함수의 가장 작은 값을 지정 y =NS(NS) ,

그 그래프가 그림에 나와 있습니다. 1 x

0 1

1) -1,5; 2) -1; 3) -3;

10. 함수의 가장 큰 값 찾기 y =통나무11 (121 – NS2 ).

1) 11;; 3) 1;

11. 함수의 가장 큰 값 찾기 y = 2코사인+3.

1) 5 ; 2) 3 ; 3) 2 ; 4) .

답변 :

수학 시험의 태스크 B14에서는 한 변수의 함수의 최소값 또는 최대값을 찾아야 합니다. 이것은 수학적 분석에서 다소 사소한 작업이며 모든 졸업생이 정상적으로 해결하는 방법을 배울 수 있고 배워야 하는 이유입니다. 고등학교... 2011년 12월 7일 모스크바에서 열린 수학 진단 작업 중에 학생들이 해결한 몇 가지 예를 분석해 보겠습니다.

함수의 최대값 또는 최소값을 찾으려는 간격에 따라 다음 표준 알고리즘 중 하나를 사용하여 이 문제를 해결합니다.

I. 세그먼트에서 함수의 가장 큰 값 또는 가장 작은 값을 찾는 알고리즘:

• 함수의 도함수를 찾으십시오.
• 극값이 의심되는 점, 주어진 세그먼트 및 기능 영역에 속하는 점을 선택합니다.
• 값 계산 기능(파생이 아닙니다!) 이 지점에서.
• 얻은 값 중 가장 큰 값 또는 가장 작은 값을 선택하면 원하는 값이 됩니다.

예 1.가장 작은 함수 값 찾기
와이 = NS 3 – 18NS 2 + 81NS세그먼트에서 + 23.

해결책:세그먼트에서 함수의 가장 작은 값을 찾는 알고리즘에 따라 작동합니다.

• 기능의 범위는 제한되지 않습니다. 디(y) = NS.
• 함수의 도함수는 다음과 같습니다. 요 ' = 3NS 2 – 36NS+ 81. 함수의 도함수 정의 영역도 제한되지 않습니다. 디 (y ') = NS.
• 파생 0: 요 ' = 3NS 2 – 36NS+ 81 = 0이므로 NS 2 – 12NS+ 27 = 0, 어디서 NS= 3 및 NS= 9, 우리의 간격은 다음을 포함합니다 NS= 9(극한값이 의심되는 1점).
• 극값이 의심되는 점과 구간의 가장자리에서 함수의 값을 찾습니다. 계산의 편의를 위해 다음 형식으로 함수를 나타냅니다. 와이 = NS 3 – 18NS 2 + 81NS + 23 = NS(NS-9) 2 +23:
  • 와이(8) = 8 (8-9) 2 +23 = 31;
  • 와이(9) = 9 (9-9) 2 +23 = 23;
  • 와이(13) = 13 (13-9) 2 +23 = 231.

따라서 얻은 값 중 가장 작은 값은 23입니다. 답: 23.

Ⅱ. 가장 큰 또는 가장 작은 함수 값을 찾는 알고리즘:

• 함수의 영역을 찾습니다.
• 함수의 도함수를 찾으십시오.
• 극한값이 의심되는 점(함수의 도함수가 사라지는 점과 양면 유한 도함수가 없는 점)을 결정합니다.
• 이 점들과 함수의 영역을 숫자선에 표시하고 기호를 결정하십시오. 유도체(함수가 아닙니다!) 결과 간격에.
• 값 정의 기능(미분 아님!) 최소 지점(미분의 부호가 마이너스에서 플러스로 변경되는 지점)에서 이 값 중 가장 작은 값이 함수의 가장 작은 값이 됩니다. 최소 점이 없으면 함수에 가장 작은 값이 없는 것입니다.
• 값 정의 기능(미분 아님!) 최대 지점(미분의 부호가 플러스에서 마이너스로 변경되는 포인트)에서 이러한 값 중 가장 큰 값이 함수의 가장 큰 값이 됩니다. 최대 점이 없으면 함수에 최대값이 없습니다.

예 2.함수의 가장 큰 값을 찾습니다.

특정 간격으로 정의되고 연속적인 함수가 제공됩니다. 이 구간에서 함수의 가장 큰(가장 작은) 값을 찾는 것이 필요합니다.

이론적 근거.
정리(두 번째 Weierstrass 정리):

함수가 정의되고 닫힌 간격에서 연속적인 경우 이 간격에서 최대값과 최소값에 도달합니다.

함수는 간격의 내부 지점이나 경계에서 가장 높은 값과 가장 낮은 값에 도달할 수 있습니다. 가능한 모든 옵션을 설명하겠습니다.

설명:
1) 함수는 한 지점에서 간격의 왼쪽 경계에서 최대값에 도달하고 지점에서 간격의 오른쪽 경계에서 가장 작은 값에 도달합니다.
2) 함수는 한 지점(이것이 최대 지점)에서 최대값에 도달하고 한 지점에서 간격의 오른쪽 경계에서 가장 작은 값에 도달합니다.
3) 함수는 한 지점에서 간격의 왼쪽 경계에서 최대값에 도달하고 지점에서 가장 작은 값(이것이 최소값)에 도달합니다.
4) 함수는 간격 동안 일정합니다. 간격의 어느 지점에서나 최소값과 최대값에 도달하고 최소값과 최대값은 서로 같습니다.
5) 함수는 한 지점에서 최대값에 도달하고 지점에서 가장 작은 값에 도달합니다(함수가 이 간격에서 최대값과 최소값을 모두 가지고 있음에도 불구하고).
6) 함수는 한 지점(이것이 최대 지점)에서 최대값에 도달하고 지점(이것이 최소 지점)에서 가장 작은 값에 도달합니다.
논평:

"최대"와 "최대 가치"는 다른 것입니다. 이는 최대값의 정의와 "최대값"이라는 구문의 직관적 이해에서 비롯됩니다.

문제 해결을 위한 알고리즘 2.



4) 구한 값 중에서 가장 큰(가장 작은) 값을 선택하여 답을 적는다.

예 4:

가장 큰 함수 값과 가장 작은 함수 값 결정 세그먼트에.
해결책:
1) 함수의 도함수를 구합니다.

2) 방정식을 풀면서 정지점(및 극한값이 의심되는 점)을 찾습니다. 양측 유한 도함수가 없는 점에 주의하십시오.

3) 정지점과 구간 경계에서 함수 값을 계산합니다.

4) 구한 값 중에서 가장 큰(가장 작은) 값을 선택하여 답을 적는다.

이 세그먼트의 기능은 좌표가 있는 지점에서 최대값에 도달합니다.

이 세그먼트의 함수는 좌표가 있는 점에서 가장 작은 값에 도달합니다.

계산의 정확성은 연구 중인 함수의 그래프를 보면 확인할 수 있습니다.


논평:이 기능은 최대 지점에서 최대값에 도달하고 세그먼트 경계에서 가장 작은 값에 도달합니다.

특별한 경우입니다.

세그먼트에서 일부 함수의 최대값과 최소값을 찾고 싶다고 가정합니다. 알고리즘의 첫 번째 단계를 완료한 후, 즉 도함수를 계산하면 예를 들어 전체 고려 간격에 걸쳐 음수 값만 취한다는 것이 분명해집니다. 도함수가 음수이면 함수가 감소한다는 것을 기억하십시오. 우리는 전체 세그먼트에 걸쳐 함수가 감소한다는 것을 알았습니다. 이 상황은 기사 시작 부분의 그래프 1에 나와 있습니다.

세그먼트에서 기능이 감소합니다. 극한점이 없습니다. 그림에서 함수가 세그먼트의 오른쪽 경계에서 가장 작은 값을 취하고 왼쪽에서 가장 큰 값을 취하는 것을 볼 수 있습니다. 구간의 도함수가 모든 곳에서 양수이면 함수가 증가합니다. 가장 작은 값은 세그먼트의 왼쪽 경계에 있고 가장 큰 값은 오른쪽에 있습니다.