Нахождение координат вектора довольно часто встречаемое условие многих задач в математике. Умение находить координаты вектора поможет вам в других, более сложных задачах со схожей тематикой. В данной статье мы рассмотрим формулу нахождения координат вектора и несколько задач.

Нахождение координат вектора в плоскости

Что такое плоскость? Плоскостью считается двухмерное пространство, пространство с двумя измерениями (измерение x и измерение y). К примеру, бумага – плоскость. Поверхность стола – плоскость. Какая-нибудь необъемная фигура (квадрат, треугольник, трапеция) тоже является плоскостью. Таким образом, если в условии задачи нужно найти координаты вектора, который лежит на плоскости, сразу вспоминаем про x и y. Найти координаты такого вектора можно следующим образом: Координаты AB вектора = (xB – xA; yB – xA). Из формулы видно, что от координат конечной точки нужно отнять координаты начальной точки.

Пример:

• Вектор CD имеет начальные (5; 6) и конечные (7; 8) координаты.
• Найти координаты самого вектора.
• Используя вышеупомянутую формулу, получим следующее выражение: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
• Таким образом, координаты CD вектора = (2; 2).
• Соответственно, x координата равна двум, y координата – тоже двум.

Нахождение координат вектора в пространстве

Что такое пространство? Пространство это уже трехмерное измерение, где даны 3 координаты: x, y, z. В случае, если нужно найти вектор, который лежит в пространстве, формула практически не меняется. Добавляется только одна координата. Для нахождения вектора нужно от координат конца отнять координаты начала. AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)

Пример:

• Вектор DF имеет начальные (2; 3; 1) и конечные (1; 5; 2).
• Применяя вышеупомянутую формулу, получим: Координаты вектора DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
• Помните, значение координат может быть и отрицательным, в этом нет никакой проблемы.

Как найти координаты вектора онлайн?

Если по каким-то причинам вам не хочется находить координаты самостоятельно, можно воспользоваться онлайн калькулятором . Для начала, выберите размерность вектора. Размерность вектора отвечает за его измерения. Размерность 3 означает, что вектор находится в пространстве, размерность 2 – что на плоскости. Далее вставьте координаты точек в соответствующие поля и программа определит вам координаты самого вектора. Все очень просто.

Нажав на кнопку, страница автоматически прокрутится вниз и выдаст вам правильный ответ вместе с этапами решения.

Рекомендовано хорошо изучить данную тему, потому что понятие вектора встречается не только в математике, но и в физике. Студенты факультета Информационных Технологий тоже изучают тему векторов, но на более сложном уровне.

Аналитическая геометрия

Контрольные мероприятия и сроки их проведения Модуль 1

1. ДЗ №1 часть 1 «Векторная алгебра» Срок выдачи 2 неделя, срок сдачи - 7 неделя

2. ДЗ №1 часть 2 «Прямые и плоскости»

Срок выдачи 1 неделя, срок сдачи - 9 неделя

3. Контроль по модулю №1 (РК №1) «Векторная алгебра, прямые и плоскости». Срок проведения – 10 неделя

1. ДЗ №2 «Кривые и поверхности 2-го порядка» Срок выдачи 6 неделя, срок сдачи - 13 неделя

5. Контрольная работа «Кривые и поверхности 2-го порядка». Срок проведения – 14 неделя

6. Контроль по модулю №2 (РК №2) «Матрицы и системы линейных алгебраических уравнений»

Срок проведения – 16 неделя

Типовые задачи, используемые при формировании вариантов текущего контроля

1. Домашнее задание №1. «Векторная алгебра и аналитическая геометрия»

векторы, угол между которыми равен.

2. Найти координаты точки М, делящей вектор AB в отношении a :1 .

3. Проверить, можно ли на векторах AB и AD построить параллелограмм. Если да, то найти длины сторон параллелограмма.

4. Найти углы между диагоналями параллелограмма ABCD.

5. Найти площадь параллелограмма ABCD.

6. Убедиться, что на векторах AB , AD , AA 1 можно построить параллелепипед. Найти объем этого параллелепипеда и длину его высоты.

7. Найти координаты вектора AH , направленного по высоте параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , проведенной из точки A к плоскости основания A 1 B 1 C 1 D 1 ,

координаты точки H и координаты единичного вектора, совпадающего по направлению с вектором AH .

8. Найти разложение вектора AH по векторам AB , AD , AA 1 .

9. Найти проекцию вектора AH на вектор AA 1 .

10. Написать уравнения плоскостей: а) P, проходящей через точки A, B, D;

б) P1 , проходящей через точку A и прямую A1 B1 ;

в) P2 , проходящей через точку A1 параллельно плоскости P; г) P3 , содержащей прямые AD и AA1 ;

д) P4 , проходящей через точки A и C1 , перпендикулярно плоскости P.

11. Найти расстояние между прямыми, на которых лежат ребра AB и CC 1 ; написать канонические и параметрические уравнения общего к ним перпендикуляра.

12. Найти точку A 2 , симметричную точке A1 относительно плоскости основания

13. Найти угол между прямой, на которой лежит диагональ A 1 C, и плоскостью основания ABCD.

14. Найти острый угол между плоскостями ABC 1 D (плоскость P) и ABB1 A1 (плоскость P1 ).

2. Домашнее задание №2. «Кривые и поверхности второго порядка»

В задачах 1–2 заданное уравнение линии второго порядка привести к каноническому виду и построить кривую в системе координат OXY.

В задаче 3 по приведенным данным найти уравнение кривой в системе координат OXY. Для задач 1–3 указать:

1) канонический вид уравнения линии;

2) преобразование параллельного переноса, приводящее к каноническому виду;

3) в случае эллипса: полуоси, эксцентриситет, центр, вершины, фокусы, расстояния от точки C до фокусов; в случае гиперболы: полуоси, эксцентриситет, центр, вершины, фокусы, расстояния от точки C до фокусов, уравнения асимптот; в случае параболы: параметр, вершину, фокус, уравнение директрисы, расстояния от точки C до фокуса и директрисы;

4) для точки C проверить свойство, характеризующее данный тип кривых как геометрическое место точек.

В задаче 4 указать преобразование параллельного переноса, приводящее данное уравнение поверхности к каноническому виду, канонический вид уравнения поверхности и тип поверхности. Построить поверхность в канонической системе координат OXYZ.

Контроль по модулю №1 “Векторная алгебра. Аналитическая геометрия”

1. Правые и левые тройки векторов. Определение векторного произведения векторов. Сформулировать свойства векторного произведения векторов. Вывести формулу вычисления векторного произведения двух векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе.

прямой, проходящей через точку M 0 0, 2,1 и ортогональной к найденной плоскости.

Контрольная работа «Кривые и поверхности второго порядка»

1. Определение эллипса как геометрического места точек. Вывод канонического уравнения эллипса в прямоугольной декартовой системе координат. Основные параметры кривой.

2. Уравнение поверхности x 2 4y 2 z 2 8x 4y 6z 17 0 привести к каноническому

виду. Сделать рисунок в канонической системе координат. Указать название данной поверхности.

3. Составить уравнение равноосной гиперболы, если известны ее центр O 1 1, 1 и один их фокусов F 1 3, 1 . Сделать рисунок.

Контроль по модулю №2 «Кривые и поверхности второго порядка. Матрицы и системы линейных алгебраических уравнений»

1. Однородные системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Формы записи однородной СЛАУ. Доказательство критерия существования ненулевых решений однородной СЛАУ.

Сделать проверку.

3. а) Решить СЛАУ. б) Найти нормальную фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы, частное решение неоднородной системы; записать через них общее решение данной неоднородной системы:

x 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 4 x 2 x 3 x 4 3

x 1 3 x 2 3 x 4 1

7 x 2 3 x 3 x 4 3

Вопросы для подготовки к контролям по модулям, контрольной работе, зачету и экзамену

1. Геометрические векторы. Свободные векторы. Определение коллинеарных и компланарных векторов. Линейные операции над векторами и их свойства.

2. Определение линейной зависимости и линейной независимости векторов. Доказательства условий линейной зависимости 2-х и 3-х векторов.

3. Определение базиса в пространствах векторов V 1 , V 2 , V 3 . Доказательство теоремы о существовании и единственности разложения вектора по базису. Линейные операции над векторами, заданными своими координатами в базисе.

4. Определение скалярного произведения векторов, его связь с ортогональной проекцией вектора на ось. Свойства скалярного произведения, их доказательство. Вывод формулы вычисления скалярного произведения векторов в ортонормированном базисе.

5. Определение ортонормированного базиса. Связь координат вектора в ортонормированном базисе и его ортогональных проекций на векторы этого базиса. Вывод формул вычисления длины вектора, его направляющих косинусов, угла между двумя векторами в ортонормированном базисе.

6. Правые и левые тройки векторов. Определение векторного произведения векторов, его механический и геометрический смысл. Свойства векторного произведения (без док-ва). Вывод формулы вычисления векторного произведения в ортонормированном базисе.

7. Определение смешанного произведения векторов. Объем параллелепипеда и объем пирамиды, построенных на некомпланарных векторах. Условие компланарности трех векторов. Свойства смешанного произведения. Вывод формулы вычисления смешанного произведения в ортонормированном базисе.

8. Определение прямоугольной декартовой системы координат. Решение простейших задач аналитической геометрии.

9. Различные виды уравнения прямой на плоскости: векторное, параметрические, каноническое. Направляющий вектор прямой.

10. Вывод уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

11.Доказательство теоремы о том, что в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости уравнение первой степени задает прямую. Определение нормального вектора прямой.

12. Уравнение с угловым коэффициентом, уравнение прямой “в отрезках”. Геометрический смысл входящих в уравнения параметров. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, заданных своими общими или каноническими уравнениями.

13. Вывод формулы расстояния от точки до прямой на плоскости.

14. Доказательство теоремы о том, что в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве уравнение первой степени задает плоскость. Общее уравнение плоскости. Определение нормального вектора плоскости. Вывод уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки. Уравнение плоскости “в отрезках”.

15. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

16. Вывод формулы расстояния от точки до плоскости.

17. Общие уравнения прямой в пространстве. Вывод векторного, канонических и параметрических уравнений прямой в пространстве.

18. Угол между двумя прямыми в пространстве, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Условия принадлежности двух прямых одной плоскости.

19. Угол между прямой и плоскостью, условия параллельности и перпендикулярности пр ямой и плоскости. Условие принадлежности прямой заданной плоскости.

20. Задача о нахождении расстояния между скрещивающимися или параллельными прямыми.

21. Определение эллипса как геометрического места точек. Вывод канонического уравнения эллипса.

22. Определение гиперболы как геометрического места точек. Вывод канонического уравнения гиперболы.

23. Определение параболы как геометрического места точек. Вывод канонического уравнения параболы.

24. Определение цилиндрической поверхности. Канонические уравнения цилиндрических поверхностей 2-го порядка.

25. Понятие поверхности вращения. Канонические уравнения поверхностей, образованных вращением эллипса, гиперболы и параболы.

26. Канонические уравнения эллипсоида и конуса. Исследование формы этих поверхностей методом сечений.

27. Канонические уравнения гиперболоидов. Исследование формы гиперболоидов методом сечений.

28. Канонические уравнения параболоидов. Исследование формы параболоидов методом сечений.

29. Понятие матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. Линейные операции над матрицами и их свойства. Транспонирование матриц.

30. Умножение матриц. Свойства операции умножения матриц.

31. Определение обратной матрицы. Доказательство единственности обратной матрицы. Доказательство теоремы об обратной матрице произведения двух обратимых матриц.

32. Критерий существования обратной матрицы. Понятие присоединенной матрицы, ее связь с обратной матрицей.

33. Вывод формул Крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей.

34. Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы. Доказательство критерия линейной зависимости строк (столбцов).

35. Определение минора матрицы. Базисный минор. Теорема о базисном миноре (без доква). Доказательство ее следствия для квадратных матриц.

36. Метод окаймляющих миноров для нахождения ранга матрицы.

37. Элементарные преобразования строк (столбцов) матрицы. Нахождение обратной матрицы методом элементарных преобразований.

38. Теорема об инвариантности ранга матрицы относительно элементарных преобразований. Нахождение ранга матрицы методом элементарных преобразований.

39. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Различные формы записи СЛАУ. Cовместные и несовместные СЛАУ. Доказательство критерия Кронекера- Капели совместности СЛАУ.

40. Однородные системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Свойства их решений.

41. Определение фундаментальной системы решений (ФСР) однородной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Теорема о структуре общего решения однородной СЛАУ. Построение ФСР.

42. Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Доказательство теоремы о структуре общего решения неоднородной СЛАУ.

Правила выставления баллов в журнале

1. Баллы за ДЗ. Баллы за ДЗ выставляются на следующей неделе после установленного срока сдачи, согласно соответствующей таблице. Студент имеет право сдавать на проверку отдельные задания ранее установленного срока и исправлять отмеченные преподавателем ошибки, получая при этом необходимую консультацию. Если к окончательному сроку сдачи ДЗ студент доводит решение задачи до правильного варианта, то ему за это задание выставляется максимальный балл. После срока сдачи ДЗ студент, не набравший минимального балла за ДЗ, может продолжить работу над заданием. При этом в случае успешной работы студенту начисляется минимальный балл за ДЗ.

