похідна

Обчислення похідної від математичної функції (диференціювання) є дуже частою завданням при вирішенні вищої математики. Для простих (елементарних) математичних функцій це є досить простою справою, оскільки вже давно складені і легко доступні таблиці похідних для елементарних функцій. Однак, знаходження похідної складної математичної функції не є тривіальним завданням і часто вимагає значних зусиль і тимчасових витрат.

Знайти похідну онлайн

Наш онлайн сервіс дозволяє позбутися від безглуздих довгих обчислень і знайти похідну онлайнза одну мить. Причому скориставшись нашим сервісом, розташованим на сайті www.сайт, Ви можете вирахувати похідну онлайняк від елементарної функції, так і від дуже складної, що не має рішення в аналітичному вигляді. Головними перевагами нашого сайту в порівнянні з іншими є: 1) немає жорстких вимог до способу введення математичної функції для обчислення похідної (наприклад при введенні функції синус ікс ви можете ввести її як sin x або sin (x) або sin [x] і т. д.); 2) обчислення похідної онлайн відбувається миттєво в режимі онлайні абсолютно безкоштовно; 3) ми дозволяємо знаходити похідну від функції будь-якого порядку, Змінити порядок похідної дуже легко і зрозуміло; 4) ми дозволяємо знайти похідну майже від будь-якої математичної функції онлайн, навіть дуже складної, недоступною для вирішення іншими сервісами. Що видається відповідь завжди точний і не може містити помилки.

Використання нашого сервера дозволить вам 1) обчислити похідну онлайн за вас, позбавивши від тривалих і утомливих обчислень, в ході яких ви могли б припуститися помилки, друкарської помилки; 2) якщо ви обчислюєте похідну математичної функції самостійно, то ми надаємо вам можливість порівняти отриманий результат з обчисленнями нашого сервісу і переконатися у вірності рішення або знайти закралася помилка; 3) користуватися нашим сервісом замість використання таблиць похідних простих функцій, де найчастіше необхідно час для знаходження потрібної функції.

Все що від вас вимагається, щоб знайти похідну онлайн- це скористатися нашим сервісом на

Вирішувати фізичні завдання або приклади з математики абсолютно неможливо без знань про похідну і методах її обчислення. Похідна - одне з найважливіших понять математичного аналізу. Цією фундаментальною темі ми і вирішили присвятити сьогоднішню статтю. Що таке похідна, який її фізичний та геометричний зміст, як порахувати похідну функції? Всі ці питання можна об'єднати в один: як зрозуміти похідну?

Геометричний і фізичний зміст похідної

Нехай є функція f (x) , Задана в деякому інтервалі (A, b) . Точки х і х0 належать цьому інтервалу. При зміні х змінюється і сама функція. Зміна аргументу - різниця його значень х-х0 . Ця різниця записується як дельта ікс і називається приростом аргументу. Зміною або збільшенням функції називається різниця значень функції в двох точках. Визначення похідної:

Похідна функції в точці - границя відношення приросту функції в даній точці до приросту аргументу, коли останній прямує до нуля.

Інакше це можна записати так:

Який сенс в знаходженні такої межі? А ось який:

похідна від функції в точці дорівнює тангенсу кута між віссю OX і дотичної до графіка функції в даній точці.

Фізичний зміст похідної: похідна шляху по часу дорівнює швидкості прямолінійного руху.

Дійсно, ще зі шкільних часів всім відомо, що швидкість - це приватна шляху x = f (t) і часу t . Середня швидкість за певний проміжок часу:

Щоб дізнатися швидкість руху в момент часу t0 потрібно обчислити межа:

Правило перше: виносимо константу

Константу можна винести за знак похідної. Більш того - це потрібно робити. При вирішенні прикладів з математики візьміть за правило - якщо можете спростити вираз, обов'язково спрощуйте .

Приклад. Обчислимо похідну:

Правило друге: похідна суми функцій

Похідна суми двох функцій дорівнює сумі похідних цих функцій. Те ж саме справедливо і для похідної різниці функцій.

Не будемо наводити доведення цієї теореми, а краще розглянемо практичний приклад.

Знайти похідну функції:

Правило третє: похідна добутку функцій

Похідна добутку двох диференційовних функцій обчислюється за формулою:

Приклад: знайти похідну функції:

Рішення:

Тут важливо сказати про обчисленні похідних складних функцій. Похідна складної функції дорівнює добутку похідної цієї функції по проміжному аргументу на похідну проміжного аргументу по незалежній змінній.

У вищевказаному прикладі ми зустрічаємо вираз:

В даному випадку проміжний аргумент - 8х в п'ятого ступеня. Для того, щоб обчислити похідну такого виразу спочатку вважаємо похідну зовнішньої функції з проміжного аргументу, а потім множимо на похідну безпосередньо самого проміжного аргументу по незалежній змінній.

Правило четверте: похідна приватного двох функцій

Формула для визначення похідної від приватного двох функцій:

Ми постаралися розповісти про похідні для чайників з нуля. Ця тема не так проста, як здається, тому попереджаємо: в прикладах часто зустрічаються пастки, так що будьте уважні при обчисленні похідних.

З будь-яким питанням з цієї та інших тем ви можете звернутися в студентський сервіс. За короткий термін ми допоможемо вирішити найскладнішу контрольну і розібратися з завданнями, навіть якщо ви ніколи раніше не займалися обчисленням похідних.

• Таблиця похідних експоненційних і логарифмічних функцій

Похідні простих функцій

пояснення:
Похідна показує швидкість зміни значення функції при зміні аргументу. Оскільки число не змінюється ні за яких умов - швидкість його зміни завжди дорівнює нулю.

2. похідна змінноїдорівнює одиниці
x'= 1

пояснення:
При кожному збільшенні аргументу (х) на одиницю значення функції (результату обчислень) збільшується на цю ж саму величину. Таким чином, швидкість зміни значення функції y = x точно дорівнює швидкості зміни значення аргументу.

3. Похідна змінної і множника дорівнює цьому множнику
сx' = з
приклад:
(3x) '= 3
(2x) '= 2
пояснення:
В даному випадку, при кожній зміні аргументу функції ( х) Її значення (y) зростає в зраз. Таким чином, швидкість зміни значення функції по відношенню до швидкості зміни аргументу точно дорівнює величині з.

Звідки випливає, що
(Cx + b) "= c
тобто диференціал лінійної функції y = kx + b дорівнює кутовому коефіцієнту нахилу прямої (k).

5. Похідна змінної в ступенядорівнює добутку числа цього ступеня і змінної в ступеня, зменшеної на одиницю
(X c) "= cx c-1, За умови, що x c і СX c-1, визначені а з ≠ 0
приклад:
(X 2) "= 2x
(X 3) "= 3x 2
Для запам'ятовування формули:
Знесіть ступінь змінної "вниз" як множник, а потім зменшіть саму ступінь на одиницю. Наприклад, для x 2 - двійка виявилася попереду ікси, а потім зменшена ступінь (2-1 = 1) просто дала нам 2х. Те ж саме відбулося для x 3 - трійку "спускаємо вниз", зменшуємо її на одиницю і замість куба маємо квадрат, тобто 3x 2. Трохи »не науково", але дуже просто запам'ятати.

6.похідна дроби 1 / х
(1 / х) "= - 1 / x 2
приклад:
Оскільки дріб можна представити як зведення в негативну ступінь
(1 / x) "= (x -1)", тоді можна застосувати формулу з правила 5 таблиці похідних
(X -1) "= -1x -2 = - 1 / х 2

7. похідна дроби зі змінною довільного ступеняв знаменнику
(1 / x c) "= - c / x c + 1
приклад:
(1 / x 2) "= - 2 / x 3

8. похідна кореня(Похідна змінної під квадратним коренем)
(√x) "= 1 / (2√x)або 1/2 х -1/2
приклад:
(√x) "= (х 1/2)" означає можна застосувати формулу з правила 5
(Х 1/2) "= 1/2 х -1/2 = 1 / (2√х)

9. Похідна змінної під коренем довільного ступеня
(N √x) "= 1 / (n n √x n-1)

Процес знаходження похідної функції називається дифференцированием.Похідну доводиться знаходити в ряді завдань курсу математичного аналізу. Наприклад, при знаходженні точок екстремуму і перегину графіка функції.

Як знайти?

Щоб знайти похідну функції потрібно знати таблицю похідних елементарних функцій і застосовувати основні правила диференціювання:

1. Винос константи за знак похідної: $$ (Cu) "= C (u)" $$
2. Похідна суми / різниці функцій: $$ (u \ pm v) "= (u)" \ pm (v) "$$
3. Похідна добутку двох функцій: $$ (u \ cdot v) "= u" v + uv "$$
4. Похідна дробу: $$ \ bigg (\ frac (u) (v) \ bigg) "= \ frac (u" v - uv ") (v ^ 2) $$
5. Похідна складної функції: $$ (f (g (x))) "= f" (g (x)) \ cdot g "(x) $$

приклади розв'язання

Операція відшукання похідної називається диференціюванням.

В результаті рішення задач про відшукання похідних у найпростіших (і не дуже простих) функцій по визначенню похідною як межі відношення приросту до приросту аргументу з'явилися таблиця похідних і точно певні правила диференціювання. Першими на ниві знаходження похідних потрудилися Ісаак Ньютон (1643-1727) і Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716).

Тому в наш час, щоб знайти похідну будь-якої функції, не треба обчислювати згаданий вище границя відношення приросту функції до приросту аргументу, а потрібно лише скористатися таблицею похідних і правилами диференціювання. Для знаходження похідної підходить наступний алгоритм.

Щоб знайти похідну, Треба вираз під знаком штриха розібрати на складові прості функціїі визначити, якими діями (Твір, сума, приватне)пов'язані ці функції. Далі похідні елементарних функцій знаходимо в таблиці похідних, а формули похідних твори, суми і приватного - в правилах диференціювання. Таблиця похідних і правила диференціювання дані після перших двох прикладів.

Приклад 1.Знайти похідну функції

Рішення. З правил диференціювання з'ясовуємо, що похідна суми функцій є сума похідних функцій, т. Е.

З таблиці похідних з'ясовуємо, що похідна "ікси" дорівнює одиниці, а похідна синуса - косинусу. Підставляємо ці значення в суму похідних і знаходимо необхідну умовою завдання похідну:

Приклад 2.Знайти похідну функції

Рішення. Диференціюючи як похідну суми, в якій другий доданок з постійним множником, його можна винести за знак похідної:

Якщо поки виникають питання, звідки що береться, вони, як правило, прояснюються після ознайомлення з таблицею похідних і найпростішими правилами диференціювання. До них ми і переходимо прямо зараз.

Таблиця похідних простих функцій

1. Похідна константи (числа). Будь-якого числа (1, 2, 5, 200 ...), яке є в вираженні функції. Завжди дорівнює нулю. Це дуже важливо пам'ятати, так як потрібно дуже часто
2. Похідна незалежної змінної. Найчастіше "ікси". Завжди дорівнює одиниці. Це теж важливо запам'ятати надовго
3. Похідна ступеня. В ступінь при вирішенні задач потрібно перетворювати неквадратні коріння.
4. Похідна змінної в ступені -1
5. Похідна квадратного кореня
6. Похідна синуса
7. Похідна косинуса
8. Похідна тангенса
9. Похідна котангенс
10. Похідна арксинуса
11. Похідна арккосинуса
12. Похідна арктангенса
13. Похідна арккотангенса
14. Похідна натурального логарифма
15. Похідна логарифмічної функції
16. Похідна експоненти
17. Похідна показовою функції

Правила диференціювання

1. Похідна суми або різниці
2. Похідна твори
2a. Похідна вираження, помноженого на постійний множник
3. Похідна приватного
4. Похідна складної функції

Правило 1.якщо функції

діфференцируєми в деякій точці, то в тій же точці мають похідні і функції

причому

тобто похідна алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій.

Слідство. Якщо дві диференціюються відрізняються на постійний доданок, то їх похідні рівні, Тобто

Правило 2.якщо функції

діфференцируєми в деякій точці, то в той же точці дифференцируемого і їх твір

причому

тобто похідна добутку двох функцій дорівнює сумі творів кожної з цих функцій на похідну інший.

Слідство 1. Постійний множник можна виносити за знак похідної:

Слідство 2. Похідна твори кількох диференціюються дорівнює сумі творів похідною кожного із співмножників на всі інші.

Наприклад, для трьох множників:

Правило 3.якщо функції

діфференцируєми в деякій точці і , то в цій точці дифференцируемого і їхня приватнаu / v, причому

тобто похідна приватного двох функцій дорівнює дробу, чисельник якого є різниця творів знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат колишнього чисельника.

Де що шукати на інших сторінках

При знаходженні похідної добутку і частки в реальних задачах завжди потрібно застосовувати відразу кілька правил диференціювання, тому більше прикладів на ці похідні - в статті"Похідна добутку і частки функцій".

Зауваження.Слід не плутати константу (тобто, число) як доданок в сумі і як постійний множник! У разі доданка її похідна дорівнює нулю, а в разі постійного множника вона виноситься за знак похідних. Це типова помилка, яка зустрічається на початковому етапі вивчення похідних, але в міру рішення вже декількох одно- двоскладові прикладів середній студент цієї помилки вже не робить.

А якщо при диференціюванні твори або приватного у вас з'явилося доданок u"v, в котрому u- число, наприклад, 2 або 5, тобто константа, то похідна цього числа буде дорівнює нулю і, отже, все доданок дорівнюватиме нулю (такий випадок розібраний в прикладі 10).

Інша часта помилка - механічне рішення похідною складної функції як похідною простої функції. Тому похідною складної функціїприсвячена окрема стаття. Але спочатку будемо вчитися знаходити похідні простих функцій.

По ходу не обійтися без перетворень виразів. Для цього може знадобитися відкрити в нових вікнах посібники Дії зі ступенями і коріннямі Дії з дробами .

Якщо Ви шукаєте рішення похідних дробів зі ступенями і корінням, тобто, коли функція має вигляд начебто , То йдіть на заняття "Похідна суми дробів зі ступенями і корінням".

Якщо ж перед Вами завдання на зразок , То Вам на заняття "Похідні простих тригонометричних функцій".

Покрокові приклади - як знайти похідну

Приклад 3.Знайти похідну функції

Рішення. Визначаємо частини виразу функції: все вираз являє твір, а його співмножники - суми, в другій з яких одна з складових містить постійний множник. Застосовуємо правило диференціювання твори: похідна добутку двох функцій дорівнює сумі творів кожної з цих функцій на похідну інший:

Далі застосовуємо правило диференціювання суми: похідна алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій. У нашому випадку в кожній сумі другий доданок зі знаком мінус. У кожній сумі бачимо і незалежну змінну, похідна якої дорівнює одиниці, і константу (число), похідна якої дорівнює нулю. Отже, "ікс" у нас перетворюється в одиницю, а мінус 5 - в нуль. У другому вираженні "ікс" помножений на 2, так що двійку множимо на ту ж одиницю як похідну "ікси". Отримуємо наступні значення похідних:

Підставляємо знайдені похідні в суму творів і отримуємо необхідну умовою завдання похідну всієї функції:

А перевірити рішення задачі на похідну можна на.

Приклад 4.Знайти похідну функції

Рішення. Від нас вимагається знайти похідну приватного. Застосовуємо формулу диференціювання приватного: похідна приватного двох функцій дорівнює дробу, чисельник якого є різниця творів знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат колишнього чисельника. отримуємо:

Похідну сомножителей в чисельнику ми вже знайшли в прикладі 2. Не забудемо також, що твір, що є другим співмножником в чисельнику в поточному прикладі береться зі знаком мінус:

Якщо Ви шукаєте рішення таких задач, в яких треба знайти похідну функції, де суцільне нагромадження коренів і ступенів, як, наприклад, , То ласкаво просимо на заняття "Похідна суми дробів зі ступенями і корінням" .

Якщо ж Вам потрібно дізнатися більше про похідні синусів, косинусів, тангенсів і інших тригонометричних функцій, тобто, коли функція має вигляд начебто , То Вам на урок "Похідні простих тригонометричних функцій" .

Приклад 5.Знайти похідну функції

Рішення. У даній функції бачимо твір, один із співмножників яких - квадратний корінь з незалежною змінною, з похідною якого ми ознайомилися в таблиці похідних. За правилом диференціювання твори і табличному значенню похідної квадратного кореня отримуємо:

Перевірити рішення задачі на похідну можна на калькуляторі похідних онлайн .

Приклад 6.Знайти похідну функції

Рішення. У даній функції бачимо приватне, ділене якого - квадратний корінь з незалежної змінної. За правилом диференціювання приватного, яке ми повторили і застосували в прикладі 4, і табличному значенню похідної квадратного кореня отримуємо:

Щоб позбутися від дробу в чисельнику, множимо чисельник і знаменник на.