त्रिभुजों का क्षेत्रफल.

अपने बच्चे को पाठ पढ़ाने में मदद करने के लिए, पूर्वजों को स्वयं बहुत सी बातें पता होनी चाहिए। समद्विबाहु का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें त्रिकोण, सहभागी वाक्यांश सहभागी वाक्यांश से किस प्रकार भिन्न है, गुरुत्वाकर्षण का त्वरण क्या है?

गणित पाठ 8 त्रिभुज का क्षेत्रफल

आपके बेटे या बेटी को इनमें से किसी भी प्रश्न से कठिनाई हो सकती है, और वे स्पष्टीकरण के लिए विशेष रूप से आपके पास आएंगे। पहले कीचड़ में न गिरने और बच्चों की नज़र में अपना अधिकार बनाए रखने के लिए, स्कूली पाठ्यक्रम के कुछ तत्वों की अपनी याददाश्त को ताज़ा करना उचित है।

आइए एक उदाहरण के रूप में समद्विबाहु त्रिभुज का प्रश्न लें। स्कूल में ज्यामिति कई लोगों के लिए कठिन होती है, और स्कूल के बाद यह सबसे जल्दी भूल जाती है।

लेकिन जब आपके बच्चे 8 बजे जाते हैं कक्षा, आपको ज्यामितीय आकृतियों से संबंधित सूत्र याद रखने होंगे। एक समद्विबाहु त्रिभुज अपनी विशेषताओं को खोजने के मामले में सबसे आम आकृतियों में से एक है।

आइए परिभाषाओं को स्पष्ट करके शुरुआत करें।

यदि आपने त्रिभुजों के बारे में जो कुछ भी सिखाया था वह सब भूल गए हैं, तो आइए याद रखें। समद्विबाहु त्रिभुज वह होता है जिसकी दो भुजाओं की लंबाई समान होती है। इन समान किनारों को समद्विबाहु त्रिभुज की पार्श्व भुजाएँ कहा जाता है। तीसरा पक्ष इसका आधार है।

एक विकल्प ऐसा है जिसमें सभी 3 भुजाएँ बराबर हैं। इसे समबाहु त्रिभुज कहते हैं। समद्विबाहु के लिए उपयोग किए जाने वाले सभी सूत्र इस पर लागू होते हैं, और, यदि आवश्यक हो, तो इसके प्रत्येक पक्ष को आधार कहा जा सकता है।

क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हमें आधार को आधा भाग में विभाजित करना होगा। किनारों को जोड़ने वाले शीर्ष से अधिग्रहीत बिंदु पर उतारा गया एक सपाट, आधार को समकोण पर काटेगा।

यह समरूप त्रिभुजों का गुण है: मध्यिका, दूसरे शब्दों में, एक समद्विबाहु त्रिभुज में विपरीत भुजा के शीर्ष से मध्य तक बराबर होती है, इसका समद्विभाजक (कोण को आधे में विभाजित करने वाली एक सीधी रेखा) और इसकी ऊंचाई (लंबवत) होती है विपरीत पक्ष)।

एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको इसकी ऊंचाई को इसके आधार से गुणा करना होगा, और फिर इस उत्पाद को आधे में विभाजित करना होगा।

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, सूत्र सामान्य है: S=ah/2, जहां a आधार की लंबाई है, h ऊंचाई है।

इसे इस प्रकार स्पष्ट रूप से समझाया जा सकता है। कागज से एक समान आकृति काटें, आधार के मध्य का पता लगाएं, इस बिंदु तक ऊंचाई बनाएं और ध्यान से इस ऊंचाई के साथ काटें। आपको दो समकोण त्रिभुज मिलेंगे।

यदि हम उन्हें उनके कर्ण (लंबी भुजाओं) के साथ एक-दूसरे के बगल में रखें, तो एक आयत बनेगी, जिसकी एक भुजा हमारी आकृति की ऊँचाई के बराबर होगी, और दूसरी उसके आधार के आधे के बराबर होगी। दूसरे शब्दों में, सूत्र की पुष्टि की जाएगी.

कक्षा में सर्वश्रेष्ठ छात्र वह छात्र नहीं है जो याद रखता है, बल्कि वह छात्र है जो सोचता है और, सबसे महत्वपूर्ण बात, समझता है।

कैसे खोजोकिसी आकृति का क्षेत्रफल यदि एक कोण समकोण हो?

ऐसा हो सकता है कि इस त्रिभुजाकार आकृति की भुजाओं के बीच का कोण 90° है। तब यह त्रिभुज समकोण त्रिभुज कहलायेगा, इसकी भुजाएँ पैर कहलायेंगी और इसका आधार कर्ण कहलायेगा।

वर्गइस तरह के आंकड़े की गणना उपरोक्त विधि का उपयोग करके की जा सकती है (हम कर्ण के मध्य को ढूंढते हैं, इसकी ऊंचाई खींचते हैं, इसे कर्ण से गुणा करते हैं, इसे आधे में विभाजित करते हैं)। लेकिन समस्या को और भी सरलता से हल किया जा सकता है।

आइए स्पष्टता से शुरुआत करें। एक समद्विबाहु त्रिभुज तिरछे काटने पर ठीक आधा वर्ग बनता है। और यदि किसी वर्ग का क्षेत्रफल साधारण निर्माण द्वारा उसकी भुजा की दूसरी शक्ति तक पाया जाए, तो हमारे लिए उपयुक्त आकृति का क्षेत्रफल आधा बड़ा होगा।

S=a 2 /2, जहां a पैर की लंबाई है।

एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी भुजा के आधे वर्ग के बराबर होता है। समस्या उतनी गंभीर नहीं निकली जितनी पहली नज़र में लग रही थी।

ज्यामिति एक सटीक विज्ञान है. यदि आप इसके आधारों के बारे में सोचें, तो इसमें कुछ समस्याएं होंगी, और साक्ष्य का तर्क आपके बच्चे को बहुत आकर्षित कर सकता है। आपको बस उसकी थोड़ी मदद करने की जरूरत है। चाहे उसे कितना भी अच्छा शिक्षक मिल जाए, माता-पिता की मदद अनावश्यक नहीं होगी।

और ज्यामिति के अध्ययन के मामले में, ऊपर उल्लिखित विधि बहुत उपयोगी होगी - स्पष्टता और स्पष्टीकरण में आसानी।

इन सबके साथ, हमें सूत्रीकरणों की सटीकता के बारे में नहीं भूलना चाहिए, अन्यथा यह विज्ञान इसके सार से भी अधिक जटिल हो सकता है;

शोध करे

त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें। त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें। 4 तरीके: आधार और ऊंचाई से, भुजाओं से, किसी एक से। कैसे क्षेत्र खोजेंत्रिकोण. कैसे ढूंढें एक त्रिभुज का क्षेत्रफलफार्मूला चौथी कक्षा. क्षेत्रफल का पता कैसे लगाएं, इस प्रश्न का उत्तर त्रिकोणफॉर्मूला चौथी कक्षा? - एक त्रिभुज का क्षेत्रफल. उत्तर@मेल. एन: कैसे खोजें एक आयत का क्षेत्रफल. कैसे एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करें, त्रिकोण? चौथी कक्षा की इरीना मस्तकोवा (संगीत) छात्रा। त्रिभुज क्षेत्र सूत्र और उदाहरण. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल. क्षेत्र खोजेंत्रिकोण. ग्रेड 3 - एक त्रिभुज की परिधि और क्षेत्रफल। ग्रेड 3, परिधि और एक त्रिभुज का क्षेत्रफल, सूत्र 4 के लिए गणित में उदाहरण कक्षा. तीन भुजाओं पर आधारित त्रिभुज का क्षेत्रफल - सूत्र, उदाहरण। आप विभिन्न तरीकों से त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं। बेशक, पर निर्भर करता है। (त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात करें; AB = 2CM। (त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें। बिल्कुल उपयोगकर्ताओं द्वारा स्वयं के रूप में चिह्नित किया गया है। कैसे) खोजोएक त्रिभुज का परिमाप और क्षेत्रफल. कैसे एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करें? ढूँढ़ने के लिए वर्गआयत, आपको इसकी लंबाई को इसकी चौड़ाई, S=ab से गुणा करना होगा। सूत्र, सिद्धांत.

क्षेत्रफल की अवधारणा

किसी भी ज्यामितीय आकृति के क्षेत्रफल की अवधारणा, विशेष रूप से एक त्रिभुज, एक वर्ग जैसी आकृति से जुड़ी होगी। किसी भी ज्यामितीय आकृति के इकाई क्षेत्रफल के लिए हम एक वर्ग का क्षेत्रफल लेंगे जिसकी भुजा एक के बराबर हो। पूर्णता के लिए, आइए हम ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रों की अवधारणा के लिए दो बुनियादी गुणों को याद करें।

संपत्ति 1:यदि ज्यामितीय आकृतियाँ समान हैं, तो उनका क्षेत्रफल भी समान है।

संपत्ति 2:किसी भी आकृति को कई आकृतियों में विभाजित किया जा सकता है। इसके अलावा, मूल आकृति का क्षेत्रफल उसके सभी घटक आकृतियों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।

आइए एक उदाहरण देखें.

उदाहरण 1

जाहिर है, त्रिभुज की एक भुजा एक आयत का विकर्ण है, जिसकी एक भुजा की लंबाई $5$ है (क्योंकि इसमें $5$ कोशिकाएँ हैं), और दूसरी $6$ है (क्योंकि इसमें $6$ कोशिकाएँ हैं)। अत: इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ऐसे आयत के आधे के बराबर होगा। आयत का क्षेत्रफल है

तब त्रिभुज का क्षेत्रफल बराबर होता है

उत्तर: $15$.

इसके बाद, हम त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कई तरीकों पर विचार करेंगे, अर्थात् ऊँचाई और आधार का उपयोग करके, हेरोन के सूत्र और एक समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का उपयोग करके।

किसी त्रिभुज की ऊंचाई और आधार का उपयोग करके उसका क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

प्रमेय 1

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल एक भुजा की लंबाई और उस भुजा की ऊँचाई के गुणनफल के आधे के रूप में पाया जा सकता है।

गणितीय रूप से यह इस तरह दिखता है

$S=\frac(1)(2)αh$

जहां $a$ भुजा की लंबाई है, $h$ उस पर खींची गई ऊंचाई है।

सबूत।

एक त्रिभुज $ABC$ पर विचार करें जिसमें $AC=α$ है। इस तरफ ऊँचाई $BH$ खींची गई है, जो $h$ के बराबर है। आइए इसे चित्र 2 के अनुसार वर्ग $AXYC$ तक बनाएं।

आयत $AXBH$ का क्षेत्रफल $h\cdot AH$ है, और आयत $HBYC$ का क्षेत्रफल $h\cdot HC$ है। तब

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

इसलिए, संपत्ति 2 द्वारा त्रिभुज का आवश्यक क्षेत्रफल बराबर है

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

उदाहरण 2

यदि कोशिका का क्षेत्रफल एक के बराबर है तो नीचे दिए गए चित्र में त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

इस त्रिभुज का आधार $9$ के बराबर है (क्योंकि $9$ $9$ वर्ग है)। ऊंचाई भी $9$ है. फिर, प्रमेय 1 से, हम पाते हैं

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$

उत्तर: $40.5$.

बगुला का सूत्र

प्रमेय 2

यदि हमें किसी त्रिभुज की तीन भुजाएँ $α$, $β$ और $γ$ दी गई हैं, तो इसका क्षेत्रफल इस प्रकार ज्ञात किया जा सकता है:

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

यहां $ρ$ का अर्थ इस त्रिभुज का अर्ध-परिधि है।

सबूत।

निम्नलिखित चित्र पर विचार करें:

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज $ABH$ से हम प्राप्त करते हैं

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज $CBH$ से, हमारे पास है

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

इन दोनों संबंधों से हमें समानता प्राप्त होती है

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

चूँकि $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, तो $α+β+γ=2ρ$, जिसका अर्थ है

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

प्रमेय 1 से, हम पाते हैं

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

जैसा कि आपको अपने स्कूल के ज्यामिति पाठ्यक्रम से याद होगा, एक त्रिभुज तीन बिंदुओं से जुड़े तीन खंडों से बनी एक आकृति है जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं। एक त्रिभुज तीन कोण बनाता है, इसलिए आकृति का नाम। परिभाषा भिन्न हो सकती है. त्रिभुज को तीन कोणों वाला बहुभुज भी कहा जा सकता है, उत्तर भी सही होगा। त्रिभुजों को आकृतियों में समान भुजाओं की संख्या और कोणों के आकार के अनुसार विभाजित किया गया है। इस प्रकार, त्रिभुजों को क्रमशः समद्विबाहु, समबाहु और विषमकोण के साथ-साथ आयताकार, न्यून और अधिक के रूप में प्रतिष्ठित किया जाता है।

त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए बहुत सारे सूत्र हैं। चुनें कि त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें, अर्थात्। कौन सा फॉर्मूला उपयोग करना है यह आप पर निर्भर है। लेकिन यह केवल कुछ नोटेशनों पर ध्यान देने योग्य है जिनका उपयोग त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए कई सूत्रों में किया जाता है। तो, याद रखें:

S त्रिभुज का क्षेत्रफल है,

a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं,

h त्रिभुज की ऊँचाई है,

R परिचालित वृत्त की त्रिज्या है,

p अर्ध-परिधि है.

