Ang trapezoid ay isang espesyal na kaso ng isang may apat na gilid kung saan ang isang pares ng mga gilid ay parallel. Ang terminong "trapezium" ay nagmula sa salitang Griyego na τράπεζα, ibig sabihin ay "talahanayan", "talahanayan". Sa artikulong ito titingnan natin ang mga uri ng trapezoid at mga katangian nito. Bilang karagdagan, malalaman natin kung paano kalkulahin ang mga indibidwal na elemento nito Halimbawa, ang dayagonal ng isang isosceles trapezoid, ang gitnang linya, ang lugar, atbp. Ang materyal ay ipinakita sa estilo ng elementarya na sikat na geometry, iyon ay, sa isang madaling ma-access na form.

Pangkalahatang Impormasyon

Una, alamin natin kung ano ang quadrangle. Ang hugis na ito ay isang espesyal na kaso ng isang polygon na may apat na gilid at apat na vertice. Dalawang vertices ng quadrilateral na hindi magkatabi ay tinatawag na kabaligtaran. Ang parehong ay maaaring sinabi para sa dalawang di-katabing panig. Ang mga pangunahing uri ng quadrangles ay parallelogram, rectangle, rhombus, square, trapezoid at deltoid.

Kaya, bumalik sa trapezoids. Tulad ng sinabi namin, ang figure na ito ay may dalawang panig na magkatulad. Tinatawag silang mga base. Ang iba pang dalawa (hindi parallel) ay ang mga gilid. Sa mga materyales ng mga pagsusulit at iba't ibang mga pagsusulit, madalas kang makakahanap ng mga gawain na may kaugnayan sa mga trapezium, ang solusyon na kadalasang nangangailangan ng mag-aaral na magkaroon ng kaalaman na hindi ibinigay ng programa. Ang kursong geometry ng paaralan ay nagpapakilala sa mga mag-aaral sa mga katangian ng mga anggulo at dayagonal, pati na rin ang midline ng isang isosceles trapezoid. Ngunit bilang karagdagan dito, ang nabanggit na geometric figure ay may iba pang mga tampok. Ngunit tungkol sa kanila mamaya ...

Mga uri ng trapezoid

Mayroong maraming mga uri ng figure na ito. Gayunpaman, madalas na kaugalian na isaalang-alang ang dalawa sa kanila - isosceles at hugis-parihaba.

1. Ang isang hugis-parihaba na trapezoid ay isang pigura kung saan ang isa sa mga lateral na gilid ay patayo sa mga base. Ang dalawang anggulo nito ay palaging katumbas ng siyamnapung digri.

2. Ang isosceles trapezoid ay isang geometric figure na may pantay na panig. Nangangahulugan ito na ang mga anggulo sa mga base ay magkapares din na pantay.

Ang mga pangunahing prinsipyo ng pamamaraan para sa pag-aaral ng mga katangian ng trapezoid

Ang pangunahing prinsipyo ay ang paggamit ng tinatawag na diskarte sa gawain. Sa katunayan, hindi na kailangang ipakilala ang mga bagong katangian ng figure na ito sa teoretikal na kurso ng geometry. Maaari silang mabuksan at mabalangkas sa proseso ng paglutas ng iba't ibang mga problema (mas mahusay kaysa sa mga sistema). Kasabay nito, napakahalaga na malaman ng guro kung anong mga gawain ang kailangang ibigay sa mga mag-aaral sa isang punto o iba pa sa proseso ng edukasyon. Bukod dito, ang bawat pag-aari ng trapezoid ay maaaring katawanin bilang isang pangunahing gawain sa sistema ng gawain.

Ang pangalawang prinsipyo ay ang tinatawag na spiral na organisasyon ng pag-aaral ng "kahanga-hangang" katangian ng trapezoid. Ito ay nagpapahiwatig ng pagbabalik sa proseso ng pag-aaral sa mga indibidwal na katangian ng isang ibinigay na geometric na pigura. Ginagawa nitong mas madali para sa mga mag-aaral na kabisaduhin ang mga ito. Halimbawa, ang pag-aari ng apat na puntos. Maaari itong mapatunayan kapwa sa pamamagitan ng pag-aaral ng pagkakatulad at kasunod na paggamit ng mga vectors. At ang pantay na sukat ng mga tatsulok na katabi ng mga lateral na gilid ng figure ay maaaring patunayan sa pamamagitan ng paglalapat hindi lamang sa mga katangian ng mga tatsulok na may pantay na taas na iginuhit sa mga gilid na nakahiga sa isang tuwid na linya, kundi pati na rin ang paggamit ng formula S = 1/2 (ab * sinα). Bilang karagdagan, maaari kang magtrabaho sa isang inscribed na trapezoid o isang right-angled na tatsulok sa isang inilarawan na trapezoid, atbp.

Ang paggamit ng mga tampok na "extra-curricular" ng isang geometric na pigura sa nilalaman ng kurso sa paaralan ay isang teknolohiya ng gawain para sa pagtuturo sa kanila. Ang patuloy na pag-apila sa mga pinag-aralan na pag-aari kapag pumasa sa iba pang mga paksa ay nagbibigay-daan sa mga mag-aaral na magkaroon ng mas malalim na pag-unawa sa trapezoid at tinitiyak ang tagumpay ng paglutas ng mga nakatalagang gawain. Kaya, bumaba tayo sa pag-aaral ng kahanga-hangang figure na ito.

Mga elemento at katangian ng isang isosceles trapezoid

Tulad ng nabanggit na natin, ang geometric figure na ito ay may pantay na panig. Ito ay kilala rin bilang isang regular na trapezoid. At bakit ito kapansin-pansin at bakit ito nakakuha ng ganoong pangalan? Ang mga kakaiba ng figure na ito ay kinabibilangan ng katotohanan na ito ay may katumbas na hindi lamang ang mga gilid at anggulo sa mga base, kundi pati na rin ang mga diagonal. Bilang karagdagan, ang kabuuan ng mga anggulo ng isang isosceles trapezoid ay 360 degrees. Ngunit hindi lang iyon! Sa lahat ng kilalang trapezoid, sa paligid lamang ng isosceles ay maaaring ilarawan ng isa ang isang bilog. Ito ay dahil sa ang katunayan na ang kabuuan ng mga kabaligtaran na anggulo ng figure na ito ay 180 degrees, at sa ilalim lamang ng kondisyong ito ay maaaring ilarawan ang isang bilog sa paligid ng isang quadrangle. Ang susunod na katangian ng itinuturing na geometric figure ay ang distansya mula sa tuktok ng base hanggang sa projection ng kabaligtaran na vertex papunta sa tuwid na linya na naglalaman ng base na ito ay magiging katumbas ng gitnang linya.

Ngayon, alamin natin kung paano hanapin ang mga anggulo ng isang isosceles trapezoid. Isaalang-alang ang isang solusyon sa problemang ito, sa kondisyon na ang mga sukat ng mga gilid ng figure ay kilala.

Solusyon

Karaniwan, ang quadrilateral ay karaniwang tinutukoy ng mga titik A, B, C, D, kung saan ang BS at AD ang mga base. Sa isang isosceles trapezoid, ang mga gilid ay pantay. Ipagpalagay namin na ang kanilang sukat ay katumbas ng X, at ang mga sukat ng mga base ay katumbas ng Y at Z (mas maliit at mas malaki, ayon sa pagkakabanggit). Upang maisagawa ang pagkalkula, kinakailangang iguhit ang taas N. mula sa anggulo B. Ang resulta ay isang right-angled triangle ABN, kung saan ang AB ay ang hypotenuse, at ang BN at AH ay ang mga binti. Kinakalkula namin ang laki ng binti AH: ibawas ang mas maliit mula sa mas malaking base, at hatiin ang resulta sa 2. Isinulat namin ito sa anyo ng formula: (ZY) / 2 = F. Ngayon, upang kalkulahin ang matinding anggulo ng tatsulok, ginagamit namin ang cos function. Nakukuha namin ang sumusunod na tala: cos (β) = X / F. Ngayon kinakalkula namin ang anggulo: β = arcos (X / F). Dagdag pa, sa pag-alam ng isang anggulo, matutukoy natin ang pangalawa, para dito nagsasagawa kami ng isang elementarya na operasyon ng aritmetika: 180 - β. Ang lahat ng mga anggulo ay tinukoy.

Mayroon ding pangalawang solusyon sa problemang ito. Sa simula, ibinababa namin ang taas ng N. mula sa sulok. Kalkulahin ang halaga ng binti BN. Alam namin na ang parisukat ng hypotenuse ng isang right-angled triangle ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti. Nakukuha namin ang: BN = √ (X2-F2). Susunod, ginagamit namin ang trigonometric function tg. Bilang resulta, mayroon kaming: β = arctan (BN / F). Isang matalim na sulok ang natagpuan. Susunod, tinukoy namin sa parehong paraan tulad ng sa unang paraan.

Pag-aari ng mga diagonal ng isang isosceles trapezoid

Una, isulat natin ang apat na panuntunan. Kung ang mga diagonal sa isang isosceles trapezoid ay patayo, kung gayon:

Ang taas ng figure ay magiging katumbas ng kabuuan ng mga base na hinati sa dalawa;

Ang taas at midline nito ay pantay;

Ang gitna ng bilog ay ang punto kung saan sila nagsalubong;

Kung ang lateral side ay nahahati sa punto ng tangency sa mga segment H at M, kung gayon ito ay katumbas ng square root ng produkto ng mga segment na ito;

Ang quadrilateral, na nabuo sa pamamagitan ng mga punto ng contact, ang tuktok ng trapezoid at ang gitna ng inscribed na bilog, ay isang parisukat na ang panig ay katumbas ng radius;

Ang lugar ng figure ay katumbas ng produkto ng mga base at ang produkto ng kalahating kabuuan ng mga base sa taas nito.

Katulad na trapezoid

Ang paksang ito ay napaka-maginhawa para sa pag-aaral ng mga katangian ng isang ito. Halimbawa, ang mga diagonal ay naghahati ng isang trapezoid sa apat na tatsulok, at ang mga katabi ng mga base ay magkatulad, at sa mga gilid ng gilid ay pantay. Ang pahayag na ito ay maaaring tawaging isang pag-aari ng mga tatsulok kung saan ang isang trapezoid ay nahahati sa mga diagonal nito. Ang unang bahagi ng pahayag na ito ay pinatunayan sa pamamagitan ng tanda ng pagkakatulad sa dalawang anggulo. Upang patunayan ang pangalawang bahagi, mas mahusay na gamitin ang pamamaraan sa ibaba.

Katibayan ng teorama

Tinatanggap namin na ang pigura ng ABSD (BP at BS ay ang mga base ng trapezoid) ay nahahati sa mga diagonal ng VD at AS. Ang punto ng kanilang intersection ay O. Nakukuha namin ang apat na tatsulok: AOS - sa ibabang base, BOS - sa itaas na base, ABO at SOD sa mga gilid ng gilid. Ang Triangles SOD at BFB ay may isang karaniwang taas kung ang mga segment na BO at OD ay ang kanilang mga base. Nakuha namin na ang pagkakaiba sa pagitan ng kanilang mga lugar (P) ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga segment na ito: PBOS / PSOD = BO / OD = K. Samakatuwid, PSOD = PBOS / K. Gayundin, ang mga tatsulok na BFB at AOB ay may isang karaniwang taas. Kinukuha namin ang mga segment na SB at OA para sa kanilang mga base. Nakukuha natin ang PBOS / PAOB = SO / OA = K at PAOB = PBOS / K. Ito ay sumusunod mula dito na ang PSOD = PAOB.

