परिभाषा 1

किसी निश्चित खंड पर परिभाषित किसी दिए गए फ़ंक्शन $y=f(x)$ के सभी एंटीडेरिवेटिव्स के सेट को किसी दिए गए फ़ंक्शन $y=f(x)$ का अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग कहा जाता है। अनिश्चितकालीन अभिन्न को प्रतीक $\int f(x)dx $ द्वारा दर्शाया जाता है।

टिप्पणी

परिभाषा 2 को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]

प्रत्येक अपरिमेय कार्य को प्रारंभिक कार्यों के माध्यम से अभिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, इनमें से अधिकांश अभिन्नों को तर्कसंगत कार्यों के अभिन्नों के प्रतिस्थापन का उपयोग करके कम किया जा सकता है, जिन्हें प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।

$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \दाएं)^(r/s) \दाएं)dx $;

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $.

मैं

फॉर्म $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ का अभिन्न अंग ढूंढते समय निम्नलिखित प्रतिस्थापन करना आवश्यक है:

इस प्रतिस्थापन के साथ, चर $x$ की प्रत्येक भिन्नात्मक शक्ति को चर $t$ की पूर्णांक शक्ति के माध्यम से व्यक्त किया जाता है। परिणामस्वरूप, इंटीग्रैंड फ़ंक्शन वेरिएबल $t$ के एक तर्कसंगत फ़ंक्शन में बदल जाता है।

उदाहरण 1

एकीकरण करें:

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]

समाधान:

$k=4$, भिन्नों $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $ का सामान्य हर है।

\ \[\begin(array)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\end(सरणी)\]

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]

द्वितीय

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac) रूप का अभिन्न अंग ज्ञात करते समय (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ निम्नलिखित प्रतिस्थापन करना आवश्यक है:

जहां $k$ भिन्नों का सामान्य हर है $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $.

इस प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप, इंटीग्रैंड फ़ंक्शन वेरिएबल $t$ के एक तर्कसंगत फ़ंक्शन में बदल जाता है।

उदाहरण 2

एकीकरण करें:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]

समाधान:

आइए निम्नलिखित प्रतिस्थापन करें:

\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \right)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \left |\frac(t-2)(t+2) \right|+C\]

विपरीत प्रतिस्थापन करने के बाद, हमें अंतिम परिणाम मिलता है:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \right|+C.\]

तृतीय

फॉर्म $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $ का अभिन्न अंग ढूंढते समय, तथाकथित यूलर प्रतिस्थापन किया जाता है (तीन संभावित प्रतिस्थापनों में से एक है इस्तेमाल किया गया)।

यूलर का पहला प्रतिस्थापन

मामले के लिए $a>

$\sqrt(a) $ के सामने "+" चिह्न लेने पर, हमें मिलता है

उदाहरण 3

एकीकरण करें:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) .\]

समाधान:

आइए निम्नलिखित प्रतिस्थापन करें (मामला $a=1>0$):

\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t) ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]

विपरीत प्रतिस्थापन करने के बाद, हमें अंतिम परिणाम मिलता है:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]

यूलर का दूसरा प्रतिस्थापन

$c>0$ मामले के लिए निम्नलिखित प्रतिस्थापन करना आवश्यक है:

$\sqrt(c) $ के सामने "+" चिन्ह लेने पर, हमें मिलता है

उदाहरण 4

एकीकरण करें:

\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]

समाधान:

आइए निम्नलिखित प्रतिस्थापन करें:

\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]

\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \

$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ इसका उल्टा करने के बाद प्रतिस्थापन, हमें अंतिम परिणाम मिलता है:

\[\begin(array)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x +x^(2) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \left|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\right|+C) \end ( सारणी)\]

यूलर का तीसरा प्रतिस्थापन

तर्कहीन कार्यों का वर्ग बहुत व्यापक है, इसलिए उन्हें एकीकृत करने का कोई सार्वभौमिक तरीका नहीं हो सकता है। इस लेख में हम सबसे विशिष्ट प्रकार के अपरिमेय इंटीग्रैंड फ़ंक्शंस की पहचान करने और उनके साथ एकीकरण विधि को जोड़ने का प्रयास करेंगे।

ऐसे मामले हैं जब विभेदक चिह्न की सदस्यता लेने की विधि का उपयोग करना उचित है। उदाहरण के लिए, प्रपत्र के अनिश्चित अभिन्न अंग ढूँढ़ते समय, कहाँ पी– तर्कसंगत अंश.

उदाहरण।

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें .

समाधान।

इसे नोटिस करना मुश्किल नहीं है. इसलिए, हम इसे विभेदक चिह्न के अंतर्गत रखते हैं और प्रतिअवकलन तालिका का उपयोग करते हैं:

उत्तर:

.

13. भिन्नात्मक रैखिक प्रतिस्थापन

उस प्रकार के समाकलन जहां a, b, c, d वास्तविक संख्याएं हैं, a, b,..., d, g प्राकृतिक संख्याएं हैं, प्रतिस्थापन द्वारा एक परिमेय फलन के समाकलन में बदल दिए जाते हैं, जहां K सबसे छोटा सामान्य गुणज है भिन्नों के हर

वास्तव में, प्रतिस्थापन से यह इस प्रकार है

यानी x और dx को t के तर्कसंगत कार्यों के माध्यम से व्यक्त किया जाता है। इसके अलावा, भिन्न की प्रत्येक डिग्री को t के तर्कसंगत कार्य के माध्यम से व्यक्त किया जाता है।

उदाहरण 33.4. अभिन्न खोजें

समाधान: भिन्न 2/3 और 1/2 के हरों का लघुत्तम समापवर्तक 6 है।

इसलिए, हम x+2=t 6, x=t 6 -2, dx=6t 5 dt रखते हैं, इसलिए,

उदाहरण 33.5.समाकलन खोजने के लिए प्रतिस्थापन निर्दिष्ट करें:

समाधान: I 1 प्रतिस्थापन के लिए x=t 2, I 2 प्रतिस्थापन के लिए

14. त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन

प्रकार के इंटीग्रल को फ़ंक्शंस के इंटीग्रल में घटा दिया जाता है जो तर्कसंगत रूप से निम्नलिखित त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापनों का उपयोग करके त्रिकोणमितीय कार्यों पर निर्भर करते हैं: x = पहले इंटीग्रल के लिए एक सिंट; दूसरे अभिन्न के लिए x=a tgt;

उदाहरण 33.6.अभिन्न खोजें

समाधान: आइए x=2 पाप t, dx=2 cos tdt, t=arcsin x/2 रखें। तब

यहां इंटीग्रैंड x और के संबंध में एक तर्कसंगत कार्य है रेडिकल के तहत एक पूर्ण वर्ग का चयन करके और एक प्रतिस्थापन करके, संकेतित प्रकार के इंटीग्रल्स को पहले से ही विचार किए गए प्रकार के इंटीग्रल्स में घटा दिया जाता है, यानी, प्रकार के इंटीग्रल्स में। इन अभिन्नों की गणना उपयुक्त त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापनों का उपयोग करके की जा सकती है।

उदाहरण 33.7.अभिन्न खोजें

समाधान: चूँकि x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5, तो x+1=t, x=t-1, dx=dt. इसीलिए चलो रखो

नोट: अभिन्न प्रकार प्रतिस्थापन x=1/t का उपयोग करके इसे खोजना समीचीन है।

15. निश्चित अभिन्न

मान लीजिए कि एक फ़ंक्शन को एक सेगमेंट पर परिभाषित किया गया है और उस पर एक एंटीडेरिवेटिव है। अंतर कहा जाता है समाकलन परिभाषित करें खंड के साथ कार्य करता है और निरूपित करता है। इसलिए,

अंतर तब फॉर्म में लिखा जाता है . नंबरों को बुलाया जाता है एकीकरण की सीमा .

उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन के लिए एंटीडेरिवेटिव में से एक। इसीलिए

16 . यदि c एक स्थिर संख्या है और फलन ƒ(x) पर पूर्णांकित है, तो

अर्थात्, स्थिर गुणनखंड c को निश्चित समाकलन के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है।

▼आइए (x) के साथ फ़ंक्शन के लिए अभिन्न योग की रचना करें। हमारे पास है:

फिर यह इस प्रकार है कि फलन c ƒ(x) [a; पर पूर्णांकित है; बी] और सूत्र (38.1) मान्य है।▲

2. यदि फ़ंक्शन ƒ 1 (x) और ƒ 2 (x) [a;b] पर पूर्णांकित हैं, तो [a;b] पर पूर्णांकीय हैं; बी] उनका योग यू

अर्थात्, योग का अभिन्न अंग, अभिन्नों के योग के बराबर होता है।

▼
▲

गुण 2 किसी भी सीमित संख्या के पदों के योग पर लागू होता है।

3.

इस संपत्ति को परिभाषा के अनुसार स्वीकार किया जा सकता है। इस गुण की पुष्टि न्यूटन-लीबनिज सूत्र से भी होती है।

4. यदि फलन (x) [a; पर समाकलनीय है; बी] और ए< с < b, то

अर्थात्, संपूर्ण खंड का समाकलन इस खंड के भागों के समाकलन के योग के बराबर होता है। इस गुण को निश्चित समाकलन की योगात्मकता (या योगात्मकता गुण) कहा जाता है।

खंड [ए;बी] को भागों में विभाजित करते समय, हम विभाजन बिंदुओं की संख्या में बिंदु सी को शामिल करते हैं (यह खंड को विभाजित करने की विधि से अभिन्न योग की सीमा की स्वतंत्रता के कारण किया जा सकता है [ए;बी] भागों में)। यदि c = x m, तो अभिन्न योग को दो योगों में विभाजित किया जा सकता है:

खंडों के लिए प्रत्येक लिखित योग क्रमशः अभिन्न है [ए; बी ० ए; एस] और [एस; बी]। अंतिम समानता में n → ∞ (λ → 0) के रूप में सीमा तक जाने पर, हमें समानता (38.3) प्राप्त होती है।

संपत्ति 4 अंक ए, बी, सी के किसी भी स्थान के लिए मान्य है (हम मानते हैं कि फ़ंक्शन (एक्स) परिणामी खंडों के बड़े हिस्से पर पूर्णांक है)।

तो, उदाहरण के लिए, यदि ए< b < с, то

(गुण 4 और 3 का उपयोग किया गया)।

5. "माध्य मानों पर प्रमेय।" यदि फलन ƒ(x) अंतराल [a; पर निरंतर है; बी], तो є [ए; के साथ एक टोनका है; बी] ऐसा कि

▼न्यूटन-लीबनिज सूत्र के अनुसार हमारे पास है

जहां F"(x) = ƒ(x)। लैग्रेंज प्रमेय (किसी फ़ंक्शन की परिमित वृद्धि पर प्रमेय) को अंतर F(b)-F(a) पर लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं

एफ(बी)-एफ(ए) = एफ"(सी) (बी-ए) = फू(सी) (बी-ए).▲

(x) ≥ 0 के लिए संपत्ति 5 ("माध्य मान प्रमेय") का एक सरल ज्यामितीय अर्थ है: निश्चित अभिन्न का मान, कुछ c є (a; b) के लिए, एक आयत के क्षेत्र के बराबर है ऊंचाई के साथ (सी) और आधार बी-ए (अंजीर देखें। 170)। संख्या

अंतराल [a; पर फ़ंक्शन ƒ(x) का औसत मान कहा जाता है; बी]।

6. यदि फलन (x) खंड पर अपना चिन्ह बनाए रखता है [a; बी], जहां ए< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼"माध्य मान प्रमेय" द्वारा (संपत्ति 5)

जहां सी є [ए; बी]। और चूंकि सभी x О [a के लिए ƒ(x) ≥ 0; बी], फिर

ƒ(с)≥0, b-а>0.

इसलिए ƒ(с) (बी-ए) ≥ 0, यानी। ▲

7. अंतराल पर निरंतर कार्यों के बीच असमानता [ए; बी ० ए

▼चूँकि ƒ ​​2 (x)-˒ 1 (x)≥0, तो जब a< b, согласно свойству 6, имеем

या, संपत्ति 2 के अनुसार,

ध्यान दें कि असमानताओं में अंतर करना असंभव है।

8. अभिन्न का अनुमान. यदि m और M, क्रमशः, खंड [a; पर फ़ंक्शन y = ƒ (x) के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान हैं; बी ० ए< b), то

▼चूंकि किसी भी x є [a;b] के लिए हमारे पास m≤˒(x)≤M है, तो, संपत्ति 7 के अनुसार, हमारे पास है

गुण 5 को चरम समाकलनों पर लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं

▲

यदि ƒ(x)≥0, तो संपत्ति 8 को ज्यामितीय रूप से चित्रित किया गया है: एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र उन आयतों के क्षेत्रों के बीच घिरा हुआ है जिनका आधार है, और जिनकी ऊंचाई एम और एम हैं (चित्र 171 देखें)।

9. एक निश्चित समाकलन का मापांक समाकलन के मापांक के समाकलन से अधिक नहीं होता है:

▼गुण 7 को स्पष्ट असमानताओं पर लागू करने पर -|ƒ(x)|≤ƒ(x)≤|ƒ(x)|, हम प्राप्त करते हैं

यह इस प्रकार है कि

▲

10. एक चर ऊपरी सीमा के संबंध में एक निश्चित अभिन्न का व्युत्पन्न उस समाकलन के बराबर होता है जिसमें एकीकरण चर को इस सीमा द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, अर्थात।

किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना क्षेत्रफल सिद्धांत में सबसे कठिन समस्याओं में से एक है। स्कूल के ज्यामिति पाठ्यक्रम में, हमने बुनियादी ज्यामितीय आकृतियों का क्षेत्रफल ज्ञात करना सीखा, उदाहरण के लिए, एक वृत्त, त्रिभुज, समचतुर्भुज, आदि। हालाँकि, अक्सर आपको अधिक जटिल आंकड़ों के क्षेत्रों की गणना करने से निपटना पड़ता है। ऐसी समस्याओं को हल करते समय इंटीग्रल कैलकुलस का सहारा लेना पड़ता है।

इस लेख में हम एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की गणना करने की समस्या पर विचार करेंगे, और हम इसे ज्यामितीय अर्थ में देखेंगे। यह हमें निश्चित अभिन्न अंग और एक वक्ररेखीय समलम्बाकार क्षेत्र के बीच सीधा संबंध पता लगाने की अनुमति देगा।

कार्य करने दो वाई = एफ(एक्स)खंड पर निरंतर और उस पर चिह्न नहीं बदलता (अर्थात, गैर-नकारात्मक या गैर-सकारात्मक)। आकृति जी, रेखाओं से घिरा हुआ y = f(x), y = 0, x = aऔर एक्स = बी, बुलाया घुमावदार समलम्बाकार. आइए इसके क्षेत्रफल को निरूपित करें एस(जी).

आइए हम एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना की समस्या को निम्नानुसार देखें। वर्ग आकृतियों के अनुभाग में, हमें पता चला कि एक घुमावदार समलम्ब चतुर्भुज एक वर्ग आकृति है। यदि आप खंड को विभाजित करते हैं पर एनइंगित करने के लिए बिंदुओं वाले भाग , और अंक चुनें ताकि इसके लिए, निचले और ऊपरी डार्बौक्स योग के अनुरूप आंकड़ों को शामिल माना जा सके पीऔर व्यापक क्यूबहुभुज आकार के लिए जी.

