Виберемо на площині прямокутну систему координат і будемо відкладати на осі абсцис значення аргументу х, А на осі ординат - значення функції у = f (х).

графіком функції y = f (x)називається безліч всіх точок, у яких абсциси належать області визначення функції, а ординати дорівнюють відповідним значенням функції.

Іншими словами, графік функції y = f (х) - це множина всіх точок площини, координати х, уяких задовольняють співвідношенню y = f (x).

На рис. 45 і 46 наведені графіки функцій у = 2х + 1і у = х 2 - 2х.

Строго кажучи, слід розрізняти графік функції (точне математичне визначення якого було дано вище) і накреслену криву, яка завжди дає лише більш-менш точний ескіз графіка (та й то, як правило, не тільки графіка, а лише його частини, розташованого в кінцевій частини площині). Надалі, проте, ми зазвичай будемо говорити «графік», а не «ескіз графіка».

За допомогою графіка можна знаходити значення функції в точці. Саме, якщо точка х = аналежить області визначення функції y = f (x), То для знаходження числа f (а)(Т. Е. Значення функції в точці х = а) Слід вчинити так. Потрібно через точку з абсцисою х = апровести пряму, паралельну осі ординат; ця пряма перетне графік функції y = f (x)в одній точці; ордината цієї точки і буде, в силу визначення графіка, дорівнює f (а)(Рис. 47).

Наприклад, для функції f (х) = х 2 - 2xза допомогою графіка (рис. 46) знаходимо f (-1) = 3, f (0) = 0, f (1) = -l, f (2) = 0 і т. д.

Графік функції наочно ілюструє поведінку і властивості функції. Наприклад, з розгляду рис. 46 ясно, що функція у = х 2 - 2хнабуває додатних значень при х< 0 і при х> 2, Негативні - при 0< x < 2; наименьшее значение функция у = х 2 - 2хприймає при х = 1.

Для побудови графіка функції f (x)потрібно знайти всі крапки площині, координати х,уяких задовольняють рівняння y = f (x). У більшості випадків це зробити неможливо, так як таких точок нескінченно багато. Тому графік функції зображають приблизно - з більшою чи меншою точністю. Найпростішим є метод побудови графіка по декількох точках. Він полягає в тому, що аргументу хнадають кінцеве число значень - скажімо, х 1, х 2, x 3, ..., х k і складають таблицю, в яку входять обрані значення функції.

Таблиця виглядає наступним чином:

Склавши таку таблицю, ми можемо намітити кілька точок графіка функції y = f (x). Потім, поєднуючи ці точки плавною лінією, ми і отримуємо приблизний вигляд графіка функції y = f (x).

Слід, однак, зауважити, що метод побудови графіка по декількох точках дуже ненадійний. Справді поведінку графіка між наміченими точками і поведінку його поза відрізка між крайніми з узятих точок залишається невідомим.

приклад 1. Для побудови графіка функції y = f (x)хтось склав таблицю значень аргументу і функції:

Відповідні п'ять точок показані на рис. 48.

На підставі розташування цих точок він зробив висновок, що графік функції являє собою пряму (показану на рис. 48 пунктиром). Чи можна вважати цей висновок надійним? Якщо немає додаткових міркувань, що підтверджують цей висновок, його навряд чи можна вважати надійним. надійним.

Для обґрунтування свого твердження розглянемо функцію

.

Обчислення показують, що значення цієї функції в точках -2, -1, 0, 1, 2 якраз описуються наведеною вище таблицею. Однак графік цієї функції зовсім не є прямою лінією (він показаний на рис. 49). Іншим прикладом може служити функція y = x + l + sinπx;її значення теж описуються наведеною вище таблицею.

Ці приклади показують, що в «чистому» вигляді метод побудови графіка по декількох точках ненадійний. Тому для побудови графіка заданої функції, як правило, надходять у такий спосіб. Спочатку вивчають властивості даної функції, за допомогою яких можна побудувати ескіз графіка. Потім, обчислюючи значення функції в декількох точках (вибір яких залежить від встановлених властивостей функції), знаходять відповідні точки графіка. І, нарешті, через побудовані точки проводять криву, використовуючи властивості даної функції.

Деякі (найбільш прості і часто використовувані) властивості функцій, що застосовуються для знаходження ескізу графіка, ми розглянемо пізніше, а зараз розберемо деякі часто вживані способи побудови графіків.

Графік функції у = | f (x) |.

Нерідко доводиться будувати графік функції y = | f (x)|, Де f (х) -задана функція. Нагадаємо, як це робиться. За визначенням абсолютної величини числа можна написати

Це означає, що графік функції y = | f (x) |можна отримати з графіка, функції y = f (x)наступним чином: всі точки графіка функції у = f (х), У яких ординати невід'ємні, слід залишити без зміни; далі, замість точок графіка функції y = f (x), Що мають негативні координати, слід побудувати відповідні точки графіка функції у = -f (x)(Т. Е. Частина графіка функції
y = f (x), Яка лежить нижче осі х,слід симетрично відобразити відносно осі х).

Приклад 2.Побудувати графік функції у = | х |.

Беремо графік функції у = х(Рис. 50, а) і частина цього графіка при х< 0 (Що лежить під віссю х) Симетрично відображаємо щодо осі х. В результаті ми і отримуємо графік функції у = | х |(Рис. 50, б).

приклад 3. Побудувати графік функції y = | x 2 - 2x |.

Спочатку побудуємо графік функції y = x 2 - 2x.Графік цієї функції - парабола, гілки якої спрямовані вгору, вершина параболи має координати (1; -1), її графік перетинає вісь абсцис в точках 0 і 2. На проміжку (0; 2) фукция приймає негативні значення, тому саме цю частину графіка симетрично відіб'ємо щодо осі абсцис. На малюнку 51 побудований графік функції у = | х 2 2х |, Виходячи з графіка функції у = х 2 - 2x

Графік функції y = f (x) + g (x)

Розглянемо задачу побудови графіка функції y = f (x) + g (x).якщо задані графіки функцій y = f (x)і y = g (x).

Зауважимо, що областю визначення функції y = | f (x) + g (х) | є безліч всіх тих значень х, для яких визначені обидві функції y = f (x) і у = g (х), т. е. ця область визначення є перетин областей визначення, функцій f (x) і g (x).

нехай точки (Х 0, y 1) і (Х 0, у 2) Відповідно належать графіками функцій y = f (x)і y = g (х), Т. Е. Y 1 = f (x 0), y 2 = g (х 0).Тоді точка (x0 ;. y1 + y2) належить графіку функції у = f (х) + g (х)(бо f (х 0) + g (x 0) = Y 1 + y2) ,. причому будь-яка точка графіка функції y = f (x) + g (x)може бути отримана таким чином. Отже, графік функції у = f (х) + g (x)можна отримати з графіків функцій y = f (x). і y = g (х)заміною кожної точки ( х n, у 1) графіка функції y = f (x)точкою (Х n, y 1 + y 2),де у 2 = g (x n), Т. Е. Зрушенням кожної точки ( х n, у 1) Графіка функції y = f (x)вздовж осі уна величину y 1 = g (х n). При цьому розглядаються тільки такі точки х n для яких визначені обидві функції y = f (x)і y = g (x).

Такий метод побудови графіка функції y = f (x) + g (х) Називається складанням графіків функцій y = f (x)і y = g (x)

приклад 4. На малюнку методом складання графіків побудований графік функції
y = x + sinx.

При побудові графіка функції y = x + sinxми вважали, що f (x) = x,а g (x) = sinx.Для побудови графіка функції виберемо точки з aбціссамі -1,5π ,, -0,5, 0, 0,5 ,, 1,5, 2. Значення f (x) = x, g (x) = sinx, y = x + sinxобчислимо в обраних точках і результати помістимо в таблиці.

Функція y = x ^ 2 називається квадратичною функцією. Графіком квадратичної функції є парабола. Загальний вигляд параболи представлений на малюнку нижче.

квадратична функція

Рис 1. Загальний вигляд параболи

Як видно з графіка, він симетричний щодо осі Оу. Ось Оу називається віссю симетрії параболи. Це означає, що якщо провести на графіку пряму паралельну осі Ох вище це осі. То вона перетне параболу в двох точках. Відстань від цих точок до осі Оу буде однаковим.

Вісь симетрії розділяє графік параболи як би на дві частини. Ці частини називаються гілками параболи. А точка параболи яка лежить на осі симетрії називається вершиною параболи. Тобто вісь симетрії проходить через вершину параболи. Координати цієї точки (0; 0).

Основні властивості квадратичної функції

1. При х = 0, у = 0, і у> 0 при х0

2. Мінімальне значення квадратична функція досягає в своїй вершині. Ymin при x = 0; Слід також зауважити, що максимального значення у функції не існує.

3. Функція убуває на проміжку (-∞; 0] і зростає на проміжку; графік f (х) = х + 2 - це пряма, паралельна прямій f (х) = х, але зрушена на дві одиниці вгору і тому проходить через точку з координатами (0,2) (тому що постійна дорівнює 2).

Побудова графіка складної функції

Знайдіть нулі функції.Нулі функції - це значення змінної «х», при яких у = 0, тобто це точки перетину графіка з віссю Х. Майте на увазі, що нулі мають не всі функції, але це перший крок процесу побудови графіка будь-якої функції. Щоб знайти нулі функції, прирівняти її до нуля. наприклад:

Знайдіть і позначте горизонтальні асимптоти.Асимптота - це пряма, до якої графік функції наближається, але ніколи не перетинає її (тобто в цій області функція не визначена, наприклад, при розподілі на 0). Асимптоти відзначте пунктирною лінією. Якщо змінна «х» знаходиться в знаменнику дробу (наприклад, y = 1 4 - x 2 (\ displaystyle y = (\ frac (1) (4-x ^ (2))))), Прирівняти знаменник до нуля і знайдіть «х». В отриманих значення змінної «х» функція не визначена (в нашому прикладі проведіть пунктирні лінії через х = 2 і х = -2), тому що на 0 ділити не можна. Але асимптоти існують не тільки у випадках, коли функція містить дробове вираження. Тому рекомендується користуватися здоровим глуздом: