учень 10 класу Котовчіхін Юрій

Рівняння з модулями учні починають вивчати вже з 6-го класу, вони вивчають стандартний метод рішення за допомогою розкриття модулів на проміжках знакопостоянства підмодульних виразів. Я вибрав саме цю тему, тому що вважаю, що вона вимагає більш глибокого і досконалого дослідження, завдання з модулем викликають великі труднощі в учнів. У шкільній програмі зустрічаються завдання, що містять модуль як завдання підвищеної складності і на іспитах, отже, ми повинні бути готові до зустрічі з таким завданням.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Муніципальне освітній заклад

Середня загальноосвітня школа №5

Дослідницька робота на тему:

« Алгебраїчне і графічне рішення рівнянь і нерівностей, що містять модуль»

Роботу виконав:

учень 10 класу

Котовчіхін Юрій

керівник:

викладач математики

Шанта Н.П.

Урюпінськ

1.Вступ .................................................................. .3

2.Понятие і визначення ................................................ .5

3.Доказательство теорем ................................................ ..6

4.Способи рішення рівнянь, що містять модуль ............ ... 7

4.1.Решеніе за допомогою залежностей між числами a і b, їх модулями і квадратами .................................................................. 12

4.2.Іспользованіе геометричній інтерпретації модуля для вирішення рівнянь .................................................................. ..14

4.3.Графікі найпростіших функцій, що містять знак абсолютної величини.

………………………………………………………………………15

4.4.Решеніе нестандартних рівняння, що містять модуль ... .16

5.Заключеніе ............................................................... .17

6.Список використаної літератури ................................. 18

Мета роботи: рівняння з модулями учні починають вивчати вже з 6-го класу, вони вивчають стандартний метод рішення за допомогою розкриття модулів на проміжках знакопостоянства підмодульних виразів. Я вибрав саме цю тему, тому що вважаю, що вона вимагає більш глибокого і досконалого дослідження, завдання з модулем викликають великі труднощі в учнів. У шкільній програмі зустрічаються завдання, що містять модуль як завдання підвищеної складності і на іспитах, отже, ми повинні бути готові до зустрічі з таким завданням.

1. Введення:

Слово "модуль" походить від латинського слова "modulus", що в перекладі означає "міра". Це багатозначне слово (омонім), яке має безліч значень і застосовується не тільки в математиці, але і в архітектурі, фізики, техніці, програмуванні та інших точних науках.

В архітектурі це вихідна одиниця виміру, що встановлюється для даного архітектурної споруди і служить для вираження кратних співвідношень його складових елементів.

У техніці це термін, який застосовується в різних областях техніки, що не має універсального значення і служить для позначення різних коефіцієнтів і величин, наприклад модуль зачеплення, модуль пружності і.т.п.

Модуль об'ємного стиснення (у фізиці)-відношення нормального напруги в матеріалі до відносного подовження.

2. Поняття і визначення

Модуль - абсолютне значення - дійсного числа А позначається | A |.

Щоб глибоко вивчати цю тему, необхідно познайомитися з найпростішими визначеннями, які мені будуть необхідні:

Рівняння-це рівність, що містить змінні.

Рівняння з модулем це рівняння, що містять змінну під знаком абсолютної величини (під знаком модуля).

Вирішити рівняння-це значить знайти всі його корені, або довести, що коренів немає.

3.Доказательство теорем

Теорема 1. Абсолютна величина дійсного числа дорівнює більшому із двох чисел a або -a.

Доведення

1. Якщо число a позитивно, то -a негативно, т. Е. -A

Наприклад, число 5 позитивно, тоді -5 - негативно і -5

У цьому випадку | a | = A, т. Е. | A | збігається з великим з двох чисел a і - a.

2. Якщо a негативно, тоді -a позитивно і a

Слідство. З теореми випливає, що | -a | = | A |.

Справді, як, так і рівні більшому із чисел -a і a, а значить рівні між собою.

Теорема 2. Абсолютна величина будь-якої дійсного числа a дорівнює арифметичному квадратному кореню з А 2 .

Справді, якщо то, за визначенням модуля числа, будемо мати lАl> 0 З іншого боку, при А> 0 означає | a | = √A 2

якщо a 2

Ця теорема дає можливість при вирішенні деяких завдань замінювати | a | на

Геометрично | a | означає відстань на координатній прямій від точки, яка зображує число a, до початку відліку.

Якщо то на координатній прямій існує дві точки a і -a, рівновіддаленою від нуля, модулі яких рівні.

Якщо a = 0, то на координатній прямій | a | зображується точкою 0

4.Способи рішення рівнянь, що містять модуль.

Для вирішення рівнянь, що містять знак абсолютної величини, ми будемо грунтується на визначенні модуля числа і властивості абсолютної величини числа. Ми вирішимо кілька прикладів різними способами і подивимося, який із способів виявиться простіше для вирішення рівнянь, що містять модуль.

Приклад 1. Вирішимо аналітично і графічно рівняння | x + 2 | = 1.

Рішення

аналітичне рішення

1-й спосіб

Міркувати будемо, виходячи з визначення модуля. Якщо вираз, що знаходиться під модулем неотрицательно, т. Е. X + 2 ≥0, тоді воно "вийде" з під знака модуля зі знаком "плюс" і рівняння набуде вигляду: x + 2 = 1. Якщо значення виразу під знаком модуля негативно , тоді, за визначенням, він дорівнюватиме: або x + 2 = -1

Таким чином, отримуємо, або x + 2 = 1, або x + 2 = -1. Вирішуючи отримані рівняння, знаходимо: Х + 2 = 1 або Х + 2 + -1

Х = -1 Х = 3

Відповідь: -3; -1.

Тепер можна зробити висновок: якщо модуль деякого виразу дорівнює дійсному позитивному числу a, тоді вираз під модулем одно або a, або -а.

графічне рішення

Одним із способів вирішення рівнянь, що містять модуль є графічний спосіб. Суть цього способу полягає в тому, щоб побудувати графіки даних функцій. У разі, якщо графіки перетнуться, точки перетину даних графіків будуть є корінням нашого рівняння. У разі, якщо графіки не перетнуться, ми зможемо зробити висновок, що рівняння коренів не має. Цей спосіб, ймовірно, рідше за інших застосовують для вирішення рівнянь, що містять модуль, так як, по-перше, він займає досить багато часу і не завжди раціональний, а, по-друге, результати, отримані при побудові графіків, не завжди є точними.

Інший спосіб вирішення рівнянь, що містять модуль- це спосіб розбиття числової прямої на проміжки. У цьому випадку нам потрібно розбити числову пряму так, що за визначенням модуля, знак абсолютної величини на даних проміжках можна буде зняти. Потім, для кожного з проміжків ми повинні будемо вирішити дане рівняння і зробити висновок, щодо одержані коренів (задовольняють вони нашому проміжку чи ні). Коріння, що задовольняють проміжки і дадуть остаточну відповідь.

2-й спосіб

Встановимо, при яких значеннях x, модуль дорівнює нулю: | Х + 2 | = 0, Х = 2

Отримаємо два проміжку, на кожному з яких вирішимо рівняння:

Отримаємо дві змішаних системи:

(1) Х + 2 0

Х-2 = 1 Х + 2 = 1

Вирішимо кожну систему:

X = -3 X = -1

Відповідь: -3; -1.

графічне рішення

y = | X + 2 |, y = 1.

графічне рішення

Для вирішення рівняння графічним способом, треба побудувати графіки функцій і

Для побудови графіка функції, побудуємо графік функції - це функція, яка перетинає вісь OX і вісь OY в точках.

Абсциси точок перетину графіків функцій дадуть рішення рівняння.

Пряма графіка функції y = 1 перетнулася з графіком функції y = | x + 2 | в точках з координатами (-3; 1) і (-1; 1), отже рішеннями рівняння будуть абсциси точок:

x = -3, x = -1

Відповідь: -3; -1

Приклад 2. Вирішити аналітично і графічно рівняння 1 + | x | = 0.5.

Рішення:

аналітичне рішення

Перетворимо рівняння: 1 + | x | = 0.5

| X | = 0.5-1

| X | = -0.5

Зрозуміло, що в цьому випадку рівняння не має рішень, так як, за визначенням, модуль завжди неотрицателен.

Відповідь: рішень немає.

графічне рішення

Перетворимо рівняння:: 1 + | x | = 0.5

| X | = 0.5-1

| X | = -0.5

Графіком функції є промені - бісектриси 1-го і 2-го координатних кутів. Графіком функції є пряма, паралельна осі OX і проходить через точку -0,5 на осі OY.

Графіки не перетинаються, значить рівняння не має рішень.

Відповідь: немає рішень.

Приклад 3. Вирішіть аналітично і графічно рівняння | -x + 2 | = 2x + 1.

Рішення:

аналітичне рішення

1-й спосіб

Найперше слід встановити область допустимих значень змінної. Виникає природне запитання, чому в попередніх прикладах не було необхідності робити цього, а зараз вона виникла.

Справа в тому, що в цьому прикладі в лівій частині рівняння модуль деякого виразу, а в правій здебільшого не число, а вираз зі змінною, - саме цю важливу обставину відрізняє даний приклад від попередніх.

Оскільки в лівій частині - модуль, а в правій частині, вираз, що містить змінну, необхідно вимагати, щоб цей вислів було невід'ємним, т. Е. Таким чином, область допустимих

значень модуля

Тепер можна міркувати так само, як і в прикладі 1, коли в правій частині рівності перебувало позитивної число. Отримаємо дві змішаних системи:

(1) -X + 2≥0 і (2) -X + 2

X + 2 = 2X + 1; X-2 = 2X + 1

Вирішимо кожну систему:

(1) входить в проміжок і є коренем рівняння.

X≤2

X = ⅓

(2) X> 2

X = -3

X = -3 не входить в проміжок і не є коренем рівняння.

Відповідь: ⅓.

4.1.Решеніе за допомогою залежностей між числами a і b, їх модулями і квадратами цих чисел.

Окрім наведених мною вище способів існує певна равносильность, між числами і модулями даних чисел, а також між квадратами і модулями даних чисел:

| A | = | b | a = b або a = -b

A2 = b2 a = b або a = -b

Звідси в свою чергу отримаємо, що

| A | = | b | a 2 = b 2

Приклад 4. Вирішимо рівняння | x + 1 | = | 2x - 5 | двома різними способами.

1.Учітивая співвідношення (1), отримаємо:

X + 1 = 2x - 5 або x + 1 = -2x + 5

x - 2x = -5 - 1 x + 2x = 5 - 1

X = -6 | (: 1) 3x = 4

X = 6 x = 11/3

Корінь першого рівняння x = 6, корінь другого рівняння x = 11/3

Таким чином коріння вихідного рівняння x 1 = 6, x 2 = 11/3

2. В силу співвідношення (2), отримаємо

(X + 1) 2 = (2x - 5) 2, або x2 + 2x + 1 = 4x2 - 20x + 25

X2 - 4x2 + 2x + 1 + 20x - 25 = 0

3x2 + 22x - 24 = 0 | (: - 1)

3x2 - 22x + 24 = 0

D / 4 = 121-3 24 = 121 - 72 = 49> 0 ==> рівняння має 2 різних кореня.

x 1 = (11 - 7) / 3 = 11/3

x 2 = (11 + 7) / 3 = 6

Як показує рішення, корінням даного рівняння також є числа 11/3 і 6

Відповідь: x 1 = 6, x 2 = 11/3

Приклад 5. Вирішимо рівняння (2x + 3) 2 = (x - 1) 2.

З огляду на співвідношення (2), отримаємо, що | 2x + 3 | = | x - 1 |, звідки за зразком попереднього прикладу (і по співвідношенню (1)):

2х + 3 = х - 1 або 2х + 3 = х + 1

2х - х = -1 - 3 2х + х = 1 - 3

Х = -4 х = -0, (6)

Таким чином корінням рівняння є х1 = -4, і х2 = -0, (6)

Відповідь: х1 = -4, х 2 = 0, (6)

Приклад 6. Вирішимо рівняння | x - 6 | = | x2 - 5x + 9 |

Користуючись співвідношенням, отримаємо:

х - 6 = х2 - 5х + 9 або х - 6 = - (х2 - 5х + 9)

Х2 + 5х + х - 6 - 9 = 0 | (-1) x - 6 = -x2 + 5x - 9

x2 - 6x + 15 = 0 x2 - 4x + 3 = 0

D = 36 - 4 15 = 36 - 60 = -24 D = 16 - 4 3 = 4> 0 ==> 2 р.к.

==> коренів немає.

X 1 = (4 2) / 2 = 1

X 2 = (4 + 2) / 2 = 3

Перевірка: | 1 - 6 | = | 12 - 5 1 + 9 | | 3 - 6 | = | 32 - 5 3 + 9 |

5 = 5 (І) 3 = | 9 - 15 + 9 |

3 = 3 (І)

Відповідь: x 1 = 1; x 2 = 3

4.2.Іспользованіе геометричній інтерпретації модуля для вирішення рівнянь.

Геометричний сенс модуля різниці величин це відстань між ними. Наприклад, геометричний зміст виразу | x - a | -довжина відрізка координатної осі, що з'єднує точки з абсциссами а й х. Переклад алгебраїчної задачі на геометричну мову часто дозволяє уникнути громіздких рішень.

Прімер7. Вирішимо рівняння | x - 1 | + | X - 2 | = 1 з використанням геометричної інтерпретації модуля.

Будемо міркувати таким чином: виходячи з геометричної інтерпретації модуля, ліва частина рівняння являє собою суму відстаней від деякої точки абсцис х до двох фіксованих точок з абсциссами 1 і 2. Тоді очевидно, що всі крапки з абсциссами з відрізка мають потрібним властивістю, а точки, розташовані поза цим отрезка- немає. Звідси відповідь: безліччю рішень рівняння є відрізок.

відповідь:

Прімер8. Вирішимо рівняння | x - 1 | - | x - 2 | = 1 + 1 з використанням геометричної інтерпретації модуля.

Будемо міркувати аналогічно до попереднього прикладу, при цьому отримаємо, що різниця відстаней до точок з абсциссами 1 і 2 дорівнює одиниці тільки для точок, розташованих на координатної осі правіше числа 2. Отже рішенням даного рівняння буде є не відрізок, укладений між точками 1 і 2, а промінь, що виходить з точки 2, і спрямований в позитивному напрямку осі ОХ.

Відповідь: ∪ або в іншому записі x 1 ≤x≤x 2,

де x 1 і x 2 - корені квадратного тричлена a · x 2 + b · x + c, причому x 1

Тут ми бачимо параболу, гілки якої спрямовані вгору, і яка стосується осі абсцис, тобто, має з нею одну спільну точку, позначимо абсциссу цієї точки як x 0. Представленому нагоди відповідає a> 0 (гілки спрямовані вгору) і D = 0 (квадратний тричлен має один корінь x 0). Для прикладу можна взяти квадратичную функцію y = x 2 -4 · x + 4, тут a = 1> 0, D = (- 4) 2 -4 · 1 · 4 = 0 і x 0 = 2.

За кресленням чітко видно, що парабола розташована вище осі Ox всюди, крім точки дотику, тобто, на проміжках (-∞, x 0), (x 0, ∞). Для наочності виділимо на кресленні області за аналогією з попереднім пунктом.

Робимо висновки: при a> 0 і D = 0

• рішенням квадратного нерівності a · x 2 + b · x + c> 0 є (-∞, x 0) ∪ (x 0, + ∞) або в іншому записі x ≠ x 0;
• рішенням квадратного нерівності a · x 2 + b · x + c≥0 є (-∞, + ∞) або в іншому записі x∈R;
• квадратне нерівність a · x 2 + b · x + c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• квадратне нерівність a · x 2 + b · x + c≤0 має єдине рішення x = x 0 (його дає точка дотику),

де x 0 - корінь квадратного тричлена a · x 2 + b · x + c.

В цьому випадку гілки параболи спрямовані вгору, і вона не має спільних точок з віссю абсцис. Тут ми маємо умови a> 0 (гілки спрямовані вгору) і D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0, D = 0 2 -4 · 2 · 1 = -8<0 .

Очевидно, парабола розташована вище осі Ox на всій її довжині (немає інтервалів, на яких вона нижче осі Ox, немає точки дотику).

Таким чином, при a> 0 і D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 і a · x 2 + b · x + c≥0 є безліч всіх дійсних чисел, а нерівності a · x 2 + b · x + c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

І залишаються три варіанти розташування параболи з спрямованими вниз, а не вгору, гілками щодо осі Ox. В принципі їх можна і не розглядати, тому що множення обох частин нерівності на -1 дозволяє перейти до рівносильному нерівності з позитивним коефіцієнтом при x 2. Але все ж не завадить отримати уявлення і про ці випадки. Міркування тут аналогічні, тому запишемо лише головні результати.

алгоритм рішення

Підсумком всіх попередніх викладок виступає алгоритм вирішення квадратних нерівностей графічним способом:

На координатної площини виконується схематичне креслення, на якому зображується вісь Ox (вісь Oy зображувати не обов'язково) і ескіз параболи, що відповідає квадратичної функції y = a · x 2 + b · x + c. Для побудови ескізу параболи досить з'ясувати два моменти:

• По-перше, за значенням коефіцієнта a з'ясовується, куди спрямовані її гілки (при a> 0 - вгору, при a<0 – вниз).
• А по-друге, за значенням дискримінанту квадратного тричлена a · x 2 + b · x + c з'ясовується, перетинає чи парабола вісь абсцис в двох точках (при D> 0), стосується її в одній точці (при D = 0), або не має спільних точок з віссю Ox (при D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Коли креслення готовий, по ньому на другому кроці алгоритму

  • при вирішенні квадратного нерівності a · x 2 + b · x + c> 0 визначаються проміжки, на яких парабола розташовується вище осі абсцис;
  • при вирішенні нерівності a · x 2 + b · x + c≥0 визначаються проміжки, на яких парабола розташовується вище осі абсцис і до них додаються абсциси точок перетину (або абсциса точки дотику);
  • при вирішенні нерівності a · x 2 + b · x + c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • нарешті, при вирішенні квадратного нерівності виду a · x 2 + b · x + c≤0 знаходяться проміжки, на яких парабола нижче осі Ox і до них додаються абсциси точок перетину (або абсциса точки дотику);

  вони і складають шукане рішення квадратного нерівності, а якщо таких проміжків немає і немає точок дотику, то вихідне квадратне нерівність не має рішень.

