«Перетворення функцій» - гойдалки. Зрушення по осі y вгору. Включи повну гучність - збільшиш a (амплітуду) коливань повітря. Зрушення по осі x вліво. Завдання уроку. 3 бали. Музикою. Побудуйте графік функції і визначте D (f), E (f) і T: Стиснення по осі x. Зрушення по осі y вниз. Додай червоного кольору в палітру - зменшиш k (частоту) електромагнітних коливань.

«Функції декількох змінних» - Похідні вищих порядків. Функцію двох змінних можна зобразити графічно. Диференціальне й інтегральне числення. Внутрішні і граничні точки. Визначення границі функції 2-х змінних. Курс математичного аналізу. Берман. Межа функції 2-х змінних. Графік функції. Теорема. Обмежена область.

«Поняття функції» - Способи побудова графіків квадратичної функції. Вивчення різних способів завдання функції - важливий методичний прийом. Особливості вивчення квадратичної функції. Генетична трактування поняття «функція». Функції і графіки в шкільному курсі математики. Подання про лінійної функції виділяється при побудові графіка деякої лінійної функції.

«Тема Функція» - Аналіз. Потрібно з'ясувати не те, що учень не знає, а то, що він знає. Закладення основ для успішної здачі ЄДІ і вступ до ВНЗ. Синтез. Якщо учні працюють по-різному, то і вчитель повинен з ними працювати по-різному. Аналогія. Узагальнення. Розподіл завдань ЄДІ з основним блокам змісту шкільного курсу математики.

«Перетворення графіків функцій» - Повторити види перетворень графіків. Зіставити кожному графіку функцію. Симетрія. Мета уроку: Побудова графіків складних функцій. Розглянемо приклади перетворень, пояснимо кожен вид перетворення. Перетворення графіків функцій. Розтягування. Закріпити побудову графіків функцій з використанням перетворень графіків елементарних функцій.

«Графіки функцій» - Функція виду. Область значень функції - все значення залежної змінної у. Графіком функції є парабола. Графіком функції є кубічна парабола. Графіком функції є гіпербола. Область визначення і область значень функції. Кожну пряму зіставте з її рівнянням: Область визначення функції - все значення незалежної змінної х.

Функція y = x ^ 2 називається квадратичною функцією. Графіком квадратичної функції є парабола. Загальний вигляд параболи представлений на малюнку нижче.

квадратична функція

Рис 1. Загальний вигляд параболи

Як видно з графіка, він симетричний щодо осі Оу. Ось Оу називається віссю симетрії параболи. Це означає, що якщо провести на графіку пряму паралельну осі Ох вище це осі. То вона перетне параболу в двох точках. Відстань від цих точок до осі Оу буде однаковим.

Вісь симетрії розділяє графік параболи як би на дві частини. Ці частини називаються гілками параболи. А точка параболи яка лежить на осі симетрії називається вершиною параболи. Тобто вісь симетрії проходить через вершину параболи. Координати цієї точки (0; 0).

Основні властивості квадратичної функції

1. При х = 0, у = 0, і у> 0 при х0

2. Мінімальне значення квадратична функція досягає в своїй вершині. Ymin при x = 0; Слід також зауважити, що максимального значення у функції не існує.

3. Функція убуває на проміжку (-∞; 0] і зростає на проміжку Вирішуючи рівняння \ (x "\ left (t \ right) = 0, \) визначаємо стаціонарні точки функції \ (x \ left (t \ right): \ ) \ [(x "\ left (t \ right) = 0,) \; \; (\ Rightarrow 3 (t ^ 2) + 2t - 1 = 0,) \; \; (\ Rightarrow (t_ (1, 2)) = \ frac ((- 2 \ pm \ sqrt (16))) (6) = - 1; \; \ frac (1) (3).) \] При \ (t = 1 \) функція \ (x \ left (t \ right) \) досягає максимуму, рівного \ а в точці \ (t = \ large \ frac (1) (3) \ normalsize \) вона має мінімум, рівний \ [(x \ left (( \ frac (1) (3)) \ right)) = ((\ left ((\ frac (1) (3)) \ right) ^ 3) + (\ left ((\ frac (1) (3)) \ right) ^ 2) - \ left ((\ frac (1) (3)) \ right)) = (\ frac (1) ((27)) + \ frac (1) (9) - \ frac (1 ) (3) = - \ frac (5) ((27)).) \] Розглянемо похідну \ (y "\ left (t \ right): \) \ [(y" \ left (t \ right) = ( \ left (((t ^ 3) + 2 (t ^ 2) - 4t) \ right) ^ \ prime)) = (3 (t ^ 2) + 4t - 4.) \] Знаходимо стаціонарні точки функції \ (y \ left (t \ right): \) \ [(y "\ left (t \ right) = 0,) \; \; (\ Rightarrow 3 (t ^ 2) + 4t - 4 = 0,) \; \ ; (\ Rightarrow (t_ (1,2)) = \ frac ((- 4 \ pm \ sqrt (64) )) (6) = - 2; \; \ frac (2) (3).) \] Тут, аналогічно, функція \ (y \ left (t \ right) \) досягає максимуму в точці \ (t = -2 : \) \ і мінімуму в точці \ (t = \ large \ frac (2) (3) \ normalsize: \) \ [(y \ left ((\ frac (2) (3)) \ right)) = ( (\ left ((\ frac (2) (3)) \ right) ^ 3) + 2 (\ left ((\ frac (2) (3)) \ right) ^ 2) - 4 \ cdot \ frac (2 ) (3)) = (\ frac (8) ((27)) + \ frac (8) (9) - \ frac (8) (3)) = (- \ frac ((40)) ((27) ).) \] Графіки функцій \ (x \ left (t \ right) \), \ (y \ left (t \ right) \) схематично показані на малюнку \ (15a. \)

Зауважимо, що так як \ [(\ lim \ limits_ (t \ to \ pm \ infty) x \ left (t \ right) = \ pm \ infty,) \; \; \; (\ Lim \ limits_ (t \ to \ pm \ infty) y \ left (t \ right) = \ pm \ infty,) \] то крива \ (y \ left (x \ right) \) не має ні вертикальних, ні горизонтальних асимптот. Більш того, оскільки \ [(k = \ lim \ limits_ (t \ to \ pm \ infty) \ frac ((y \ left (t \ right))) ((x \ left (t \ right)))) = (\ lim \ limits_ (t \ to \ pm \ infty) \ frac (((t ^ 3) + 2 (t ^ 2) - 4t)) (((t ^ 3) + (t ^ 2) - t) )) = (\ lim \ limits_ (t \ to \ pm \ infty) \ frac ((1 + \ frac (2) (t) - \ frac (4) (((t ^ 2))))) (( 1 + \ frac (1) (t) - \ frac (1) (((t ^ 2))))) = 1,) \] \ [(b = \ lim \ limits_ (t \ to \ pm \ infty ) \ left [(y \ left (t \ right) - kx \ left (t \ right)) \ right]) = (\ lim \ limits_ (t \ to \ pm \ infty) \ left ((\ cancel (\ color (blue) (t ^ 3)) + \ color (red) (2 (t ^ 2)) - \ color (green) (4t) - \ cancel (\ color (blue) (t ^ 3)) - \ color (red) (t ^ 2) + \ color (green) (t)) \ right)) = (\ lim \ limits_ (t \ to \ pm \ infty) \ left ((\ color (red) (t ^ 2) - \ color (green) (3t)) \ right) = + \ infty,) \] то крива \ (y \ left (x \ right) \) не має також і похилих асимптот.

Визначимо точки перетину графіка \ (y \ left (x \ right) \) з осями координат. Перетин з віссю абсцис відбувається в наступних точках: \ [(y \ left (t \ right) = (t ^ 3) + 2 (t ^ 2) - 4t = 0,) \; \; (\ Rightarrow t \ left (((t ^ 2) + 2t - 4) \ right) = 0;) \]

1. \ (((T ^ 2) + 2t - 4 = 0,) \; \; (\ Rightarrow D = 4 - 4 \ cdot \ left ((- 4) \ right) = 20,) \; \; (\ Rightarrow (t_ (2,3)) = \ large \ frac ((- 2 \ pm \ sqrt (20))) (2) \ normalsize = - 1 \ pm \ sqrt 5.) \)

1. \ (((T ^ 2) + t - 1 = 0,) \; \; (\ Rightarrow D = 1 - 4 \ cdot \ left ((- 1) \ right) = 5,) \; \; (\ Rightarrow (t_ (2,3)) = \ large \ frac ((- 1 \ pm \ sqrt (5))) (2) \ normalsize.) \)

На другому проміжку \ (\ left ((- 2, - 1) \ right) \) змінна \ (x \) зростає від \ (x \ left ((- 2) \ right) = - 2 \) до \ (x \ left ((- 1) \ right) = 1, \) а змінна \ (y \) убуває від \ (y \ left ((- 2) \ right) = 8 \) до \ (y \ left ((- 1) \ right) = 5. \) Тут ми маємо ділянку спадної кривої \ (y \ left (x \ right). \) Вона перетинає вісь ординат в точці \ (\ left ((0,3 + 2 \ sqrt 5) \ right). \)

На третьому інтервалі \ (\ left ((- 1, \ large \ frac (1) (3) \ normalsize) \ right) \) обидві змінні зменшуються. Значення \ (x \) змінюється від \ (x \ left ((- 1) \ right) = 1 \) до \ (x \ left ((\ large \ frac (1) (3) \ normalsize) \ right) = - \ large \ frac (5) ((27)) \ normalsize. \) Відповідно, значення \ (y \) зменшується від \ (y \ left ((- 1) \ right) = 5 \) до \ (y \ left ((\ large \ frac (1) (3) \ normalsize) \ right) = - \ large \ frac (29) ((27)) \ normalsize. \) Крива \ (y \ left (x \ right) \ ) при цьому перетинає початок координат.

На четвертому інтервалі \ (\ left ((\ large \ frac (1) (3) \ normalsize, \ large \ frac (2) (3) \ normalsize) \ right) \) змінна \ (x \) зростає від \ ( x \ left ((\ large \ frac (1) (3) \ normalsize) \ right) = - \ large \ frac (5) ((27)) \ normalsize \) до \ (x \ left ((\ large \ frac (2) (3) \ normalsize) \ right) = \ large \ frac (2) ((27)) \ normalsize, \) а змінна \ (y \) убуває від \ (y \ left ((\ large \ frac (1) (3) \ normalsize) \ right) = - \ large \ frac (29) ((27)) \ normalsize \) до \ (y \ left ((\ large \ frac (2) (3) \ normalsize) \ right) = - \ large \ frac (40) ((27)) \ normalsize. \) На цій ділянці крива \ (y \ left (x \ right) \) перетинає вісь ординат в точці \ (\ left ( (0,3 - 2 \ sqrt 5) \ right). \)

Нарешті, на останньому інтервалі \ (\ left ((\ large \ frac (2) (3) \ normalsize, + \ infty) \ right) \) обидві функції \ (x \ left (t \ right) \), \ ( y \ left (t \ right) \) зростають. Крива \ (y \ left (x \ right) \) перетинає вісь абсцис в точці \ (x = - 9 + 5 \ sqrt 5 \ approx 2,18. \)

Для уточнення форми кривої \ (y \ left (x \ right) \) обчислимо точки максимуму і мінімуму. Похідна \ (y "\ left (x \ right) \) виражається у вигляді \ [(y" \ left (x \ right) = (y "_x)) = (\ frac (((y" _t))) ( ((x "_t)))) = (\ frac ((((\ left (((t ^ 3) + 2 (t ^ 2) - 4t) \ right)) ^ \ prime))) (((( \ left (((t ^ 3) + (t ^ 2) - t) \ right)) ^ \ prime)))) = (\ frac ((3 (t ^ 2) + 4t - 4)) ((3 (t ^ 2) + 2t - 1))) = (\ frac ((\ cancel (3) \ left ((t + 2) \ right) \ left ((t - \ frac (2) (3)) \ right))) ((\ cancel (3) \ left ((t + 1) \ right) \ left ((t - \ frac (1) (3)) \ right)))) = (\ frac ((\ left ((t + 2) \ right) \ left ((t - \ frac (2) (3)) \ right))) ((\ left ((t + 1) \ right) \ left ((t - \ frac (1) (3)) \ right))).) \] Зміна знака похідної \ (y "\ left (x \ right) \) показано на малюнку \ (15c. \) Видно, що в точці \ (t = - 2, \) тобто на кордоні \ (I \) - го і \ (II \) - го інтервалів крива має максимум, а при \ (t = \ large \ frac (2) (3) \ normalsize \) (на кордоні \ (IV \) -го і \ (V \) - го інтервалів) існує мінімум. При переході через точку \ (t = \ large \ frac (1) (3) \ normalsize \) похідна також змінює знак з плюса на мінус, але в цій області крива \ (y \ left (x \ right) \) не є однозначною функцією. Тому зазначена точка екстремумів не є.

Досліджуємо також опуклість даної кривої. друга похідна\ (Y "" \ left (x \ right) \) має вигляд: \ [y "" \ left (x \ right) = (y "" _ (xx)) = \ frac ((((\ left (( (y "_x)) \ right))" _ t))) (((x "_t))) = \ frac ((((\ left ((\ frac ((3 (t ^ 2) + 4t - 4) ) ((3 (t ^ 2) + 2t - 1))) \ right)) ^ \ prime))) ((((\ left (((t ^ 3) + (t ^ 2) - t) \ right )) ^ \ prime))) = \ frac ((\ left ((6t + 4) \ right) \ left ((3 (t ^ 2) + 2t - 1) \ right) - \ left ((3 (t ^ 2) + 4t - 4) \ right) \ left ((6t + 2) \ right))) ((((\ left ((3 (t ^ 2) + 2t - 1) \ right)) ^ 3) )) = \ frac ((18 (t ^ 3) + 12 (t ^ 2) + 12 (t ^ 2) + 8t - 6t - 4 - \ left ((18 (t ^ 3) + 24 (t ^ 2 ) - 24t + 6 (t ^ 2) + 8t - 8) \ right))) ((((\ left ((3 (t ^ 2) + 2t - 1) \ right)) ^ 3))) = \ frac ((\ cancel (\ color (blue) (18 (t ^ 3))) + \ color (red) (24 (t ^ 2)) + \ color (green) (2t) - \ color (maroon) ( 4) - \ cancel (\ color (blue) (18 (t ^ 3))) - \ color (red) (30 (t ^ 2)) + \ color (green) (16t) + \ color (maroon) ( 8))) ((((\ left ((3 (t ^ 2) + 2t - 1) \ right)) ^ 3))) = \ frac ((- \ color (red) (6 (t ^ 2) ) + \ color (green) (18t) + \ color (maroon) (4))) ((((\ left ((3 (t ^ 2) + 2t - 1) \ right)) ^ 3))) = \ frac ((- 6 \ left ((t - \ frac ((9 - \ sqrt (105))) (6)) \ right) \ left ((t - \ frac ((9 + \ sqrt (105))) (6)) \ right))) ((((\ left ((t + 1) \ right)) ^ 3) ((\ left ((3t - 1) \ right)) ^ 3))). \] Отже, друга похідна змінює свій знак на протилежний при переході через такі точки (рис. \ (15с \)): \ [((t_1) = - 1: \; \; x \ left ((- 1) \ right ) = 1,) \; \; (Y \ left ((- 1) \ right) = 5;) \] \ [((t_2) = \ frac ((9 - \ sqrt (105))) (6):) \; \; (X \ left ((\ frac ((9 - \ sqrt (105))) (6)) \ right) \ approx 0,24;) \; \; (Y \ left ((\ frac ((9 - \ sqrt (105))) (6)) \ right) \ approx 0,91;) \] \ [((t_3) = \ frac (1) (3) :) \; \; (X \ left ((\ frac (1) (3)) \ right) = - \ frac (5) ((27)),) \; \; (Y \ left ((\ frac (1) (3)) \ right) = - \ frac ((29)) ((27));) \] \ [((t_4) = \ frac ((9 + \ sqrt (105))) (6):) \; \; (X \ left ((\ frac ((9 + \ sqrt (105))) (6)) \ right) \ approx 40,1;) \; \; (Y \ left ((\ frac ((9 + \ sqrt (105))) (6)) \ right) \ approx 40,8.) \] Тому зазначені точки являють собою точки перегину кривої \ (y \ left (x \ right). \)

Схематичний графік кривої \ (y \ left (x \ right) \) показаний вище на малюнку \ (15b. \)