Учебное пособие "уравнения и неравенства с параметрами". Квадратные уравнения и неравенства с параметром Системы неравенств с параметром

Решение неравенств с параметром.

Неравенства, которые имеют вид ax > b, ax < b, ax ≥ b, ax ≤ b, где a и b – действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестная величина, называются линейными неравенствами .

Принципы решения линейных неравенств с параметром очень схожи с принципами решения линейных уравнений с параметром.

Пример 1.

Решить неравенство 5х – а > ax + 3.

Решение.

Для начала преобразуем исходное неравенство:

5х – ах > a + 3, вынесем за скобки х в левой части неравенства:

(5 – а)х > a + 3. Теперь рассмотрим возможные случаи для параметра а:

Если a > 5, то x < (а + 3) / (5 – а).

Если а = 5, то решений нет.

Если а < 5, то x > (а + 3) / (5 – а).

Данное решение и будет являться ответом неравенства.

Пример 2.

Решить неравенство х(а – 2) / (а – 1) – 2а/3 ≤ 2х – а при а ≠ 1.

Решение.

Преобразуем исходное неравенство:

х(а – 2) / (а – 1) – 2х ≤ 2а/3 – а;

Ах/(а – 1) ≤ -а/3. Домножим на (-1) обе части неравенства, получим:

ах/(а – 1) ≥ а/3. Исследуем возможные случаи для параметра а:

1 случай. Пусть a/(а – 1) > 0 или а € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞). Тогда x ≥ (а – 1)/3.

2 случай. Пусть a/(а – 1) = 0, т.е. а = 0. Тогда x – любое действительное число.

3 случай. Пусть a/(а – 1) < 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.

Ответ: х € [(а – 1)/3; +∞) при а € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);
х € [-∞; (а – 1)/3] при а € (0; 1);
х € R при а = 0.

Пример 3.

Решить неравенство |1 + x| ≤ аx относительно х.

Решение.

Из условия следует, что правая часть неравенства ах должна быть не отрицательна, т.е. ах ≥ 0. По правилу раскрытия модуля из неравенства |1 + x| ≤ аx имеем двойное неравенство

Ах ≤ 1 + x ≤ аx. Перепишем результат в виде системы:

{аx ≥ 1 + x;
{-ах ≤ 1 + x.

Преобразуем к виду:

{(а – 1)x ≥ 1;
{(а + 1)х ≥ -1.

Исследуем полученную систему на интервалах и в точках (рис. 1) :

При а ≤ -1 х € (-∞; 1/(а – 1)].

При -1 < а < 0 x € [-1/(а – 1); 1/(а – 1)].

При а = 0 x = -1.

При 0 < а ≤ 1 решений нет.

Графический метод решения неравенств

Построение графиков значительно упрощает решение уравнений, содержащих параметр. Использование графического метода при решении неравенств с параметром еще нагляднее и целесообразнее.

Графическое решение неравенств вида f(x) ≥ g(x) означает нахождение значений переменной х, при которых график функции f(x) лежит выше графика функции g(x). Для этого всегда необходимо найти точки пересечения графиков (если они существуют).

Пример 1.

Решить неравенство |x + 5| < bx.

Решение.

Строим графики функций у = |x + 5| и у = bx (рис. 2) . Решением неравенства будут те значения переменной х, при которых график функции у = |x + 5| будет находиться ниже графика функции у = bx.

На рисунке видно:

1) При b > 1 прямые пересекаются. Абсцисса точки пересечения графиков этих функций есть решение уравнения х + 5 = bx, откуда х = 5/(b – 1). График у = bx находится выше при х из интервала (5/(b – 1); +∞), значит это множество и есть решение неравенства.

2) Аналогично находим, что при -1 < b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).

3) При b ≤ -1 x € (-∞; 5/(b – 1)).

4) При 0 ≤ b ≤ 1 графики не пересекаются, а значит, и решений у неравенства нет.

Ответ: x € (-∞; 5/(b – 1)) при b ≤ -1;
x € (-5/(b + 1); 5/(b – 1)) при -1 < b < 0;
решений нет при 0 ≤ b ≤ 1; x € (5/(b – 1); +∞) при b > 1.

Пример 2.

Решить неравенство а(а + 1)х > (a + 1)(a + 4).

Решение.

1) Найдем «контрольные » значения для параметра а: а 1 = 0, а 2 = -1.

2) Решим данное неравенство на каждом подмножестве действительных чисел: (-∞; -1); {-1}; (-1; 0); {0}; (0; +∞).

a) a < -1, из данного неравенства следует, что х > (a + 4)/a;

b) a = -1, тогда данное неравенство примет вид 0·х > 0 – решений нет;

c) -1 < a < 0, из данного неравенства следует, что х < (a + 4)/a;

d) a = 0, тогда данное неравенство имеет вид 0 · х > 4 – решений нет;

e) a > 0, из данного неравенства следует, что х > (a + 4)/a.

Пример 3.

Решить неравенство |2 – |x|| < a – x.

Решение.

Строим график функции у = |2 – |x|| (рис. 3) и рассматриваем все возможные случаи расположения прямой у = -x + а.

Ответ: решений у неравенства нет при а ≤ -2;
x € (-∞; (а – 2)/2) при а € (-2; 2];
x € (-∞; (a + 2)/2) при a > 2.

При решении различных задач, уравнений и неравенств с параметрами открывается значительное число эвристических приемов, которые потом с успехом могут быть применены в любых других разделах математики.

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры. Именно поэтому, овладев методами решения задач с параметрами, вы успешно справитесь и с другими задачами.

Остались вопросы? Не знаете, как решать неравенства?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Курсовая работа

Исполнитель: Бугров С К.

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.

В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.

§ 1. Основные определения

Рассмотрим уравнение

¦(a, b, c, …, k, x)=j(a, b, c, …, k, x), (1)

где a, b, c, …, k, x -переменные величины.

Любая система значений переменных

а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,

при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, k, x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аÎА, bÎB, …, xÎX. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.

Переменные a, b, c, …, k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k, l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.

Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

§ 2. Алгоритм решения.

Находим область определения уравнения.

Выражаем a как функцию от х.

В системе координат хОа строим график функции а=¦(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

Находим точки пересечения прямой а=с, где сÎ(-¥;+¥) с графиком функции а=¦(х).Если прямая а=с пересекает график а=¦(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=¦(х) относительно х.

Записываем ответ.

I. Решить уравнение

(1)

Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а:

или

График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.

Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È

, то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения относительно х.

Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение

. , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений и , получаем и . , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.

Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È

, то ; , то , ; , то решений нет.

II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение

имеет три различных корня.

Переписав уравнение в виде

и рассмотрев пару функций , можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции , при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции .

В системе координат хОу построим график функции

). Для этого можно представить её в виде и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде

Поскольку график функции

– это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный , и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции . Поэтому находим производную .

III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений

имеет решения.

Из первого уравнения системы получим

при Следовательно, это уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы “скользят” вершинами по оси абсцисс.

Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на множители

Множеством точек плоскости

, удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые и

Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства “полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.

На этом уроке мы изучим алгоритм решения неравенств с параметрами и научимся применять его при решении такого типа заданий.

Определение первое .

Решить неравенство с параметром — значит для каждого значения параметра найти множество всех решений данного неравенства или доказать, что решений нет.

Рассмотрим линейные неравенства.

Определение второе .

Неравенства вида а икс плюс бэ больше нуля, больше либо равно нулю, меньше нуля, меньше либо равно нулю, где a и бэ — действительные числа, икс — переменная, называются неравенствами первой степени (линейными неравенствами).

Алгоритм решения линейного неравенства с параметром, например, неравенстваа икс плюс бэ больше нуля, где a и бэ — действительные числа, икс — переменная. Рассмотрим следующие случаи:

Первый случай: a больше нуля, тогда икс больше минус бэ деленное на а.

Следовательно, множество решений неравенства есть открытый числовой луч от минус бэ деленное на а до плюс бесконечности.

Второй случай: a меньше нуля, тогда икс меньше минус бэ деленное на а

и, следовательно, множество решений неравенства есть открытый числовой луч от минус бесконечности до минус бэ деленное на а.

Третий случай: a равно нулю, тогда неравенство примет вид: ноль умноженное на икс плюс бэ больше нуля и для бэ большенуля любое действительное число есть решение неравенства, а при бэ меньшем либо равным нулю неравенство не имеет решений.

Остальные неравенства решаются аналогично.

Рассмотрим примеры.

Задание 1

Решить неравенство а иксменьше либо равно единице.

Решение

В зависимости от знака a рассмотрим три случая.

Первый случай: если a больше нуля, то икс меньше либо равно один деленное на а;

Второй случай: если a меньше нуля, то икс больше либо равно один деленное на а;

Третий случай: если a равно нулю, то неравенство примет вид: ноль умноженное на икс меньше, либо равно единице и, следовательно, любое действительное число является решением исходного неравенства.

Таким образом, если а больше нуля, то икс принадлежит лучу от минус бесконечности до единицы, деленной на а.

Если a a равно нулю,

то x

Ответ: если а больше нуля, то икс принадлежит лучу от минус бесконечности до единицы, деленной на а;

если a меньше нуля, то икс принадлежит лучу от единицы, деленной на а, до плюс бесконечности, и если a равно нулю,

то x икс принадлежит множеству действительных чисел.

Задание 2

Решить неравенство модуль икс минус два больше минус квадрата разности а и единицы.

Решение

Заметим, что модуль икс минус два больше либо равно нулю для любого действительного икс и минус квадрат разности а и единицы меньше либо равно нулю для любого значения параметра a . Следовательно, если a равно единице, то любое икс — действительное число, отличное от двух, является решением неравенства, а если a не равно одному, то любое действительное число является решением неравенства.

Ответ: если a равно одному, то икс принадлежит объединению двух открытых числовых лучей от минус бесконечности до двух и от двух до плюс бесконечности,

а если a принадлежит объединению двух открытых числовых лучей от минус бесконечности до единицы и от одного до плюс бесконечности, то икс принадлежит множеству действительных чисел.

Задание 3

Решить неравенство три умноженное на разность четырех а и икса меньше двух а икс плюс три.

Решение

После элементарных преобразований данного неравенства, получим неравенство: икс умноженное на сумму двух а и трех больше три умноженное на разность четырех а и одного.

Первый случай: если два а плюс три больше нуля, то есть a больше минус трех вторых, то икс больше дроби, числитель которой — три умноженное на разность четырех а и единицы, а знаменатель — два а плюс три.

Второй случай: если два а плюс три меньше нуля, то есть a меньше минус трех вторых, то икс меньше дроби, числитель которой — три умноженное на разность четырех а и одного, а знаменатель два а плюс три.

Третий случай: если два а плюс три равно нулю, то есть a равно минус три вторых,

любое действительное число является решением исходного неравенства.

Следовательно, если а принадлежит окрытому числовому лучу от минус трех вторых до плюс бесконечности, то икс

принадлежит открытому числовому лучу от дроби, числитель которой — три умноженное на разность четырех а и одного, а знаменатель — два а плюс три, до плюс бесконечности.

Если а принадлежит открытому числовому лучу от минус бесконечности до минус трех вторых, то икс принадлежит открытому числовому лучу от минус бесконечности до дроби, числитель которой — три умноженное на разность четырех а и единицы, а знаменатель — два а плюс три;

если a равно минус трем вторых, то икс принадлежит множеству действительных чисел.

Ответ: если а принадлежит окрытому числовому лучу от минус трех вторых до плюс бесконечности, то икс

принадлежит открытому числовому лучу от дроби, числитель которой — три умноженное на разность четырех а и единицы, а знаменатель — два а плюс три до плюс бесконечности;

если а принадлежит открытому числовому лучу от минус бесконечности до минус трех вторых, то икс принадлежит открытому числовому лучу от минус бесконечности до дроби, числитель которой — три умноженное на разность четырех а и единицы, а знаменатель два а плюс три;

если a равно минус трем вторых, то икс принадлежит множеству действительных чисел.

Задание 4

Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство квадратный корень из икс минус а плюс квадратный корень из двух а минус икс плюс квадратный корень из а минус один плюс квадратный корень из трех минус а больше нуля.

Решение

Найдем область определения параметра а . Она определяется системой неравенств, решив которую находим, что а принадлежит отрезку от одного до трех.

Данное неравенство равносильно системе неравенств, решая которую находим, что икс принадлежит отрезку от а до двух а.

Если а принадлежит отрезку от единицы до трех, то решением исходного неравенства является отрезок от а до двух а.

Ответ: если а принадлежит отрезку от одного до трех, тоикс принадлежит отрезку от а до двух а.

Задание 5

Найти все а , при которых неравенство

квадратный корень из икс в квадрате минус икс минус два плюс квадратный корень из дроби, числитель которой — два минус икс, а знаменатель — икс плюс четыре больше либо равно а икс плюс два минус квадратный корень из дроби, числитель которой — икс плюс один, а знаменатель — пять минус икс не имеет решения.

Решение

Первое. Вычислим область определения данного неравенства. Она определяется системой неравенств, решением которой являются два числа: икс равен минус единице и икс равен двум.

Второе. Найдем все значения а, при которых данное неравенство имеет решения. Для этого найдем все а , при которых икс равен минус единице и икс равен двум — это решение данного неравенства. Рассмотрим и решим совокупность двух систем. Решением является объединение двух числовых лучей от минус бесконечности до минус одной второй, и от единицы до плюс бесконечности.

Значит, данное неравенство имеет решение, если а принадлежит объединению двух числовых лучей от минус

бесконечности до минус одной второй, и от единицы до плюс бесконечности.

Третье. Следовательно, данное неравенство не имеет решения, если а принадлежит интервалу от минус одной второй до единицы.

Ответ: неравенство не имеет решения, если а принадлежит интервалу от минус одной второй до единицы.

Тип задания: 18

Условие

При каких значениях параметра a неравенство

\log_{5}(4+a+(1+5a^{2}-\cos^{2}x) \cdot \sin x - a \cos 2x) \leq 1 выполняется при всех значениях x ?

Показать решение

Решение

Данное неравенство равносильно двойному неравенству 0 < 4+a+(5a^{2}+\sin^{2}x) \sin x+ a(2 \sin^{2}x-1) \leq 5 .

Пусть \sin x=t , тогда получим неравенство:

4 < t^{3}+2at^{2}+5a^{2}t \leq 1 \: (*) , которое должно выполняться при всех значениях -1 \leq t \leq 1 . Если a=0 , то неравенство (*) выполняется для любого t\in [-1;1] .

Пусть a \neq 0 . Функция f(t)=t^{3}+2at^{2}+5a^{2}t возрастает на промежутке [-1;1] , так как производная f"(t)=3t^{2}+4at+5a^{2} > 0 при всех значениях t \in \mathbb{R} и a \neq 0 (дискриминант D < 0 и старший коэффициент больше нуля).

Неравенство (*) будет выполняться для t \in [-1;1] при условиях

\begin{cases} f(-1) > -4, \\ f(1) \leq 1, \\ a \neq 0; \end{cases}\: \Leftrightarrow \begin{cases} -1+2a-5a^{2} > -4, \\ 1+2a+5a^{2} \leq 1, \\ a \neq 0; \end{cases}\: \Leftrightarrow \begin{cases} 5a^{2}-2a-3 < 0, \\ 5a^{2}+2a \leq 0, \\ a \neq 0; \end{cases}\: \Leftrightarrow -\frac{2}{5} \leq a < 0 .

Итак, условие выполняется при -\frac{2}{5} \leq a \leq 0 .

Ответ

\left [ -\frac{2}{5}; 0 \right ]

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 18
Тема: Неравенства с параметром

Условие

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых неравенство

x^2+3|x-a|-7x\leqslant -2a

имеет единственное решение.

Показать решение

Решение

Неравенство равносильно совокупности систем неравенств

\left[\!\!\begin{array}{l} \begin{cases} x \geqslant a, \\ x^2+3x-3a-7x+2a\leqslant0; \end{cases} \\ \begin{cases}x \left[\!\!\begin{array}{l} \begin{cases} x \geqslant a, \\ x^2-4x-a\leqslant0; \end{cases} \\ \begin{cases}x \left[\!\!\begin{array}{l} \begin{cases} a \leqslant x, \\ a\geqslant x^2-4x; \end{cases} \\ \begin{cases}a>x, \\ a\leqslant -\frac{x^2}{5}+2x. \end{cases}\end{array}\right.

В системе координат Oxa построим графики функций a=x, a=x^2-4x, a=-\frac{x^2}{5}+2x.

Полученной совокупности удовлетворяют точки, заключенные между графиками функций a=x^2-4x, a=-\frac{x^2}{5}+2x на промежутке x\in (заштрихованная область).

По графику определяем: исходное неравенство имеет единственное решение при a=-4 и a=5 , так как в заштрихованной области будет единственная точка с ординатой a , равной -4 и равной 5.

Серия «Учимся решать задачи с параметром»

IV. Квадратные уравнения и неравенства с параметром

IV.1. Основные понятия

Определение . Функцию вида (1), где , , – данные функции от параметра а , рассматриваемые на пересечении их областей определения, назовём квадратичной функцией с параметром а .

Примеры.

1. . 2. .
3. . 4. .
5. . 6. .
7. . 8. .
9. . 10. .

Определение . Подобластью определения квадратичной функции (1) с параметром а будем понимать всё множество пар значений х и а вида (х ; а ), при каждой из которых выражение не теряет смысла.

Установим области определения функций 1-10.

1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9. 10.

Если параметр принимает одно из числовых значений из , то функция (1) примет вид одной из функций с числовыми коэффициентами:

; ; ;
; ; ; ,

где k , b , c – действительные числа.

Обратим внимание на то, что при некоторых значениях параметра из квадратичная функция с параметром принимает вид либо квадратичной функции без параметра, либо – линейной.

Так как квадратичная функция с параметром чаще всего «порождает» семейство квадратичных или линейных функций с числовыми коэффициентами, то говоря о графиках квадратичной функции с параметром , мы будем подразумевать множество графиков этого семейства.

Определение . а называется уравнение вида (1) где , , – данные функции от параметра а , рассматриваемые на пересечении их областей определения.

В частности, некоторые из коэффициентов или свободный член могут быть числами.

Примеры.

, (1)
, (2)
, (3)
, (4)
. (5)

Используя определение квадратичной функции с параметром, можно дать такое определение квадратного уравнения с параметром.

Определение . Квадратным уравнением с параметром а называется уравнение вида , где – квадратичная функция с параметром а .

Если , то уравнение (1) является квадратным в традиционном смысле, т.е. второй степени.
Если же , то уравнение (1) становится линейным.

При всех допустимых значениях параметра а , при которых и , по известным формулам получаем выражения корней уравнения (1) через параметр.

Те значения а , при которых , следует рассматривать отдельно в качестве особых случаев.
Так, например, уравнение (5) при примет вид , откуда .

IV.2. Квадратные уравнения с параметром

№1. Решите уравнение .

– уравнение-следствие. Получим: , .

В системе координат (аОх ) завершаем решение. (Рис. 1)

Ответ: 1. Если , то .

2. Если , то .

3. Если , , то , .

№2. Найдите значение параметра а , при котором уравнение имеет единственный корень. Если таких значений несколько, в ответе запишите их сумму.

Данное уравнение сводится к равносильной системе:

Приведём её к виду: и решим графически в системе координат (хОа ). (Рис. 2).

Уравнение имеет единственный корень при , и .

№3. Найдите все значения х такие, что при любом значении параметра а , не принадлежащем промежутку (0; 2], выражение не равно выражению . (ЕГЭ-2007).

Переформулируем задачу: «Найдите все значения х такие, что при любом значении параметра уравнение не имеет корней».
Выразим а через х :

1) Пусть . Тогда . Поэтому уравнение имеет корни. Значит, не удовлетворяет условию.
2) Пусть . Тогда . Воспользуемся системой координат (хОа ). (Рис. 3).

Условию удовлетворяют .