Залишається лише вирішити кілька квадратних нерівностей з використанням цього алгоритму.

Приклади з рішеннями

Приклад.

Вирішіть нерівність .

Рішення.

Нам потрібно вирішити квадратне нерівність, скористаємося алгоритмом з попереднього пункту. На першому кроці нам потрібно зобразити ескіз графіка квадратичної функції . Коефіцієнт при x 2 дорівнює 2, він позитивний, отже, гілки параболи спрямовані вгору. З'ясуємо ще, чи має парабола з віссю абсцис загальні точки, для цього обчислимо дискриминант квадратного тричлена . маємо . Дискримінант виявився більше нуля, отже, тричлен має два дійсних кореня: і , Тобто, x 1 = -3 і x 2 = 1/3.

Звідси зрозуміло, що парабола перетинає вісь Ox в двох точках з абсциссами -3 і 1/3. Ці точки зобразимо на кресленні звичайні точки, так як вирішуємо Нечитка нерівність. За нез'ясованих даними отримуємо наступний креслення (він підходить під перший шаблон з першого пункту статті):

Переходимо до другого кроку алгоритму. Так як ми вирішуємо Нечитка квадратне нерівність зі знаком ≤, то нам потрібно визначити проміжки, на яких парабола розташована нижче осі абсцис і додати до них абсциси точок перетину.

З креслення видно, що парабола нижче осі абсцис на інтервалі (-3, 1/3) і до нього додаємо абсциси точок перетину, тобто, числа -3 і 1/3. В результаті приходимо до числовому відрізку [-3, 1/3]. Це і є шукане рішення. Його можна записати у вигляді подвійного нерівності -3≤x≤1 / 3.

відповідь:

[-3, 1/3] або -3≤x≤1 / 3.

Приклад.

Знайдіть рішення квадратного нерівності -x 2 + 16 · x-63<0 .

Рішення.

Зазвичай починаємо з креслення. Числовий коефіцієнт при квадраті змінної негативний, -1, тому, гілки параболи спрямовані вниз. Обчислимо дискриминант, а краще - його четверту частину: D "= 8 2 - (- 1) · (-63) = 64-63 = 1. Значення одеського форуму позитивно, обчислимо корені квадратного тричлена: і , X 1 = 7 і x 2 = 9. Так парабола перетинає вісь Ox в двох точках з абсциссами 7 і 9 (вихідне нерівність суворе, тому ці точки будемо зображати з порожнім центром) .Тепер можна зробити схематичний малюнок:

Так як ми вирішуємо суворе квадратне нерівність зі знаком<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

За кресленням видно, що рішеннями вихідної квадратного нерівності є два проміжку (-∞, 7), (9, + ∞).

відповідь:

(-∞, 7) ∪ (9, + ∞) або в іншому записі x<7 , x>9 .

При вирішенні квадратних нерівностей, коли дискримінант квадратного тричлена в його лівій частині дорівнює нулю, потрібно бути уважним з включенням або виключенням з відповіді абсциси точки дотику. Це залежить від знака нерівності: якщо нерівність суворе, то вона не є рішенням нерівності, а якщо Нечитка - то є.

Приклад.

Чи має квадратне нерівність 10 · x 2 -14 · x + 4,9≤0 хоча б одне рішення?

Рішення.

Побудуємо графік функції y = 10 · x 2 -14 · x + 4,9. Її гілки спрямовані вгору, так як коефіцієнт при x 2 позитивний, і вона стосується осі абсцис в точці з абсцисою 0,7, так як D "= (- 7) 2 -10 · 4,9 = 0, звідки або 0,7 у вигляді десяткового дробу. Схематично це виглядає так:

Так як ми вирішуємо квадратне нерівність зі знаком ≤, то його рішенням будуть проміжки, на яких парабола нижче осі Ox, а також абсциса точки дотику. З креслення видно, що немає жодного проміжку, де б парабола була нижче осі Ox, тому його рішенням буде лише абсциса точки дотику, тобто, 0,7.

відповідь:

таку нерівність має єдине рішення 0,7.

Приклад.

Вирішіть квадратне нерівність -x 2 + 8 · x-16<0 .

Рішення.

Діємо за алгоритмом рішення квадратних нерівностей і починаємо з побудови графіка. Гілки параболи спрямовані вниз, так як коефіцієнт при x 2 негативний, -1. Знайдемо дискримінант квадратного тричлена -x 2 + 8 · x-16, маємо D '= 4 2 - (- 1) · (-16) = 16-16 = 0і далі x 0 = -4 / (- 1), x 0 = 4. Отже, парабола стосується осі Ox в точці з абсцисою 4. Виконаємо креслення:

Дивимося на знак вихідної нерівності, він є<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

У нашому випадку це відкриті промені (-∞, 4), (4, + ∞). Окремо зауважимо, що 4 - абсциса точки дотику - не є рішенням, так як в точці дотику парабола не нижче осі Ox.

відповідь:

(-∞, 4) ∪ (4, + ∞) або в іншому записі x ≠ 4.

Зверніть особливу увагу на випадки, коли дискримінант квадратного тричлена, що знаходиться в лівій частині квадратного нерівності, менше нуля. Тут не потрібно поспішати і говорити, що нерівність рішень не має (ми ж звикли робити такий висновок для квадратних рівнянь з від'ємним дискримінантом). Справа в тому, що квадратне нерівність при D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Приклад.

Знайдіть рішення квадратного нерівності 3 · x 2 +1> 0.

Рішення.

Як завжди починаємо з креслення. Коефіцієнт a дорівнює 3, він позитивний, отже, гілки параболи спрямовані вгору. Обчислюємо дискриминант: D = 0 2 -4 · 3 · 1 = -12. Так як дискримінант від'ємний, то парабола не має з віссю Ox спільних точок. Отриманих відомостей достатньо для схематичного графіка:

Ми вирішуємо суворе квадратне нерівність зі знаком>. Його рішенням будуть все проміжки, на яких парабола знаходиться вище осі Ox. У нашому випадку парабола вище осі абсцис на всій її довжині, тому шуканим рішенням буде безліч всіх дійсних чисел.

Ox, а також до них потрібно додати абсциси точок перетину або абсциссу точки дотику. Але за кресленням добре видно, що таких проміжків немає (так як парабола всюди нижче осі абсцис), як немає і точок перетину, як немає і точки дотику. Отже, вихідне квадратне нерівність не має рішень.

відповідь:

немає рішень або в іншому записі ∅.

Список літератури.

• алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ / [Ю. Н. Макаричєв, Н. Г. Миндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; під ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М.: Просвещение, 2008. - 271 с. : Ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• алгебра: 9 клас: навч. для загальноосвіт. установ / [Ю. Н. Макаричєв, Н. Г. Миндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; під ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М.: Просвещение, 2009. - 271 с. : Ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Мордкович А. Г.Алгебра. 8 клас. У 2 ч. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., Стер. - М .: Мнемозина, 2009. - 215 с .: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Мордкович А. Г.Алгебра. 9 клас. У 2 ч. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., Стер. - М .: Мнемозина, 2011. - 222 с .: іл. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Мордкович А. Г.Алгебра і початки математичного аналізу. 11 клас. У 2 ч. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ (профільний рівень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-е изд., Стер. - М .: Мнемозина, 2008. - 287 с .: іл. ISBN 978-5-346-01027-2.

Багато завдань, які ми звикли обчислювати чисто алгебраїчно, можна набагато легше і швидше вирішити, в цьому нам допоможе використання графіків функцій. Ти скажеш «як так?» креслити щось, та й що креслити? Повір мені, іноді це зручніше і простіше. Приступимо? Почнемо з рівнянь!

Графічне рішення рівнянь

Графічне рішення лінійних рівнянь

Як ти вже знаєш, графіком лінійного рівняння є пряма лінія, звідси і назва даного виду. Лінійні рівняння досить легко вирішувати алгебраїчним шляхом - все невідомі переносимо в одну сторону рівняння, все, що нам відомо - в іншу і вуаля! Ми знайшли корінь. Зараз же я покажу тобі, як це зробити графічним способом.

Отже, у тебе є рівняння:

Як його вирішити?
Варіант 1, І найпоширеніший - перенести невідомі в одну сторону, а відомі в іншу, отримуємо:

А тепер будуємо. Що у тебе вийшло?

Як ти думаєш, що є коренем нашого рівняння? Правильно, координата точки перетину графіків:

Наша відповідь -

Ось і вся премудрість графічного рішення. Як ти з легкістю можеш перевірити, коренем нашого рівняння є число!

Як я говорила вище, це найпоширеніший варіант, наближений до алгебраическому рішенням, але можна вирішувати і по-іншому. Для розгляду альтернативного рішення повернемося до нашого рівняння:

В цей раз не будемо нічого переносити з одного боку в інший, а побудуємо графіки безпосередньо, так як вони зараз є:

Побудував? Дивимося!

Що є рішенням на цей раз? Все вірно. Теж саме - координата точки перетину графіків:

І, знову наша відповідь -.

Як ти бачиш, з лінійними рівняннями все гранично просто. Настав час розглянути що-небудь складніше ... Наприклад, графічне рішення квадратних рівнянь.

Графічне рішення квадратних рівнянь

Отже, тепер приступимо до вирішення квадратного рівняння. Припустимо, тобі потрібно знайти коріння у цього рівняння:

Звичайно, ти можеш зараз почати вважати через дискримінант, або по теоремі Вієта, але багато на нервах помиляються при переумножении або в зведенні в квадрат, особливо, якщо приклад з великими числами, а калькулятора, як ти знаєш, у тебе на іспиті не буде ... Тому, давай спробуємо трохи розслабитися і помалювати, вирішуючи дане рівняння.

Графічно знайти вирішення даного рівняння можна різними способами. Розглянемо різні варіанти, а вже ти сам вибереш, який найбільше тобі сподобається.

Спосіб 1. Безпосередньо

Просто будуємо параболу з даного рівняння:

Щоб зробити це швидко, дам тобі одну маленьку підказку: зручно почати побудову з визначення вершини параболи.Визначити координати вершини параболи допоможуть наступні формули:

Ти скажеш «Стоп! Формула для дуже схожа на формулу знаходження дискримінанту »так, так воно і є, і це є величезним мінусом« прямого »побудови параболи, щоб знайти її коріння. Проте, давай Досчитаем до кінця, а потім я покажу, як це зробити набагато (набагато!) Простіше!

Порахував? Які координати вершини параболи у тебе вийшли? Давай розбиратися разом:

Точно таку ж відповідь? Молодець! І ось ми знаємо вже координати вершини, а для побудови параболи нам потрібно ще ... точок. Як ти думаєш, скільки мінімум точок нам необхідно? Правильно,.

Ти знаєш, що парабола симетрична щодо своєї вершини, наприклад:

Відповідно, нам необхідно ще дві точки по лівій або правій гілці параболи, а в подальшому ми ці точки симетрично відіб'ємо на протилежну сторону:

Повертаємося до нашої параболі. Для нашого випадку точка. Нам необхідно ще дві точки, відповідно, можна взяти позитивні, а можна взяти негативні? Які точки тобі зручніше? Мені зручніше працювати з позитивними, тому я розрахую при і.

Тепер у нас є три точки, і ми спокійно можемо побудувати нашу параболу, відбивши два останні точки щодо її вершини:

Як ти думаєш, що є рішенням рівняння? Правильно, точки, в яких, тобто і. Тому що.

І якщо ми говоримо, що, то значить, що теж має дорівнювати, або.

Просто? Це ми закінчили з тобою рішення рівняння складним графічним способом, то ли еще будет!

Звичайно, ти можеш перевірити наш відповідь алгебраїчним шляхом - порахуєш коріння через теорему Вієта або Дискримінант. Що у тебе вийшло? Теж саме? От бачиш! Тепер подивимося зовсім просте графічне рішення, впевнена, воно тобі дуже сподобається!

Спосіб 2. З розбивкою на кілька функцій

Візьмемо все теж наше рівняння:, але запишемо його дещо по-іншому, а саме:

Чи можемо ми так записати? Можемо, так як перетворення рівносильно. Дивимося далі.

Побудуємо окремо дві функції:

1. - графіком є ​​проста парабола, яку ти з легкістю побудуєш навіть без визначення вершини за допомогою формул і складання таблиці для визначення інших точок.
2. - графіком є ​​пряма, яку ти так само легко побудуєш, прикинувши значення і в голові навіть не вдаючись до калькулятору.

Побудував? Порівняємо з тим, що вийшло у мене:

Як ти вважаєш, що в даному випадку є корінням рівняння? Правильно! Координати по, які вийшли при перетині двох графіків і, тобто:

Відповідно, рішенням даного рівняння є:

Що скажеш? Погодься, цей спосіб вирішення набагато легше, ніж попередній і навіть легше, ніж шукати коріння через дискримінант! А якщо так, спробуй даними способом вирішити таке рівняння:

Що у тебе вийшло? Порівняємо наші графіки:

За графіками видно, що відповідями є:

Впорався? Молодець! Тепер подивимося рівняння чууууть-чуть складніше, а саме, рішення змішаних рівнянь, тобто рівнянь, що містять функції різного виду.

Графічне рішення змішаних рівнянь

Тепер спробуємо вирішити наступне:

Звичайно, можна привести все до спільного знаменника, знайти коріння отриманого рівняння, не забувши при цьому врахувати ОДЗ, але ми знову ж таки, спробуємо вирішити графічно, як робили в усіх попередніх випадках.

Цього разу давай побудуємо 2 наступних графіка:

1. - графіком є ​​гіпербола
2. - графіком є ​​пряма, яку ти легко побудуєш, прикинувши значення і в голові навіть не вдаючись до калькулятору.

Усвідомив? Тепер займися побудовою.

Ось що вийшло у мене:

Дивлячись на цей малюнок, скажи, що є корінням нашого рівняння?

Правильно, і. Ось і підтвердження:

Спробуй підставити наше коріння в рівняння. Вийшло?

Все вірно! Погодься, графічно вирішувати подібні рівняння одне задоволення!

Спробуй самостійно графічним способом вирішити рівняння:

Даю підказку: перенеси частина рівняння в праву сторону, щоб з обох сторін виявилися найпростіші для побудови функції. Натяк зрозумів? Дій!

Тепер подивимося, що у тебе вийшло:

відповідно:

1. - кубічна парабола.
2. - звичайна пряма.

Ну і будуємо:

Як ти вже давно у себе записав, коренем даного рівняння є -.

Прорешать така велика кількість прикладів, впевнена, ти усвідомив якомога легко і швидко розв'язувати рівняння графічним шляхом. Настав час розібратися, як вирішувати подібним способом системи.

Графічне рішення систем

Графічне рішення систем по суті нічим не відрізняється від графічного рішення рівнянь. Ми так само будемо будувати два графіка, і їх точки перетину і будуть корінням даної системи. Один графік - одне рівняння, другий графік - інше рівняння. Все гранично просто!

Почнемо з найпростішого - рішення систем лінійних рівнянь.

Рішення систем лінійних рівнянь

Припустимо, у нас є наступна система:

Для початку перетворимо її таким чином, щоб зліва було все, що пов'язано з, а праворуч - що пов'язано с. Іншими словами, запишемо дані рівняння як функцію в звичному для нас вигляді:

А тепер просто будуємо дві прямі. Що в нашому випадку є рішенням? Правильно! Точка їх перетину! І тут необхідно бути дуже-дуже уважним! Подумай, чому? Натякну: ми маємо справу з системою: в системі є і, і ... Натяк зрозумів?

Все вірно! Вирішуючи систему, ми повинні дивитися обидві координати, а не тільки, як при вирішенні рівнянь! Ще один важливий момент - правильно їх записати і не переплутати, де у нас значення, а де значення! Записав? Тепер давай все порівняємо по порядку:

І відповіді: і. Зроби перевірку - підстав знайдені коріння в систему і переконайся, чи правильно ми її вирішили графічним способом?

Рішення систем нелінійних рівнянь

А що якщо замість однієї прямої, у нас буде квадратне рівняння? Та нічого страшного! Просто ти замість прямої побудуєш параболу! Не віриш? Спробуй вирішити наступну систему:

Який наш наступний крок? Правильно, записати так, щоб нам було зручно будувати графіки:

А тепер так взагалі справа за малим - побудував швиденько і ось тобі рішення! будуємо:

Графіки вийшли такими ж? Тепер відзнач на малюнку рішення системи і грамотно запиши виявлені відповіді!

Все зробив? Порівняй з моїми записами:

Все вірно? Молодець! Ти вже клацаєш подібні завдання як горішки! А раз так, дамо тобі систему складніше:

Що ми робимо? Правильно! Записуємо систему так, щоб було зручно будувати:

Трохи тобі підкажу, так як система виглядає ну дуже не простий! Будуючи графіки, лад їх «побільше», а головне, не дивуйся кількості точок перетину.

Отже, поїхали! Видихнув? Тепер починай будувати!

Ну як? Красиво? Скільки точок перетину у тебе вийшло? У мене три! Давай порівнювати наші графіки:

Так само? Тепер акуратно запиши всі рішення нашої системи:

А тепер ще раз подивися на систему:

Уявляєш, що ти вирішив це за якихось 15 хвилин? Погодься, математика - це все-таки просто, особливо, коли дивлячись на вираз, не боїшся помилитися, а береш і вирішуєш! Ти великий молодець!

Графічне рішення нерівностей

Графічне рішення лінійних нерівностей

Після останнього прикладу тобі все по плечу! Зараз видихни - в порівнянні з попередніми розділами цей буде дуже-дуже легким!

Почнемо ми, як завжди з графічного рішення лінійного нерівності. Наприклад, ось цього:

Для початку проведемо найпростіші перетворення - розкриємо дужки повних квадратів і наведемо подібні доданки:

Нерівність Нечитка, тому - не включається в проміжок, і рішенням будуть усі точки, які знаходяться правіше, так як більше, більше і так далі:

відповідь:

От і все! Легко? Давай вирішимо просте нерівність з двома змінними:

Намалюємо в системі координат функцію.

Такий графік у тебе вийшов? А тепер уважно дивимося, що там у нас в нерівності? Менше? Значить, зафарбовує все, що знаходиться лівіше нашим прямим. А якщо було б більше? Правильно, тоді зафарбовували б все, що знаходиться правіше нашим прямим. Все просто.

Всі рішення даного нерівності «завуальований» помаранчевим кольором. Ось і все, нерівність з двома змінними вирішено. Це означає, що координати і будь-якої точки з зафарбованою області - і є рішення.

Графічне рішення квадратних нерівностей

Тепер будемо розбиратися з тим, як графічно вирішувати квадратні нерівності.

Але перш, ніж перейти безпосередньо до справи, давай повторимо деякий матеріал, що стосується квадратної функції.

А за що у нас відповідає дискриминант? Правильно, за стан графіку щодо осі (якщо не пам'ятаєш цього, то тоді точно прочитай теорію про квадратичних функціях).

У будь-якому випадку, ось тобі невелика табличка-нагадування:

Тепер, коли ми освіжили в пам'яті весь матеріал, перейдемо до справи - вирішимо графічно нерівність.

Відразу тобі скажу, що є два варіанти його вирішення.

Варіант 1

Записуємо нашу параболу як функцію:

За формулами визначаємо координати вершини параболи (точно так само, як і при вирішенні квадратних рівнянь):

Порахував? Що у тебе вийшло?

Тепер візьмемо ще дві різні точці і порахуємо для них:

Починаємо будувати одну гілку параболи:

Симетрично відображаємо наші точки на іншу гілку параболи:

А тепер повертаємося до нашого нерівності.

Нам необхідно, щоб було менше нуля, відповідно:

Так як в нашому нерівності стоїть знак строго менше, то кінцеві точки ми виключаємо - «виколювали».

відповідь:

Довгий спосіб, правда? Зараз я покажу тобі простіший варіант графічного рішення на прикладі того ж нерівності:

Варіант 2

Повертаємося до нашого нерівності і відзначаємо потрібні нам проміжки:

Погодься, це набагато швидше.

Запишемо тепер відповідь:

Розглянемо ще один спосіб вирішення, який спрощує і алгебраїчну частина, але головне не заплутатися.

Помножимо ліву і праву частини на:

Спробуй самостійно вирішити наступне квадратне нерівність будь-яким вподобаним тобі способом:.

Впорався?

Дивись, як графік вийшов у мене:

відповідь: .

Графічне рішення змішаних нерівностей

Тепер перейдемо до більш складним неравенствам!

Як тобі таке:

Жах, правда? Чесно кажучи, я поняття не маю, як вирішити таке алгебраїчно ... Але, воно і не треба. Графічно нічого складного в цьому немає! Очі бояться, а руки роблять!

Перше, з чого ми почнемо, це з побудови двох графіків:

Я не буду розписувати для кожного таблицю - впевнена, ти відмінно впораєшся з цим самостійно (ще б пак, стільки прорешать прикладів!).

Розписав? Тепер лад два графіка.

Порівняємо наші малюнки?

У тебе так само? Відмінно! Тепер розставимо крапки перетину і кольором визначимо, який графік у нас по ідеї повинен бути більше, тобто. Дивись, що вийшло в результаті:

А тепер просто дивимося, в якому місці у нас виділений графік знаходиться вище, ніж графік? Сміливо бери олівець і зафарбовувати дану область! Вона і буде рішенням нашого складного нерівності!

На яких проміжках по осі у нас знаходиться вище, ніж? Вірно,. Це і є відповідь!

Ну ось, тепер тобі по плечу і будь-яке рівняння, і будь-яка система, і вже тим більше будь-нерівність!

КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Алгоритм розв'язання рівнянь з використанням графіків функцій:

1. висловимо через
2. Визначимо тип функції
3. Побудуємо графіки одержані функцій
4. Знайдемо точки перетину графіків
5. Коректно запишемо відповідь (з урахуванням ОДЗ і знаків нерівностей)
6. Перевіримо відповідь (підставимо коріння в рівняння або систему)

Більш докладно про побудову графіків функцій, дивись в темі «».

Залишається 2/3 СТАТТІ ДОСТУПНІ ТІЛЬКИ УЧНЯМ YOUCLEVER!

Стати учнем YouClever,

Підготуватися до ОГЕ або ЄДІ з математики за ціною "чашка кави на місяць",

А також отримати безстроковий доступ до підручника "YouClever", Програмі підготовки (розв'язнику) "100gia", необмеженому пробному ЄДІ і ОГЕ, 6000 завдань з розбором рішень і до інших сервісів YouClever і 100gia.

Графічне рішення рівнянь

Розквіт 2009

Вступ

Необхідність вирішувати квадратні рівняння ще в давнину була викликана потребою вирішувати завдання, пов'язані з перебуванням площ земельних ділянок і з земляними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії і самої математики. Квадратні рівняння вавилоняни вміли вирішувати ще близько 2000 років до н.е. Правило рішення цих рівнянь, викладене в вавилонських текстах, збігається по суті з сучасними, проте невідомо, яким чином дійшли вавілоняни до цього правила.

Формули рішення квадратних рівнянь в Європі були вперше викладені в «Книзі абака», написаної в 1202 році італійським математиком Леонардо Фібоначчі. Його книга сприяла поширенню алгебраїчних знань не тільки в Італії, але і Німеччини, Франції та інших країнах Європи.

Але загальне правило рішення квадратних рівнянь, при всіляких комбінаціях коефіцієнтів b і c було сформульовано в Європі лише в 1544 році М. Штіфель.

У 1591 році Франсуа Вієт ввів формули для вирішення квадратних рівнянь.

У стародавньому Вавилоні могли вирішити деякі види квадратних рівнянь.

Діофант Олександрійський і Евклід, Аль-Хорезміі Омар Хайямвирішували рівняння геометричними і графічними способами.

У 7 класі ми вивчали функції у = С, у =kx, У =kx+ m, У =x 2,у = -x 2, у 8 класі - у = √x, У =|x|, у =ax2 + bx+ c, У =k/ x. У підручнику алгебри 9 класу я побачила ще не відомі мені функції: у =x 3, у =x 4,у =x 2n, у =x- 2n, у = 3√x, (x– a) 2 + (у -b) 2 = r 2 та інші. Існують правила побудови графіків даних функцій. Мені стало цікаво, чи є ще функції, що підкоряються цим правилам.

Моя робота полягає в дослідженні графіків функцій та графічному рішенні рівнянь.

1. Які бувають функції

Графік функції - це множина всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументів, а ординати - відповідним значенням функції.

Лінійна функція задається рівнянням у =kx+ b, де kі b- деякі числа. Графіком цієї функції є пряма.

Функція зворотної пропорційності у =k/ x, Де k ¹ 0. Графік цієї функції називається гіперболою.

функція (x– a) 2 + (У -b) 2 = r2 , де а, bі r- деякі числа. Графіком цієї функції є коло радіуса r з центром в т. А ( а, b).

квадратична функція y= ax2 + bx+ cде а,b, з- деякі числа і а¹ 0. Графіком цієї функції є парабола.

рівняння у2 (a– x) = x2 (a+ x) . Графіком цього рівняння буде крива, звана строфоїди.

/> Рівняння (x2 + y2 ) 2 = a(x2 – y2 ) . Графік цього рівняння називається лемніската.

Рівняння. Графік цього рівняння називається астроїда.

крива (x2 y2 - 2 a x)2 = 4 a2 (x2 + y2 ) . Ця крива називається кардіоїд.

функції: у =x 3 - кубічна парабола, у =x 4, у = 1 /x 2.

2. Поняття рівняння, його графічного рішення

рівняння- вираз, що містить змінну.

Розв'язати рівняння- це значить знайти всі його корені, або довести, що їх немає.

Корінь рівняння- це число, при підстановці якого в рівняння виходить правильне числове рівність.

Рішення рівнянь графічним способомдозволяє знайти точне або наближене значення коренів, дозволяє знайти кількість коренів рівняння.

При побудові графіків і вирішенні рівнянь використовуються властивості функції, тому метод частіше називають функціонально-графічним.

Для вирішення рівняння «ділимо» на дві частини, вводимо дві функції, будуємо їх графіки, знаходимо координати точок перетину графіків. Абсциси цих точок і є корені рівняння.

3. Алгоритм побудови графіка функції

Знаючи графік функції у =f(x) , Можна побудувати графіки функцій у =f(x+ m) ,у =f(x)+ lі у =f(x+ m)+ l. Всі ці графіки виходять з графіка функції у =f(x) за допомогою перетворення паралельного переносу: на │ m│ одиниць масштабу вправо або вліво вздовж осі x і на │ l│ одиниць масштабу вгору або вниз вздовж осі y.

4. Графічне рішення квадратного рівняння

На прикладі квадратичної функції ми розглянемо графічне рішення квадратного рівняння. Графіком квадратичної функції є парабола.

Що знали про параболі стародавні греки?

Сучасна математична символіка виникла в 16 столітті.

У давньогрецьких ж математиків ні координатного методу, ні поняття функції не було. Проте, властивості параболи були вивчені ними детально. Винахідливість античних математиків просто вражає уяву, - адже вони могли використовувати тільки креслення і словесні описи залежностей.

Найбільш повно досліджував параболу, гіперболу і еліпс Аполон Пергський, Що жив в 3 столітті до н.е. Він же дав цим кривим назви і вказав, яким умовам задовольняють точки, що лежать на тій чи іншій кривій (адже формул-то не було!).

Існує алгоритм побудови параболи:

Знаходимо координати вершини параболи А (х0; у0): х=- b/2 a;

y0 = ахо2 + вх0 + с;

Знаходимо вісь симетрії параболи (пряма х = х0);

PAGE_BREAK--

Складаємо таблицю значень для побудови контрольних точок;

Будуємо отримані точки і побудуємо точки їм симетричні щодо осі симетрії.

1. За алгоритмом побудуємо параболу y= x2 – 2 x– 3 . Абсциси точок перетину з віссю xі є коріння квадратного рівняння x2 – 2 x– 3 = 0.

Існує п'ять способів графічного рішення цього рівняння.

2. Розіб'ємо рівняння на дві функції: y= x2 і y= 2 x+ 3

3. Розіб'ємо рівняння на дві функції: y= x2 –3 і y=2 x. Коріння рівняння - абсциси точок перетину параболи з прямою.

4. Перетворимо рівняння x2 – 2 x– 3 = 0 за допомогою виділення повного квадрата на функції: y= (x–1) 2 і y=4. Коріння рівняння - абсциси точок перетину параболи з прямою.

5. Розділимо почленно обидві частини рівняння x2 – 2 x– 3 = 0 на x, отримаємо x– 2 – 3/ x= 0 , Розіб'ємо дане рівняння на дві функції: y= x– 2, y= 3/ x. Коріння рівняння - абсциси точок перетину прямої і гіперболи.

5. Графічне рішення рівнянь ступеняn

Приклад 1.Розв'язати рівняння x5 = 3 – 2 x.

y= x5 , y= 3 – 2 x.

відповідь: x = 1.

Приклад 2.Розв'язати рівняння 3 √ x= 10 – x.

Корінням цього рівняння є абсциса точки перетину графіків двох функцій: y= 3 √ x, y= 10 – x.

відповідь: x = 8.

висновок

Розглянувши графіки функцій: у =ax2 + bx+ c, У =k/ x, У = √x, У =|x|, у =x 3, у =x 4,у = 3√x, я помітила, що всі ці графіки будуються за правилом паралельного перенесення щодо осей xі y.

На прикладі рішення квадратного рівняння можна зробити висновки, що графічний спосіб застосуємо і для рівнянь ступеня n.

Графічні способи вирішення рівнянь красиві і зрозумілі, але не дають стовідсоткової гарантії вирішення будь-якого рівняння. Абсциси точок перетину графіків можуть бути наближеними.

У 9 класі і в старших класах я буду ще знайомитися з іншими функціями. Мені цікаво знати: чи підкоряються ті функції правилам паралельного перенесення при побудові їх графіків.

На наступний рік мені хочеться також розглянути питання графічного рішення систем рівнянь і нерівностей.

література

1. Алгебра. 7 клас. Ч. 1. Підручник для загальноосвітніх установ / О.Г. Мордкович. М .: Мнемозина, 2007.

2. Алгебра. 8 клас. Ч. 1. Підручник для загальноосвітніх установ / О.Г. Мордкович. М .: Мнемозина, 2007.

3. Алгебра. 9 клас. Ч. 1. Підручник для загальноосвітніх установ / О.Г. Мордкович. М .: Мнемозина, 2007.

4. Глейзер Г.І. Історія математики в школі. VII-VIII класи. - М .: Просвещение, 1982.

5. Журнал Математика №5 2009 року; №8 2007; №23 2008.

6. Графічне рішення рівнянь сайти в Інтернеті: Тол ВИКИ; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3-6.htm.