여러 변수의 함수 미분의 기하학적 적용을 고려해 보겠습니다. 두 변수의 함수를 암시적으로 지정합니다. 정의 영역에서 이 기능은 특정 표면(5.1절)으로 표현됩니다. 이 표면에 임의의 점을 찍자 , 여기서 세 개의 부분 도함수 , 는 모두 존재하고 연속적이며 그 중 적어도 하나는 0이 아닙니다.

이러한 특징을 지닌 점을 점이라고 한다. 평범한 표면점. 위 요구 사항 중 하나라도 충족되지 않으면 포인트가 호출됩니다. 특별한 표면점.

표면에서 선택한 점을 통해 많은 곡선을 그릴 수 있으며 각 곡선은 접선을 가질 수 있습니다.

정의 5.8.1 . 어떤 점을 통과하는 곡면 위의 선에 대한 모든 접선이 위치하는 평면을 그 점에서 이 곡면에 대한 접선이라고 합니다. .

주어진 평면을 그리려면 두 개의 접선, 즉 표면에 두 개의 곡선이 있으면 충분합니다. 이는 주어진 표면을 평면으로 절단한 결과 얻은 곡선일 수 있습니다. (그림 5.8.1)

표면과 평면의 교차점에 있는 곡선에 대한 접선의 방정식을 작성해 보겠습니다. 이 곡선은 좌표계에 있으므로 단락 2.7에 따라 점에서의 접선 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

. (5.8.1)

따라서 동일한 점에서 좌표계의 표면과 평면의 교차점에 있는 곡선에 대한 접선 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

. (5.8.2)

암시적으로 지정된 함수의 도함수에 대한 표현식을 사용해 보겠습니다(5.7절). 그럼, 응. 이들 도함수를 (5.8.1)과 (5.8.2)에 대입하면 각각 다음과 같은 결과를 얻습니다.

; (5.8.3)

. (5.8.4)

결과 표현식은 표준 형식(섹션 15)의 선 방정식에 불과하므로 (5.8.3)에서 방향 벡터를 얻습니다. , 그리고 (5.8.4)에서 – . 외적은 주어진 접선에 수직인 벡터를 제공하므로 접선 평면에 수직입니다.

점에서 표면에 대한 접평면의 방정식은 다음과 같습니다. 형식은 다음과 같습니다(항목 14).

정의 5.8.2 . 점을 지나는 직선 이 지점에서 접평면에 수직인 표면을 표면의 법선이라고 합니다..

표면에 대한 법선의 방향 벡터가 접평면에 대한 법선과 일치하므로 법선 방정식의 형식은 다음과 같습니다.

.

스칼라 필드

공간에 영역을 지정하여 이 공간의 일부 또는 전부를 차지하도록 합니다. 일부 법칙에 따라 이 영역의 각 지점을 특정 스칼라 수량(숫자)과 연관시키십시오.

정의 5.9.1 . 잘 알려진 법칙에 따라 각 지점이 특정 스칼라 양과 연관된 공간의 영역을 스칼라 필드라고 합니다..

어떤 종류의 좌표계가 영역과 연관되어 있는 경우(예: 직사각형 데카르트 시스템) 각 점은 자체 좌표를 얻습니다. 이 경우 스칼라 양은 좌표의 함수가 됩니다. 평면에서는 – , 3차원 공간에서는 – . 이 필드를 설명하는 함수 자체를 종종 스칼라 필드라고 합니다. 공간의 차원에 따라 스칼라 필드는 평면, 3차원 등이 될 수 있습니다.

스칼라 필드의 크기는 해당 영역의 점 위치에만 의존하고 좌표계 선택에는 의존하지 않는다는 점을 강조해야 합니다.

정의 5.9.2 . 영역 내 한 지점의 위치에만 의존하고 시간에는 의존하지 않는 스칼라 필드를 고정이라고 합니다..

비정상 스칼라 필드, 즉 시간 종속적 필드는 이 섹션에서 고려되지 않습니다.

스칼라 필드의 예로는 온도 필드, 대기의 압력 필드, 해수면 위의 높이 필드가 있습니다.

기하학적으로 스칼라 필드는 소위 선 또는 평면을 사용하여 표현되는 경우가 많습니다.

정의 5.9.3 . 스칼라 필드가 있는 공간의 모든 점 집합 같은 의미를 가지고 있어 평평한 표면 또는 등전위 표면이라고 합니다. 스칼라 필드의 평평한 경우, 이 세트를 레벨 라인 또는 등전위선이라고 합니다..

분명히, 레벨 표면 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. , 레벨 라인 – . 이 방정식에 상수에 다른 값을 부여함으로써 우리는 표면 또는 레벨 라인 계열을 얻습니다. 예를 들어, (다른 반경으로 서로 중첩된 구) 또는 (타원군).

물리학의 수평선의 예로는 등온선(동일한 온도의 선), 등압선(동일한 압력의 선)이 있습니다. 측지학에서-같은 높이의 선 등

2개 변수 z = f(x,y)의 함수 그래프는 XOY 평면에 투영된 함수 D 정의 영역의 표면입니다.
표면을 고려하라 σ , 방정식 z = f(x,y)로 제공됩니다. 여기서 f(x,y)는 미분 가능한 함수이고 M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0)은 표면 σ의 고정점입니다. 즉, z0 = f(x0,y0). 목적. 온라인 계산기는 다음을 찾도록 설계되었습니다. 접평면 및 표면 법선 방정식. 솔루션은 Word 형식으로 작성되었습니다. 곡선에 대한 접선 방정식(y = f(x))을 찾으려면 이 서비스를 사용해야 합니다.

기능 입력 규칙:

기능 입력 규칙:

표면에 접하는 평면 σ 그녀의 시점에서 중 0은 표면에 그려진 모든 곡선의 접선이 있는 평면입니다. σ 포인트를 통해 중 0 .
점 M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0)에서 방정식 z = f(x,y)로 정의된 표면에 대한 접평면 방정식의 형식은 다음과 같습니다.

z – z 0 = f' x (x 0 ,y 0)(x – x 0) + f' y (x 0 ,y 0)(y – y 0)

예 1. 표면은 방정식 x 3 +5y로 제공됩니다. 점 M 0 (0;1)에서 표면에 대한 접평면의 방정식을 구합니다.
해결책. 일반 형식으로 접선 방정식을 작성해 보겠습니다. z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y -y 0 )
문제의 조건에 따르면 x 0 = 0, y 0 = 1, 그런 다음 z 0 = 5
함수 z = x^3+5*y의 편도함수를 찾아보겠습니다.
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" y = 5
M 0 (0,1) 지점에서 편도함수 값은 다음과 같습니다.
f" x (0;1) = 0
f" y (0;1) = 5
공식을 사용하여 점 M 0에서 표면에 대한 접선 평면의 방정식을 얻습니다. z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) 또는 -5 y+z = 0

예 2. 표면은 암시적으로 y 2 -1/2*x 3 -8z로 정의됩니다. 점 M 0 (1;0;1)에서 표면에 대한 접평면의 방정식을 구합니다.
해결책. 함수의 편도함수 찾기. 함수는 암시적으로 지정되므로 다음 공식을 사용하여 파생 상품을 찾습니다.

우리의 기능:

그 다음에:

M 0 (1,0,1) 지점에서 편도함수 값:
f" x (1;0;1) = -3 / 16
f" y (1;0;1) = 0
공식을 사용하여 점 M 0에서 표면에 대한 접선 평면의 방정식을 얻습니다. z - 1 = -3 / 16 (x - 1) + 0(y - 0) 또는 3 / 16 x+z- 19 / 16 = 0

예. 표면 σ 방정식에 의해 주어진 지= y/x + xy – 5엑스삼. 접평면과 표면에 수직인 방정식을 구합니다. σ 그 시점에 중 0 (엑스 0 ,와이 0 ,지 0), 그녀의 소유인 경우 엑스 0 = –1, 와이 0 = 2.
함수의 편도함수를 구해보자 지= 에프(엑스,와이) = y/x + xy – 5엑스 3:
에프엑스'( 엑스,와이) = (y/x + xy – 5엑스 3)' x = – y/x 2 + 와이 – 15엑스 2 ;
f y ’ ( 엑스,와이) = (y/x + xy – 5엑스 3)' y = 1/x + 엑스.
점 중 0 (엑스 0 ,와이 0 ,지 0) 표면에 속함 σ , 그래서 우리는 계산할 수 있습니다 지 0 , 주어진 것을 대체 엑스 0 = -1 및 와이 0 = 2를 표면 방정식으로 표현하면 다음과 같습니다.

