ДЖОН НЕПЕР (1550-1617)

Шотландський математик

винахідник логарифмів.

У 1590-х роках дійшов ідеї

логарифмічних обчислень

і склав перші таблиці

логарифмів, проте свій знаменитий

працю “Опис дивовижних таблиць логарифмів” опублікував лише 1614 року.

Йому належить визначення логарифмів, пояснення їх властивостей, таблиці логарифмів, синусів, косінусів, тангенсів та застосування логарифмів у сферичній тригонометрії.

З історії логарифмів

• Логарифми з'явилися 350 років тому через потреби обчислювальної практики.

• У ті часи для вирішення завдань астрономії та мореплавання доводилося робити дуже громіздкі обчислення.

• Відомий астроном Йоганн Кеплер першим запровадив у 1624 році знак логарифму – log. Він застосував логарифми для знаходження орбіти Марса.

• Слово «логарифм» - грецького походження, що в перекладі означає відношення чисел

Визначення

Логарифмом позитивного числа b на підставі a, де а0, а ≠1 називається показник ступеня, в який треба звести число а щоб отримати b.

Обчислити:

log 2 16; log 2 64; log 2 2;

log 2 1; log 2 (1/2); log 2 (1/8);

log 3 27; log 3 81; log 3 3;

log 3 1; log 3 (1/9); log 3 (1/3);

log 1/2 1/32; log 1/2 4; log 0,5 0,125;

Log 0,5 (1/2); log 0,5 1; log 1/2 2.

Основне логарифмічне тотожність

За визначенням логарифму

Обчисліть:

3 log 3 18; 3 5log 3 2;

5 log 5 16; 0,3 2log 0,3 6;

10 log 10 2; (1/4) log (1/4) 6;

8 log 2 5; 9 log 3 12 .

При яких значеннях х існує логарифм

Не існує ні при

якому х

1. Логарифм добутку позитивних чисел дорівнює сумі логарифмів множників.

log a (bc) = log a b + log a c

( b

c )

a log a (bc) =

a log a b

= a log a b + log a c

a log a c

a log a b

a log a c

1. Логарифм добутку позитивних чисел дорівнює сумі логарифмів множників. log a (bc) = log a b + log a c

Приклад:

log a

= log a b - log a c

= a log a b - log a c

a log a b

a log a

a log a c

b = a log a b

c = a log a c

2. Логарифм частки двох позитивних чисел дорівнює різниці логарифмів діленого і дільника.

log a

= log a b – log a c,

a 0; a ≠ 1; b0; з 0.

Приклад:

3. Логарифм ступеня з позитивною основою дорівнює показнику ступеня, помноженому на логарифм основи

log a b r = r log a b

приклад

a log a b =b

(a log a b ) r =b r

a rlog a b =b r

Формула переходу від однієї основи

логарифму до іншого, приклади.

Цілі уроку:

1. Відпрацювання умінь систематизувати, узагальнювати властивості логарифмів; застосовувати їх при спрощенні виразів.
2. Розвиток свідомого сприйняття навчального матеріалу, зорової пам'яті, математичної мови учнів, формувати навички самонавчання, самоорганізації та самооцінки, сприяти розвитку творчої діяльності учнів.
3. Виховання пізнавальної активності, виховати в учнів любов і повагу до предмета, навчити бачити у ній як суворість, складність, а й логічність, простоту і красу.

Обладнання:

1. Інтерактивна дошка (StarBoard Software)
2. Комп'ютери
3. Презентація 1«Логарифми. Властивості логарифмів»
4. Презентація 2«Логарифми та музика»
5. Технологічна карта уроку

Тип уроку: урок узагальнення та систематизації знань. (Підготовка до іспитів)

Хід уроку

I. Орг. момент

1. Мотивація

Дорогі хлопці! Я сподіваюся, що цей урок мине цікаво, з великою користю для всіх. Дуже хочу, щоб ті, хто ще байдужий до цариці всіх наук, з нашого уроку пішов із глибоким переконанням: Математика – цікавий предмет. Епіграфом уроку будуть слова Арістотеля « Краще досконало виконати невелику частину справи, ніж зробити погано вдесятеро більше».

(Слайд 1. Інтерактивна дошка чи презентація 1). Як ви розумієте ці слова?

2. Постановка проблеми.

На слайді 2 ви бачите Портрет Піфагора, ноти та логарифми. Що їх поєднує? (Слайд 2 на інтерактивній дошці чи слайд 2-3 презентації 1).

3. Логарифми у музиці

(Слайд 3 на інтерактивній дошці чи слайд 4 презентації 1).

У своєму вірші "Фізики та лірики" поет Борис Слуцький написав.

Навіть витончені мистецтва харчуються нею.

Хіба музична гама не має набір передових логарифмів?

(Повідомлення учня – презентація додається)

4. Тема уроку(Слайд 4 на інтерактивній дошці чи слайд 5 презентації 1).Клас розбитий втричі групи в кожного учня технологічна карта.

ІІ. Повторення

1 група	2 група	3 група
1. Повторення теорії
Вставити пропущені слова: Логарифмом числаb по………………………. а називається …………….. ступеня, яку потрібно……………. основа а, щоб отримати числоb . звести, основу, показник	У технологічній карті уроку – Завдання 1 На комп'ютері зібрати визначення логарифму	У технологічній карті уроку – Завдання 1 Записати визначення логарифму математичною мовою.
2. Самоперевірка (Слайд 5 на інтерактивній дошці або слайд 7 презентації 1)
3. Повторення властивостей логарифму (Слайд 6-7 на інтерактивній дошці або слайд 8-9 презентації 1)
Завдання 2. На комп'ютері стрілками з'єднайте формули	Завдання 2. У технологічній карті уроку стрілками з'єднайте формули	Завдання 2. У технологічній карті уроку закінчіть формули
4. Взаємоперевірка (Слайд 8 на інтерактивній дошці або слайд 10 презентації 1)
5. Застосування властивостей
а) Усно (Слайд 9-10 на інтерактивній дошці або слайд 11-12 презентації 1) Обчислити та поставити відповідно відповіді
б) Знайди помилки (Слайд 11 на інтерактивній дошці або слайд 13 презентації 1)
в) Робота у групах
Робота біля дошки. Обчислити	Виконання тесту у технологічній карті Обчислити:	Виконання тесту на комп'ютері
6. Повторення властивостей (Слайд 12 на інтерактивній дошці або слайд 14 презентації 1)
7. Застосування властивостей (Слайд 13 на інтерактивній дошці або слайд 15 презентації 1)
Обчислити:
8. Софізм (Слайд 14 на інтерактивній дошці або слайд 16 презентації 1)
(Від грец. Sophisma - прийом, вигадка, головоломка), міркування, що здається правильним, але містить приховану логічну помилку і служить для надання видимості істинності помилковому твердженню. Зазвичай софізм обгрунтовує якусь явну безглуздість, абсурд чи парадоксальне твердження, що суперечить загальноприйнятим уявленням
8. Логарифмічний софізм 2>3.(Слайд 15 на інтерактивній дошці або слайд 17 презентації 1)
Почнемо з нерівності, безперечно вірного. Потім слідує перетворення , що теж не викликає сумнівів. Більшому значенню відповідає більший логарифм, отже, , тобто. . Після скорочення на , маємо 2>3.

ІІІ. Домашнє завдання

У папці для іспитів

Тема: «Властивості логарифмів»

• 1-я група - 1 варіант
• 2-я група - 2 варіант
• 3-я група - 3 варіант

IV. Підсумок уроку

(Слайд 16 на інтерактивній дошці або слайд 18 презентації 1)

“Музика може піднімати або утихомирювати душу,
Живопис – радувати око,
Поезія – пробуджувати почуття,
Філософія – задовольняти потреби розуму,
Інженерна справа – удосконалювати матеріальний бік життя людей,
а математика здатна досягти всіх цих цілей”.
Так сказав американський математик Моріс Клайн.

Дякую за роботу!

А. Дістервег

РОЗВИТОК І ОСВІТА ЖОДНОЇ ЛЮДИНІ НЕ МОЖУТЬ БУТИ ДАНІ АБО ПОВІДОМЛЕНІ. БУДЬ-ЯКИЙ, ХТО БАЖАЄ ДО НИХ ПРИДБАТИСЯ, ПОВИНЕН ДОСЯГНУТИ ЦЬОГО ВЛАСНОЇ ДІЯЛЬНІСТЮ, ВЛАСНИМИ СИЛАМИ, ВЛАСНИМИ НАПРУГАМИ .

Визначте тему уроку, розв'язавши рівняння

• 2 х =; 3 х =; 5 х = 1/125; 2 х = 1/4; 2 х = 4; 3 х = 81; 7 х = 1/7; 3 х = 1/81

Логарифм та його властивості

Джон Непер, винахідник логарифмів

В 1590 прийшов до ідеї логарифмічних обчислень і склав перші таблиці логарифмів, опублікував працю «Опис дивовижних таблиць логарифмів». У цій праці містилися визначення логарифмів, пояснення їх властивостей. Винайшов логарифмічну лінійку, лічильний інструмент, що використовує таблиці Непера для спрощення обчислень.

Логарифмічна лінійка

В даний час, з появою компактних калькуляторів та комп'ютерів, необхідність використання таблиць

логарифмів та логарифмічних лінійок відпала.

• Логарифмом числа 0 на підставі а 0 і а 1 називається показник ступеня, в який потрібно звести число а, щоб отримати число в.
• - логарифм із довільною основою.
• Наприклад:а) log 3 81 = 4, оскільки 3 4 = 81; б) log 5 125 = 3, оскільки 5 3 = 125; в) log 0,5 16 = -4, оскільки (0,5) -4 = 16;

Застосування логарифму: Банківські розрахунки, географія, розрахунки у виробництві, біологія, хімія, фізика, астрономія, психологія, соціологія, музика.

Логарифмічна спіраль у природі

Раковина наутілуса

Розміщення насіння на соняшнику

Властивості логарифмів

• log a 1 = 0.
• log a a = 1.
• log a xy = log a x + log a y.
• log a х ∕ у = log a x - log a y.
• log a x p = p log a x
• log a р x = 1 ∕ р log a x

• Якщо основа логарифму дорівнює 10, то логарифм називається десятковим:

• Якщо основа логарифму є 2,7, то логарифм називається натуральним:

• 1. Знайдіть логарифм числа 64 на підставі 4.

Рішення: log 464 = 3, так як 43 = 64.

Відповідь: 3

• 2. Знайдіть число xякщо log 5 x = 2

Рішення: log 5 x = 2, x= 5 2 (за визначенням логарифму), x = 25.

Відповідь : 25.

• 3. Обчислити: log 3 1/81 = x ,

Рішення: log 3 1/81 = x , 3 x = 1/ 81, x = – 4.

Відповідь: – 4.

• 1. Обчислити: log 6 12 + log 6 3

Рішення:

log 6 12 +log 6 3 = log 6 (12 * 3) = log 6 36 = log 6 6 2 = 2

Відповідь : 2.

• 2. Обчислити: log 5250 - log 5 2.

Рішення:

log 5 250 – log 5 2 = log 5 (250/2) = log 5 125 = 3

Відповідь : 3.

• 3. Обчислити:

Рішення :

Відповідь: 8.

Слайд 2

Цілі уроку:

Освітні: Повторити визначення логарифму; познайомитись із властивостями логарифмів; навчитися застосовувати властивості логарифмів під час вирішення вправ.

Слайд 3

Визначення логарифму

Логарифмом позитивного числа b на підставі а,де а >0 і а≠ 1, називається показник ступеня, в який потрібно звести число а щоб отримати число b. Основна логарифмічна тотожність alogab=b (де a>0, a≠1, b>0)

Слайд 4

Історія виникнення логарифмів

Слово логарифм походить із двох грецьких слів і воно перекладається, як відношення чисел. Протягом ХVI ст. різко зріс обсяг роботи, пов'язані з проведенням наближених обчислень у ході розв'язання різних завдань, й у першу чергу завдань астрономії, що має безпосереднє практичне застосування (при визначенні становища судів із зірок і Сонцем). Найбільші проблеми виникали при виконанні операцій множення та поділу. Спроби часткового спрощення цих операцій шляхом зведення їх до великого успіху не приносили.

Слайд 5

Логарифми надзвичайно швидко увійшли до практики. Винахідники логарифмів не обмежилися розробкою нової теорії. Було створено практичний засіб - таблиці логарифмів, - різко підвищило продуктивність праці обчислювачів. Додамо, що у 1623 р., тобто. лише через 9 років після видання перших таблиць, англійським математиком Д. Гантером була винайдена перша логарифмічна лінійка, яка стала робочим інструментом для багатьох поколінь. Перші таблиці логарифмів складені незалежно одна від одної шотландським математиком Дж. Непером (1550 – 1617) та швейцарцем І. Бюргі (1552 – 1632). У таблиці Непера увійшли значення логарифмів синусів, косінусів та тангенсів для кутів від 0 до 900 з кроком 1 хвилину. Бюрги підготував свої таблиці логарифмів чисел, але побачили світ вони у 1620 р., вже після видання таблиць Непера, і тому залишилися непоміченими. Непер Джон (1550-1617)

Слайд 6

Винахід логарифмів, скоротивши роботу астронома, продовжив життя. П. С. Лаплас Тому відкриття логарифмів, що зводить множення та розподіл чисел до складання та віднімання їх логарифмів, подовжило за висловом Лапласа, життя обчислювачів.

Слайд 7

Властивості ступеня

ах · ау = ах + у = ax -y (x) y = ax · y

Слайд 8

Обчисліть: