В то время как сложение и вычитание комплексных чисел удобнее делать в алгебраической форме, умножение и деление проще выполнять, используя тригонометрическую форму комплексных чисел.

Возьмем два произвольных комплексных числа, заданных в тригонометрической форме:

Перемножая эти числа, получим:

Но по формулам тригонометрии

Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы

складываются. Так как при этом модули преобразуются отдельно, а аргументы - отдельно, то выполнение умножения в тригонометрической форме проще, чем в алгебраической.

Из равенства (1) вытекают соотношения:

Поскольку деление - действие, обратное умножению, то при получаем, что

Иными словами, модуль частного равен отношению модулей делимого и делителя, а аргумент частного - разности аргументов делимого и делителя.

Остановимся теперь на геометрическом смысле умножения комплексных чисел. Формулы (1) - (3) показывают, что для нахождения произведения надо сначала увеличить модуль числа раз, не изменяя его аргумента, а затем увеличить аргумент полученного числа на не изменяя его модуля. Первая из этих операций геометрически означает гомотетию относительно точки О с коэффициентом , а вторая - поворот относительно точки О на угол, равный Считая здесь один множитель постоянным , а другой - переменным можем сформулировать результат так: формула

В то время как сложение и вычитание комплексных чисел удобнее делать в алгебраической форме, умножение и деление проще выполнять, используя тригонометрическую форму комплексных чисел.

Возьмем два произвольных комплексных числа, заданных в тригонометрической форме:

Перемножая эти числа, получим:

Но по формулам тригонометрии

Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы

складываются. Так как при этом модули преобразуются отдельно, а аргументы - отдельно, то выполнение умножения в тригонометрической форме проще, чем в алгебраической.

Из равенства (1) вытекают соотношения:

Поскольку деление - действие, обратное умножению, то при получаем, что

Иными словами, модуль частного равен отношению модулей делимого и делителя, а аргумент частного - разности аргументов делимого и делителя.

Остановимся теперь на геометрическом смысле умножения комплексных чисел. Формулы (1) - (3) показывают, что для нахождения произведения надо сначала увеличить модуль числа раз, не изменяя его аргумента, а затем увеличить аргумент полученного числа на не изменяя его модуля. Первая из этих операций геометрически означает гомотетию относительно точки О с коэффициентом , а вторая - поворот относительно точки О на угол, равный Считая здесь один множитель постоянным , а другой - переменным можем сформулировать результат так: формула

Комплексным числом называется число вида , где и – действительные числа, – так называемая мнимая единица . Число называется действительной частью () комплексного числа , число называется мнимой частью () комплексного числа .

Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости :

Как упоминалось выше, буквой принято обозначать множество действительных чисел.Множество жекомплексных чисел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой. Поэтому на чертеже следует поставить букву , обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость.

Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел

Сложение комплексных чисел

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

z 1 + z 2 = (a 1 + a 2) + i*(b 1 + b 2).

Для комплексных чисел справедливо правило первого класса: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 – от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Вычитание комплексных чисел

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

z 1 + z 2 = (a 1 – a 2) + i*(b 1 – b 2)

Умножение комплексных чисел

Основное равенство комплексных чисел:

Произведение комплексных чисел:

z 1 * z 2 = (a 1 + i*b 1)*(a 2 + i*b 2) = a 1 *a 2 + a 1 *i*b 2 + a 2 *i*b 1 + i 2 *b 1 *b 2 = a 1 *a 2 - b 1 *b 2 +i*(a 1 *b 2 +a 2 *b 1).

Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: .

Деление комплексных чисел

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение .

2 Вопрос. Комплексная плоскость. Модуль и аргументы комплексных чисел

Каждому комплексному числу z = a + i*b можно сопоставить точку с координатами (a;b) , и наоборот, каждой точке с координатами (c;d) можно сопоставить комплексное число w = c + i*d . Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие. Поэтому комплексные числа можно изображать как точки плоскости. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, обычно называют комплексной плоскостью .

Однако чаще комплексные числа изображают в виде вектора с началом в точке О, а именно, комплексное число z = a + i*b изображается радиус-вектором точки с координатами (a;b) . В этом случае изображение комплексных чисел из предыдущего примера будет таким:

Изображением суммы двух комплексных чисел , является вектор, равный сумме векторов, изображающих числа и . Иными словами, при сложении комплексных чисел складываются и векторы, их изображающие.

Пусть комплексное число z = a + i*b изображается радиус-вектором. Тогда длина этого вектора называется модулем числа z и обозначается |z| .

Угол, образованный радиус-вектором числа с осью, называетсяаргументом числа и обозначаетсяarg z . Аргумент числа определяется не однозначно, а с точностью до числа, кратного . Однако, обычно аргумент указывают в диапазоне от 0 доили в диапазоне от -до. Кроме того у числааргумент не определен.

С помощью этого соотношения можно находить аргумент комплексного числа:

причем первая формула действует, если изображение числа находится в первой или четвертой четверти, а вторая, если -- во второй или третьей. Если , то комплексное число изображается вектором на оси Oy и его аргумент равен /2или 3*/2.

Получим еще одну полезную формулу. Пусть z = a + i*b . Тогда ,

Произведение двух комплексных чисел мы определяем аналогично произведению вещественных чисел, а именно: произведение рассматривается как число, составленное из множимого, как множитель составлен из единицы.

Вектор, соответствующий комплексному числу с модулем и аргументом может быть получен из единичного вектора, длина которого равна единице и направление которого совпадает с положительным направлением оси ОХ, путем его удлинения в раз и поворота в положительном направлении на угол

Произведением некоторого вектора на вектор назовем вектор, который получится, если к вектору применить вышеуказанные удлинение и поворот, при помощи которых вектор получается из единичного вектора, причем последнему соответствует, очевидно, вещественная единица.

Если суть модули и аргументы комплексных чисел, соответствующих векторам то произведению этих векторов будет, очевидно, соответствовать комплексное число с модулем и аргументом . Мы приходим, таким образом, к следующему определению произведения комплексных чисел:

Произведением двух комплексных чисел называется такое комплексное число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей и аргумент - сумме аргументов сомножителей.

Таким образом, в том случае когда комплексные числа написаны в тригонометрической форме, будем иметь

Выведем теперь правило составления произведения для того случая, когда комплексные числа даны не в тригонометрической форме:

Пользуясь указанным выше обозначением модулей и аргументов сомножителей, можем написать

согласно определению умножения (6):

и окончательно получим

В случае сомножители являются вещественными числами и произведение приводится к произведению ахаг этих чисел. В случае равенство (7) дает

т. е. квадрат мнимой единицы равен

Вычисляя последовательно целые положительные степени , получим

и вообще, при всяком целом положительном

Правило умножения, выражаемое равенством (7), можно формулировать так: комплексные числа надо перемножать, как буквенные многочлены, считая

Если а есть комплексное число то комплексное число называется сопряженным с а, и его обозначают через а. Согласно формулам (3) имеем из равенства (7) вытекает

а следовательно,

т. е. произведение сопряженных комплексных чисел равно квадрату модуля каждого из них.

Отметим еще очевидные формулы

Из формул (4) и (7) непосредственно следует, что сложение и умножение комплексных чисел подчиняются переместительному закону, т. е. сумма не зависит от порядка слагаемых, а произведение - от порядка сомножителей. Нетрудно проверить и справедливость сочетательного и распределительного законов, выражающихся следующими тождествами:

Предоставляем сделать это читателю.

Заметим, наконец, что произведение нескольких сомножителей будет иметь модуль, равный произведению модулей сомножителей, и аргумент, равный сумме аргументов сомножителей. Таким образом, произведение комплексных чисел будет равно нулю тогда и только тогда, когда, по крайней мере, один из сомножителей равен нулю.