इस प्रकार, विभाजन बिंदुओं की संख्या में वृद्धि के साथ भी एन, हम असमानता पर आते हैं , जहां एक मनमाने ढंग से छोटी सकारात्मक संख्या है , और एसऔर एस- खंड के दिए गए विभाजन के लिए निचला और ऊपरी डार्बौक्स योग . एक अन्य पोस्ट में . इसलिए, एक निश्चित डार्बोक्स इंटीग्रल की अवधारणा की ओर मुड़ते हुए, हम प्राप्त करते हैं .

अंतिम समानता का अर्थ है कि एक सतत और गैर-नकारात्मक कार्य के लिए निश्चित अभिन्न अंग वाई = एफ(एक्स)एक ज्यामितीय अर्थ में संबंधित घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है। यह क्या है एक निश्चित अभिन्न का ज्यामितीय अर्थ.

अर्थात् निश्चित समाकलन की गणना करके हम रेखाओं से घिरी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे y = f(x), y = 0, x = aऔर एक्स = बी.

टिप्पणी।

यदि फ़ंक्शन वाई = एफ(एक्स)खंड पर गैर-सकारात्मक , तो एक घुमावदार समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल इस प्रकार पाया जा सकता है .

उदाहरण।

रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें .

समाधान।

आइए एक समतल पर एक आकृति बनाएं: सीधी रेखा आप = 0 x-अक्ष, सीधी रेखाओं से मेल खाता है एक्स = -2और एक्स = 3कोटि अक्ष के समानांतर हैं, और फ़ंक्शन के ग्राफ़ के ज्यामितीय परिवर्तनों का उपयोग करके वक्र का निर्माण किया जा सकता है।

इस प्रकार, हमें एक घुमावदार समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने की आवश्यकता है। एक निश्चित समाकलन का ज्यामितीय अर्थ हमें सूचित करता है कि वांछित क्षेत्र एक निश्चित समाकलन द्वारा व्यक्त किया जाता है। इस तरह, . इस निश्चित समाकलन की गणना न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है।

अपरिमेय कार्यों (मूलों) को एकीकृत करने की बुनियादी विधियाँ दी गई हैं। इनमें शामिल हैं: रैखिक भिन्नात्मक अतार्किकता का एकीकरण, विभेदक द्विपद, एक वर्ग त्रिपद के वर्गमूल के साथ अभिन्न। त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन और यूलर प्रतिस्थापन दिए गए हैं। प्रारंभिक कार्यों के माध्यम से व्यक्त कुछ अण्डाकार अभिन्नों पर विचार किया जाता है।

विभेदक द्विपद से समाकलन

विभेदक द्विपदों के समाकलनों का रूप होता है:
,
जहाँ m, n, p परिमेय संख्याएँ हैं, a, b वास्तविक संख्याएँ हैं।
ऐसे समाकलन तीन मामलों में तर्कसंगत कार्यों के समाकलन में बदल जाते हैं।

1) यदि p एक पूर्णांक है। प्रतिस्थापन x = t N, जहाँ N भिन्न m और n का उभयनिष्ठ हर है।
2) यदि - एक पूर्णांक. प्रतिस्थापन a x n + b = t M, जहां M संख्या p का हर है।
3) यदि - एक पूर्णांक. प्रतिस्थापन a + b x - n = t M, जहां M संख्या p का हर है।

अन्य मामलों में, ऐसे अभिन्न अंग प्राथमिक कार्यों के माध्यम से व्यक्त नहीं किए जाते हैं।

कभी-कभी ऐसे अभिन्नों को कमी सूत्रों का उपयोग करके सरल बनाया जा सकता है:
;
.

एक वर्ग त्रिपद के वर्गमूल वाले समाकलन

ऐसे अभिन्नों का रूप है:
,
जहाँ R एक परिमेय फलन है। ऐसे प्रत्येक अभिन्न अंग के लिए इसे हल करने की कई विधियाँ हैं।
1) परिवर्तनों का उपयोग करने से सरल अभिन्न अंग बनते हैं।
2) त्रिकोणमितीय या अतिपरवलयिक प्रतिस्थापन लागू करें.
3) यूलर प्रतिस्थापन लागू करें.

आइए इन तरीकों को अधिक विस्तार से देखें।

1) इंटीग्रैंड फ़ंक्शन का परिवर्तन

सूत्र को लागू करने और बीजगणितीय परिवर्तन करने से, हम इंटीग्रैंड फ़ंक्शन को इस रूप में कम करते हैं:
,
जहां φ(x), ω(x) परिमेय फलन हैं।

टाइप I

प्रपत्र का अभिन्न अंग:
,
जहाँ P n (x) घात n वाला एक बहुपद है।

ऐसे अभिन्न अंग पहचान का उपयोग करके अनिश्चित गुणांक की विधि द्वारा पाए जाते हैं:

.
इस समीकरण को विभेदित करने और बाएँ और दाएँ पक्षों को बराबर करने पर, हम गुणांक A i पाते हैं।

टाइप II

प्रपत्र का अभिन्न अंग:
,
जहाँ P m (x) घात m का एक बहुपद है।

प्रतिस्थापन टी = (एक्स - α) -1यह अभिन्न अंग पिछले प्रकार से कम हो गया है। यदि m ≥ n, तो भिन्न का एक पूर्णांक भाग होना चाहिए।

तृतीय प्रकार

यहां हम प्रतिस्थापन करते हैं:
.
जिसके बाद अभिन्न रूप लेगा:
.
इसके बाद, स्थिरांक α, β को इस प्रकार चुना जाना चाहिए कि हर में t का गुणांक शून्य हो जाए:
बी = 0, बी 1 = 0.
फिर अभिन्न दो प्रकार के अभिन्नों के योग में विघटित हो जाता है:
,
,
जो प्रतिस्थापन द्वारा एकीकृत हैं:
यू 2 = ए 1 टी 2 + सी 1,
वी 2 = ए 1 + सी 1 टी -2 .

2) त्रिकोणमितीय और अतिशयोक्तिपूर्ण प्रतिस्थापन

फॉर्म के इंटीग्रल के लिए, ए > 0 ,
हमारे पास तीन मुख्य प्रतिस्थापन हैं:
;
;
;

इंटीग्रल के लिए, ए > 0 ,
हमारे पास निम्नलिखित प्रतिस्थापन हैं:
;
;
;

और अंत में, अभिन्नों के लिए, ए > 0 ,
प्रतिस्थापन इस प्रकार हैं:
;
;
;

3) यूलर प्रतिस्थापन

इसके अलावा, इंटीग्रल्स को तीन यूलर प्रतिस्थापनों में से एक के तर्कसंगत कार्यों के इंटीग्रल्स में कम किया जा सकता है:
, एक > 0 के लिए;
, सी > 0 के लिए;
, जहां x 1 समीकरण a x 2 + b x + c = 0 का मूल है। यदि इस समीकरण की जड़ें वास्तविक हैं।

अण्डाकार अभिन्न

निष्कर्ष में, प्रपत्र के अभिन्न अंग पर विचार करें:
,
जहाँ R एक परिमेय फलन है। ऐसे अभिन्नों को अण्डाकार कहा जाता है। सामान्य तौर पर, उन्हें प्राथमिक कार्यों के माध्यम से व्यक्त नहीं किया जाता है। हालाँकि, ऐसे मामले हैं जब गुणांक ए, बी, सी, डी, ई के बीच संबंध होते हैं, जिसमें ऐसे अभिन्न अंग प्राथमिक कार्यों के माध्यम से व्यक्त किए जाते हैं।

नीचे प्रतिवर्ती बहुपद से संबंधित एक उदाहरण दिया गया है। ऐसे अभिन्नों की गणना प्रतिस्थापनों का उपयोग करके की जाती है:
.

उदाहरण

अभिन्न की गणना करें:
.

आइए एक प्रतिस्थापन करें.

.
यहाँ x > पर 0 (यू> 0 ) ऊपरी चिन्ह "+" लें। एक्स पर< 0 (यू< 0 ) - निचला '- '।

.

सन्दर्भ:
एन.एम. गुंटर, आर.ओ. कुज़मिन, उच्च गणित में समस्याओं का संग्रह, "लैन", 2003।

प्रपत्र के समाकलन (एम 1, एन 1, एम 2, एन 2, ... - पूर्णांक)। इन अभिन्नों में, एकीकरण चर और x के रेडिकल के संबंध में इंटीग्रैंड तर्कसंगत है। उनकी गणना x=t s को प्रतिस्थापित करके की जाती है, जहां s भिन्नों का सामान्य हर है, ... चर के ऐसे प्रतिस्थापन के साथ, सभी संबंध = r 1, = r 2, ... पूर्णांक हैं, यानी अभिन्न है चर t के एक तर्कसंगत कार्य में घटाया गया:

प्रपत्र के समाकलन (एम 1, एन 1, एम 2, एन 2, ... - पूर्णांक)। ये अभिन्न अंग प्रतिस्थापन द्वारा हैं:

जहां s भिन्नों का उभयनिष्ठ हर है, ..., चर t के एक तर्कसंगत फलन में घटा दिया जाता है।

फॉर्म के इंटीग्रल इंटीग्रल I 1 की गणना करने के लिए, मूल चिह्न के नीचे एक पूर्ण वर्ग का चयन करें:

और प्रतिस्थापन लागू किया गया है:

परिणामस्वरूप, यह अभिन्न अंग एक सारणीबद्ध रूप में कम हो गया है:

अभिन्न I 2 के अंश में, मूल चिह्न के तहत अभिव्यक्ति के अंतर को हाइलाइट किया गया है, और इस अभिन्न को दो अभिन्नों के योग के रूप में दर्शाया गया है:

जहां I 1 ऊपर परिकलित अभिन्न अंग है।

अभिन्न I 3 की गणना को प्रतिस्थापन द्वारा अभिन्न I 1 की गणना में घटा दिया गया है:

प्रपत्र का अभिन्न अंग इस प्रकार के अभिन्नों की गणना के विशेष मामलों पर पिछले पैराग्राफ में विचार किया गया है। इनकी गणना के लिए कई अलग-अलग विधियाँ हैं। आइए त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापनों के उपयोग के आधार पर इन तकनीकों में से एक पर विचार करें।

पूर्ण वर्ग को अलग करके और चर को बदलकर वर्ग त्रिपद ax 2 +bx+c को इस रूप में दर्शाया जा सकता है, यह तीन प्रकार के अभिन्नों पर विचार करने के लिए खुद को सीमित करने के लिए पर्याप्त है:

प्रतिस्थापन द्वारा अभिन्न

u=ksint (या u=k लागत)

पाप और लागत के संबंध में एक तर्कसंगत कार्य के अभिन्न अंग को कम कर देता है।

फॉर्म के इंटीग्रल (एम, एन, पी є क्यू, ए, बी є आर)। विचाराधीन अभिन्न, जिन्हें विभेदक द्विपद का अभिन्न कहा जाता है, केवल निम्नलिखित तीन मामलों में प्राथमिक कार्यों के माध्यम से व्यक्त किए जाते हैं:

1) यदि पी є जेड, तो प्रतिस्थापन लागू किया जाता है:

जहाँ s भिन्न m और n का उभयनिष्ठ हर है;

2) यदि Z, तो प्रतिस्थापन का उपयोग किया जाता है:

जहाँ s भिन्न का हर है

3) यदि Z, तो प्रतिस्थापन लागू होता है:

जहाँ s भिन्न का हर है

अंतर्गत तर्कहीनएक अभिव्यक्ति को समझें जिसमें स्वतंत्र चर %%x%% या घात %%n \in \mathbb(N)%% का बहुपद %%P_n(x)%% चिह्न के अंतर्गत शामिल है मौलिक(लैटिन से मूलांक- जड़), अर्थात्। एक भिन्नात्मक घात तक बढ़ा दिया गया। एक चर को प्रतिस्थापित करके, इंटीग्रैंड के कुछ वर्ग जो %%x%% के संबंध में तर्कहीन हैं, उन्हें एक नए चर के संबंध में तर्कसंगत अभिव्यक्तियों में कम किया जा सकता है।

एक चर के तर्कसंगत कार्य की अवधारणा को कई तर्कों तक बढ़ाया जा सकता है। यदि किसी फ़ंक्शन के मान की गणना करते समय प्रत्येक तर्क %%u, v, \dotsc, w%% के लिए, केवल अंकगणितीय संचालन और एक पूर्णांक शक्ति तक वृद्धि प्रदान की जाती है, तो हम इन तर्कों के एक तर्कसंगत फ़ंक्शन की बात करते हैं, जो आमतौर पर होता है %%R(u, v, \ dotsc, w)%% दर्शाया गया। ऐसे फ़ंक्शन के तर्क स्वयं स्वतंत्र चर %%x%% के फ़ंक्शन हो सकते हैं, जिसमें %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%% फॉर्म के रेडिकल शामिल हैं। उदाहरण के लिए, तर्कसंगत फ़ंक्शन $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ %%u = x, v = \sqrt(x)%% और %% के साथ w = \sqrt(x^2 + 1)%% $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x +) का एक परिमेय फलन है \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ %%x%% से और रेडिकल्स %%\sqrt(x)%% और %%\sqrt(x ^2 + 1 )%%, जबकि फ़ंक्शन %%f(x)%% एक स्वतंत्र चर %%x%% का एक अपरिमेय (बीजगणितीय) फ़ंक्शन होगा।

आइए फॉर्म %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% के इंटीग्रल पर विचार करें। ऐसे इंटीग्रल को वेरिएबल %%t = \sqrt[n](x)%%, फिर %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%% को प्रतिस्थापित करके युक्तिसंगत बनाया जाता है।

उदाहरण 1

%%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%% खोजें।

वांछित तर्क का इंटीग्रैंड डिग्री %%2%% और %%3%% के रेडिकल के फ़ंक्शन के रूप में लिखा गया है। चूँकि %%2%% और %%3%% का लघुत्तम समापवर्त्य %%6%% है, यह समाकलन %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) प्रकार का समाकलन है x %% और %%\sqrt(x) = t%% को प्रतिस्थापित करके तर्कसंगत बनाया जा सकता है। फिर %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%%। इसलिए, $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ आइए %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% और $$ \begin(array)( लें ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt(x) + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt(x) + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left( \sqrt(x) + 1\right) - 6 \ln\left|\sqrt(x) + 1\right| + सी \end(सरणी) $$

%%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% रूप के समाकलन भिन्नात्मक रैखिक अपरिमेयता का एक विशेष मामला हैं, अर्थात। फॉर्म का अभिन्न अंग %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%%, जहां %% विज्ञापन - bc \neq 0%%, जिसे चर %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%, फिर %%x = \dfrac को प्रतिस्थापित करके युक्तिसंगत बनाया जा सकता है (dt^n - b)(a - ct^n)%%। फिर $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t. $$

उदाहरण 2

%%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%% खोजें।

आइए %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%% लें, फिर %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(array)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2), \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2). \end(array) $$ इसलिए, $$ \begin(array)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2 )\दाएं) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(array) $$

आइए फॉर्म %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% के इंटीग्रल पर विचार करें। सरलतम मामलों में, यदि पूर्ण वर्ग को अलग करने के बाद, चर में परिवर्तन किया जाता है, तो ऐसे अभिन्नों को सारणीबद्ध में घटा दिया जाता है।

उदाहरण 3

अभिन्न अंग ज्ञात कीजिए %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%%.

यह मानते हुए कि %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%, हम %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%% लेते हैं, फिर $$ \begin(array)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\right| + C = \\ &= \ln\left|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\right| + सी. \end(सरणी) $$

अधिक जटिल मामलों में, %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% के रूप के अभिन्न अंग खोजने के लिए उपयोग किया जाता है