Upang pagsama-samahin ang materyal, pinapayuhan ang mga mag-aaral na maghanap ng koneksyon sa pagitan ng mga lugar ng mga nagresultang tatsulok, kung saan ang trapezoid ay nahahati sa mga diagonal nito, na nilulutas ang sumusunod na problema. Ito ay kilala na ang mga lugar ng biofeedback at AOD triangles ay pantay; ito ay kinakailangan upang mahanap ang lugar ng trapezoid. Dahil PSOD = PAOB, ibig sabihin ay PABSD = PBOS + PAOD + 2 * PSOD. Mula sa pagkakatulad ng mga tatsulok na BFB at AOD ay sumusunod na BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Samakatuwid, PBOS / PSOD = BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Nakukuha namin ang PSOD = √ (PBOS * PAOD). Pagkatapos PABSD = PBOS + PAOD + 2 * √ (PBOS * PAOD) = (√ PSOS + √ PAOD) 2.

Mga katangian ng pagkakatulad

Ang patuloy na pagbuo ng temang ito, maaari mong patunayan ang iba pang mga kagiliw-giliw na tampok ng trapezoids. Kaya, sa tulong ng pagkakatulad, mapapatunayan ng isa ang pag-aari ng isang segment na dumadaan sa isang punto na nabuo sa pamamagitan ng intersection ng mga diagonal ng geometric figure na ito, na kahanay sa mga base. Upang gawin ito, malulutas namin ang sumusunod na problema: kinakailangan upang mahanap ang haba ng segment na RK na dumadaan sa puntong O. Mula sa pagkakapareho ng mga tatsulok na AOD at BFB, sumusunod na AO / OS = AD / BS. Mula sa pagkakatulad ng mga tatsulok na AOR at ASB, sumusunod na ang AO / AC = RO / BS = HELL / (BS + HELL). Mula dito nakukuha natin ang RO = BS * HELL / (BS + HELL). Katulad nito, mula sa pagkakapareho ng mga tatsulok na DOK at DBS, sumusunod na OK = BS * HELL / (BS + HELL). Mula dito nakukuha natin ang RO = OK at RK = 2 * BS * HELL / (BS + HELL). Ang segment na dumadaan sa punto ng intersection ng mga diagonal, parallel sa mga base at pagkonekta sa dalawang panig, ay hinahati sa punto ng intersection. Ang haba nito ay ang harmonic mean ng base ng figure.

Isaalang-alang ang sumusunod na kalidad ng trapezoid, na tinatawag na four point property. Ang mga intersection point ng mga diagonal (O), ang intersection ng extension ng mga lateral sides (E), pati na rin ang mga midpoint ng mga base (T at G) ay palaging nakahiga sa parehong linya. Ito ay madaling mapatunayan sa pamamagitan ng paraan ng pagkakatulad. Ang mga nagresultang tatsulok na BES at AED ay magkatulad, at sa bawat isa sa kanila ang mga median na ET at EZ ay naghahati sa anggulo sa vertex E sa pantay na mga bahagi. Dahil dito, ang mga puntong E, T at Ж ay nasa isang tuwid na linya. Sa parehong paraan, ang mga puntong T, O, at Zh ay matatagpuan sa isang tuwid na linya. Ang lahat ng ito ay sumusunod mula sa pagkakapareho ng mga tatsulok na BFB at AOD. Mula dito, napagpasyahan namin na ang lahat ng apat na puntos - E, T, O at F - ay nasa isang tuwid na linya.

Gamit ang mga ganitong trapezoid, maaari mong hilingin sa mga estudyante na hanapin ang haba ng segment (LF) na naghahati sa figure sa dalawang magkatulad. Ang segment na ito ay dapat na parallel sa mga base. Dahil ang mga nakuha na trapezium ALPD at LBSF ay magkatulad, pagkatapos ay BS / LF = LF / BP. Kasunod nito na LF = √ (BS * HELL). Nakuha namin na ang segment na naghahati sa trapezoid sa dalawang magkatulad ay may haba na katumbas ng geometric na ibig sabihin ng mga haba ng mga base ng figure.

Isaalang-alang ang sumusunod na katangian ng pagkakatulad. Ito ay batay sa isang segment na naghahati sa trapezoid sa dalawang pantay na laki. Ipinapalagay namin na ang ABSD trapezoid ay nahahati ng segment ЕН sa dalawang magkatulad. Ang taas ay bumaba mula sa tuktok na B, na hinati ng segment na EH sa dalawang bahagi - B1 at B2. Nakukuha namin ang: PABSD / 2 = (BS + EH) * B1 / 2 = (HELL + EH) * B2 / 2 at PABSD = (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Susunod, bumuo kami ng isang sistema, ang unang equation kung saan ay (BS + EH) * B1 = (AD + EH) * B2 at ang pangalawa (BS + EH) * B1 = (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Kasunod nito na ang B2 / B1 = (BS + EH) / (AD + EH) at BS + EH = ((BS + HELL) / 2) * (1 + B2 / B1). Nakuha namin na ang haba ng segment na naghahati sa trapezoid sa dalawang pantay na laki ay katumbas ng root mean square ng mga haba ng mga base: √ ((BS2 + AD2) / 2).

Mga natuklasan sa pagkakatulad

Kaya, napatunayan namin na:

1. Ang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng lateral sides sa trapezoid ay parallel sa BP at BS at katumbas ng arithmetic mean ng BS at BP (ang haba ng base ng trapezoid).

2. Ang linyang dumadaan sa punto O ng intersection ng mga diagonal na kahanay ng HELL at BS ay magiging katumbas ng harmonic mean ng mga numero ng HELL at BS (2 * BS * HELL / (BS + HELL)).

3. Ang segment na naghahati sa trapezoid sa magkatulad ay may haba ng geometric na mean ng mga base ng BS at HELL.

4. Ang elementong naghahati sa pigura sa dalawang magkaparehong laki ay may haba ng mga mean square na numero ng BP at BS.

Upang pagsama-samahin ang materyal at maunawaan ang koneksyon sa pagitan ng mga isinasaalang-alang na mga segment, kailangan ng mag-aaral na buuin ang mga ito para sa isang tiyak na trapezoid. Madali niyang maipakita ang gitnang linya at ang segment na dumadaan sa punto O - ang intersection ng mga diagonal ng figure - parallel sa mga base. Ngunit saan matatagpuan ang ikatlo at ikaapat? Ang sagot na ito ay hahantong sa mag-aaral na matuklasan ang nais na kaugnayan sa pagitan ng mga average.