2. Баллы за КР. Если студент в срок не набирает минимального балла за КР, то в течение семестра он может два раза переписать эту работу. При положительном результате (наборе баллов не менее установленного минимального) студенту выставляется минимальный балл за КР.

3. Баллы за «контроль по модулю». В качестве «контроля по модулю» предлагается письменная работа, состоящая из теоретической и практической частей. Каждая часть контроля по модулю оценивается отдельно. Студент, получивший оценку не ниже минимальной по одной из частей контроля, считается сдавшим эту часть и освобождается от ее выполнения в дальнейшем. По усмотрению преподавателя по теоретической части задания может проводиться собеседование. Если студент не набирает установленного минимума за каждую часть работы, то в течение семестра он имеет две попытки по каждой части исправить ситуацию. При положительном

результате (наборе баллов не менее установленного минимального) студенту выставляется минимальный балл за «контроль по модулю».

4. Оценка за модуль. Если студент выполнил все текущие контрольные мероприятия модуля (набрал не менее установленного минимального балла),

то оценкой за модуль считается сумма баллов за все контрольные мероприятия модуля (при этом студент автоматически набирает не ниже минимального порога). Окончательные баллы за модуль проставляются в журнале после закрытия всех контрольных мероприятий.

5. Суммарный балл. Сумма баллов за два модуля.

6. Оценка. Итоговая аттестация (экзамен, дифференцированный зачет, зачет) проводится по результатам работы в семестре после выполнения студентом запланированного объема учебных работ и получения по каждому модулю оценки, не ниже минимально установленной. Максимальная сумма баллов по всем модулям, включая баллы за прилежание, равна 100, минимальная – 60. Сумма баллов по всем модулям образует рейтинговую оценку по дисциплине за семестр. Студент, сдавший все контрольные мероприятия, получает итоговую оценку по дисциплине за семестр в соответствии со шкалой:

Повысить свой рейтинг, и, следовательно, экзаменационную оценку можно на итоговом экзамене (письменная работа по материалу дисциплины в целом, проводится в экзаменационную сессию), максимальный балл – 30, минимальный -16. Эти баллы суммируются с баллами, полученными за все модули по дисциплине. При этом для повышения оценки до «хорошо» за экзамен студент должен набрать не менее 21 балла, до «отлично» ─ не менее 26 баллов. Для специальностей, где предусмотрен зачет по дисциплине, повышение рейтинга не проводится. Студенты, имеющие к началу экзаменационной сессии рейтинг в диапазоне 0-59, набирают необходимый минимум для получения положительной оценки по дисциплине, пересдавая контрольные мероприятия, не зачтенные ранее, по отдельным модулям. При этом студенты, не имеющие уважительной причины, могут в итоге (к моменту окончания экзаменационной сессии) получить оценку не выше «удовлетворительно».

На оси абсцисс и ординат называются координатами вектора . Координаты вектора общепринято указывать в виде (х, у) , а сам вектор как: =(х, у).

Формула определения координат вектора для двухмерных задач.

В случае двухмерной задачи вектор с известными координатами точек A(х 1 ;у 1) и B(x 2 ; y 2 ) можно вычислить:

= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1).

Формула определения координат вектора для пространственных задач.

В случае пространственной задачи вектор с известными координатами точек A(х 1 ;у 1 ; z 1 ) и B(x 2 ; y 2 ; z 2 ) можно вычислить применив формулу:

= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).

Координаты дают всеобъемлющую характеристику вектора, поскольку по координатам есть возможность построить и сам вектор. Зная координаты, легко вычислить и длину вектора . (Свойство 3, приведенное ниже).

Свойства координат вектора.

1. Любые равные векторы в единой системе координат имеют равные координаты .

2. Координаты коллинеарных векторов пропорциональны. При условии, что ни один из векторов не равен нулю.

3. Квадрат длины любого вектора равен сумме квадратов его координат .

4.При операции умножения вектора на действительное число каждая его координата умножается на это число.

5. При операции сложения векторов вычисляем сумму соответствующие координаты векторов .

6. Скалярное произведение двух векторов равняется сумме произведений их соответствующих координат.