наприклад:

\ (\ Begin (cases) 5x + 2≥0 \\ x<2x+1\\x-4>2 \ end (cases) \)

\ (\ Begin (cases) x ^ 2-55x +250<(x-14)^2\\x^2-55x+250≥0\\x-14>0 \ end (cases) \)

\ (\ Begin (cases) (x ^ 2 + 1) (x ^ 2 + 3) (x ^ 2-1) ≥0 \\ x<3\end{cases}\)

Рішення системи нерівностей

щоб вирішити систему нерівностейпотрібно знайти значення іксів, які підійдуть усім неравенствам в системі - це і означає, що вони виконуються одночасно.

Приклад. Вирішимо систему \ (\ begin (cases) x> 4 \\ x \ leq7 \ end (cases) \)
Рішення: Перше нерівність стає вірним, якщо ікс більше \ (4 \). Тобто, рішення першої нерівності - все значення іксів з \ ((4; \ infty) \), або на числової осі:

Другому нерівності підійдуть значення іксів менші ніж 7, тобто будь-який ікс з інтервалу \ ((- \ infty; 7] \) або на числової осі:

А які значення підійдуть обом нерівностям? Ті, які належать обом проміжків, тобто де проміжки перетинаються.

відповідь: \((4;7]\)

Як ви могли помітити для перетину рішень нерівностей в системі зручно використовувати числові осі.

Загальний принцип рішення систем нерівностей:потрібно знайти рішення кожного нерівності, а потім перетнути ці рішення за допомогою числової прямої.

приклад:(Завдання з ОГЕ)Вирішити систему \ (\ begin (cases) 7 (3x + 2) -3 (7x + 2)> 2x \\ (x-5) (x + 8)<0\end{cases}\)

\ (\ Begin (cases) 7 (3x + 2) -3 (7x + 2)> 2x \\ (x-5) (x + 8)<0\end{cases}\)	Давайте кожне нерівність вирішимо окремо від іншого.
	Перевернемо вийшло нерівність.
	Поділимо все нерівність на \ (2 \).
	Запишемо відповідь для першого нерівності.
\ (X∈ (-∞; 4) \)	Тепер вирішимо друга нерівність.
2) \ ((x-5) (x + 8)<0\)	Нерівність вже в ідеальному вигляді для застосування.
	Запишемо відповідь для другого нерівності.
	Об'єднаємо обидва рішення за допомогою числових осей.
	Випишемо в відповідь проміжок, на якому є рішення обох нерівностей - і першого, і другого.

відповідь: \((-8;4)\)

приклад:(Завдання з ОГЕ)Вирішити систему \ (\ begin (cases) \ frac (10-2x) (3 + (5-2x) ^ 2) ≥0 \\ 2-7x≤14-3x \ end (cases) \)

\ (\ Begin (cases) \ frac (10-2x) (3 + (5-2x) ^ 2) ≥0 \\ 2-7x≤14-3x \ end (cases) \)	Знову будемо вирішувати нерівності окремо.
1) \ (\ frac (10-2x) (3 + (5-2x) ^ 2) \) \ (≥0 \)	Якщо вас налякав знаменник - не бійтеся, зараз ми його приберемо. Справа в тому, що \ (3+ (5-2x) ^ 2 \) - завжди позитивне вираження. Посудіть самі: \ ((5-2x) ^ 2 \) через квадрата або позитивно, або дорівнює нулю. \ ((5-2x) ^ 2 + 3 \) - точно позитивно. Значить можна нерівність сміливо множити на \ (3+ (5-2x) ^ 2 \)
	Перед нами звичайна - висловимо \ (x \). Для цього перенесемо \ (10 ​​\) в праву частину.
	Поділимо нерівність на \ (- 2 \). Так як число негативне міняємо знак нерівності.
	Відзначимо рішення на числовій прямій.
	Запишемо відповідь до першого нерівності.
\ (X∈ (-∞; 5] \)	На даному етапі головне не забути, що є друга нерівність.
2) \ (2-7x≤14-3x \)	Знову лінійне нерівність - знову висловлюємо \ (x \).
\ (- 7x + 3x≤14-2 \)	Наводимо подібні доданки.
	Ділимо всі нерівність на \ (- 4 \), перевернувши при цьому знак.
	Зобразимо рішення на числової осі і випишемо відповідь для цієї нерівності.
\ (X∈ [-3; ∞) \)	А тепер об'єднаємо рішення.
	Запишемо відповідь.

відповідь: \([-3;5]\)

приклад: Вирішити систему \ (\ begin (cases) x ^ 2-55x +250<(x-14)^2\\x^2-55x+250≥0\\x-14>0 \ end (cases) \)

Рішення нерівностей онлайн

Перед тим як вирішувати нерівності, необхідно добре засвоїти як вирішуються рівняння.

Не важливо яким є нерівність - строгим () або нестрогим (≤, ≥), насамперед приступають до вирішення рівняння, замінивши знак нерівності на рівність (=).

Пояснимо що означає вирішити нерівність?

Після вивчення рівнянь в голові у школяра складається наступна картина: потрібно знайти такі значення змінної, при яких обидві частини рівняння приймають однакові значення. Іншими словами, знайти всі точки, в яких виконується рівність. Все правильно!

Коли говорять про нерівностях, мають на увазі знаходження інтервалів (відрізків), на яких виконується нерівність. Якщо в нерівності дві змінні, то рішенням будуть вже не інтервали, а якісь площі на площині. Здогадайтеся самі, що буде рішенням нерівності від трьох змінних?

Як вирішувати нерівності?

Універсальним способом вирішення нерівностей вважають метод інтервалів (він же метод проміжків), який полягає у визначенні всіх інтервалів, в межах яких буде виконуватися заданий нерівність.

Не вдаючись в тип нерівності, в даному випадку це не суть, потрібно вирішити відповідне рівняння і визначити його коріння з подальшим позначенням цих рішень на числової осі.

Як правильно записувати розв'язання нерівності?

Коли ви визначили інтервали рішень нерівності, потрібно грамотно виписати саме рішення. Є важливий нюанс - чи входять межі інтервалів в рішення?

Тут все просто. Якщо рішення рівняння задовольняє ОДЗ і нерівність є нестрогим, то межа інтервалу входить в рішення нерівності. В іншому випадку - ні.

Розглядаючи кожен інтервал, рішенням нерівності може виявитися сам інтервал, або напівінтервал (коли одна з його меж задовольняє нерівності), або відрізок - інтервал разом з його межами.

Важливий момент

Не думайте, що рішенням нерівності можуть бути тільки інтервали, напівінтервалів і відрізки. Ні, в рішення можуть входити і окремо взяті точки.

Наприклад, у нерівності | x | ≤0 всього одне рішення - це точка 0.

А у нерівності | x |

Для чого потрібен калькулятор нерівностей?

Калькулятор нерівностей видає правильний підсумковий відповідь. При цьому в більшості випадків наводиться ілюстрація числової осі або площини. Видно, чи входять межі інтервалів в рішення чи ні - точки відображаються зафарбованими або проколотими.

Завдяки онлайн калькулятору нерівностей можна перевірити чи правильно ви знайшли коріння рівняння, відзначили їх на числовій осі і перевірили на інтервалах (і кордонах) виконання умови нерівності?

Якщо ваша відповідь розходиться з відповіддю калькулятора, то однозначно потрібно перевірити ще раз своє рішення і виявити допущену помилку.

Рішення нерівності з двома змінними, А тим більше системи нерівностей з двома змінними, Представляється досить складним завданням. Однак є простий алгоритм, який допомагає легко і без особливих зусиль вирішувати на перший погляд дуже складні завдання такого роду. Спробуємо в ньому розібратися.

Нехай ми маємо нерівність з двома змінними одного з наступних видів:

y> f (x); y ≥ f (x); y< f(x); y ≤ f(x).

Для зображення безлічі рішень такого нерівності на координатної площині надходять у такий спосіб:

1. Будуємо графік функції y = f (x), який розбиває площину на дві області.

2. Вибираємо будь-яку з отриманих областей і розглядаємо в ній довільну точку. Перевіряємо здійсненність вихідного нерівності для цієї точки. Якщо в результаті перевірки виходить правильне числове нерівність, то робимо висновок, що вихідне нерівність виконується у всій області, якій належить обрана точка. Таким чином, безліччю рішень нерівності - область, якій належить обрана точка. Якщо в результаті перевірки виходить невірне числове нерівність, то безліччю рішень нерівності буде друга область, якої обрана точка не належить.

3. Якщо нерівність суворе, то межі області, тобто точки графіка функції y = f (x), не включають в безліч рішень і кордон зображують пунктиром. Якщо нерівність Нечитка, то межі області, тобто точки графіка функції y = f (x), включають в безліч рішень даного нерівності і кордон в такому випадку зображують суцільною лінією.
А тепер розглянемо кілька завдань на цю тему.

Завдання 1.

Яка безліч точок задається нерівністю x · y ≤ 4?

Рішення.

1) Будуємо графік рівняння x · y = 4. Для цього спочатку перетворимо його. Очевидно, що x в даному випадку не звертається в 0, так як інакше ми б мали 0 · y = 4, що невірно. Значить, можемо розділити наше рівняння на x. Отримаємо: y = 4 / x. Графіком даної функції є гіпербола. Вона розбиває всю площину на дві області: ту, що між двома гілками гіперболи і ту, що зовні їх.

2) Виберемо з першої області довільну точку, нехай це буде точка (4; 2).
Перевіряємо нерівність: 4 · 2 ≤ 4 - невірно.

Значить, точки даної області не задовольняють вихідному нерівності. Тоді можемо зробити висновок про те, що безліччю рішень нерівності буде друга область, якої обрана точка не належить.

3) Так як нерівність Нечитка, то граничні точки, тобто точки графіка функції y = 4 / x, малюємо суцільною лінією.

Закрасимо безліч точок, яке задає початкове нерівність, жовтим кольором (Рис. 1).

Завдання 2.

Зобразити область, задану на координатної площині системою
(Y> x 2 + 2;
(Y + x> 1;
(X 2 + y 2 ≤ 9.

Рішення.

Будуємо для початку графіки наступних функцій (Рис. 2):

y = x 2 + 2 - парабола,

y + x = 1 - пряма

x 2 + y 2 = 9 - окружність.

1) y> x 2 + 2.

Беремо точку (0; 5), яка лежить вище графіка функції.
Перевіряємо нерівність: 5> 0 2 + 2 - вірно.

Отже, всі крапки, що лежать вище даної параболи y = x 2 + 2, задовольняють першому нерівності системи. Закрасимо їх жовтим кольором.

2) y + x> 1.

Беремо точку (0; 3), яка лежить вище графіка функції.
Перевіряємо нерівність: 3 + 0> 1 - вірно.

Отже, всі крапки, що лежать вище прямої y + x = 1, задовольняють другому нерівності системи. Закрасимо їх зеленої штрихуванням.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

Беремо точку (0; -4), яка лежить поза колом x 2 + y 2 = 9.
Перевіряємо нерівність: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 - невірно.

Отже, всі крапки, що лежать поза окружності x 2 + y 2 = 9, не задовольняють третього нерівності системи. Тоді можемо зробити висновок про те, що всі крапки, що лежать всередині кола x 2 + y 2 = 9, задовольняють третього нерівності системи. Закрасимо їх фіолетовою штрихуванням.

Не забуваємо про те, що якщо нерівність суворе, то відповідну граничну лінію слід малювати пунктиром. Отримуємо наступну картинку (Рис. 3).

(Рис. 4).

Завдання 3.

Зобразити область, задану на координатної площині системою:
(X 2 + y 2 ≤ 16;
(X ≥ -y;
(X 2 + y 2 ≥ 4.

Рішення.

Будуємо для початку графіки наступних функцій:

x 2 + y 2 = 16 - окружність,

x = -y - пряма

x 2 + y 2 = 4 - окружність (Рис. 5).

Тепер розбираємося з кожним нерівністю окремо.

1) x 2 + y 2 ≤ 16.

Беремо точку (0; 0), яка лежить всередині кола x 2 + y 2 = 16.
Перевіряємо нерівність: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 - вірно.

Отже, всі крапки, що лежать всередині кола x 2 + y 2 = 16, задовольняють першому нерівності системи.
Закрасимо їх червоною штрихуванням.

Беремо точку (1; 1), яка лежить вище графіка функції.
Перевіряємо нерівність: 1 ≥ -1 - вірно.

Отже, всі крапки, що лежать вище прямої x = -y, задовольняють другому нерівності системи. Закрасимо їх синьою штрихуванням.

3) x 2 + y 2 ≥ 4.

Беремо точку (0; 5), яка лежить поза колом x 2 + y 2 = 4.
Перевіряємо нерівність: 0 2 +5 2 ≥ 4 - вірно.

Отже, всі крапки, що лежать поза окружності x 2 + y 2 = 4, задовольняють третього нерівності системи. Закрасимо їх блакитним кольором.

У цьому завданню всі нерівності несуворі, значить, все кордону малюємо суцільною лінією. Отримуємо наступну картинку (Рис. 6).

Шукана область - це область, де всі три розфарбованих області перетинаються один з одним (Рис 7).

Залишилися питання? Не знаєте, як вирішити систему нерівностей з двома змінними?
Щоб отримати допомогу репетитора - зареєструйтеся.
Перший урок - безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Нерівності і системи нерівностей - це одна з тем, яка проходиться в середній школі з алгебри. За рівнем складності вона є не найважчим, т. К. Має нехитрі правила (про них трохи пізніше). Як правило, рішення систем нерівностей школярі засвоюють досить легко. Це пов'язано ще і з тим, що вчителі просто "натаскувати" своїх учнів з даної теми. І вони не можуть цього не робити, адже вона вивчається і в подальшому з застосуванням інших математичних величин, а також перевіряється на ОГЕ і ЄДІ. У шкільних підручниках тема, присвячена неравенствам і системам нерівностей, розкрита дуже докладно, тому якщо ви збираєтеся її вивчити, то найкраще вдатися саме до них. Дана стаття лише переказує великі матеріали, і в ній можуть бути деякі опущення.

Поняття системи нерівностей

Якщо звернутися до наукового мови, то можна дати визначення поняттю "система нерівностей". Це така математична модель, яка представляє собою кілька нерівностей. Від даної моделі, звичайно ж, потрібно рішення, і в його якості виступатиме загальний відповідь для всіх нерівностей системи, запропонованої в завданні (зазвичай в ньому так і пишуть, наприклад: "Вирішіть систему нерівностей 4 x + 1> 2 і 30 - x > 6 ... "). Однак перед тим як перейти до видів і методів рішень, потрібно ще де в чому розібратися.

Системи нерівностей і системи рівнянь

У процесі вивчення нової теми дуже часто виникають непорозуміння. З одного боку, все ясно і швидше хочеться приступити до вирішення завдань, а з іншого - якісь моменти залишаються в "тіні", не зовсім добре осмислюються. Також деякі елементи вже отриманих знань можуть переплітатися з новими. В результаті такого "накладення" часто трапляються помилки.

Тому перед тим як приступити до розбору нашої теми, слід згадати про відмінності рівнянь і нерівностей, їх систем. Для цього потрібно ще раз пояснити, що представляють собою дані математичні поняття. Рівняння - це завжди рівність, і воно завжди чогось одно (в математиці це слово позначається знаком "="). Нерівність же являє собою таку модель, в якій одна величина або більше, або менше іншого, або містить в собі твердження, що вони неоднакові. Таким чином, в першому випадку доречно говорити про рівність, а в другому, як би це очевидно не звучало з самої назви, про нерівність вихідних даних. Системи рівнянь і нерівностей один від одного практично не відрізняються і методи їх вирішення однакові. Єдина відмінність полягає в тому, що в першому випадку використовуються рівності, а в другому застосовуються нерівності.

види нерівностей

Виділяють два види нерівностей: числові і з невідомої змінної. Перший тип являє собою надані величини (цифри), нерівні одна одній, наприклад, 8> 10. Другий - це нерівності, що містять в собі невідому змінну (позначається будь-якої буквою латинського алфавіту, найчастіше X). Дана змінна вимагає свого знаходження. Залежно від того, скільки їх, в математичної моделі розрізняють нерівності з однією (складають систему нерівностей з однією змінною) або декількома змінними (складають систему нерівностей з декількома змінними).

Два останні види за ступенем своєї побудови і рівнем складності рішення діляться на прості і складні. Прості називають ще лінійними нерівностями. Вони, в свою чергу, поділяються на строгі і несуворі. Суворі конкретно "кажуть", що одна величина обов'язково повинна бути або менше, або більше, тому це в чистому вигляді нерівність. Можна навести кілька прикладів: 8 x + 9> 2, 100 - 3 x> 5 і т. Д. Нестрогие включають в себе ще й рівність. Тобто одна величина може бути більше або дорівнює іншої величини (знак "≥") або менше або дорівнює іншої величини (знак "≤"). Ще в лінійних нерівностях змінна не варто в корені, квадраті, не ділиться на що-небудь, через що вони називаються "простими". Складні включають в себе невідомі змінні, перебування яких вимагає виконання більшої кількості математичних операцій. Вони часто перебувають в квадраті, кубі або під коренем, можуть бути модульними, логарифмічними, дробовими тощо. Але оскільки нашим завданням стає необхідність розібратися в рішенні систем нерівностей, то ми поговоримо про систему лінійних нерівностей. Однак перед цим слід сказати пару слів про їхні властивості.

властивості нерівностей

До властивостей нерівностей відносяться наступні положення:

1. Знак нерівності змінюється на протилежний, якщо застосовується операція по зміні проходження сторін (наприклад, якщо t 1 ≤ t 2, то t 2 ≥ t 1).
2. Обидві частини нерівності дозволяють додати до себе одне і те ж число (наприклад, якщо t 1 ≤ t 2, то t 1 + число ≤ t 2 + число).
3. Два і більше нерівностей, які мають знак одного напрямку, дозволяють складати їх ліві і праві частини (наприклад, якщо t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, то t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4).
4. Обидві частини нерівності дозволяють себе множити або ділити на одне й те саме додатне число (наприклад, якщо t 1 ≤ t 2 і число ≤ 0, то число · t 1 ≥ число · t 2).
5. Два і більше нерівностей, які мають позитивні члени і знак одного напрямку, дозволяють множити себе один на одного (наприклад, якщо t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 то t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
6. Обидві частини нерівності дозволяють себе множити або ділити на одне й те саме від'ємне число, але при цьому знак нерівності змінюється (наприклад, якщо t 1 ≤ t 2 і число ≤ 0, то число · t 1 ≥ число · t 2).
7. Всі нерівності мають властивість транзитивності (наприклад, якщо t 1 ≤ t 2 і t 2 ≤ t 3, то t 1 ≤ t 3).

Тепер після вивчення основних положень теорії, що відноситься до нерівностей, можна приступити безпосередньо до розгляду правил вирішення їхніх систем.

Рішення систем нерівностей. Загальні відомості. способи вирішення

Як вже говорилося вище, рішенням виступають значення змінної, відповідні до всіх нерівностей даної системи. Рішення систем нерівностей - це здійснення математичних дій, які в підсумку призводять до вирішення всієї системи або доводять, що у неї рішень немає. У такому випадку говорять, що змінна відноситься до порожнього числовому безлічі (записується так: буква, що позначає змінну∈ (знак "належить") ø (знак "порожня множина"), наприклад, x ∈ ø (читається так: "Змінна" ікс "належить порожньому безлічі"). Виділяють кілька способів вирішення систем нерівностей: графічний, алгебраїчний, спосіб підстановки. Варто зауважити, що вони відносяться до тих математичних моделей, які мають кілька невідомих змінних. У разі, коли є тільки одна, підійде спосіб інтервалів.

графічний спосіб

Дозволяє вирішити систему нерівностей з декількома невідомими величинами (від двох і вище). Завдяки цьому методу система лінійних нерівностей вирішується досить легко і швидко, тому він є найпоширенішим способом. Це пояснюється тим, що побудова графіка скорочує обсяг написання математичних операцій. Особливо стає приємним трохи відволіктися від ручки, взяти в руки олівець з лінійкою і приступити до подальших дій з їх допомогою, коли виконано багато роботи і хочеться невеликого різноманітності. Однак даний метод деякі недолюблюють через те, що доводиться відриватися від завдання і перемикати свою розумову діяльність на малювання. Тим не менш, це дуже дієвий спосіб.

Щоб виконати рішення системи нерівностей за допомогою графічного способу, необхідно всі члени кожного нерівності перенести в їх ліву частину. Знаки поміняються на протилежні, праворуч слід записати нуль, потім потрібно записати кожне нерівність окремо. У підсумку з нерівностей вийдуть функції. Після цього можна діставати олівець і лінійку: тепер потрібно намалювати графік кожної отриманої функції. Всі безліч чисел, яке виявиться в інтервалі їх перетину, буде рішенням системи нерівностей.

алгебраїчний спосіб

Дозволяє вирішити систему нерівностей з двома невідомими змінними. Також нерівності повинні володіти однаковим знаком нерівності (т. Е. Повинні містити або тільки знак "більше", або тільки знак "менше" і ін.) Незважаючи на свою обмеженість, цей спосіб до того ж і більш складний. Він застосовується в двох етапах.

Перший включає себе дії щодо позбавлення від однієї з невідомих змінних. Спочатку потрібно її вибрати, потім перевірити на наявність чисел перед цієї змінної. Якщо їх немає (тоді змінна буде виглядати, як одиночна буква), то нічого не змінюємо, якщо є (вид змінної буде, наприклад, таким - 5y або 12y), то тоді необхідно зробити так, щоб в кожному нерівності число перед обраної змінної було однаковим. Для цього потрібно помножити кожен член нерівностей на загальний множник, наприклад, якщо в першому нерівності записано 3y, а в другому 5y, то необхідно все члени першої нерівності помножити на 5, а другого - на 3. Вийде 15y і 15y відповідно.

Другий етап рішення. Потрібно ліву частину кожного нерівності перенести в їх праві частини зі зміною знака кожного члена на протилежний, праворуч записати нуль. Потім настає найцікавіше: позбавлення від обраної змінної (по-іншому це називається "скорочення") під час складання нерівностей. Вийде нерівність з однією змінною, яке необхідно вирішити. Після цього слід виконати те ж саме, тільки з іншого невідомої змінної. Отримані результати і будуть рішенням системи.

спосіб підстановки

Дозволяє вирішити систему нерівностей при наявності можливості ввести нову змінну. Зазвичай цей спосіб застосовується, коли невідома змінна в одному члені нерівності зведена в четверту ступінь, а в іншому члені має квадрат. Таким чином, даний метод спрямований на зниження ступеня нерівностей в системі. Нерівність зразка х 4 - х 2 - 1 ≤ 0 даними способом вирішується так. Вводиться нова змінна, наприклад, t. Пишуть: "Нехай t = х 2", далі модель переписують в новому вигляді. У нашому випадку вийде t 2 - t - 1 ≤0. Це нерівність потрібно вирішити методом інтервалів (про нього трохи пізніше), потім назад повернутися до змінної X, потім зробити те ж саме з іншим нерівністю. Отримані відповіді будуть рішенням системи.

метод інтервалів

Це найпростіший спосіб вирішення систем нерівностей, і в той же час він є універсальним і поширеним. Він використовується і в середній школі, і навіть у вищій. Його суть полягає в тому, що учень шукає проміжки нерівності на числовій прямій, яка малюється в зошиті (це не графік, а просто звичайна пряма з числами). Там, де проміжки нерівностей перетинаються, знаходиться рішення системи. Щоб використовувати метод інтервалів, необхідно виконати наступні кроки:

1. Всі члени кожного нерівності переносяться в ліву частину зі зміною знака на протилежний (праворуч пишеться нуль).
2. Нерівності виписуються окремо, визначається рішення кожного з них.
3. Знаходяться перетину нерівностей на числовій прямій. Всі числа, що знаходяться на цих перетинах, будуть рішенням.

Який спосіб використовувати?

Очевидно той, який здається найбільш легким і зручним, але бувають такі випадки, коли завдання вимагають певного методу. Найчастіше в них написано, що потрібно вирішувати або за допомогою графіка, або методом інтервалів. Алгебраїчний спосіб і підстановка використовуються вкрай рідко або не використовуються взагалі, оскільки вони досить складні і заплутані, та й до того ж більше застосовувана для вирішення систем рівнянь, а не нерівностей, тому слід вдаватися до малювання графіків і інтервалів. Вони привносять наочність, яка не може не сприяти ефективному і швидкому проведенню математичних операцій.

Якщо щось не виходить

Під час вивчення тієї чи іншої теми з алгебри, природно, можуть виникнути проблеми з її розумінням. І це нормально, адже наш мозок влаштований так, що він не здатний усвідомити складний матеріал за один раз. Часто потрібно перечитати параграф, скористатися допомогою вчителя або зайнятися практикою за рішенням типових завдань. У нашому випадку вони виглядають, наприклад, так: "Вирішіть систему нерівностей 3 x + 1 ≥ 0 і 2 x - 1> 3". Таким чином, особисте прагнення, допомога сторонніх людей і практика допомагають в розумінні будь-якої складної теми.

Решебник?

А ще дуже добре підійде решебник, тільки не для списування домашніх завдань, а для самодопомоги. У них можна знайти системи нерівностей з рішенням, подивитися на них (як на шаблони), спробувати зрозуміти, як саме автор рішення впорався з поставленим завданням, а потім спробувати виконати подібне в самостійному порядку.

висновки

Алгебра - це один з найскладніших предметів в школі. Ну що ж тут поробиш? Математика завжди була такою: кому-то вона дається легко, а комусь з утрудненням. Але в будь-якому випадку слід пам'ятати, що загальноосвітня програма побудована так, що з нею може впоратися будь-який учень. До того ж, треба мати на увазі величезну кількість помічників. Деякі з них були згадані вище.

У цій статті зібрана початкова інформація про системи нерівностей. Тут дано визначення системи нерівностей і визначення рішення системи нерівностей. А також перераховані основні види систем, з якими найбільш часто доводиться працювати на уроках алгебри в школі, і наведені приклади.

Навігація по сторінці.

Що таке система нерівностей?

Системи нерівностей зручно визначити аналогічно тому, як ми вводили визначення системи рівнянь, тобто, по виду записи і змістом, вкладеному в неї.

Визначення.

система нерівностей- це запис, що представляє собою деяке число записаних один під одним нерівностей, об'єднаних зліва фігурною дужкою, і позначає безліч всіх рішень, які є одночасно рішеннями кожного нерівності системи.

Наведемо приклад системи нерівностей. Візьмемо два довільних, наприклад, 2 · x-3> 0 і 5-x≥4 · x-11, запишемо їх одне під іншим
2 · x-3> 0,
5-x≥4 · x-11
і об'єднаємо знаком системи - фігурною дужкою, в результаті отримаємо систему нерівностей такого виду:

Аналогічно дається уявлення про системи нерівностей в шкільних підручниках. Варто відзначити, що в них визначення даються більш вузько: для нерівностей з однією змінною або з двома змінними.

Основні види систем нерівностей

Зрозуміло, що можна скласти нескінченно багато різних систем нерівностей. Щоб не заблукати в цьому різноманітті, їх доцільно розглядати по групах, які мають свої характерні ознаки. Всі системи нерівностей можна розбити на групи за такими критеріями:

• по числу нерівностей в системі;
• по числу змінних, що беруть участь у записі;
• по виду самих нерівностей.

За кількістю нерівностей, що входять в запис, розрізняють системи двох, трьох, чотирьох і т.д. нерівностей. У попередньому пункті ми навели приклад системи, яка є системою двох нерівностей. Покажемо ще приклад системи чотирьох нерівностей .

Окремо скажемо, що немає сенсу говорити про систему одного нерівності, в цьому випадку по суті мова йде про самому нерівності, а не про систему.

Якщо дивитися на число змінних, то мають місце системи нерівностей з однією, двома, трьома і т.д. змінними (або, як ще кажуть, невідомими). Подивіться на останню систему нерівностей, записану двома абзацами вище. Це система з трьома змінними x, y і z. Зверніть увагу, що її два перших нерівності містять не всі три змінні, а лише по одній з них. В контексті цієї системи їх варто розуміти як нерівності з трьома змінними виду x + 0 · y + 0 · z≥-2 і 0 · x + y + 0 · z≤5 відповідно. Зауважимо, що в школі основна увага приділяється неравенствам з однією змінною.

Залишилося обговорити, які види нерівностей беруть участь у записі систем. У школі в основному розглядають системи двох нерівностей (рідше - трьох, ще рідше - чотирьох і більше) з однією або двома змінними, причому самі нерівності зазвичай є цілими нерівностямипершого або другого ступеня (рідше - більш високих ступенів або дрібно раціональними). Але не дивуйтеся, якщо в матеріалах по підготовці до ОГЕ зіткнетеся з системами нерівностей, що містять ірраціональні, логарифмічні, показові і інші нерівності. Як приклад наведемо систему нерівностей , Вона взята з.

Що називається рішенням системи нерівностей?

Введемо ще одне визначення, пов'язане з системами нерівностей, - визначення рішення системи нерівностей:

Визначення.

Рішенням системи нерівностей з однією змінноюназивається таке значення змінної, що звертає кожне з нерівностей системи в вірне, іншими словами, що є рішенням кожного нерівності системи.

Пояснимо на прикладі. Візьмемо систему двох нерівностей з однією змінною. Візьмемо значення змінної x, рівну 8, воно є рішенням нашої системи нерівностей за визначенням, так як його підстановка в нерівності системи дає два вірних числових нерівності 8> 7 і 2-3 · 8≤0. Навпаки, одиниця не є рішенням системи, так як при її підстановці замість змінної x перша нерівність звернеться в невірне числове нерівність 1> 7.

Аналогічно можна ввести визначення рішення системи нерівностей з двома, трьома і великим числом змінних:

Визначення.

Рішенням системи нерівностей з двома, трьома і т.д. змінниминазивається пара, трійка і т.д. значень цих змінних, яка одночасно є рішенням кожного нерівності системи, тобто, звертає кожне нерівність системи в правильну числову нерівність.

Наприклад, пара значень x = 1, y = 2 або в іншому записі (1, 2) є рішенням системи нерівностей з двома змінними, так як 1 + 2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Системи нерівностей можуть не мати рішень, можуть мати кінцеве число рішень, а можуть мати і нескінченно багато рішень. Часто говорять про безліч рішень системи нерівностей. Коли система не має рішень, то має місце порожнє безліч її рішень. Коли рішень кінцеве число, то безліч рішень містить кінцеве число елементів, а коли рішень нескінченно багато, то і безліч рішень складається з нескінченного числа елементів.

У деяких джерелах вводяться визначення приватного і загального рішення системи нерівностей, як, наприклад, в підручниках Мордкович. під приватним рішенням системи нерівностейрозуміють її одне окремо взяте рішення. В свою чергу спільне рішення системи нерівностей- це все її приватні рішення. Однак в цих термінах є сенс лише тоді, коли потрібно особливо підкреслити, про яке рішення йдеться, але зазвичай це і так зрозуміло з контексту, тому набагато частіше говорять просто «рішення системи нерівностей».

З введених в цій статті визначень системи нерівностей і її рішень випливає, що рішення системи нерівностей є перетин множин рішень всіх нерівностей цієї системи.

Список літератури.

1. алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ / [Ю. Н. Макаричєв, Н. Г. Миндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; під ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М.: Просвещение, 2008. - 271 с. : Ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. алгебра: 9 клас: навч. для загальноосвіт. установ / [Ю. Н. Макаричєв, Н. Г. Миндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; під ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М.: Просвещение, 2009. - 271 с. : Ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Мордкович А. Г.Алгебра. 9 клас. У 2 ч. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., Стер. - М .: Мнемозина, 2011. - 222 с .: іл. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Мордкович А. Г.Алгебра і початки математичного аналізу. 11 клас. У 2 ч. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ (профільний рівень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-е изд., Стер. - М .: Мнемозина, 2008. - 287 с .: іл. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. ЄДІ-2013. Математика: типові екзаменаційні варіанти: 30 варіантів / під ред. А. Л. Семенова, І. В. Ященко. - М .: Видавництво «Національна освіта», 2012. - 192 с. - (ЄДІ-2013. ФІПІ - школі).