Числові нерівності оцінити значення виразу. Як оцінити значення виразу? Методи отримання оцінок, приклади
Наш «Решебник» містить відповіді до всіх завдань і вправ з «Дидактичних матеріалів з алгебри 8 клас»; детально розібрані методи і способи їх вирішення. «Решебник» адресований виключно батькам учнів, для перевірки домашніх завдань і допомоги у вирішенні завдань.
За короткий час батьки зможуть стати цілком ефективними домашніми репетиторами.
Варіант1 4
в многочлен (повторення) 4
З-2. Розкладання на множники (повторення) 5
З-3. Цілі і дробові вирази 6
З-4. Основна властивість дробу. Скорочення дробів. 7
З-5; Скорочення дробів (продовження) 9
з однаковими знаменниками 10
з різними знаменниками 12
знаменниками (продовження) 14
З-9. Множення дробів 16
З-10. Ділення дробів 17
З-11. Всі дії з дробами 18
З-12. функція 19
З-13. Раціональні і ірраціональні числа 22
З-14. Арифметичний квадратний корінь 23
З-15. Рішення рівнянь виду х2 = а 27
З-16. Знаходження наближених значень
квадратного кореня 29
С-17. Функція у = д / х 30
Твір коренів 31
Приватне коренів 33
З-20. Квадратний корінь з ступеня 34
З-21. Винесення множника з-під знака кореня Внесення множника під знак кореня 37
З-23. Рівняння і їх коріння 42
Неповні квадратні рівняння 43
З-25. Рішення квадратних рівнянь 45
(Продовження) 47
З-27. Теорема Вієта 49
З-28. Рішення задач за допомогою
квадратних рівнянь 50
множники. Біквадратні рівняння 51
З-30. Дробові раціональні рівняння 53
З-31. Рішення задач за допомогою
раціональних рівнянь 58
С-32. Порівняння чисел (повторення) 59
З-33. Властивості числових нерівностей 60
З-34. Додавання і множення нерівностей 62
З-35. Доведення нерівностей 63
З-36. Оцінка значення виразу 65
З-37. Оцінка похибки наближення 66
З-38. Округлення чисел 67
З-39. Відносна похибка 68
З-40. Перетин і об'єднання множин 68
З-41. Числові проміжки 69
З-42. Рішення нерівностей 74
З-43. Рішення нерівностей (продовження) 76
З-44. Рішення систем нерівностей 78
З-45. Рішення нерівностей 81
змінну під знаком модуля 83
З-47. Ступінь з цілим показником 87
ступеня з цілим показником 88
З-49. Стандартний вид числа 91
З-50. Запис наближених значень 92
З-51. Елементи статистики 93
(Повторення) 95
З-53. Визначення квадратичної функції 99
З-54. Функція у = ах2 100
З-55. Графік функції у = ах2 + Ьж + з 101
З-56. Рішення квадратних нерівностей 102
З-57. Метод інтервалів 105
Варіант 2 108
З 1. Перетворення цілого виразу
в многочлен (повторення) 108
З-2. Розкладання на множники (повторення) 109
З-3. Цілі і дробові вирази 110
З-4. Основна властивість дробу.
Скорочення дробів 111
З-5. Скорочення дробів (продовження) 112
З-6. Додавання і віднімання дробів
з однаковими знаменниками 114
З-7. Додавання і віднімання дробів
е різними знаменниками 116
З-8. Додавання і віднімання дробів з різними
знаменниками (продовження) 117
З-9. Множення дробів, 118
З-10. Ділення дробів 119
З-11. Всі дії з дробами 120
З-12. функція 121
З-13. Раціональні і ірраціональні числа 123
З-14. Арифметичний квадратний корінь 124
З-15. Рішення рівнянь виду х2-а 127
З-16. Знаходження наближених значень квадратного кореня 129
С-17. Функція у = \ / х "130
З-18. Квадратний корінь з добутку.
Твір коренів 131
З-19. Квадратний корінь з дробу.
Приватне коренів 133
З-20. Квадратний корінь з ступеня 134
З-21. Винесення множника з-під знака кореня
Внесення множника під знак кореня 137
З-22. Перетворення виразів,
З-23. Рівняння і їх коріння 141
З-24. Визначення квадратного рівняння.
Неповні квадратні рівняння 142
З-25. Рішення квадратних рівнянь 144
З-26. Рішення квадратних рівнянь
(Продовження) 146
З-27. Теорема Вієта 148
З-28. Рішення задач за допомогою
квадратних рівнянь 149
З-29. Розкладання квадратного тричлена на
множники. Біквадратні рівняння 150
З-30. Дробові раціональні рівняння 152
З-31. Рішення задач за допомогою
раціональних рівнянь 157
С-32. Порівняння чисел (повторення) 158
З-33. Властивості числових нерівностей 160
З-34. Додавання і множення нерівностей 161
З-35. Доведення нерівностей 162
З-36. Оцінка значення виразу 163
З-37. Оцінка похибки наближення 165
З-38. Округлення чисел 165
З-39. Відносна похибка 166
З-40. Перетин і об'єднання множин 166
З-41. Числові проміжки 167
З-42. Рішення нерівностей 172
З-43. Рішення нерівностей (продовження) 174
З-44. Рішення систем нерівностей 176
З-45. Рішення нерівностей 179
З-46. Рівняння і нерівності, що містять
змінну під знаком модуля 181
З-47. Ступінь з цілим показником 185
З-48. Перетворення виразів, що містять
ступеня з цілим показником 187
З-49. Стандартний вид числа 189
З-50. Запис наближених значень 190
З-51. Елементи статистики 192
З-52. Поняття функції. Графік функції
(Повторення) 193
З-53. Визначення квадратичної функції 197
З-54. Функція у = ах2 199
З-55. Графік функції у = ах24-Ьж + з 200
З-56. Рішення квадратних нерівностей 201
З-57. Метод інтервалів 203
Контрольні роботи 206
Варіант 1 206
К-10 (підсумкова) 232
Варіант 2. 236
К-2А 238
К-ЗА 242
К-9А (підсумкова) 257
Підсумкове повторення за темами 263
Осіння олімпіада 274
Весняна олімпіада 275
М .: 2014, - 288с. М .: 2012 - 256с.
«Решебник» містить відповіді до всіх завдань і вправ з «Дидактичних матеріалів з алгебри 8 клас»; детально розібрані методи і способи їх вирішення. «Решебник» адресований виключно батькам учнів, для перевірки домашніх завдань і допомоги у вирішенні завдань. За короткий час батьки зможуть стати цілком ефективними домашніми репетиторами.
формат: pdf (201 4 , 28 8с., Ерін В.К.)
Розмір: 3,5 Мб
Дивитися, скачати: drive.google
формат: pdf (2012 , 256 с., Морозов А.В.)
Розмір: 2,1 Мб
Дивитися, скачати: посилання видалені (див. примітку !!)
формат: pdf(2005 , 224с., Федоскина Н.С.)
Розмір: 1,7 Мб
Дивитися, скачати: drive.google
Зміст
Самостійні роботи 4
Варіант1 4
в многочлен (повторення) 4
З-2. Розкладання на множники (повторення) 5
З-3. Цілі і дробові вирази 6
З-4. Основна властивість дробу. Скорочення дробів 7
З-5. Скорочення дробів (продовження) 9
з однаковими знаменниками 10
з різними знаменниками 12
знаменниками (продовження) 14
З-9. Множення дробів 16
З-10. Ділення дробів 17
З-11. Всі дії з дробами 18
З-12. функція 19
З-13. Раціональні і ірраціональні числа 22
З-14. Арифметичний квадратний корінь 23
З-15. Рішення рівнянь виду х2 = а 27
квадратного кореня 29
С-17. Функція у = \ / х 30
Твір коренів 31
Приватне коренів 33
З-20. Квадратний корінь з ступеня 34
Внесення множника під знак кореня 37
що містять квадратні корені 39
З-23. Рівняння і їх коріння 42
Неповні квадратні рівняння 43
З-25. Рішення квадратних рівнянь 45
(Продовження) 47
З-27. Теорема Вієта 49
квадратних рівнянь 50
множники. Біквадратні рівняння 51
З-30. Дробові раціональні рівняння 53
раціональних рівнянь 58
С-32. Порівняння чисел (повторення) 59
З-33. Властивості числових нерівностей 60
З-34. Додавання і множення нерівностей 62
З-35. Доведення нерівностей 63
З-36. Оцінка значення виразу 65
З-37. Оцінка похибки наближення 66
З-38. Округлення чисел 67
З-39. Відносна похибка 68
З-40. Перетин і об'єднання множин 68
З-41. Числові проміжки 69
З-42. Рішення нерівностей 74
З-43. Рішення нерівностей (продовження) 76
З-44. Рішення систем нерівностей 78
З-45. Рішення нерівностей 81
змінну під знаком модуля 83
З-47. Ступінь з цілим показником 87
ступеня з цілим показником 88
З-49. Стандартний вид числа 91
З-50. Запис наближених значень 92
З-51. Елементи статистики 93
(Повторення) 95
З-53. Визначення квадратичної функції 99
З-54. Функція у = ах2 100
З-55. Графік функції у = ах2 + Ьж + з 101
З-56. Рішення квадратних нерівностей 102
З-57. Метод інтервалів 105
Варіант 2 108
З 1. Перетворення цілого виразу
в многочлен (повторення) 108
З-2. Розкладання на множники (повторення) 109
З-3. Цілі і дробові вирази ПО
З-4. Основна властивість дробу.
Скорочення дробів 111
З-5. Скорочення дробів (продовження) 112
З-6. Додавання і віднімання дробів
з однаковими знаменниками 114
З-7. Додавання і віднімання дробів
з різними знаменниками 116
З-8. Додавання і віднімання дробів з різними
знаменниками (продовження) 117
З-9. Множення дробів 118
З-10. Ділення дробів 119
З-11. Всі дії з дробами 120
З-12. функція 121
З-13. Раціональні і ірраціональні числа 123
З-14. Арифметичний квадратний корінь 124
З-15. Рішення рівнянь виду х2 = а 127
З-16. Знаходження наближених значень
квадратного кореня 129
С-17. Функція y = Vx 130
З-18. Квадратний корінь з добутку.
Твір коренів 131
З-19. Квадратний корінь з дробу.
Приватне коренів 133
З-20. Квадратний корінь з ступеня 134
З-21. Винесення множника з-під знака кореня
Внесення множника під знак кореня 137
З-22. Перетворення виразів,
що містять квадратні корені 138
З-23. Рівняння і їх коріння 141
З-24. Визначення квадратного рівняння.
Неповні квадратні рівняння 142
З-25. Рішення квадратних рівнянь 144
З-26. Рішення квадратних рівнянь
(Продовження) 146
З-27. Теорема Вієта 148
З-28. Рішення задач за допомогою
квадратних рівнянь 149
З-29. Розкладання квадратного тричлена на
множники. Біквадратні рівняння 150
З-30. Дробові раціональні рівняння 152
З-31. Рішення задач за допомогою
раціональних рівнянь 157
С-32. Порівняння чисел (повторення) 158
З-33. Властивості числових нерівностей 160
З-34. Додавання і множення нерівностей 161
З-35. Доведення нерівностей 162
З-36. Оцінка значення виразу 163
З-37. Оцінка похибки наближення 165
З-38. Округлення чисел 165
З-39. Відносна похибка 166
З-40. Перетин і об'єднання множин 166
З-41. Числові проміжки 167
З-42. Рішення нерівностей 172
З-43. Рішення нерівностей (продовження) 174
З-44. Рішення систем нерівностей 176
З-45. Рішення нерівностей 179
З-46. Рівняння і нерівності, що містять
змінну під знаком модуля 181
З-47. Ступінь з цілим показником 185
З-48. Перетворення виразів, що містять
ступеня з цілим показником 187
З-49. Стандартний вид числа 189
З-50. Запис наближених значень 190
З-51. Елементи статистики 192
З-52. Поняття функції. Графік функції
(Повторення) 193
З-53. Визначення квадратичної функції 197
З-54. Функція у = ах2 199
З-55. Графік функції y = ax2 + txr + c 200
З-56. Рішення квадратних нерівностей 201
З-57. Метод інтервалів 203
Контрольні роботи 206
Варіант 1 206
К-1 206
К-2 208
К-3 212
К-4 215
К-5 218
К-6 221
К-7 223
К-8 226
К-9 229
К-10 (підсумкова) 232
Варіант 2. 236
К-1А 236
К-2А 238
К-ЗА 242
К-4А 243
К-5А 246
К-6А 249
К-7А 252
К-8А 255
К-9А (підсумкова) 257
Підсумкове повторення за темами 263
Осіння олімпіада 274
Весняна олімпіада 275
АЛГЕБРА
Уроки для 9 класів
УРОК № 5
Тема.Почленного додавання і множення нерівностей. Застосування властивостей числових нерівностей для оцінки значень виразів
Мета уроку: домогтися засвоєння учнями змісту поняття «додати нерівності почленно» і «перемножити нерівності почленно», а також змісту властивостей числових нерівностей, виражені аксіомами про почленного додавання і почленного множення числових нерівностей і наслідків з них. Виробити вміння відтворювати названі властивості числових нерівностей і використовувати ці властивості для оцінки значень виразів, а також продовжити роботу з відпрацювання навичок докази нерівностей, порівняння виразів з використанням визначення і властивостей числових нерівностей
Тип уроку: засвоєння знань, вироблення первинних умінь.
Наочність і обладнання: опорний конспект № 5.
Хід уроку
I. Організаційний етап
Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх на роботу.
II. Перевірка домашнього завдання
Учні виконують тестові завдання з подальшою перевіркою.
III. Формулювання мети і завдань уроку.
Мотивація навчальної діяльності учнів
Для свідомої участі учнів у формулюванні мети уроку можна запропонувати їм практичні завдання геометричного змісту (наприклад, на оцінку периметра і площі прямокутника, довжини суміжних сторін якого оцінено у вигляді подвійних нерівностей). Під час бесіди вчитель повинен направити думку учнів на той факт, що хоча завдання схожі на ті, що були вирішені на попередньому уроці (див. Урок № 4, оцінити значення виразів), проте на відміну від названих не можуть бути вирішені тими ж засобами, оскільки необхідно оцінити значення виразів, що містять дві (а в перспективі і більше) літери. Таким чином учні усвідомлюють існування протиріччя між знаннями, які вони отримали до цього моменту, і необхідністю вирішення певної задачі.
Результатом виконаної роботи є формулювання мети уроку: вивчити питання про такі властивості нерівностей, які можуть бути застосовані у випадках, подібних описаним в запропонованому завданні учням; для чого слід чітко сформулювати математичною мовою і в словесному вигляді, а потім довести відповідні властивості числових нерівностей і навчитися використовувати їх в комплексі з вивченими раніше властивостями числових нерівностей для вирішення типових задач.
IV. Актуалізація опорних знань і вмінь учнів
усні вправи
1. Порівняйте числа а і b, якщо:
1) а - b = -0,2;
2) а - b = 0,002;
3) а = b - 3;
4) а - b = m 2;
5) а = b - m 2.
3. Порівняйте значення виразів а + b і ab, якщо а = 3, b = 2. Відповідь обґрунтуйте. Виконуватиметься отримане співвідношення, якщо:
1) а = -3, b = -2;
2) a = -3, b = 2?
V. формування знань
План вивчення нового матеріалу
1. Властивість про почленного додавання числових нерівностей (з доведенням).
2. Властивість про почленного множення числових нерівностей (з доведенням).
3. Слідство. Властивість про почленного множення числових нерівностей (з доведенням).
4. Приклади застосування доведених властивостей.
Опорний конспект № 5
Теорема (властивість) про почленного додавання числових нерівностей |
||||||
Якщо а b і c d, то a + c b + d. |
||||||
доведення
|
||||||
Теорема (властивість) про почленного множення числових нерівностей |
||||||
Якщо 0 а b і 0 c d, то ac bd. доведення
Слідство. Якщо 0 а b, то an bn, де n - натуральне число. |
||||||
доведення |
||||||
|
(По теоремі про почленного множення числових нерівностей). |
|||||
Приклад 1. Відомо, що 3 а 4; 2 b 3. Оцінимо значення виразу: 1) а + b; 2) а - b; 3) b; 4). |
||||||
2) а - b = а + (-b) 2 b 31 ∙ (-1) 2> -b> -3
|
(0) 2 b 3
|
|||||
Приклад 2. Доведемо нерівність (m + n) (mn + 1)> 4mn, якщо m> 0, n> 0. |
||||||
доведення використавши нерівність |
||||||
m + n ≥ 2, (1) mn + 1 ≥ 2. (2) |
||||||
По теоремі про почленного множення нерівностей перемножимо нерівності (1) і (2) почленно. Тоді маємо: (M + n) (mn + 1) ≥ 2 ∙ 2, (M + n) (mn + 1) ≥ 4, отже, (M + n) (mn + 1) ≥ 4mn, де m ≥ 0, n ≥ 0. |
||||||
.
.
методичний коментар
Для усвідомленого сприйняття нового матеріалу вчитель може на етапі актуалізації опорних знань і вмінь учнів запропонувати рішення усних вправ з відтворенням відповідно визначення порівняння чисел і вивчених на попередніх уроках властивостей числових нерівностей (див. Вище), а також розгляд питання про відповідні властивості числових нерівностей.
Зазвичай учні добре засвоюють зміст теорем про почленного додавання і множення числових нерівностей, однак досвід роботи свідчить про схильність учнів до певних помилкових узагальнень. Тому з метою попередження помилок при формуванні знань учнів з цього питання шляхом демонстрацій прикладів і контрприкладів вчителю слід зробити акцент на наступних моментах:
· Свідоме застосування властивостей числових нерівностей неможливо без уміння записувати ці властивості як математичною мовою, так і в словесному вигляді;
· Теореми про почленного додавання і множення числових нерівностей виконуються лише для нерівностей однакових знаків;
· Властивість про почленного додавання числових нерівностей виконується за певної умови (див. Вище) для будь-яких чисел, а теорема про почленного множення (в тому вигляді, як це заявлено в опорному конспекті № 5) тільки для позитивних чисел;
· Теореми про почленного вирахування і почленного розподіл числових нерівностей не вивчаються, тому у випадках, коли необхідно оцінити різницю або частку виразів, ці вирази представляються у вигляді суми або твори відповідно, і далі вже за певних умов використовують властивості про почленного додавання і множення числових нерівностей .
VI. формування умінь
усні вправи
1. Додайте почленно нерівності:
1) а> 2, b> 3;
2) з -2, d 4.
Або можна ті ж нерівності почленно перемножити? Відповідь обґрунтуйте.
2. Перемножте почленно нерівності:
1) а> 2, b> 0,3;
2) з> 2, d> 4.
Або можна ті ж нерівності додати? Відповідь обґрунтуйте.
3. Визначте й обґрунтуйте, чи є правильним твердження, що якщо 2 а 3, 1 b 2, то:
1) 3 а + b 5;
2) 2 аb 6;
3) 2 - 1 а - b 3 - 2;
письмові вправи
Для реалізації дидактичної мети уроку слід вирішити вправи такого змісту:
1) додати і помножити почленно дані числові нерівності;
2) оцінити значення суми, різниці, добутку і частки двох виразів за даними оцінками кожного з цих чисел;
3) оцінити значення виразів, що містять дані букви, за даними оцінками кожної з цих букв;
4) довести нерівність з використанням теорем про почленного додавання і множення числових нерівностей і з використанням класичних нерівностей;
5) на повторення властивостей числових нерівностей, вивчених на попередніх уроках.
методичний коментар
Письмові вправи, які пропонуються для вирішення на цьому етапі уроку, повинні сприяти виробленню стійких навичок по-членного додавання і множення нерівностей в простих випадках. (При цьому відпрацьовується дуже важливий момент: перевірка відповідності записи нерівностей в умови теореми і правильний запис суми і твори лівої і правої частин нерівностей. Підготовча робота проводиться під час виконання усних вправ.) Для кращого засвоєння матеріалу слід вимагати від учнів відтворення вивчених теорем при коментуванні дій.
Після успішної опрацювання учнями теорем в простих випадках вони можуть поступово переходити до більш складних випадків (на оцінювання різниці і приватного двох виразів і більш складних виразів). На цьому етапі роботи вчителю слід уважно стежити за тим, щоб учні не допустили типових помилок, намагаючись різницю і оцінювати частку за власними помилковими правилами.
Також на уроці (звичайно, якщо дозволяє час і рівень засвоєння учнями змісту матеріалу) слід приділити увагу вправам на застосування вивчених теорем для доказу більш складних нерівностей.
VII. підсумки уроку
контрольне завдання
Відомо, що 4 а 5; 6 b 8. Знайдіть невірні нерівності і виправте помилки. Відповідь обґрунтуйте.
1) 10 а + b 13;
2) -4 а - b -1;
3) 24 аb 13;
4) ;
5) ;
7) 100 А2 + b 2 169?
VIII. Домашнє завдання
1. Вивчити теореми про почленного додавання і множення числових нерівностей (з доведенням).
2. Виконати вправи репродуктивного характеру, аналогічні вправам класної роботи.
3. На повторення: вправи на застосування визначення порівняння чисел (на доведення нерівностей і на порівняння виразів).
«Додавання і віднімання алгебраїчних дробів» - Алгебраїчні дроби. 4а? B. Вивчення нової теми. Цілі: Згадаймо! Кравченко Г. М. Приклади:
«Ступені з цілим показником» - Феоктистов Ілля Євгенович Москва. 3. Ступінь з цілим показником (5 ч) п.43. Викладання алгебри у 8 класі з поглибленим вивченням математики. Запізніле введення ступеня з цілим від'ємним показником ... Знати визначення ступеня з цілим від'ємним показником. 2.
«Види квадратних рівнянь» - Неповні квадратні рівняння. Питання ... Повні квадратні рівняння. Квадратні рівняння. Визначення квадратного рівняння Види квадратних рівнянь Рішення квадратних рівнянь. Способи вирішення квадратних рівнянь. Група «дискримінант»: Миронов А., Мигунов Д., Зайцев Д., Сидоров Е, Іванов Н., Петров Г. Наведене квадратне рівняння. Виконали: учні 8 «в» класу. Метод виділення повного квадрата. Види квадратних рівнянь. Нехай. Графічний спосіб.
«Числові нерівності 8 клас» - А-з> 0. Нерівності. А<0 означает, что а – отрицательное число. >= «Більше або дорівнює». b> c. Пишуть a> b або a
«Рішення квадратних рівнянь теорема Вієта» - Один з коренів рівняння дорівнює 5. Завдання №1. МОУ «Кисловская ЗОШ». Керівник: вчитель математики Баранникова Е. А. Кислівка - 2008 г. (Презентація до уроку алгебри у 8 класі). Знайдіть х2 і к. Роботу виконала: учениця 8 класу Слинько В. Рішення квадратних рівнянь із застосуванням теореми Вієта.
У цій статті ми розберемо, по-перше, що розуміють під оцінкою значень виразу або функції, і, по-друге, як оцінюються значення виразів і функцій. Спочатку введемо необхідні визначення і поняття. Після цього детально опишемо основні методи отримання оцінок. По ходу будемо приводити рішення характерних прикладів.
Що значить оцінити значення виразу?
Нам не вдалося знайти в шкільних підручниках явної відповіді на питання, що розуміється під оцінкою значення виразу. Спробуємо самі розібратися з цим, відштовхуючись від тих крихт інформації по цій темі, які все ж містяться в підручниках і в збірниках завдань для підготовки до ЄДІ і вступу до ВНЗ.
Давайте подивимося, що можна знайти щодо необхідної нас темі в книгах. Наведемо кілька цитат:
У двох перших прикладах фігурують оцінки чисел і числових виразів. Там ми маємо справу з оцінкою одного єдиного значення виразу. В інших прикладах фігурують оцінки, які стосуються виразів зі змінними. Кожному значенню змінної з ОДЗ для вираження або з деякого цікавить нас безлічі X (яке, зрозуміло, є підмножиною області допустимих значень) відповідає своє значення виразу. Тобто, якщо ОДЗ (або безліч X) не перебуває з однини, то висловом зі змінною відповідає безліч значень виразу. У цьому випадку доводиться говорити про оцінку не одного єдиного значення, а про оцінку всіх значень виразу на ОДЗ (або безлічі X). Така оцінка має місце для будь-якого значення виразу, відповідного деякому значенню змінної з ОДЗ (або безлічі X).
За міркуваннями ми трохи відволіклися від пошуку відповіді на питання, що значить оцінити значення виразу. Наведені вище приклади просувають нас в цій справі, і дозволяють прийняти два наступних визначення:
визначення
Оцінити значення числового виразу- це означає вказати числове безліч, що містить оцінюється значення. При цьому вказане числове безліч буде оцінкою значення числового виразу.
визначення
Оцінити значення виразу зі змінноюна ОДЗ (або на безлічі X) - це означає вказати числове безліч, що містить всі значення, які приймає вираз на ОДЗ (або на безлічі X). При цьому вказана множина буде оцінкою значень виразу.
Нескладно переконатися, що для одного виразу можна вказати не єдину оцінку. Наприклад, числове вираження можна оцінити як, або 
, або 
, Або, і т.д. Це ж стосується і виразів зі змінними. Наприклад, вираз 
на ОДЗ можна оцінити як 
, або 
, або 
, і т.д. У зв'язку з цим в записані визначення варто додати уточнення, що стосується зазначених вище числового безлічі, що представляє собою оцінку: оцінка не повинна бути аби який, вона повинна відповідати цілям, для яких її знаходять. Наприклад, для вирішення рівняння 
підходить оцінка 
. Але ця оцінка вже не підходить для вирішення рівняння 
, Тут значення виразу 
потрібно оцінити інакше, наприклад, так: 
.
Варто окремо відзначити, що однією з оцінок значень виразу f (x) є область значень відповідної функції y = f (x).
На закінчення цього пункту звернемо увагу на форму запису оцінок. Зазвичай, оцінки записуються за допомогою нерівностей. Ви напевно це і так помітили.
Оцінка значень виразу і оцінка значень функції
За аналогією з оцінкою значень виразу можна говорити про оцінку значень функції. Це виглядає досить природно, особливо якщо при цьому мати на увазі функції, задані формулами, адже оцінка значень виразу f (x) і оцінка значень функції y = f (x) по суті є одне і те ж, що очевидно. Більш того, процес отримання оцінок часто зручно описувати саме в термінах оцінки значень функції. Зокрема, в певних випадках отримання оцінки вираження проводиться через знаходження найбільшого і найменшого значень відповідної функції.
Про точність оцінок
У першому пункті цієї статті ми сказали, що для вираження можуть мати місце безліч оцінок його значень. Чи є одні з них краще за інших? Це залежить від розв'язуваної задачі. Пояснимо на прикладі.
Наприклад, використовуючи методи оцінки значень виразів, які описані в наступних пунктах, можна отримати дві оцінки значень виразу 
: Перша - це 
, Друга - це 
. Трудовитрати на отримання цих оцінок суттєво відрізняються. Перша з них практично очевидна, а отримання другої оцінки пов'язане з перебуванням найменшого значення подкоренного вираження і подальшим використанням властивості монотонності функції вилучення квадратного кореня. У деяких випадках з вирішенням поставленого завдання дозволяє впоратися будь-яка з оцінок. Наприклад, будь-яка з наших оцінок дозволяє вирішити рівняння 
. Зрозуміло, що в цьому випадку ми б обмежилися знаходженням першої очевидною оцінки, і, природно, не напружувалися б в знаходженні другої оцінки. Але в інших випадках може виявитися, що одна з оцінок не підходить для вирішення поставленого завдання. Наприклад, перша наша оцінка не дозволяє вирішити рівняння 
, А оцінка дозволяє це зробити. Тобто, в цьому випадку першої очевидною оцінки нам було б недостатньо, і нам довелося б знаходити другу оцінку.
Так ми підійшли до питання про точність оцінок. Можна детально визначити, що розуміти під точністю оцінки. Але для наших потреб в цьому немає особливої потреби, нам буде достатньо спрощеного уявлення про точність оцінки. Давайте домовимося сприймати точність оцінки як деякий аналог точності наближення. Тобто, давайте з двох оцінок значень деякого виразу f (x) вважати більш точної ту, яка «ближче» до області значень функції y = f (x). У цьому сенсі оцінка є найточнішою з усіх можливих оцінок значень виразу , Так як вона збігається з областю значень відповідної функції 
. При цьому зрозуміло, що оцінка точніше оцінки . Іншими словами, оцінка грубіше оцінки .
Чи є сенс весь час шукати найточніші оцінки? Ні. І справа тут в тому, що для вирішення задач часто вистачає порівняно грубих оцінок. А головна перевага таких оцінок перед точними оцінками в тому, що часто їх значно простіше отримати.
Основні методи отримання оцінок
Оцінки значень основних елементарних функцій
Оцінка значень функції y = | x |
Крім основних елементарних функцій, добре вивченою і корисною в плані отримання оцінок є функція y = | x |. Нам відома область значень цієї функції:; під ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М.: Просвещение, 2008. - 271 с. : Ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.