Які в тій чи іншій мірі були вам знайомі. Там же було помічено, що запас властивостей функцій буде поступово поповнюватися. Про двох нових властивостях і піде мова в цьому параграфі.

Визначення 1.

Функцію у = f (x), х є Х, називають парної, якщо для будь-якого значення х з множини X виконується рівність f (-х) = f (х).

Визначення 2.

Функцію у = f (x), х є X, називають непарною, якщо для будь-якого значення х з множини X виконується рівність f (-х) = -f (х).

Довести, що у = х 4 - парна функція.

Рішення. Маємо: f (х) = х 4, f (-х) = (-х) 4. Але (-х) 4 = х 4. Значить, для будь-якого х виконується рівність f (-х) = f (х), тобто функція є парною.

Аналогічно можна довести, що функції у - х 2, у = х 6, у - х 8 є парними.

Довести, що у = х 3 ~ непарна функція.

Рішення. Маємо: f (х) = х 3, f (-х) = (-х) 3. Але (-х) 3 = х 3. Значить, для будь-якого х виконується рівність f (-х) = -f (х), тобто функція є непарною.

Аналогічно можна довести, що функції у = х, у = х 5, у = х 7 є непарними.

Ми з вами не раз вже переконувалися в тому, що нові терміни в математиці найчастіше мають «земне» походження, тобто їх можна якимось чином пояснити. Так само і з парними, і з непарними функціями. Дивіться: у - х 3, у = х 5, у = х 7 - непарні функції, тоді як у = х 2, у = х 4, у = х 6 - парні функції. І взагалі для будь-якої функції виду у = х "(нижче ми спеціально займемося вивченням цих функцій), де n - натуральне число, можна зробити висновок: якщо n - непарне число, то функція у = х" - непарна; якщо ж n - парне число, то функція у = хn - парна.

Існують і функції, які не є ні парними, ні непарними. Така, наприклад, функція у = 2х + 3. Справді, f (1) = 5, а f (-1) = 1. Як бачите, тут Значить, не може виконуватися ні тотожність f (-х) = f ( х), ні тотожність f (-х) = -f (х).

Отже, функція може бути парному, непарної, а також ні тій ні іншій.

Вивчення питання про те, чи є задана функція парній або непарній, зазвичай називають дослідженням функції на парність.

У визначеннях 1 і 2 мова йде про значення функції в точках х і х. Тим самим передбачається, що функція визначена і в точці х, і в точці х. Це означає, що точка х належить області визначення функції одночасно з точкою х. Якщо числове безліч X разом з кожним своїм елементом х містить і протилежний елемент х, то X називають симетричним безліччю. Скажімо, (-2, 2), [-5, 5], (-оо, + оо) - симетричні безлічі, в той час як; (∞; ∞) - симетричні безлічі, а, [-5; 4] - несиметричні.

- У парних функцій область визначення - симетричне безліч? У непарних?
- Якщо ж D ( f) - несиметричне безліч, то функція яка?
- Таким чином, якщо функція у = f(х) - парна або непарна, то її область визначення D ( f) - симетричне безліч. А чи правильно зворотне твердження, якщо область визначення функції симетрична безліч, то вона парна, або непарна?
- Значить наявність симетричного безлічі області визначення - це необхідна умова, але недостатня.
- Так як же досліджувати функцію на парність? Давайте спробуємо скласти алгоритм.

слайд

Алгоритм дослідження функції на парність

1. Установити, симетрична чи область визначення функції. Якщо немає, то функція не є ні парною, ні непарною. Якщо так, то перейти до кроку 2 алгоритму.

2. Скласти вираз для f(–х).

3. Порівняти f(–х) .і f(х):

• якщо f(–х).= f(х), То функція парна;
• якщо f(–х).= – f(х), То функція непарна;
• якщо f(–х) ≠ f(х) і f(–х) ≠ –f(х), То функція не є ні парною, ні непарною.

приклади:

Дослідити на парність функцію а) у= Х 5 +; б) у=; в) у= .

Рішення.

а) h (х) = х 5 +,

1) D (h) = (-∞; 0) U (0; + ∞), симетричне безліч.

2) h (- х) = (х) 5 + - х5 - = - (х 5 +),

3) h (- х) = - h (х) => функція h (х)= Х 5 + непарна.

б) у =,

у = f(х), D (f) = (-∞; -9)? (-9; + ∞), несиметричне безліч, це свідчить про те ні парна, ні непарна.

в) f(х) =, У = f (х),

1) D ( f) = (-∞; 3] ≠; б) (∞; -2), (-4; 4]?

Варіант 2

1. Чи є симетричним заданий безліч: а) [-2; 2]; б) (∞; 0], (0; 7)?

а) у = х 2 · (2х - х 3), б) у =

взаимопроверка по слайду.

6. Домашнє завдання: №11.11, 11.21,11.22;

Доказ геометричного сенсу властивості парності.

*** (Завдання варіанти ЄДІ).

1. Непарна функція у = f (х) визначена на всій числовій прямій. Для будь-якого невід'ємного значення змінної х значення цієї функції збігається зі значенням функції g ( х) = х(х + 1)(х + 3)(х- 7). Знайдіть значення функції h ( х) = При х = 3.

7. Підведення підсумків

У липні 2020 року NASA запускає експедицію на Марс. Космічний апарат доставить на Марс електронний носій з іменами всіх зареєстрованих учасників експедиції.

Якщо цей пост вирішив вашу проблему або просто сподобався вам, поділіться посиланням на нього зі своїми друзями в соціальних мережах.

Один з цих варіантів коду потрібно скопіювати і вставити в код вашої веб-станиці, бажано між тегами іабо ж відразу після тега . За першим варіантом MathJax подгружается швидше і менше гальмує сторінку. Зате другий варіант автоматично відстежує і підвантажує свіжі версії MathJax. Якщо вставити перший код, то його потрібно буде періодично оновлювати. Якщо вставити другий код, то сторінки будуть завантажуватися повільніше, зате вам не потрібно буде постійно стежити за оновленнями MathJax.

Підключити MathJax найпростіше в Blogger або WordPress: в панелі управління сайтом додайте віджет, призначений для вставки стороннього коду JavaScript, скопіюйте в нього перший або другий варіант коду завантаження, представленого вище, і розмістіть віджет ближче до початку шаблону (до речі, це зовсім не обов'язково , оскільки скрипт MathJax завантажується асинхронно). От і все. Тепер вивчіть синтаксис розмітки MathML, LaTeX і ASCIIMathML, і ви готові вставляти математичні формули на веб-сторінки свого сайту.

Черговий напередодні Нового Року ... морозна погода і сніжинки на віконному склі ... Все це спонукало мене знову написати про ... фракталах, і про те, що знає про це Вольфрам Альфа. З цього приводу є цікава стаття, в якій є приклади двовимірних фрактальних структур. Тут же ми розглянемо більш складні приклади тривимірних фракталів.

Фрактал можна наочно уявити (описати), як геометричну фігуру або тіло (маючи на увазі, що і те і інше є безліч, в даному випадку, безліч точок), деталі якої мають таку ж форму, як і сама вихідна фігура. Тобто, це самоподібна структура, розглядаючи деталі якої при збільшенні, ми будемо бачити ту ж саму форму, що й без збільшення. Тоді як у випадку звичайної геометричної фігури (НЕ фрактала), при збільшенні ми побачимо деталі, які мають більш просту форму, ніж сама вихідна фігура. Наприклад, при досить великому збільшенні частина еліпса виглядає, як відрізок прямої. З фракталами такого не відбувається: при будь-якому їх збільшенні ми знову побачимо ту ж саму складну форму, яка з кожним збільшенням буде повторюватися знову і знову.

Бенуа Мандельброт (Benoit Mandelbrot), основоположник науки про фрактали, в своїй статті Фрактали і мистецтво в ім'я науки написав: "Фрактали - це геометричні форми, які в рівній мірі складні в своїх деталях, як і в своїй загальній формі. Тобто, якщо частина фрактала буде збільшена до розміру цілого, вона буде виглядати, як ціле, або в точності, або, можливо, з невеликою деформацією ".