Ang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng trapezoid diagonal

Isaalang-alang ang sumusunod na katangian ng figure na ito. Ipinapalagay namin na ang segment na MH ay kahanay sa mga base at hinahati ang mga diagonal sa kalahati. Ang mga intersection point ay tatawaging Ш at Ш. Ang segment na ito ay magiging katumbas ng kalahating pagkakaiba ng mga base. Tingnan natin ito nang mas malapitan. MSh - ang gitnang linya ng ABS triangle, ito ay katumbas ng BS / 2. Ang MCh ay ang gitnang linya ng ABD triangle, ito ay katumbas ng BP / 2. Pagkatapos ay makukuha natin ang SHSH = MSH-MSH, samakatuwid, SHSH = HELL / 2-BS / 2 = (HELL + VS) / 2.

Ang sentro ng grabidad

Tingnan natin kung paano tinukoy ang elementong ito para sa isang ibinigay na geometric na pigura. Upang gawin ito, kinakailangan upang pahabain ang mga base sa magkasalungat na direksyon. Ano ang ibig sabihin nito? Kinakailangan na idagdag ang mas mababang isa sa itaas na base - sa magkabilang panig, halimbawa, sa kanan. At pahabain ang ibaba sa haba ng itaas sa kaliwa. Susunod, ikinonekta namin ang mga ito sa isang dayagonal. Ang punto ng intersection ng segment na ito na may gitnang linya ng figure ay ang sentro ng grabidad ng trapezoid.

Inscribed at inilarawan trapezoids

Ilista natin ang mga tampok ng gayong mga hugis:

1. Ang isang trapezoid ay maaaring isulat sa isang bilog lamang kung ito ay isosceles.

2. Ang isang trapezoid ay maaaring ilarawan sa paligid ng isang bilog, sa kondisyon na ang kabuuan ng mga haba ng kanilang mga base ay katumbas ng kabuuan ng mga haba ng mga gilid na gilid.

Mga kinahinatnan ng nakasulat na bilog:

1. Ang taas ng inilarawang trapezoid ay palaging katumbas ng dalawang radii.

2. Ang lateral side ng inilarawan na trapezoid ay sinusunod mula sa gitna ng bilog sa tamang anggulo.

Ang unang kahihinatnan ay halata, ngunit upang patunayan ang pangalawa ay kinakailangan upang maitaguyod na ang anggulo ng SOD ay tama, na, sa katunayan, ay hindi rin magiging mahirap. Ngunit ang kaalaman sa ari-arian na ito ay magbibigay-daan sa iyo na gumamit ng isang right-angled na tatsulok kapag nilulutas ang mga problema.

Ngayon, i-concretize natin ang mga kahihinatnan na ito para sa isang isosceles trapezoid na nakasulat sa isang bilog. Nakuha namin na ang taas ay ang geometric na ibig sabihin ng base ng figure: H = 2R = √ (BS * HELL). Habang nagsasanay sa pangunahing pamamaraan ng paglutas ng mga problema para sa mga trapezoid (ang prinsipyo ng paghawak ng dalawang taas), dapat lutasin ng mag-aaral ang sumusunod na gawain. Ipinapalagay namin na ang BT ay ang taas ng isosceles figure ng ABSD. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga segment AT at TD. Gamit ang formula na inilarawan sa itaas, hindi ito magiging mahirap na gawin ito.

Ngayon alamin natin kung paano matukoy ang radius ng isang bilog gamit ang lugar ng inilarawan na trapezoid. Ibinababa namin ang taas mula sa itaas na B hanggang sa base ng IMPYERNO. Dahil ang bilog ay nakasulat sa trapezoid, pagkatapos ay BS + HELL = 2AB o AB = (BS + HELL) / 2. Mula sa tatsulok na ABN makikita natin ang sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + HELL). PABSD = (BS + HELL) * BN / 2, BN = 2R. Nakukuha namin ang PABSD = (BS + HELL) * R, kasunod nito na R = PABSD / (BS + HELL).

Lahat ng mga formula para sa midline ng isang trapezoid

Ngayon ay oras na upang lumipat sa huling elemento ng geometric na hugis na ito. Alamin natin kung ano ang katumbas ng gitnang linya ng trapezoid (M):

1. Sa pamamagitan ng mga base: M = (A + B) / 2.

2. Sa pamamagitan ng taas, base at sulok:

M = A-H * (ctgα + ctgβ) / 2;

M = B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Sa pamamagitan ng taas, dayagonal at anggulo sa pagitan nila. Halimbawa, ang D1 at D2 ay ang mga dayagonal ng isang trapezoid; α, β - mga anggulo sa pagitan nila:

M = D1 * D2 * sinα / 2H = D1 * D2 * sinβ / 2H.

4. Sa pamamagitan ng lugar at taas: M = P / N.

Sa mga materyales ng iba't ibang mga pagsubok at pagsusulit, ito ay napaka-pangkaraniwan upang mahanap mga gawaing trapezoid, ang solusyon na nangangailangan ng kaalaman sa mga katangian nito.

Alamin natin kung anong mga kawili-wili at kapaki-pakinabang na katangian ang taglay ng trapezoid para sa paglutas ng mga problema.

Matapos pag-aralan ang mga katangian ng midline ng isang trapezoid, maaari nating bumalangkas at patunayan ari-arian ng segment ng linya na nagkokonekta sa mga midpoint ng trapezoid diagonals... Ang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng trapezoid diagonals ay katumbas ng kalahating pagkakaiba ng mga base.

Ang MO ay ang midline ng triangle ABC at katumbas ng 1 / 2BC (fig. 1).

Ang MQ ay ang gitnang linya ng tatsulok na ABD at katumbas ng 1 / 2AD.

Pagkatapos OQ = MQ - MO, samakatuwid, OQ = 1 / 2AD - 1 / 2BC = 1/2 (AD - BC).

Kapag nilulutas ang maraming mga problema sa isang trapezoid, ang isa sa mga pangunahing pamamaraan ay ang paghawak ng dalawang taas dito.

Isaalang-alang ang mga sumusunod gawain.

Hayaang ang BT ay ang taas ng isosceles trapezoid ABCD na may mga baseng BC at AD, at BC = a, AD = b. Hanapin ang mga haba ng mga segment na AT at TD.

Solusyon.

Ang paglutas ng problema ay diretso (fig. 2), ngunit pinapayagan ka nitong makuha taas na katangian ng isang isosceles trapezoid na iginuhit mula sa tuktok ng isang mapurol na anggulo: ang taas ng isosceles trapezoid, na iginuhit mula sa tuktok ng isang obtuse angle, hinahati ang mas malaking base sa dalawang segment, ang mas maliit ay katumbas ng kalahating pagkakaiba ng mga base, at ang mas malaki sa kalahating kabuuan ng ang mga base.

Kapag pinag-aaralan ang mga katangian ng isang trapezoid, kailangan mong bigyang pansin ang naturang pag-aari bilang pagkakatulad. Kaya, halimbawa, ang mga diagonal ng isang trapezoid ay nahahati ito sa apat na tatsulok, at ang mga tatsulok na katabi ng mga base ay magkatulad, at ang mga tatsulok na katabi ng mga gilid na gilid ay pantay. Ang pahayag na ito ay matatawag ang pag-aari ng mga tatsulok kung saan ang trapezoid ay nahahati sa mga diagonal nito... Bukod dito, ang unang bahagi ng pahayag ay napakadaling napatunayan sa pamamagitan ng kriterya ng pagkakatulad ng mga tatsulok sa dalawang anggulo. Patunayan natin ikalawang bahagi ng pahayag.

Ang mga tatsulok na BOC at COD ay may isang karaniwang taas (fig. 3) kung kukunin natin ang mga segment na BO at OD bilang kanilang mga batayan. Pagkatapos S BOC / S COD = BO / OD = k. Samakatuwid, S COD = 1 / k S BOC.

Katulad nito, ang mga tatsulok na BOC at AOB ay may isang karaniwang taas kung kukunin natin ang mga segment na CO at OA bilang kanilang mga base. Pagkatapos S BOC / S AOB = CO / OA = k at S A O B = 1 / k S BOC.

Mula sa dalawang pangungusap na ito ay sumusunod na S COD = S A O B.

Hindi tayo magtatagal sa pahayag na nabuo, ngunit hanapin koneksyon sa pagitan ng mga lugar ng mga tatsulok kung saan ang trapezoid ay nahahati sa mga diagonal nito... Upang gawin ito, malulutas namin ang sumusunod na problema.

Hayaan ang puntong O ang punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid ABCD na may mga baseng BC at AD. Ito ay kilala na ang mga lugar ng triangles BOC at AOD ay katumbas ng S 1 at S 2, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang lugar ng trapezoid.

Dahil S COD = S A O B, pagkatapos ay S ABC D = S 1 + S 2 + 2S COD.

Mula sa pagkakatulad ng mga tatsulok na BОC at AOD ay sumusunod na BO / OD = √ (S₁ / S 2).

Samakatuwid, S₁ / S COD = BO / OD = √ (S₁ / S 2), at samakatuwid S COD = √ (S 1 S 2).

Pagkatapos S ABC D = S 1 + S 2 + 2√ (S 1 S 2) = (√S 1 + √S 2) 2.

Gamit ang pagkakatulad, napatunayan na pag-aari ng isang segment ng linya na dumadaan sa punto ng intersection ng mga trapezoid diagonal na kahanay sa mga base.

Isipin mo gawain:

Hayaan ang puntong O ang intersection point ng mga diagonal ng trapezoid ABCD na may mga baseng BC at AD. BC = a, AD = b. Hanapin ang haba ng segment na PK na dumadaan sa intersection point ng trapezoid diagonals na kahanay sa mga base. Sa anong mga segment hinati ang PK sa punto O (Larawan 4)?

Mula sa pagkakatulad ng mga tatsulok na AOD at BOC ay sumusunod na AO / OC = AD / BC = b / a.

Mula sa pagkakatulad ng mga tatsulok na AOP at ACB ay sumusunod na AO / AC = PO / BC = b / (a ​​​​+ b).

Kaya PO = BC b / (a ​​+ b) = ab / (a ​​​​+ b).

Katulad nito, mula sa pagkakapareho ng mga tatsulok na DOK at DBC, sumusunod ito na OK = ab / (a ​​​​+ b).

Kaya PO = OK at PK = 2ab / (a ​​​​+ b).

Kaya, ang napatunayang pag-aari ay maaaring mabuo tulad ng sumusunod: ang isang segment na kahanay sa mga base ng trapezoid, na dumadaan sa punto ng intersection ng mga diagonal at pagkonekta ng dalawang puntos sa mga lateral na gilid, ay nahahati sa punto ng intersection ng mga diagonal sa kalahati. Ang haba nito ay ang harmonic mean ng base ng trapezoid.

Sumusunod apat na puntong ari-arian: sa trapezoid, ang punto ng intersection ng mga diagonal, ang punto ng intersection ng pagpapatuloy ng mga lateral na gilid, ang mga midpoint ng mga base ng trapezoid ay nasa parehong linya.

Magkatulad ang Triangles BSC at ASD (fig. 5) at sa bawat isa sa kanila ang mga median na ST at SG ay naghahati sa anggulo sa vertex S sa pantay na bahagi. Samakatuwid, ang mga puntos na S, T at G ay collinear.

Gayundin, ang mga puntong T, O at G ay matatagpuan sa parehong tuwid na linya. Ito ay sumusunod sa pagkakatulad ng mga tatsulok na BOC at AOD.

Kaya, lahat ng apat na puntos na S, T, O at G ay nasa isang tuwid na linya.

Maaari mo ring mahanap ang haba ng isang segment na naghahati sa isang trapezoid sa dalawang magkatulad.

Kung magkatulad ang trapezoids ALFD at LBCF (fig. 6), pagkatapos ay a / LF = LF / b.

Kaya LF = √ (ab).

Kaya, ang segment na naghahati sa isang trapezoid sa dalawang magkatulad na trapezoid ay may haba na katumbas ng geometric na ibig sabihin ng mga haba ng mga base.

Patunayan natin ari-arian ng segment na naghahati sa trapezoid sa dalawang pantay.

Hayaan ang lugar ng trapezoid ay S (fig. 7). Ang h 1 at h 2 ay mga bahagi ng taas, at ang x ay ang haba ng gustong segment.

Pagkatapos S / 2 = h 1 (a + x) / 2 = h 2 (b + x) / 2 at

S = (h 1 + h 2) (a + b) / 2.

Bumuo tayo ng isang sistema

(h 1 (a + x) = h 2 (b + x)
(h 1 (a + x) = (h 1 + h 2) (a + b) / 2.

Ang paglutas ng sistemang ito, nakukuha natin ang x = √ (1/2 (a 2 + b 2)).

kaya, ang haba ng segment na naghahati sa trapezoid sa dalawang magkaparehong laki ay √ ((a 2 + b 2) / 2)(root mean square ng mga haba ng base).

Kaya, para sa isang trapezoid ABCD na may mga base AD at BC (BC = a, AD = b), napatunayan namin na ang segment:

1) Ang MN, na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga lateral na gilid ng trapezoid, ay kahanay sa mga base at katumbas ng kanilang kalahating kabuuan (ang arithmetic mean ng mga numerong a at b);

2) Ang PK na dumadaan sa punto ng intersection ng trapezoid diagonals na kahanay sa mga base ay katumbas ng
2ab / (a ​​​​+ b) (harmonic na ibig sabihin ng mga numero a at b);

3) LF ang paghahati ng isang trapezoid sa dalawang magkatulad na trapezoid ay may haba na katumbas ng geometric mean ng mga numerong a at b, √ (ab);

4) EH, na naghahati sa isang trapezoid sa dalawang pantay na laki, ay may haba √ ((a 2 + b 2) / 2) (mean square ng mga numero a at b).

Lagda at ari-arian ng nakasulat at inilarawan na trapezoid.

Inscribed trapezoid property: ang isang trapezoid ay maaaring isulat sa isang bilog kung at kung ito ay isosceles.

Mga katangian ng inilarawan na trapezoid. Ang isang trapezoid ay maaaring ilarawan sa paligid ng isang bilog kung at kung ang kabuuan ng mga haba ng mga base ay katumbas ng kabuuan ng mga haba ng mga gilid na gilid.

Mga kapaki-pakinabang na kahihinatnan ng katotohanan na ang isang bilog ay nakasulat sa isang trapezoid:

1. Ang taas ng trapezoid ay katumbas ng dalawang inscribed na bilog na radii.

2. Ang lateral side ng inilarawan na trapezoid ay makikita mula sa gitna ng inscribed na bilog sa tamang anggulo.

Ang una ay halata. Upang patunayan ang pangalawang corollary, kinakailangan upang maitatag na ang anggulo ng COD ay tuwid, na hindi rin mahirap. Ngunit ang kaalaman sa kahihinatnan na ito ay nagpapahintulot sa paggamit ng isang right-angled na tatsulok kapag nilulutas ang mga problema.

Nagkonkreto kami kahihinatnan para sa isosceles circumscribed trapezoid:

Ang taas ng isang isosceles na inilarawan na trapezoid ay ang geometric na ibig sabihin ng base ng trapezoid
h = 2r = √ (ab).

Ang itinuturing na mga katangian ay magbibigay-daan para sa isang mas malalim na pag-unawa sa trapezoid at matiyak ang tagumpay sa paglutas ng mga problema sa aplikasyon ng mga katangian nito.

May mga tanong pa ba? Hindi sigurado kung paano lutasin ang mga problema sa trapezoid?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tutor - magparehistro.
Ang unang aralin ay libre!

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, ang isang link sa pinagmulan ay kinakailangan.

1. Ang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng trapezoid diagonals ay katumbas ng kalahati ng base difference
2. Ang mga tatsulok na nabuo ng mga base ng trapezoid at ng mga segment ng mga diagonal hanggang sa punto ng kanilang intersection ay magkatulad.
3. Ang mga tatsulok na nabuo ng mga segment ng trapezoid diagonals, ang mga gilid nito ay namamalagi sa mga lateral na gilid ng trapezoid - pantay (may parehong lugar)
4. Kung pinalawak mo ang mga lateral na gilid ng trapezoid patungo sa mas maliit na base, pagkatapos ay bumalandra sila sa isang punto na may tuwid na linya na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga base.
5. Ang segment na nagkokonekta sa mga base ng trapezoid at dumadaan sa punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid ay nahahati sa puntong ito sa isang proporsyon na katumbas ng ratio ng mga haba ng mga base ng trapezoid
6. Ang isang segment na kahanay sa mga base ng trapezoid at iginuhit sa punto ng intersection ng mga diagonal ay nahahati sa puntong ito sa kalahati, at ang haba nito ay katumbas ng 2ab / (a ​​​​+ b), kung saan ang a at b ay ang mga base ng trapezoid

Mga katangian ng segment ng linya na nagkokonekta sa mga midpoint ng trapezoid diagonals

Ikinonekta namin ang mga midpoint ng mga diagonal ng trapezoid ABCD, bilang isang resulta kung saan mayroon kaming isang segment na LM.
Ang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng trapezoid diagonal, namamalagi sa midline ng trapezoid.

Ang segment na ito parallel sa base ng trapezoid.

Ang haba ng segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga diagonal ng trapezoid ay katumbas ng kalahating pagkakaiba ng mga base nito.

LM = (AD - BC) / 2
o
LM = (a-b) / 2

Mga katangian ng mga tatsulok na nabuo ng mga diagonal ng isang trapezoid

Mga tatsulok na nabuo sa pamamagitan ng mga base ng trapezoid at ang intersection point ng mga diagonal ng trapezoid - ay parehas.
Ang mga tatsulok na BOC at AOD ay magkatulad. Dahil ang mga anggulo ng BOC at AOD ay patayo, sila ay pantay.
Ang mga anggulo ng OCB at OAD ay panloob na crosswise sa parallel na linya AD at BC (ang mga base ng trapezoid ay parallel sa isa't isa) at ang secant line AC, samakatuwid, sila ay pantay.
Ang mga anggulo ng OBC at ODA ay pantay para sa parehong dahilan (internal criss-crossing).

Dahil ang lahat ng tatlong anggulo ng isang tatsulok ay katumbas ng mga katumbas na anggulo ng isa pang tatsulok, ang mga tatsulok na ito ay magkatulad.

Ano ang kasunod nito?

Upang malutas ang mga problema sa geometry, ang pagkakatulad ng mga tatsulok ay ginagamit bilang mga sumusunod. Kung alam natin ang mga halaga ng mga haba ng dalawang kaukulang elemento ng magkatulad na tatsulok, pagkatapos ay makikita natin ang koepisyent ng pagkakapareho (hinahati natin ang isa sa isa). Kung saan ang mga haba ng lahat ng iba pang mga elemento ay nauugnay sa bawat isa na may eksaktong parehong halaga.

Mga katangian ng mga tatsulok na nakahiga sa gilid at mga dayagonal ng isang trapezoid

Isaalang-alang ang dalawang tatsulok na nakahiga sa mga lateral na gilid ng trapezoid AB at CD. Ito ay mga tatsulok na AOB at COD. Sa kabila ng katotohanan na ang mga sukat ng mga indibidwal na panig ng mga tatsulok na ito ay maaaring ganap na naiiba, ngunit ang mga lugar ng mga tatsulok na nabuo ng mga gilid at ang punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid ay, iyon ay, ang mga tatsulok ay pantay sa laki.

Kung pinahaba mo ang mga gilid ng trapezoid patungo sa mas maliit na base, kung gayon ang punto ng intersection ng mga gilid ay magiging pumila sa isang tuwid na linya na dumadaan sa mga midpoint ng mga base.

Kaya, ang anumang trapezoid ay maaaring pahabain sa isang tatsulok. kung saan:

• Ang mga tatsulok na nabuo sa pamamagitan ng mga base ng isang trapezoid na may isang karaniwang vertex sa intersection ng pinahabang lateral na mga gilid ay magkatulad
• Ang tuwid na linya na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga base ng trapezoid ay, sa parehong oras, ang median ng constructed triangle

Mga katangian ng linya na nagkokonekta sa mga base ng trapezoid

Kung gumuhit ka ng isang segment, ang mga dulo nito ay namamalagi sa mga base ng trapezoid, na namamalagi sa punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid (KN), pagkatapos ay ang ratio ng mga bahagi ng bumubuo nito mula sa gilid ng base hanggang sa punto ng intersection ng mga diagonal (KO / ON) ay magiging katumbas ng ratio ng mga base ng trapezoid(BC / AD).

KO / ON = BC / AD

Ang ari-arian na ito ay sumusunod mula sa pagkakatulad ng mga katumbas na tatsulok (tingnan sa itaas).

Mga katangian ng isang linya na kahanay sa mga base ng isang trapezoid

Kung gumuhit ka ng isang segment na kahanay sa mga base ng trapezoid at dumadaan sa punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid, magkakaroon ito ng mga sumusunod na katangian:

• Preset na Distansya (KM) hinahati ang punto ng intersection ng trapezoid diagonals sa kalahati
• Haba ng segment Ang pagpasa sa punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid at kahanay sa mga base ay katumbas ng KM = 2ab / (a ​​+ b)

Mga formula para sa paghahanap ng mga diagonal ng isang trapezoid

a, b- ang base ng trapezoid

c, d- lateral sides ng trapezoid

d1 d2- trapezoid diagonal

α β - mga anggulo na may mas malaking base ng trapezoid

Mga formula para sa paghahanap ng mga dayagonal ng isang trapezoid sa pamamagitan ng mga base, gilid at anggulo sa base

Ang unang pangkat ng mga formula (1-3) ay sumasalamin sa isa sa mga pangunahing katangian ng trapezoid diagonal:

1. Ang kabuuan ng mga parisukat ng mga dayagonal ng isang trapezoid ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga gilid at dalawang beses ang produkto ng mga base nito. Ang pag-aari na ito ng mga diagonal ng isang trapezoid ay maaaring patunayan bilang isang hiwalay na teorama

2 ... Nakukuha ang formula na ito sa pamamagitan ng pag-convert sa nakaraang formula. Ang parisukat ng pangalawang dayagonal ay itinapon sa pamamagitan ng pantay na tanda, pagkatapos kung saan ang square root ay nakuha mula sa kaliwa at kanang bahagi ng expression.

3 ... Ang formula na ito para sa paghahanap ng haba ng isang trapezoid diagonal ay katulad ng nauna, na may pagkakaiba na ang isa pang diagonal ay naiwan sa kaliwang bahagi ng expression.

Ang susunod na pangkat ng mga formula (4-5) ay magkatulad sa kahulugan at nagpapahayag ng magkatulad na ratio.

Ang pangkat ng mga formula (6-7) ay nagpapahintulot sa iyo na mahanap ang dayagonal ng trapezoid kung ang mas malaking base ng trapezoid, isang gilid at ang anggulo sa base ay kilala.

Mga formula para sa paghahanap ng mga diagonal ng isang trapezoid sa mga tuntunin ng taas

Gawain.
Ang mga dayagonal ng trapezoid ABCD (AD | | BC) ay nagsalubong sa punto O. Hanapin ang haba ng base BC ng trapezoid kung ang base ay AD = 24 cm, haba AO = 9cm, haba OC = 6 cm.

Solusyon.
Ang solusyon sa problemang ito sa mga tuntunin ng ideolohiya ay ganap na magkapareho sa mga nakaraang problema.

Ang mga tatsulok AOD at BOC ay magkatulad sa tatlong sulok - AOD at BOC ay patayo, at ang iba pang mga anggulo ay magkapareho sa mga pares, dahil sila ay nabuo sa pamamagitan ng intersection ng isang tuwid na linya at dalawang parallel na linya.

Dahil ang mga tatsulok ay magkatulad, ang lahat ng kanilang mga geometrical na dimensyon ay nauugnay sa isa't isa, dahil ang mga geometriko na sukat ng mga segment na AO at OC ay kilala sa amin mula sa pahayag ng problema. Yan ay

AO / OC = AD / BC
9/6 = 24 / BC
BC = 24 * 6/9 = 16

Sagot: 16 cm

Gawain .
Sa trapezoid ABCD, alam na AD = 24, BC = 8, AC = 13, BD = 5√17. Hanapin ang lugar ng trapezoid.

Solusyon .
Upang mahanap ang taas ng trapezoid mula sa mga vertices ng mas maliit na base B at C, ibababa namin ang dalawang taas sa mas malaking base. Dahil ang trapezoid ay hindi pantay, tinutukoy namin ang haba AM = a, ang haba KD = b ( hindi malito sa notasyon sa formula paghahanap ng lugar ng trapezoid). Dahil ang mga base ng trapezoid ay magkatulad, at tinanggal namin ang dalawang taas na patayo sa mas malaking base, kung gayon ang MBCK ay isang rektanggulo.

ibig sabihin
AD = AM + BC + KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Ang mga tatsulok na DBM at ACK ay hugis-parihaba, kaya ang kanilang mga tamang anggulo ay nabuo sa pamamagitan ng taas ng trapezoid. Tukuyin natin ang taas ng trapezoid sa pamamagitan ng h. Pagkatapos ay sa pamamagitan ng Pythagorean theorem

H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
at
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2

Isinasaalang-alang namin na a = 16 - b, pagkatapos ay sa unang equation
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2

Palitan natin ang halaga ng parisukat ng taas sa pangalawang equation na nakuha ng Pythagorean Theorem. Nakukuha namin:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
- (64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Kaya KD = 12
saan
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Hanapin ang lugar ng trapezoid sa pamamagitan ng taas nito at kalahati ng kabuuan ng mga base
, kung saan ang a b ay ang base ng trapezoid, ang h ay ang taas ng trapezoid
S = (24 + 8) * 5/2 = 80 cm 2

Sagot: ang lugar ng trapezoid ay 80 cm 2.

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala ang isang partikular na tao o makipag-ugnayan sa kanya.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nag-iwan ka ng kahilingan sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at mag-ulat ng mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon para magpadala ng mahahalagang notification at mensahe.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung lumahok ka sa isang premyo na draw, kumpetisyon o katulad na kaganapang pang-promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hukuman, sa mga paglilitis sa korte, at / o batay sa mga pampublikong pagtatanong o mga kahilingan mula sa mga awtoridad ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - upang ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mahalagang kadahilanan sa lipunan.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na ikatlong partido - ang legal na kahalili.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at pang-aabuso, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Igalang ang iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, dinadala namin ang mga patakaran ng pagiging kumpidensyal at seguridad sa aming mga empleyado, at mahigpit na sinusubaybayan ang pagpapatupad ng mga hakbang sa pagiging kumpidensyal.

Trapezoid Ay isang quadrilateral na may dalawang parallel na gilid na mga base at dalawang hindi parallel na gilid na lateral sides.

Mayroon ding mga pangalan tulad ng isosceles o isosceles.

Ay isang trapezoid na ang mga lateral na sulok ay tuwid.

Mga elemento ng trapezium

a, b - base ng trapezoid(isang parallel sa b),

m, n - mga gilid ng gilid trapezium,

d 1, d 2 - diagonal trapezium,

h - taas trapezium (isang segment na nagkokonekta sa mga base at sa parehong oras patayo sa kanila),

MN - gitnang linya(isang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga gilid).

Lugar ng trapezium

1. Kalahati ng kabuuan ng mga base a, b at taas h: S = \ frac (a + b) (2) \ cdot h
2. Sa pamamagitan ng gitnang linya MN at ang taas h: S = MN \ cdot h
3. Sa pamamagitan ng mga diagonal d 1, d 2 at ang anggulo (\ sin \ varphi) sa pagitan nila: S = \ frac (d_ (1) d_ (2) \ sin \ varphi) (2)

Mga katangian ng trapezoid

Ang gitnang linya ng trapezoid

gitnang linya ay kahanay sa mga base, katumbas ng kanilang kalahating kabuuan at hinahati ang bawat segment na may mga dulo na matatagpuan sa mga tuwid na linya na naglalaman ng mga base (halimbawa, ang taas ng figure) sa kalahati:

MN || a, MN || b, MN = \ frac (a + b) (2)

Ang kabuuan ng mga anggulo ng trapezoid

Ang kabuuan ng mga anggulo ng trapezoid katabi ng bawat panig ay 180 ^ (\ circ):

\ alpha + \ beta = 180 ^ (\ circ)

\ gamma + \ delta = 180 ^ (\ circ)

Pantay na lugar na trapezoid triangles

Kapantay, iyon ay, ang pagkakaroon ng pantay na mga lugar, ay ang mga segment ng mga diagonal at ang mga tatsulok na AOB at DOC na nabuo ng mga lateral na panig.

Pagkakatulad ng nabuong trapezoid triangles

Katulad na mga tatsulok ay AOD at COB, na nabuo sa pamamagitan ng kanilang mga base at line segment.

\ tatsulok AOD \ sim \ tatsulok COB

Koepisyent ng pagkakatulad k ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

k = \ frac (AD) (BC)

Bukod dito, ang ratio ng mga lugar ng mga tatsulok na ito ay katumbas ng k ^ (2).

Ratio ng haba ng mga segment at base

Ang bawat segment na nagkokonekta sa mga base at dumadaan sa punto ng intersection ng trapezoid diagonals ay nahahati sa puntong ito sa ratio:

\ frac (OX) (OY) = \ frac (BC) (AD)

Magiging totoo ito para sa taas na may mga diagonal mismo.