KTEK
Ekonomikos ir apskaitos PCC

15 egzempliorių, 2006 m

Įvadas. 4

Išvestinė sąvoka. 5

Daliniai dariniai. vienuolika

Linkimo taškai. 16

Pratimai, kuriuos reikia išspręsti. 17

Bandymas. dvidešimt

Pratimų atsakymai .. 21

Literatūra. 23

Įvadas

f (x x tada jie skambina ribinis produktas; jei g (x) g (x) g “(x) yra vadinami ribinės išlaidos.

Pavyzdžiui, Leiskite funkcijai u = u (t) u dirbdamas t. ∆t = t 1 - t 0:

z plg. =

z av... adresu →t → 0 :.

Gamybos išlaidos K x, kad galėtume rašyti K = K (x) ∆x K (x + ∆x). ∆x ∆K = K (x + ∆x) - K (x).

Riboti paskambino

Išvestinė sąvoka

Funkcijos išvestinė taške x 0 vadinama funkcijos prieaugio ir argumento prieaugio santykio riba, jei argumento prieaugis yra linkęs nuliui.

Išvestinės funkcijos žymėjimas:

Tai. a-pirmenybė:

Išvestinės radimo algoritmas:

Leiskite funkcijai y = f (x) tęstinis segmente , x

1. Raskite argumento prieaugį:

x- nauja argumento vertė

x 0- pradinė vertė

2. Raskite funkcijos prieaugį:

f (x)- nauja funkcijos vertė

f (x 0) - pradinė funkcijos vertė

3. Raskite funkcijos prieaugio ir argumento prieaugio santykį:

4. Raskite rasto santykio ribą ties

Raskite funkcijos išvestinę pagal išvestinės apibrėžimą.

Sprendimas:

Duokim NS prieaugis Δх, tada nauja funkcijos reikšmė bus:

Raskime funkcijos prieaugį kaip skirtumą tarp naujos ir pradinės funkcijos reikšmių:

Raskite funkcijos prieaugio ir argumento prieaugio santykį:

.

Raskime šio santykio ribą, jei:

Todėl pagal išvestinės finansinės priemonės apibrėžimą: .

Funkcijos darinio radimas vadinamas diferenciacija.

Funkcija y = f (x) paskambino diferencijuojamas intervale (a; b), jei kiekviename intervalo taške yra išvestinė.

Teorema Jei funkcija yra diferencijuojama tam tikru momentu x 0, tada jis yra nuolatinis.

Priešingas teiginys nėra teisingas, nes yra funkcijų, kurios tam tikru momentu yra nepertraukiamos, tačiau šiuo metu nėra diferencijuojamos. Pavyzdžiui, funkcija taške x 0 = 0.

Raskite funkcijų darinius

1) .

2) .

Atlikime identiškas funkcijos transformacijas:

Aukštesnės eilės išvestinės priemonės

Antros eilės išvestinė pirmosios išvestinės darinys vadinamas. Pažymėta

Išeitis iš n eilės vadinamas (n-1) eilės darinio dariniu.

Pavyzdžiui,

Daliniai dariniai

Dalinis išvestinis kelių kintamųjų funkcija, susijusi su vienu iš šių kintamųjų, vadinama išvestine, atsižvelgiant į šį kintamąjį, jei visi kiti kintamieji lieka pastovūs.

Pavyzdžiui, dėl funkcijos daliniai pirmosios eilės dariniai bus lygūs:

Maksimalios ir minimalios funkcijos

Vadinama argumento reikšme, kuria funkcija turi didžiausią reikšmę maksimalus taškas.

Kviečiama argumento vertė, kuria funkcija turi mažiausią reikšmę minimalus taškas.

Maksimalus funkcijos taškas yra funkcinio perėjimo iš didėjimo į mažėjimą ribinis taškas, mažiausias funkcijos taškas yra perėjimo nuo mažėjimo iki didėjimo ribinis taškas.

Funkcija y = f (x) turi (vietinį) maksimalus taške, jei visiems x

Funkcija y = f (x) turi (vietinį) minimumas taške, jei visiems NS pakankamai arti nelygybės

Didžiausios ir mažiausios funkcijos vertės vadinamos bendrai kraštutinumas, ir vadinami taškai, kuriais jie pasiekiami ekstremumo taškai.

Teorema (būtina ekstremumo egzistavimo sąlyga) Funkcija turi būti apibrėžta intervalu ir turi didžiausią (mažiausią) reikšmę taške. Tada, jei šios funkcijos išvestinė egzistuoja taške, tai ji lygi nuliui, t.y. ...

Įrodymas:

Tegul funkcija turi didžiausią reikšmę taške x 0, tada nelygybė galioja bet kuriam :.

Už bet kurį tašką

Jei x> x 0, tai, t.y.

Jei x< x 0 , то , т.е.

Kadangi egzistuoja, kas įmanoma tik tuo atveju, jei jie yra lygūs nuliui, todėl ,.

Išvada:

Jei tam tikrame taške diferencijuojama funkcija įgauna didžiausią (mažiausią) vertę, tai taške šios funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti Okso ašiai.

Taškai, kuriuose pirmoji išvestinė yra lygi nuliui arba jos nėra, vadinami kritiška - tai galimi ekstremumo taškai.

Atkreipkite dėmesį, kad, kadangi pirmosios išvestinės priemonės lygybė nuliui yra tik būtina ekstremumo sąlyga, būtina toliau tirti ekstremumo buvimo klausimą kiekviename galimo ekstremumo taške.

Teorema(pakankama ekstremumo sąlyga)

Leiskite funkcijai y = f (x) yra nuolatinis ir skirtingas kai kuriose taško apylinkėse x 0. Jei, einant per tašką x 0 iš kairės į dešinę, pirmoji išvestinė keičia ženklą iš pliuso į minusą (iš minuso į pliusą), tada taške x 0 funkcija y = f (x) turi maksimumą (minimumą). Jei pirmoji išvestinė nekeičia ženklo, tada ši funkcija taške neturi kraštutinumo x 0.

Ekstremumo funkcijos tyrimo algoritmas:

1. Raskite pirmąjį funkcijos darinį.

2. Pirmąją išvestinę priemonę prilyginkite nuliui.

3. Išspręskite lygtį. Rastos lygties šaknys yra kritiniai taškai.

4. Skaičių ašyje rasta kritinių taškų, kuriuos reikia atidėti. Mes gauname daugybę intervalų.

5. Kiekviename intervale nustatykite pirmojo darinio ženklą ir nurodykite funkcijos kraštutinumą.

6. Norėdami pavaizduoti grafiką:

Ø nustatykite funkcijos reikšmes galutiniuose taškuose

Ø raskite susikirtimo taškus su koordinačių ašimis

Ø raskite papildomų taškų

Skardinė yra apvalios cilindro formos su spinduliu r ir aukštumų h... Darant prielaidą, kad skardinei gaminti naudojamas aiškiai nustatytas skardos kiekis, nustatykite, kokiu santykiu r ir h bankas turės didžiausią apimtį.

Panaudoto alavo kiekis bus lygus bendram skardinės paviršiaus plotui, t.y. ... (1)

Iš šios lygybės matome:

Tada tūrį galima apskaičiuoti pagal formulę: ... Užduotis bus sumažinta iki maksimalaus funkcijos nustatymo V (r)... Raskime pirmąjį šios funkcijos darinį: ... Pirmąją išvestinę priemonę prilyginkime nuliui:

... Mes randame:. (2)

Šis taškas yra didžiausias taškas, nes pirmoji išvestinė yra teigiama ir neigiama.

Dabar nustatykime, kokiu santykiu tarp spindulio ir aukščio bankas turės didžiausią tūrį. Norėdami tai padaryti, lygybę (1) padalijame iš r 2 ir naudokite ryšį (2) S... Mes gauname:. Taigi, didžiausias tūris turės stiklainį, kurio aukštis yra lygus skersmeniui.

Kartais gana sunku ištirti pirmojo darinio ženklą kairėje ir dešinėje galimo ekstremumo taško, tada galite naudoti antra pakankama ekstremumo sąlyga:

Teorema Leiskite funkcijai y = f (x) turi x 0 galimas ekstremumas, paskutinis antrasis darinys. Tada funkcija y = f (x) turi tašką x 0 maksimaliai, jei , ir bent jau jei .

Pastaba Ši teorema neišsprendžia funkcijos ekstremumo problemos taške, jei antrasis funkcijos išvestis tam tikrame taške yra lygus nuliui arba jo nėra.

Linkimo taškai

Vadinami tie kreivės taškai, kuriuose išgaubimas atsiskiria nuo įdubimo lenkimo taškai.

Teorema (būtinas lankstymo taškas): Tegul funkcijos grafikas turi linksniuoti taške, o funkcija turi nepertraukiamą antrąją išvestinę taške x 0, tada

Teorema (pakreipimo taško pakanka sąlyga): Tegul funkcija turi antrąjį išvestinį taško x 0 kaimynystėje, kuris turi priešingus ženklus kairėje ir dešinėje x 0... tada funkcijos grafikas turi linksnį taške.

Linksnių taškų paieškos algoritmas:

1. Raskite antrąją funkcijos išvestinę.

2. Antrąją išvestinę priemonę prilyginkite nuliui ir išspręskite lygtį :. Įdėkite gautas šaknis į skaičių eilutę. Mes gauname daugybę intervalų.

3. Kiekviename intervale suraskite antrosios išvestinės ženklą. Jei antrojo išvestinio ženklai dviejuose gretimuose intervaluose yra skirtingi, tada mes turime tam tikros šaknies vertės poslinkio tašką, jei ženklai yra vienodi, tada nėra linksnių.

4. Raskite linksniuojamųjų taškų ordinates.

Patikrinkite kreivės kreivumą ir įdubimą. Raskite posūkio taškus.

1) suraskite antrąjį darinį:

2) Išspręskite nelygybę 2x<0 x<0 при x кривая выпуклая

3) Išspręskite nelygybę 2x> 0 x> 0, jei kreivė yra įgaubta

4) Raskite linksniuojamuosius taškus, kuriems antrąją išvestinę prilyginame nuliui: 2x = 0 x = 0. Kadangi taške x = 0 antrasis darinys kairėje ir dešinėje turi skirtingus ženklus, tada x = 0 yra linksnios taško abscisė. Raskite posūkio taško ordinatę:

(0; 0) posūkio taškas.

Pratimai, kuriuos reikia išspręsti

№ 1 Raskite šių funkcijų išvestines priemones, apskaičiuokite išvestinių verčių vertę pagal nurodytą argumento vertę:

1.	5.	9.
2.	6.	10.
3.	7.	11.
4.	8.	12.
	13.	14.
	15.	16.

# 2 Raskite sudėtingų funkcijų darinius:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.

№3 Išspręskite problemas:

1. Raskite parabolės liestinės nuolydį taške x = 3.

2. Liestinė ir normalioji nubrėžta į parabolę y = 3x 2 -x taške x = 1. Sudarykite jų lygtis.

3. Raskite taško, kuriame parabolės liestinė y = x 2 + 3x-10, koordinatės su OX ašimi sudaro 135 0 kampą.

4. Sudarykite funkcijos y = 4x-x 2 grafiko liestinės sankirtos su OX ašimi lygtį.

5. Kokiomis x reikšmėmis liestinės funkcijos y = x 3 -x grafikas yra lygiagretus tiesei y = x.

6. Taškas juda tiesia linija pagal dėsnį S = 2t 3 -3t 2 +4. 3 sekundės pabaigoje raskite taško pagreitį ir greitį. Kokiu momentu pagreitis bus lygus nuliui?

7. Kada pagal dėsnį judantis taško greitis S = t 2 -4t + 5 lygus nuliui?

# 4 Naršykite funkcijas naudodami išvestinę priemonę:

1. Ištirti monotoniškumo funkciją y = x 2

2. Raskite funkcijos padidinimo ir sumažėjimo intervalus .

3. Raskite funkcijos didinimo ir mažinimo intervalus.

4. Naršykite maksimalią ir minimalią funkciją .

5. Naršykite ekstremumo funkciją .

6. Tyrinėkite ekstremumo funkciją y = x 3

7. Naršykite ekstremumo funkciją .

8. Padalinkite skaičių 24 į du terminus, kad jų produktas būtų didžiausias.

9. Iš popieriaus lapo reikia iškirpti 100 cm 2 ploto stačiakampį, kad šio stačiakampio perimetras būtų mažiausias. Kokios turėtų būti šio stačiakampio kraštinės?

10. Ištirkite ekstremumo funkciją y = 2x 3 -9x 2 + 12x -15 ir sudarykite jos grafiką.

11. Ištirti kreivės įgaubtumą ir išgaubtumą.

12. Raskite kreivės išgaubimo ir įgaubimo intervalus .

13. Raskite funkcijų linksnių taškus: a); b).

14. Išnagrinėkite funkciją ir sudarykite jos grafiką.

15. Naršykite funkciją ir sukurkite jos grafiką.

16. Naršymo funkcija ir sudaryti jos tvarkaraštį.

17. Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos y = x 2 -4x + 3 reikšmę segmente

Testo klausimai ir pavyzdžiai

1. Pateikite išvestinės sąvokos apibrėžimą.

2. Kas vadinama argumento prieaugiu? funkcijos prieaugis?

3. Kokia geometrinė išvestinės reikšmė?

4. Kas vadinama diferenciacija?

5. Išvardykite pagrindines darinio savybes.

6. Kokia funkcija vadinama kompleksine? atvirkščiai?

7. Pateikite antrosios eilės išvestinės priemonės sampratą.

8. Suformuluokite sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklę?

9. Kūnas juda tiesia linija pagal dėsnį S = S (t). Ką galima pasakyti apie judėjimą, jei:

5. Funkcija padidėja per tam tikrą intervalą. Ar iš to išplaukia, kad jo darinys yra teigiamas šiuo intervalu?

6. Kas vadinama funkcijos kraštutinumu?

7. Ar maksimali funkcijos vertė tam tikru intervalu būtinai sutampa su funkcijos reikšme maksimaliame taške?

8. Funkcija nustatyta. Ar taškas x = a gali būti šios funkcijos kraštutinis taškas?

10. Funkcijos išvestinė taške x 0 lygi nuliui. Ar iš to išplaukia, kad x 0 yra šios funkcijos kraštutinis taškas?

Bandymas

1. Raskite šių funkcijų išvestines priemones:

a)	e)
b)	g)
su)	h)
e)	ir)

2. Parašykite liestinių lygtis prie parabolės y = x 2 -2x -15: a) taške, kurio abscisė x = 0; b) parabolės susikirtimo taške su abscisės ašimi.

3. Nustatykite funkcijos padidėjimo ir sumažėjimo intervalus

4. Naršykite funkciją ir nubraižykite jos grafiką

5. Raskite laiko t = 0 taško, judančio pagal įstatymą, greitį ir pagreitį s = 2e 3 t

Atsakymai į pratimus

5.

7.

9.

11.

12.

13.

14.

2.

3.

4. (rezultatas gaunamas taikant koeficiento išvestinės formulę). Šį pavyzdį galite išspręsti kitaip:

5.

8. Produktas bus didžiausias, jei kiekvienas terminas bus lygus 12.

9. Stačiakampio perimetras bus mažiausias, jei stačiakampio kraštinės bus po 10 cm, t. reikia iškirpti kvadratą.

17. Segmente funkcija turi didžiausią reikšmę, lygią 3 x = 0 ir mažiausia vertė lygi –1 x = 2.

Literatūra

KALININGRAD PREKYBA IR EKONOMINĖ KOLEGIJA

studijuoti temą

„Funkcijos išvestinė“

specialybės studentams 080110 „Ekonomika ir apskaita“, 080106 „Finansai“,
080108 "Bankininkystė", 230103 "Automatizuotos informacijos apdorojimo ir valdymo sistemos"

Sudarė E.A. Fedorova

KALININGRADAS

Recenzentai: Gorskaja Natalija Vladimirovna, Kaliningrado prekybos ir ekonomikos kolegijos lektorė

Šiame vadove aptariamos pagrindinės diferencinio skaičiavimo sąvokos: išvestinės sąvokos, išvestinių savybių, taikymo analitinėje geometrijoje ir mechanikoje, pateikiamos pagrindinės diferenciacijos formulės, pateikiami pavyzdžiai, iliustruojantys teorinę medžiagą. Vadovas papildytas savarankiško darbo pratimais, pateikiami atsakymai į juos, klausimai ir užduočių pavyzdžiai tarpinei žinių kontrolei. Jis skirtas studentams, besimokantiems disciplinos „Matematika“ vidurinėse specializuotose mokymo įstaigose, studijuojantiems dieninę, neakivaizdinę, vakarinę, išorinę ar nemokamą pamokų lankymą.

KTEK
Ekonomikos ir apskaitos PCC

15 egzempliorių, 2006 m

Įvadas. 4

Reikalavimai žinioms ir įgūdžiams .. 5

Išvestinė sąvoka. 5

Išvestinės geometrinė reikšmė. 7

Išvestinės mechaninė reikšmė. 7

Pagrindinės diferenciacijos taisyklės. aštuoni

Pagrindinių funkcijų diferenciacijos formulės. devyni

Atvirkštinės funkcijos darinys. devyni

Sudėtingų funkcijų diferenciacija. dešimt

Aukštesnės eilės išvestinės priemonės. vienuolika

Daliniai dariniai. vienuolika

Funkcijų tyrimas naudojant išvestines priemones. vienuolika

Funkcijų didinimas ir mažinimas. vienuolika

Maksimali ir minimali funkcija. 13

Kreivės išgaubtumas ir įgaubtumas. 15

Linkimo taškai. 16

Bendra funkcijų tyrimo ir braižymo schema. 17

Pratimai, kuriuos reikia išspręsti. 17

Testiniai klausimai ir pavyzdžiai .. 20

Bandymas. dvidešimt

Pratimų atsakymai .. 21

Literatūra. 23

Įvadas

Matematinė analizė pateikia keletą pagrindinių sąvokų, su kuriomis dirba ekonomistas - funkcija, riba, išvestinė priemonė, integralas, diferencialinė lygtis. Ekonomikos tyrimuose išvestinėms priemonėms žymėti dažnai naudojama specifinė terminija. Pavyzdžiui, jei f (x) yra gamybos funkcija, išreiškianti bet kurio produkto produkcijos priklausomybę nuo veiksnio išlaidų x tada jie skambina ribinis produktas; jei g (x) yra išlaidų funkcija, t.y. funkcija g (x) išreiškia visų išlaidų priklausomybę nuo gamybos apimties x, tada g “(x) yra vadinami ribinės išlaidos.

Ribinė ekonomikos analizė- metodų rinkinys, skirtas tirti besikeičiančias sąnaudų ar rezultatų vertes keičiant gamybos apimtį, vartojimą ir kt. remiantis jų ribinių verčių analize.

Pavyzdžiui, rasti darbo našumą. Leiskite funkcijai u = u (t) išreiškia pagamintų produktų kiekį u dirbdamas t. Apskaičiuokime per tą laiką pagamintų produktų kiekį ∆t = t 1 - t 0:

u = u (t 1) -u (t 0) = u (t 0 + ∆t) -u (t 0).

Vidutinis darbo našumas vadinamas gaminamų produktų kiekio ir sugaišto laiko santykiu, t.y. z plg. =

Darbuotojų produktyvumasšiuo metu t 0 vadinama riba, į kurią linkusi z av... adresu →t → 0 :. Taigi darbo našumo apskaičiavimas sumažinamas iki išvestinės priemonės:

Gamybos išlaidos K vienalytis produktas yra produkto kiekio funkcija x, kad galėtume rašyti K = K (x)... Tarkime, kad produktų skaičius padidėja ∆x... Produktų skaičius x + ∆x atitinka gamybos sąnaudas K (x + ∆x). Todėl didėja produktų skaičius ∆x atitinka gamybos sąnaudų padidėjimą ∆K = K (x + ∆x) - K (x).

Vidutinis gamybos sąnaudų padidėjimas yra ∆K / ∆x. Tai yra gamybos sąnaudų padidėjimas vienam produkto kiekio padidėjimo vienetui.

Riboti paskambino ribines gamybos išlaidas.

Kaliningrado prekybos ir ekonomikos kolegijos istorija yra regiono istorijos puslapis, rašomas nuo 1946 m. Per pastarąjį laiką kolegijos sienas baigė daugiau nei 25 tūkstančiai specialistų.

Nuo 2004 m. Kolegija tapo eksperimentine Maskvos vidurinio profesinio mokymo plėtros instituto platforma tema „Europos patirties sklaida kuriant ir organizuojant suaugusiųjų mokymosi centrus ir atviro ugdymo centrus regione“. Dešimt metų jis buvo Rusijos rinkodaros asociacijos narys, turi socialinės orientacijos kolegijos statusą. Pastarąją regiono administracija kolegijai skyrė už nuolatinę socialiai neapsaugotų studentų, mokytojų, pensininkų, kariškių ir jų šeimų, dirbančių mokytojų ir personalo paramą.

Kaliningrado prekybos ir ekonomikos kolegijos studentų mokymai vyksta penkiuose fakultetuose: technologijų ir paslaugų, rinkodaros vadybos, jurisprudencijos, ekonomikos ir apskaitos, netradicinių ugdymo formų. Kolegijos švietimo sritis apima šešiolika specialybių. Tai maisto gaminimo technologija, maisto prekyba, komercija prekyboje, valdymas, rinkodara, teisinis buhalteris, bankininkystė, svetingumas, finansai, turizmas ir daug daugiau.

Kolegijoje yra kandidatų profesinio orientavimo ir mokymo centras. Netradicinių ugdymo formų fakultete galite ne tik tobulinti savo kvalifikaciją, bet ir įgyti naują specialybę. Dabartinis atviro ugdymo centras yra skirtas teikti pagalbą profesiniam mokymui daugiau nei dvidešimtyje specialybių. Čia galite tobulinti savo kvalifikaciją, persikvalifikuoti. Metodai labai įvairūs: dalykiniai žaidimai, mokymai, seminarai, pratybos, atviros sesijos, konferencijos, projektinis darbas, Visa tai leidžia auditorijai kiek įmanoma įsisavinti siūlomą medžiagą.

Bendradarbiavimas su Kaliningrado valstybiniu universitetu, Kaliningrado valstybiniu technikos universitetu, Baltijos valstybinė akademija leidžia kolegijai rengti specialistus, kurių žinios tampa sostine ir pagrindiniu regiono ekonominės plėtros šaltiniu. Per šiuos sąveikos metus daugiau nei du šimtai absolventų įgijo aukštąjį išsilavinimą specialiame fakultete su sutrumpintu mokymo laikotarpiu. Visi jie yra paklausūs regiono ekonominio komplekso, daugelis pateko į regiono verslininkų korpuso elitą.

Kaliningrado prekybos ir ekonomikos kolegija užmezgė ryšius ir aktyviai bendradarbiauja su Danija, Švedija, Vokietija, Lenkija ir Suomija. Komanda dalyvauja tarptautiniuose edukaciniuose projektuose. Jų temos yra įvairios, į jas įtrauktos tokios svarbios temos kaip „Pagalba Kaliningrado valdžios institucijoms plėtojant smulkaus ir vidutinio verslo įmones“, „Pagalba pareigūnams ir bedarbiams jų šeimos nariams įgyjant civilines specialybes vėlesniam įsidarbinimui“, „Mokymai andragogikos mokytojų ir verslumo ugdymo programų kūrimo. veikla Kaliningrade “ir panašiai.

1999 m., Įgyvendinant tarptautinį projektą, direktoriaus pavaduotojos akademiniams reikalams Lydia Ivanovna Motolyanets pastangomis buvo sukurta modeliavimo įmonė - įmonės modelis, atspindintis tikros prekybos organizacijos veiklą, veiksminga specializuota įmonė. visų lygių personalo, dirbančio smulkaus verslo srityje, kvalifikacijos tobulinimo forma.

Kolektyvo misija - garantuoti visuomenės poreikius atitinkantį išsilavinimą ir prisidėti prie viso žmogaus formavimo - yra vykdomas iki galo. Kaliningrado prekybos ir ekonomikos kolegija yra profesionalumas, atsakingumas, prestižas.