인터뷰에서 계속되는 함수의 속성

일정 간격으로 연속되는 함수의 일부 속성을 고려해 보겠습니다. 우리는 증거 없이 이러한 속성을 제시합니다.

기능 와이 = 에프(엑스)~라고 불리는 세그먼트에서 연속 [ㅏ, 비], 이 세그먼트의 모든 내부 지점과 끝에서 연속적인 경우, 즉 포인트에서 ㅏ그리고 비, 은 각각 오른쪽과 왼쪽에서 연속적입니다.

정리 1.구간 [에서 연속인 함수 ㅏ, 비], 이 세그먼트의 적어도 한 지점은 가장 큰 값을 가지며 적어도 한 지점은 가장 작은 값을 갖습니다.

정리는 만약 함수가 와이 = 에프(엑스)간격 [ ㅏ, 비], 그러면 적어도 하나의 점이 있습니다 x 1 Î [ ㅏ, 비] 함수의 값이 에프엑스(f(x))이 시점에서 이 세그먼트의 모든 값 중 가장 큰 값이 됩니다. f(x 1) ≥ f(x). 마찬가지로 그런점이 있어요 x 2, 여기서 함수 값은 세그먼트의 모든 값 중 가장 작은 값입니다. 에프(엑스 1) ≤ 에프(엑스).

그러한 점이 여러 개 있을 수 있다는 것이 분명합니다. 예를 들어, 그림은 다음과 같은 기능을 보여줍니다. 에프엑스(f(x))두 지점에서 가장 작은 값을 취함 x 2그리고 엑스 2 ".

논평. 구간에서 함수의 값을 고려하면 정리의 설명이 부정확해질 수 있습니다. ㅏ, 비). 사실 기능을 생각해보면 와이 = 엑스(0, 2)에서는 이 간격에서 연속적이지만 그 안의 가장 큰 값이나 가장 작은 값에 도달하지 않습니다. 간격의 끝에서 이 값에 도달하지만 끝은 속하지 않습니다. 우리 도메인에.

또한 이 정리는 불연속 함수에 대해서는 더 이상 적용되지 않습니다. 예를 들어보세요.

결과.기능의 경우 에프엑스(f(x))는 [에 연속적입니다. ㅏ, 비]인 경우 해당 세그먼트에만 제한됩니다.

정리 2.기능을 보자 와이 = 에프(엑스)간격 [ ㅏ, 비] 그리고 이 세그먼트의 끝에서 다른 부호의 값을 취하면 세그먼트 내부에 최소한 하나의 점이 있습니다. x = C, 여기서 함수는 0이 됩니다. 에프(C)= 0, 여기서< C< b

이 정리는 간단한 기하학적 의미를 갖습니다. 연속 함수 그래프의 점이 와이 = 에프(엑스), 세그먼트의 끝 부분에 해당 [ ㅏ, 비] 축의 반대편에 위치 황소, 이 그래프는 세그먼트의 적어도 한 지점에서 축과 교차합니다. 황소. 불연속 함수에는 이 속성이 없을 수 있습니다.

이 정리는 다음과 같은 일반화를 인정합니다.

정리 3(중간 가치 정리).기능을 보자 와이 = 에프(엑스)간격 [ ㅏ, 비] 그리고 f(a) = A, f(b) = B. 그런 다음 임의의 숫자에 대해 씨, 사이에 결론 ㅏ그리고 비, 이 세그먼트 안에 그런 지점이 있습니다 씨Î [ ㅏ, 비], 무엇 에프(c) = C.

이 정리는 기하학적으로 명백합니다. 함수의 그래프를 고려하십시오 와이 = 에프(엑스). 허락하다 f(a) = A, f(b) = B. 그러면 어떤 직선이라도 와이 = C, 어디 씨– 사이의 임의의 숫자 ㅏ그리고 비, 적어도 한 지점에서 함수 그래프와 교차합니다. 교차점의 가로좌표는 해당 값이 됩니다. x = C, 어느 곳에서 에프(c) = C.

따라서 한 값에서 다른 값으로 이동하는 연속 함수는 반드시 모든 중간 값을 통과합니다. 특히:

결과.기능의 경우 와이 = 에프(엑스)특정 간격에 걸쳐 연속적이고 가장 큰 값과 가장 작은 값을 취하며, 이 간격에서는 가장 작은 값과 가장 큰 값 사이에 포함된 값을 적어도 한 번 취합니다.

파생상품과 그 응용. 파생상품의 정의

어떤 기능을 해보자 y=f(x),일정 간격으로 정의됩니다. 각 인수 값에 대해 엑스이 간격에서 함수 y=f(x)특정한 의미가 있습니다.

두 가지 인수 값을 고려하십시오. 엑스 0과 새로운 엑스.

차이점 더블 엑스 0이 호출됩니다. 인수 x를 증가시켜그 시점에 엑스 0으로 표시됩니다. Δx. 따라서, Δx = x – x 0(인수 증분은 양수 또는 음수일 수 있음). 이 평등으로부터 다음이 따른다: x=x 0 +Δx, 즉. 변수의 초기값이 약간 증가했습니다. 그렇다면 그 시점에서 엑스이전 함수 값은 0입니다. 에프(엑스 0 ), 그럼 새로운 지점에서 엑스함수는 값을 취합니다 에프(엑스) = 에프(엑스 0 +Δx).

차이점 y–y 0 = 에프(엑스) – 에프(엑스) 0 ) ~라고 불리는 기능 증가 와이 = 에프(엑스)그 시점에 엑스 0이며 기호로 표시됩니다. Δy. 따라서,

일반적으로 인수의 초기 값 엑스 0은 고정된 것으로 간주되며 새 값 엑스– 변수. 그 다음에 와이 0 = 에프(엑스 0 ) 일정한 것으로 나타났으며, 와이 = 에프(엑스)– 변수. 증분 Δy그리고 Δx또한 변수가 될 것이며 공식 (1)은 다음을 보여줍니다. 다이변수의 함수이다 Δx.

인수 증가에 대한 함수 증가의 비율을 만들어 보겠습니다.

이 비율의 극한을 다음에서 찾아보자. Δx→0. 이 극한이 존재하면 이를 이 함수의 도함수라고 합니다. 에프엑스(f(x))그 시점에 엑스 0 및 표시 에프 "(엑스 0). 그래서,

유도체이 기능 와이 = 에프(엑스)그 시점에 엑스 0을 함수 증분 비율 Δ의 한계라고 합니다. 와이인수 증분 Δ 엑스, 후자가 임의로 0이 되는 경향이 있는 경우.

동일한 함수에 대해 다른 지점에서의 도함수는 다음과 같습니다. 엑스다른 값을 가질 수 있습니다. 도함수는 인수의 함수로 간주될 수 있습니다. 엑스. 이 기능은 지정되었습니다 에프 "(엑스)

파생 상품은 기호로 표시됩니다 에프 "(x),y", . 에서 파생물의 특정 값 x = 에이로 표시 에프 "(ㅏ) 또는 와이 "| x=a.

함수의 미분을 찾는 작업 에프엑스(f(x))이 기능의 미분이라고 불린다.

정의에 따라 파생 상품을 직접 찾으려면 다음을 사용할 수 있습니다. 경험 법칙:

예.

미분의 기계적 의미

등속 운동의 법칙은 물리학에서 다음과 같은 형태를 갖는다는 것이 알려져 있습니다. s = vt, 어디 에스– 시간의 순간으로 이동한 길 티, V– 등속 운동 속도.

그러나 왜냐하면 자연에서 발생하는 대부분의 움직임은 고르지 않으며 일반적으로 속도와 결과적으로 거리가 느려집니다. 에스시간에 따라 달라집니다 티, 즉. 시간의 함수일 것이다.

따라서 물질점이 법칙에 따라 한 방향으로 직선으로 이동하도록 합시다. s=s(t).

특정 시점을 표시하자 티 0 . 이 시점에서 지점이 경로를 통과했습니다. s=s(티 0 ). 속도를 정해보자 V한 순간의 중요한 시점 티 0 .

이를 위해 다른 시점을 고려해 보겠습니다. 티 0 + Δ 티. 이동 경로 s에 해당합니다. =s(t 0 + Δ 티). 그런 다음 일정 기간 동안 Δ 티점이 경로 Δs를 따라 이동했습니다. =s(t 0 + Δ 티)–성).

태도를 생각해 보자. 시간 간격 Δ의 평균 속도라고 합니다. 티. 평균 속도는 현재 지점의 이동 속도를 정확하게 특성화할 수 없습니다. 티 0(움직임이 고르지 않기 때문). 이 실제 속도를 평균 속도를 사용하여 보다 정확하게 표현하려면 더 짧은 시간 Δ가 필요합니다. 티.

따라서 특정 순간의 이동 속도는 티 0(순간 속도)은 다음 구간의 평균 속도 한계입니다. 티 0 ~ 티 0 +Δ 티, 때 Δ 티→0:

,

저것들. 고르지 못한 속도이는 시간에 대해 이동한 거리를 미분한 것입니다.

파생상품의 기하학적 의미

먼저 주어진 점에서 곡선에 대한 접선의 정의를 소개하겠습니다.

곡선과 그 위에 고정점이 있다고 가정해 보겠습니다. 남 0(그림 참조) 또 다른 점을 고려하십시오. 중이 곡선을 그리고 시컨트를 그립니다. 남 0백만. 요점이라면 중곡선을 따라 움직이기 시작하고, 점이 남 0움직이지 않으면 시컨트의 위치가 변경됩니다. 만약, 점에 대한 무제한의 근사치를 가지고 있다면 중곡선을 따라 점까지 남 0어느 쪽에서든 할선은 특정 직선의 위치를 ​​차지하는 경향이 있습니다. M0T, 그다음 직진 M0T주어진 점에서 곡선의 접선이라고 함 남 0.

저것., 접선특정 지점에서 곡선으로 남 0시컨트의 한계 위치라고 함 남 0백만언제 포인트 중곡선을 따라 한 점으로 향하는 경향이 있습니다. 남 0.

이제 연속함수를 생각해 봅시다. y=f(x)그리고 이 함수에 해당하는 곡선입니다. 어떤 가치에서 엑스 0 함수는 값을 갖습니다. y 0 =f(x 0).이러한 값 엑스 0과 와이곡선의 0은 점에 해당합니다. M 0 (x 0 ; y 0).주장을 해보자 x 0증분 Δ 엑스. 인수의 새 값은 함수의 증가된 값에 해당합니다. 와이 0 +Δ y=f(x 0 –Δ 엑스). 우리는 요점을 이해합니다 남(x0+Δ 엑스; 와이 0+Δ 와이).시컨트를 그려보자 남 0백만축의 양의 방향과 시컨트에 의해 형성된 각도를 ψ로 표시합니다. 황소. 관계를 생성하고 에 주목해 봅시다.

지금이라면 Δ 엑스→0, 그러면 함수 Δ의 연속성으로 인해 ~에→0, 따라서 요점 중, 곡선을 따라 이동하며 제한 없이 해당 지점에 접근합니다. 남 0. 그런 다음 시컨트 남 0백만그 점에서 곡선에 접하는 위치를 취하는 경향이 있습니다. 남 0, 그리고 Δ에서의 각도 Φ→α 엑스→0, 여기서 α는 축의 접선과 양의 방향 사이의 각도를 나타냅니다. 황소. 함수 tan ψ는 Φ≠π/2에 대해 ψ에 지속적으로 의존하므로 ψ→α tan ψ → tan α에 대해 접선의 기울기는 다음과 같습니다.

저것들. f "(x)= tg α .

따라서 기하학적으로 y "(x 0)점에서 이 함수의 그래프에 대한 접선의 기울기를 나타냅니다. x 0, 즉. 주어진 인수 값에 대해 엑스, 미분은 함수 그래프의 접선에 의해 형성된 각도의 접선과 같습니다. 에프엑스(f(x))적절한 시점에 남 0(x;y)양의 축 방향 황소.

예.곡선에 대한 접선의 기울기 찾기 와이 = 엑스시점에서 2 중(-1; 1).

우리는 이미 이전에 ( 엑스 2)" = 2엑스. 그러나 곡선에 대한 접선의 각도 계수는 tan α = 와이"| x=-1 = – 2.

기능의 차별성. 미분함수의 연속성

기능 y=f(x)~라고 불리는 미분가능한어느 시점에서 엑스이 시점에서 특정 도함수가 있는 경우 0입니다. 즉, 관계의 한계가 존재하고 유한한 경우.

특정 세그먼트의 각 지점에서 함수가 미분 가능한 경우 [ ㅏ; 비] 또는 간격( ㅏ; 비) 그러면 그들은 그녀가 미분가능한세그먼트에서 [ ㅏ; 비] 또는 각각 간격( ㅏ; 비).

다음 정리는 미분 가능 함수와 연속 함수 간의 연결을 설정하는 데 유효합니다.

정리.기능의 경우 y=f(x)어느 시점에서는 구별 가능 x 0, 이 시점에서 연속입니다.

따라서 함수의 미분성으로부터 함수의 연속성이 따릅니다.

증거. 만약에 , 저것

,

여기서 α는 극소량입니다. 즉 Δ로 0이 되는 양 엑스→0. 하지만

Δ 와이=에프 "(x 0) Δ 엑스+αΔ 엑스=> Δ 와이→ Δ에서 0 엑스→0, 즉 에프(엑스) - 에프(엑스 0)→0 엑스→엑스 0 , 이는 함수가 에프엑스(f(x))한 지점에서 연속 엑스 0 . Q.E.D.

따라서 함수는 불연속점에서 도함수를 가질 수 없습니다. 그 반대는 사실이 아닙니다. 일부 점에서 미분할 수 없는 연속 함수가 있습니다(즉, 이러한 점에서 도함수가 없습니다).

그림의 요점을 고려하십시오. 가, 비, ㄷ.

그 시점에 ㅏΔ에서 엑스→0 비율에는 제한이 없습니다(Δ에 대한 단측 제한이 다르기 때문). 엑스→0–0 및 Δ 엑스→0+0). 그 시점에 ㅏ그래프에는 정의된 접선이 없지만 기울기가 있는 두 가지 단방향 접선이 있습니다. 에게 1과 에게 2. 이러한 유형의 점을 모서리 점이라고 합니다.

그 시점에 비Δ에서 엑스→0 비율은 무한히 큰 양의 상수 부호입니다. 함수에는 무한한 도함수가 있습니다. 이 시점에서 그래프는 수직 접선을 갖습니다. 점 유형 - 수직 접선의 "변곡점"입니다.

그 시점에 씨일방 파생 상품은 무한히 많은 양의 다양한 기호입니다. 이 시점에서 그래프에는 두 개의 병합된 수직 접선이 있습니다. 유형 - 수직 접선이 있는 "반환점" - 모서리 점의 특별한 경우입니다.

아래 그림은 함수가 가장 작은 값과 가장 큰 값에 도달할 수 있는 위치를 보여줍니다. 왼쪽 그림에서는 함수의 국소 최소값과 최대값 지점에 가장 작은 값과 가장 큰 값이 고정되어 있습니다. 오른쪽 그림 - 세그먼트 끝 부분.

기능의 경우 와이 = 에프(엑스) 간격 [ ㅏ, 비] , 그런 다음 이 세그먼트에 도달합니다. 최소 그리고 가장 높은 값 . 이미 언급했듯이 이는 다음 중 하나에서 발생할 수 있습니다. 극한점또는 세그먼트의 끝 부분에 있습니다. 그러므로 찾기 위해서는 최소 그리고 함수의 가장 큰 값 , 간격 [ ㅏ, 비] , 당신은 그 값을 모두 계산해야합니다 임계점세그먼트의 끝 부분에서 가장 작은 것과 가장 큰 것을 선택합니다.

예를 들어 함수의 가장 큰 값을 결정하려고 한다고 가정해 보겠습니다. 에프(엑스) 세그먼트의 [ ㅏ, 비] . 이렇게하려면 [에있는 모든 중요한 지점을 찾아야합니다. ㅏ, 비] .

임계점 그 지점을 불렀다. 정의된 함수, 그리고 그녀 유도체 0과 같거나 존재하지 않습니다. 그런 다음 임계점에서 함수 값을 계산해야 합니다. 그리고 마지막으로 임계점과 세그먼트 끝에서 함수 값을 비교해야 합니다( 에프(ㅏ) 그리고 에프(비)). 이 숫자 중 가장 큰 숫자는 다음과 같습니다. 세그먼트에 있는 함수의 가장 큰 값 [ㅏ, 비] .

찾는 문제 가장 작은 함수 값 .

함수의 가장 작은 값과 가장 큰 값을 함께 찾습니다.

예 1. 함수의 최소값과 최대값 찾기 세그먼트에 [-1, 2] .

해결책. 이 함수의 미분을 찾아보세요. 도함수를 0()과 동일시하고 두 가지 중요한 점인 및 을 얻습니다. 주어진 세그먼트에서 함수의 가장 작은 값과 가장 큰 값을 찾으려면 해당 점이 세그먼트 [-1, 2]. 이러한 함수 값은 , , 입니다. 그것은 다음과 같습니다 가장 작은 함수 값(아래 그래프에서 빨간색으로 표시) -7과 동일하며 세그먼트의 오른쪽 끝 - 지점에서 달성됩니다. 가장 큰(그래프에서도 빨간색)은 임계점에서 9와 같습니다.

함수가 특정 구간에서 연속이고 이 구간이 세그먼트가 아닌 경우(예를 들어 구간인 경우, 구간과 세그먼트의 차이: 구간의 경계점은 구간에 포함되지 않지만 세그먼트의 경계점이 세그먼트에 포함됨), 함수 값 중 가장 작은 값과 가장 큰 값이 없을 수 있습니다. 따라서 예를 들어 아래 그림에 표시된 함수는 ]-무한대, +무대[에서 연속이며 가장 큰 값을 가지지 않습니다.

그러나 모든 구간(닫힌, 열린 또는 무한)에 대해 연속 함수의 다음 속성은 참입니다.

계산 중 자체 점검을 위해 다음을 사용할 수 있습니다. 온라인 파생 계산기 .

예 4. 함수의 최소값과 최대값 찾기 세그먼트에 [-1, 3] .

해결책. 우리는 이 함수의 도함수를 몫의 도함수로 찾습니다.

.

우리는 도함수를 0과 동일시하는데, 이는 우리에게 하나의 중요한 점을 제공합니다: . 이는 [-1, 3] 세그먼트에 속합니다. 주어진 세그먼트에서 함수의 가장 작은 값과 가장 큰 값을 찾으려면 세그먼트 끝과 발견된 임계점에서 해당 값을 찾습니다.

이 값들을 비교해 보겠습니다. 결론: 지점 및 지점에서 -5/13과 같습니다. 가장 높은 가치점 에서 1과 같습니다.

우리는 계속해서 함수의 최소값과 최대값을 함께 찾습니다.

