Побудова графіків функцій, що містять модулі, зазвичай викликає чималі труднощі у школярів. Однак, все не так погано. Досить запам'ятати кілька алгоритмів рішення таких задач, і ви зможете без праці побудувати графік навіть самої на вигляд складної функції. Давайте розберемося, що ж це за алгоритми.

1. Побудова графіка функції y = | f (x) |

Зауважимо, що безліч значень функцій y = | f (x) | : Y ≥ 0. Таким чином, графіки таких функцій завжди розташовані повністю у верхній півплощині.

Побудова графіка функції y = | f (x) | складається з наступних простих чотирьох етапів.

1) Побудувати акуратно і уважно графік функції y = f (x).

2) Залишити без зміни всі крапки графіка, які знаходяться вище осі 0x або на ній.

3) Частина графіка, яка лежить нижче осі 0x, відобразити симетрично щодо осі 0x.

Приклад 1. Зобразити графік функції y = | x 2 - 4x + 3 |

1) Будуємо графік функції y = x 2 - 4x + 3. Очевидно, що графік даної функції - парабола. Знайдемо координати всіх точок перетину параболи з осями координат і координати вершини параболи.

x 2 - 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Отже, парабола перетинає вісь 0x в точках (3, 0) і (1, 0).

y = 0 2 - 4 · 0 + 3 = 3.

Отже, парабола перетинає вісь 0y в точці (0, 3).

Координати вершини параболи:

x в = - (- 4/2) = 2, y в = 2 2 - 4 · 2 + 3 = -1.

Отже, точка (2, -1) є вершиною даної параболи.

Малюємо параболу, використовуючи отримані дані (Рис. 1)

2) Частина графіка, що лежить нижче осі 0x, відображаємо симетрично щодо осі 0x.

3) Отримуємо графік вихідної функції ( Мал. 2, Зображений пунктиром).

2. Побудова графіка функції y = f (| x |)

Зауважимо, що функції виду y = f (| x |) є парними:

y (-x) = f (| -x |) = f (| x |) = y (x). Значить, графіки таких функцій симетричні відносно осі 0y.

Побудова графіка функції y = f (| x |) складається з наступної нескладної ланцюжка дій.

1) Побудувати графік функції y = f (x).

2) Залишити ту частину графіка, для якої x ≥ 0, тобто частина графіка, розташовану в правій півплощині.

3) Показати зазначену в пункті (2) частину графіка симетрично осі 0y.

4) Як остаточного графіка виділити об'єднання кривих, отриманих в пунктах (2) і (3).

Приклад 2. Зобразити графік функції y = x 2 - 4 · | x | + 3

Так як x 2 = | x | 2, то вихідну функцію можна переписати в наступному вигляді: y = | x | 2 - 4 · | x | + 3. А тепер можемо застосовувати запропонований вище алгоритм.

1) Будуємо акуратно і уважно графік функції y = x 2 - 4 · x + 3 (див. Також Мал. 1).

2) Ми залишаємо ту частину графіка, для якої x ≥ 0, тобто частина графіка, розташовану в правій півплощині.

3) Відображаємо праву частину графіка симетрично осі 0y.

(Рис. 3).

Приклад 3. Зобразити графік функції y = log 2 | x |

Застосовуємо схему, дану вище.

1) Будуємо графік функції y = log 2 x (Рис. 4).

3. Побудова графіка функції y = | f (| x |) |

Зауважимо, що функції виду y = | f (| x |) | теж є парними. Дійсно, y (-x) = y = | f (| -x |) | = Y = | f (| x |) | = Y (x), і тому, їх графіки симетричні щодо осі 0y. Безліч значень таких функцій: y ≥ 0. Значить, графіки таких функцій розташовані повністю у верхній півплощині.

Щоб побудувати графік функції y = | f (| x |) |, необхідно:

1) Побудувати акуратно графік функції y = f (| x |).

2) Залишити без змін ту частину графіка, яка знаходиться вище осі 0x або на ній.

3) Частина графіка, розташовану нижче осі 0x, відобразити симетрично щодо осі 0x.

4) Як остаточного графіка виділити об'єднання кривих, отриманих в пунктах (2) і (3).

Приклад 4. Зобразити графік функції y = | -x 2 + 2 | x | - 1 |.

1) Зауважимо, що x 2 = | x | 2. Значить, замість вихідної функції y = -x 2 + 2 | x | - 1

можна використовувати функцію y = - | x | 2 + 2 | x | - 1, так як їх графіки збігаються.

Будуємо графік y = - | x | 2 + 2 | x | - 1. Для цього застосовуємо алгоритм 2.

a) Будуємо графік функції y = -x 2 + 2x - 1 (Рис. 6).

b) Ми залишаємо ту частину графіка, яка розташована в правій півплощині.

c) Відображаємо отриману частину графіка симетрично осі 0y.

d) Отриманий графік зображений на малюнку пунктиром (Рис. 7).

2) Вище осі 0х точок немає, точки на осі 0х залишаємо без зміни.

3) Частина графіка, розташовану нижче осі 0x, відображаємо симетрично щодо 0x.

4) Отриманий графік зображений на малюнку пунктиром (Рис. 8).

Приклад 5. Побудувати графік функції y = | (2 | x | - 4) / (| x | + 3) |

1) Спочатку необхідно побудувати графік функції y = (2 | x | - 4) / (| x | + 3). Для цього повертаємося до алгоритму 2.

a) Акуратно будуємо графік функції y = (2x - 4) / (x + 3) (Рис. 9).

Зауважимо, що дана функція є дрібно-лінійної і її графік є гіпербола. Для побудови кривої спочатку необхідно знайти асимптоти графіка. Горизонтальна - y = 2/1 (відношення коефіцієнтів при x в чисельнику і знаменнику дробу), вертикальна - x = -3.

2) Ту частину графіка, яка знаходиться вище осі 0x або на ній, залишимо без змін.

3) Частина графіка, розташовану нижче осі 0x, відобразимо симетрично щодо 0x.

4) Остаточний графік зображений на малюнку (Рис. 11).

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

В золотий вік інформаційних технологій мало хто буде купувати міліметрівку і витрачати годинник для малювання функції або довільного набору даних, та й навіщо займатися настільки клопітно роботою, коли можна побудувати графік функції онлайн. Крім того, підрахувати мільйони значень виразу для правильного відображення практично нереально і складно, та й не дивлячись на всі зусилля вийде ламана лінія, а не крива. Тому комп'ютер в даному випадку - незамінний помічник.

Що таке графік функцій

Функція - це правило, за яким кожному елементу однієї множини ставиться у відповідність певний елемент іншої множини, наприклад, вираз y = 2x + 1 встановлює зв'язок між множинами всіх значень x і всіх значень y, отже, це функція. Відповідно, графіком функції буде називатися безліч точок, координати яких задовольняють заданому вираженню.

На малюнку ми бачимо графік функції y = x. Це пряма і у кожної її точки є свої координати на осі Xі на осі Y. Виходячи з визначення, якщо ми підставимо координату Xдеякої точки в дане рівняння, то отримаємо координату цієї точки на осі Y.

Сервіси для побудови графіків функцій онлайн

Розглянемо кілька популярних і кращих за сервісів, що дозволяють швидко накреслити графік функції.

Відкриває список самий звичайний сервіс, що дозволяє побудувати графік функції за рівнянням онлайн. Umath містить тільки необхідні інструменти, такі як масштабування, пересування по координатної площини і перегляд координати точки на яку вказує миша.

Інструкція:

1. Введіть ваше рівняння в поле після знака «=».
2. Натисніть кнопку "Побудувати графік".

Як бачите все гранично просто і доступно, синтаксис написання складних математичних функцій: з модулем, тригонометричних, показових - наведено прямо під графіком. Також при необхідності можна задати рівняння параметричним методом або будувати графіки в полярній системі координат.

У Yotx є всі функції попереднього сервісу, але при цьому він містить такі цікаві нововведення як створення інтервалу відображення функції, можливість будувати графік по табличних даних, а також виводити таблицю з цілими рішеннями.

Інструкція:

1. Виберіть необхідний спосіб завдання графіка.
2. Введіть рівняння.
3. Задайте інтервал.
4. Натисніть кнопку «Побудувати».

Для тих, кому лінь розбиратися, як записати ті чи інші функції, на цій позиції представлений сервіс з можливістю вибирати зі списку потрібну одним кліком миші.

Інструкція:

1. Знайдіть в списку необхідну вам функцію.
2. Клацніть на неї лівою кнопкою миші
3. При необхідності введіть коефіцієнти в поле «Функція:».
4. Натисніть кнопку «Побудувати».

У плані візуалізації є можливість змінювати колір графіка, а також приховувати його або зовсім видаляти.

Desmos безумовно - самий наворочений сервіс для побудови рівнянь онлайн. Пересуваючи курсор з затиснутою лівою клавішею миші по графіку можна детально подивитися всі рішення рівняння з точністю до 0,001. Вбудована клавіатура дозволяє швидко писати ступеня і дробу. Найважливішим плюсом є можливість записувати рівняння в будь-якому стані, не приводячи до виду: y = f (x).

Інструкція:

1. У лівому стовпчику клацніть правою кнопкою миші по вільному рядку.
2. У нижньому лівому куті натисніть на значок клавіатури.
3. На панелі, що з'явилася наберіть потрібне рівняння (для написання назв функцій перейдіть в розділ «A B C»).
4. Графік будується в реальному часі.

Візуалізація просто ідеальна, адаптивна, видно, що над додатком працювали дизайнери. З плюсів можна відзначити велику різноманітність можливостей, для освоєння яких можна подивитися приклади в меню у верхньому лівому кутку.

Сайтів для побудови графіків функцій безліч, проте кожен може вибирати для себе виходячи з необхідного функціоналу та особистих уподобань. Список найкращих був сформований так, щоб задовольнити вимоги будь-якого математика від малого до великого. Успіхів вам у осягненні «цариці наук»!

«Натуральний логарифм» - 0,1. Натуральні логарифми. 4. «Логарифмический дартс». 0,04. 7. 121.

«Степенева функція 9 клас» - У. Кубічна парабола. У = х3. 9 клас вчитель Ладошкіна І.А. У = х2. Гіпербола. 0. У = хn, у = хn де n - задане натуральне число. Х. Показник - парне натуральне число (2n).

«Квадратична функція» - 1 Визначення квадратичної функції 2 Властивості функції 3 Графіки функції 4 Квадратичні нерівності 5 Висновок. Властивості: Нерівності: Підготував учень 8А класу Герліц Андрій. План: Графік: -Промежуткі монотонності при а> 0 при а< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.

«Квадратична функція і її графік» - Решеніе.у = 4x А (0,5: 1) 1 = 1 А-належить. При а = 1 формула у = ах набирає вигляду.

«8 клас квадратична функція» - 1) Побудувати вершину параболи. Побудова графіка квадратичної функції. x. -7. Побудувати графік функції. Алгебра 8 клас Учитель 496 школи Вовина Т. В. -1. План побудови. 2) Побудувати вісь симетрії x = -1. y.

побудувати функцію

Ми пропонуємо вашій увазі сервіс по потроенію графіків функцій онлайн, всі права на який належать компанії Desmos. Для введення функцій скористайтеся лівої колонкою. Вводити можна вручну або за допомогою віртуальної клавіатури внизу вікна. Для збільшення вікна з графіком можна приховати як ліву колонку, так і віртуальну клавіатуру.

Переваги побудови графіків онлайн

• Візуальне відображення вводяться функцій
• Побудова дуже складних графіків
• Побудова графіків, заданих неявно (наприклад еліпс x ^ 2/9 + y ^ 2/16 = 1)
• Можливість зберігати графіки і отримувати на них посилання, яка стає доступною для всіх в інтернеті
• Управління масштабом, кольором ліній
• Можливість побудови графіків по точках, використання констант
• Побудова одночасно декількох графіків функцій
• Побудова графіків в полярній системі координат (використовуйте r і θ (\ theta))

З нами легко в режимі онлайн будувати графіки різної складності. Побудова проводиться миттєво. Сервіс затребуваний для знаходження точок перетину функцій, для зображення графіків для подальшого їх переміщення в Word документ в якості ілюстрацій при вирішенні завдань, для аналізу поведінкових особливостей графіків функцій. Оптимальним браузером для роботи з графіками на даній сторінці сайту є Google Chrome. При використанні інших браузерів коректність роботи не гарантовано.

Графік функції - це наочне уявлення поведінки деякої функції на координатної площині. Графіки допомагають зрозуміти різні аспекти функції, які неможливо визначити по самій функції. Можна побудувати графіки безлічі функцій, причому кожна з них буде задана визначеної формули. Графік будь-якої функції будується за певним алгоритмом (якщо ви забули точний процес побудови графіка конкретної функції).

кроки

Побудова графіка лінійної функції

Визначте, чи є функція лінійної.Лінійна функція задається формулою виду F (x) = k x + b (\ displaystyle F (x) = kx + b)або y = k x + b (\ displaystyle y = kx + b)(Наприклад,), а її графік являє собою пряму. Таким чином, формула включає одну змінну і одну константу (постійну) без будь-яких показників ступенів, знаків кореня і тому подібного. Якщо дана функція аналогічного виду, побудувати графік такої функції досить просто. Ось інші приклади лінійних функцій:

Скористайтеся константою, щоб відзначити точку на осі Y.Константа (b) є координатою «у» точки перетину графіка з віссю Y. Тобто це точка, координата «х» якої дорівнює 0. Таким чином, якщо в формулу підставити х = 0, то у = b (константі). У нашому прикладі y = 2 x + 5 (\ displaystyle y = 2x + 5)константа дорівнює 5, тобто точка перетину з віссю Y має координати (0,5). Нанесіть цю точку на координатну площину.

Знайдіть кутовий коефіцієнт прямої.Він дорівнює множнику при змінної. У нашому прикладі y = 2 x + 5 (\ displaystyle y = 2x + 5)при змінної «х» знаходиться множник 2; таким чином, кутовий коефіцієнт дорівнює 2. Кутовий коефіцієнт визначає кут нахилу прямої до осі X, тобто чим більше кутовий коефіцієнт, тим швидше зростає або убуває функція.

Запишіть кутовий коефіцієнт у вигляді дробу.Кутовий коефіцієнт дорівнює тангенсу кута нахилу, тобто відношенню вертикального відстані (між двома точками на прямій) до горизонтального відстані (між цими ж точками). У нашому прикладі кутовий коефіцієнт дорівнює 2, тому можна сказати, що вертикальна відстань дорівнює 2, а горизонтальна відстань дорівнює 1. Запишіть це в вигляді дробу: 2 1 (\ displaystyle (\ frac (2) (1))).

• Якщо кутовий коефіцієнт негативний, функція спадає.

1. Від точки перетину прямої з віссю Y нанесіть другу точку, використовуючи вертикальну та горизонтальну відстані. Графік лінійної функції можна побудувати за двома точками. У нашому прикладі точка перетину з віссю Y має координати (0,5); від цієї точки пересуньтеся на 2 поділу вгору, а потім на 1 розподіл вправо. Відзначте точку; вона буде мати координати (1,7). Тепер можна провести пряму.

   За допомогою лінійки проведіть пряму через дві точки.Щоб уникнути помилок знайдіть третю точку, але в більшості випадків графік можна побудувати за двома точками. Таким чином, ви побудували графік лінійної функції.

   Нанесення точок на координатну площину

   1. Визначте функцію.Функція позначається як f (x). Всі можливі значення змінної «у» називаються областю значень функції, а всі можливі значення змінної «х» називаються областю визначення функції. Наприклад, розглянемо функцію y = x + 2, а саме f (x) = x + 2.

      Намалюйте дві пересічні перпендикулярні прямі.Горизонтальна пряма - це вісь Х. Вертикальна пряма - це вісь Y.

      Позначте осі координат.Розбийте кожну вісь на рівні відрізки і пронумеруйте їх. Точка перетину осей - це 0. Для осі Х: справа (від 0) наносяться позитивні числа, а зліва негативні. Для осі Y: зверху (від 0) наносяться позитивні числа, а знизу негативні.

      Знайдіть значення «у» за значеннями «х».У нашому прикладі f (x) = х + 2. Підставте в цю формулу певні значення «х», щоб обчислити відповідні значення «у». Якщо дана складна функція, спростите її, відокремити «у» на одному боці рівняння.

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. Нанесіть точки на координатну площину.Для кожної пари координат зробіть наступне: знайдіть відповідне значення на осі Х і проведіть вертикальну лінію (пунктиром); знайдіть відповідне значення на осі Y і проведіть горизонтальну лінію (пунктиром). Позначте точку перетину двох пунктирних ліній; таким чином, ви завдали точку графіка.

      Зітріть пунктирні лінії.Зробіть це після нанесення на координатну площину всіх точок графіка. Примітка: графік функції f (х) = х являє собою пряму, що проходить через центр координат [точку з координатами (0,0)]; графік f (х) = х + 2 - це пряма, паралельна прямій f (х) = х, але зрушена на дві одиниці вгору і тому проходить через точку з координатами (0,2) (тому що постійна дорівнює 2).

   Побудова графіка складної функції

   Знайдіть нулі функції.Нулі функції - це значення змінної «х», при яких у = 0, тобто це точки перетину графіка з віссю Х. Майте на увазі, що нулі мають не всі функції, але це перший крок процесу побудови графіка будь-якої функції. Щоб знайти нулі функції, прирівняти її до нуля. наприклад:

   Знайдіть і позначте горизонтальні асимптоти.Асимптота - це пряма, до якої графік функції наближається, але ніколи не перетинає її (тобто в цій області функція не визначена, наприклад, при розподілі на 0). Асимптоти відзначте пунктирною лінією. Якщо змінна «х» знаходиться в знаменнику дробу (наприклад, y = 1 4 - x 2 (\ displaystyle y = (\ frac (1) (4-x ^ (2))))), Прирівняти знаменник до нуля і знайдіть «х». В отриманих значення змінної «х» функція не визначена (в нашому прикладі проведіть пунктирні лінії через х = 2 і х = -2), тому що на 0 ділити не можна. Але асимптоти існують не тільки у випадках, коли функція містить дробове вираження. Тому рекомендується користуватися здоровим глуздом: