문헌: [L.1], 40페이지

예를 들어, 진폭, 지속 시간 및 반복 주기가 0에 대해 대칭인 직사각형 펄스의 주기적인 시퀀스에 대한 푸리에 급수 확장을 제공합니다.

, (2.10)

여기

이러한 신호를 푸리에 급수로 확장하면 다음과 같습니다.

, (2.11)

듀티 사이클은 어디에 있습니까?

표기법을 단순화하기 위해 다음과 같은 표기법을 입력할 수 있습니다.

, (2.12)

그러면 (2.11)은 다음과 같이 쓰여질 것이다.

, (2.13)

그림에서. 2.3은 일련의 직사각형 펄스를 보여줍니다. 시퀀스의 스펙트럼은 다른 주기 신호와 마찬가지로 본질적으로 이산적(선)입니다.

스펙트럼 포락선(그림 2.3, b)은 비례합니다. . 인접한 두 스펙트럼 구성 요소 사이의 주파수 축을 따른 거리는 이고, 두 개의 0 값(스펙트럼 로브의 너비) 사이는 입니다. 그림 오른쪽의 0 값을 포함하여 한 로브 내의 고조파 구성 요소 수는 입니다. 여기서 부호는 가장 가까운 정수로 반올림됨을 의미합니다. (듀티 사이클이 분수인 경우), 또는 (듀티 사이클이 분수인 경우) 정수 값입니다). 주기가 증가함에 따라 기본 주파수는 감소하면 다이어그램의 스펙트럼 구성 요소가 서로 가까워지고 고조파의 진폭도 감소합니다. 이 경우 봉투의 모양이 유지됩니다.

스펙트럼 분석의 실제 문제를 해결할 때 각주파수 대신 순환주파수를 사용합니다. , 헤르츠 단위로 측정됩니다. 분명히 다이어그램에서 인접한 고조파 사이의 거리는 이고, 하나의 스펙트럼 로브의 너비는 입니다. 이 값은 차트에서 괄호 안에 표시됩니다.

실제 무선 공학에서는 대부분의 경우 스펙트럼 표현(그림 2.3, b) 대신 진폭 및 위상 스펙트럼의 스펙트럼 다이어그램이 사용됩니다. 일련의 직사각형 펄스의 진폭 스펙트럼이 그림 1에 나와 있습니다. 2.3, 다.

분명히 진폭 스펙트럼의 포락선은 비례합니다 .

위상 스펙트럼(그림 2.3, d)의 경우 고조파 성분의 초기 위상이 -π 봉투의 표시가 바뀔 때 싱크 kπ/q. 첫 번째 로브의 고조파의 초기 위상은 0으로 가정됩니다. 그러면 두 번째 로브의 고조파의 초기 단계는 다음과 같습니다. φ = -π , 세 번째 꽃잎 Φ = -2π등.

신호의 또 다른 푸리에 급수 표현을 고려해 보겠습니다. 이를 위해 오일러의 공식을 사용합니다.

.

이 공식에 따라 푸리에 급수로의 신호 확장의 k번째 구성 요소(2.9)는 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

; . (2.15)

여기서 양과 는 복소수이며 스펙트럼 구성요소의 복소 진폭을 나타냅니다. 그 다음 시리즈

푸리에(2.8)는 (2.14)를 고려하여 다음과 같은 형식을 취합니다.

, (2.16)

, (2.17)

기본 기능 측면에서 확장(2.16)이 이루어졌음을 쉽게 확인할 수 있다. , 이는 간격에서도 직교합니다. , 즉.

식 (2.16)은 복잡한 형태음의 주파수로 확장되는 푸리에 급수. 수량 및 는 양의 공액복소수를 나타내며, 복소 진폭스펙트럼 왜냐하면 는 복소수이며, (2.15)로부터 다음과 같습니다:

그리고 .

그러면 전체가 진폭 스펙트럼을 구성하고 전체가 신호의 위상 스펙트럼을 구성합니다.

그림에서. 그림 2.4는 복소 푸리에 급수로 표현되는 위에서 논의한 직사각형 펄스 시퀀스의 스펙트럼 스펙트럼 다이어그램을 보여줍니다.

스펙트럼에도 선 특성이 있지만 이전에 고려한 스펙트럼과 달리 양의 주파수 영역과 음의 주파수 영역 모두에서 결정됩니다. 는 인수의 짝수 함수이므로 스펙트럼 다이어그램은 0을 기준으로 대칭입니다.

(2.15)에 기초하여 계수와 확장(2.3) 사이의 대응 관계를 설정할 수 있습니다. 왜냐하면

그리고 ,

결과적으로 우리는

. (2.18)

식 (2.5)와 (2.18)을 사용하면 실제 계산에서 값을 찾을 수 있습니다.

푸리에 급수의 복잡한 형태를 기하학적으로 해석해 보겠습니다. 신호 스펙트럼의 k번째 구성 요소를 선택해 보겠습니다. 복잡한 형태에서 k번째 구성요소는 다음 공식으로 설명됩니다.

여기서 과 는 식(2.15)에 의해 결정됩니다.

복소 평면에서 (2.19)의 각 항은 길이의 벡터로 표시됩니다. , 실제 축을 기준으로 특정 각도로 회전하고 주파수와 반대 방향으로 회전합니다(그림 2.5).

분명히, 이들 벡터의 합은 길이가 .인 실수 축에 위치한 벡터를 제공합니다. 하지만 이 벡터는 고조파 성분에 해당합니다.

가상 축에 대한 벡터 투영의 경우 이러한 투영은 길이는 동일하지만 방향은 반대이며 합이 0이 됩니다. 이는 복소 형식(2.16)으로 표시되는 신호가 실제로는 실제 신호임을 ​​의미합니다. 즉, 푸리에 급수의 복소 형태는 다음과 같습니다. 매우 정확한스펙트럼 분석의 여러 문제를 해결하는 데 매우 편리한 추상화입니다. 따라서 때로는 삼각 푸리에 급수로 정의되는 스펙트럼을 다음과 같이 부릅니다. 물리적 스펙트럼, 그리고 푸리에 급수(Fourier series)의 복잡한 형태는 다음과 같습니다: 수학적 스펙트럼.

결론적으로 주기적인 신호 스펙트럼에서 에너지 및 전력 분배 문제를 고려해 보겠습니다. 이를 위해 Parseval의 평등(1.42)을 사용합니다. 신호가 삼각 푸리에 급수로 확장되면 식(1.42)은 다음과 같은 형식을 취합니다.

.

직류에너지

,

k번째 고조파의 에너지

.

그러면 신호에너지는

. (2.20)

왜냐하면 평균 신호 전력

,

그런 다음 (2.18)을 고려합니다.

. (2.21)

신호가 복소수 푸리에 급수로 확장되면 식(1.42)은 다음과 같은 형식을 취합니다.

,

어디
- k번째 고조파의 에너지.

이 경우의 신호 에너지

,

그리고 평균 전력

.

위의 표현에서 수학적 스펙트럼의 k 번째 스펙트럼 구성 요소의 에너지 또는 평균 전력은 물리적 스펙트럼의 해당 스펙트럼 구성 요소의 에너지 또는 전력의 절반입니다. 이는 물리적 스펙트럼이 수학적 스펙트럼 사이에 균등하게 분포되기 때문입니다.

직사각형 펄스의 주기적 시퀀스는 다양한 응용 분야의 전자 장비에 널리 사용됩니다. 이 경우 펄스 지속 시간 τ와 발진 주기 사이의 관계는 다음과 같습니다. 티크게 달라질 수 있습니다. 예를 들어, 다음과 같은 진동이 발생합니다. 클록 생성기컴퓨터 작동의 "속도"를 설정하는 는 τ의 비슷한 값과 티, 레이더에 사용되는 펄스는 주기보다 수백 배 더 짧을 수 있습니다. 태도 티/τ 라고 불린다 펄스의 듀티 사이클, 그리고 역값(τ/ 티) - 채우기 비율.

쌀. 6.직사각형 펄스 시퀀스(a) 및 푸리에 급수 계수(b)

진폭이 있는 일련의 직사각형 펄스를 고려하십시오. ㅏ, 기간 τ 및 기간이 있는 후속 기간 티(그림 6, ㅏ). 그림에 표시된 대로 시간 카운트의 시작 부분, 즉 펄스가 영점을 기준으로 대칭이 되도록 선택하고 푸리에 급수(1)의 계수를 계산해 보겠습니다. 기능 이후 에스(티) 이 축 위치는 모두 균일한 것으로 나타납니다. 비 N은 0과 같고, ㅏ N우리는 다음을 얻습니다:

일련의 직사각형 펄스에 대한 푸리에 급수는 다음 형식을 취합니다.

(6)

식 (5)를 사용하여 계산된 푸리에 급수 계수의 값은 그림 1에 표시된 스펙트럼 다이어그램에 표시됩니다. 6, 비.

승산 ㅏ N함수와 연관될 수 있음
. 실제로, 그것들은 비례적일 것입니다(인수에 따라)
) 함수 값
고조파 주파수에 해당하는 인수가 있습니다. 이는 식 (5)를 다음과 같이 다시 작성하면 알 수 있습니다.

(7)

그래서 다음과 같은 함수는
~이다 봉투계수의 경우 푸리에 확장직사각형 펄스 시퀀스(그림 6 참조) 비). 주파수 축에서 엔벨로프 0의 위치 에프조건에서 알 수 있다
또는
, 어디. 엔벨로프가 주파수에서 처음으로 0이 되는 경우 에프= 1/τ(또는 Ω = 2π/τ). 다음으로 엔벨로프의 0이 다음에서 반복됩니다. 에프= 2/τ, 3/τ 등. 이러한 주파수는 모든 스펙트럼 고조파의 주파수와 (정수 듀티 사이클로) 일치할 수 있으며 푸리에 계열의 이러한 주파수 구성 요소는 사라집니다. 듀티 사이클이 정수인 경우 기간은 티정확히 펄스 지속 시간의 배수입니다. 그런 다음 엔벨로프의 두 0 사이에는 다음과 같은 양의 스펙트럼 고조파가 있습니다. 큐- 1.

표 1은 펄스 매개변수가 시간 및 주파수 표현과 어떻게 관련되어 있는지 보여줍니다. 2. 기간이 증가함에 따라 티스펙트럼 다이어그램의 고조파가 서로 가까워집니다(스펙트럼이 "더 두꺼워짐"). 그러나 주기만 변경해도 진폭 스펙트럼 포락선의 모양은 변경되지 않습니다. 엔벨로프의 변화(0의 이동)는 펄스 지속 시간에 따라 달라집니다. 여기에는 펄스 지속 시간과 주기가 다양한 직사각형 펄스 시퀀스에 대한 진폭 스펙트럼 다이어그램의 발전이 나와 있습니다. 스펙트럼 다이어그램의 세로축은 고조파 진폭의 상대 값을 보여줍니다.
이는 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

(8)

표 2.직사각형 펄스 시퀀스의 오실로그램 및 스펙트로그램

2.5. 혼돈(잡음) 진동의 스펙트럼

혼돈의 진동 에스(티) - 이것 무작위 과정. 일정한 조건에서의 각 구현은 반복되지 않으며 고유합니다. 전자공학에서 혼란스러운 진동은 다음과 관련이 있습니다. 소음- 전하 캐리어의 무작위 이동으로 인해 무작위로 변하는 전류 및 전압의 변동. 이러한 맥락에서 혼란스러운 진동과 소음 진동은 동의어로 간주됩니다.

쌀. 7. 평균 제곱 잡음 전압 측정의 블록 다이어그램

소음 변동주파수 표현으로 설명할 수 있습니다. 이는 특정 스펙트럼 특성과 연관되어 있으며 무작위 프로세스의 경우 연속적입니다. 혼돈 진동의 스펙트럼 분해에 대한 이론적 기초가 제시되어 있습니다. 엄격한 이론에 얽매이지 않고, 통계적 매개변수의 실험적 연구 방법론을 설명하겠습니다. 잡음 전압 에스(티) 그림에 표시된 다이어그램에 따르면 8.

아르 자형
이다. 8.잡음 전압 강도의 스펙트럼 밀도를 측정하는 방식

노이즈 전압을 건너 뛰자 에스(티) 좁은 대역의 진동 에너지를 방출하는 필터를 통해
주파수 근처 에프. 조건이 충족되면
<< 에프필터 출력의 진동은 주파수가 있는 정현파와 유사합니다. 에프. 그러나 이 정현파의 진폭과 위상은 혼란스러운 변화를 겪습니다. 필터 대역폭 감소
출력 진동의 모양은 점점 정현파에 가까워지고 있습니다. 진폭은 감소하지만 필터를 통과하는 평균 제곱 전압의 비율( ), 대역폭에
유한하게 유지되며 대역이 연속적으로 감소하면 특정 한계에 도달하는 경향이 있습니다. 여(에프):

한계값 여(에프)라고 불린다. 스펙트럼 강도 밀도프로세스 에스(티). 이는 주파수 축의 단위 간격당 고조파 성분의 평균 강도와 같습니다. 측정할 때 여(에프) 주어진 측정 범위 내의 모든 주파수로 조정할 수 있는 협대역 조정 가능 필터를 사용합니다. 필터를 통과하는 노이즈 전압을 2차 검출하여 평균화(적분)합니다. 결과는 평균 제곱입니다. . 알려진 필터 밴드를 따라 더 나아가
계산하다 여(에프). 프로세스의 전체 강도- 평균 제곱 - 모든 주파수에 걸쳐 잡음의 스펙트럼 구성요소를 통합하여 구함:

(10)

작업을 준비하려면 이 매뉴얼을 완전히 숙지해야 합니다. 실험실 작업 주제에 대한 더 자세한 정보는 책의 "전기 진동의 주파수 스펙트럼, 스펙트럼 분석" 장에서 확인할 수 있습니다.

직사각형 비디오 펄스의 주기적인 시퀀스는 움직이는 목표의 좌표를 감지하고 측정하기 위한 프로빙 신호인 직사각형 무선 펄스의 주기적인 시퀀스(PPRP)를 형성하기 위한 변조 기능입니다. 따라서 변조 함수의 스펙트럼(PPVI)을 사용하면 프로빙 신호(PPVI)의 스펙트럼을 비교적 간단하고 빠르게 결정할 수 있습니다. 프로빙 신호가 움직이는 대상에서 반사되면 반송파의 고조파 스펙트럼 주파수가 변경됩니다(도플러 효과). 결과적으로 정지된 물체(국지 물체)나 느리게 움직이는 물체(기상 지형, 새 떼 등)에서 반사되는 간섭(간섭) 진동을 배경으로 움직이는 물체에서 반사되는 유용한 신호를 식별할 수 있습니다. .

PPPVI(그림 1.42)는 동일한 시간 간격으로 서로 이어지는 단일 직사각형 비디오 펄스 세트입니다. 신호의 분석적 표현.

펄스 진폭은 어디에 있습니까? – 펄스 지속 시간; – 펄스 반복 주기; – 펄스 반복률, ; – 듀티 사이클.

주기적 펄스 시퀀스의 스펙트럼 구성을 계산하기 위해 푸리에 시리즈가 사용됩니다. 주기적인 시퀀스를 형성하는 단일 펄스의 알려진 스펙트럼을 사용하여 펄스의 스펙트럼 밀도와 계열의 복소 진폭 간의 관계를 사용할 수 있습니다.

단일 직사각형 비디오 펄스의 경우 스펙트럼 밀도는 다음 공식으로 설명됩니다.

단일 펄스의 스펙트럼 밀도와 시리즈의 복소 진폭 사이의 관계를 사용하여 다음을 찾습니다.

여기서 = 0; ± 1; ± 2; ...

진폭-주파수 스펙트럼(그림 1.43)은 일련의 구성 요소로 표시됩니다.

이 경우 양수 값은 초기 단계 0에 해당하고 음수 값은 와 같은 초기 단계에 해당합니다.

따라서 PPPVI에 대한 분석적 표현은 다음과 같습니다.

그림 1.43에 표시된 그래프를 분석하면 다음과 같습니다.

· PPPVI 스펙트럼은 주파수가 있는 개별 고조파로 구성된 이산 스펙트럼입니다.

· ASF 봉투는 법률에 따라 변경됩니다.

· 엔벨로프의 최대값은 상수 구성요소의 값과 같습니다.

· 홀수 로브 내 고조파의 초기 위상은 짝수 로브 내에서 0과 같습니다.

· 각 로브 내의 고조파 수는 와 같습니다.

신호 에너지의 90%에서의 신호 스펙트럼 폭

· 신호 기반이므로 신호가 단순합니다.

펄스의 지속 시간이나 반복 빈도를 변경하는 경우 에프(기간), 스펙트럼의 매개변수와 해당 ASF가 변경됩니다.

그림 1.43은 펄스 지속 시간이 두 배가 되었을 때 신호와 해당 ASF의 변화 예를 보여줍니다.

직사각형 비디오 펄스의 주기적 시퀀스와 해당 ASF 매개변수, 티,. 그리고 , 티, 그림 1.44에 나와 있습니다.

주어진 그래프를 분석하면 다음과 같습니다.

1. 펄스 지속 시간이 있는 PPPVI의 경우:

· 듀티비 큐=4, 따라서 3개의 고조파가 각 로브 내에 집중됩니다.

· k번째 고조파의 주파수;

· 90% 에너지 레벨에서의 신호 스펙트럼 폭;

상수 구성 요소는 다음과 같습니다.

2. 펄스 지속 시간이 있는 PPPVI의 경우:

· 듀티비 q= 2, 그러므로 각 로브 내에는 1개의 고조파가 있습니다.

· k번째 고조파의 주파수는 변하지 않습니다.

· 에너지 90% 수준의 신호 스펙트럼 폭이 2배 감소했습니다.

· 상수 성분이 2배 증가했습니다.

따라서 펄스 지속 시간이 증가함에 따라 ASF는 세로축을 따라 "압축"되고(신호 스펙트럼의 폭은 감소) 스펙트럼 구성 요소의 진폭은 증가한다는 결론을 내릴 수 있습니다. 고조파 주파수는 변하지 않습니다.

그림 1.44에서. 반복 주기가 4배 증가(반복 속도가 4배 감소)된 신호 및 해당 ASF의 변경 예가 제시됩니다.

c) 에너지의 90% 수준에서 신호 스펙트럼 폭은 변경되지 않았습니다.

d) 상수 성분이 4배 감소했습니다.

따라서 반복 기간이 증가하면(반복 주파수 감소) 주파수 축을 따라 ASF에서 "압축"이 발생한다는 결론을 내릴 수 있습니다(각 로브 내 수의 증가에 따라 고조파의 진폭이 감소함). . 신호 스펙트럼 폭은 변경되지 않습니다. 반복 주파수가 더 감소하면(반복 주기가 증가) (에서 ) 고조파 진폭이 극소값으로 감소합니다. 이 경우 신호는 단일 신호로 바뀌고 그에 따라 스펙트럼이 연속됩니다.

시간 함수의 스펙트럼 표현은 통신 이론에서 널리 사용됩니다. 전기 회로의 특성과 통신 채널을 통한 메시지 전송에 대한 이론적 및 실험적 연구를 위해 고조파 진동, 일정한 전압 레벨, 직사각형 및 무선 펄스 시퀀스 등 다양한 유형의 신호가 사용됩니다. 단위 함수는 전기 회로 및 임펄스 함수(Dirac 함수)의 이론적 연구에서 특히 중요한 역할을 합니다. 가장 일반적인 일반 신호의 스펙트럼을 결정해 보겠습니다.

11.1 직사각형 펄스 시퀀스의 스펙트럼

주기 T, 펄스 지속 시간 t 및 진폭 A를 갖는 직사각형 펄스의 주기적 시퀀스가 ​​있다고 가정합니다. 세그먼트의 펄스를 설명하는 함수의 분석적 표현은 다음과 같습니다.

(11.1)

주기적인 펄스 시퀀스의 그래프가 그림 11.1에 나와 있습니다.

그림 11.1

이 함수는 그래프가 세로 좌표를 기준으로 대칭이므로 짝수입니다. 그런 다음 이러한 함수의 푸리에 계수는 공식(KFT2)을 사용하여 계산됩니다.

숫자는 일정 기간 동안 함수의 평균값을 나타내며 상수 구성요소라고 합니다. 주파수를 기본 또는 1차 고조파라고 하며 k 주파수를 더 높은 고조파라고 합니다. 여기서 k = 2,3,4,...

고려된 직사각형 펄스 시퀀스의 진폭 스펙트럼을 구성해 보겠습니다. 함수가 주기적이므로 진폭 스펙트럼이 선으로 표시됩니다. 인접한 고조파 사이의 거리로 표시하겠습니다. 분명히 와 같습니다. (11.2)에 따른 k차 고조파의 진폭은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

(11.3)

k차 고조파의 진폭이 0이 되는 펄스 지속 시간과 주기 T 사이의 관계를 찾아보겠습니다.

A 2 ≒32V, A 3 ≒15V, A 4 ≒0, A 5 ≒6.36V, A 6 ≒10.5V, A 7 ≒6.36V, A 8 ≒0, A 9 ≒4.95V, A 10 ≒6.37V.

계산 결과 얻은 진폭 스펙트럼은 그림 11.2에 나와 있습니다.

그림 11.2

이러한 스펙트럼을 선 스펙트럼 또는 이산 스펙트럼이라고 합니다.

q=8 및 q=16에 대한 스펙트럼을 유사하게 계산하고 플롯팅했습니다. 이는 각각 그림 11.3과 11.4에 나와 있습니다.

그림 11.3

그림 11.4

그림에서 볼 수 있듯이 직사각형 펄스의 듀티 사이클이 클수록 첫 번째 고조파의 진폭은 작아지지만 스펙트럼은 느리게 감소합니다.

11.2 단일 직사각형 펄스의 스펙트럼

T→π, 즉 주기적인 펄스 시퀀스가 ​​지속 시간 t u의 단일 직사각형 펄스로 축퇴되는 경우에 대해 Ф(11.1)을 고려해 보겠습니다.

이 충동에 대한 분석적 표현은 다음과 같이 작성됩니다.

이 함수의 그래프는 그림 11.5에 나와 있습니다.

그림 11.5

이 경우 첫 번째 고조파의 주파수와 고조파 사이의 거리는 0이되므로 스펙트럼은 서로 무한한 거리에 위치한 무한히 많은 수의 스펙트럼 선으로 구성된 이산에서 연속으로 전환됩니다. 이러한 스펙트럼을 연속이라고 합니다. 이는 가장 중요한 규칙으로 이어집니다. 즉, 주기적 신호는 이산 스펙트럼을 생성하고 비주기적 신호는 연속 스펙트럼을 생성합니다.

직사각형 단일 펄스의 스펙트럼은 직접 푸리에 변환(10.1)에서 직접 찾을 수 있습니다.