함수의 최소값과 최대값을 찾는 주제에 대해 학생들에게 방금 논의한 것보다 더 복잡한, 즉 함수가 다항식이거나 함수인 예제를 제공하지 않는 교사가 있습니다. 분수, 분자와 분모는 다항식입니다. 그러나 우리는 그러한 예로만 국한되지 않을 것입니다. 교사 중에는 학생들이 완전히 생각하도록 강요하는 사람들이 있기 때문입니다 (미분 표). 따라서 로그와 삼각함수가 사용됩니다.

예 8. 함수의 최소값과 최대값 찾기 세그먼트에 .

해결책. 우리는 이 함수의 미분을 다음과 같이 찾습니다. 제품의 파생물 :

우리는 도함수를 0으로 동일시하는데, 이는 하나의 중요한 점을 제공합니다: . 세그먼트에 속합니다. 주어진 세그먼트에서 함수의 가장 작은 값과 가장 큰 값을 찾으려면 세그먼트 끝과 발견된 임계점에서 해당 값을 찾습니다.

모든 조치의 결과: 함수가 최소값에 도달함, 지점과 지점에서 0과 같습니다. 가장 높은 가치, 동일한 이자형², 그 시점에서.

계산 중 자체 점검을 위해 다음을 사용할 수 있습니다. 온라인 파생 계산기 .

실시예 9. 함수의 최소값과 최대값 찾기 세그먼트에 .

해결책. 이 함수의 미분을 구합니다.

우리는 미분을 0과 동일시합니다.

유일한 중요한 지점은 세그먼트에 속합니다. 주어진 세그먼트에서 함수의 가장 작은 값과 가장 큰 값을 찾으려면 세그먼트 끝과 발견된 임계점에서 해당 값을 찾습니다.

결론: 함수가 최소값에 도달함, 같음 , 지점에서 및 가장 높은 가치, 동등 , 지점에서 .

적용된 극값 문제에서 함수의 가장 작은(최대) 값을 찾는 것은 일반적으로 최소(최대)를 찾는 것으로 귀결됩니다. 그러나 실제적으로 더 큰 관심을 끄는 것은 최소값이나 최대값 그 자체가 아니라, 그것이 달성되는 주장의 가치입니다. 적용된 문제를 해결할 때 고려 중인 현상이나 프로세스를 설명하는 기능을 구성하는 추가적인 어려움이 발생합니다.

실시예 10.바닥이 정사각형이고 상단이 열려 있는 평행육면체 모양의 4인용 탱크는 주석 도금을 해야 합니다. 탱크를 덮는 데 최소한의 재료가 사용되도록 탱크의 크기는 얼마여야 합니까?

해결책. 허락하다 엑스- 베이스 측, 시간- 탱크 높이, 에스- 덮개가 없는 표면적, V- 그 양. 탱크의 표면적은 다음 공식으로 표현됩니다. 두 변수의 함수입니다. 표현 에스하나의 변수에 대한 함수로서 우리는 , from where 이라는 사실을 사용합니다. 찾은 표현식 대체 시간에 대한 공식에 에스:

이 기능을 최대한 살펴보겠습니다. ]0, +[ 및 ]의 모든 곳에서 정의되고 미분 가능합니다.

.

도함수를 0()과 동일시하고 임계점을 찾습니다. 또한, 도함수는 존재하지 않지만 이 값은 정의영역에 포함되지 않으므로 극점이 될 수 없는 경우이다. 따라서 이것이 유일한 중요한 포인트입니다. 두 번째 충분 부호를 사용하여 극값이 있는지 확인해 보겠습니다. 2차 도함수를 구해보자. 2차 도함수가 0보다 큰 경우(). 즉, 함수가 최소값에 도달하면 . 이 이후로 최소값은 이 함수의 유일한 극값이며 가장 작은 값입니다.. 따라서 탱크 바닥의 측면은 2m, 높이는 .

계산 중 자체 점검을 위해 다음을 사용할 수 있습니다.

실용적인 관점에서 가장 큰 관심은 도함수를 사용하여 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾는 것입니다. 이것은 무엇과 관련이 있습니까? 이익 극대화, 비용 최소화, 최적의 장비 부하 결정... 즉, 삶의 여러 영역에서 일부 매개변수를 최적화하는 문제를 해결해야 합니다. 그리고 이것은 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾는 작업입니다.

함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값은 일반적으로 함수의 전체 영역 또는 정의 영역의 일부인 특정 간격 X에서 구됩니다. 간격 X 자체는 세그먼트, 열린 간격일 수 있습니다. , 무한 간격.

이 기사에서는 하나의 변수 y=f(x)에 대해 명시적으로 정의된 함수의 최대값과 최소값을 찾는 방법에 대해 설명합니다.

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함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값 - 정의, 그림.

주요 정의를 간단히 살펴보겠습니다.

함수의 가장 큰 값 그건 누구에게나 불평등은 사실이다.

함수의 가장 작은 값구간 X의 y=f(x)를 이러한 값이라고 합니다. 그건 누구에게나 불평등은 사실이다.

이러한 정의는 직관적입니다. 함수의 가장 큰(가장 작은) 값은 가로좌표에서 고려 중인 구간에서 허용되는 가장 큰(가장 작은) 값입니다.

고정점– 함수의 미분이 0이 되는 인수의 값입니다.

가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾을 때 고정점이 필요한 이유는 무엇입니까? 이 질문에 대한 답은 페르마의 정리에 의해 주어집니다. 이 정리에 따르면 미분 가능 함수가 어떤 지점에서 극값(국소 최솟값 또는 국부 최댓값)을 갖는 경우 이 지점은 고정되어 있습니다. 따라서 함수는 종종 이 구간의 고정점 중 하나에서 구간 X의 가장 큰(가장 작은) 값을 취합니다.

또한 함수는 이 함수의 1차 도함수가 존재하지 않고 함수 자체가 정의되는 지점에서 최대값과 최소값을 취하는 경우가 많습니다.

이 주제에 대한 가장 일반적인 질문 중 하나인 "함수의 최대(최소) 값을 결정하는 것이 항상 가능합니까?"에 즉시 답해 보겠습니다. 항상 그런 것은 아닙니다. 때때로 간격 X의 경계가 함수 정의 영역의 경계와 일치하거나 간격 X가 무한합니다. 그리고 무한대와 정의 영역의 경계에 있는 일부 함수는 무한히 큰 값과 무한히 작은 값을 모두 가질 수 있습니다. 이 경우 함수의 최대값과 최소값에 대해서는 아무 것도 말할 수 없습니다.

명확성을 위해 그래픽 그림을 제공합니다. 사진을 보시면 많은 것이 더 명확해질 것입니다.

세그먼트에서

첫 번째 그림에서 함수는 세그먼트 [-6;6] 내부에 위치한 정지점에서 가장 큰(max y) 값과 가장 작은(min y) 값을 취합니다.

두 번째 그림에 묘사된 사례를 고려해보세요. 세그먼트를 으로 변경해 보겠습니다. 이 예에서 함수의 가장 작은 값은 고정된 지점에서 달성되고, 간격의 오른쪽 경계에 해당하는 가로좌표가 있는 지점에서 가장 큰 값이 달성됩니다.

그림 3에서 세그먼트 [-3;2]의 경계점은 함수의 최대값과 최소값에 해당하는 점의 가로좌표입니다.

열린 간격으로

네 번째 그림에서 함수는 열린 구간(-6;6) 내부에 위치한 정지점에서 가장 큰(max y) 값과 가장 작은(min y) 값을 취합니다.

구간에서는 가장 큰 값에 대한 결론을 도출할 수 없습니다.

무한대에서

일곱 번째 그림에 제시된 예에서 함수는 가로좌표 x=1인 정지점에서 가장 큰 값(최대 y)을 취하고 구간의 오른쪽 경계에서 가장 작은 값(최소 y)을 얻습니다. 음의 무한대에서 함수 값은 점근적으로 y=3에 접근합니다.

간격 동안 함수는 가장 작은 값이나 가장 큰 값에 도달하지 않습니다. x=2가 오른쪽에서 접근할수록 함수값은 마이너스 무한대(x=2선은 수직점근선)에 가까워지는 경향이 있고, 가로좌표는 플러스무한대 경향을 가지면서 함수값은 y=3에 점근적으로 접근합니다. 이 예의 그래픽 그림이 그림 8에 나와 있습니다.

세그먼트에서 연속 함수의 최대값과 최소값을 찾는 알고리즘입니다.

세그먼트에서 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾을 수 있는 알고리즘을 작성해 보겠습니다.

1. 함수 정의 영역을 찾아 전체 세그먼트가 포함되어 있는지 확인합니다.
2. 우리는 1차 도함수가 존재하지 않고 세그먼트에 포함된 모든 점을 찾습니다(일반적으로 이러한 점은 모듈러스 기호 아래 인수가 있는 함수와 분수 유리수 지수가 있는 거듭제곱 함수에서 발견됩니다). 해당 지점이 없으면 다음 지점으로 이동합니다.
3. 우리는 세그먼트 내에 속하는 모든 고정 지점을 결정합니다. 이를 위해 이를 0과 동일시하고 결과 방정식을 풀고 적합한 근을 선택합니다. 고정된 점이 없거나 그 중 어느 것도 세그먼트에 포함되지 않으면 다음 점으로 이동합니다.
4. 선택된 고정점(있는 경우), 1차 도함수가 존재하지 않는 지점(있는 경우) 및 x=a 및 x=b에서 함수 값을 계산합니다.
5. 얻은 함수 값에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 선택합니다. 이는 각각 함수에 필요한 가장 큰 값과 가장 작은 값이 됩니다.

세그먼트에서 함수의 최대값과 최소값을 찾는 예제를 해결하기 위한 알고리즘을 분석해 보겠습니다.

예.

함수의 최대값과 최소값 찾기

• 세그먼트에서 ;
• 세그먼트 [-4;-1] 에서.

해결책.

함수 정의 영역은 즉, 0을 제외한 전체 실수 집합입니다. 두 세그먼트 모두 정의 영역에 속합니다.

다음과 관련하여 함수의 도함수를 구합니다.

분명히 함수의 미분은 세그먼트와 [-4;-1]의 모든 지점에 존재합니다.

방정식에서 고정점을 결정합니다. 유일한 실제 근은 x=2입니다. 이 고정점은 첫 번째 세그먼트에 속합니다.

첫 번째 경우에는 세그먼트 끝과 고정점, 즉 x=1, x=2 및 x=4에서 함수 값을 계산합니다.

따라서 함수의 가장 큰 가치는 x=1에서 달성되며 가장 작은 값 – x=2에서.

두 번째 경우에는 세그먼트 [-4;-1] 끝에서만 함수 값을 계산합니다(단일 고정점이 포함되어 있지 않기 때문).

해결책.

함수의 도메인부터 시작해 보겠습니다. 분수의 분모에 있는 제곱 삼항식은 사라지지 않아야 합니다.

문제 진술의 모든 구간이 함수 정의 영역에 속하는지 확인하는 것은 쉽습니다.

기능을 구별해 봅시다:

분명히 도함수는 함수 정의의 전체 영역에 걸쳐 존재합니다.

정지점을 찾아보자. 도함수는 에서 0이 됩니다. 이 고정점은 (-3;1] 및 (-3;2) 간격 내에 속합니다.

이제 각 지점에서 얻은 결과를 함수 그래프와 비교할 수 있습니다. 파란색 점선은 점근선을 나타냅니다.

이 시점에서 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾는 것으로 마무리할 수 있습니다. 이 문서에서 설명하는 알고리즘을 사용하면 최소한의 작업으로 결과를 얻을 수 있습니다. 그러나 먼저 함수의 증가 및 감소 간격을 결정한 후 모든 간격에서 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값에 대한 결론을 도출하는 것이 유용할 수 있습니다. 이는 결과에 대한 보다 명확한 그림과 엄격한 타당성을 제공합니다.

정의3 . 3 일부 함수, 해당 정의 영역 및 일부 (개방) 간격(아마도 및/또는 )이 있다고 가정합니다. 7 . 함수를 호출해보자 간격으로 연속, 어떤 지점에서 연속이면, 즉 모든 지점에 대해 (축약된 형태:

이제 의 (닫힌) 세그먼트가 되도록 하겠습니다. 함수를 호출해보자 세그먼트에서 연속, 간격에서 연속이면 점에서 오른쪽에서 연속이고 점에서 왼쪽에서 연속입니다.

예3 . 13 기능을 고려하십시오 (헤비사이드 기능) 세그먼트의 , . 그런 다음 세그먼트에서 연속적입니다(지점에서 첫 번째 종류의 불연속성을 갖는다는 사실에도 불구하고).

그림 3.15. 헤비사이드 함수 그래프

과 의 경우를 포함하여 과 형식의 절반 간격에 대해서도 유사한 정의가 제공될 수 있습니다. 그러나 이 정의를 다음과 같이 임의의 하위 집합의 경우로 일반화할 수 있습니다. 먼저 개념을 소개하자면 유도된베이스로: 끝이 와 비어 있지 않은 교차점을 갖는 모든 베이스가 되도록 합니다. 로 표시하고 모두의 집합을 고려해 보겠습니다. 그러면 세트가 맞는지 쉽게 확인할 수 있습니다. 기반이 될 것입니다. 따라서 베이스의 경우 , 및 , 여기서 , 및 는 점의 구멍이 뚫리지 않은 양면(각각 왼쪽, 오른쪽) 이웃의 베이스입니다(현재 장의 시작 부분에 있는 정의를 참조하세요).

정의3 . 4 함수를 호출해보자 세트장에서 계속, 만약에

at 및 at 이 정의가 간격 및 세그먼트에 대해 특별히 위에 제공된 정의와 일치한다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.

모든 기본 함수는 정의 영역의 모든 지점에서 연속적이므로 정의 영역에 있는 모든 간격과 세그먼트에서도 연속적이라는 점을 상기하십시오.

간격과 세그먼트의 연속성은 점별로 정의되므로 정리 3.1의 즉각적인 결과인 정리가 유지됩니다.

정리3 . 5 허락하다 그리고 -- 기능과 -- 간격 또는 세그먼트가 놓여 있습니다. . 허락하다 그리고 연속 . 그런 다음 기능 , , 연속 . 만약 추가적으로 모두들 앞에서 , 다음 기능 에서도 계속됩니다 .

다음 진술은 정리 3.1 - 명제 3.3에서와 마찬가지로 이 정리에서 나옵니다.

권하다3 . 4 한 무리의 모든 기능은 간격이나 세그먼트에서 연속적입니다. -- 이것은 선형 공간입니다:

연속 함수의 보다 복잡한 속성은 다음 정리로 표현됩니다.

정리3 . 6 (연속함수의 근에 대하여) 기능을 보자 세그먼트에서 연속 , 그리고 그리고 -- 다양한 기호의 수. (확실성을 ​​위해 다음과 같이 가정하겠습니다. , ㅏ .) 그런 다음 그러한 값이 하나 이상 있습니다. , 무엇 (즉, 루트가 하나 이상 있습니다. 방정식 ).

증거. 세그먼트의 중간을 살펴보겠습니다. 그러면 그것은, 또는, 또는 중 하나입니다. 첫 번째 경우에는 루트가 발견됩니다. 이는 입니다. 나머지 두 가지 경우에는 함수가 다른 부호의 값을 취하는 끝 부분의 세그먼트 부분(in 경우 또는 경우 )을 고려하십시오. 선택한 세그먼트 절반을 로 표시하고 동일한 절차를 적용합니다. 두 개의 절반으로 나누고 , 여기서 , 찾기 . 루트가 발견된 경우; 이 경우 세그먼트를 추가로 고려합니다. , 경우 - 세그먼트 등.

그림 3.16 세그먼트의 연속 분할

우리는 어떤 단계에서 루트가 발견되거나 중첩된 세그먼트 시스템이 구성된다는 것을 알게 됩니다.

각 후속 세그먼트의 길이는 이전 세그먼트의 절반입니다. 시퀀스는 감소하지 않으며 위에서부터 제한됩니다(예: 숫자로). 그러므로 (정리 2.13에 따라) 한계가 있습니다. 후속 - 증가하지 않고 아래로부터 제한됩니다(예: 숫자로 ). 이는 한계가 있음을 의미합니다. 세그먼트의 길이는 감소하는 기하학적 수열(분모 사용)을 형성하므로 0이 되는 경향이 있습니다. , 그건 . 이제 넣어 봅시다. 그 다음에

그리고

함수가 연속적이기 때문이다. 그러나 시퀀스 및 , 및 의 구성에 의해 부등식의 한계를 통과하는 정리(정리 2.7)에 의해, 그리고, 즉, 그리고. 이는 , 및 가 방정식의 근이라는 것을 의미합니다.

예3 . 14 기능을 고려하십시오 세그먼트에. 과 는 서로 다른 부호의 숫자이기 때문에 간격의 어느 시점에서 함수는 0으로 변합니다. 이는 방정식에 근이 있음을 의미합니다.

그림 3.17 방정식의 근을 그래픽으로 표현한 것

입증된 정리는 실제로 사전에 지정된 어느 정도의 정확도로 최소한 대략적인 근을 찾는 방법을 제공합니다. 이는 정리 증명에서 설명한 세그먼트를 반으로 나누는 방법입니다. 우리는 파생 상품의 개념과 속성을 연구한 후 아래에서 근을 대략적으로 찾는 이 방법과 기타 보다 효과적인 방법에 대해 알게 될 것입니다.

정리는 조건이 충족되면 루트가 고유하다고 명시하지 않습니다. 다음 그림에 표시된 대로 루트는 두 개 이상 있을 수 있습니다(그림에는 3개 있음).

그림 3.18 세그먼트 끝에서 서로 다른 부호의 값을 취하는 함수의 여러 근

그러나 함수가 세그먼트에서 단조롭게 증가하거나 단조롭게 감소하는 경우 끝에서 서로 다른 부호의 값을 취하면 루트는 고유합니다. 엄격하게 단조로운 함수는 정확히 한 지점에서 각 값을 취하기 때문입니다. , 값 0을 포함합니다.

그림 3.19 단조함수는 하나 이상의 근을 가질 수 없습니다.

연속 함수의 근본에 대한 정리의 즉각적인 결과는 다음 정리이며, 이는 그 자체로 수학적 분석에서 매우 중요합니다.

정리3 . 7 (연속함수의 중간값에 대해서) 기능을 보자 세그먼트에서 연속 그리고 (확실성을 ​​위해 우리는 ). 허락하다 -- 사이에 어떤 숫자가 놓여 있습니다. 그리고 . 그럼 그런점이 있지 , 무엇 .

그림 3.20. 연속 함수는 임의의 중간값을 취합니다.