지= y/x + xy – 5엑스 3

예 1. 주어진 함수 z=f(x,y)와 두 점 A(x 0, y 0) 및 B(x 1, y 1). 필수: 1) B 지점에서 함수의 값 z 1 을 계산합니다. 2) A 지점에서 함수의 z 0 값을 기반으로 지점 B에서 함수의 대략적인 값 z 1을 계산하고, A 지점에서 B 지점으로 이동할 때 함수의 증분을 미분으로 대체합니다. 3) 점 C(x 0 ,y 0 ,z 0)에서 표면 z = f(x,y)에 대한 접평면에 대한 방정식을 만듭니다.
해결책.
일반 형식으로 접선 방정식을 작성해 보겠습니다.
z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0)
문제의 조건에 따르면 x 0 = 1, y 0 = 2, 그런 다음 z 0 = 25
함수 z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2의 편도함수를 찾아보겠습니다.
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" x = 2 x+3 y 3
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" y = 9 x y 2
M 0 (1,2) 지점에서 편도함수 값은 다음과 같습니다.
f" x (1;2) = 26
f" y (1;2) = 36
공식을 사용하여 점 M 0에서 표면에 대한 접선 평면의 방정식을 얻습니다.
z - 25 = 26(x - 1) + 36(y - 2)
또는
-26 x-36 y+z+73 = 0

예 2. 점 (1;-1;3)에서 타원 포물면 z = 2x 2 + y 2에 대한 접평면과 법선의 방정식을 작성합니다.

즉, 제목에 보이는 내용입니다. 본질적으로 이것은 "공간 아날로그"입니다. 탄젠트 찾기 문제그리고 법선하나의 변수에 대한 함수 그래프이므로 어려움이 발생하지 않습니다.

기본적인 질문부터 시작해 보겠습니다. 접평면은 무엇이며 법선은 무엇입니까? 많은 사람들이 직관 수준에서 이러한 개념을 이해합니다. 마음에 떠오르는 가장 간단한 모델은 얇고 평평한 판지 조각이 놓여 있는 공입니다. 판지는 구에 최대한 가깝게 위치하며 단일 지점에 닿습니다. 또한 접촉 지점에는 수직으로 꽂힌 바늘로 고정되어 있습니다.

이론적으로는 접평면에 대한 다소 독창적인 정의가 있습니다. 무료를 상상해 보세요 표면그리고 그것에 속하는 요점. 분명히 많은 것이 그 지점을 통과합니다. 공간선, 이 표면에 속합니다. 누가 어떤 연관성을 가지고 있습니까? =) ...개인적으로는 문어를 상상했어요. 그러한 각 라인에는 공간적 탄젠트시점에서 .

정의 1: 접평면한 지점에서 표면으로 - 이것은 비행기, 주어진 표면에 속하고 점을 통과하는 모든 곡선에 대한 접선을 포함합니다.

정의 2: 정상한 지점에서 표면으로 - 이것은 똑바로, 접평면에 수직인 주어진 점을 통과합니다.

단순하고 우아합니다. 그건 그렇고, 당신이 자료의 단순성으로 인해 지루해지지 않도록 잠시 후에 다양한 정의를 한 번에 벼락치기하는 것을 잊을 수있는 우아한 비밀을 알려 드리겠습니다.

구체적인 예를 사용하여 작동 공식과 솔루션 알고리즘에 대해 알아 보겠습니다. 대부분의 문제에서는 접평면 방정식과 정규 방정식을 모두 구성해야 합니다.

실시예 1

해결책: 표면이 방정식으로 주어지면 (즉, 암시적으로), 한 점에서 주어진 표면에 대한 접선 평면의 방정식은 다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

나는 특이한 부분 파생 상품에 특별한 관심을 기울입니다. 혼동해서는 안 된다와 함께 암시적으로 지정된 함수의 편도함수 (표면은 암시적으로 지정되지만). 이러한 파생 상품을 찾을 때 다음을 따라야 합니다. 세 변수의 함수를 구별하는 규칙즉, 어떤 변수에 대해 미분할 때 다른 두 문자는 상수로 간주됩니다.

금전 등록기를 떠나지 않고 다음 지점에서 편도함수를 찾습니다.

비슷하게:

이것은 허용되지 않으면 오류가 지속적으로 나타나는 결정의 가장 불쾌한 순간이었습니다. 그런데 여기에 제가 수업시간에 이야기한 효과적인 검증기법이 있습니다. 방향 미분 및 기울기.

모든 "성분"이 발견되었으며 이제는 더욱 단순화하여 신중하게 대체해야 합니다.

– 일반 방정식원하는 접평면.

이 솔루션 단계도 확인하는 것이 좋습니다. 먼저 접선점의 좌표가 실제로 발견된 방정식을 만족하는지 확인해야 합니다.

- 진정한 평등.

이제 평면의 일반 방정식의 계수를 "제거"하고 해당 값과의 일치 또는 비례성을 확인합니다. 이 경우에는 비례합니다. 당신이 기억하는 것처럼 분석 기하학 코스, - 이것 법선 벡터접선 평면, 그리고 그는 또한 가이드 벡터정상적인 직선. 작곡하자 표준 방정식점 및 방향 벡터별 법선:

원칙적으로 분모는 2만큼 줄어들 수 있지만, 특별히 그럴 필요는 없습니다.

답변:

일부 문자로 방정식을 지정하는 것은 금지되어 있지 않지만 다시 왜 그렇습니까? 여기서는 무엇이 무엇인지 이미 매우 명확합니다.

다음 두 가지 예는 스스로 해결해 볼 수 있는 것입니다. 약간의 "수학적 혀 트위스터":

실시예 2

접평면의 방정식과 해당 점에서 표면의 법선을 구합니다.

기술적인 관점에서 볼 때 흥미로운 작업은 다음과 같습니다.

실시예 3

한 점에서 표면에 수직인 접평면과 법선에 대한 방정식을 작성합니다.

그 시점에.

녹음할 때 혼란스러울 뿐만 아니라 어려움을 겪을 가능성도 있습니다. 직선의 표준 방정식. 그리고 아마 이해하시겠지만 정규방정식은 대개 이런 형식으로 작성됩니다. 일부 뉘앙스에 대한 건망증이나 무지로 인해 파라메트릭 형식이 허용되는 것 이상입니다.

수업이 끝날 때 솔루션의 최종 실행에 대한 대략적인 예입니다.

표면의 어느 지점에든 접평면이 있습니까? 일반적으로 물론 그렇지 않습니다. 고전적인 예는 다음과 같습니다. 원추형 표면 그리고 점 - 이 점의 접선은 원뿔형 표면을 직접 형성하며 물론 동일한 평면에 있지 않습니다. 분석적으로 뭔가 잘못되었는지 확인하는 것은 쉽습니다.

문제의 또 다른 원인은 사실입니다. 존재하지 않음한 지점의 편도함수. 그러나 이는 주어진 지점에 단일 접선 평면이 없다는 의미는 아닙니다.

그러나 그것은 실질적으로 중요한 정보라기보다는 오히려 대중 과학에 관한 것이므로 우리는 긴급한 문제로 돌아가겠습니다.

한 점의 접평면과 법선에 대한 방정식을 작성하는 방법,
표면이 명시적 함수에 의해 지정된 경우?

암시적으로 다시 작성해 보겠습니다.

그리고 동일한 원리를 사용하여 편도함수를 찾습니다.

따라서 접평면 공식은 다음 방정식으로 변환됩니다.

따라서 표준 정규 방정식은 다음과 같습니다.

짐작할 수 있듯이, - 이것들은 이미 "진짜"입니다 두 변수 함수의 편도함수문자 "z"로 표시하곤 했던 지점에서 100,500번 발견되었습니다.

이 기사에서는 첫 번째 공식을 기억하는 것만으로도 충분하며, 필요한 경우 다른 모든 것을 쉽게 도출할 수 있습니다. (물론 기초적인 교육을 받은 상태에서). 이것이 바로 정확한 과학을 연구할 때 사용해야 하는 접근 방식입니다. 우리는 최소한의 정보로부터 최대한의 결론과 결과를 "도출"하기 위해 노력해야 합니다. "배려"와 기존 지식이 도움이 될 것입니다! 이 원칙은 또한 당신이 아는 것이 거의 없을 때 중요한 상황에서 당신을 구할 가능성이 높기 때문에 유용합니다.

몇 가지 예를 통해 "수정된" 공식을 살펴보겠습니다.

실시예 4

접평면과 표면의 법선에 대한 방정식을 작성합니다. 시점에서 .

여기에는 표기법이 약간 오버레이되어 있습니다. 이제 문자는 평면의 한 점을 나타내지만 무엇을 할 수 있습니까? 이렇게 인기 있는 문자입니다...

해결책: 다음 공식을 사용하여 원하는 접평면의 방정식을 구성해 보겠습니다.

해당 지점에서 함수의 값을 계산해 보겠습니다.

계산해보자 1차 편도함수이 지점에서:

따라서:

조심스럽게, 서두르지 마세요:

해당 지점에서 법선의 표준 방정식을 적어 보겠습니다.

답변:

여러분만의 솔루션을 위한 마지막 예는 다음과 같습니다.

실시예 5

접평면과 해당 지점의 표면에 대한 법선에 대한 방정식을 작성합니다.

최종 - 거의 모든 기술적인 사항을 설명했고 특별히 추가할 내용이 없기 때문입니다. 이 작업에서 제안된 함수 자체도 지루하고 단조롭습니다. 실제로는 "다항식"을 만나게 될 것이 거의 보장되며 이러한 의미에서 지수가 있는 예제 2는 "검은 양"처럼 보입니다. 그건 그렇고, 방정식으로 정의된 표면을 만날 가능성이 훨씬 더 높으며 이것이 함수가 기사에 두 번째로 포함된 또 다른 이유입니다.

그리고 마지막으로, 약속된 비밀: 정의를 벼락치기로 피하는 방법은 무엇일까요? (물론 학생이 시험 전에 열광적으로 무언가를 벼락치기하는 상황을 의미하는 것은 아닙니다)

모든 개념/현상/대상의 정의는 우선 다음 질문에 대한 답을 제공합니다. 그것은 무엇입니까? (누구/그런/그런/누구인가). 의식적으로이 질문에 답할 때 다음 사항을 생각해 보아야 합니다. 중요한표지판, 분명히특정 개념/현상/대상을 식별합니다. 예, 처음에는 다소 말이 얽혀 있고 부정확하며 중복되는 것으로 판명되었지만 (선생님이 당신을 바로 잡을 것입니다 =)) 시간이 지남에 따라 꽤 괜찮은 과학적 연설이 발전합니다.

예를 들어, 가장 추상적인 대상에 대해 연습해 보세요. Cheburashka는 누구입니까? 그렇게 간단하지 않습니다 ;-) 이것은 "큰 귀, 눈, 갈색 털을 가진 동화 속 캐릭터"입니까? 정의와는 거리가 멀고 그런 특성을 가진 캐릭터가 있다는 것을 결코 알 수 없습니다... 그러나 이것은 정의에 훨씬 더 가깝습니다. "체브라시카는 작가 Eduard Uspensky가 1966년에 발명한 캐릭터입니다. 그는 ... (주요 특징 목록)". 얼마나 잘 시작되었는지 주목하세요

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4. 표면 이론.

4.1 표면 방정식.

3차원 공간의 표면을 지정할 수 있습니다.

1) 암시적으로: 에프 ( 엑스 , 와이 , 지 ) =0 (4.1)

2) 명시적으로: 지 = 에프 ( 엑스 , 와이 ) (4.2)

3) 매개변수적으로: (4.3)

또는:
(4.3’)

스칼라 인수는 어디에 있습니까?
때로는 곡선 좌표라고도 합니다. 예를 들어, 구
구형 좌표로 지정하는 것이 편리합니다.
.

4.2 접평면과 표면의 법선.

선이 표면에 있으면(4.1) 해당 점의 좌표는 표면 방정식을 충족합니다.

이 항등식을 차별화하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

(4.4)

또는
(4.4 ’ )

표면 곡선의 모든 지점에서. 따라서 표면의 비특이점에서의 기울기 벡터(함수 (4.5)가 미분 가능하고
)는 표면의 모든 선에 대한 접선 벡터에 수직입니다. 즉, 점 M에서 접선 평면의 방정식을 컴파일하기 위해 법선 벡터로 사용할 수 있습니다. 0 (엑스 0 , 와이 0 , 지 0 ) 표면

(4.6)

정규 방정식의 방향 벡터로 다음과 같습니다.

(4.7)

표면을 명시적으로 지정하는 경우(4.2) 접평면과 법선의 방정식은 각각 다음과 같은 형식을 취합니다.

(4.8)

그리고
(4.9)

표면의 파라메트릭 표현(4.3)을 사용하면 벡터는
접평면에 놓여 있고 접평면의 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

(4.10)

그리고 그들의 벡터 곱은 방향 법선 벡터로 간주될 수 있습니다:

정규 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

(4.11)

어디
— 지점 M에 해당하는 매개변수 값 0 .

다음에서는 벡터가 다음과 같은 표면 점만 고려하도록 제한하겠습니다.

0과 같지 않고 평행하지 않습니다.

예제 4.1 점 M의 접평면과 법선에 대한 방정식을 작성합니다. 0 (1,1,2)를 회전 포물면의 표면으로
.

해결 방법: 포물면 방정식이 명시적으로 주어지므로 (4.8)과 (4.9)에 따라 다음을 찾아야 합니다.
M 지점에서 0 :

, 그리고 지점 M 0에서
. 그러면 점 M에서의 접평면의 방정식은 다음과 같습니다. 0은 다음과 같습니다:

2(엑스 -1)+2(와이 -1)-(지-2)=0 또는 2 엑스 +2 와이 – z - 2=0, 정규방정식
.

예제 4.2 나선체의 임의 지점에서 접평면과 법선에 대한 방정식을 작성합니다.
, .

해결책. 여기 ,

접평면 방정식:

또는

정규 방정식:

.

4.3 첫 번째 2차 표면 형태.

표면이 방정식으로 주어지면

그런 다음 곡선
그것은 방정식으로 주어질 수 있습니다
(4.12)

반경 벡터 미분
점 M으로부터의 변위에 해당하는 곡선을 따라 0 가장 가까운 점 M까지의 값은 다음과 같습니다.

(4.13)

왜냐하면
는 동일한 변위에 해당하는 곡선의 호의 미분입니다.

(4.14)

어디 .

식 (4.14)의 우변의 식은 곡면의 제1차 이차형이라 불리며 곡면 이론에서 큰 역할을 한다.

차동 장치를 통합합니다DS에 이르기까지 티 0 (점 M에 해당 0 ) ~ t (점 M에 해당), 곡선의 해당 세그먼트의 길이를 얻습니다.

(4.15)

표면의 첫 번째 이차 형태를 알면 길이뿐만 아니라 곡선 사이의 각도도 찾을 수 있습니다.

만약에 뒤 , dv 는 하나의 곡선을 따른 미소한 변위에 해당하는 곡선 좌표의 미분이며,
- 반면에 (4.13)을 고려하면:

(4.16)

수식 사용

(4.17)

첫 번째 이차 형태를 사용하면 해당 지역의 면적을 계산할 수 있습니다.
표면.

예제 4.3 나선체에서 나선의 길이를 구하십시오.
두 지점 사이.

해결책. 나선에 있기 때문에
, 저것 . 그 점을 찾아보자
첫 번째 이차 형태. 지정하고V = 티 , 우리는 이 나선형 선의 방정식을 다음과 같은 형태로 얻습니다. 정사각형 모양:

= - 첫 번째 이차 형태.

여기 . 이 경우에는 식 (4.15)에서
호 길이:

=

4.4 두 번째 이차 곡면 형태.

나타내자
- 표면에 수직인 단위 벡터
:

(4.18) . (4.23)

곡면 위의 선은 각 점에서의 방향이 주 방향인 경우 곡률선이라고 합니다.

4.6 표면의 측지선 개념.

정의 4.1 . 표면의 곡선은 주 법선인 경우 측지선이라고 합니다. 곡률이 0이 아닌 모든 지점에서 법선과 일치합니다. 표면에.

모든 방향에서 표면의 각 지점을 통과하며 단 하나의 측지선만 통과합니다. 예를 들어 구에서 큰 원은 측지선입니다.

한 좌표선 계열이 측지선으로 구성되고 두 번째 좌표선이 이에 직교하는 경우 표면 매개변수화를 반측지선이라고 합니다. 예를 들어, 구에는 자오선(측지선)과 평행선이 있습니다.

충분히 작은 세그먼트의 측지선은 동일한 점을 연결하는 인접한 모든 곡선 중에서 가장 짧습니다.

법선평면방정식

1.

4.

접하는 평면과 표면 법선

어떤 표면이 주어지면 A는 표면의 고정점이고 B는 표면의 가변점입니다.

0이 아닌 벡터

이 지점에서 표면 점 F(x, y, z) = 0을 보통이라고 합니다.

1. 부분 도함수 F " x , F " y , F " z 는 연속입니다.
2. (F " x )2 + (F " y )2 + (F " z )2 ≠ 0 .

이러한 조건 중 하나 이상을 위반하면 표면 점이라고 합니다. 표면의 특별한 점 .

정리 1.만약 M(x 0 , y 0 , z 0 )은 표면의 일반 점 F (x , y , z) = 0 이고, 벡터는

는 점 M (x 0 , y 0 , z 0 ) 에서 이 표면에 수직입니다.

증거 I.M. 의 책에 나와 있습니다. 페트루시코, LA 쿠즈네초바, V.I. 프로호렌코, V.F. Safonova``고등 수학 과정: 적분학. 여러 변수의 기능. 미분 방정식. M.: 출판사 MPEI, 2002(p. 128).

표면에 수직어떤 지점에는 방향 벡터가 이 지점의 표면에 수직이고 이 지점을 통과하는 직선이 있습니다.

정식 정규방정식형태로 표현될 수 있다

접선 평면어떤 점에서 표면에 대한 평면은 이 점에서 표면의 법선에 수직인 이 점을 통과하는 평면입니다.

이 정의에 따르면 다음과 같습니다. 접평면 방정식형식은 다음과 같습니다.

표면의 한 점이 특이점인 경우 해당 점에서는 표면에 수직인 벡터가 존재하지 않을 수 있으므로 표면에는 법선 평면과 접평면이 없을 수 있습니다.

두 변수 함수의 총 미분의 기하학적 의미

함수 z = f (x, y)가 점 a (x 0, y 0)에서 미분 가능하다고 가정합니다. 그래프는 표면이다

f(x,y) − z = 0.

z 0 = f (x 0 , y 0 ) 이라고 합시다. 그런 다음 점 A(x 0 , y 0 , z 0 )는 표면에 속합니다.

함수 F(x, y, z) = f(x, y) − z의 편도함수는 다음과 같습니다.

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1

그리고 지점 A에서 (x 0 , y 0 , z 0 )

1. 연속적이다.
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0.

따라서 A는 표면 F(x, y, z)의 보통 지점이고 이 지점에는 표면에 대한 접평면이 있습니다. (3)에 따르면 접평면 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0.

점 a(x 0, y 0)에서 임의의 점 p(x, y)로 이동할 때 접평면 위의 점의 수직 변위는 BQ입니다(그림 2). 해당 지원자 증가분은 다음과 같습니다.

(z − z 0 ) = f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 )

여기 오른쪽에는 차동 장치가 있습니다. 디 z 함수 z = f(x, y) 지점 a(x 0, x 0). 따라서,
디 f(x0, y0). 점 (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0))에서 함수 f (x, y)의 그래프에 접평면 점을 적용한 증분입니다.

미분의 정의에 따르면 함수 그래프의 점 P와 접평면의 점 Q 사이의 거리는 점 p에서 점 a까지의 거리보다 더 높은 차수의 무한소입니다.