यहां बुनियादी नोटेशन दिए गए हैं जो आपके लिए उपयोगी हो सकते हैं यदि आप अपना ज्यामिति पाठ्यक्रम पूरी तरह से भूल गए हैं। त्रिभुज के अज्ञात और रहस्यमय क्षेत्र की गणना के लिए सबसे समझने योग्य और सरल विकल्प नीचे दिए गए हैं। यह कठिन नहीं है और यह आपकी घरेलू जरूरतों और आपके बच्चों की मदद दोनों के लिए उपयोगी होगा। आइए याद रखें कि त्रिभुज के क्षेत्रफल की यथासंभव आसानी से गणना कैसे करें:

हमारे मामले में, त्रिभुज का क्षेत्रफल है: S = ½ * 2.2 सेमी * 2.5 सेमी = 2.75 वर्ग सेमी। याद रखें कि क्षेत्रफल वर्ग सेंटीमीटर (वर्ग सेमी) में मापा जाता है।

समकोण त्रिभुज और उसका क्षेत्रफल.

समकोण त्रिभुज वह त्रिभुज होता है जिसका एक कोण 90 डिग्री के बराबर होता है (इसलिए इसे समकोण कहा जाता है)। एक समकोण दो लंबवत रेखाओं (त्रिभुज के मामले में, दो लंबवत खंड) से बनता है। एक समकोण त्रिभुज में केवल एक ही समकोण हो सकता है, क्योंकि... किसी एक त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180 डिग्री के बराबर होता है। इससे पता चलता है कि अन्य 2 कोणों को शेष 90 डिग्री साझा करनी चाहिए, उदाहरण के लिए 70 और 20, 45 और 45, आदि। तो, आपको मुख्य बात याद है, जो कुछ बचा है वह यह पता लगाना है कि समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए। आइए कल्पना करें कि हमारे सामने एक ऐसा समकोण त्रिभुज है और हमें इसका क्षेत्रफल S ज्ञात करना है।

1. समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल निर्धारित करने का सबसे सरल तरीका निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

हमारे मामले में, समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल है: S = 2.5 सेमी * 3 सेमी / 2 = 3.75 वर्ग सेमी।

सिद्धांत रूप में, अब त्रिभुज के क्षेत्रफल को अन्य तरीकों से सत्यापित करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि केवल यही उपयोगी होगा और रोजमर्रा की जिंदगी में मदद करेगा। लेकिन न्यून कोणों के माध्यम से त्रिभुज का क्षेत्रफल मापने के भी विकल्प हैं।

2. अन्य गणना विधियों के लिए, आपके पास कोज्या, ज्या और स्पर्शरेखा की एक तालिका होनी चाहिए। स्वयं निर्णय करें, समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए यहां कुछ विकल्प दिए गए हैं जिनका अभी भी उपयोग किया जा सकता है:

हमने पहले सूत्र का उपयोग करने का निर्णय लिया और कुछ छोटे धब्बों के साथ (हमने इसे एक नोटबुक में बनाया और एक पुराने रूलर और चांदा का उपयोग किया), लेकिन हमें सही गणना मिली:

एस = (2.5*2.5)/(2*0.9)=(3*3)/(2*1.2)। हमें निम्नलिखित परिणाम मिले: 3.6=3.7, लेकिन कोशिकाओं के बदलाव को ध्यान में रखते हुए, हम इस बारीकियों को माफ कर सकते हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज और उसका क्षेत्रफल.

यदि आपके सामने एक समद्विबाहु त्रिभुज के सूत्र की गणना करने का कार्य है, तो सबसे आसान तरीका मुख्य का उपयोग करना है और जिसे त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए शास्त्रीय सूत्र माना जाता है।

लेकिन सबसे पहले, समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने से पहले, आइए जानें कि यह किस प्रकार की आकृति है। समद्विबाहु त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज है जिसकी दो भुजाओं की लंबाई समान होती है। इन दोनों पक्षों को पार्श्व कहा जाता है, तीसरे पक्ष को आधार कहा जाता है। समद्विबाहु त्रिभुज को समबाहु त्रिभुज के साथ भ्रमित न करें, अर्थात एक नियमित त्रिभुज जिसकी तीनों भुजाएँ बराबर हों। ऐसे त्रिभुज में कोणों या यूँ कहें कि उनके आकार की कोई विशेष प्रवृत्ति नहीं होती है। हालाँकि, समद्विबाहु त्रिभुज में आधार पर बने कोण बराबर होते हैं, लेकिन समान भुजाओं के बीच के कोण से भिन्न होते हैं। तो, आप पहले और मुख्य सूत्र को पहले से ही जानते हैं, यह पता लगाना बाकी है कि समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए अन्य कौन से सूत्र ज्ञात हैं।

यदि आपको एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना है, तो चिंता न करें कि आप वह सब कुछ भूल गए हैं जो स्कूल में शिक्षक आपके दिमाग में रखते थे। हमारा लेख आपको बताएगा कि इस समस्या को कैसे और विभिन्न तरीकों से हल किया जाए।

आरंभ करने के लिए, याद रखें कि त्रिभुज एक आकृति है जो तीन सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन से बनती है। वे तीन बिंदु जहां रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं, आकृति के शीर्ष हैं, और उनके विपरीत खंड त्रिभुज के किनारे हैं। कई विशेष प्रकार के त्रिभुज (समद्विबाहु, समबाहु, समबाहु) होते हैं, जिनके क्षेत्रफलों पर भी हम गौर करेंगे।

सामान्य सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें

सबसे सामान्य मामले के लिए, किसी दिए गए ज्यामितीय आकृति के क्षेत्र की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: क्षेत्रफल = आकृति के किसी एक पक्ष की लंबाई, इस तरफ कम ऊंचाई की लंबाई से गुणा किया जाता है।

यदि हम त्रिभुज की तीनों भुजाओं को जानते हैं तो उसका क्षेत्रफल ज्ञात करें

यदि आप त्रिभुज की तीनों भुजाओं को जानते हैं, तो आप हेरोन के सूत्र का उपयोग करके इसका क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं। सबसे पहले, आइए त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाई जोड़कर और दो से विभाजित करके इसका अर्ध-परिधि ज्ञात करें। फिर हम निम्नलिखित सूत्र के अनुसार क्षेत्र का वर्ग ज्ञात करते हैं: एसएस = पी (पी-ए)(पी-बी)(पी-सी), जहां ए, बी, सी आकृति की भुजाओं की लंबाई हैं, और पी आधा परिधि है . क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, बस परिणामी मान का वर्गमूल लें।

यदि हम किसी त्रिभुज का कर्ण, पाद और उनसे बना कोण जानते हैं तो उसका क्षेत्रफल ज्ञात करें

ऐसा करने के लिए, हम एक त्रिकोणमिति तालिका और निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करेंगे:

S=1/2*a*b*sinB, जहां a और b कर्ण के साथ पाद हैं, और B उनके प्रतिच्छेदन पर बना कोण है।

इस सूत्र का उपयोग करके, हम एक साधारण त्रिभुज, एक समबाहु त्रिभुज, एक समद्विबाहु त्रिभुज और एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।

यदि हम किसी त्रिभुज की भुजा और उसके सम्मुख कोण को जानते हैं तो उसका क्षेत्रफल ज्ञात करें

हम सूत्र लागू करते हैं: S=1/2(a*a)/(2tgB), जहां a ज्ञात पैर है, और B इसके विपरीत कोण है।

यदि हम केवल कर्ण और पैर जानते हैं तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें

सबसे पहले, आइए FF=1/2(в*в – а*а) का मान ज्ञात करें। फिर हम इस संख्या से मूल (F) निकालते हैं और इसे त्रिकोणीय आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: S=a*F। यहाँ a पैर है, b कर्ण है।

यदि हम न्यूनकोण और कर्ण में से एक को जानते हैं तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें

हम समस्या की स्थितियों से ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: S=1/2(в*в)* cosA*sinA*। यहां न्यूनकोण A है और B कर्ण है।

शीर्षों के निर्देशांकों का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें

यदि, समस्या की स्थितियों के अनुसार, आपको तीन बिंदुओं के निर्देशांक दिए गए हैं, जो एक त्रिकोणीय आकृति के शीर्ष हैं, तो आप क्षेत्रफल की गणना भी कर सकते हैं।

तो, आपको शीर्ष A (x1, y1), B (x2, y2), C (x3, y3) दिए गए हैं। क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं: S=1/2((x1-x3)(y2-y3) - (x2-x3)(y1-y3)). उसी समय, याद रखें कि मॉड्यूल को उस मान से लिया जाना चाहिए जिसे आप कोष्ठक में गणना करते हैं, क्योंकि कुछ बिंदुओं में ऋण चिह्न के साथ निर्देशांक हो सकते हैं।

आप चीजों को अलग ढंग से भी कर सकते हैं.

विधि 1. सबसे पहले त्रिभुजाकार आकृति की सभी भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें, और फिर हेरोन के सूत्र का उपयोग करें, जो ऊपर वर्णित था। सबसे पहले, हम निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके भुजाओं का वर्ग ज्ञात करते हैं:

एबी*एबी=(x1-x2)(x1-x2) + (y1-y2)(y1-y2);

बीवी*बीवी=(x2-x3)(x2-x3) + (y2-y3)(y2-y3);

BA*BA=(x3-x1)(x3-x1) + (y3-y1)(y3-y1).

एक त्रिभुजाकार आकृति का आधा परिमाप ज्ञात कीजिए:

p=1\2(AB+ BV+ VA)

अब हम मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

एसएस=पी(पी-एबी)(पी-बीवी)(पी-वीए)। यह वर्गाकार क्षेत्र है. हम अर्थ से मूल निकालते हैं और अंततः वही पाते हैं जिसकी हमें तलाश थी।

वैसे, जिज्ञासा के लिए, आप उपरोक्त दो विधियों का उपयोग करके निर्देशांक से क्षेत्र की गणना कर सकते हैं। तब आपको पता चलेगा कि कुल योग थोड़ा भिन्न होगा। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि पहली गणना के दौरान प्राप्त परिणाम का मान हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके प्राप्त परिणाम से अधिक होगा। इस प्रकार, अधिक सटीक डेटा प्राप्त करने के लिए, दूसरी विधि का उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है।

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लक्ष्य:

• त्रिभुज के क्षेत्रफल की अवधारणा बनाइये।
• त्रिभुज का सूत्र S व्युत्पन्न करें।
• बुनियादी गणितीय अवधारणाओं (पैर, कर्ण, ऊंचाई...) की समीक्षा करें
• अपने गिनती कौशल को प्रशिक्षित करें
• मानसिक क्रियाओं का विकास: (विश्लेषण, संश्लेषण, तुलना, सामान्यीकरण)

कक्षाओं के दौरान

मैंचरण: गतिविधि के लिए आत्मनिर्णय.

आज हमारे पास बड़ी संख्या में मेहमान हैं, आइए उन्हें नमस्ते कहें। (बच्चे नमस्ते कहते हैं और बैठ जाते हैं)।

आपके अनुसार हमारे पाठ में कितने अतिथि उपस्थित हैं? (बच्चे बिना गिनती के उत्तर देते हैं और अनुमानित परिणाम देते हैं)।

कुल संख्या में से 1/6 हमारे विद्यालय के शिक्षक हैं। कितने हैं?

अब हम क्या कर रहे थे? (उन्होंने मेहमानों की गिनती की)।

क्या आपके उत्तर सदैव सटीक थे? (नहीं)।

क्या हम पाठों में इस तकनीक का उपयोग करते हैं? (हाँ)।

किन स्थितियों में? (समय की कमी, कार्य करने का कोई अन्य तरीका नहीं)।

लेकिन गणित एक सटीक विज्ञान है; यहाँ तक कि प्राचीन दार्शनिक प्लेटो ने भी कहा था: "गणित मन को सत्य के करीब लाता है।" इसका मतलब यह है कि उत्तर अभी भी सही होने चाहिए।

लेकिन आधुनिक कहावत कहती है: "गणित का अध्ययन नहीं किया जा सकता..."।

क्या आप इस कथन से सहमत हैं? (नहीं, तो फिर हम कक्षा में क्या कर रहे हैं?)

तथ्य यह है कि इस वाक्यांश में एक निरंतरता है, जो एक अलग अर्थ लाती है, लेकिन हम पाठ के अंत में पता लगाएंगे कि वाक्यांश की निरंतरता क्या है।

द्वितीयचरण: ज्ञान को अद्यतन करना और गतिविधि में आने वाली कठिनाइयों को ठीक करना।

• त्वरित गिनती. (बच्चे उदाहरणों की श्रृंखला का अंतिम उत्तर टैबलेट पर रिकॉर्ड करते हैं)।
• स्क्रीन पर ध्यान दें. कौन सा शब्द अनावश्यक हो सकता है और क्यों?

(मौसम, क्योंकि इसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है)।

लेकिन शेष सभी शब्द आज के गणित पाठ के लिए प्रासंगिक नहीं होंगे। अंकगणितीय श्रुतलेख हमें पाठ के लिए मुख्य शब्दों की सीमा निर्धारित करने में मदद करेगा।

अंकगणित श्रुतलेख:(1 बोर्ड पर, बाकी एक नोटबुक में काम करते हैं)

तृतीय भाग 18 6, 15, 7, 70, 24

700 का 1%

किसी संख्या का 1/6 भाग 4 है, पूर्ण संख्या ज्ञात कीजिए

(संख्या श्रृंखला की जाँच करने पर, अतिरिक्त शब्द और संख्याएँ स्क्रीन पर गायब हो जाती हैं)।

शेष संख्याओं को क्या जोड़ता है? (संपूर्ण, प्राकृतिक)।

आप इसे किन दो समूहों में बाँट सकते हैं? (बच्चे विकल्प देते हैं)।

लेकिन शेष शब्द आज के पाठ के विषय से एकजुट हैं। इसे यथासंभव सटीकता से तैयार करने के लिए, आइए बुनियादी गणितीय अवधारणाओं को याद रखें और खेलें गणितीय लोट्टो में.
(बच्चों को दो रंगों के कार्ड, प्रश्न और उत्तर दिए जाते हैं)।

मैं एक और खेल खेलने का प्रस्ताव करता हूं, जिसका आविष्कार चीनियों ने किया था, जो हमेशा अच्छे गणितज्ञों के रूप में जाने जाते हैं। यह कहा जाता है "तंग्राम"।

इसका सार छोटे ज्यामितीय आकृतियों से आंकड़े इकट्ठा करना है। हम जोड़ियों में काम करेंगे. लिफाफा नंबर 1 खोलें और सभी आंकड़े अपने सामने रखें। सब कुछ अपने सामने सूचीबद्ध करें. (विभिन्न रंगों के 4 छोटे और 2 बड़े समकोण त्रिभुज)।

सभी आंकड़ों से एकत्रित करें:
पहली पंक्ति - चौकोर
दूसरी पंक्ति - आयत
तीसरी पंक्ति - त्रिकोण

(जोड़ियों में व्यावहारिक कार्य, कंप्यूटर का उपयोग करके निर्माणों की जाँच करना)।

सभी परिणामी आंकड़ों को क्या एकजुट करता है? (बहुभुज में समान संख्या में आकृतियाँ होती हैं)।

क्षेत्रफल के अनुसार उनकी तुलना करें. (समान, क्योंकि वे समान भागों से बने होते हैं)।

ये आंकड़े क्या कहलाते हैं? (समान आकार)।

क्या आप कह सकते हैं कि ये आकृतियाँ आकार में भी समान हैं? (नहीं, स्थिति अलग है, कार्रवाई का तरीका अलग है)।

अपने ज्ञान का उपयोग करें और क्षेत्रफल के अनुसार आंकड़ों की तुलना करें)।

(बच्चे सूत्र का उपयोग करके आसानी से वर्ग और आयत का S ज्ञात कर सकते हैं, लेकिन त्रिभुज के साथ काम करते समय एक समस्या उत्पन्न होती है)।

तृतीयचरण: समस्या का विवरण, पाठ के विषय का निरूपण।

समस्या क्यों उत्पन्न हुई? (हम नहीं जानते कि S त्रिभुज को कैसे खोजा जाए, हम केवल एक गलत परिणाम पा सकते हैं)।

तो आज के पाठ का उद्देश्य क्या है? (त्रिभुज का S ज्ञात करना सीखें)।

पाठ के लक्ष्य और कीवर्ड के आधार पर, आज के पाठ के विषय को यथासंभव सटीक रूप से तैयार करने का प्रयास करें।
(एस समकोण त्रिभुज).

चतुर्थचरण: नए ज्ञान का डिजाइन और रिकॉर्डिंग।

अपने सामने त्रिभुज के बारे में सब कुछ बताएं। (आयताकार, बहुमुखी)।

समूहों में, एक समकोण त्रिभुज का S ज्ञात करने का तरीका ढूंढने का प्रयास करें, एक सूत्र बनाएं और अपने कार्यों पर टिप्पणी करें।

(परिणाम बोर्ड पर पोस्ट किए जाते हैं, कार्रवाई की विधि ज़ोर से बोली जाती है)।

पक्ष क्या हैं? ए और वी ? (कैथीस)।

अपने निष्कर्ष प्रतीकात्मक और मौखिक रूप में तैयार करें।

एस = (ए सी) : 2, एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके पैरों के आधे उत्पाद के बराबर है)।

आइए अपने सूत्रीकरण की तुलना पाठ्यपुस्तक (पृष्ठ 95) में प्रस्तावित सूत्रीकरण से करें।

हमें कौन सा त्रिभुज क्षेत्र मिला? (आयताकार).

क्या यह सूत्र अन्य त्रिभुजों के लिए सत्य होगा? (नहीं, क्योंकि पैर नहीं हैं)।

तो फिर आइए अपने कार्यों के लिए एक एल्गोरिदम बनाएं।

कलन विधि।

• एक समकोण चुनें
• पैरों की लंबाई नापें
• सूत्र का उपयोग करके S ज्ञात करें।

वीचरण: बाहरी भाषण में प्राथमिक समेकन।

पाठ्यपुस्तक से कार्य जोड़ियों में करें (पृष्ठ 95 क्रमांक 5)।

छठीचरण: आत्म-परीक्षण के साथ स्वतंत्र कार्य।

क्षेत्रफल के अनुसार आकृतियों की तुलना करें.

(नोटबुक में निम्नलिखित प्रविष्टियाँ दिखाई देती हैं:

एस = (4 * 3): 2 = 6 वर्ग।।सेमी
एस = (2 * 6): 2 = 6 वर्ग।।सेमी
एस=एस

सातवींचरण: ज्ञान प्रणाली में समावेशन और पुनरावृत्ति।

आइए उस कार्य पर वापस लौटें जिसके कारण कठिनाई हुई। अपनी नोटबुक में गणना करें और इन आंकड़ों के क्षेत्रों की तुलना करें।

एस = 2 * 2 = 4 वर्ग।।सेमी
एस = 1 * 3 = 3 वर्ग।।सेमी
एस = (3 * 2) : 2 = 3 वर्ग।।सेमी

आप एक आयत और एक त्रिभुज के S के बारे में क्या कह सकते हैं? (यह वही है, जिसका अर्थ है कि आंकड़े आकार में बराबर हैं)।

आप इस त्रिभुज के बारे में क्या कह सकते हैं?

(स्कैलीन, ऑब्ट्यूज़)।

क्या हम इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए अपने एल्गोरिदम का उपयोग कर सकते हैं?

(नहीं, क्योंकि त्रिभुज समकोण होना चाहिए)।

क्या इस त्रिभुज से दो समकोण त्रिभुज बनाने के लिए निर्माण का उपयोग करना संभव है?

(आप कर सकते हैं, आपको ऊंचाई खींचने की जरूरत है)।

सम्पूर्ण त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या होगा?
(दो समकोण त्रिभुजों का योग S, हम जानते हैं कि उनका S कैसे ज्ञात किया जाता है)।

एस = (ए*ज) : 2
एस = (ए *ज) : 2
एस = ((ए + ए) *ज) : 2
(ए + ए)-नींव का अर्थ है
एस= (ए * बी) : 2,कहाँ ए - पैर का आधार; वी - पैर की ऊंचाई

- आइए एल्गोरिथ्म का विस्तार करें।

कलन विधि।

सातवींमंच: गतिविधि का प्रतिबिंब.

पाठ का उद्देश्य क्या था?

क्या हम इसे पूरा करने में कामयाब रहे?

आइए अब इस वाक्यांश का अंत जानें "आप अपने पड़ोसी को ऐसा करते देखकर गणित नहीं सीख सकते।"

क्या आप इस कथन से सहमत हैं? (हाँ, पाठ के दौरान हमने सब कुछ स्वयं किया, न कि केवल अवलोकन किया)

पाठ में मुख्य बात क्या थी और दिलचस्प क्या था?

डी/जेड:(वैकल्पिक)। - एस आंकड़े खोजें और एस के अनुसार आंकड़ों की तुलना करें।

(लिफाफे में कार्य, प्रदर्शन के आधार पर, बच्चे चुनते हैं कि उन्हें अपने लिए क्या चाहिए, इस स्तर पर विषय की समझ के स्तर का निर्धारण करते हैं और लिफाफे से कार्य लेते हैं)