증거. 도우미 기능을 고려해보세요 , 어디 . 그 다음에 그리고 . 함수는 분명히 연속적이며, 이전 정리에 따르면 다음과 같은 점이 있습니다. 그러나 이 평등은 다음을 의미합니다.

함수가 연속적이지 않으면 모든 중간 값을 취하지 않을 수도 있습니다. 예를 들어, Heaviside 함수(예제 3.13 참조)는 값 ​​, 을 취하지만 간격을 포함하여 어느 곳에서도 중간 값을 취하지 않습니다. 사실 헤비사이드 함수는 구간 내 정확히 한 지점에서 불연속성을 가집니다.

간격에서 연속적인 함수의 속성을 더 연구하려면 실수 시스템의 다음과 같은 미묘한 속성이 필요합니다(단조 증가 유계 함수의 극한에 대한 정리와 관련하여 2장에서 이미 언급했습니다). 아래에 제한된 집합(즉, 모든 숫자와 일부 숫자에 대해 호출됨) 하단 가장자리세트) 가능 정확한 하단 가장자리, 즉 모든 숫자에 대해 가장 큰 숫자입니다. 마찬가지로, 세트가 위에 제한되어 있으면 다음을 갖습니다. 정확한 상한: 이게 제일 작다 윗면(모두를 위해).

그림 3.21. 경계 집합의 하한과 상한

이면 가 되는 경향이 있는 증가하지 않는 일련의 점들이 있습니다. 같은 방식으로, 이면 경향이 감소하지 않는 일련의 점들이 있습니다.

점이 집합에 속하면 이 집합의 가장 작은 요소입니다. 마찬가지로 만약에 , 저것 .

또한 추가로 다음이 필요합니다.

기본정리3 . 1 허락하다 -- 세그먼트에 대한 연속 기능 , 그리고 많은 그 포인트 , 어느 (또는 , 또는 )은 비어 있지 않습니다. 그럼 풍성하게 가장 작은 값이 있습니다 , 그렇게 모두들 앞에서 .

그림 3.22. 함수가 지정된 값을 취하는 가장 작은 인수

증거. 제한된 집합(세그먼트의 일부)이므로 극한을 갖습니다. 그런 다음 비증가 시퀀스 가 존재합니다. 게다가 집합의 정의에 따르면. 그러므로 한계에 도달하면 한편으로는 다음을 얻습니다.

반면에 기능의 연속성으로 인해

즉, 포인트는 세트 및 에 속합니다.

집합이 불평등에 의해 정의되는 경우, 우리는 모두에 대해 그리고 우리가 얻는 불평등의 한계에 도달하는 정리에 의해

from where 는 and 를 의미합니다. 마찬가지로 불평등의 경우 불평등의 한계까지 전달하면 다음이 제공됩니다.

어디서 , 그리고 .

정리3 . 8 (연속함수의 경계에 대하여) 기능을 보자 세그먼트에서 연속 . 그 다음에 제한된 , 즉, 그러한 상수가 있습니다 , 무엇 모두들 앞에서 .

그림 3.23 세그먼트에서 연속적인 함수는 유계입니다.

증거. 예를 들어 위에서부터 제한하지 마십시오. 그러면 모든 집합 , , 은 비어 있지 않습니다. 이전 정리에 따르면 이들 세트 각각은 가장 작은 값인 를 갖습니다. 그걸 보여주자

정말, . 예를 들어 의 임의의 점이 과 사이에 있으면

즉, 와 사이의 중간 값입니다. 이는 연속함수의 중간값에 대한 정리에 따라 다음과 같은 점이 존재한다는 것을 의미합니다. , 그리고 . 그러나 가정과는 반대로 - 집합의 가장 작은 값입니다. 그것은 모두에게 해당됩니다.

같은 방식으로, for all , for all 등이 추가로 입증되었습니다. 따라서 는 숫자 로 경계가 지정된 증가 수열입니다. 그러므로 존재합니다. 함수의 연속성으로부터 다음이 나온다. , 하지만 에 있으므로 제한이 없습니다. 결과적인 모순은 함수가 위에 제한되어 있음을 증명합니다.

이는 정리의 진술을 의미하는 아래로부터 경계가 정해지는 것과 유사한 방식으로 증명됩니다.

분명히 정리의 조건을 약화시키는 것은 불가능합니다. 함수가 연속적이지 않으면 간격에 국한될 필요가 없습니다(예를 들어 함수를 제공합니다.

세그먼트에. 이 함수는 간격에 제한이 없습니다. 왜냐하면 at은 두 번째 종류의 불연속점을 갖기 때문입니다. 에 . 정리 조건의 세그먼트를 간격 또는 절반 간격으로 대체하는 것도 불가능합니다. 예를 들어 절반 간격에서 동일한 기능을 고려하십시오. 함수는 이 절반 구간에서 연속이지만 at 이라는 사실로 인해 무한합니다.

주어진 구간에서 위와 아래에서 함수를 제한하는 데 사용할 수 있는 최상의 상수를 찾는 것은 자연스럽게 이 구간에서 연속 함수의 최소값과 최대값을 찾는 문제로 이어집니다. 이 문제의 해결 가능성은 다음 정리로 설명됩니다.

정리3 . 9 (연속함수로 극점에 도달하는 것에 대하여) 기능을 보자 세그먼트에서 연속 . 그러면 점이 있어요 , 그렇게 모두들 앞에서 (그건 -- 최소 포인트: ) 그리고 요점이 있습니다 , 그렇게 모두들 앞에서 (그건 -- 최대 포인트: ). 즉, 최소값과 최대값은 8 세그먼트의 연속 함수 값이 존재하며 일부 지점에서 달성됩니다. 그리고 이 세그먼트.

그림 3.24 세그먼트에서 연속되는 함수는 최대값과 최소값에 도달합니다.

증거. 이전 정리에 따르면 함수는 위에 의해 제한되므로 함수 값의 정확한 상한은 다음과 같습니다. . 따라서 집합 , ,..., ,...은 비어 있지 않으며 이전 보조정리에 의해 가장 작은 값을 포함합니다. , . 이것들은 감소하지 않습니다(이 진술은 이전 정리와 정확히 같은 방식으로 입증되었습니다):

에 의해 위에서부터 제한됩니다. 따라서 단조 유계 수열의 극한에 관한 정리에 따르면 다음과 같은 한계가 있습니다. , 그 다음에

불평등의 한계에 도달하는 정리, 즉 . 그러나 포함하여 모든 사람과 함께. 즉, 함수의 최대값은 지점에서 달성된다는 것이 밝혀졌습니다.

최소점의 존재도 비슷한 방식으로 증명됩니다.

이 정리에서는 이전 정리와 마찬가지로 조건을 약화시키는 것이 불가능합니다. 함수가 연속적이지 않으면 제한되어 있더라도 세그먼트의 최대값 또는 최소값에 도달하지 못할 수 있습니다. 예를 들어 다음 함수를 살펴보겠습니다.

세그먼트에. 이 함수는 (분명히) 간격에 제한되어 있으며 , 그러나 세그먼트의 어느 지점에서도 값 1을 취하지 않습니다(1이 아닌 에 유의하십시오). 사실 이 함수는 점에서 첫 번째 종류의 불연속성을 가지므로 극한에서는 점 0의 함수 값과 동일하지 않습니다. 또한 간격 또는 그렇지 않은 다른 집합에 정의된 연속 함수 닫힌 세그먼트(반간격, 반축)도 극단적인 값을 가질 수 없습니다. 예를 들어 구간 의 함수를 생각해 보세요. 함수가 연속적이라는 것은 명백하며, 그러나 함수는 간격의 어느 지점에서든 값 0이나 값 1을 취하지 않습니다. 기능도 고려해보자 액슬 샤프트에. 이 함수는 에서 연속적이고 증가하며 지점에서 최소값 0을 취하지만 어떤 지점에서도 최대값을 취하지 않습니다(위에서 숫자와 숫자에 의해 제한됨에도 불구하고).

정의. 기능의 경우 에프(엑스)은 간격 [ 에, 비]는 구간의 각 지점에서 연속적입니다( 에, 비), 시점에서 ㅏ오른쪽 지점에서 연속 비왼쪽에서 연속적이면 함수는 다음과 같습니다. 에프(엑스) 세그먼트에서 연속 [에, 비].

즉, 함수는 에프(엑스)는 구간 [ 에, 비], 세 가지 조건이 충족되는 경우:

1) "엑스 0 Î( 에, 비): 에프(엑스) = 에프(엑스 0);

2) 에프(엑스) = 에프(ㅏ);

3) 에프(엑스) = 에프(비).

일정한 간격으로 연속적인 함수의 경우 증명을 수행하지 않고 다음 정리의 형태로 공식화하는 몇 가지 속성을 고려합니다.

정리 1. 기능의 경우 에프(엑스)는 구간 [ 에, 비]이면 이 세그먼트의 최소값과 최대값에 도달합니다.

이 정리는 (그림 1.15) 세그먼트에서 [ 에, 비] 그런 점이 있어요 엑스 1 그 에프(엑스 1) £ 에프(엑스) 어떠한 것도 엑스에서 [ 에, 비] 그리고 요점이 있다는 것 엑스 2 (엑스 2 오[ 에, 비]) " 엑스Î[ 에, 비] (에프(엑스 2)³ 에프(엑스)).

의미 에프(엑스 1)은 [에서 주어진 함수에 대해 가장 큰 것입니다. 에, 비], ㅏ 에프(엑스 2) – 가장 작습니다. 다음을 나타내자: 에프(엑스 1) = 중, 에프(엑스 2) =중. 이후 에프(엑스) 부등식은 다음과 같습니다: " 엑스Î[ 에, 비] 중£ 에프(엑스) £ 중이면 정리 1로부터 다음과 같은 결과를 얻습니다.

결과. 기능의 경우 에프(엑스)은 구간에서 연속이고 이 구간에 국한됩니다.

정리 2. 기능의 경우 에프(엑스)는 구간 [ a,b] 그리고 세그먼트의 끝 부분에 다른 부호의 값을 취하면 그러한 내부 점이 있습니다 엑스 0 세그먼트 [ 에, 비], 여기서 함수는 0으로 변합니다. 즉, $ 엑스 0 Î ( 에, 비) (에프(엑스 0) = 0).

이 정리는 함수의 그래프가 다음과 같다고 말합니다. 와이 = 에프(엑스), 간격 [ 에, 비], 축과 교차 황소값이 적어도 한 번은 에프(ㅏ) 그리고 에프(비) 반대 기호가 있습니다. 그래서 (그림 1.16) 에프(ㅏ) > 0, 에프(비) < 0 и функция 에프(엑스)는 포인트에서 0이 됩니다. 엑스 1 , 엑스 2 , 엑스 3 .

정리 3. 기능을 보자 에프(엑스)는 구간 [ 에, 비], 에프(ㅏ) = ㅏ, 에프(비) = 비그리고 ㅏ¹ 비. (그림 1.17). 그런 다음 임의의 숫자에 대해 씨, 숫자 사이에 포함 ㅏ그리고 비, 이런 인테리어 포인트가 있군요 엑스 0 세그먼트 [ 에, 비], 무엇 에프(엑스 0) = 씨.

결과. 기능의 경우 에프(엑스)는 구간 [ 에, 비], 중– 가장 작은 값 에프(엑스), 중– 함수의 가장 큰 값 에프(엑스) 세그먼트의 [ 에, 비]이면 함수는 임의의 값을 (적어도 한 번) 취합니다. 중, 사이에 결론 중그리고 중, 따라서 세그먼트 [ mm]는 모든 함수 값의 집합입니다. 에프(엑스) 세그먼트의 [ 에, 비].

함수가 구간( 에, 비) 또는 세그먼트에 있음 [ 에, 비] 불연속점, 그런 함수에 대한 정리 1, 2, 3은 더 이상 참이 아닙니다.

결론적으로 역함수의 존재에 관한 정리를 고려하십시오.

정리 4. 허락하다 에프(엑스)은 구간에서 연속입니다. 엑스, 증가 (또는 감소) 엑스그리고 다양한 값을 가지고 있습니다 와이. 그런 다음 기능을 위해 와이 = 에프(엑스) 역함수가 있습니다 엑스= 제이(와이), 간격에 정의됨 와이, 연속적이고 증가(또는 감소) 와이여러 의미를 지닌 엑스.

논평. 기능을 보자 엑스= 제이(와이)는 함수의 역함수입니다. 에프(엑스). 인수는 일반적으로 다음으로 표시되므로 엑스, 그리고 함수를 통해 와이, 그런 다음 역함수를 다음 형식으로 작성합니다. y=제이(엑스).

실시예 1. 기능 와이 = 엑스세트의 2 (그림 1.8, a) 엑스= }